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95初二暑期·第9讲·尖子班·学生版看我的新造型？漫画释义满分晋级9二次根式的 概念及运算代数式8级 分式的概念 及性质代数式9级 二次根式的 概念及运算 代数式10级 因式分解的 常用方法及应用暑期班 第七讲暑期班 第九讲秋季班 第五讲二次根式形如()0a a ≥的式子．二次根式有意义被开方数大于等于零（即若a有意义，则0a≥）【例1】1当x取何值时，下列式子有意义？⑴2x-⑵2x-⑶2x-⑷213x x++-⑸1x-⑹x模块一二次根式的概念知识导航知识互联网夯实基础96 初二暑期·第9讲·尖子班·学生版97初二暑期·第9讲·尖子班·学生版2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值．3 设31221x xy x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围.①0(0)a a ≥≥ ②2()(0)a a a =≥③（必考）2a a a a ⎧==⎨-⎩()()00a a <≥【例2】 化简下列各式⑴ ()225- ⑵ ()23a -【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：化简：()22a a c c b b -++---的结果为________能力提升夯实基础知识导航题型二 二次根式的性质c a98初二暑期·第9讲·尖子班·学生版⑵已知01a <<，化简221144a a a a ⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶化简()22412912x x x-+--得( )A. 2B.44x --C.2-D.44x -⑷若()22340a b c -+-+-=，则a b c -+= ．⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ． 以上答案均不对⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++L L 的值.乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化：(0,0)a a a b b b=>≥最简二次根式 ①被开方数不含分母②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式． 加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用知识导航模块三 二次根式的运算99初二暑期·第9讲·尖子班·学生版乘法公式的推广①12312312(0,0,,0)n n n a a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅L L L ≥≥≥②()22a ba b ab ±=+± ③()()a ba b a b +-=-【引例】计算：⑴23⨯ ⑵1273⨯ ⑶147× ⑷213⑸31218÷⑹35【例4】 计算下列各式1 ⑴ 35210× ⑵ 321252÷× ⑶ 1324532523÷⨯2 ⑴2255a b cb c a⋅⋅ ⑵3b a ab a b ÷⨯()00a b >>，夯实基础能力提升100初二暑期·第9讲·尖子班·学生版⑶113ab a ⋅ ⑷2123xy y ÷6812 15 18 20 24 4850012 18 342231.2判断及化简⑵若最简二次根式283a -与322a a --是同类二次根式，则a 的值是 ． ⑶若最简二次根式1x y ++与31x y -+是同类二次根式，则______x y -=【例6】 计算下列各式⑴212(1215)38- ⑵ 22(1025)(1025)+---+【例7】 ⑴把下列各式中根号外的因式移入根号内23； 32-； 100.1-； 133； 1214-；⑵把下列各式中根号外的因式移入根号内： ① 1a a- ② ()111a a --【例8】 ⑴若v u ,满足22343432u v v u v u v u v --=++++，那么22u u v v -⋅+=探索创新101初二暑期·第9讲·尖子班·学生版⑵已知141025x -+241025x =++12x x +的值．102初二暑期·第9讲·尖子班·学生版训练1. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，则m = ．训练2. 已知a b ，为实数，且()1110a b b +---=，求20132013a b -的值．训练3. 计算⑴1148275278--+ ⑵11(30.54 1.5)(0.244)22+--训练4. ⑴ ()3322a a a -⋅⑵ ()333a b ab ab ab -+÷，其中0a >，0b >．思维拓展训练(选讲)103初二暑期·第9讲·尖子班·学生版题型一 二次根式的概念 巩固练习【练习1】 当x _______时，241x +有意义，当x ____时，241x +有最____值为______．题型二 二次根式的性质 巩固练习【练习2】 已知a 、b 两实数在数轴上对应位置如图所示，化简()()()22212a b a b --+++题型三 二次根式的运算 巩固练习【练习3】 计算：⑴8045- ⑵ ()()122035++-【练习4】 如果最简根式4411a b a b ++与2641a b a b +++是同类二次根式，求100()a b +的值．【练习5】 计算⑴2196234x x x x +- ⑵33122b a a b a b ab a b a b-+-()00a b >>，实战演练b a-221第十五种品格：创新写字机器肖莱士是一家烟厂的业务员，他的妻子在一家公司做文秘.她经常带一些文件回来抄，肖莱士有空就帮她抄写，但有时文件很多，两人一起抄也来不及.肖莱士于是想，要是有一种“写字机器”该有多好啊!他从一个名叫索尔的工人那儿了解到：曾有一位木匠尝试做一台“写字机器”，但失败了.于是，肖莱士找到那位木匠，把他废弃的机器零件带回家继续研究.一天深夜，肖莱士研究累了，到屋外去散步.当他踱到窗前的时候，他看见妻子埋头抄写文件的身影，他联想到自己正在试图发明的打字机器.妻子的手多像一台正在工作着的打字机啊，于是，肖莱士决定按照这种思路继续进行研究.1867年7月的一天，他终于研制出了世界上第一台有实用价值的商业打字机.创造力是每一个人都有可能发展的一种能力.把创造力限制在少数科学家、文学家和艺术家的多产创作上是一种陈腐的观念.创造性是每一个人作为人类的一员都具有天赋潜能，只要用心，人人都可以表现出创造性.＜创新小结＞如果说，在创新尚属于人类个体或群体中的个别杰出表现时，人们循规蹈矩的生存姿态尚可为时代所容，那么，在创新将成为人类赖以进行生存竞争的不可或缺的素质时，依然采用一种循规蹈矩的生存姿态，则无异于一种自我溃败.104 初二暑期·第9讲·尖子班·学生版。
第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。
注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
2）a≥0为二次根式a的前提条件。
3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。
2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。
2）（a）²=a（a≥0）。
3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。
注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。
2）*a²和（a）²的区别和联系。
区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。
联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。
3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。
3）二次根式：a（a≥0）。
若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。
2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。
即当a≥0时，a有意义。
6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。
即根号内无分母，分母内无根号。
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
即开方开得尽。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。
第二节 二次根式的运算1.二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法法则：).0,0(≥≥=⋅b a ab b a(2)二次根式的除法法则：).0,0(>≥=b a bab a 注：①ab b a =⋅是积的算术平方根性质的逆用，此法则可推广到多个二次根式相乘，即).0,0,0(≥≥≥=⋅⋅c b a abc c b abab a =②是商的算术平方根性质的逆用，如果b a ,是负数，那b a ,无意义． 2. 二次根式的加减法(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，(2)步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简，③合并被开方数相同的二次根式．注：①与整式的加减类似，二次根式的加减，就是化简后合并被开方数相同的二次根式，合并时，只将二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．②二次根式中的系数不能写成带分数．③二次根式的加减法也满足加法交换律和结合律． 3.分母有理化(1)分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，例如：;111aa a ⨯=①⋅-⨯+-babb a a111②(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个，例如：32-的有理化因式可以是,32+也可以是),32(+a 这里的a 可以是任意不为0的有理数． 注：分母有理化因式不唯一，但运算最简便为宜，二次根式的混合运算 4. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，运算结果化为最简二次根式或整式．1.二次根式的乘除法 规律方法总结： 在使用性质)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 时一定要注意0,0≥≥b a 的条件限制，如果,0,0<<b a 使用该性质会使二次根式无意义，如⨯-=/-⨯-4)9()4(⋅-9同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式 的除法运算也是如此， 2. 合并被开方数相同的二次根式的方法二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并，合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式加减的实质(l)化筒（化为最简二次根式）． (2)合并（合并同类二次根式）． 4.二次根式加减的步骤(1)一化：将每一个二次根式化为最简二次根式． (2)二找：找出同类二次根式． (3)三合并：合并同类二次根式， 5.比较二次根式的方法(1)被开方数法，当0,0≥≥b a 时，若要比较ab 与cd 两数的大小，可先将根号外的数平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较． (2)平方法：如果,0>>b a 则.b a >如果,0b a <<则.b a <(3)估算法：若一个非负数a 介于另两个非负数c ，d 之间，则.d a c <<(4)倒数法：将两个正实数取倒数进行比较大小，再确定原来两数的大小． (5)作差法：在两个数比较大小时，经常会用到如下性质：,0≥-b a ①则.b a ≥-a ②,0≤b 则.b a ≤(6)分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较． 6.二次根式混合运算注意事项(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减， 整式与分式的运算法则根式中仍然适用．(2)二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式．(3)二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算．(4)在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用，例1．计算.50511221831332++-- 检测1.（南陵县期末）计算：.27814872a a aa a a +- 例2．（绵阳校级自主招生）已知,0<xy 化简二次根式2x yx -的正确结果为( ) y A . y B -. y C -. y D --.检测2.（柘城县校级一模）把aa 1--中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a A -. a B -. a C --. a D .例3．（祁门县校级模拟）计算=--+-020192018)2()32()32(检测3.（江西模拟）计算：=+--+)123)(123( 例4．比较1213-与1415-的大小．检测4.（周口期末）已知,561,65-=+=b a 则a 与b 的大小关系是a .b第二节 二次根式的运算(建议用时:35分钟)实战演练1．计算5253-的结果是( )5.A 52.B 53.C6.D2．化简24的结果是( ) 2.A 2.B 22.C 24.D3．（镇赉期末）计算)52()52(+⨯-的结果是( )3.-A 3.B 7.C4.D4．与232⨯的值最接近的整数是( )3.A4.B5.C6.D5．（忻州自主招生）计算：32313123-÷的结果为( ) 32.-A 3.B 326.-C 3236.-D6．把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a A -. a B -. a C --. a D .7．下列各式与227-的乘积是有理数的是( )227.+-A 3228.+B 722.+-C 3228.-D8.甲，乙两同学对代数式)0,0(>>+-n m nm nm 分别作了如下变形：甲：;))(())((n m n m n m n m n m n m n m -=-+--=+-乙：.))((n m nm n m n m n m n m -=+-+=+-关于这两种变形过程的说法正确的是( )A ．甲，乙都正确B ．甲，乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确 9．（上海杨浦二模）写出b a -的一个有理化因式：10.（福建洛江模拟）计算：=⨯315511（安徽模拟）8316212+-的结果是 12.计算：=--+)227(32813.（湖北襄城模拟）计算：=÷-6)272483(14.三角形周长为,)6257(cm +已知两边长分别为cm 45和,24cm 则第三边的长是 .cm 15.化简：=⋅÷y x xy x 31243216.对于任意的正数n m ,定义运算*为：⎪⎩⎪⎨⎧<+>-=*)()(m n m n m n m n n m 计算)128()23(*⨯*的结果为17.(河北博野县校级自主招生考题）比较大小：n -+11-n （填“>”或“<”)． 18.（上海虹口月考）化简：=-÷-x x 15212 =--5322;r19.王聪学习了二次根式性质公式b ab a =后，他认为该公式逆过来baba =也应该成立的，于是这样化简下面一题：=--=--327327=-⨯-=-⨯-39339)3(,39= 你认为他的化简过程对吗？请说明理由．20.（湖北黄石中考）观察下列等式：第1个等式：，122111-=+=a第2个等式：;233212-=+=a第3个等式：;322313-=+=a 第4个等式：.255214-=+=a按上述规律，回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：=n a=++++n a a a a Λ321)2(21.比较2和2111+的大小，并写出推理过程．22，计算：;)25()12(525)23()32(62)1(-⨯+--+⨯++ ⋅-++-+--++-+311102115)2(x x x x x x 拓展创新23，比较62与10223的大小． 拓展1．比较215-和0.5的大小． 拓展2．（山东临朐一模）已知：,321,321+=-=b a 则a 与b 的关系是( )1.=ab A 0.=+b a B 0.=-b a C 22.b a D =拓展3．已知a ，b 为正实数，试比较ab b a +与b a +的大小，极限挑战 24.把3333-+化为最简二次根式．答案。
学而思二次根式(知识点精讲+例题解析)二次根式知识点精析二次根式1、定义：形如a ）（0≥a 的式子，称为二次根式。
)0(≥a a 12+a2、最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式②被开方数中不能含开得尽方的因数或因式③分母中不含如：12 18 4.632 32 2a 23a a +3、二次根式的化简如： 16 811 42b a 24-）（ ② ）（0)(2≥=a a a（2）乘法法则逆应用b a b a ⋅=⋅ （0,0≥≥b a ）如：b a 2（a ＞0） 8 32 512（1）①（3）除法法则逆应用 ba b a = （0,0≥≥b a ） 如：a 1 43 （4）分母有理化常用公式： ）（0)(2≥=a a a22))((b a b a b a -=+-如：a 1 3-21 321+ 5323+ 5-3234、同类二次根式①几个根式化成最简二次根式后，被开方数相同如：812与 4312与 520与②同类二次根式的加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并， 合并方法为系数相加减，根式不变．5、二次根式的运算法则加减法： m b a m b m a )(±=±乘法： b a b a ⋅=⋅ （a ≥0，b ≥0）除法： ba b a = （0,0＞b a ≥） m m a a =)( （0≥a ）若0b ＞＞a ，则0b ＞＞a乘法公式推广：① n 321321a a a a a a a a n ⋯⋯⋅⋅⋅=⋯⋯⋅⋅（ 0000n 321≥⋯⋯≥≥≥a a a a ，，，） ②b ab a b a ++=±22）（③ b a b a b a -=-+))((例题解析【例1】判断下列各式是不是最简二次根式 6 8 12 15 18 20 24 48500 21 81 43322 2.1【例2】（1）在二次根式322,,9,8,5a b a c a a +中最简二次根式有（ ）个。
八年级数学下册《二次根式》知识点总结二次根式【知识回顾】二次根式：式子叫做二次根式。
最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式的性质：=；二次根式的运算：因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．二次根式的乘除法：二次根式相乘，将被开方数相乘，所得的积仍作积的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=•；．有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】概念与性质例1下列各式1），其中是二次根式的是_________．例2、求下列二次根式中字母的取值范围；例3、在根式1)，最简二次根式是A．1)2)B．3)4)c．1)3)D．1)4)例4、已知：例5、已知数a，b，若=b－a，则A.a>bB.a0，b>0时，则：①；②例8、比较与的大小。
规律性问题例1.观察下列各式及其验证过程：验证：；验证:.按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；针对上述各式反映的规律，写出用n表示的等式，并给出验证过程.。
第一节勾股定理专题第二讲二次根式乘除法第三讲二次根式专题第四讲二次根式专题 2第五讲二次根式测试题第六讲非负数的性质第七讲二元一次方程组第八讲二元一次方程组复习题第九讲二元一次方程组解应用题专项1 第十讲二元一次方程组应用题2【知识要点：】1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， （即： 222c b a =+）。
2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c += 那么这个三角形是直角三角形。
3.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①．先找出最大边（如:c ） ②．计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
4.勾股数：（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的正整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①．3、4、5 ②．5、12、13； ③．8、15、17；④．7、24、25； ⑤．10、24、26； ⑥．9、40、41．5．直角三角形相关性质：（1）直角三角形中，如果两条直角边分别为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在的关系：面积：ch ab s 2121==（即：c abh =.）周长：c b a l ++=（2）直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半；（反之，如果在直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）（即：2:3:1::=AB AC BC ）（3）在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍（等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。
）（即：2:1:1::=AB BC AC ）【课堂练习题：】a bch ab=3a30°c=2aC ABCABBA不正确的是（）（A）222cba=+（B）222bac=-（C）22bca-=（D）222cba=-2.一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（）（A） 4 （B） 8 （C） 10 （D） 123.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S、2S、3S，则1S、2S、3S的关系是（）（A）321SSS=+（B）232221SSS=+（C）321SSS>+（D）321SSS<+4.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．（A）3cm2（B）32cm2（C）33cm2（D）4cm25.点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（）（A）40 cm （B）220 cm （C）20 cm （D）210 cm6.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）（A）a=9 、b=41 、c=40 （B）a=11 、b=12 、c=15（C）a∶b∶c=3∶4∶5 （D） a=b=5 、c=257.在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm，则△ABC的面积是( )（A）96cm2 (B) 120cm2 (C) 160cm2 (D) 200cm28.锐角三角形的三边长分别是2、3、x，则x的取值范围是（）（A）5<x<13（B）13<x<5 （C）1<x<13（D）1<x<59.已知如图，水厂A和工厂B、C正好构成等边△ABC，现由水厂A和B、C两厂供水，要在A、B、C间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）10.如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（）（A）2-10 （B） -2-10 （C） 8 （D） -12二＞填空题:●●AB(第5题图)架设了一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得∠EAC=30°， 两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为____米．14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是： ，它是 （填入“真”或“假”）命题。
《二次根式》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（）A．0B．﹣4C．4D．﹣82．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）A．B．C．D．3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．54．（5分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x＝2D．x＜﹣2 5．（5分）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．7．（5分）若，则a m＝．8．（5分）若u、v满足v＝，则u2﹣uv+v2＝．9．（5分）已知，求x y的值．10．（5分）若有意义，则x的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知+＝b+8（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．12．（10分）若a，b为实数，且，求．13．（10分）已知x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．14．（10分）已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实数根，求实数a的取值范围．15．（10分）若y＝﹣2，求（x+y）y的值．《二次根式》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（）A．0B．﹣4C．4D．﹣8【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：有意义，则a+1≥0，解得：a≥﹣4，故a能取的最小整数为：﹣4．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误；B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误；C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误；D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得：x≥3，故x不能取的值是：2．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（5分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x＝2D．x＜﹣2【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴2﹣x≥0，x﹣2≥0，解得：x＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．5．（5分）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、，﹣x+2有可能小于0，故不一定是二次根式；B、，x有可能小于0，故不一定是二次根式；C、，x2+1一定大于0，故一定是二次根式，故此选项正确；D、，x2﹣2有可能小于0，故不一定是二次根式；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝2018．【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017+＝m．化简，得＝2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：2018【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．7．（5分）若，则a m＝1．【分析】首先根据分式有意义的条件求出a的值，然后代入式子求出m的值，最后求出a m的值．【解答】解：要使有意义，则，解得a＝2010，故m＝0，∴a m＝20100＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出a和m 的值，本题难度一般．8．（5分）若u、v满足v＝，则u2﹣uv+v2＝．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而＝0，2u﹣v＝0，u＝v，又v＝，∴u＝，∴u2﹣uv+v2＝．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．9．（5分）已知，求x y的值25．【分析】由二次根式的性质，可知5﹣x≥0，x﹣5≥0，得出x＝5，代入已知等式，可求出y的值，进而计算出x y的值．【解答】解：由题意，得，解得x＝5．∴＝2，∴x y＝52＝25．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．（5分）若有意义，则x的取值范围为x≥0且x≠6．【分析】应从两方面考虑x的取值范围：分母不为0和二次根式有意义．【解答】解：由有意义，则6﹣|x|≠0且4x≥0，解得x≥0且x≠6．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．分母上有未知数时注意分母不等于0．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知+＝b+8（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出不等式组，求出a即可；（2）求出a、b的值，再求出平方根即可．【解答】解：（1）+＝b+8，∴a﹣17≥0且17﹣a≥0，解得：a＝17；（2）∵a＝17，∴b+8＝0，∴b＝﹣8，∴a2﹣b2的平方根是±＝±15．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、平方根的定义等知识点，能求出a的值是解此题的关键．12．（10分）若a，b为实数，且，求．【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．【解答】解：由题意，得a2﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，b＝．﹣＝﹣3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．13．（10分）已知x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求解，再根据平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且2﹣x≥0，解得x≥2且x≤2，所以，x＝2，y＝7，x+2y＝2+2×7＝16，所以，x+2y的平方根是±4．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．（10分）已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实数根，求实数a的取值范围．【分析】结合分式方程的解法以及根的判别式进而分析得出答案．【解答】解：原方程等价于x﹣1+x﹣2＝，平方，得4x2﹣12x+9＝ax，4x2﹣（12+a）x+9＝0仅有一个实数根，得：（12+a）2﹣4×4×9＝0，则12+a＝±12，解得：a＝0或﹣24（不合题意舍去）．故a＝0．【点评】此题主要考查了分式方程的解以及二次根式有意义的条件，正确解分式方程是解题关键．15．（10分）若y＝﹣2，求（x+y）y的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x＝4，代入等式可得y＝﹣2，继而代入计算可得．【解答】解：∵，∴x＝4，当x＝4时，y＝﹣2，∴原式＝（4﹣2）﹣2＝．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件得出x的值是解题的关键．。
第一节 二次根式的相关概念1.二次根式的定义一般地，我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，注：①从形式上看，二次根式必定含有称为二次根号；)0(≥a a ②是一个非负数；③a 可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式；0≥a ④是a 为二次根式的前提条件； ⑤形如)0(≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积．2．二次根式的性质a )1(具有双重非负性：.0;0≥≥a a)0())(2(2≥=a a a （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(,0,0)0(,||)3(2a a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a 或⎩⎨⎧⋅≤->==)0()0(||2a a a a a a 注：①化简2a 时一定要先将它化为|,|a 再根据绝对值的意义进行化简． ②注意2a 与2)(a 的区别与联系．3．积的算术平方根的性质).0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a注：① a ，b 无论是数，还是代数式都要有.0,0≥≥b a②如果被开方数不是积的形式，必须化成积的形式，才能应用上述积的算术平方根的性质，其他情况是不能套用的，如b a b a +=/+等．③公式)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a 可以推广到多个非负因数的情况，如).0,0,0,0(≥≥≥≥⋅⋅⋅=d c b a d c b a abcd4.商的算术平方根的性质).0,0(>≥=b a ba b a 5.最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．1.二次根式有无意义的条件(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．2.二次根式的性质与化简要学会利用二次根式的两个非负性进行解题，注：①利用a a =2)(时，一定要注意0≥a 这一条件．②利用|,|2a a =不要出现a a =2这一错误．它相等的条件是.0≥a3.公式)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a 的主要用途是把被开方数中是完全平方的因式的算术平方根移到根号外边来，如.25525125=⨯=,555=反过来，利用这性质也可以将根号外边的正因数（式）带上平方后移到根号里面去，例如：x xx x x ===⨯=1.1;1232322等． (1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，如：不合有可化为平方数或平方式的因数或因式的有y x a a +≥),0(,3,2等：含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有22222,)(,,9,4y xy x y x a +++等．5. 同类二次根式的判断(1)同类二次根式类似于整式中的同类项．(2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．(3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．6.化简二次根式的步骤(1)把被开方数分解因式；(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．7.非负数的常见三种形式(1)绝对值：.0||≥a （n 为正整数）．(2)偶次幂：02≥n a(3)二次根式：).0(0≥≥a a例1.如果x--35是二次根式，那么x 应适合的条件是( ) 3.≥x A 3.≤x B 3.>x C 3.<x D检测1.如果53+-x 是二次根式，则x 的取值范围是( ) 5.-=/x A 5.->x B 5.-<x C 5.-≤x D例2．化简：;500)1( ).0(1249)2(>x xy 检测2.（湖北黄冈期末）把34化为最简二次根式，结果是例3．实数c b a ,,在数轴上的对应点如图6-1-1所示，化简||||2c b c b a a ---++116--检测3.若实数c b a ,,在数轴的位置，如图6—1—2所示，则化简=--+||)(c b c a6-1-2例4．若x ，y 是实数，且,2111+-+-<x x y 求1|1|--y y 的值为检测4. 已知,21121x x y -+-+=则y x 32+的值为倒5．已知：n 是正整数且n 2107是整数．(1)求n 的最小值；(2)试写出满足21072107≤n 的n 的所有可能值，检测5.已知n -13是整数，则正整数n 的最大值和最小值分别是例6．若,2)3()1(=-+-a a 则a 的取值范围是( )3.≥a A 1.≤a B 31.≤≤a C 1.=a D 或3=a检测6.（澄海区校级模拟）化简=--+-22)32(441x x x例7．已知最简二次根式a b -b 3和22+-a b 是同类二次根式．(1)求a ，b 的值； (2)求20203a b +的值，检测7.已知：最简二次根式b a +4与b a -23是同类二次根式，则=+b a第一节 二次根式的相关概念(建议用时:30分钟)实战演练1．二次根式)0(≥a a 是( )A ．正数 B.负数 0.C D.非负数2.下列式子中：,0,5,3s ),0(,35,25>a a 二次根式的个数是( )A ．2个B ．3个 C.4个 D ．5个3．已知,10<<x 那么在2,,1,x x xx 中最大的是( ） x A . x B 1.x C . 2.x D 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )3.0.A xy B 52. 1.+a C ab D 7. 5．（江苏淮安二模）下列各式中与12是同类二次根式的是( )6.A 32.B 18.C 75.D6．（湖北咸丰三模）要使式子231+---x x x 有意义，则x 的取值范围是( ) 1.>x A 1.≥x B 1.≥x C 且3=/x 3.≥x D7．（上海杨浦三模）如果,12)21(-=-a a 那么( )21.<a A 21.≤a B 21.>a C 21.≥a D )2(23.8≤--x x 的最大值是( )6.A 5.B 4.C 3.D9．已知46+n 是整数，则正整数n 的最小值为( )2.A3.B4.C5.D10.（山西模拟）若实数α满足,21=-a 则a 的值为11．当a 为任意实数时，下式是二次根式的有,10+a ,a ,2a ,1-a .1+a a 22512+的最小值是 13．已知05z 4)2(2=-+-+-y x 则xyz 的值为14.化简：=>)0(122y x y 15．观察分析下列数据，寻找规律：ΛΛ30,5,52,15,10,5,0---则第100个数据应是16.（江苏上城一模）要使代数式23422++-x x x 的值为0，则x 的值为 17.计算：=-22102618.已知,2,32==b a 且,0<⋅b a 则=++3b a19.已知,42332--+-=x x y 则2y x -的值为20．n -18是整数，则自然数n 的值为21.（浙江宁波中考）已知：,0<a 化简=-+-+-)1(4)1(42a a a a 22.已知：,2188+-+-=x x y 则22-+-++xy y x x y y x 的值为 23.（浙江杭州模拟）阅读材料，解答问题．例：若代数式)4()2(-+-a a 的值是常数2，则a 的取值范围分析：原式=|,4||2|-+-a a 而||a 表示数x 在数轴上的点到原点的距离，|2|-a 表示数a 在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．解：原式|4||2|-+-=a a在数轴上看，讨论a 在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a 的范围应是.42≤≤a(1)此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举：(2)化简.)7()3(2-+-a a24.观察下列各式：;52258522==-① ;103310271033r==-② ⋅==-174417641744③ (1)根据你发现的规律填空：=-2655 (2)猜想n n n n n ,212≥+-（为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想． 拓展创新 25.化简与求值．先化简,21a a a +++然后再求出2-=a 时，原代数式的值．拓展1．先化简,212a a a +++然后再求出3=a 时，原代数式的值，拓展2．先化简221a a a +-+然后再求出3=a 时，原代数式的值．拓展3．已知⎩⎨⎧<->+,0101a a 化简.2121a a a a +-+++极限挑战26.因为,12)12(2121)2(223222-=-=⨯⨯-+=- 即.12223-=- 因为,32)32(3222)3(347223-=-=⨯⨯-+=-即.3237-=- 请你根据以上规律，化简下列各式：;625)1(- .32)2(-答案。
