第4章 自由曲线与曲面建模
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《自由曲线与曲面》PPT课件
7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
曲线曲面建模经典方法
(1)常用术语
Ø 插值（interpolate）：给定一组精确的数值点，要求 构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满 足光顺的要求。 Ø 逼近（approach）：对于一组给定的型值点，要求构 造一个函数，使之在整体上最接近这些点而不一定通过 这些点。 Ø 拟合（fit）：指已知某函数的若干离散函数值 {f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意 义)最小。
x = at + bt + ct + d
y = et 3 + ft 2 + gt + h
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。 7） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。
讲课老师：张胜兰
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讲课老师：张胜兰
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1、几何设计的基本概念
在自由曲线和曲面描述中常用几种类型的点：
Degree 3, 5 poles, 2 segments
3 2
+ +
2
+
4
1
5 3
+ 1
+
特征点（控制顶 点）：用来确定 曲线曲面的形状 位置，但曲线或 曲面不一定经过 该点。 型值点：用于确 定曲线或曲面的 位置与形状并且 经过该点。
讲课老师：张胜兰
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6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。 如一条二维三次曲线的显式表示为：
《自由曲线与曲面》课件
课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
添加标题
添加标题
提问与互动：5分钟 添加标题
添加标题
自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
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自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
自由曲线与曲面
主要内容
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
第4章 曲线与曲面的创建与编辑
4.4.2 曲面的特殊结构 但是，在建模过程中遇见的很多曲面，从形态上来看与标准结构不同，其实这些
曲面也是属于4边结构，只是4个边的状态比较特殊，具体分类如下： (1)具有收敛点的曲面。
图4-51所示的3边曲面看似不遵循4边曲面的构造，显示其CV点，可以看出曲面具 有两个走向，只是其中一个走向的线在一端汇聚为一点（称为奇点或收敛点），是4 边曲面的特殊状态。也就是一个边的长度为0。虽然3边曲面也可以看做属于4边曲面 ，但是在构建曲面的时候，应尽量避免3边曲面，也就是尽量不要构建有奇点的曲面 （不包括由旋转命令形成的带有奇点的曲面）。
第4章 曲线与曲面的创建与编辑
4.1
曲线绘制
4.2
曲线形态编辑
4.3
曲线编辑工具
4.4
曲面的结构
4.5
曲面连续性的检测与分析工具
4.6
曲面的创建工具
4.7
曲面的编辑工具
4.1曲线绘制
4.1.1 关键点几何曲线 Rhino提供了一系列通过指定关键点来绘制标准几何曲线的工具。这类曲线的
绘制方式非常简单，只需要依据指令栏的提示，输入关键点的坐标，或鼠标光标取 点，即可完成绘制。
【圆】子工具列提供了多种绘制圆的命令，分别是：直径画圆、三点画圆、环 绕曲线画圆、切线画圆 、画与工作平面垂直的圆 、可塑圆与逼近数个点画圆。 这些不同的画圆方式同时以选项的形式集成在以【圆: 中心点、半径】命令的输入 圆心时的指令栏状态中。
(2)【圆: 环绕曲线】。 环绕曲线方式画圆可以绘制与指定曲线或曲面边缘上任意一点切线相垂直的圆。
图4-5
二、标准圆与可塑圆如何应用
上面阐述了标准与可塑圆的区别，那么在实际应用中，标准圆和可塑圆应该怎 么使用呢？在创建一个曲面时，标准圆和可塑圆最好不要混合使用。例如：在单轨 创建曲面时，若断面曲线是圆造型时，断面曲线要么都使用标准圆，要么都是用阶 数相同、CV点数量相同的可塑圆。不要有些断面曲线用标准圆，有些断面用可塑圆 。
CATIA.V5自由曲面设计
第四章 自由风格曲面设计CATIA V5基于修改曲面的特征网格，因此，采用这种方法所构建的曲面具有很高的曲面光顺度和质量，非常适合于诸如汽车外形A 级表面的造型设计等。
该功能模块不仅提供了强有力的曲面生成与修改方法，而且还为曲面之间的匹配、拟合以及外形整体变形等高级编辑修改功能提供了丰富的工具。
CATIA V5的自由风格外形设计由自由风格造型器（FreeStyle Shaper ）、自由风格优化器（FreeStyle Optimizer ）和基于曲线的自由风格造型器（FreeStyle Profile ）组成。
自由风格造型器为生成与修改曲面提供了丰富的手段。
自由风格优化器为曲面的超级拟合和外形整体变形等高级修改功能提供了强有力的建模手段。
4.1 相关的图标菜单CATIA V5的自由风格曲面设计由以下几组图标菜单组组成：曲线生成图标菜单组（Curve Creation ）、曲面生成图标菜单组（Surface Creation ）、外形编辑图标菜单组（Shape Modification ）、几何操作图标菜单组（Operations ）、外形分析图标菜单组（Shape Analysis ）和相关工具图标菜单组（Tools ）。
4.1.1 曲线生成图标菜单组（Curve Creation ）在曲线生成图标菜单组中为用户提供了以下生成三维曲线的工具，用这些工具生成的曲线，既可以用来编辑曲面（如切割曲面等），也可以用来直接生成曲面（如风格扫描曲面等）。
3D Curve 创建三维曲线Curve on Surface 创建位于曲面上的曲线Project Curve 创建投影曲线FreeStyle Blend Curve 创建风格桥接曲线Styling Corner 创建风格拐角Match Curve 创建匹配曲线4.1.2 曲面生成图标菜单组（Surface Creation ）自由风格外形设计模块为用户提供了丰富的生成曲面工具，用这些工具不仅可以方便、快捷地生成简单的平面片、拉伸面、回转面等基本曲面，还可以生成风格扫描面、网格面等复杂曲面。
计算机图形学-自由曲线与曲面2
– 形状控制直观 – 设计灵活
哈工大计算机学院 苏小红
22
Bezier曲线（22/22）
• 缺点：
– 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 – 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给
定顶点值的加权平均 – 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 – 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 – 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
• 苏晓红，李东，王宇颖．基于曲率参数的NURBS曲线插值 ．哈尔滨工业大学学报，2001,1,33(1):108-111
哈工大计算机学院 苏小红
44
B样条曲线（19/19）
• 优点：
– 与控制多边形的外形更接近 – 局部修改能力 – 任意形状，包括尖点、直线的曲线 – 易于拼接 – 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
– 第2段：
P2, P3, …, Pn, Pn+1, Pn+2
– 第m段：
Pm, …, Pn+m-1, Pn+m
哈工大计算机学院 苏小红
27
B样条曲线（4/19）
• 为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段
• 基函数为B样条函数
规定0/0=0
哈工大计算机学院 苏小红
28
B样条曲线（4/19）
• deboor-Cox 递归公式
第四章 自由曲线与曲面（二）
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
2
外形设计的要求与特点
• 初始给定的型值点不精确，不必点点通过 • 性能、美观、自由度大 • 想想画家是如何画汽车的？
哈工大计算机学院 苏小红
22
Bezier曲线（22/22）
• 缺点：
– 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 – 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给
定顶点值的加权平均 – 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 – 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 – 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
• 苏晓红，李东，王宇颖．基于曲率参数的NURBS曲线插值 ．哈尔滨工业大学学报，2001,1,33(1):108-111
哈工大计算机学院 苏小红
44
B样条曲线（19/19）
• 优点：
– 与控制多边形的外形更接近 – 局部修改能力 – 任意形状，包括尖点、直线的曲线 – 易于拼接 – 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
– 第2段：
P2, P3, …, Pn, Pn+1, Pn+2
– 第m段：
Pm, …, Pn+m-1, Pn+m
哈工大计算机学院 苏小红
27
B样条曲线（4/19）
• 为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段
• 基函数为B样条函数
规定0/0=0
哈工大计算机学院 苏小红
28
B样条曲线（4/19）
• deboor-Cox 递归公式
第四章 自由曲线与曲面（二）
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
2
外形设计的要求与特点
• 初始给定的型值点不精确，不必点点通过 • 性能、美观、自由度大 • 想想画家是如何画汽车的？
计算机图形学04：自由曲线和曲面 共65页PPT资料
G
H
M
H
T |t1
GH
M
H
1
2
R1
3
三次Hermite曲线
合并
1 1 0 0
GHMH0 0
1 1
1 0
12P0
P1 R0
取为
R1GH
0 1 0 3
解
1 1 0 01 1 0 3 2
MH
0 0
条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如
Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
§1 参数样条曲线
曲线的三种坐标表示法 直角坐标表示
42
B样条曲线
定义：
给定m+n+1个空间向量 Bk ，(k=0,1,…,m+n)，称 n次参数曲线
第4讲：自由曲线和曲面
第四章：自由曲线和曲面
参数样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 自由曲面
概述
从计算机对形状处理的角度来看
（1）唯一性 （2）几何不变性：
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行 拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状 不变。
（3）易于定界 （4）统一性：
P[x(t),y(t),z(t)T ]
P ( t ) 的 k 阶导数
dk d P k (tt) dd kxk (tt),dd kyk (tt),dd kzk (tt) T,k0,1,
(CATIA逆向设计基础)第4章自由曲面设计模块
03 Catia自由曲面设计模块 介绍
Catia的自由曲面设计工具
Catia的自由曲面设计工具提供了强大的建模能力，可以创建复杂的曲面和形状，满 足各种设计需求。
该工具集成了多种建模技术，如曲线、曲面和实体建模，使得用户能够灵活地创建 和编辑自由曲面。
用户可以通过交互式界面轻松地调整曲面的形状和参数，实现高效的设计和修改。
曲面质量评估与优化
Catia提供了曲面质量评估工具，可以帮助用户检 查曲面的连续性、几何误差和其他质量指标。
通过分析曲面的质量，用户可以识别和解决潜在 的问题，提高曲面的准确性和美观度。
优化工具可以帮助用户改善曲面的形状、光顺性 和其他属性，提高设计效率和质量。
曲面数据的管理与导
Catia提供了强大的数据管理 功能，允许用户组织和存储曲 面数据，方便后续的编辑和引
Catia软件将进一步集成更 多的设计和分析工具，以 提供更全面的解决方案。
智能化
借助人工智能和机器学习 技术，Catia软件将实现智 能化的设计和优化，提高 设计效率和质量。
云化
Catia软件将加强与云计算 的结合，实现数据共享、 远程协作等功能，提升用 户体验和工作效率。
自由曲面设计的未来应用场景
Catia的自由曲面设计模块提供了多种曲线和曲面的创建、编 辑和分析工具，支持设计师进行复杂曲面造型和优化。同时 ，Catia还支持与其他CAD软件的集成，方便设计师进行数据 交换和协同工作。
02 自由曲面设计基础
曲面几何基础
曲面的定义
曲面是一组点在三维空间中的集合，这些点由连续的参数 曲线定义。曲面可以由一个或多个参数方程表示，其中参 数可以是二维平面上的一个点或角度。
编辑曲面
编辑曲面包括调整曲面的形状、修改曲面的参数方程、分割曲面等操作。 在Catia中，可以使用多种工具来编辑曲面，如移动、旋转、缩放等。
第4章自由曲线和曲面
逼近(approximation)方法要求生成的曲线靠近 每个型值点，但不一定要求通过每个点。逼近方法 有最小二乘法，Bezier方法，B样条方法等。
用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合 方法。
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
3
(C)
4.1.3 参数连续性条件(Parameter continuity conditions) 0阶导数连续性，记作C0连续，是指曲线相连。即第
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
18
(C)
2020/4/6
Hermit三次曲线2绘制演示
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
19
(C)
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
20
(C)
Hermit三次曲线算法主要实现子程序实例
void HermitCurve(HDC hdc)
{
int i; //8个型值点坐标
如果是平面曲线，则只有x和y分量。
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
15
(C)
例：给定８个型值点，其中起始点和终止点是同一 个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形， 具体坐标位置如下：
（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）, （370,100）,（420,200）,（420,300）,（100,300）．
1．样条曲线(spline curve ) 在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项
式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足 特定连续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲 线来描述。样条用来设计曲线和曲面形状，典型 的CAD应用包括汽车、飞机和航天飞机表面设计 以及船壳设计。
用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合 方法。
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
3
(C)
4.1.3 参数连续性条件(Parameter continuity conditions) 0阶导数连续性，记作C0连续，是指曲线相连。即第
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
18
(C)
2020/4/6
Hermit三次曲线2绘制演示
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
19
(C)
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
20
(C)
Hermit三次曲线算法主要实现子程序实例
void HermitCurve(HDC hdc)
{
int i; //8个型值点坐标
如果是平面曲线，则只有x和y分量。
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
15
(C)
例：给定８个型值点，其中起始点和终止点是同一 个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形， 具体坐标位置如下：
（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）, （370,100）,（420,200）,（420,300）,（100,300）．
1．样条曲线(spline curve ) 在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项
式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足 特定连续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲 线来描述。样条用来设计曲线和曲面形状，典型 的CAD应用包括汽车、飞机和航天飞机表面设计 以及船壳设计。
第4章 自由曲线与曲面2[52页]
![第4章 自由曲线与曲面2[52页]](https://img.taocdn.com/s1/m/5a9b4f5902020740bf1e9b14.png)
哈工大计算机学院 苏小红
3
Bezier曲线
• 1962年，法国雷诺汽车公司，P.E.Bezier工程师 • 以“逼近”为基础 • UNISURF • 1972年雷诺汽车公司正式使用 • 稍早于Bezier，法国雪铁龙汽车公司，de Casteljau • Flash的绘图工具 • 北大方正，字型的轮廓线
11
Bezier曲线（11/22）
– 拟局部性
– 形状的易控性（演示）
哈工大计算机学院 苏小红
12
Bezier曲线（12/22）
• 二次Bezier曲线
– n=2 – 抛物线
P1
P(0.5)
基函数
P(0)
P0
M
P(1)
P2
哈工大计算机学院 苏小红
13
Bezier曲线（13/22）
• 三次Bezier曲线
哈工大计算机学院 苏小红
23
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
24
B样条曲线（1/19）
• 产生：
– 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 – 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启
(t
)
C30 (1 t)3
1 3 3 1 1
GBEZ
•
C31t(1
t
)2
C32tC2 (331t3
t
)
GBEZ
•
0 0 0
3 0 0
6
3
t
3 3t2
3
Bezier曲线
• 1962年，法国雷诺汽车公司，P.E.Bezier工程师 • 以“逼近”为基础 • UNISURF • 1972年雷诺汽车公司正式使用 • 稍早于Bezier，法国雪铁龙汽车公司，de Casteljau • Flash的绘图工具 • 北大方正，字型的轮廓线
11
Bezier曲线（11/22）
– 拟局部性
– 形状的易控性（演示）
哈工大计算机学院 苏小红
12
Bezier曲线（12/22）
• 二次Bezier曲线
– n=2 – 抛物线
P1
P(0.5)
基函数
P(0)
P0
M
P(1)
P2
哈工大计算机学院 苏小红
13
Bezier曲线（13/22）
• 三次Bezier曲线
哈工大计算机学院 苏小红
23
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
24
B样条曲线（1/19）
• 产生：
– 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 – 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启
(t
)
C30 (1 t)3
1 3 3 1 1
GBEZ
•
C31t(1
t
)2
C32tC2 (331t3
t
)
GBEZ
•
0 0 0
3 0 0
6
3
t
3 3t2
计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2
(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线
n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：
26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
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其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示 为：
x = at3 + bt2 + ct + d y = et3 + ft 2 + gt + h
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。
（7） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计 算。
曲线曲面 35
CAD/CAM
4.1.2 Hermite曲线
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以 及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一 条三次参数曲线可以表示为：
曲线曲面 31
CAD/CAM
曲线和曲面的参数表示
在解析几何中，空间曲线上一点P的每个 坐标被表示成参数化u的函数：
同样在三维空间内一张任意曲面可用带参 数u、v的参数方程表示为：
曲线曲面 32
CAD/CAM
如下图所示，曲面有两族参数曲线r (u,vj)和r (ui,v)，通常简称u线和v线，u线 与v线的交点是r(ui,vj)。
曲线曲面 15
CAD/CAM
M文件
• clc
• clear
• [th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:. 05:1); %在极坐标系下设置一个 73×21的网格矩阵，
• [X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿 坐标系%
• Z=X+i.*Y;
• F=abs((Z.^4-1).^(1/4)); • surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形
构造曲面的方法：首先通过一系列离散 点确定一组曲线（称为控制曲线），再由这 些曲线构造要求的曲面。
曲线曲面 26
CAD/CAM
第4章 自由曲线与自由曲面建模
4.1 自由曲线 4.2 自由曲面
CAD/CAM 4.1 自由曲线
4.1.1 曲线曲面描述的基本原理 4.1.2 Hermite曲线 4.1.3 Bezier曲线 4.1.4 B样条曲线 4.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线
Seat Toledo Successor
(Toledo, coupe, station wagon, and convertible)
曲线曲面 21
CAD/CAM
波音飞机
曲线曲面 22
CAD/CAM
Airbus（空客）飞机
空中客车四个飞机系列： • 单通道A320系列飞机
(A318/A319/A320/A321) • 宽体A300/A310系列飞机 • 远程A330/340系列飞机 • A380双层超大型客机
曲线曲面 36
6
CAD/CAM
k0 = p0 k 1 = p′0 k 2 = 3(p1 − p0 ) − 2p′0 − p′1 k 3 = 2(p1 − p0 ) + p′0 + p′1
于是，
( ) ( ) p = p(t) = p 0 (1 − 3t 2 + 2t 3 ) + p1 3t 2 − 2t 3 + p′0 (t − 2t 2 + t 3 ) + p′1 − t 2 + t 3
自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或 参数曲面。
空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹， 其矢量函数为：
P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1]
同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：
P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1]
CAD/CAM
上模
压边圈
下模
曲线曲面 23
模具主模块
模具型面
＋ ＋
＋
曲线曲面 24
4
CAD/CAM
思考题
• 1 其它需要采用复杂曲面的产 品有哪些,请举例说明?
• 2 如何构造这些复杂曲面?
曲线曲面 25
CAD/CAM
工程设计中常遇到具有复杂形体的产品，如 汽车外壳、飞机的机身、电话机等，这些产 品由复合曲面构成，其曲面生成的过程是： 首先确定一系列的离散点，再由一组点来生 成一条曲线或一个曲面，通过多条曲线或多 个曲面之间的光滑连接，构造达到要求的复 杂形状。
VW Bora VW Beetle
(3+5 door, station (Bora sedan, coupe, (New Beetle,
wagon, convertible, convertible, and New Beetle
and Minivan)
station wagon) convertible)
（3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线 或曲面具有至少一阶连续导数。
（4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一
的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相
关。但仍有一些客观标准及处理方法。
曲线曲面 30
5
CAD/CAM 2. 曲线曲面的数学描述方法
曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函 数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示 存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问 题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲 面。
举例：汽车车身、飞机机身、模具型面
曲线曲面 19
CAD/CAM 汽车车身三维曲面模型
曲线曲面 20
CAD/CAM 大众汽车
Source: Development Car Division
Audi A3 (3+ 5-door)
Audi TT coupe
Audi TT roadster
VW Golf IV
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
CAD/CAM 渐开线的参数方程
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
• SolidWorks 2007曲面建模实例精解 曹岩主编 2007-7-12
• SolidWorks 2005曲面建模实例精解 曹岩, 陈桦主 编
• CATIA V5R15曲面建模实例精解 曹岩主编 • Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解
曹岩主编 2008-7-15
曲线曲面 13
基于反求测 CAD/CAM 和Pro/e的混合网格曲面
建模过程
曲线曲面 14
CAD/CAM 以马鞍形为例：
• （马鞍型曲面z = ( - x4 + y4 -x2 - y2 - 2xy) /30来进行说 明。设定x = - 4 ∶015∶4; y = x）
• 利用MATLAห้องสมุดไป่ตู้得到公式曲面 数据。利用Matlab 取得生 成曲面需要的数据,将结果 存储于. ibl 中，利用ProE 边界混成曲面命令可以直接 从. ibl 文件曲线，进而生成 曲面即可.
曲线曲面 12
2
CAD/CAM
外摆线
• 例3：外摆线 • 采用直角坐标系 • r1=100 • r2=50 • a=60 • u1 =t* 45 • u2=u1*r1/r2 • x=-a*sin(u1+u2)+(r1+r2)*sin(u1) • y=-a*cos(u1+u2)+(r1+r2)*cos(u1) • z=0
矩阵表达式为 ：
⎡ 1 0 0 0 ⎤⎡p0 ⎤
[ ] p = p(t) =
1t t2 t3
⎢ ⎢
0
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎢p
1
⎥ ⎥
⎢− 3
⎢ ⎣
2
3 −2
−2 1
− 1⎥
曲线曲面 5
面齿轮
曲线曲面 6
1
CAD/CAM
• 齿轮类零件 • 涡轮类零件 • 凸轮类零件 • 叶轮叶片类零件
CAD/CAM
离心压缩机叶轮 曲线曲面 7
曲线曲面 8
CAD/CAM 圆的参数方程
• 例1：圆 • 参数方程文件：Rel.ptd • /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 • /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z • /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 • /* 半径 = 50，参数方程将是: • db=100 • rb=db/2 • x = rb * cos ( t * 360 ) • y = rb* sin ( t * 360 ) • z=0
Skoda Octavia
(Octavia sedan, and station wagon)
• VW plans for 19 vehicles based on A-platform
• VW estimates development and investment cost savings of $1.5 billion/yr using platforms
CAD/CAM
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所
陈永亮
曲线曲面 1
CAD/CAM 典型机械零件
曲线曲面 2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面 3
曲线曲面 4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
曲线曲面 18
x = at3 + bt2 + ct + d y = et3 + ft 2 + gt + h
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。
（7） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计 算。
曲线曲面 35
CAD/CAM
4.1.2 Hermite曲线
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以 及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一 条三次参数曲线可以表示为：
曲线曲面 31
CAD/CAM
曲线和曲面的参数表示
在解析几何中，空间曲线上一点P的每个 坐标被表示成参数化u的函数：
同样在三维空间内一张任意曲面可用带参 数u、v的参数方程表示为：
曲线曲面 32
CAD/CAM
如下图所示，曲面有两族参数曲线r (u,vj)和r (ui,v)，通常简称u线和v线，u线 与v线的交点是r(ui,vj)。
曲线曲面 15
CAD/CAM
M文件
• clc
• clear
• [th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:. 05:1); %在极坐标系下设置一个 73×21的网格矩阵，
• [X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿 坐标系%
• Z=X+i.*Y;
• F=abs((Z.^4-1).^(1/4)); • surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形
构造曲面的方法：首先通过一系列离散 点确定一组曲线（称为控制曲线），再由这 些曲线构造要求的曲面。
曲线曲面 26
CAD/CAM
第4章 自由曲线与自由曲面建模
4.1 自由曲线 4.2 自由曲面
CAD/CAM 4.1 自由曲线
4.1.1 曲线曲面描述的基本原理 4.1.2 Hermite曲线 4.1.3 Bezier曲线 4.1.4 B样条曲线 4.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线
Seat Toledo Successor
(Toledo, coupe, station wagon, and convertible)
曲线曲面 21
CAD/CAM
波音飞机
曲线曲面 22
CAD/CAM
Airbus（空客）飞机
空中客车四个飞机系列： • 单通道A320系列飞机
(A318/A319/A320/A321) • 宽体A300/A310系列飞机 • 远程A330/340系列飞机 • A380双层超大型客机
曲线曲面 36
6
CAD/CAM
k0 = p0 k 1 = p′0 k 2 = 3(p1 − p0 ) − 2p′0 − p′1 k 3 = 2(p1 − p0 ) + p′0 + p′1
于是，
( ) ( ) p = p(t) = p 0 (1 − 3t 2 + 2t 3 ) + p1 3t 2 − 2t 3 + p′0 (t − 2t 2 + t 3 ) + p′1 − t 2 + t 3
自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或 参数曲面。
空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹， 其矢量函数为：
P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1]
同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：
P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1]
CAD/CAM
上模
压边圈
下模
曲线曲面 23
模具主模块
模具型面
＋ ＋
＋
曲线曲面 24
4
CAD/CAM
思考题
• 1 其它需要采用复杂曲面的产 品有哪些,请举例说明?
• 2 如何构造这些复杂曲面?
曲线曲面 25
CAD/CAM
工程设计中常遇到具有复杂形体的产品，如 汽车外壳、飞机的机身、电话机等，这些产 品由复合曲面构成，其曲面生成的过程是： 首先确定一系列的离散点，再由一组点来生 成一条曲线或一个曲面，通过多条曲线或多 个曲面之间的光滑连接，构造达到要求的复 杂形状。
VW Bora VW Beetle
(3+5 door, station (Bora sedan, coupe, (New Beetle,
wagon, convertible, convertible, and New Beetle
and Minivan)
station wagon) convertible)
（3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线 或曲面具有至少一阶连续导数。
（4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一
的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相
关。但仍有一些客观标准及处理方法。
曲线曲面 30
5
CAD/CAM 2. 曲线曲面的数学描述方法
曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函 数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示 存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问 题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲 面。
举例：汽车车身、飞机机身、模具型面
曲线曲面 19
CAD/CAM 汽车车身三维曲面模型
曲线曲面 20
CAD/CAM 大众汽车
Source: Development Car Division
Audi A3 (3+ 5-door)
Audi TT coupe
Audi TT roadster
VW Golf IV
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
CAD/CAM 渐开线的参数方程
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
• SolidWorks 2007曲面建模实例精解 曹岩主编 2007-7-12
• SolidWorks 2005曲面建模实例精解 曹岩, 陈桦主 编
• CATIA V5R15曲面建模实例精解 曹岩主编 • Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解
曹岩主编 2008-7-15
曲线曲面 13
基于反求测 CAD/CAM 和Pro/e的混合网格曲面
建模过程
曲线曲面 14
CAD/CAM 以马鞍形为例：
• （马鞍型曲面z = ( - x4 + y4 -x2 - y2 - 2xy) /30来进行说 明。设定x = - 4 ∶015∶4; y = x）
• 利用MATLAห้องสมุดไป่ตู้得到公式曲面 数据。利用Matlab 取得生 成曲面需要的数据,将结果 存储于. ibl 中，利用ProE 边界混成曲面命令可以直接 从. ibl 文件曲线，进而生成 曲面即可.
曲线曲面 12
2
CAD/CAM
外摆线
• 例3：外摆线 • 采用直角坐标系 • r1=100 • r2=50 • a=60 • u1 =t* 45 • u2=u1*r1/r2 • x=-a*sin(u1+u2)+(r1+r2)*sin(u1) • y=-a*cos(u1+u2)+(r1+r2)*cos(u1) • z=0
矩阵表达式为 ：
⎡ 1 0 0 0 ⎤⎡p0 ⎤
[ ] p = p(t) =
1t t2 t3
⎢ ⎢
0
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎢p
1
⎥ ⎥
⎢− 3
⎢ ⎣
2
3 −2
−2 1
− 1⎥
曲线曲面 5
面齿轮
曲线曲面 6
1
CAD/CAM
• 齿轮类零件 • 涡轮类零件 • 凸轮类零件 • 叶轮叶片类零件
CAD/CAM
离心压缩机叶轮 曲线曲面 7
曲线曲面 8
CAD/CAM 圆的参数方程
• 例1：圆 • 参数方程文件：Rel.ptd • /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 • /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z • /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 • /* 半径 = 50，参数方程将是: • db=100 • rb=db/2 • x = rb * cos ( t * 360 ) • y = rb* sin ( t * 360 ) • z=0
Skoda Octavia
(Octavia sedan, and station wagon)
• VW plans for 19 vehicles based on A-platform
• VW estimates development and investment cost savings of $1.5 billion/yr using platforms
CAD/CAM
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所
陈永亮
曲线曲面 1
CAD/CAM 典型机械零件
曲线曲面 2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面 3
曲线曲面 4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
曲线曲面 18