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解直角三角形知识点及跟踪习题 考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。
锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定） （4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大 知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度 （或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
解直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
解直角三角形是指根据三角形已知的某些条件，推导出其他未知的角度或边长。
在解直角三角形时，常用到三角比例、勾股定理等概念和公式。
下面将详细介绍解直角三角形的方法和步骤。
一、已知两边长度求角度当已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以通过求解正弦、余弦、正切等三角比例来确定其他两个角度的大小。
假设已知直角三角形的两条直角边长度分别为a和b。
1. 解正弦比例根据正弦定理，sinA=a/c，sinB=b/c，其中c为斜边的长度。
可根据已知的a和b，解出c，然后利用反正弦函数求解出A和B的大小。
2. 解余弦比例根据余弦定理，cosA=a/c，cosB=b/c，同样可以根据已知的a和b解出c，然后求解出A和B的大小。
3. 解正切比例根据正切定理，tanA=a/b，tanB=b/a，可以通过已知的a和b求解出A和B的大小。
二、已知一边长度求其他边长和角度当已知一个直角三角形的一个直角边和一个锐角边的长度时，可以通过勾股定理求解出另一个直角边的长度，并进一步求解出其他角度和边长。
假设已知直角三角形的一个直角边长度为a，一个锐角边长度为b。
1. 求解斜边的长度根据勾股定理，a²+b²=c²，可以解出斜边c的长度。
2. 求解未知角的大小根据已知的三边长度，利用正弦、余弦、正切等三角函数，可以求解出其他两个角的大小。
3. 求解另一个直角边的长度根据已知的斜边长度和一个直角角度，可以利用正弦、余弦等三角函数，求解出另一个直角边的长度。
三、应用解直角三角形的例子解直角三角形的方法在实际生活中有广泛的应用。
比如在测量、建筑、地理等领域都需要用到解直角三角形的知识。
1. 测量在测量中，我们常常需要通过已知的边长测量出其他未知的边长或角度。
例如在测量高楼建筑的高度时，可以利用解直角三角形的方法。
通过观察建筑物的倾斜角度，可以利用三角函数求解出建筑物的高度。
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。
解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²。
a和b表示直角边，c表示斜边。
当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。
勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。
二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。
正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。
余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。
a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。
通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。
五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。
其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。
解直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
解直角三角形，就是通过已知的信息，求取直角三角形的各边长或者角度的过程。
下面将介绍两种解直角三角形的常用方法：勾股定理和三角函数。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。
它表明，直角三角形的斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。
设直角三角形的两个边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理的表达式为：c² = a² + b²利用勾股定理可以解决以下两种问题：1. 已知两条边的长度，求解第三条边的长度：若直角三角形的两条边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度c。
根据勾股定理的表达式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度：若直角三角形的斜边长度为5cm，一条边的长度为3cm，求解另一条边的长度b。
根据勾股定理的表达式可得：5² = 3² + b²25 = 9 + b²16 = b²b = √16b = 4所以，另一条边的长度为4cm。
二、三角函数除了勾股定理外，三角函数也是解直角三角形的重要方法。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切是最常用的三角函数。
下面以解决两个常见的问题为例介绍三角函数的运用。
1. 已知一条边的长度和夹角，求解另一条边的长度：若直角三角形的一条边长为6cm，夹角为30°，求解另一条边的长度a。
根据正弦函数的定义可得：sin(30°) = a / 6a = 6 * sin(30°)a ≈ 3所以，另一条边的长度约为3cm。
2. 已知两条边的长度，求解夹角的大小：若直角三角形的两条边分别为4cm和7cm，求解夹角θ。
根据正弦函数的定义可得：sin(θ) = 4 / 7θ = arcsin(4 / 7)通过计算可得，θ约为42.48°。
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
解直角三角形题型的解法
直角三角形是一个非常基础的三角形，但在初中数学中却是一
个非常重要的知识点。
解直角三角形问题并不难，下面我将分享几
种解法。
方法一：勾股定理
勾股定理是解直角三角形问题中最常用的方法，根据这个定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，我们可
以通过已知两条边求第三条边的长度。
例如，如果我们知道直角三
角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，那么我们可以通
过勾股定理求得斜边长，即5。
方法二：正弦定理
正弦定理适用于已知一个角和两边，求另一边的长度。
正弦定
理公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别为三角形中
的边，A、B、C为对应的角度。
例如，如果我们已知三角形的一
个角度为30度，其对边长为5，且斜边长为10，那么我们可以通
过正弦定理求得该直角三角形的另一直角边长为5根3。
方法三：余弦定理
余弦定理适用于已知三角形的任意两边及它们之间夹角，求第三边长度的情况。
余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cosC。
其中c为求解的第三边长度，a、b为已知边的长度，C为它们之间的夹角。
例如，如果我们已知直角三角形的两个直角边长分别为3和4，夹角为90度，那么我们可以通过余弦定理求得斜边长，即5。
通过上述三种方法，我们可以解决绝大多数直角三角形问题。
当然，在应用定理时，我们需要确保我们有足够的信息来求解。
学好这些方法，相信解直角三角形问题将变得非常简单明了。
解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形方法很多,灵活多样.解直角三角形是探究直角三角形中边角关系的问题,是现实世界中应用广泛的关系之一，本文是店铺整理解直角三角形的基本类型及解法的资料，仅供参考。
解直角三角形注意事项1.尽量使用原始数据，使计算更加准确.2.有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题.3.一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题.4.解直角三角形的方法可概括为“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦有切(正切、余切)，宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦;无斜边时，就用正切或余切;当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据.5.必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算.6.要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中.7.解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等)，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解.直角三角形面积公式因为直角三角形的两条直角边分别相当于三角形的底和高，所以直角三角形的面积，可以用两条直角边的长度相乘再除以2。
s=(1/2)x底x高s=(1/2)xaxbxsinC (C为a,b的夹角)s=1/2acsinBs=1/2bcsinA直角三角形性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2(勾股定理)2、在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。
解直角三角形是什么意思解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外，一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形的依据：1、三边之间的关系，a的平方加上b的平方等于c的平方。
2、锐角之间的关系，角A加角B等于90度。
公式意义在没有引入三角函数之前，平面几何通常只能讨论边与边、边与面积、面积与面积、角与角之间的数量关系，却无法讨论角和边、角和面积之间的数量关系。
如果我们能够讨论角和边之间的数量关系，然后讨论边与面积之间的数量关系，我们就可以讨论角与面积之间的数量关系。
对于角和边之间的定量关系，虽然我们有诸如“30°的角所对的直角边为斜边的一半”这样的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所对的直角边为斜边的(根号3)/2倍，但这些都仅仅是针对“特殊值”加以讨论，从而很难推广到一般情况（任意值）的讨论。
由平面几何知识可知，已知三角形的邻边a，b及其夹角C，根据“边角边定理”，第三边c完全确定。
从而，理论上我们可以利用带有a，b，C的表达式来表示c。
如何给出这个具体的表达式？根据相似三角形的性质，我们有：若两个三角形对应角相等，则两个三角形相似，于是它们的对应边成比例，反过来也成立。
特别地，对于直角三角形，同时满足特定的三边关系（勾股定理）与两内角关系（两个锐角之和等于90°）。
这样的话，我们只要知道直角三角形中任一锐角的大小，其三边中任意两条边的比例就是确定的数字。
于是，我们可以考虑引入一整套运算，用来表示任意形状的直角三角形所满足的边与角的关系，这是引入锐角三角函数最初的动机。
数学上，通过定义三角函数，从而可以用含有角的表达式来表示边。
解直角三角形，其实就是利用锐角三角函数来表示任意直角三角形中边与角的数量关系，于是可以求解出直角三角形中三边的长度和两个锐角的大小。
解直角三角形，使许多特定几何问题的求解得以数量化。
第二节解直角三角形第二节解直角三角形知识要点已知三角形的某些元素求其它元素的问题称为解三角形，解一般的三角形至少需要已知三个元素（其中至少要有一条边）在直角三角形中,一个元素(直角)是已知的，只需要知道其他两个元素(其中至少要有一条边)，就可以求出该三角形的其他元素(边长和角)及面积，这类问题称为“解直角三角形”．一、直角三角形中的边角关系解直角三角形包括“已知一边一角”和“已知两边”两类情况，都可以利用三角比的边角关系或勾股定理来解.例题精讲例1△中，∠C＝°，AC=BC，点D在BC上，∠DAC＝°已知AD=6，求BD的长.举一反三1-1旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多8米.当把绳子下端沿地面拉直后，绳子与地面成45°角，则与绳子长度最接近的整数值是（）A．27；B．28；C．29；D．301-2在△中，∠C＝°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，cos∠ADC ＝（2）求sinB的值.点评在直角三角形中，已知某锐角的三角比但相关的两条线段都不知道，则必需引入比例系数k，再按题意根据等量关系列出方程求k．注意不可直接写DC=3，AD=5，因为比例系数k并不一定等于1(在本题中比例系数k=2)．1-3△中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=0.8（1）求线段DC的长；（2）求tan∠EDC的值.点评在斜三角形中，要求某锐角内角的三角比，可通过作垂线构造直角三角形，或通过相等角的代换将该角转移到直角三角形中，寻找新的关系．二、等腰三角形中的边角关系根据三线合一定理，作底边上的高线可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，从而把解等腰三角形的问题化为解直角三角形的问题例2△ABC中，AB=AC，BC=6，（1）求边AB的长；（2）求边AC上的高.求三角形的面积也是解三角形的内容之一，下面看一道利用三角比计算三角形面积的问题．举一反三2-1在△中，AB=AC=10，∠B＝°，求△的面积.点评由本题中的方法二可归纳出新的面积公式：，其中为AB、AC的夹角2-2已知△中，AB=AC=10，△的面积为，求顶角A的大小.点评在已知三角形面积的问题中，经常要按照以上两种情况进行分类讨论．2-3在△中，AB=AC=10，BC=12.（1）求∠B的正切值；（2）求∠A的正弦值.三、一般三角形的边角关系例3在△ABC中，∠A＝°，∠C＝°，AB=12. （1）求边AC的长；（2）求sinC.点评(1)对于一般三角形，通过作一条高可以把它分成两个直角三角形，如果原三角形中含特殊角，那么尽量不要把特殊角分开，在本例中，如果一上来就作AE⊥BC，固然在Rt△ABE中由AB=12，∠B=60°可以求出AE和BE，接着在Rt△ACE中都是非特殊角，计算无法进行下去了．(2)本题的计算结果使我们又获得了一个“扩大的特殊角”的三角比：sin75°=．举一反三3-1已知在△中，∠B、∠C都是锐角，BC=20，,,求AC的长.3-2在△中，D在边BC上，BD=2CD,且AD⊥AB，若，求∠B的度数.点评本题中的两个条件“∠BAD=90°和“tan∠CAD=”不在同一个三角形中，添辅助线的目的就是要把这两个条件集中到同一个直角三角形中．3—3在上海旅游节期间举办了彩车巡回展览活动．上海锦江集团制作的彩车上有一副钢制的三脚架安置在一辆平板车上，如图2—2一15所示，平板车底板离地面为1．6米，三脚架为△ABC，其中BC长20米，∠B和∠C分别为45°和30°．彩车要穿过南北高架路驶往外滩，已知南京路成都路道口的高架路离地面高8米，延安路成都路道口的高架路离地面高10米．这辆彩车在这两处道口是否都能安全通过?(参考数据：≈1．732)点评抛开题目的实际背景，本题的数学含义是：“在△ABC中，已知BC=20，∠B=45°，∠C=30°，求高AD．”解题中以AD=x为中间量，根据BD+DC=BC建立方程求解．四、复合图形中的边角关系在这里，“复合图形”是指由有两个三角形拼合或叠合而成的图形°四边形被它的一条对角线分成两个三角形，因此解四边形的问题可以化归为解三角形的问题.例4已知四边形ABCD中，BC=CD=DB，∠ADB＝°，，求S△ABD：S△BCD.举一反三4-1将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB＝°,∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6求重叠部分四边形DBCF的面积.点评用“割补法”求四边影DBCF的面积可以有两种方法：一是由点C作垂线CG上AB于G，把四边形DBCF分成Rt△BCG和梯形DGCF；二是如本题中的解法，看作是两个等腰直角三角形(△ABC和△ADF)的面积之羞．后者只需要求出AD和AC’的长，是同一种图形的面积相减，因此后一种解法比前者顺畅．将两块三角板换一种叠法得到下面的问题．4-2将一副三角板如图放置，其中∠A=∠BCD＝°，AB=AC，∠DBC＝°，已知BC=6，求它们重叠部分△EBC的面积.4-3已知△ABC是边长为a的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求线段AD的长.点评不给图形的题目，往往藏有玄机．在自己画图的过程中要仔细考虑：这个图有没有不同的画法?要不要进行分类讨论?内容提炼1.解直角三角形时，除了“已知两边求第三边”用勾股定理、“已知一个锐角求另一个锐角”用“两锐角互余”之外，其它各种情况都可以用三角比的定义求解；2．解斜三角形时，我们把它化为直角三角形来解，经常遇到的题目有两类：①已知两边夹角解三角形．如图2—2—22，△ABC中，已知AC=b，AB=c，∠A=a，可作高CD⊥AB，则CD=b·sina，AD=b·cosb，BD=c—bcosa，再在Rt△BCD中用勾股定理求，利用三角比定义tanB=，最后求出∠C=180°一∠A一∠B·②已知两角一边解三角形．如图2—2—23，△ABC中，已知∠A=a，∠B=，AB=c，作高CD，设CD=x，列方程xcota+xcot=c，得x=求出CD后计算习题精炼1.△ABC中，∠C＝°，已知以下边或角的大小不能解该三角形的是（）A．∠A、a；B．∠B、c；C．∠A、∠B；D．a、c2.△ABC中，∠A=90°，若AB=c，∠B＝；B．；C．；D．3.若△ABC的两条边长分别为AB=20cm,AC=30cm,S△ABC=150cm2,则∠A的度数为（）A．30°；B．60°；C．30°或150°；D．60°或120°4.Rt△中，∠C＝°，若AC=6，，则AB=.5.△中，∠A＝°，若∠B=θ，AC=b，则AB=（用θ和b的三角比表示）6.△AB中，若AB=AC=10cm,BC=12cm，则tanB=.7.如图，△ABC中，若AB=AC,∠A=90°,BD是角平分线，则tanDBC=.8.△中，若AB=AC=，BC=6，则∠BAC=度9.在ABC中，＝0°，B＝AC，将ABC绕着点B旋转使点落在直线B上C＇，＇C＇＝________．中，∠C＝°，CD是边AB上的中线，，BC=6.（1）求CD的长；（2）求sin∠BCD.11.如图，在△中，已知∠A、∠B都是锐角，,BC=20，,AB=29，求△ABC的面积.12.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝°，点F在BC上，∠AFD ＝°，已知AB=8，DC=3，tan∠BAD=2.（1）求AD的长；（2）求tan∠FAD.互动探究如图，Rt△中，AB=AC，∠BAC＝°，D、E分别为AB、AC上的点，AE=BD，联结DE、BE.(1)当AD=2DB时，分别计算tan∠ADE和tan∠EBC的值．从这个计算结果你能得出什么结论?(2)以第(1)小题中的探究结论为条件，求的值．2014/11/29第8页共8页74-84。
解直角三角形的五种类型
安阳市六十四中学 张文彩
在直角三角形的6个元素中，除直角外，共有5个元素，即3条边，2个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
在这5个元素中，如果只知道一个元素，是不能解这个直角三角形的。
比如在Rt △ABC 中，已知∠A=42°解这个直角三角形。
这个三角形最多可以求出∠B=48°直角边和斜边是解不出来的。
再比如在Rt △ABC 中，已知AB=4厘米，解这个直角三角形。
这个三角形除了已知元素外，其余的任何一个元素是求不出来的。
由上可知：解直角三角形时，已知的元素最少有两个，并且这两个元素中必须有一个条件是边，或者两个条件都是边。
直角三角形中5个元素中的两两一组，一共可以分
为5类；分别是1.一锐角和对边；2.
一锐角和邻边，3.一锐角和斜边，或
者4.两直角边，5.一直角边和一斜边。
下面针对每一类的解题方法进行逐
个讲解。
将解直角三角形进行分类。
第一类：已知直角三角形中的一个锐角和这个锐角对边，解这类的直角三角形。
解题方法：首先根据直角三角形两锐角互余可以求得另一个直角，再由已知锐角的正弦求得斜边，最后由已知锐角的正切求得另一直角A B C
a b c 20 35°
边。
例1.如图，在Rt△ABC中，
∠C＝90°∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形。
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠B＝35°，b=20。
所以∠A＝90°-∠B＝90°-35°=55°
由sinB=b
c 得，c=
20
sin sin35
b
B
=
由tanB=b
a 得a=
20
tan tan35
b
B
=
即已知一锐角和这个锐角的所对的直角边时，充分利用已知条件，采用锐角的正弦函数与正切函数较好。
当然也可以采用另一直角的余弦求得斜边，由于所求的斜边有可能是一个近似数，所以不用勾股定理求另一直角边。
第二类：已知直角三角形的一锐角和这
个锐角的邻边，解这个直角三角形。
解题方法：首先根据直角三角形两锐角
互余可以求得另一个直角，再由已知锐角的
余弦求得斜边，最后由已知锐角的正切求得另一直角边。
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝55°，b=20，解这个直角三角形。
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠B＝35°，b=20。
所以∠B＝90°-∠A =55°；cosA=b
c 得
20
cos cos55
b
c
A
==
或由sinB=b
c 得，c=
20
sin sin35
b
B
=。
再由tanA=a
b 得a=btanA=20tan55°
b
A
B C
a
c
20
55°
或由tanB=b a 得 a=0
20tan tan 35b B = 第三类：已知一直角三角形的一个锐角和斜边，解这个直角三角形。
解题方法：首先根据直角三角形两锐角互余可以求得另一个直角，再由已知锐角的余弦求得邻边，最后由已知锐角的正弦求得另一直角边。
例3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°∠B ＝72°，c=14，解这个直角三角形。
解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90° ∠B ＝72°，c=14。
所以∠A ＝90°-∠B =18°； sinB=b c 得b=csinB=14sin72° 或者cosA=b c 得 b=ccosA=14cos18°
再由a=ccosB=14cos72°或者a=c sinA =14 sin18°
所以∠A=18°；a =14cos72°；b =14sin72°
第四类：已知直角三角形的两直角边，解这个直角三角形。
解题方法是：先由勾股定理求出斜边c;然后根据锐角的正切值求出这两个锐角。
例4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°a ＝30，b=20，解这个直角三角形。
分析：解：Rt △ABC 中，∠C ＝90°a ＝30°，b=20，由勾股定理得c=222230201013a b +=+=,
因为tanA=30 1.520
a b =
= 所以∠A ＝56°19' 因为tanB=202303b a ==,所以∠B ＝33°41'
第五类：已知直角三角形一直角边和斜边，解这个
直角三角形。
解题方法：先由勾股定理求出另一条直角边，
然后一锐角的正弦等于这条直角边与斜边的比，从而求出这个锐角，最后利用两锐角互余求出另一锐角。
例5.（2013年贵州铜仁）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，解这个直角三角形。
分析：解：直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得：
2222
13125
BC AB AC
=-=-=.再由cosA=
12
13
AC
AB
=，求得∠A
最后由∠B=90°-∠A 求得∠B。
当然也可以运用其他的三角函数来求解。
总之解直角三角形的类型共有这五类，在以后的具体问题中要具体分析，愿同学们在以后的学习中要不断总结经验，提高自己的解题能力。
