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第29讲（30讲）数列求和求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2d.②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，S n＝na1；(ⅱ)当q≠1时，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；②1(2n－1)(2n＋1)＝；③1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.1．(教材改编)数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝1等于()n(n＋1)，则S5A．1 B.56 C.16 D.1302．数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于() A．200B．－200C．400D．－4003．等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，其前n项和为S n S10项的和为()A．120B．70C．75D．1004．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝________.5．数列{a n}的通项公式为a n＝n cos nπ2，其前n项和为S n，则S2017＝________.题型一分组转化法求和例1已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．引申探究例1(2)中，求数列{b n}的前n项和T n.已知数列{an}的通项公式是a n＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n项和S n.题型二错位相减法求和例2(2015·湖北)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n.已知数列{an}的各项均为正数，S n是数列{a n}前n项和且4S n＝a2n＋2a n－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n＝2n，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的值．题型三裂项相消法求和命题点1形如a n＝1n(n＋k)型例3设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1(a1＋1)＋1a2(a2＋1)＋…＋1a n(a n＋1)＜13.命题点2形如a n＝1n＋n＋k型例4已知函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)，令a n＝1f(n＋1)＋f(n)，n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n，则S2017＝________.在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足S2n＝an1(1)求S n的表达式；(2)设b n＝S n2n＋1，求{b n }的前n项和T n.[方法与技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和．宗老师讲高考[失误与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．。
课题：3・3等麦象列的悅n 境如(一〉教学目的：1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并 能利川它求和•解决数列和的最值问题,等差数列求和公式的推导，采川了倒序相加法，思路 的获得得益丁•等到差数列任意的笫k 项与倒数第k 项的和都等于首项・末项的和这一性质的 认识和发现•通过对等差数列求和公式的推导，使学牛能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程：一、复习引入：首先冋忆一下前儿节课所学主要内容：1. 等差数列的定义：a n - a n _｛ =d , (n^2, nGN +)2. 等差数列的通项公式：a n = a x 4-(n- l)d (a n = a m + (n - m)d 或 a n =pn+q (p 、q 是常数))3. 几种计算公差d 的方法：①d= % —⑺ ②d=乞二^ ③d=a n-1 n — m4. 等差中项：人=凹0 4,/1,伉成筹差数列 25. 等差数列的性质：m+n=p+q => a m + a n = a p + a q (m, n, p, q WN)6. 数列的前n 项和：数列｛ci n ｝111» d] + -------------- + Q”称为数列｛cz“ ｝的前n 项和，记为S“ •“小故事”：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁吋,有一次老师出了一道题目，老师说：“现 在给大家出道题目：1+2+…100二?"过了两分钟,止当大家在：1+2二3； 3+3二6； 4+6二10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说: “1+2+3+・・・+100 二5050.教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1 + 100二101；2+99=101； -50+51=101,所以101X50 二5050” 这个故事告诉我们：(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法.二. 讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下而一层放-•支铅笔，往上每一层都比它下血一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？这是一堆放铅笔的V形架，这形同前而所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以川一个式子来表示这种关系，利川它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题乂该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1, 2, 3,…，弘…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可川首项、末项及项数料來表示，冃任意的第R项与倒数第R项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前料项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.1.等差数列的前〃项和公式=证明：S“ = Q] +。
数列前n项和的求和公式31109
数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：d n n
na a a n S n n 2)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪
⎨⎧≠--=--==)1(11)1()
1(111q q q
a a
q q a
q na S n n n
3、)1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)1
2)(1(61
12++==
∑=n n n k S n
k n
5、213)]1(2
1
[+==∑=n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32
的前n 项和.
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=n n
S n S n f 的最大值.
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·
b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.
[例10] 在数列{a n }中，1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
[例11] 求证：
1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和 [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=1
1))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.。
