15-16(1)-a同济大学概率论期末

6．设 相互独立同服从区间(1,6)上的均匀分布， （ ）.
7．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为
XY12
0
1
则
8．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为 ，则
（ ）
9．若随机变量X与Y满足关系 ，则X与Y的相关系数 （ ）.
10.设二维随机变量 ，则 （ ）.
二．选择题（每小题 2分，共10 分)
五．证明题（6分）
设两两独立的三事件 满足条件 ， ，且已知 ，试证明 .
参考答案
一．填空题：(共 10小题，每小题 2分，共20 分)
1． （ 0.3 ）；
2． ；
3． 0.0099 ；
4． 1，
5． 162
6． ；
7. ；
8．
9． .
10．2.
二．选择题（每小题 2分，共10 分)
1．(c) 2． 3．(c)4．(d) 5 .(b).
1．设当事件 同时发生时事件 也发生，则有（ ）.
2．假设事件 满足 ，则（ ）.
(a) B是必然事件 （b）
(c) (d)
3．下列函数不是随机变量密度函数的是().
(a) (ห้องสมุดไป่ตู้)
(c) (d)
4．设随机变量X服从参数为 的泊松分布，则概率 （ ）.
5．若二维随机变量（X,Y）在区域 服从均匀分布，则 =（ ）.
3．设随机变量 的密度函数为 .（1）求参数 ；（2）求 的分布函数 ；（2）求 .
4．设随机变量 的密度函数为 ，求 的密度 .
5．设二维随机变量（X,Y）在区域 服从均匀分布，求（X,Y）的联合密度函数 与两个边缘密度函数 ，并判断 是否独立。
6．设随机变量 的数学期望均为0，方差均为1，且任意两个变量的协方差均为 .令 ，求 的相关系数..

五、(16 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
ax 2 y , x 2 y 1 f ( x, y ) 0, 其他
(1) 求常数 a ; (3) 求概率 P (2) 分别求 X 和 Y 的边缘密度函数；
X
0 , Y 1 ；
(4）求概率 P ( X
Y) .
六、(10 分) 某城市每次交通堵塞造成的平均损失 15 万元，损失的标准差是 3 万元.假设各 次堵果今天该城市发生了 100 次交通 堵塞,试用中心极限定理求今天该城市由于交通堵塞造成的损失在 1440 万元到 1530 万元 之间的概率 .
-1 -1 1 1/6 1/3
1 1/3 1/6
(2)
2 3
(3)

1 4

1 4
五、 (1)
(2)
21/ 4
21 2 4 x (1 x ) 1 x 1 f ( x) 8 0, else 7 5 y2 f ( y) 2 0, 0 y 1 else
P(A B) =
，P AB =

.
2、（4 分）设随机变量
X ~ N (4,16) ,则 Y | X 4 | 的概率密度为
fY ( y )
.
2 2 2
3、 （4 分）设随机变量 X 服从自由度为 2 的 分布，用 ( 2) 表示自由度为 2 的 分布

2
(2)
的 分位数,且
三、(12 分)设某同学的手机在一天内收到短信数服从参数为 泊松分布 P ( ) ,每个短信是 否为垃圾短信与其到达时间独立,也与其他短信是否为垃圾短信相互独立. 如果假设每个 短信是垃圾短信的概率为 p . (1) 如 果 已 知 该 同 学 的 手 机 一 天 内 收 到 了 n 条 短 信 , 求 其 中 恰 有 k 条 垃 圾 短 信 的 概 率.( 0 k n ). (2)求该同学的手机一天内收到 k 条垃圾短信的概率.( k 0,1,2, ).

《概率论与数理统计》期末试卷（基础卷）一．填空题（本题满分22分，每空2分）1、设A ,B 是两个相互独立的事件,()=0.4P A B ⋃,()0.2P A =, 则()P B = ,()P A B -= ,()P A B = .2、设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 .3、设X 服从区间)4,1(-上的均匀分布，则(2)P X <= ，Y 表示对X 作3次独立重复观测中事件}2|{|<X 出现的次数，试求)1(=Y P = .4、设()1234,,,X X X X 是取自总体X 的一个样本,(0,2)X N ,样本均值为X ，样本方差为2S ,则()E X = ,()D X = , 2()E S = .二.（本题8分）有甲、乙、丙三个箱子，甲箱中有四个白球和两个黑球，乙箱中有三个黑球和三个白球，丙盒中有两个白球和四个黑球，现随机的选一个箱子，再从箱子中任取两球。

求（1）取出两个白球的概率；（2）当取出的两个球为白球时，此球来自甲箱的概率.三.（本题12分）设随机变量X 的分布函数为22,0()0,0x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩. 其中,A B 为常数. (1)求常数,A B ; (2)求X 的概率密度函数；(3)求概率(12)P X <<; (4)求2(),(),()E X E X D X .四.（本题12分）设随机变量,X Y 相互独立，(,)X Y 的联合分布律为求常数,,a b c 的值。

五.（本题12分）若),(Y X 的联合密度函数为221,1(,)0,x y f x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他(1) 分别求Y X ,边缘密度函数；(2) 求 Y X ,的数学期望()E X 和()E Y ；(3)求11(,)44P X Y ≤≤.六.（本题8分）假设总体X 服从正态分布(,500)N μ，总体Y 服从正态分布(,625)N μ，现从这两个总体中各独立抽取了样本容量为5的样本1515,,,,,X X Y Y ，即合样本1515,,,,,X X Y Y 相互独立.(1)求随机变量Y X -的概率密度函数,其中Y X ,分别为两个正态总体的样本均值；(2)求概率()30≤-Y X P .七.（本题6分）假设一个复杂系统由400个相互独立工作的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,试用中心极限定理求该系统中至少有348个部件正常工作的概率.八.（本题8分）设()12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为()1,01,(0)0,x x f x θθθ-⎧<<=>⎨⎩其余未知.试求： (1)θ的矩估计1;θ (2) θ的极大似然估计2θ.九.（本题12分）假定婴儿的体重X 服从正态分布()22,,,N μσμσ未知,现从医院随机抽查了4个婴儿,得到他们的体重数据（单位：kg ）：3.1, 3.9, 3.2, 3 .（1）由数据计算样本均值x ,样本方差2s ;（2）求μ的双侧99%置信区间;（3）求2σ的双侧99%置信区间;（()220.9950.9950.0053 5.84,(3)12.83,(3)0.07t χχ===）.《概率论与数理统计》期末试卷（综合卷）一．填空题（本题满分22分，每空2分）1、已知()0.3,()0.4,()0.32,P A P B P A B ===则()P A B ⋃=___ __，()P AB = ，()P A B ⋃= .2、设随机变量X 的概率函数为1(1)(1)(2)3P X P X P X =-=====,记{}1.5A X =≤，Y 表示在三次重复独立试验中事件A 发生的次数,则()P A = ，()2P Y == .3、 设随机变量X 的密度函数为,02()0,cx x f x <<⎧=⎨⎩其他，则常数c = ，()E X = .4、设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，()~,1i X N μ,221234()()Y a X X b X X =-+-,其中0ab ≠,则当常数a = ,b = 时，Y 服从自由度为 的 分布.二.（本题8分）一公司为联赛生产比赛用乒乓球.自动包装机把白色和黄色的乒乓球混装，每盒装12只,每盒装白球的个数X 服从离散型均匀分布（即X 取各可能值的概率相等）. 为检查某一盒子中装有白球的数量，从盒中任取一球.(1) 求从盒中取到的球为白球的概率；(2）如果发现从盒中取到的球是白球，求此盒全是白球的概率.三.（本题10分）设随机变量,X Y 相互独立且服从相同的分布，X 的密度函数为23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，记{}{}{}1,11A X B X Y =≤=≤⋂≤，求 ()P A 、()P A B -和()P A B ⋃.四.（本题8分）设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，11(0)0.6,(1)0.4P X P X ====.(1)求随机变量14Y X X =的分布律；(2)求行列式1234X X X X 的分布律.五.（本题12分）设离散型随机变量,X Y 均只取0,1这两个值.()()0,00.21,10.3P X Y P X Y ======，，且随机事件{}1=X 与{}1=+Y X 相互独立.(1) 求),(Y X 的联合概率函数；(2)分别求,X Y 的边缘概率函数；(3)求22Y X Z +=的概率函数和协方差),cov(Z X .六.（本题12分）设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为,01;(,)0,cy y x f x y <<<⎧=⎨⎩其余. 求 (1) 常数c ;(2) X ,Y 的边缘密度函数;（3）X 和Y 相互独立吗？为什么？（4）求概率()1P X Y +≥.七.（本题8分）某次考试共有100道4选1的选择题,某位同学由于平时学习不用功,他决定采用随机的方法选择每道题目的答案.用下列两种方法计算他最后考试及格的概率,（1）二项分布精确计算的方法（答案用概率函数表示）;（2）中心极限定理近似计算的方法（答案用数字表示）.八.（本题12分）设n X X X 21,是取自总体X 的一个样本,X 的密度函数为(1),01;()0,x x f x ββ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其余.其中β未知,1β>-. （1）求β的极大似然估计ˆβ;（2）设1=+1αβ-,求α的极大似然估计ˆα;（3）ˆα为α的无偏估计吗？请说明理由.九.（本题8分）设某厂生产的零件重量X (单位：克)服从正态分布2(,)N μσ，现从该厂生产的零件中抽取了9只零件,测得其重量(单位：克)为19,,x x ，并由此算出99211414,19044.32i i i i xx ====∑∑.试求μ和2σ的置信水平为0.95的双侧置信区间.。

(注意：本试卷共8大题，3大张，满分100分．考试时间为120分钟.除填空题外要求写出解题过程，否则不予计分)备用数据：975.0)96.1(=Φ ，5345.17)8(,1797.2)8(,3060.2)8(2975.02025.0975.0===χχt 。

一、填空题(16分)1、(4分）设C B A ,,是三个随机事件，φ=AC ，52.0)(=AB P ,15.0)(=C P ，则)(C AB P = ， )(C AB P = .2、（4分）设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记()),max(,,min Y X V Y X U ==，则U 的密度函数为=)(u f U ，V的密度函数为=)(v f V .3、（4分）设随机变量X 服从自由度为2的t 分布，用)2(αt 表示自由度为2的t 分布的α分位数,且()05.0)(,95.0=>=<y X P x X P .则x = ，y = .(请用X 所服从的分布的分位数表示).4、（4分）设12,X X 相互独立且服从相同的分布，且1X 服从正态分布),1(2σN ，则1211X X --服从自由度为 的 分布.二、(8分)某市的血库急需AB 型血,要从体检合格的献血者中获得AB 型血,已知在体检合格的献血者中AB 型血的比例为百分之二. 问: 至少需要多少位体检合格的献血者才能保证至少获得一份AB 型血的概率达到0.95 ?三、(10分)设随机变量X 满足,λ==)()(X D X E ,且[]167)1)(5.0(=--X X E ,求λ的值.四、(14分) 假设离散型随机变量21X X 与服从相同的分布,且1)0(21==X X P ,()43)0(,811)1(111=====-=X P X P X P .2121五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他且,02010,1),(xy x y x f(1) 分别求X 和Y 的边缘密度函数； (2) 求概率()5.0,5.0≤≤Y X P ； （3）求Y X Z -=2的密度函数.六、(12分) 为确定某市成年男子中吸烟者比例p ,准备调查这个城市中的n 个成年男子,记这n 个成年男子中的吸烟人数为X . (1)问: n 至少为多大才能使95.0)1(02.0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<-p p p n X P (要求用中心极限定理); (2)试证明: 对于(1)中求得的n ，成立95.001.0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-p n X P .七、(10分) 设某工厂生产的零件重量X 服从正态分布2(,)N μσ，现从该厂生产的零件中抽取了9个零件,测得其重量数据（单位：g ），并由此算出样本均值和样本方差分别为36.0,452==s x ，分别求μ和2σ的置信水平0.95的双侧置信区间。