基于lingo的投资组合线性规划策略分析

实验一：利用Lingo 软件求解线性规划问题实验一 利用Lingo 软件求解线性规划问题1、 实验目的和任务1.1. 进一步掌握Lingo 编程操作；1.2通过实验进一步掌握运筹学线性规划问题的建模以及求解过程，提高学生分析问题和解决问题能力。

2、 实验仪器、设备及材料计算机、Lingo3、 实验内容料场选址问题P10某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标a,b 表示，距离单位：km ）及水泥日用量d(单位：t)由下表给出，目前有两个临时料场位于P （5，1），Q （2，7），日储量各有20t.请回答以下问题： 假设从料场到工地之间有直线道路相连，试制定每天的供应计划，即从P,Q 两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公量数最小。

工地的位置（a,b ）及水泥日用量d建模 设工地的位置为(,)i i a b ,水泥日用量为i d ,i=1,2,…,6;料场位置为(,)j j x y ，日储量为j e ,j=1,2; 从料场j 向工地i 的运送量为ij c 。

决策变量：在问题（1）中，决策变量就是料场j 向工地i 的运送量为ij c ；在问题（2）中，决策变量除了料场j 向工地i 的运送量为ij c 外，新建料场位置(,)j j x y 也是决策变量。

目标函数：这个优化问题的目标函数f 是总砘公量数（运量乘以运输距离），所以优化目标可表为2611min j i f c ===∑∑约束条件：各工地的日用量必须满足，所以21,1,2, (6)ij ijc d i ===∑各料场的运送量不能超过日储量，所以61,1,2. ij jic e j =≤=∑求解过程编写模型程序：（介绍集合的定义及应用）model:sets:!确定变量a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),a(6);demand/1..6/:a,b,d;supply/1..2/:x,y,e;link(demand,supply):c;endsetsdata:!分割数据的空格与逗号或回车的作用是等价的;a=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;!a=enddatainit:!lingo对数据是按列赋值的，而不是按行;x,y=5,1,2,7;endinit[OBJ] min=@sum(link(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));@for(demand(i):[demand_con] @sum(supply(j):c(i,j))=d(i););@for(supply(i):[supply_con] @sum(demand(j):c(j,i))<=e(i););@for(supply(i):@bnd(0.5,x(i),8.75);@bnd(0.75,y(i),7.75););End计算结果：（如果你使用的是试用版软件，则可能不能用全局求解器求解本例，因为问题规模太大了，激活全局最优求解程序的方法，是用“lingo|Options”菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择“Use Global Solver”）Local optimal solution found.Objective value: 85.26604Total solver iterations: 61Variable Value Reduced CostA( 1) 1.250000 0.000000A( 2) 8.750000 0.000000A( 3) 0.5000000 0.000000A( 4) 5.750000 0.000000A( 5) 3.000000 0.000000A( 6) 7.250000 0.000000B( 1) 1.250000 0.000000B( 2) 0.7500000 0.000000B( 3) 4.750000 0.000000B( 4) 5.000000 0.000000B( 5) 6.500000 0.000000B( 6) 7.750000 0.000000D( 1) 3.000000 0.000000D( 2) 5.000000 0.000000D( 3) 4.000000 0.000000D( 4) 7.000000 0.000000D( 5) 6.000000 0.000000D( 6) 11.00000 0.000000X( 1) 3.254883 0.000000X( 2) 7.250000 0.6335133E-06 Y( 1) 5.652332 0.000000Y( 2) 7.750000 0.5438639E-06 E( 1) 20.00000 0.000000E( 2) 20.00000 0.000000C( 1, 1) 3.000000 0.000000C( 1, 2) 0.000000 4.008540C( 2, 1) 0.000000 0.2051358C( 2, 2) 5.000000 0.000000C( 3, 1) 4.000000 0.000000C( 3, 2) 0.000000 4.487750C( 4, 1) 7.000000 0.000000C( 4, 2) 0.000000 0.5535090C( 5, 1) 6.000000 0.000000C( 5, 2) 0.000000 3.544853C( 6, 1) 0.000000 4.512336C( 6, 2) 11.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual PriceOBJ 85.26604 -1.000000DEMAND_CON( 1) 0.000000 -4.837363DEMAND_CON( 2) 0.000000 -7.158911DEMAND_CON( 3) 0.000000 -2.898893DEMAND_CON( 4) 0.000000 -2.578982DEMAND_CON( 5) 0.000000 -0.8851584DEMAND_CON( 6) 0.000000 0.000000SUPPLY_CON( 1) 0.000000 0.000000SUPPLY_CON( 2) 4.000000 0.000000如果把料厂P，Q的位置看成是已知并且固定的，这时是LP模型，只需把上面的程序中初始段的语句移到数据段就可以了。

用LINGO 解线性规划和整数规划在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等许多领域中，人们经常遇到的一类决策问题是：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的决策。

例如：★ 结构设计要在满足强度要求条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻； ★ 资源分配要在有限资源约束下制定各用户的分配数量，使资源产生的总效益最大；★ 运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；★ 生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高。

上述这种决策问题通常称为优化问题。

人们解决这些优化问题的手段大致有以下几种：1．依赖过去的经验判断面临的问题。

这似乎切实可行，并且没有太大的风险，但是其处理过程会融入决策者太多的主观因素，难以客观地加以描述，从而无法确认结果的最优性。

2．做大量的试验反复比较。

这固然比较真实可靠，但是常要花费太多的资金和人力，而且得到的最优结果基本上离不开开始设计的试验范围。

3．用数学建模的方法建立数学规划模型求解最优决策。

虽然由于建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用，具有前两种手段无可比拟的优点。

如果在此基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答，是解决这种问题最有效、最常用的方法之一。

1.1.1 数学规划模型数学规划模型一般有三个要素：一是决策变量，通常是该问题要求解的那些未知量，不妨用n 维向量12n x (x ,x ,,x )'= 表示；二是目标函数，通常是该问题要优化（最小或最大）的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的函数，这里抽象地记作f(x)；三是约束条件，由该问题对决策变量的限制条件给出，即x允许取值的范围x∈Ω,Ω称可行域，常用一组关于x的不等式（也可是等式）g i(x)≤0(I=1,2,…,m)来界定。

LinGo：投资问题——线性规划⼀.根据题⽬所给数据，建⽴⼀张表格⽅便查看项⽬A项⽬B项⽬C项⽬D可投资年1,2,3,4321,2,3,4,5收回本利年次年年末第5年第5年当年年末本利 1.06 1.15 1.20 1.02最⼤投资⾦额(万)-4030-⼆.设第i年投资第j个项⽬ X ij第j个项⽬的本利为r三.约束条件1.第⼀年投资的⾦额=100万x(1,1) + x(1,4) = 100;2.往后每年的投资⾦额要=今年年初回收的本利和x(2,1) + x(2,3) + x(2,4) = x(1,4) * r(4);x(3,1) + x(3,2) + x(3,4) = x(1,1) * r(1) + x(2,4) * r(4);x(4,1) + x(4,4) = x(2,1) * r(1) + x(3,4) * r(4);x(5,4) = x(3,1) * r(1) + x(4,4) * r(4);3.第2个项⽬的单次投资⾦额要<=40万x(3,2) <= 40;4.第3个项⽬的单次投资⾦额要<=30万x(2,3) <= 30;四．⽬标函数 : 第五年末的本利和max = r(1) * x(4,1) + r(2) * x(3,2) + r(3) * x(2,3) + r(4) * x(5,4);五．LINGO代码sets:row/1..5/;col/1..4/ : r;link(row,col) : x;endsetsdata:r = 1.06, 1.15, 1.20, 1.02;enddata!@for(link(i,j) : x(i,j) = 0);!1;x(1,1) + x(1,4) = 100;!2;x(2,1) + x(2,3) + x(2,4) = x(1,4) * r(4);!3;x(3,1) + x(3,2) + x(3,4) = x(1,1) * r(1) + x(2,4) * r(4);!4;x(4,1) + x(4,4) = x(2,1) * r(1) + x(3,4) * r(4);!5;x(5,4) = x(3,1) * r(1) + x(4,4) * r(4);x(3,2) <= 40;x(2,3) <= 30;[OBJ]max = r(1) * x(4,1) + r(2) * x(3,2) + r(3) * x(2,3) + r(4) * x(5,4);六．LINGO运算结果Global optimal solution found.Objective value: 119.6512Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 1Variable Value Reduced CostR( 1) 1.060000 0.000000R( 2) 1.150000 0.000000R( 3) 1.200000 0.000000R( 4) 1.020000 0.000000X( 1, 1) 70.58824 0.000000X( 1, 2) 0.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 1, 4) 29.41176 0.000000X( 2, 1) 0.000000 0.000000X( 2, 2) 0.000000 0.000000X( 2, 3) 30.00000 0.000000X( 2, 4) 0.000000 0.2077600E-01X( 3, 1) 0.000000 0.000000X( 3, 2) 40.00000 0.000000X( 3, 3) 0.000000 0.000000X( 3, 4) 34.82353 0.000000X( 4, 1) 35.52000 0.000000X( 4, 2) 0.000000 0.000000X( 4, 3) 0.000000 0.000000X( 4, 4) 0.000000 0.1960000E-01X( 5, 1) 0.000000 0.000000X( 5, 2) 0.000000 0.000000X( 5, 3) 0.000000 0.000000X( 5, 4) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 1.1460722 0.000000 1.1236003 0.000000 1.0812004 0.000000 1.0600005 0.000000 1.0200006 0.000000 0.6880000E-017 0.000000 0.7640000E-01OBJ 119.6512 1.000000结论：第⼀年：A:70.58824 D:29.41176第⼆年：C:30第三年：B:40 D:34.82353第四年：A:35.52第五年：不投资。

Southwestuniversityofscienceandtechnology实验报告LINGO软件在线性规划中的运用学院名称环境与资源学院专业名称采矿工程学生姓名学号指导教师二〇一五年十一月实验LINGO软件在线性规划中的运用1.实验目的掌握LINGO软件求解线性规划问题的基本步骤，了解LINGO软件解决线性规划问题的基本原理，熟悉常用的线性规划计算代码，理解线性规划问题的迭代关系。

2.实验仪器、设备或软件电脑，LINGO软件3.实验内容（1）LINGO软件求解线性规划问题的基本原理；（2）编写并调试LINGO软件求解线性规划问题的计算代码；4.实验步骤（1）使用LINGO计算并求解线性规划问题；（2）写出实验报告，并浅谈学习心得体会(线性规划的基本求解思路与方法及求解过程中出现的问题及解决方法)。

5.题目有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示。

现有三种货物待运，已知有关数据列于表2中。

又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。

具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15％，前、后舱之间不超过10％。

问该货轮应装载A、B、C各多少件，运费收入为最大？要求写出建模分析，数学模型建立，并分别用lingo和matlab编写程序代码，并计算出结果和分析结果。

前舱中舱后舱最大允许载重量(t) 2000 3000 1500容积(m3) 4000 5400 1500商品数量(件) 每件体积(m3/件) 每件重量(t/件) 运价(元/件)A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 6006.实验过程!设前舱运A为x11，运B：x12,运C：x13;!设中舱运A为x21，运B：x22,运C：x23;!设后舱运A为x31，运B：x32,运C：x33;!单位：件;!目标函数;max=1000*(x11+x21+x31)+700*(x12+x22+x32)+600*(x13+x23+x33);!数量约束;x11+x21+x31<=600;x12+x22+x32<=1000;x13+x23+x33<=800;!容量约束;x11*10+x12*5+x13*7<=4000;x21*10+x22*5+x23*7<=5400;x31*10+x32*5+x33*7<=1500;!重量约束;x11*8+x12*6+x13*5<=2000;x21*8+x22*6+x23*5<=3000;x31*8+x32*6+x33*5<=1500;!平衡约束;x11*8+x12*6+x13*5<=1.15*(x21*8+x22*6+x23*5);x21*8+x22*6+x23*5<=1.15*(x11*8+x12*6+x13*5);x31*8+x32*6+x33*5<=1.15*(x21*8+x22*6+x23*5);x21*8+x22*6+x23*5<=1.15*(x31*8+x32*6+x33*5);x11*8+x12*6+x13*5<=1.1*(x21*8+x22*6+x23*5);x21*8+x22*6+x23*5<=1.1*(x11*8+x12*6+x13*5);!整数约束;@gin(x11);@gin(x12);@gin(x13);@gin(x21);@gin(x22);@gin(x23);@gin(x31);@gin(x32);@gin(x33);7.心得体会运筹学是近几十年发展起来的一门新兴学科。

投资组合线性规划模型摘要本文主要是考虑各种证券种类的信用等级、到期年限、到期税前收益、税率等因素来进行策划投资组合方案，通过合理的假设并对其做出相应的分析，使得投资获利最大。

首先我们对问题进行分析，明确问题的决策变量、目标函数和约束条件，从而得出问题的基本模型。

接着我们用Lindo软件运行，得出结果并分析，最终得到合理的投资方案，使得投资获利最大。

关键字决策变量、目标函数、约束条件问题重述1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过 1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？模型假设1）投资证券获利是与投资各种证券的各自投资资金量无关的常数,各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益、税率与投资各种证券的各自投资资金量无关的常数（比例性）。

2）投资证券获利是与投资各种证券的相互间投资资金量无关的常数，各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益、税率与投资各种证券的相互间投资资金量无关的常数（可加性）。

3）投资各种证券的资金量可以是任意实数（连续性）。

问题分析这个优化问题的目标是使投资获利最大，要做的决策是投资组合方案，即5种证券A、B、C、D、E各投资多少资金。

决策受到4个条件的限制：投资总资金、证券投资资金限制、证券的平均信用等级、证券的平均到期年限。

基本模型决策变量：设投资证券A、B、C、D、E的资金为xi（i=1，2，3，4，5）目标函数：设投资获利为z，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，则z=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5 约束条件：投资总资金该经理有1000万元资金，即x1+x2+x3+x4+x5<1000证券投资资金限制政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即x2+x3+x4>400证券的平均信用等级所购证券的平均信用等级不超过1.4，即2x1+2x2+x3+x4+5x5<=1.4(x1+x2+x3+x4+x5)化简得：0.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5<0证券的平均到期年限所购证券的平均到期年限不超过5年，即9x1+15x2+4x3+3x4+2x5<=5(x1+x2+x3+x4+x5)化简得：4x1+10x2-x3-2x4-3x5<0 非负条件 x1，x2，x3，x4，x5均为非负由此得基本模型：max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5st2)x2+x3+x4>4003)x1+x2+x3+x4+x5<10004)0.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5<05)4x1+10x2-x3-2x4-3x5<0end模型求解用Lindo软件求解，输入如上代码可得如下输出：（附1）LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 29.83636VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 218.181824 0.000000X2 0.000000 0.030182X3 736.363647 0.000000X4 0.000000 0.000636X5 45.454544 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 336.363647 0.0000003) 0.000000 0.0298364) 0.000000 0.0061825) 0.000000 0.002364NO. ITERATIONS= 5RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 0.043000 0.003500 0.013000X2 0.027000 0.030182 INFINITYX3 0.025000 0.017333 0.000560X4 0.022000 0.000636 INFINITYX5 0.045000 0.052000 0.014000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 400.000000 336.363647 INFINITY3 1000.000000 INFINITY 456.7901314 0.000000 1057.142944 199.9999855 0.000000 999.999939 1200.000000结果分析（1）以上结果可知，这个线性规划的最优解为x1=218.181824,x2=0,x3=736.363647,x4=0,x5=45.454544;最优值为z=29.83636，即若该经理有1000万元资金，则投资方案应该是投资A证券218.181824万元，C证券736.363647万元，E证券45.454544万元，不投资B，D证券，可以获利最多为29.83636万元。

用lingo求解线性规划问题中国石油大学胜利学院程兵兵摘要食物营养搭配问题是现代社会中常见的问题,其最终的目的是节省总费用.本文通过对营养问题的具体剖析．构建了一般的线性规划模型。

并通过实例应用Lingo数学软件求解该问题.并给出了价值系数灵敏度分析,得出蔬菜价格的变动对模型的影响.关键词线性规划，lingo，灵敏度分析。

一、问题重述与分析营养师要为某些特殊病人拟订一周的菜单，可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量以及这类病人每周所需各种营养成分的最低数量如下表1所示。

有以下规定:一周内所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份。

问题一:若病人每周需要14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份，可使生活费用最小.问题二:当市场蔬菜价格发生怎样波动时，所建模型的适用性。

表 1 所需营养和费用营养搭配是一个线性规划问题，在给定蔬菜的情况下,要求菜单所需的营养成分必须达到要求，并在此条件下求出什么样的搭配所花费的费用最少.第一个要求是满足各类营养的充足，根据表中数据列出不等式。

第二要求为问题一中，蔬菜的份数必须为14,第三要求为在一周内,卷心菜不多于2份,其他不多于4份，根据以上条件列出各类蔬菜份数的限定条件，并可表示出费用的表达式.对于第二问，就是价值系数的变化对总费用的影响，模型的适用范围。

三、模型假设第一,假设各蔬菜营养成分保持稳定，满足题干要求。

第二,假设各蔬菜价格在一定时间内保持相对稳定。

第三，假设各类蔬菜供应全部到位，满足所需要求量. 第四,假设所求出最优解时不要求一定为整数。

四、符号约定（1)Z 代表目标函数,此题即为费用。

(2）i c 为价值系数，此题即为每份蔬菜的价格。

下标i 代表蔬菜的种类。

(3）i x 为决策变量，表示各种蔬菜的数量。

(4）i b 为最低限定条件,表示蔬菜最低营养需要。

五、模型建立根据以上各种假设和符号约定，建立模型如下。

所求的值就是min,也就是最优化结果.s 。

基于lingo的投资组合线性规划策略分析作者：柳清源来源：《中国校外教育(下旬)》2017年第02期摘要：在运筹学中，线性规划是一门发展迅速，应用范围广泛，较为成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在线性条件约束下，如何使目标函数取得极值是线性规划的研究目的。

综合各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益、税率等因素，确定投资组合方案。

建模首先做出一个合理的假设，并对其做出相应的分析，明确问题的决策变量、目标函数和约束条件，从而得出问题的基本模型。

然后根据实际条件，在基本模型上做更改，运用lingo进行投资组合线性规划策略分析。

关键词：投资方案目标函数约束条件一、引言线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。

它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。

为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。

使用线性规划建立数学模型主要有以下3个步骤：1.列出约束条件及目标函数2.画出约束条件所表示的可行域3.在可行域内求目标函数的最优解及最优值一般线性规划问题的数学模型可表示为：证券投资者，不论是个人还是机构，其目的主要在于获得最大预期收益。

为此，他们可以把全部资金投在一种或少数几种收益最高的证券上，以争取获得最大限度的收益。

但是，投资的收益与风险是形影相伴、相辅相成的，高收益必然包含高风险，低风险必然包含低收益。

所以，精明的投资人为避免过高风险和过低收益这两种极端情况的出现。

往往选择若干证券进行搭配。

而非集中于某种证券上。

本文考虑到不同证券的信用等级、到期年限、到期税前收益、税率差异性，适当设置约束条件，建立一个合理的证券投资模型，使用lingo进行多元线性规划从而确定投资的最优化策略。

二、问题描述商人想对有价证券进行一次大规模的投资，但不知道怎么可以提高的收益率，现可购买的有价证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示，按照国家税率的规定，市政证券的收益不需要缴纳个人所得税，而其他证券收益需缴纳50%的个人所得税，同时，为了保证风险最小，商人还定有下列规定：（1）政府及事业单位的证券总共至少要购进400万元；（2）购买的所有证券的加权信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

数学建模：运用L i n d o l i n g o软件求解线性规划-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、实验内容：对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo 对模型进行求解。

某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.数学建模论文运用lindo/lingo软件求解线性规划运用lindo/lingo软件求解线性规划一、摘要本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。

首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。

然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。

最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。

【关键词】最优解 lindo/lingo软件第二、问题的重述某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。

2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。

第三、模型的基本假设1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。

2、每个人的能力相等。

3、生产设备对生产没有影响。

第四、符号说明1、x.....甲饮料2、y.....乙饮料3、z.....增加的原材料第五、问题分析根据题目要求：如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。

用LINGO求解线性规划问题实验1 用LINGO求解线性规划问题LINGO使用简介LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包.LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解.LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快.LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法.LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等.一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了.LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据.LINGO的语法规定：（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；（3）变量名称必须以字母（A~Z）开头，由字母、数字（0~9）和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；（4）可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX=200*X1+300*X2；（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句；（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略.实验目的1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINGO求解；2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.实验数据与内容问题1.1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？表1.1 资源配置问题的数据产品资源AB可利用资源设备128台时甲416公斤乙412公斤单位利润2元3元建立线性规划问题的数学模型，用LINGO求出最优解并做相应的分析.问题1.2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.表1.2 配料（食谱）问题的数据饲料营养1A2A4A5A营养最低要求蛋白质(g) 0.3210.61.860矿物质(g) 0.10.050.20.053维生素(mg) 0.050.10.020.20.088成本（元/ kg）0.20.70.40.5实验指导问题1.1设计划生产两种产品分别为，则建立线性规划问题数学模型 BA,21,xx.......≥≤≤≤++=0,12416482.32max21212121xxxxxxtsxxS在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.求解结果：Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为.“Reduced Cost”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost值等于零）.“Row”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack orSurplus”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“124,2==xx≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack（松弛），对于“”的不等式，左边减右边的差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.≥问题1.2设需要饲料分别为 kg，则建立线性规划数学模型：54321,,,,AAAAA54321,,,,xxxxx123451234512345123451234512345min0.20.70.40.30.50.32 0.61.8600.10.050.020.20.0530.050.10.020.20.088.52,,,,0Sxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxstxxxxxxxxxx=++++++++≥..++++..++++..++++≤.≥..在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8; x1+x2+x3+x4+x5<52;求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料、、分别为12、30和10kg，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力.“Reduced Cost”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低.从“Slack or Surplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.12A4A5Akgkgkg1A3Ag；从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元.kg对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options…命令，选择Gengral Solver，在Dual Computation列表框中，选择Prices and Ranges选项并确定.对于例1.1问题进行灵敏度分析，结果如下：以下是灵敏度分析的结果Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 2.000000 INFINITY 0.5000000X2 3.000000 1.000000 3.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 8.000000 2.000000 4.0000003 16.00000 16.00000 8.0000004 12.00000 INFINITY 4.000000对于例1.2问题进行灵敏度分析，结果如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 0.2000000 INFINITY 0.7000000X2 0.7000000 INFINITY 0.1358974X3 0.4000000 INFINITY 0.6166667X4 0.3000000 1.400000 1.000000X5 0.5000000 0.1247059 INFINITY Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 60.00000 4.800000 4.8000003 3.000000 4.100000 INFINITY4 8.000000 0.3428571 0.48000005 52.00000 1.846154 1.411765思考题某投资公司拟制定今后5年的投资计划，初步考虑下面四个投资项目：项目A：从第1年到第4年每年年初可以投资，于次年年末收回成本，并可获利润15%；项目B：第3年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润25%，但为了保证足够的资金流动，规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的40%；项目C：第2年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润40%，但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的30%；项目D：5年内每年年初可以购买公债，于当年年末可以归还本金，并获利息6%.该公司现有投资金额100万元，请帮助该公司制定这些项目每年的投资计划，使公司到第5年年末核算这5年投资的收益率达到最大.建立线性规划问题的数学模型，并用LINGO求解.。

Lingo 与线性规划线性规划的标准形式是11n n Min z c x c x =++1111111..0,1,2,,n n m mn n m i a x a x b s t a x a x b x i n +≤⎧⎪⎪⎨+≤⎪⎪≥=⎩ (1) 其中11n n z c x c x =++称为目标函数，自变量i x 称为决策变量,不等式组(1)称为约束条件.满足不等式组(1)的所有1(,,)n x x 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值的**1(,,)n x x 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。

求解优化模型的主要软件有Lingo 、Matlab 、Excel 等。

其中Lingo 是一款专业求解优化模型的软件，有其他软件不可替代的方便功能。

本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。

一、基本规定1、目标函数输入格式max=函数解析式； 或者 min=函数解析式； 2、约束条件输入格式利用：>、<、>=、<=等符号。

但是>与>=没有区别。

Lingo 软件默认所以自变量都大于等于0.3、运算加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)，要注意乘号(*)不能省略。

4、变量名不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。

5、标点符号每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。

但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。

endsets ，enddata ，end 尾部不加任何符号。

6、命令不考虑先后次序7、MODEL 语句一般程序必须先输入MODEL ：表示开始输入模型，以“END”结束。

对简单的模型，这两个语句也可以省略。

8、改变变量的取值范围@bin(变量名)； 限制该变量为0或1. @bnd(a,变量名,b )； 限制该变量介于a,b 之间. @free(变量名)； 允许该变量为负数. @gin(变量名)； 限制该变量为整数. 例1 求目标函数1223z x x =+的最小值，约束条件为1211212..35010022600,0s t x x x x x x x +≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 输入Lingo 程序：min = 2*x1 + 3*x2; x1 + x2 >= 350; x1 >= 100; 2*x1 + x2 <= 600; 有两种运行方式：1、点击工具条上的按钮 即可。