同济大学概率论与数理统计-复习总结试卷

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

课号：122011 课名：概率论与数理统计 考试考查：考查年级 专业 学号 姓名 任课教师 备用数据：975.0)96.1(,95.0)645.1(=Φ=Φ.()8413.01=Φ，()9772.02=Φ，.488.27)15(,262.6)15(,1315.2)15(,8413.0)1(2975.02025.0975.0====Φχχt.54.17)8(,18.2)8(,306.2)8(,95.0)645.1(,236.9)5(2975.02025.0975.0290.0====Φ=χχχt.8944.0)25.1(=Φ220.950.050.95(8) 1.8595,(8) 2.733,(8)15.507t χχ===220.9750.0250.975(8) 2.306,(8) 2.1797,(8)17.5345,(0.6)0.7257t χχ===Φ=7531.1)15(,95.0)645.1(,8944.0)25.1(95.0==Φ=Φt一、填空题(18分)1, 设821,,,X X X 是取自正态总体),1(2σN 的简单随机样本，X 是其样本 均值；4321,,,Y Y Y Y 是取自正态总体),2(2σN 的简单随机样本，Y 是其样本均值，假设样本821,,,X X X ，4321,,,Y Y Y Y 相互独立，则当非零常数c = 时，统计量X Y c 服从自由度为 的t 分布.2, 设654321,,,,,X X X X X X 是取自正态总体),1(2σN 的简单随机样本，S X ,分别为样本均值和样本标准差，则()=>1X P ，()=<<228472.1,1σS X P . 3, 设521,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本，则当非零常数c = 时，统计量()25242321X X X X X c+++服从自由度为 的F 分布.4, 设12,,n X X X 是取自正态总体()2,σμN 的简单随机样本,()∑−=+−=1121n i i i X Xc T 是2σ的无偏估计,则常数c 的值为 ( )A. n 1 ;B. n 21 ;C. 11−n ; D. )1(21−n .5, 设521,,,X X X 是取自正态总体()2,0σN 的简单随机样本,()()2542321X X X X X cT +++=,其中c 为非零常数,则当=c 时,T 服从自由度为 的 分布.6, 设821821,,,,,,,Y Y Y X X X 是取自正态总体)1,(μN 的简单随机样本，811,8i i X X ==∑8118i i Y Y ==∑，则()=X D ，()=−Y X D ，()=>−5.0Y X P .7, 设521,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本，则当非零常数c = 时，统计量 ()25242321XX X X X c+++服从自由度为 的t 分布.8, 设随机变量4321321,,,,,,Y Y Y Y X X X 相互独立且服从相同的分布，()21,0σN X 服从正态分布,记∑==4141i i Y Y , 统计量∑∑==−=412312)(i ii iY Y XcT , 其中c 为非零常数,则当=c 时,T 服从自由度为 的 分布.二、 简答题1、 设某商务网站一天内被访问的次数X 服从参数为λ的泊松分布，有人根据近三年该网站的日被访问次数的数据推算出610)(=X E .根据该网站和广告商的协议,该网站每被访问一次网站获利0.10元.假设该网站各天被访问的次数相互独立且服从相同的分布.问:以95%的概率测算该网站在未来的100天里至少可以获利多少元? (要求用中心极限定理解题) .2、 设某厂生产药品的对于治疗某种疾病的治愈率为0.8.现在临床上让患有这种疾病的100个病人服用这个厂生产的这种药品.求在这100个病人中至少有75人治愈的概率的近似值. (要求用中心极限定理解题) .3、 某检验员逐个地对产品进行检验，检验一个产品所需的时间X （单位：秒）是个随机变量，且31)20(,32)10(====X P X P .如果该检验员一天内有效的工作时间为6.7小时，试求该检验员在一天有效工作时间内能检验的产品数量不少于1800个的概率的近似值.（要求用中心极限定理解题）4、 某保险公司开办的一个险种有100万人投保，每人每年支付120元保险费，在一年内投保人意外死亡的概率为0.0006，投保人意外死亡时保险受益人可以向保险公司要求赔付10万元。

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

2021年大学基础课概率论与数理统计复习题及答案（精选版）一、单选题1、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有A ）0()1()a f a f x dx -=-⎰B ） 01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F【答案】B2、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有A ）0()1()a f a f x dx -=-⎰B ） 01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F【答案】B3、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5【答案】B4、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 5、已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）X X A +)( +A ∑=-n i i X n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 i m 211.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()r A i i i S m y y ==-∑6、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H（C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H【答案】A7、设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ ）(A)22212321()X X X σ++ (Ｂ)13X μ+ (Ｃ)123max(,,)X X X (D)1231()3X X X ++ 【答案】A8、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 9、已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩(λ>0,A 为常数)，则概率P{X<+a λλ<}（a>0）的值 A ）与a 无关，随λ的增大而增大 B ）与a 无关，随λ的增大而减小C ）与λ无关，随a 的增大而增大D ）与λ无关，随a 的增大而减小【答案】C10、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是i m 211.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()r A i i i S m y y ==-∑二、填空题1、用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=【答案】F(b,c)-F(a,c)2、设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样，n 及p 的矩估计分别是 。

一、填空题(16分)1、(4分）设B A ,为两个随机事件，1)(0<<A P ,1)(0<<B P .若事件B A ,相互独立，则()=+B A P B A P )( ； 若事件A 是事件B 的对立事件，则()=+B A P B A P )( .2、（4分）设B A ,为两个随机事件，若4.0)(,3.0)(==B P A P ,()5.0=-B A P ，则 )(AB P = ， ()B A B P ⋃= .3、（8分）设21,X X 是取自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，211X X Y +=，212X X Y -=，则协方差),(21Y Y Cov = ，已知),(21Y Y 服从二维正态分布，如果c 为非零常数，则当c = 时，21)2(Y Y c μ-服从自由度为 的 分布.二、（10分） 乒乓球在未使用前称为新球，使用后就称为旧球.在袋中有10个乒乓球,其中8个新球.第一次比赛时从袋中任取二球作为比赛用球,比赛后把球仍放回袋中,第二次比赛时再从袋中任取二球作为比赛用球.(1)求第二次比赛取出的球都是新球的概率;(2)如果已知第二次比赛取出的球都是新球,求第一次比赛时取出的球也都是新球的概率.三、(10分)设随机变量X ~)1,(μN ,Xe Y =.(1)求Y 的概率密度)(y f Y ; (2)求Y 的期望)(Y E 和方差)(Y D .四、（14分）设321,,X X X 相互独立且服从相同的分布，1X 服从参数为1的泊松分布)1(P .记⎩⎨⎧≠+=+=1,01,12121X X X X X ,⎩⎨⎧≠+=+=1,01,12323X X X X Y （1） 求),(Y X 的联合概率函数；（2）分别求X 和Y 的边缘概率函数;(3) 求概率)1(≤+Y X P .五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他且,05.05.0,1),(y x xy y x f (1) 分别求X 和Y 的边缘密度函数; (2)问: X 和Y 是否相互独立?请说明理由；(3) 求协方差),(22Y X Cov ; (4）求概率)5.0(≤+Y X P .六、(10分) 在一次集体登山活动中,假设每个人意外受伤的概率是1%,每个人是否意外受伤是相互独立的.（1）为保证没有人意外受伤的概率大于0.90,问:应当如何控制参加登山活动的人数?（2）如果有100人参加这次登山活动,求意外受伤的人数小于等于2人的概率的近似值.(要求用中心极限定理解题) .七、(10分) 以相同的仰角发射了9枚同型号的炮弹,测得其射程921,,,x x x ,并由此算出4372,19891912==∑∑==i i i i x x.假设炮弹的射程X 服从正态分布2(,)N μσ. 分别求μ和σ的置信水平0.95的双侧置信区间。

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A {抽到的三个产品全是合格品}2A {抽到的三个产品全是废品}（B ）1B {抽到的三个产品全是合格品} 2B {抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C {抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C {抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D {抽到的三个产品中有2个合格品} 2D {抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B 不等价的是[ C ]（A ）A AB （B ）()A B B（C ）A B（D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B 表示 [ C]（A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x Bx x ，则AB表示 [ A]（A ）{|01}xx （B ）{|01}x x（C ）{|12}x x（D ）{|0}{|1}x xx x 7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为[ A]（A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）CAB CB A BCA ；（D ）A BC .8、设随机事件,A B 满足()0P AB ，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件(B),A B 互不相容(C)AB 一定为不可能事件(D)AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB，则称A 与B互不相容或互斥。

同济大学概率论与数理统计 复习试卷1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是（ ）（A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； （B ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件。

2、 设一批产品中一、二、三等品各占60％、30%、10％，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ,在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 .3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足(),()P X a P X b αβ≤=≥=。

记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ） （A))(1βα+-=p ； (B))(1βα+-≥p ；（C ） )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p .4、 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4x x x f ,则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数为=)(y f Y .5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ）()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =；()()()0.D D X D Y =6、 设12,,nX X X 相互独立且服从相同的分布，∑====ni iX n X X D X E 1111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得()≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 .7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布，()1,0~1N X .()()2542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时，Y 服从自由度为 的F 分布。

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4）3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4） Bayes公式： 7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意，4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布 1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质 4．正态总体的抽样分布（1）；（2 ；（3 且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以 .2．由知即解得，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故 .5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则与也独立. 与也独立（D）若，则与也独立.（） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）. （D）. （）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立. （B）（C）. （D）. （） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）. （A）. . （）（C）（D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有应选（A）. 2 ?，9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’ 则（1）（2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显着性水平为0.05）. （附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________. （4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：, , , ）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理 . . （2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则 . 所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C. （2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设随机变量X的分布函数为F(x)，以下哪个选项是正确的？A. F(x)是单调递增的函数B. F(x)是单调递减的函数C. F(x)是连续的函数D. F(x)是可导的函数答案：A2. 设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. X和Y的协方差为0B. X和Y的相关系数为0C. X和Y的联合分布等于X和Y的边缘分布的乘积D. X和Y的方差相等答案：C3. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. D(X) = λC. E(X) = λ²D. D(X) = λ²答案：A4. 在假设检验中，以下哪个选项是正确的？A. 显著性水平α越大，拒绝原假设的证据越充分B. 显著性水平α越小，接受原假设的证据越充分C. 显著性水平α越大，接受原假设的证据越充分D. 显著性水平α越小，拒绝原假设的证据越充分答案：D5. 以下哪个选项不是统计量的定义？A. 不含未知参数的随机变量B. 含未知参数的随机变量C. 不含样本数据的随机变量D. 含样本数据的随机变量答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设随机变量X和Y的方差分别为DX和DY，协方差为Cov(X,Y)，则X和Y的相关系数ρ的公式为______。

答案：ρ = Cov(X,Y) / √(DX × DY)7. 设随机变量X服从标准正态分布，则X的数学期望E(X) = ______，方差D(X) = ______。

答案：E(X) = 0，D(X) = 18. 设总体X的方差为σ²，样本容量为n，样本方差为s²，则样本方差的期望E(s²) = ______。

答案：E(s²) = σ²9. 在假设检验中，原假设和备择假设分别为H₀: μ = μ₀和H₁: μ ≠ μ₀，其中μ为总体均值，μ₀为某一常数。

∑ X - X , X - X 2 1 nii同济大学2019-2020学年第一学期数学系《概率统计》试卷5、 设 X 1 、X 2 、X 3 、X 4 独立同分布，X 1 ~ N (μ, 1)，X = 1 44 i =1X i，则 X 1 - X与 X - X 的 协 方 差 cov (X - X , X - X )= ， X - X 与 X - X 的 相21212关系数 ρ = ．12备用数据：Φ (1) = 0.8413 ， t 0.90 (3) = 1.6377 ， t 0.95 (3) = 2.35346、 设 X 1 、 X 2 、 X 3 、 X 4 、 X 5 是独立同分布的随机变量， X 1 ~ N (0, 1)， 记 Y = C 1 (X 1 + X 2+ X 3 ) + C (X 2+ X 5 ) ，其中 C 、 C 为常数，那么，当2 2一、填空（50 分）1、 设 A 、B 为两个随机事件， P (A ) = 0.6 ， P (B ) = 0.4 ．若 A 、B 互不相容， C 1 = ， C 2 = 时， Y 服从自由度为 的 χ 分布．2则 P (A - B )= ， P (A Y B )= ， P (A B )= ；7、 设 X 1 , X 2 , Λ , X n 是独立同分布的随机变量 n ≥ 2 ， X 1 ~ R (0, 2)，记X =1∑nX S = ∑ ，(X - X )2， A=1∑nX 2 ， 则 E (X )= ，若 A 、B 有包含关系，则 P (A - B )= ，P (A Y B )= ，P (A B )n i =1 n - 1 ii =1n i =12、 学生甲和朋友约定：在三门完全不同的课程考试中，他只要有一门考试取得 95 分以上就开香槟酒庆祝．若甲在这三门课程考试中得 95 分以上的概D (X )= ， E (S 2 )= ， E (A)= ．1 1 18、 设 x 、x 、x 、x 是取自正态总体 N (μ, σ 2 )的样本观测值，其中 、σ 2率分别为 2 、 3 、 4 ，则他们开香槟酒庆祝的概率为 ．3、 一只袋中装有 5 只白球和 4 只黑球，现不放回地随机取出三只球，每次123444取一只，共取三次，则这三只球依次为黑球、白球、黑球的概率为 ， 取出的第二个球为黑球的概率为 ．若已知第二次取到黑球，则第 未知， - ∞ < < ∞ ，σ 2 > 0 ，已知∑ x i =1= 24 ， ∑ x 2= 147 ，那么σ 2 的极大 i =1一 次 取 到 黑 球 的 概 率 为 ． 4、 设(X , Y )服从区域G 上的均匀分布，其中G = {(x , y ):0 < y < 1, x < y }， 似 然 估 计 值 为 ， 的 双 侧 90% 置 信 区 间 为 ．则(X , Y )的联合密度函数 f (x , y )= ， X 的 边 缘 密 度 函 数f X (x )= ， Y 的 边 缘 密 度 函 数 f Y (y )= ．2 14i 22iY X-1 -1 1220 5 10 1 10 3 2203 203 201二、（10 分）某镇的码头只能容纳一艘船，现预知某日将独立地来到两艘船， 且在 24 小时内各时刻来到的可能性相同．如果它们需要停靠的时间分别为 4 小时和 6 小时，试求二艘船中至少有一艘船在停靠时必须等待的概率．三、（14 分）设随机变量(X , Y )的联合概率函数为记U = max (X , Y )，V = min (X , Y )， Z = XY ，求⑴ Z 的概率函数； ⑵ (U , V ) 的联合概率函数；⑶ 已知事件{U = 2}发生时V 的条件概率函数．λ n四、（10 分）设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~ N (-1, 7)、Y ~ N (3, 1)， 五、（16 分）设 X 1 , X 2 , Λ , X n 是取自总体 X 的样本，X 服从泊松分布 P (λ )，记Z = 3X + Y ，W = e Z ，求⑴ 随机变量Z 的概率密度函数 f Z (z )； ⑵ 随机变量W 的概率密度函数 f W (w )．λ > 0 ， λ 未知，⑴ 求λ 和θ = E (X 2 )的极大似然估计量λˆ 和θˆ；⑵ 问：θ = E (X 2 )的极大似然估计量θˆ是θ 的无偏估计吗？ 1 n⑶ 求lim P X - λ < ，其中X = ∑ X i ．n n →∞i =1。

总复习3备用数据：220.950.950.05(3) 2.3534,(3) 6.815,(3)0.352t χχ===8413.0)1(=Φ，7881.0)8.0(,9993.0)2.3(=Φ=Φ。

一、填空题(18分)1、(4分）已知5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ，则)(AB P =，)(B A A P ⋃=.2、（4分）设随机变量ξ服从二项分布),4(p B ，01p <<，已知)3()1(===ξξP P ，则=p ，)2(=ξP = .3、（6分）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，随机变量Y 服从二项分布(2,0.5)B ，且(,)0.5cov X Y =，则(3)E X Y -=，(3)D X Y -=，利用切比雪夫不等式可得()≥≤+-223Y X P .4、（4分）设126,,X X X 相互独立且服从相同的分布，且1X 服从正态分布)9,0(N ，记()()222123456T a X X b X X X cX =+++++，其中,,a b c 为常数，且0≠abc ，当a = ,b = ,c = 时，T 服从自由度为的2χ分布.二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验，已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6，0.8.(1) 求两人中只有一人试验成功的概率；(2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下，求甲成功但乙未成功的概率．三、(12分)设随机变量)4,1(~N ξ,)9,0(~N η,且ξ与η的相关系数21-=ξηρ. 记32ηξ+=Z .求（1）)(Z E ，)(Z D ；（2）),(Cov Z ξ.四、(12分) 假设二维随机变量(,)X Y 服从矩形 }10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布. 记01X Y U X Y ≤⎧=⎨>⎩若若, 0212X Y V X Y ≤⎧=⎨>⎩若若, （1） 求),(V U 的联合概率函数；（2）求概率)1(22≤+V U P .五、(12分)设随机变量21ξξ与相互独立, 它们均服从标准正态分布.记211ξξη+=,212ξξη-=.可以证明：（1η，2η）服从二维正态分布. (1) 分别求1η和2η的密度函数； (2) 求),(21ηη的联合密度函数；(3) 求概率()22,2221≤≤-≤≤-ηηP . 六、(10分) 某生产线上组装一件产品的所需时间X 服从指数分布，10)(=X E （单位：分钟），假设组装各件产品所需时间相互独立。

《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。

2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。

3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。

4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。

5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。

6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。

，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。

8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。

Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。

10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。

E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。

A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。

A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。