等差数列与等比数列定义及公式

等差数列公式和等比数列公式一、等差数列公式。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)。

2. 通项公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，n为项数，d为公差。

- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。

3. 前n项和公式。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。

将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

- 另一个形式：S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

这是将a_n=a_1+(n - 1)d代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}得到的，即S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

二、等比数列公式。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。

即frac{a_n}{a_n - 1} = q(n≥slant2)。

2. 通项公式。

- a_n=a_1q^n - 1，其中a_1为首项，n为项数，q为公比。

- 推导：a_2=a_1q，a_3=a_2q=a_1q^2，a_4=a_3q=a_1q^3，以此类推可得a_n=a_1q^n - 1。

3. 前n项和公式。

- 当q = 1时，S_n=na_1。

- 当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。

( 2n-3)/2^n+（2n-1）/2^
❶-❷得
1/2Sn=1/2+2/2^2+2/2^3+….+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
1/2Sn=1/2+2(1/2^2+1/2^3+…1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1）
Sn=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)/2^n
谢谢ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=1/d(1/an-1/an+1) (d为等差公差） 例：已知数列1/（1*4），1/（4*7），1/（7*10）……..1/（3n-2）
（3n+1)求Sn. 解：由已知得 an=1/(3n-2)(3n+1)
=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)] Sn=1/3[1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+……1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=n/(3n+1)
2.错位相减法
• Cn=an*bn(an为等差数列，bn为等比数列）
例：已知an=(2n-1)/2^n,求Sn.
Sn=a1+a2+a3+…..an 得
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+…..+(2n-3)/2^(n-1)+….（2n-1)/2^n+0 ❶
1/2Sn=0+1/2^2+3/2^3+…+ （n+1）❷
2.等比数列的通项公 式
a a q a a q n1 • ,
• nm , 其中n m,也可以n m.
n
1
n
m

什么是等差数列和等比数列的计算？等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际应用中都具有重要的作用。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念、计算公式以及相关的性质和应用。

一、等差数列的计算：1. 概念：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

其中，公差（d）表示相邻两项之差的恒定值。

2. 计算公式：-第n项（An）的计算公式：An = A1 + (n-1)d-前n项和（Sn）的计算公式：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，A1表示数列的首项，n表示项数。

3. 性质和应用：-等差数列的性质之一是，任意三项成等差数列的条件是它们之间的差值相等。

-等差数列常用于数学和物理问题中，如等速直线运动、等间隔时间的增长等。

二、等比数列的计算：1. 概念：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

其中，公比（r）表示相邻两项之比的恒定值。

2. 计算公式：-第n项（An）的计算公式：An = A1 * r^(n-1)-前n项和（Sn）的计算公式（当r ≠ 1）：Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，A1表示数列的首项，n表示项数。

3. 性质和应用：-等比数列的性质之一是，任意三项成等比数列的条件是它们之间的比值相等。

-等比数列常用于数学和科学问题中，如指数增长、复利计算等。

总结：等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列，它们在计算和应用中有着重要的地位。

通过对等差数列和等比数列的计算公式和性质的理解，我们可以快速计算数列的任意一项和前n 项的和，并应用于解决各种实际问题。

在数学学习和实际应用中，我们可以利用等差数列和等比数列的特点和性质，推导结论、发现规律，丰富我们的数学思维和解题能力。

不一定， a≠0时是等比数列，q=1； 不一定，当a≠0时是等比数列，q=1； 时是等比数列 a=0时非等比数列 时非等比数列。 当a=0时非等比数列。
练一练
1、指出下列数列是不是等比数列，若是， 指出下列数列是不是等比数列，若是， 说明公比；若不是，说出理由． 说明公比；若不是，说出理由． (1) １,2, 4, 16, 64, … (2)1, 9,… (2)1, 3, 9, 1, 3,9,… )1 (3) 2, -2, 2, -2, 2 (4) b, b, b, b, b, b, b, … 不是 不是 是 不一定
小结： 小结：填写下表
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列
an+1
an
=q
公差（比） 公差（ 定义变形 通项公式
q叫公比 叫 an+1=an q an=a1qn-1
an n−m an − am 一般形式 an=am+(n-m)d d = an=amqn-m q = a n− m m
an = a1 ⋅ q 对应点坐标为(n, an )
n −1
a1 n 等比数列 an}通项公式可整理为：an == ， { q q a1 x 它的图象是函数y = 的图象上的孤立点 q . q
=
课堂练习
1.已已等比数列 an }：(1) a1 能不能是零？ 不能 ； 已已等比数列{ 能不能是零？ 已已等比数列 ： (2)公比 能不能是零？ 不能；(3)公比 能不能是 ？ 公比q能不能是零 公比q能不能是 能 公比 能不能是零？ 公比 能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . 已已a ， ①已已 1=2，an=3an+1； ②1，2，4，……；× ， ， ， ； √ ③a，a，a，……，a； × ④1，-1，1，……，(-1)n+1√ ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ⑤sin1，sin2，sin4，sin8，……，sin2n-1； ， ， ， ， ， × ⑥2a，2a，2a，……，2a √ ， 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列 非零的 常数列

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理一、等差数列的公式和相关性质1.等差数列的定义：如果一个数列的后一项减去前一项的差为一个定值，那么这个数列就是等差数列。

记为：an-an-1=d（d为公差）（n≥2，n∈N*）。

2.等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

推广公式：an=am+(n-m)d。

变形推广：d=(an-am)/(n-m)。

3.等差中项：（1）如果a、b、A成等差数列，那么A就是a与b的等差中项，即b成等差数列，A=(a+b)/2；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2.4.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=n^2+(a1-d)n/2=An^2+Bn（其中A、B是常数，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）。

特别地，当项数为奇数2n+1时，an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项，Sn=(2n+1)(a1+an)/2= (2n+1)an+1/2.5.等差数列的判定方法：（1）定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2；（3）数列{an}是等差数列，当且仅当an=kn+b（其中k、b是常数）；（4）数列{an}是等差数列，当且仅当Sn=An^2+Bn（其中A、B是常数）。

6.等差数列的证明方法：定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列。

7.等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）设项技巧：一般可设通项an=a1+(n-1)d。

等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。

4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。

5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。

等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。

3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。

4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。

5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。

以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。

在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。

它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。

本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。

一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。

举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。

等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。

这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。

等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。

求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。

二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。

例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。

等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。

与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。

等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。

数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。

在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。

等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。

本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。

一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。

通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。

例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。

通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。

例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。

总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。

等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。

等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。

通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。

数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。

等差数列可以是正差、零差或负差的数列。

2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。

（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。

（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。

3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。

4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。

1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

等比数列可以是正比、零比或负比的数列。

2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。

（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。

3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。

等比等差数列公式大全等比数列和等差数列是高中数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有着重要的应用。

本文将详细介绍等比数列和等差数列的定义、性质、公式以及相关的应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用这两种数列。

一、等差数列的定义和性质。

等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为，an = a1 + (n-1)d，其中n为项数。

等差数列的性质包括，1. 任意三项成等差数列；2. 等差数列的和公式Sn = n/2 (a1+an)；3. 等差数列的前n项和公式Sn = n/2 (2a1+(n-1)d)。

二、等比数列的定义和性质。

等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列，这个相等的比值称为公比，通常用字母q表示。

假设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为，an = a1 q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的性质包括，1. 任意三项成等比数列；2. 等比数列的和公式Sn = a1 (q^n-1)/(q-1)；3. 等比数列的前n项和公式Sn = a1 (1-q^n)/(1-q)。

三、等差数列和等比数列的应用。

等差数列和等比数列在现实生活和数学问题中都有着广泛的应用。

例如，等差数列可以用来描述等间隔的数值变化规律，比如每年增加固定金额的存款利息；等比数列可以用来描述成倍递增或递减的数值规律，比如细菌繁殖、利滚利等。

除此之外，等差数列和等比数列还可以应用于数学证明和数学问题的解决中。

例如，利用等差数列的性质可以简化数学证明的过程，利用等比数列的性质可以解决一些复杂的数学问题。

综上所述，等差数列和等比数列是数学中重要的数列形式，它们具有一些固定的性质和公式，同时也有着广泛的应用。

通过对这两种数列的深入理解和掌握，可以帮助我们更好地解决数学问题，理解实际生活中的规律。

希望本文的介绍对读者有所帮助，谢谢阅读！。

什么是等差数列和等比数列等差数列和等比数列是数列中常见的两种类型。

在数学中，数列是一组按照一定规律排列的数字。

等差数列和等比数列都能用于解决实际问题和数学推理，因此对它们的理解非常重要。

一、等差数列等差数列也被称为公差数列，是指数列中的每个数与它前面的数之差都相等。

这个相等的差值称为公差，通常用字母"d"来表示。

等差数列的一般形式可以表示为a、a+d、a+2d、a+3d、...，其中a是首项，d 是公差。

等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。

等差数列常见的应用包括：计算年龄、时间、距离等等。

例如，如果一个人每年增长3岁，在5年后他的年龄是多少？二、等比数列等比数列是指数列中的每个数与它前面的数之比都相等。

这个相等的比值称为公比，通常用字母"q"来表示。

等比数列的一般形式可以表示为a、aq、aq²、aq³、...，其中a是首项，q是公比。

等比数列的求和公式如下：Sn = a(1 - qⁿ)/(1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和，n表示项数，a表示首项，q表示公比。

等比数列常见的应用包括：求利息、计算数量、模型预测等等。

例如，一笔投资每年收益率为10%，如果投资10年后的总收益是多少？三、等差数列与等比数列的关系等差数列和等比数列之间存在一定的联系。

当公比q等于1时，等比数列就变成了等差数列。

因此，等差数列是等比数列的一种特殊情况。

另外，在某些情况下，我们可以通过观察数列的性质来确定它是等差数列还是等比数列。

例如，如果一个数列从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，那么我们可以断定这个数列是等比数列。

四、总结等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列类型。

它们都有各自的求和公式，并能在实际问题中发挥重要作用。

理解等差数列和等比数列的概念、特性和应用，对于数学学习和问题解决都是非常有帮助的。

小学数学中的等差数列与等比数列数学在小学阶段的学习是非常重要的，其中包括了等差数列和等比数列的学习。

等差数列和等比数列是数学中常见的序列形式，对于数学知识的理解和应用有着重要的作用。

本文将介绍小学数学中的等差数列和等比数列的概念、性质以及应用。

一、等差数列等差数列是指一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）的数列。

其中，首项为a，公差为d。

等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。

在小学阶段，对于等差数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解首先，学生需要理解等差数列的概念，即一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）。

可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中差值为3。

2. 判断等差数列学生需要学会判断给定的数列是否为等差数列。

可以通过观察相邻两项的差值是否相等来判断，如果相等则为等差数列。

同时，学生需要注意等差数列的公差是固定的，也就是说差值是保持不变的。

3. 求和公式学生需要了解等差数列的求和公式，即Sn=n/2(a+l)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，l表示末项。

通过掌握求和公式，可以简化对等差数列求和的计算。

二、等比数列等比数列是指一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）的数列。

其中，首项为a，公比为r。

等比数列的通项公式为An=a*r^(n-1)。

在小学阶段，对于等比数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解同样，学生需要理解等比数列的概念，即一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）。

可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中比值为2。

2. 判断等比数列学生需要学会判断给定的数列是否为等比数列。

可以通过观察相邻两项的比值是否相等来判断，如果相等则为等比数列。

同时，学生需要注意等比数列的公比是固定的，也就是说比值是保持不变的。

3. 求和公式学生需要了解等比数列的求和公式，即Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。

等差和等比数列公式大总结数列是数学中一个重要的概念，它是指按一定规律排列的一组数。

常见的数列有等差数列和等比数列。

在学习数列时，熟练掌握数列的公式是非常重要的。

本文将对等差数列和等比数列的公式进行总结。

一、等差数列的公式等差数列是指一个数列中后面的数与前面的数之差相等。

这个相等的差值就是等差数列的公差（d）。

等差数列的通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an为第n项，a1为第一项，d为公差。

等差数列的前n项和公式如下：Sn = n/2·[2a1 + (n-1)d]其中，Sn为前n项和。

二、等比数列的公式等比数列是指一个数列中后面的数与前面的数之比相等。

这个相等的比值就是等比数列的公比（q）。

等比数列的通项公式如下：an = a1·q^(n-1)其中，an为第n项，a1为第一项，q为公比。

等比数列的前n项和公式如下：Sn = (a1(1-q^n))/(1-q)其中，Sn为前n项和。

三、等差数列和等比数列的关系等差数列和等比数列都是常见的数列，它们有着一定的联系。

如果在等比数列中，取对数可以得到一个等差数列，相反地，在等差数列中，取指数可以得到一个等比数列。

具体如下：对于等比数列：取对数得到：log(an) = log(a1·q^(n-1))化简可得：log(an) = log(a1) + (n-1)log(q)令b = log(a1)，d = log(q)，则可得到：log(an) = b + (n-1)d这个式子和等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d一样，只不过d变成了log(q)。

所以，等比数列的通项公式也可以看做是等差数列的通项公式在取对数后的形式。

对于等差数列：取指数得到：an = a1·r^(n-1)化简可得：an = a1·e^(ln(r)·(n-1))令b = ln(a1)，d = ln(r)，则可得到：an = e^b·e^(d·(n-1))这个式子和等比数列的通项公式an = a1·q^(n-1)一样，只不过q变成了e^d。

等差等比数列的含义求和公式分别是什么等差等比数列的概念等差数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

留意：以上n均属于正整数。

等比数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。

其中{an}中的每一项均不为0。

注：q=1时，an为常数列。

等比数列的性质1、在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am⋅an=ap ⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2。

2、若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an⋅bn}{an⋅bn}，{anbn}{anbn}仍旧是等比数列。

3、在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，⋯an，an+k，an+2k，an+3k，⋯为等比数列，公比为qkqk。

4、q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2，S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q。

5、等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和的取值，an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

等差数列的基本性质1，公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。

等差数列和等比数列公式等差数列公式是指具有相同公差的数列，其中每一项的值与前一项的值之差都相等。

等比数列公式是指具有相同比例的数列，其中每一项的值与前一项的值之比都相等。

等差数列公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)*d等差数列的前n项和公式为：Sₙ=n/2*(a₁+aₙ)=n/2*(2a₁+(n-1)*d)等差数列的前n项和为首项与尾项之和乘以项数的一半。

等差数列的示例：1,4,7,10,13,...以此等差数列的首项a₁=1，公差d=3，求该等差数列的第n项aₙ和前n项和Sₙ。

首先，利用等差数列的通项公式可以求得任意一项的值：aₙ=a₁+(n-1)*d假设要求第10项a₁₀，则代入a₁=1,d=3,n=10：a₁₀=1+(10-1)*3=1+9*3=1+27=28其次，利用等差数列的前n项和公式可以求得前n项的和：Sₙ=n/2*(a₁+aₙ)假设要求前10项和S₁₀，则代入a₁=1,aₙ=28,n=10：S₁₀=10/2*(1+28)=5*29=145因此，等差数列1,4,7,10,13,...的第10项为28，前10项和为145等比数列公式：设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*r^(n-1)等比数列的前n项和公式为：Sₙ=(a₁*(r^n-1))/(r-1)(当r≠1)Sₙ=n*a₁(当r=1)等比数列的前n项和为首项与第n项乘以公比的n次方之差除以公比减1的结果。

等比数列的示例：2,6,18,54,162,...以此等比数列的首项a₁=2，公比r=3，求该等比数列的第n项aₙ和前n项和Sₙ。

首先，利用等比数列的通项公式可以求得任意一项的值：aₙ=a₁*r^(n-1)假设要求第6项a₆，则代入a₁=2,r=3,n=6：a₆=2*3^(6-1)=2*3^5=2*3*3*3*3*3=2*243=486其次，利用等比数列的前n项和公式可以求得前n项的和：Sₙ=(a₁*(r^n-1))/(r-1)假设要求前6项和S₆，则代入a₁=2,r=3,n=6：S₆=(2*(3^6-1))/(3-1)=(2*(729-1))/2=(2*728)/2=728因此，等比数列2,6,18,54,162,...的第6项为486，前6项和为728综上所述，等差数列和等比数列是数学中常见的数列，通过等差数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的通项公式和前n项和公式，可以方便地计算出数列中任意一项的值和前n项的和。

一、等差数列1.定义：)(1常数d a a n n =-+2.通项公式：d n a )1(a 1n -+=3.变式：d m n a m n )(a -+= mn a a d m n --= 4.前n 项和：2)(1n a a S n n +=或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=⇔+=⇔+=⇔++-11122 7.性质① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=-n S a n n 二、等比数列1.定义：常数）(a 1q a nn =+ 2.通项公式：11a -=n n q a3.变式： m n m n q a -=a m n mn q a a -= 4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q qq a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 qq a S n n --=11()1 )1(≠q 5.变式：m nm n qq S S --=11 )1(≠q 6.性质：① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅② p n m 2=+ 则 2p n m a a a =⋅③ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a三、等差与等比的类比{}n a 等差{}n b 等差 和积 差商 系数指数 “0”“1”四、数列求和1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和：前如求n n n )}1({+ )2)(1(31 )1(21)12)(1(61 )321()321( )()22()11(])1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n2．裂项相消法．).11(11}{1 111+++-=⋅⋅n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分常见的拆项方法有：).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()121121(21)12)(12(1)2(111)1(1)1(111≥-=-+=⋅-=--=+++-+=+++--=+-+-=+-+-n S S a n n n n C C C b a b a ba n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n ；；；；；； 3.错位相减法．列的求和．数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解，一般利用等比数列求和公式 项和公式的推导：前如：等比数列n a n }{11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S .)1(11)1()1( 111⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=⇒q q q a a qq a q na n n 。