生成树
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生成树协议的作用
生成树协议的作用生成树协议（Spanning Tree Protocol，STP）是一种网络协议，用于在局域网中防止网络环路的发生，保证数据包在网络中能够按照预期的路径传输。
生成树协议的作用主要体现在以下几个方面。
首先，生成树协议可以有效地防止网络环路的发生。
在一个局域网中，如果存在多条路径连接同一组设备，如果不采取任何措施，数据包可能会在网络中形成环路，导致数据包不断在网络中循环传输，最终导致网络拥堵甚至瘫痪。
生成树协议通过计算网络拓扑结构，选择一条主干路径，将其它冗余路径屏蔽，从而有效地避免了网络环路的发生。
其次，生成树协议可以提高网络的可靠性和稳定性。
通过生成树协议的工作原理，网络管理员可以在网络中设置主干路径，将冗余路径屏蔽，从而确保数据包在网络中能够按照预期的路径传输。
这样一来，即使网络中的某些链路出现故障，也不会对整个网络造成影响，保证了网络的可靠性和稳定性。
此外，生成树协议还可以提高网络的传输效率。
在生成树协议的作用下，网络中只有一条主干路径处于活跃状态，其它冗余路径被屏蔽，这样可以避免数据包在网络中不断循环传输，提高了网络的传输效率。
同时，生成树协议还可以根据网络的拓扑结构自动调整主干路径，使得网络能够在不同的拓扑结构下都能够保持高效的传输。
最后，生成树协议可以简化网络的管理和维护。
在一个复杂的网络环境中，如果没有生成树协议的支持，网络管理员需要手动设置网络中的路径，保证数据包按照预期的路径传输。
而有了生成树协议，网络管理员只需要设置一条主干路径，其它冗余路径会被自动屏蔽，大大简化了网络的管理和维护工作。
综上所述，生成树协议在局域网中发挥着至关重要的作用。
它不仅可以有效地防止网络环路的发生，提高了网络的可靠性和稳定性，还能够提高网络的传输效率，简化网络的管理和维护工作。
因此，对于任何一个需要保证网络正常运行的组织或者企业来说，都应该充分重视生成树协议的作用，合理地配置和管理网络，以确保网络能够高效、稳定地运行。
生成树协议原理
生成树协议原理生成树协议是一种基于链路层的协议，它通常在以太网交换机上实现，用于管理以太网局域网中的网络拓扑。
生成树协议的工作原理是通过使用一个根桥（Root Bridge）和多个非根桥（Non-Root Bridge）来建立一颗树状结构，以确保网络中没有环路存在。
生成树协议的核心算法是通过一种称为生成树算法（Spanning Tree Algorithm）来找到从根桥到每个非根桥的最短路径，从而构建一颗最小生成树。
最小生成树是一种能够连接所有节点并且没有环路的树状结构，它是生成树协议的基础，用于确定网络中数据包的传输路径。
生成树协议的工作流程包括以下几个关键步骤：1. 选择根桥：在网络中通过比较桥（Bridge）的优先级和MAC地址来确定根桥，根桥是生成树中的根节点，所有数据包都将通过根桥进行转发。
2. 计算生成树：每个非根桥通过生成树算法计算到根桥的最短路径，确定自己在生成树中的位置，并将该信息传播到整个网络中。
3. 确定端口状态：每个桥根据生成树信息确定哪些端口可以用于数据包的传输，哪些端口需要阻断以避免环路的产生。
4. 更新生成树：在网络拓扑发生变化时，生成树协议会重新计算生成树，并更新每个桥的状态，重新确定最佳路径。
5. 数据包转发：根据生成树确定的路径，数据包会被从源地址传输到目的地址，通过生成树结构保证数据包的正常传输。
生成树协议的优点是可以有效避免数据包在网络中的循环传输，提升网络通信的稳定性和可靠性。
生成树协议能够自动适应网络拓扑的变化，快速重新计算生成树，并重新确定最佳传输路径，从而保证网络快速恢复到正常状态。
然而，生成树协议也存在一些局限性。
生成树协议在网络中设置大量的桥和端口时，会造成网络拓扑复杂，生成树的计算和更新会消耗大量的网络资源。
此外，生成树协议需要在所有交换机上进行配置和管理，当网络规模较大时，配置和管理网络可能会变得困难。
为了解决生成树协议的一些局限性，IEEE制定了一系列的生成树协议标准，包括802.1D、802.1w和802.1s等。
c2-3
树
树
树
树
树
进一步思考：若从 进一步思考：若从K4中任去一边 e ，其生成 树棵数是多少？ 树棵数是多少？
τ ( K4 − e) = ?
τ ( Kn − e) = ?
τ ( Kn − e) = (n − 2)nn−3
树
进一步思考续….. 进一步思考续 .. 画出K 的所有非同构生成树。 画出 4的所有非同构生成树。 求如下图的所有非同构生成树。 求如下图的所有非同构生成树。
树
2 1 4
6
4 2，4， 5，5， ， ， ， ，
5 3
7
树
2，4，5，5，4 ， ， ， ，
2 4 1 5
4，5，5，4 ， ， ，
2 4 1 5
树
5，5，4 ， ，
2 4 1 3 5
5，4 ，
6 2 4 1 3 5
树
4
6 2 4 1 3 5 1 3 2 4 5 6
7
树
画出K 的所有生成树。 画出 4的所有生成树。
树
§2.3 生成树 定义1 定义 生成树 每个连通图至少包含一棵生成树 生成树的构造－－破圈法 生成树的构造－－破圈法 －－ 图G的生成树棵数计算 的生成树棵数计算
τ (G ) = τ (G − e ) + τ (G e )
树
τ(G)=
=
+
=(
+
)+(
树
+
)=
+(
+
) + (
+
) + (
+
)
树
树
更一般的呢？ 更一般的呢？ τ(Kn)=？ ？
生成树设置边缘端口的命令
生成树设置边缘端口的命令全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：生成树协议是以太网网络中最常用的链路层协议之一，用于组织网络中的交换机形成一个无环的拓扑结构，以提高网络的可靠性和稳定性。
在生成树协议中，交换机之间通过边缘端口进行通信，这些边缘端口是生成树协议中的关键配置。
本文将介绍如何设置生成树协议中的边缘端口，并给出相关的配置命令。
生成树协议中，交换机根据网络拓扑结构自动选择一条路径作为根路径，并禁止其他路径上的数据包传输，以避免网络中出现环路。
在生成树协议中，有三种端口类型，即根端口、指定端口和边缘端口。
根端口和指定端口是生成树协议中用于数据传输的端口，而边缘端口则是用于接入终端设备的端口，不参与生成树协议的计算。
设置生成树协议中的边缘端口可以有效地将终端设备直接接入网络，提高网络的性能和可靠性。
在设置边缘端口时，需要确保将与终端设备相连的端口配置为边缘端口，以避免生成树协议对这些端口进行阻塞导致数据无法传输。
下面是设置生成树协议边缘端口的相关配置命令：1. 进入交换机的全局配置模式：```Switch# configure terminal```2. 进入生成树协议配置模式：```Switch(config)# spanning-tree mst configurationSwitch(config-mst)# name exampleSwitch(config-mst)# revision 1Switch(config-mst)# instance 1 vlan 1```4. 配置边缘端口：生成树协议中的边缘端口设置是网络管理和配置中的重要环节，正确的配置可以提高网络的性能和可靠性，避免网络中出现环路和数据传输问题。
通过本文的介绍和相关配置命令，相信读者可以更好地理解生成树协议中的边缘端口配置，为网络管理和优化提供帮助。
第二篇示例：生成树（Spanning Tree Protocol）是一种用于在网络中防止环路的协议，它通过选择一条最优路径来避免数据包在网络中无限循环。
生成树的名词解释
生成树的名词解释生成树（Spanning Tree）是图论中的一个重要概念，用来描述在一个无向连通图中连接所有顶点的极小连通子图。
在一个无向连通图中，如果能够找到一颗包含所有顶点且边数最少的子图，那么这个子图就是该图的生成树。
生成树的概念最早由Otto Schönflies于1885年提出，并且在图论研究和实际应用中得到了广泛的运用。
生成树在电网规划、通信网络设计、计算机网络以及城市交通规划等领域都有着重要的应用价值。
生成树的定义可以用简洁的方式表述：在一个无向连通图中，生成树是保留了原图的所有顶点，但只保留了足够的边来使得这个子图连通，并且不包含任何环的一种连通子图。
换句话说，生成树是一个无向连通图中的极小连通子图，它连接了所有的顶点，并且不存在回路。
生成树具有很多重要的性质和应用。
首先，生成树的边数比原图的顶点数少一个。
这是因为生成树是一个连通子图，而且不包含任何环。
因此，生成树中的边数等于原图的顶点数减去1。
这个性质经常用于生成树的构造和推导。
其次，生成树可以用于表示图中的最小连接网络。
在一个无向连通图中，如果存在多个连通子图，那么通过连接这些子图的最少的边，就可以得到一个生成树。
这个生成树可以看作是一个最小的连通网络，其中所有顶点都能够通过最短路径相互到达。
此外，生成树还可以用于网络设计和优化问题。
在电网规划、通信网络设计和计算机网络中，生成树常常被用于实现信息的传输和路由的优化。
通过构造合适的生成树，可以使得信息的传输路径更加简洁和高效。
生成树有多种构造算法，其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个任意选定的顶点开始，逐步构建生成树。
具体地，Prim算法每次选择与已有的生成树连接边权值最小的顶点，并将其加入生成树。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的顶点。
Kruskal算法是一种基于边的方法，它首先将图中的边按照权值从小到大排序，然后依次将边加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点为止。
离散数学生成树
离散数学生成树一、引言离散数学是数学的一个分支，它研究的是不连续的、离散的数学结构。
生成树是离散数学中的一个重要概念，它在图论中有着广泛的应用。
本文将介绍生成树的定义、性质以及应用领域。
二、生成树的定义在图论中，生成树是指包含图中所有顶点的一个连通子图，并且该子图是一个树。
换句话说，生成树是从图中选择一些边，构成一个没有回路的子图，同时保持图的连通性。
三、生成树的性质1. 生成树的边数等于顶点数减一。
这个性质可以通过数学归纳法证明。
假设一个图有n个顶点，那么它的生成树一定有n-1条边。
2. 生成树是连通图的最小连通子图。
也就是说，对于一个连通图来说，它的生成树是包含所有顶点的子图中边数最少的一个。
3. 生成树中任意两个顶点之间都是互联的。
也就是说，生成树中任意两个顶点之间存在且仅存在一条路径，这个路径就是生成树中的边。
四、生成树的应用生成树在计算机科学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 网络设计：生成树可以用于设计计算机网络中的最优传输路径，以提高网络的稳定性和可靠性。
2. 电力传输：生成树可以用于规划电力传输网络，以确保电力的高效传输和供应。
3. 数据压缩：生成树可以用于数据压缩算法中，通过构建最优编码树来减少数据的存储空间。
4. 优化问题：生成树可以用于解决一些优化问题，比如旅行商问题中的最短路径搜索。
5. 连接关系：生成树可以用于分析社交网络、物流网络等复杂系统中的连接关系。
五、总结生成树作为离散数学中的重要概念，在图论和计算机科学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于网络设计和电力传输等实际问题，还可以用于解决优化问题和分析复杂系统中的连接关系。
通过对生成树的研究和应用，我们可以更好地理解和优化各种实际问题。
生成树的定义和性质使得它成为离散数学中的重要研究对象。
希望本文对读者理解生成树的概念和应用有所帮助。
STP生成树的工作原理
STP生成树的工作原理生成树协议（Spanning Tree Protocol，STP）是用于在以太网交换网络中防止环路的协议。
它的工作原理是通过计算生成一棵树，从而选择出一条主路径，并且屏蔽其他冗余的路径。
STP能够确保相同的数据包不会无限制地在网络中进行广播和转发，从而避免了环路导致的网络拥塞和数据包多次传输的问题。
STP的工作原理可以分为以下几个步骤：2.根端口选择：一旦根桥被选举出来，交换机就会选出一条用于连接到根桥的最佳路径。
根端口是指能够到达根桥的最佳路径上的接口。
交换机通过比较根桥的桥ID和路径上交换机的桥ID来选择根端口。
桥ID由优先级和MAC地址组成。
3.非根桥的端口状态：除了根端口外，其余的端口分为两种状态：指定端口和备选端口。
指定端口是指在特定路径上的唯一可用端口，用于传送数据。
备选端口是指在指定路径上的多个可用端口中的备用端口。
4.换届选举：当网络拓扑结构发生变化时，例如添加或删除交换机，就会触发换届选举。
换届选举是为了确保生成的树仍然是有效的。
在换届选举中，交换机会重新选择根桥和根端口。
生成树协议的原理在于维护一棵树状结构，从而避免环路的发生。
在生成树中，只有根桥和根端口是处于工作状态的，其他的端口都处于阻塞状态，不参与数据传输。
当有链路出现故障或者网络拓扑结构发生变化时，生成树协议会重新计算生成一棵全新的树，从而确保网络的稳定性。
STP的生成树协议是目前广泛应用于以太网交换网络中的环路防护协议。
其工作原理简单明了，通过选举和计算生成一棵树，从而选择出主路径，并屏蔽冗余路径，确保网络的稳定和可靠性。
STP的工作原理对于搭建大型网络和解决网络拓扑结构变化问题具有重要意义。
生成树_配置_实验报告
一、实验目的1. 理解生成树协议（STP）的基本原理和工作机制；2. 掌握生成树协议的配置方法；3. 通过实验验证生成树协议在网络中的实际应用效果。
二、实验环境1. 实验设备：两台华为S5700交换机、两台PC机；2. 实验软件：华为网络设备仿真软件；3. 实验拓扑：两台交换机通过一条物理链路连接，两台PC机分别连接到两台交换机上。
三、实验原理生成树协议（Spanning Tree Protocol，STP）是一种用于在网络中消除环路并实现冗余链路备份的协议。
当网络中出现环路时，STP会阻塞部分端口，形成一个没有环路的树形结构，确保网络的高可用性和容错能力。
STP通过交换机之间的BPDU（Bridge Protocol Data Unit）报文进行信息交互，选举根网桥，并确定每个交换机的根端口和指定端口。
根端口是连接到根网桥的端口，指定端口是连接到同一VLAN且路径最短的端口。
其余端口被阻塞，不参与数据转发。
四、实验步骤1. 配置交换机名称和密码；2. 配置交换机接口；3. 配置VLAN；4. 配置STP；5. 验证STP配置效果。
五、实验过程1. 配置交换机名称和密码```bashS1>display versionS1>sysname S1S1>display versionS1>enableS1#configure terminalS1(config)#username admin password simple 123456 S1(config)#exit```2. 配置交换机接口```bashS1>display ip interface briefS1#interface GigabitEthernet0/0/1S1(config-if)#ip address 192.168.1.1 24S1(config-if)#exitS1#interface GigabitEthernet0/0/2S1(config-if)#ip address 192.168.1.2 24S1(config-if)#exit```3. 配置VLAN```bashS1>display vlanS1#vlan 10S1(config-vlan)#name VLAN10S1(config-vlan)#exitS1#interface GigabitEthernet0/0/1S1(config-if)#port link-type access S1(config-if)#port default vlan 10 S1(config-if)#exitS1#interface GigabitEthernet0/0/2S1(config-if)#port link-type access S1(config-if)#port default vlan 10 S1(config-if)#exit```4. 配置STP```bashS1>display stpS1#stpmode stpS1>display stpS1#interface GigabitEthernet0/0/1S1(config-if)#port link-type access S1(config-if)#port default vlan 10 S1(config-if)#exitS1#interface GigabitEthernet0/0/2S1(config-if)#port link-type access S1(config-if)#port default vlan 10S1(config-if)#exit```5. 验证STP配置效果```bashS1>display stpS1>display stp interface GigabitEthernet0/0/1S1>display stp interface GigabitEthernet0/0/2S1>ping 192.168.1.2```六、实验结果与分析1. 实验结果通过实验，成功配置了生成树协议，并验证了STP在网络中的实际应用效果。
生成树设置边缘端口的命令
生成树设置边缘端口的命令生成树协议（Spanning Tree Protocol，STP）是一种网络协议，用于防止网络中出现环路，确保数据在网络中传输时不会出现循环。
生成树协议通过选择一条主干路径，将其它冗余路径阻塞，从而实现网络的冗余和容错。
在生成树协议中，设置边缘端口的命令可以通过以下步骤完成：1. 首先，进入交换机的命令行界面或者管理界面，使用相应的命令登录到交换机的操作系统。
2. 然后，进入交换机的全局配置模式，输入命令"enable"或者"configure terminal"，以便进行全局配置。
3. 接下来，找到需要配置的端口，可以使用命令"show spanning-tree"来查看生成树的状态和端口信息。
4. 然后，进入对应端口的配置模式，输入命令"interface [interface_name]"，其中[interface_name]是需要配置的端口名称，比如"interface GigabitEthernet0/1"。
5. 在端口配置模式下，输入命令"spanning-tree portfast"，这个命令将该端口设置为边缘端口，表示该端口连接的设备不会生成生成树协议的BPDU（Bridge Protocol Data Unit）。
6. 最后，输入命令"end"保存配置并退出到全局配置模式，然后输入命令"write memory"或者"copy running-config startup-config"保存配置到交换机的NVRAM中，以便在重启后配置能够生效。
以上就是设置边缘端口的命令的基本步骤，不同厂家的交换机可能会有一些细微的差别，但大体上都是类似的配置过程。
希望这些信息能够帮助到你。
离散数学最小生成树例题
离散数学最小生成树例题（实用版）目录1.最小生成树的概念和性质2.最小生成树的算法原理3.最小生成树的算法举例4.最小生成树的应用实例正文一、最小生成树的概念和性质最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是指在一个加权连通图中，选择一些边，使得所有节点都能被联通，并且边代价之和最小。
最小生成树具有以下性质：1.树中的边是最短的边：在生成树中，任意两个节点之间的边都是最短的边，即不存在比这条边更短的边能连接这两个节点。
2.树是没有圈的：最小生成树显然不应该有圈，因为如果有圈，可以通过删除圈中的一条边来形成一个更小的生成树。
二、最小生成树的算法原理求解最小生成树的经典算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。
这里我们以 Prim 算法为例介绍最小生成树的算法原理。
Prim 算法的基本思想是从一个初始节点开始，不断地寻找与当前生成树距离最近的节点，将其加入到生成树中，直到所有节点都加入到生成树中为止。
在寻找距离最近的节点时，我们需要使用贪心策略，即每次都选择距离最近的节点。
为了判断一个节点是否已经加入了生成树，我们可以使用并查集数据结构。
三、最小生成树的算法举例这里我们以一个简单的例子来说明 Prim 算法的求解过程。
假设有一个图，共有 4 个节点，5 条边，边的权值分别为 1, 2, 3, 4, 5。
我们选择节点 1 作为初始节点，按照 Prim 算法的步骤，可以得到最小生成树的权值为 9，生成树如下所示：```1 --2 --3 -- 4```四、最小生成树的应用实例最小生成树在实际应用中有很多实例，如网络路由、数据压缩、图像处理等。
这里我们以网络路由为例，介绍最小生成树的应用。
在网络中，为了提高传输效率，我们需要在网络中建立一条最短路径。
通过求解最小生成树，我们可以得到网络中的最短路径，从而为数据包的传输提供指导。
在求解最小生成树时，我们可以将网络中的节点看作是图的顶点，边看作是图的边，边的权值看作是节点之间的距离。
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常州市第一中学 林厚从
最小生成树算法及应用
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最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和 严格来说，如果图G=（ 是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V G= 一部分边E 构成一个子图 ， 构成一个子图G ），且边集 一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通 = ），且边集E 能将图中所有顶点连通 又不形成回路，则称子图G 是图 的一棵生成树。 是图G 又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于带权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和， 对于带权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最 小的生成树，称为图的最小生成树。 小的生成树，称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
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最小生成树算法及应用
例1、城市公交网 问题描述] [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系， 有一张城市地图 ， 图中的顶点为城市 ， 无向边代表两个城市间的连通关系 ， 边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现， 边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价 ， 研究后发现 ， 这个地图有一 个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是， 个特点 ， 即任一对城市都是连通的 。 现在的问题是 ， 要修建若干高速公路把所有 城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 [输入] 输入] 城市数， <=n<=100 100） n（城市数，1<=n<=100）； 边数）； e（边数）； 以下e 每行3个数i,j,w 表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 i,j之间修建高速公路的造价 以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 [输出] 输出] 每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。
如何证明Prim算法的正确性呢？提示：用反证法。 如何证明Prim算法的正确性呢？提示：用反证法。 Prim算法的正确性呢 因为操作是沿着边进行的，所以数据结构宜采用边集数组表示法。 因为操作是沿着边进行的，所以数据结构宜采用边集数组表示法。
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最小生成树算法及应用
从文件中读入图的邻接矩阵g ① 从文件中读入图的邻接矩阵g； ——Prim算法的实现 Prim算法的实现 Prim 边集数组elist初始化； elist初始化 ② 边集数组elist初始化； For i:=1 To n-1 Do Begin elist[i].fromv: elist[i].endv:=i+1 elist[i].weight:=g[1,i+1 elist[i].fromv:=1；elist[i].endv:=i+1；elist[i].weight:=g[1,i+1]； End； End； 求出最小生成树的n 条边； ③ 求出最小生成树的n-1条边； For k:=1 To n-1 Do Begin min:=maxint； =k； min:=maxint；m:=k； 查找权值最小的一条边} For j:=k To n-1 Do {查找权值最小的一条边} elist[j]. min:=elist[j].weight； =j；End； If elist[j].weight<min Then Begin min:=elist[j].weight；m:=j；End； =elist[k]；elist[k]:=elist[m]；elist[m]:=t；End； If m<>k Then Begin t:=elist[k]；elist[k]:=elist[m]；elist[m]:=t；End； 把权值最小的边调到第k个单元} {把权值最小的边调到第k个单元} =elist[k].endv； {j为新加入的顶点 为新加入的顶点} j:=elist[k].endv； {j为新加入的顶点} =k+1 修改未加入的边集} For i:=k+1 To n-1 Do {修改未加入的边集} =elist[i].endv； =g[j,s]； Begin s:=elist[i].endv； w:=g[j,s]； w<elist[i]. elist[i].weight:=w；elist[i].fromv:=j；End； If w<elist[i].weight Then Begin elist[i].weight:=w；elist[i].fromv:=j；End； End； End； End； End； 输出； ④ 输出； 常州市第一中学 林厚从
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最小生成树算法及应用
[举例] 举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进 下面的图（ 表示一个5个城市的地图， ）、（C 是对图（ 行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20 33， 20和 行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比 后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19 19。 后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。
最小生成树算法应用
一、生成树的概念 若图是连通的无向图或强连通的有向图， 若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从图中任意一个顶点出发调用一 bfs或dfs后 便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图， 次bfs或dfs后，便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根 出发通过调用一次dfs bfs，亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下， dfs或 出发通过调用一次dfs或bfs，亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所 有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图，称为原图的生成树。 有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图，称为原图的生成树。 对于不连通的无向图和不是强连通的有向图， 对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点 出发，调用一次bfs dfs后 一般不能系统地访问所有顶点， bfs或 出发，调用一次bfs或dfs后，一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发 点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点， 点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点，还需要从没有 访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs dfs， bfs或 访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs或dfs，这样得到的是生成 森林。 森林。 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的， 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同 的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n 条边。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
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最小生成树算法及应用
1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： Prim算法求最小生成树的思想如下： 算法求最小生成树的思想如下 设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE TE， TE的初始状态均为空集 的初始状态均为空集； ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； 选定图中的一个顶点K 开始生成最小生成树， 加入到集合S ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； 重复下列操作，直到选取了n 条边： ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 选取一条权值最小的边（ ），其中X∈S， (Y∈S)； 其中X∈S 将顶点Y加入集合S 加入集合TE TE； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） 。 得到最小生成树T =（ TE）
最小生成树算法及应用
2、用Kruskal算法求最小生成树的思想如下： Kruskal算法求最小生成树的思想如下： 算法求最小生成树的思想如下 设最小生成树为T= T=（ TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G ），设置边的集合TE的初始状态为空集 设最小生成树为T=（V，TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G中的 边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T 边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T不形 成回路，则把它并入TE TE中 保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路， 成回路，则把它并入TE中，保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路， 则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n 条边为止。最后的T即为最小生成树。 TE中包含 则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n-1条边为止。最后的T即为最小生成树。
如何证明呢？ 如何证明呢？
常州市第一中学 林厚从
最小生成树算法及应用
Kruskal算法在实现过程中的关键和难点在于： Kruskal算法在实现过程中的关键和难点在于：如何判断欲加入的一条边 算法在实现过程中的关键和难点在于 是否与生成树中已保留的边形成回路？ 是否与生成树中已保留的边形成回路？ 我们可以将顶点划分到不同的集合中， 我们可以将顶点划分到不同的集合中，每个集合中的顶点表示一个无回 路的连通分量，很明显算法开始时，把所有n个顶点划分到n个集合中， 路的连通分量，很明显算法开始时，把所有n个顶点划分到n个集合中，每个 集合只有一个顶点，表明顶点之间互不相通。当选取一条边时， 集合只有一个顶点，表明顶点之间互不相通。当选取一条边时，若它的两个 顶点分属于不同的集合，则表明此边连通了两个不同的连通分量， 顶点分属于不同的集合，则表明此边连通了两个不同的连通分量，因每个连 通分量无回路，所以连通后得到的连通分量仍不会产生回路， 通分量无回路，所以连通后得到的连通分量仍不会产生回路，因此这条边应 该保留，且把它们作为一个连通分量， 该保留，且把它们作为一个连通分量，即把它的两个顶点所在集合合并成一 个集合。如果选取的一条边的两个顶点属于同一个集合，则此边应该舍弃， 个集合。如果选取的一条边的两个顶点属于同一个集合，则此边应该舍弃， 因为同一个集合中的顶点是连通无回路的，若再加入一条边则必然产生回路。 因为同一个集合中的顶点是连通无回路的，若再加入一条边则必然产生回路。