日本东北大学2011年春季高考数学试题解答

2011 年高考试题数学（理科）复数一、选择题 :2 i1. (2011 年高考山东卷理科2)复数 z=( i为虚数单位 )在复平面内对应的点所在象限为2 i（ A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】 D【分析】由于z 2i (2i )234i,选 D. 2i55,故复数 z 对应点在第四象限2. (2011 年高考天津卷理科1) i13i 是虚数单位，复数=1iA．2 i B．2 i C．1 2i D．1 2i 【答案】 A.【分析】13i(13i )(1i )42i 2 i . 1i(1i )(1i )23. (2011 年高考安徽卷理科1) (1)设 i 是虚数单位，复数1ai为纯虚数，则实数 a 为2i（A）2(B)2(C)(D)【命题企图】此题考察了复数的运算和纯虚数的观点，是简单题，是常考题型.ai = (1ai )(2i ) =2a(2 a 1)i ，∵ 1ai 2a0【分析】为纯虚数，∴1，i(2i )(2i )52i2a0∴a =2，应选A.4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数z的共轭复数记作z ，若z1i ， i 为虚数单位，则(1z) z =（A）3i（B）3i（C）13i （D） 36.(2011 年高考辽宁卷理科1)a 为正实数， i 为虚数单位，a i2 ，则 a=（）i（A ）2 （B ） 3(C)2(D)1答案： B分析：a i |1 ai | 1 a 22 ,a>0,故 a=3 .i7. (2011 年高考全国新课标卷理科1)复数 2 i的共轭复数是（ ）3 i3 i1 2iABCiD i ;55分析： C ，由于2i = i(1 2i ) i ，因此，共轭复数为i ，选 C1 2i 1 2i评论：此题考察复数的观点和运算，先化简后写出共轭复数即可。

8.(2011 年高考江西卷理科1)若 zi ，则复数 ziA.iB.iC.iD.i【答案】 D【分析】由于 zii)( i)i ，因此复数 z i ,选 D.= (i9．(2011 年高考湖南卷理科 1)若 a, b R ， i 为虚数单位，且 (a i )i bi ，则（ ）A ． a1,b 1B ． a1,b 1C ． a1,b1 D ． a 1,b1答案： D分析：因 (a i )i 1 ai b i ，依据复数相等的条件可知a 1,b1。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学（必修+选修II ）第Ⅰ卷一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2xe -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在．试卷上作答无效．．．．．．．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 214．已知a ∈（2π，π），sinα=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c ==于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+==因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）若0,2tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论： (1)当2t≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减. 2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -<2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->.所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121nn n n n b a b a +++=-+， 当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =-当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N , 21212221n n n a a --+=-+, ①2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n nc c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-.故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k kk k k k k kk k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n nn nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n nnn n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 4 页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（ ）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围 成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

是否 开始输入N k=1,p=1 k=k+1 p=p ·k k<N 输出p 结束结束数 学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． (1) (1) 复数复数212ii+-的共轭复数是（的共轭复数是（ ））(A) 35i - (B) (B) 35i (C) (C) i - (D) (D) i(2) (2) 下列函数中，既是偶函数又在（下列函数中，既是偶函数又在（下列函数中，既是偶函数又在（00，+∞）单调递增的函数是（∞）单调递增的函数是（ ）） (A)y=x 2(B)y=|x|+1(C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) (3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（是（ ）(A ） 120 (B) 720 (C) 1440 （D ）5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） （A ）13 (B) 12 (C) 23 （D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ））（A ）45- (B) 35- (C) 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（则相应的侧视图可以为（ ））（A ） （B ） （C ） （D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB||AB|为为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（的离心率为（ ））（A ）2 （C ） 3 （B ） 2 （D ）3 （8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（轴所围成的图形的面积为（ ）(正视图) (侧视图) （A ）310 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a与b 均为单位向量，其夹角为q ，有下列四个命题，有下列四个命题12:||10,3p a b p q éö+>ÛÎ÷êëø 22:||1,3p a b pq p æù+>ÛÎçúèû 3:||10,3p a b p q éö->ÛÎ÷êëø 4:||1,3p a b pq p æù->ÛÎçúèû其中的真命题是（其中的真命题是（ ）（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p（11）设函数()sin()cos()f x x x w j w j =+++(0,||)2pw j ><的的最最小小正正周周期期为为ππ,且且()()f x f x -=，则（，则（ ）（A ）()f x 在(0,)2p单调递减单调递减 （B ）()f x 在3(,)44pp 单调递减单调递减（C ）()f x 在(0,)2p 单调递增单调递增 （D ）()f x 在3(,)44p p 单调递增单调递增（12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x p =-££的图象所有交点的横坐标之和等于（等于（ ）(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8 (A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2011年高考数学试题及答案（以下为2011年高考数学试题及答案，仅供参考）第一部分：选择题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2，那么 f(-1) 的值为多少？A. -2B. 0C. 2D. 4答案：A2. 已知等差数列 {an} 的公差 d = 4，a1 = 3，a3 = 9，那么 a10 的值为多少？A. 20B. 21C. 22D. 23答案：D3. 若sinθ = 3/5，那么cosθ 的值为多少？A. -4/5C. 3/4D. 4/5答案：A4. 已知ΔABC 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，那么 AC 的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 12答案：A5. 设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 6，那么 f '(x) 的导数为多少？A. 3x^2 - 4x + 5B. 3x^2 - 4x - 5C. x^3 - x^2 + 5D. x^3 - x^2 - 5答案：A第二部分：填空题1. 随机抽取一个数，该数为整数的概率是 _______。

2. 在仅含正整数的数列 {an} 中，已知 a1 = 1，a2 = 2，a(n+1) = an + a(n-1)，则 a5 的值为 _______。

答案：73. 下列四个数中，最小的数是 _______。

A. 0.3^0.4B. 0.4^0.3C. 0.2^0.5D. 0.5^0.2答案：C第三部分：解答题1. 解方程 2^x - 4 * 2^(x-1) + 8 * 2^(x-2) = 0。

解答：设 t = 2^x，则原方程可化简为 t - 4t + 8t = 0，即 5t = 0。

因此，t = 0。

代回原方程中，得 2^x = 0。

由指数函数图像可知，2^x 恒大于 0，所以无实数解。

2. 计算以下定积分：∫(0, π/2) sin(x) dx。

解答：∫(0, π/2) sin(x) dx = [-cos(x)](0, π/2)= -cos(π/2) + cos(0)= -0 + 1= 13. 已知等差数列 {an} 的首项 a1 = 2，公差 d = 3，若 a5 和 a9 分别为首次出现的素数，求 a5 的值。

日本东北大学2011年春季高考数学试题
（文科）
1.解答下面的问题：
（1）关于x 的不等式组
12331
x x x a -≥-⎧⎨⋅+⋅≤⎩ 有解，求实数a 的取值范围。

（2）当x ≥-1时，关于x 的不等式
33x x a a -+⋅≥
恒成立，求实数a 的取值范围。

2. 在△OAB 中，C 在边AB 上，AC ：CB=1∶2，动点D 满足(1)OD xOA x =≥ ，
直线CD 与OB 交于点E 。

（1）若实数y 满足OE yOB = ，则213x y
+=。

（2）若S 为△OAB 的面积，T 为△ODE 的面积，求S T
的最大值及此时x 的值。

3. 王老师和三位学生甲、乙、丙，欲从盒中摸球，已知盒中共有3个红球、7个白球。

摸球方法如下：当王老师掷出的骰子为1点时，甲生从盒中摸球；当王老师掷出的骰子为2或3点时，乙生从盒中摸球；当王老师掷出的骰子为其它点时，丙生从盒中摸球。

三位学生摸球后均不放回。

假定王老师掷出骰子点数的机会均等，学生从盒中摸到任何一球的机会相等。

本实验操作共进行2次。

请解答下面的问题：
（1）求学生A 恰好得到2块红玉的概率。

（2）求学生B 至少得到1块红玉的概率。

4. 直线l ，m 是抛物线2y x =的两条互相垂直的切线。

（1）若切线l 的切点坐标为()2,a a ，试用a 表示l ，m 的交点坐标。

（2）若直线l ，m 关于y 轴对称，求由直线l ，m 和抛物线2y x =所围成图形的面积。

【翻译：曲阜师范大学附属中学 孔凡代】
※原文：见附录
附录。

绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 （A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]P M P a =⇒∈-U ，选C 。

（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+ 【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。

（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。

（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 主题1. a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2 B ．3 C ．2D ．1难度 易 正确答案B [考点：复数、模的运算]提示一 考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提. 提示二 首先化简复数，然后利用模的运算得到含有a 的等式，进而求解. 提示三21()12,1a i ai a i +-+==-+=即23a =，又a 为正实数，3a ∴=. 主题2. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ð=M I ∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅难度 易 正确答案A [考点：集合、韦恩图应用]提示一考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提. 提示二 根据 N ð=M I ∅画出韦恩图，然后明确.M N 提示三 作出满足条件的韦恩（Venn ）图，易知MN M =主题3. 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．74难度 中 正确答案C [考点：圆锥曲线—抛物线] 提示一 考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到AM BN AF +=+BF 是解题的关键. 提示二 利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标. 提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF +=+33,,2BF CD ==所以中点C 的横坐标为315244-=.主题4. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos 2,a A B b A a +=，则=ab A ．23 B ．22 C ．3 D ．2IMNFxAy C B ND M14- O难度 易 正确答案D [考点：解三角形]提示一 考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提. 提示二 利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键. 提示三2sin sin cos 2,a A B b A a +=由正弦定理可得：22sin sin sin cos 2sin ,A B B A A +=sin 2sin B A ∴=,即2ba= 主题5. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和 为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．18B ．14C ．25D ．12难度 中 正确答案B [考点：古典概率]提示一 考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提. 提示二 准确计算出()()P A P AB 、是解题的关键.提示三222232225541(),()1010C C C P A P AB C C +====,()1()()4P AB P B A P A ∴==. 主题6. 执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2难度 中 正确答案C [考点：算法初步—流程图]提示一 考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提. 提示二 抓住流程图的限制条件k n <是解题的关键. 提示三 初始值1,0,1,1,p s t k ====循环开始，第一次:1,1,1,2,p s t k ====第二次:2,1,2,3,p s t k ====第三次:3,2,3,4,p s t k ====此时，k n <不成立，跳出循环，输出3p =. 主题7. 设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= A ．79-B ．19-C ．19D ．79难度 中正确答案A [考点：三角函数求值]提示一 考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提. 提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三 由1sin(),43πθ+=得221sin cos ,223θθ+=即2sin cos ,3θθ+=两边平方，得 21sin 2,9θ+=7sin 29θ∴=-.主题8. 如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， 则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角难度 中 正确答案D [考点：空间几何体的位置关系和角的判断]提示一 考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提.提示二 采用逐一判断的方法进行分析. 提示三,,,SD ABCD AC ABCD SD AC ABCD ⊥⊂∴⊥面面又为正方形，,,AC BD SD BD D ∴⊥⋂=又,.AC SBD AC SB ∴⊥⊥面故A 对；,,AB CD CD CDS AB CDS AB SCD ⊂∴∥面在面外，∥面,故B 对；设,AC BD O ⋂=由上面的分析知，A S O C S O ∠∠与分别是,S AS B D S C S B D 与面与面所成的角，易知A S O C S O ∠∠与相等，故C 对；选D.主题9. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]难度 中正确答案D [考点：分段函数以及性质]提示一 考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提. 提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键. 提示三 易知，()f x R 在上是减函数，由122,0,xx -==得所以x 的取值范围是[)0+∞，.主题10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 A ．12-B ．1C ．2D ．2难度 难 正确答案B [考点：向量模的最值]提示一 考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提. 提示二 利用将||c b a -+平方的技巧进行转化是解题的关键.提示三2)()()1()0,a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅≤（()1;a b c ∴+⋅≥222222()2()2()32()a b c a b a b c c a b c a b c a b c +-=+-+⋅+=++-+⋅=-+⋅321≤-=.主题11. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞） 难度 中 正确答案B [考点：不等式的解法]提示一 考查学生构造能力，通过42)(+>x x f 构造函数()()(24)h x f x x =-+是解题的前提. 提示二 利用求导判断函数()()(24)h x f x x =-+单调性是解题的关键.提示三设''()()(24),()()2h x f x x h x f x =-+=-则0>,故()h x R 在上单调递增，又(1)(1)20h f -=--=所以当1x >-时，()0h x >，即()24f x x >+.主题12. 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，30ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S —ABC 的体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1难度 难 正确答案C [考点：空间几何体—棱锥的体积]提示一 此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提. 提示二 明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键.提示三 如图，过AB 作与直径SC 垂直的球的截面，交SC 于点D ，在Rt SAC∆中，c o s 30=23s i n 30=3S A S C A D S A =⋅=⋅，，同理3,BD ABD =∆故为正三角形.13313333sin 60=432434ABD S ABC S V ∆-=⨯⨯=⨯⨯=，故. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．主题13. 已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．难度 易 正确答案 2 [考点：圆锥曲线—双曲线的离心率]提示一 考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提. 提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三22491a b -=与224a b +=联立，求得1a =，所以2c e a==. 主题14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元． 难度 易 正确答案0.254 [考点：回归方程]提示一 考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二 利用321.0254.0ˆ+=x y求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键. SD ABC提示三 家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x 增加1，相应的ˆy的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元.主题15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ． 难度 中正确答案 23 [考点：三视图]提示一 考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提. 提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键. 提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a ，23234a a ⋅=，故38,2a a ==.左视图与矩形11DCC D 相同，113232DCC D S a a =⋅=四边形. 主题16. 已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf ．难度 中 正确答案3 [考点：三角函数]提示一 考查学生视图能力，清晰A ωϕ、、的含义是解题的前提. 提示二 利用函数图象得到周期，利用点308π（，）代入解析式确定ϕ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f π.提示三 由图知，3=-==22882T T πππω∴∴，，,()tan(2),f x A x ϕ∴=+将308π（，）代入得，3tan(2+=08A πϕ⨯）即3tan()0,4πϕ+=又ϕ2π<，=4πϕ∴.()sin(2).4f x A x π∴=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan 3.4242443f A A f πππππ=∴=∴=∴=⨯+==三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 主题17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 难度 中 正确答案（I ）2n a n =-；（II ）1.2n n n S -=[考点：数列的通项公式和递推数列求和]1C 1D 1A ABCD1B提示一 考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提. 提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得1a d 、；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，采用错位相减法求⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 提示三 （I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故， 12.2242n nn S a a a =+++ 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a aa n n------=+++--=-+++--=---=.2n n 所以1.2n n nS -= 综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 主题18. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 难度 中 正确答案（I ）详见提示; （II ）15.5-[考点：空间几何体、面面垂直的证明、二面角的求解]提示一 考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提.提示二 (1)利用数量积为0，证明PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值.提示三 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz. （I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅= 即,,PQ DQ PQ DC ⊥⊥ 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取15(1,1,1).cos ,.5m m n =<>=-所以 故二面角Q —BP —C 的余弦值为15.5- ………………12分 主题19. （本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为样本平均数． 难度 中 正确答案（I ）2; （II ）选择种植品种乙[考点：随机变量的分布列、期望、样本平均数、样本方差]提示一 考查学生的对事件的识别能力和计算能力.确定X 的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提.提示二 (1)根据题意，明确X 的取值，利用随机事件的概率公式mP n=进行计算，然后利用期望公式求解；（2）利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种. 提示三（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且132244444448883144448811818(0),(1),(2),703535811(3),(4).3570C C C C P X P X P X C C C C C P X P X C C ===============即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. ………………12分主题20. 如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 难度 难 正确答案（I ）3.4（II ）当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ； 当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. [考点：圆锥曲线—椭圆、直线与椭圆的位置关系]提示一 考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和BO//AN 得到斜率相等是解答本题的前提.提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程,利用直线l 和椭圆联立，确定A 和B 的坐标，进而表示出BC 与AD ；（2）利用BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，得到e t 、的表达关系式，通过t 的范围和函数关系确定e 范围，进而明确是否存在直线l ，使得BO ∥AN . 提示三（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分 当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a ta b t t a--=- 解得222221.ab e t a a b e -=-=-⋅- 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得 所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ； 当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21. 已知函数x a ax x xf )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0． 难度 难 正确答案 (1)1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. （II ）（III ）详见提示. [考点：函数、单调性、不等式证明]提示一 考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数11()()()g x f x f x a a=+--和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.提示二 (1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a 进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数11()()(),g x f x f x a a=+--通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明. 提示三（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得 且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a +∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分主题22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆． 难度 中 正确答案（I ）（II ）详见提示.提示一 此题考查平面几何的线线证明和证明四点共圆.考查学生的转化划归能力和平面想象能力.清晰圆的几何性质和证明四点共圆的方法是解题的前提.提示二 (1)通过同位角相等证明线线平行；（2）通过证明三角形△EFA ≌△EGB ，进而证明∠AFG+∠GBA=180°，达到证明四点共圆的目的.提示三（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA ， 所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分主题23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．难度 中 正确答案（I ）详见提示.（II ）2.5提示一 此题考查坐标系与参数方程，直线与椭圆相交.考查学生的转化能力和计算能力，以及分类讨论思想的应用.清晰参数方程化为普通方程的方法是解题的前提.提示二(1)利用参数方程化为普通方程的方法确定曲线的轨迹方程，然后根据α的不同取值，得到交点坐标，进而明确a 与b 的值.（2）根据普通方程和射线l 联立，得到交点坐标，明确四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，利用面积公式求解. 提示三（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为310.10x '= 当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分 主题24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3； （II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．难度 中 正确答案（I ）详见提示. （II ）{|536}.x x -≤≤提示一 此题考查绝对值不等式的解法.考查学生的计算能力和转化能力，以及分类讨论思想的灵活应用.去掉函数中的绝对值是解答本题的前提.提示二(1)利用零点分段法,分析函数的值域，进而证明不等式；（2）采用分类讨论的方法，通过解二次不等式，探求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．提示三（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题：1．(2011辽宁理)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ） A ．23 B ．22 C ．3 D ．22. (2011四川文、理)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-.则A 的取值范围是（ ）(A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π)2. 答案：C解析：由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤3．(2011天津理(2011天津理)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AD AB =,BD AB 32=,BD BC 2=，则sin C 的值为 ( )A ．3 B ．3 C ．6 D ．6【答案】D【解析】设BD ＝2，则3==AD AB ，4=BC ，由余弦定理得332323432cos 222=⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠BD AD AB BD AD ADB ， ∴36311cos 1sin 2=-=∠-=∠BDC BDC .由正弦定理得CBDC sin 2sin 4=∠，即663621sin 21sin =⨯=∠=BDC C .4. (2011浙江文)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += ( )(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .5．(2011重庆文)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ ） A ．154 B ．34C ．31516D ．11166．(2011重庆理)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为（ ）A ．43 B ．843- C ． 1 D ．23二、填空题：1.(2011安徽理)已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________1.153【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积. 【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为1610sin1201532S =⨯⨯⨯=o .2. (2011北京文)在ABC V 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以552,13sin 34a a π==3. (2011北京理)在ABC ∆中。

2011年高考试题解析数学（文科）分项版07 平面向量一、选择题:1．(2011年高考广东卷文科3)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ= （ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】)2,1()0,()2,1(λλλ+=+=+b a ， ()//a b c λ+210324)1(=∴=⨯-⨯+∴λλ所以选B.2.（2011年高考全国卷文科3)设向量a b 、满足|a |=|b |=1, a b ⋅ 1=2-,则2a b +=（A ） （B （C （D 【答案】B【解析】2a b +===== B3.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）12 答案： D解析：由题意，得2a -b =（5，2-k ），a ·（2a -b ）=2×5+2-k=0，所以k=12.4．（2011年高考重庆卷文科5)已知向量(1,),(2,2),a k b a b a ==+且与共线，那么a b ⋅的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 二、填空题：5. （2011年高考海南卷文科13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a b + 与向量k a b -垂直,则k = .【解析】要求→1b *→2b ，只需将题目已知条件带入，得：→1b *→2b =（→1e -2→2e ）*（3→1e +4→2e ）=222121823→→→→-∙-e e e e其中21→e =1，=∙→→21e e = 60cos 21∙∙→→e e =1*1*21=21，122=→e ，带入，原式=3*1—2*21—8*1=—6.8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b （-1,2），则a·b 等于_____________. 【答案】1【解析】因为向量a=（1,1），b （-1,2），所以a·b 等于1.9. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++ =(A)0 (B)BE (C)AD(D)CF答案：D解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.10．（2011年高考湖南卷文科13)设向量,a b满足||(2,1),a b ==且a b 与的方向相反，则a的坐标为 ．答案：(4,2)--解析：由题||b ==2(4,2).a b =-=--11．（2011年高考湖北卷文科2)若向量{1,2},{1,1}ab ==-，则2a b+与a b -的夹角等于A.4π-B.6πC.4πD.34π答案：C解析：因为2(3,3),(0,3)a b a b +=-=,设其夹角为r，故(2)()cos 2|2|||a b a b r a b a b +⋅-==+⋅- 4r π=，所以选C.12.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ取值范围是___。

【参考答案】 【1】．B 提示：由i (i)i 1i|||||||1i |i i i 1a a a a ++⋅-+===-⋅-，且2ii =+a ，所以|1i |2a -=，2，解得，a =a为正实数”，故a =【2】．A 提示：由I N M =∅餴可知，集合N 是集合M 的真子集，故M N M =.【3】．C 提示：由2y x =，可知124p =，又=3AF BF +，可知点A 到y 轴的距离与点B 到y 轴的距离之和为15||||23222p AF BF +-⨯=-=，再利用梯形中位线定理，可以求出线段AB 的中点到y 轴的距离为54. 【4】．D 提示：由正弦定理得，22sin sin sin cos A B B A A+=，即22sin (sin cos )B A A A +=,即sin B A =，所以ba= 【5】．B提示：“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有25C 10=种不同选取方式，其中满足事件A 的有2232C C 4+=种选取方式，所以42()105P A ==，而满足事件B 要求的有22C 1=种，即2225C 1()C 10P AB ==，再由条件概率计算公式，得1()110(|).2()45P A B P B A P A === 【6】．C提示：按照程序框图的流程，直接进行演算即可. 【7】．A提示：利用两角和的正弦公式，π1sin(+)=43θ可以整理成sin cos θθ+=，将其平方，可以得到212sin cos 9θθ+=，解得7sin 29θ=-. 【8】．D提示：容易证明，AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SB ，故选项（A ）正确；由于AB 平行于平面SCD 内的直线CD ，所以AB ∥平面SCD ，选项（B ）正确；SA 与平面SBD 所成的角为SAC ∠，SC 与平面SBD 所成的角为SCA ∠，由于SAD SCD ∆≅∆，所以SA SC =，故SAC ∠=SCA ∠，选项（C ）正确；AB 与SC 所成的角是锐角，而DC 与SA 所成的角是直角，显然不等，故选项（D ）不正确. 【9】．D提示：首先，看分段函数中的第一层，当1x ≤时，1()2x f x -=，满足2)(≤x f ，即满足122x -≤，解这个指数不等式得0x ≥，考虑到这个部分的前提，所以01x ≤≤；当1x >时，2()1log f x x =-，即满足21log 2x -≤，解这个对数不等式得12x ≥，所以，1x >. 综上可知0x ≥. 【10】．B提示：考虑到a ，b ，c 均为单位向量，且0⋅=a b ，不妨设(1,0)=a ，(0,1)=b ，(cos ,sin )θθ=c ，则由()()0-⋅-≤a c b c ，可求出1sin cos θθ≤+≤||+-=a b c ，1||1≤+-≤a b c .【11】．B提示：构造函数()()24g x f x x =--()x ∈R ，所以()()2g x f x ''=-，根据题意，()20f x '->，因此，()0g x '>，故()g x 在R 上是增函数，又因为(1)(1)2(1)42240.g f -=--⨯--=+-=所以()(24)0f x x -+>，也即()(1)g x g >-，由()g x 的单调性，可得 1.x >-【12】．C提示：由ASC BSC ∠=∠，能够知道SC AB ⊥，并且可以计算出SA SB ==2AC BC ==，过A 向SC 作垂线，垂足为H ，连结BH ，由于ASC BSC ∆≅∆，所以BH SC ⊥，这样，大棱锥S ABC -被分割成两个小棱锥，一个是S ABH -，另一个是C ABH -，所以13S ABC ABH V S SC -∆=⨯⨯=【13】．2提示：由点(2,3)在双曲线22221x y a b -=上，可知22491a b -=,即222249b a a b -=，又24c =，即2c =，考虑到222a b c +=，即224a b +=，可以解出1a =，2c =，故2e =.【14】．0.254提示：由321.0254.0ˆ+=x y可以看出，x 每增加一个单位，y 增加0.254个单位.【15】．提示：设正三棱柱底面边长及高为a ，根据体积为可知2a =，所以底面正三角形的高为故所求矩形的面积为2=【16】提示：由图像可知，3πππ2884T =-=，所以1π2T =，即2ω=.又3π()08f =，即3π0t a n (2)8A ϕ=⨯+， 又π||2ϕ<，故π4ϕ=. 再由(0)1f =，得1A =. 综上可知，π()t a n (2)4f x x =+.所以π()24f =【17】．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.na n =-（II ）设数列12n nn a n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故，12.2242n nnS a a a =+++所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn nn nS a a a a aa nn------=+++--=-+++--=--- ＝.2n n 所以12n n nS -=． 综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 【18】．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DCPQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .（II ）依题意有B （1，0，1），(10),(1,21).C BB P ==--设(,,)x y z =n 是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,CB x x y z BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即n n 因此可取(0,1,2).=--n设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可取(1,1,1).=m所以cos ,5<>=-m n 故二面角Q BP C --的余弦值为 【19】．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且4811(0)C 70P X ===， 134448C C 8(1)C 35P X ===，224448C C 18(2)C 35P X ===，314448C C 8(3)C 35P X ===，4811(4)C 70P X ===， 即X 的分布列为X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(403397390404388400412406)400,81[3(3)(10)4(12)0126]57.25.8x S =⨯+++++++==⨯+-+-++-+++=甲甲品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221[419403412418408423400413]412,81[7(9)06(4)11(12)1]56.8x S =⨯+++++++==⨯+-+++-++-+=乙乙由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.【20】．解：（I ）因为1C ，2C 的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>.设直线:(||)l x tt a =<，分别与1C ，2C 的方程联立，求得((A t B t当1,,,22A B eb a y y ==时分别用表示,A B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a ===（II ）t =0时的l 不符合题意，0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即,a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=-⋅-因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO //AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO //AN . 【21】．解：（I ）()f x 的定义域为(0,),+∞ 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在内单调增加. （ii ）若10,()0,,a f x x a'>==则由得 且当110,,()0,,,()0.x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫''∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时当时 所以1()0,f x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内单调增加，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调减少.（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则 3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x=+---'=+-=+--当10,()0,x g x a '<<>时而(0)0,g =所以()0g x >. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>-（III ）由（I ）可得，当0a ≤时，函数()y f x =的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为1(),f a 且1()0.f a> 不妨设1212(,0),(,0),0,A x B x x x <<则1210.x x a<<< 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而212,x x a >-于是1201.2x x x a+=> 由（I ）知，0()0.f x '<【22】．解：（I ）因为EC ED =，所以EDC ECD ∠=∠. 因为,,,A B C D 四点在同一圆上，所以EDC EBA ∠=∠. 故ECD EBA ∠=∠， 所以//CD AB .（II ）由（I ）知，AE BE =，因为EF EG =，故EFD EGC ∠=∠，从而FED GEC ∠=∠. 连结,AF BG ，则EFA EGB ∆≅∆，故FAE GBE ∠=∠，又CD //AB ，EDC EBA ∠=∠，所以FAB GBA ∠=∠. 所以AFG GBA ∠=∠=180°. 故,,,A B G F 四点共圆.【23】．解：(I ）1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当π2α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以1b =.（II ）1C ，2C 的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和 当π4α=时，射线l 与1C 交点1A的横坐标为x =，与2C 交点1B的横坐标为x '= 当π4α=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称，因此， 四边形1221A A B B 为梯形. 故四边形1221A A B B 的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=【24】．（I ）证明：3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25x <<时，327 3.x -<-< 所以3() 3.f x -≤≤ （II ）解：由（I ）可知， 当2x ≤时，2()815f x x x ≥-+的解集为空集；当25x <<时，2()815f x x x ≥-+的解集为{|55}x x <；当5x ≥时，2()815f x x x ≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.综上，不等式2()815f x x x ≥-+ 的解集为{|56}.x x ≤【End 】。

2011 年一般高等学校招生全国一致考试数学试卷（理科）（辽宁卷）分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．主题 1.a i，则 a a 为正实数，i为虚数单位，2iA ．2B ．3C．2 D ．1难度易正确答案 B[考点：复数、模的运算]提示一考察学生基本计算能力，清楚分母实数化是解题的前提.提示二第一化简复数，而后利用模的运算获得含有 a 的等式，从而求解.提示三a i a i1(22 , 即23，又 a 为正实数，a 3 . i1a )1a主题 2.已知 M，N为会合 I 的非空真子集，且M， N不相等，若IN e I M，则 M NMA ．M B．NC．I D．N 难度易正确答案 A[考点：会合、韦恩图应用]提示一考察学生数形联合能力，清楚会合的观点是解题的前提.提示二依据 N eI M画出韦恩图，而后明确M N .提示三作出知足条件的韦恩（Venn ）图，易知M N M主题 3.已知 F 是抛物线 y2 =x 的焦点， A ， B 是该抛物线上的两点，A FB F= 3 ，则线段AB的中点到y轴的距离为yA ．3B． 157M C A C．D．D444N难度中正确答案 C[考点：圆锥曲线—抛物线 ]B提示一考察学生的等价变换能力，1O F x4利用转变思想获得 A M B N A F B F 是解题的重点.提示二利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点 C 的横坐标.提示三如图，由抛物线的定义知， A M B N A FB F3, CD 3315 , 所以中点 C的横坐标为. 2244主题 4. △ ABC 的三个内角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c，a sin A sin B b c o s 2 A 2 a , ，则ba A．23B．22C．3D．2难度易正确答案 D [考点：解三角形]提示一考察学生目标意识能力，清楚正弦定理是解题的前提.提示二利用正弦定理将已知表达式中的边转变为角是解题的重点.提示三 a sin A sin B b c o s 22 a ,由正弦定理可得：Asin 2 A sin B sin B c o s 2 A 2 sin A ,sin B 2 sin A ,即b2 a主题 5.从 1，2，3，4，5 中任取2 各不一样的数，事件 A =“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B =“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P（ B︱ A ） =1121 A ． B ．C． D ．8452难度中正确答案 B[考点：古典概率 ]提示一考察学生辨别事件的能力，清楚事件的计算公式是解题的前提.提示二正确计算出 P ( A )、 P ( AB ) 是解题的重点.C 22421P(AB)1提示三P(A)2C 3 C 2P(B A)2, P(AB)2,P( A).C 5 1 0 C 5 1 04主题 6.履行右边的程序框图，假如输入的n 是 4 ，则输出的 P 是A．8B．5 C．3D．2难度中正确答案 C[考点：算法初步—流程图 ]提示一考察学生的识图能力 .清楚框图的流程过程是解题的前提.提示二抓住流程图的限制条件k n是解题的重点 .提示三初始值 p1, s0 , t1, k1, 循环开始，第一次: p 1, s1, t1, k 2 , 第二次: p 2 , s1, t2, k3, 第三次 : p3, s 2 , t3, k 4 , 此时， k n不可立，跳出循环，输出p3.主题 7.设 sin（+）=12，则 sin43A ．7B ．1C．1D ．79999难度中正确答案 A[考点：三角函数求值 ]提示一考察学生划归能力，清楚两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.提示二利用平方技巧过渡是解题的重点.提示三由sin ()1221 c o s2, 得sin co s, 即 sin, 两边平方，得4322331 sin2,sin27 2.99主题 8. 如图，四棱锥S — ABCD 的底面为正方形， SD 底面 ABCD ，则以下结论中不正确 的是．．．A ．AC ⊥ SBB ．AB ∥平面 SCDC ．SA 与平面 SBD 所成的角等于SC 与平面 SBD 所成的角D ．AB 与 SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角难度 中正确答案 D [考点：空间几何体的地点关系和角的判断]提示一 考察学生的空间形象能力.清楚线面垂直的性质定理、线面平行的判断定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提 .提示二 采纳逐个判断的方法进行剖析.提示三SD 面 ABCD,AC 面 ABCD ,SDAC,又ABCD 为正方形，AC BD,又 SD BD D , AC 面SBD,ACSB.故 A 对；AB ∥ CD,CD面CDS,AB 在面 CDS 外， AB ∥面 SCD ,故B 对；设ACBDO,由上边的剖析知， ASO 与 CSO 分别是SA 与面 SB,D S 与C面所成的角，易知S B DA SO 与C S O相等，故 C 对；选 D.1 x1主题 9.2, x2 的 x 的取值范围是设函数 f ( x )，则知足 f ( x )1 log2 x , x 1A ．[ 1，2]B ．[0， 2]C ．[1， + ]D ． [0，+ ]难度 中正确答案 D [考点：分段函数以及性质]提示一 考察学生转变能力，清楚分段函数的性质是解题的前提.提示二 判断函数在定义域上的单一性是解题的重点.提示三 易知， f( x ) 在 R 上是减函数，由 1 x2 , 得 x0 , 所以 x 的取值范围是0，+.2主题 10. 若 a ， b ， c 均为单位向量，且 a b， ( a c ) (bc )0 ，则 | abc | 的最大值为A ．21 B ．1 C ．2 D ． 2难度 难正确答案 B [考点：向量模的最值 ]提示一 考察学生运算能力 .清楚数目积的运算是解题的前提.提示二 利用将 | a b c | 平方的技巧进行转变是解题的重点.提示三 （ a2( a b ) c1;c ) ( bc )ab ( a b ) cc1 ( ab ) c0,222222321.a b c 2 ( a b ) cc a b c 2 ( a b ) c 3 2 ( a b ) c( a b )主题 11. 函数 f ( x) 的定义域为 R ， f (1 )2 ，对随意 x R ， f ( x )2 ，则 f ( x )2 x4 的解集为A．（1，1）B．（1，+） C．（， 1）D．（， +）难度中正确答案 B[考点：不等式的解法]提示一考察学生结构能力，经过f( x ) 2 x 4 结构函数h ( x ) f ( x )( 2 x 4 ) 是解题的前提.提示二利用求导判断函数 h ( x ) f ( x )( 2 x 4 ) 单一性是解题的重点.提示三设 h ( x )f( x )( 2 x''20 ,故 h ( x ) 在 R 上单一递加，又4 ), 则 h ( x )f( x )h (1) f (1)20 所以当 x 1 时， h ( x )0，即 f ( x ) 2 x 4 .主题 12.已知球的直径SC =4 ， A ，B 是该球球面上的两点，AB= 3， A SC B SC 3 0，则棱锥 S— ABC 的体积为A．3 3B．2 3C．3 D ．1难度难正确答案 C[考点：空间几何体—棱锥的体积 ]提示一本题考察棱锥的体积，考察学生的绘图能力和空间想象能力.利用题设条件正确画出图形是解题的前提.提示二明确三棱锥的底面面积和高是解题的重点.S提示三如图，过 A B 作与直径SC垂直的球的截面，交SC于点 D，在RtSAC中，S A c S o C s3， 0=2A D3B Ds3 , 故 A B D=3三角，同S理 A i n3 为0正133133AD形.S ABD233sin 6 0 =，故V S ABC3443 .4B二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．C主题 13.已知点（ 2，3 ）在双曲线 C：x 2y 21 ( a0 , b0) 上，C的焦距为4，则它的离心率为．22a b难度易正确答案2[考点：圆锥曲线—双曲线的离心率 ]提示一考察学生基本知识掌握状况，清楚双曲线的几何性质是解题的前提.提示二利用点在曲线上和焦距获得方程组是解题的重点.4922c提示三221与 a b4联立，求得a 1 ，所以 e 2 .a b a主题 14.检查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），检查显示年收入x 与年饮食支出 y 拥有线性有关关系，并由检查数据获得?0 . 254 x0 .321．由回归直线方程可y 对 x 的回归直线方程：y知，家庭年收入每增添 1 万元，年饮食支出均匀增添____________ 万元．难度易正确答案 0.254[考点：回归方程 ]提示一考察学生的基础知识掌握状况，清楚归回方程的含义是解题的前提.提示二利用 y?0 . 254 x0 .321 求解“年饮食支出均匀增添量”是解题的重点.提示三 家庭收入每增添 1 万元，对应的回归直线方程中的x增添1，相应的 ?，即年饮食支出均匀y 的值增添 0.254 增添 0.254 万元 .主题 15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 23 ，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．难度 中正确答案 23[考点：三视图 ]提示一 考察学生的剖析解决问题能力和空间形象能力，清楚三视图的察看方法是解题的前提 .提示二 依据俯视图和左视图获得几何体的性质是解题的重点.C 1提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a ，3 2238 , a 2.D 1aa3 ，故 aA 1B 14左视图与矩形 D C C 13 3 .CD 1 同样， S四边形 DC C 1D 1a a 22主题 16. 已知函数 f( x ) =A tan （ x+ ）（0 , | |），y= f ( x ) 的部分图像以以下图，ADB2 则 f ( ) ．24难度 中 正确答案3[考点：三角函数 ]提示一 考察学生视图能力，清楚A 、 、的含义是解题的前提 .3提示二 利用函数图象获得周期，利用点 （ ，0）代入分析式确立 ，利用（ 0,1 ）代入解8析式确立 A ，从而明确函数的分析式，而后求f() .2 4提示三 由图知， T3， T =，= 2 ,f ( x )A tan ( 2 x（ 3 ，）代入得， A ta n ( 23=-), 将+ ）=0即2882883 ) 0,又，=.f ( x ) A sin ( 2 x). 又ta n (42 44f (0 )1, A ta n1,A 1.f () ta n ( 2 ) ta n3.42 42 443三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．主题 17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 {a n }知足 a 2=0 ， a 6 +a 8=-10（ I ）求数列 {a n }的通项公式；（ II ）求数列a n的前 n 项和．n 12难度 中 正确答案（ I ） a n2n ；S n.（ II ） n n 1 [考点：数列的通项公式和递推数列乞降]2提示一考学生用方程思想的解能力和划能力. 清楚等差数列的基本量思想以及位相减法是解的前提.提示二(1) 中，利用等差数列的通公式获得两个方程，解得 a 1、 d；（ 2 ）中通察数列的通公式的构特色，采纳位相减法求 a n的前 n 和 .n12提示三（ I）等差数列{a n}的公差 d，由已知条件可得a1d0 ,2 a1 1 2 d 1 0,a11,解得d 1.故数列{a n}的通公式 a n2n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（ II ）数列{a n的前n项和为S n，即 Sna 2 a nn 1} a1n1,故 S11，222S n a1 a 2 a n224n. 2所以，当 n 1 ，S n a 2a1 a n an 1 a na 12n1n222 1112n1(4n 1)2n2212n 1(1n 1)n22n所以 S n n1. a n n⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分=n .n上，数列 {n 1}的前n项和S n n 1 .2222主 18. （本小分12 分）如，四形ABCD 正方形， PD ⊥平面 ABCD ， PD ∥ QA ，QA =AB = 1PD ．2（I）明：平面 PQC ⊥平面 DCQ ；（II）求二面角 Q —BP — C 的余弦．1 5度中正确答案（I）提示;（II）.5[考点：空几何体、面面垂直的明、二面角的求解]提示一考学生的空想象能力和利用空向量理的能力.清楚面面垂直的判断定理和利用向量法求解二面角的步是解的前提.提示二(1) 利用数目0 ，明 PQ ⊥ DQ ，PQ ⊥ DC ，而后利用面垂直明面面垂直；（2）确立两个半平面的法向量，利用向量角公式求解二面角的余弦.提示三如，以 D 坐原点，段DA 的位，射DA x 的正半成立空直角坐系D— xyz.（I）依意有Q（ 1，1，0）， C（ 0，0，1），P（0，2，0）.D Q(1,1, 0), D C(0 ,0 ,1), PQ(1, 1, 0).所以PQ DQ0,PQ DC0.即PQ DQ,PQ DC,故 PQ ⊥平面 DCQ.又 PQ平面 PQC ，所以平面 PQC ⊥平面 DCQ.⋯⋯⋯⋯ 6 分（ II）依意有 B （1， 0， 1），CB,0),1(( 2BP1.),1n( x , y , z ) 是平面PBC的法向量，n C B0 ,x0 ,即n B P0 ,x 2 y z 0.所以可取 n (0 , 1, 2 ).m B P0 , m是平面 PBQ 的法向量，m P Q0.可取m(1,1,1). 所以 co s m , n 1 5.5故二面角Q— BP —C 的余弦主 19. （本小分12 分）1 5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5某划栽种某种新作物，此种作物的两个品种（分称品种甲和品种乙）行田．取两大地，每大地分红n 小地，在共2n 小地中，随机n 小地栽种品种甲，此外n 小地栽种品种乙．（ I）假 n=4 ，在第一大地中，栽种品种甲的小地的数目X，求 X 的散布列和数学希望；（ II）每大地分红8 小，即 n=8，束后获得品种甲和品种乙在个小地上的每公量（位：kg/hm2）以下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分求品种甲和品种乙的每公量的本均匀数和本方差；依据果，你栽种哪一品种？附：本数据 x1 , x 2 ,, xn的的本方差 s21[( x1 x )2( x 2 x )2( x n x )2] ，此中x本均匀数．n度中正确答案（I）2;（II）栽种品种乙[考点：随机 量的散布列、希望、 本均匀数、 本方差 ]提示一 考 学生的 事件的 能力和 算能力 .确立 X 的取 和正确 希望、 本均匀数和 本方差的 算公式是解 的前提.提示二 (1)依据 意，明确X 的取 ，利用随机事件的概率公式P m（2）利行 算，而后利用希望公式求解；n用 本均匀数和 本方差的公式分 算两种状况下数 ，通 数 大小比 确立 哪一种品种.提示三（ I ）X 可能的取0，1，2，3，4，且111 3 82 2 1 8 P ( XC 4 C4C 4 C40 ),P(X1),P(X2)4,47 043 5 3 5C 8C 8C 8311 1P ( XC 4 C48,P(X3)4 )4.43 57 0C 8 C 8即 X 的散布列⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分X 的数学希望1 8 1 8 8 41 E(X) 01232.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分7 03 53 53 57 0（ II ）品种甲的每公 量的 本均匀数和 本方差分 ：1(403 397 390404 3884 0 0 4 1 2406)400,x 甲81 2( 3 )222221 2225 7.2 5.S 甲(3( 10) 4( 1 2 )6 )8⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分品种乙的每公 量的 本均匀数和 本方差分 ：x 乙1(4 19 403 412 4 1 84 0 8423 4004 13)412,821 222222225 6.S 乙8( 7 ( 9 )6( 4 )1 1( 12)1 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由以上 果能够看出， 品种乙的 本均匀数大于品种甲的 本均匀数， 且两品种的 本方差差别不大，故 种植品种乙 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分主 20. 如 ，已知 C 1 的中心在原点 O ， 左、右端点 M ，N 在 x 上， C 2 的短 MN ，且 C 1， C 2 的离心率都e ，直 l ⊥ MN ， l 与 C 1 交于两点，与C 2 交于两点， 四点按 坐 从大到小挨次A ，B ，C ，D ．（ I ） e1与 A D的比 ；，求 BC2（ II ）当 e 化 ，能否存在直 l ，使得 BO ∥AN ，并 明原因．度正确答案（ I ）3.（II ）当 0e2 l ，使得 BO//AN ；，不存在直42当2 e1 ，存在直 l 使得 BO//AN.2[考点： 曲 — 、直 与 的地点关系 ]提示一 考 学生 数形 合和分 的理解，以及 算能力.利用直 和 立获得交点坐 和BO//AN 获得斜率相等是解答本 的前提 .提示二 (1) 依据离心率同样 出两个 方程 ,利用直 l 和 立， 确立 A 和 B 的坐 ， 而表示出 BC 与AD ；（ 2）利用 BO//AN当且 当 BO 的斜率 k BO 与 AN 的斜率 k AN 相等，获得 t 、 e 的表达关系式， 通 t 的范 和函数关系确立 e 范 ， 而明确能否存在直 l ，使得 BO ∥ AN .提示三（ I ）因 C 1， C 2 的离心率同样，故依 意可2 22 2 2C 1 :xy1,C 2 :b yx1, ( ab0 )2242a ba a直 l: xt(| t | a ) ，分 与 C 1， C 2 的方程 立，求得A ( t ,a2t 2B (t ,b22).⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分ba), aat当 e13y B 表示 A ， B 的 坐 ，可知2 时 , b2 a , 分 别 用 y A ,2 | y B |2 3b ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分| B C |:| AD |2 | y A |2.a4（ II ） t=0 的 l 不切合 意 . t0 ， BO//AN当且 当 BO 的斜率 k BO 与 AN 的斜率 k AN 相等，即b 22aa 22aa tbta b 21 2,解得 t ea .tta22e 2ab22因 | t |a , 又 0e1,所以1 e1,解得e1.22e所以当 0e2，不存在直l ，使得 BO//AN ；2当2 e1 ，存在直 l 使得 BO//AN.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分221. 已知函数f ( x )ln x 2 ( 2 a ) x ．ax（ I ） f( x ) 的 性；（ II ） a0 ， 明：当 0x 1 1f 1 x ) ；a， f (x )(aa（ III ）若函数 y f ( x )的 像与 x 交于 A ， B 两点， 段 AB 中点的横坐x 0， 明： f （ x 0）＜ 0．度正确答案 (1) f ( x ) 在( 0 , 1 ) 增添，在 (1 , ) 减少 . （II ）（ III ） 提示 .a a[考点：函数、 性、不等式 明]提示一 考 学生灵巧 用分 思想、等价 思想的能力和结构函数 明不等式的解 能力.清楚 数法研究函数的 性、结构函数g ( x )1x ) 1 x ) 和借助前一二 解决第三 的意 是解 的前提.f (f (aa提示二 (1) 第一明确函数的定 域，利用求 和a 行分 确立函数的 区 ； （ 2 ）利用结构函数g ( x ) 1x ) f ( 1x ), 通 求 确立其最小 大于0 ；（ 3）借助第一 和第二 的 行 明.f (a a提示三（ I ） f ( x )的 定 义 域 为 (0 , ), f ( x )1( 2( 2 x1)( a x1)2 a x a ).xx（ i ）若 a 0 , 则 f ( x ) 0 , 所 以 f ( x ) 在 (0 ,) 增添 .（ ii ）若 a0 , 则 由 f ( x )0 得 x1,a且当 x1( x )0 , 当 x1时 , f ( x )0.(0 , )时 , faa所以 f ( x ) 在 ( 0 , 1) 增添，在a（ II ） 函数 g ( x )1 x )f (ag ( x ) ln (1 a x )ln (1 a x )1 ) ( , a 1 x ),f ( a2 a x ,减少 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分a a3 2g ( x )2 a2 a x2.1 a x 1a x 1 2a x当 0x1 0 , 而 g (0 )0 , 所 以 g ( x )0 .时 , g ( x )a故当 011x )f1 x ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分x时 ， f (( aaa（III ）由（ I ）可得，当 a 0时 , 函 数 yf ( x ) 的 像与 x 至多有一个交点，故 a0 ，从而 f ( x ) 的最大1), 且 f 1 0. f ( ( )a a不如 A ( x 1 , 0 ), B ( x 2 , 0 ), 0x 11 x2 , 则 0 x 1 x 2 .a2 1 1x 1 )f ( x 1 )0.由（ II ）得 f (x 1 )f (aaa从而 x 2 2 x 1 , 于 是 x 0x 1x 21a2.a由（ I ）知， f( x 0 ) 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分主 22. （本小分10 分）修4-1 ：几何明如， A ， B， C， D 四点在同一上，AD 的延与BC 的延交于 E 点，且 EC =ED ．（I）明： CD //AB ；（II）延 CD 到 F，延 DC 到 G，使得 EF=EG ，明： A， B ，G， F四点共．度中正确答案（I）（II）提示.提示一此考平面几何的明和明四点共.考学生的化划能力和平面想象能力和明四点共的方法是解的前提.提示二(1) 通同位角相等明平行；（2）通明三角形△EFA ≌△ EGB ，而明∠达到明四点共的目的.提示三（ I）因 EC=ED ，所以∠ EDC= ∠ ECD.因 A ，B ， C， D 四点在同一上，所以∠EDC= ∠EBA.故∠ ECD= ∠EBA ，所以CD//AB.⋯⋯⋯⋯5分（II）由（ I）知， AE=BE ，因 EF=FG ，故∠ EFD= ∠ EGC从而∠ FED=∠ GEC.AF ， BG ，△ EFA ≌△ EGB ，故∠ FAE= ∠ GBE ，.清楚的几何性AFG+ ∠ GBA=180 °，又 CD//AB ，∠ EDC= ∠ ECD ，所以∠ FAB= ∠ GBA.所以∠ AFG+ ∠ GBA=180 ° .故A，B，G，F四点共⋯⋯⋯⋯10分主23.（本小分10 分）修4-4 ：坐系与参数方程x cos x a cos在平面直角坐系xOy中，曲 C 1的参数方程（参数），曲 C 2的参数方程（ a b0 ，y sin y b sin参数），在以 O 极点，两个交点的距离 2，当x 的正半极的极坐系中，射=，两个交点重合．l：θ=与 C 1， C2各有一个交点．当=0，2（ I）分明C1， C2是什么曲，并求出 a 与b 的；（ II）当= ， l与C1， C2的交点分A1，B1，当=， l与C1， C2的交点A2， B2，求四形44A 1A2 B2B 1的面．度中正确答案（I）提示.（II）2 . 5提示一此考坐系与参数方程，直与订交.考学生的化能力和算能力，以及分思想的用.清楚参数方程化一般方程的方法是解的前提.提示二(1) 利用参数方程化一般方程的方法确立曲的迹方程，而后依据的不一样取，获得交点坐，而明确 a 与 b 的 .（2）依据一般方程和射l 立，获得交点坐，明确四形A1A 2B2B 1梯形，利用面公式求解.提示三（I）C 1是， C 2是.当0 ，射l与C1，C2交点的直角坐分（ 1 ， 0 ），（ a ， 0 ），因两点的距离2，所以 a=3.当，射 l 与 C1， C2交点的直角坐分（0， 1），（ 0，b ），因两点重合，所以b=1.22（ II） C1， C2的一般方程分x 22xy21.y1和9当，射 l 与 C1交点 A 1的横坐x 23 1 0，与 C 2交点 B 1的横坐x.42 1 0当4，射 l 与 C1，C2的两个交点 A 2，B2分与 A1，B 1对于 x 称，所以四形 A1 A2B2B 1梯形 .故四形 A1 A2 B 2B1的面( 2 x 2 x )( xx )2.⋯⋯⋯⋯ 10 分25主 24.（本小分 10分）修4-5 ：不等式已知函数 f ( x) =|x-2|| x-5|．（ I ）明：3≤f( x ) ≤3；（ II）求不等式 f ( x) ≥x28x+15的解集．度中正确答案（ I）提示 .（ II ）{ x | 53x6}.提示一此考不等式的解法.考学生的算能力和化能力，以及分思想的灵巧用.去掉函数中的是解答本的前提 .提示二 (1) 利用零点分段法 ,剖析函数的域，而明不等式；（2 ）采纳分的方法，通解二次不等式，探究不等式 f( x ) ≥x28x+15 的解集．3,x 2 ,提示三（ I）f ( x )| x2|| x 5 | 2 x7 ,2x 5 ,3,x 5.当 2x5时, 3 2 x7 3.所以3f( x ) 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ II ）由（ I ）可知，当 x 2 时 , f ( x )28 x 1 5 的解集空集；x当 2x5时 , f ( x )x 21 5的解集为 { x | 53x5}；8 x当 x5时 , f ( x )28 x 1 5的解集为 { x | 5x6}. x上，不等式 f ( x )28 x 1 5 的解集为 { x| 53x6}.⋯⋯⋯⋯ 10 分x。

【参考答案】 【1】．B 提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.故选（B ）. 【2】．A提示：充分性显然成立，而存在反例43122≥+，可知必要性不成立.故选（A ）. 【3】．B提示：根据条件执行4次，过程如下： 当1=i 时，2a =，不合题意； 当2=i 时，5=a ，不合题意； 当3=i 时，16=a ，不合题意； 当4=i 时，65=a ，适合题意. 故应选（B ）. 【4】．D提示：⎩⎨⎧-=⋅=，，29327d a a a 解得201=a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S . 【5】．C提示：6326166C ((1)C 2rr r r r r r r T x ---+==-，令23=-r ，则,1=r 故2x 的系数为1463C (1)28--⨯=-. 【6】．D提 示：设x AB =，则,332,x BD x AD ==可求31co s =A ,那么322s i n =A ,又A C BC AB sin sin 43==,求得66sin =C .【7】．C提示：首先确定16.3log 04<<，则5<b ，而310log 3.0log 33551=⎪⎭⎫⎝⎛=c ，又1310log 4.3log 4.3log 332>>>，从而5>>c a ，故选（C ）. 【8】．B提示：解1)()2(22≤---x x x ，得1-≤x ≤32，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤≤--=.231,,231,2)(22x x x x x x x f 或如下图,由图像可看出函数c y =与函数有两个交点时，c 的取值范围为(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭.故应选（B ）.【9】．12提示：男女比例为：4:3，则样本中抽取男运动员的人数为127421=⨯. 【10】．π6+提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个复合体.底座是一个长、宽、高分别为3,2,1的长方体，上面是一个半径为1的圆锥，且底面是长方体的上地面的内切圆,可得π63π31123+=⨯⨯+⨯⨯=V .【11】．2提示：抛物线方程为x y 82=，那么直线方程为2-=x y ，由相切可得：22|24|==-r .【12】．27提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE .【13】．2|{-x ≤x ≤5} 提示：|)4()3(|-++x x ≤|3||4|x x ++-≤9，即|12|-x ≤9，可得4|{-∈=R x A ≤x ≤5}，而x x B |{=≥2}-,所以A B ⋂=2|{-x ≤x ≤5}.【14】．5提示：建立直角坐标系如下图所示，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.【15】．解（Ⅰ）因为由ππ2π,42x k k +≠+∈Z, 得ππ,82k x k ≠+∈Z . 所以()f x 的定义域为ππ{|,}82k x x k ∈≠+∈R Z . ()f x 的最小正周期为π.2（Ⅱ）由()2cos 2,2f αα=得πtan()2cos 2,4αα+= 即22πsin()42(cos sin ),πcos()4αααα+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin αααααααα+=+-- 因为π(0,)4α∈，所以sin cos 0.αα+≠因此21(cos sin ),2αα-=即1sin 2.2α=由π(0,)4α∈，得π2(0,)2α∈.所以π2,6α=即π.12α= 【16】．解：（Ⅰ）（i ）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i =则213232253C C 1().C C 5P A =⋅= （ii ）设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又2112133222222225353C C C C C 1(),C C C C 2P A =⋅+⋅= 且23A A ，互斥，所以23117()()().2510P B P A P A =+=+= （Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)C (1),101050749(2)().10100P X P X P X ==-===⨯-====XX的数学期望()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯=【17】．解：如下图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得111A B C ,(0,0,0),A B C ,（Ⅰ）易得11(2,2,5),(22,0,0)AC AB =--=-，于是111111cos,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与11A B （Ⅱ）易知111(0,22,0),(2,AA AC ==-设平面11AAC 的法向量(,,)x y z=m ，则11100.AC AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，m m即0,0.⎧+=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得=m ，同样地，设平面111A B C 的法向量(,,)x y z =n ，则11110,0.AC A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.⎧+=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得=n于是2cos,,||||7⋅===⋅m n m n mn从而sin ,=m n 所以二面角111A AC B --（Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得N 设(,,0)M a b ，则2(,,222MNa b =--. 由MN ⊥平面111A B C ，得11110,0.MN A B MNAC ⋅=⎧⎨⋅=⎩即)(0,()(()(0.222a ab ⎧-⨯-=⎪⎪⎨⎪-⨯+-⨯+=⎪⎩解得4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故M因此2(24BM=，所以线段BM 的长为10||BM = 【18】．解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->.由题意，可得212||||,PF F F =即2.c = 整理得22()10,1cc c aa a +-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e = （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c +=直线2PF方程为).y x c =-,A B 两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -=解得1280,.5x x c ==所以方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为833(,),(,),(,)55xy AMx c y c BM x y =--=则，由),.3y x c c x y =-=-得于是838(,),55AM y x y x =--().BM x=由2,AM BM ⋅=- 即38)()255y x x y x -⋅+=-，化简得218150.x --=将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M 的轨迹方程是218150(0).xx --=>【19】．（Ⅰ）解：2112()2,(0,)ax f x ax x x x-'=-=∈+∞. 令()0,f x '=解得2x a=当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是()f x 的单调递减区间是).+∞ （Ⅱ）证明：当211,()ln .88a f x x x ==-时 由（Ⅰ）知()f x 在（0，2）内单调递增，在(2,)+∞内单调递减. 令3()()().2g x f x f =-由于()f x 在（0，2）内单调递增， 故3(2)(),2f fg >即(2)>0.取23419e e 2,()0232x g x -''=>=<则，所以存在00(2,),()0,x x g x '∈=使 即存在003(2,),()().2x f x f ∈+∞=使（说明：x '的取法不唯一，只要满足2,()0x g x ''><且即可）.（Ⅲ）证明：由()()f f αβ=及（I ）的结论知αβ<<， 从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f α又由βα-≥1，,[1,3],αβ∈知1≤α≤2≤β≤3.故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨⎨≥≥-≥-⎩⎩即 从而ln 3ln 25-≤a ≤ln 2.3【20】．（Ⅰ）解：由*3(1),,2nn b n +-=∈N 可得1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数，2,为偶数.又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434553;5;4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =-=-=当=1时,++2=0,由=2,=4,可得当=2时,2++=0,可得当=3时,++2=0,可得（Ⅱ）证明：对任意*,n ∈N2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320.n n n a a a +++++= ③②-③，得223.nn a a += ④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+，即*1()n n c c n +=-∈N ,又1131,0,n c a a c =+=-≠故因此11,n nc c +=-所以{}n c 是等比数列. （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得2121(1)k k k a a -++=-，于是，对任意*k k ∈N 且≥2，有133********,()1,1,(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=--即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立. 由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),kk k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*,n n ∈N≥2，44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m mS S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ (151111113()())]3235572121(22)(23)n n n n =+⨯-+-++-+-+++ 155137.36221(22)(23)6n n n =+-⨯+<+++ 对于n =1，不等式显然成立. 【End 】。

封…………○………线……………………………东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷（ B 卷）2011 ---2012 学年第 一 学期课程名称：高等代数工（一）B . (2-n n A . 12213443-a a a a ； B . 12233441-a a a a ；C . 12223443-a a a a ；D . 12233444-a a a a .3． 若方程组12120λλ+=⎧⎨+=⎩x x x x 有非零解，则λ为（ ）.A .任意值；B . 1±；C .1；D . -1. 4． 若线性方程组增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，下面正确的是( ) .A. 方程组无解；B. 方程组有唯一解；C. 方程组有无穷解；D. 方程组有解.5. A ，B ，C 均为3级方阵，设A 经第3行乘以5后变为B ，B 经过第3行与第1行交换位置变成C ，若设PA =C ，则P 为( ) .A .500001010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；B.500010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.005010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D. 005100010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设n 级方阵B 与C 满足'=B C C ，其中0=C ，则矩阵B 是（ ）. A . 正定的； B . 半正定的； C. 负定的； D. 半负定的.2．设行列式41248104811111211-=-D ，ij A 为ij a 的代数余子式，则1222324222-+-=A A A A .3. 设3级方阵A 按列分块为A =),,(γβα，且5=A ，又设()2,3,γαβα=-B ，则=B .4．矩阵101021210⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A , 则矩阵A 的伴随矩阵*A = . 5．二次型12(,,,)'=n f x x x X AX 在线性替换=X CY 下二次型的矩阵为 .6．t 满足 时，二次型222112132233222222-++-+-x tx x tx x x tx x x 是负定的.…………○………线………………………本试卷共 3 页，第2 页……………○………线……………………………2．（7分）设A为方阵，且2=A A，求证：()(21)+=+-k kA E E A.3．（8分）假设向量β可以经向量组12,,,αααn线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是12,,,αααn线性无关.3 页高代工一11-12-1学期2012.1-B(答案及评分标准)一、1. C ；2. B ；3. B ；4. D ；5. C ；6. B二、1. 8；2. 72；3. -15；4. 112221412--⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭；5. 'C AC ；6. 21t -<< 三、1.解：利用行列式性质 45r xr +，34r xr +， ………….. 3分 =543254321x x x x x +++++ ………….. 2分2.解：011121020022200101001111001001101100001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，秩为4 ………….. 3分 1235,,,αααα为一个极大线性无关组 ………….. 3分 （或1345,,,αααα，或2345,,,αααα）4122ααα=- ………….. 3分四、解：由11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，得2212132324y y y y y y --+=22213233()(2)3y y y y y ---+， 由113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，=2221233z z z -+ ………….. 4分 所用非退化线性替换为1110101113110012111001001001X Z Z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，….. 5分在复数域上，令1113100111001300100/3003iX i W i W⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=---= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w++………….. 3分在实数域上，令111131001110011/31001030030X W W⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w+-………….. 3分五、解：12111(2)(1)11λλλλ=---，当21λλ≠≠且时，有唯一解；………….. 5分当=2λ时，1212103/521212011/5021140000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，有无穷解；通解为230105k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….. 5分当=1λ时，121210101111010011140001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解. ………….. 5分六、1.解：1111100112--⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭010231121⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭，1111022110-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭11/2011/21111-⎛⎫⎪--⎪⎪-⎝⎭，……….. 3分X=1111101100110112011--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1111022110-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭=21169/25433--⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭……….. 2分2.证明：由A与E可交换，得001110()k k k k kk k kA E C A E C A E C A E-+=+++……….. 5分1()kk kE A C C E+++=(21)kE A+-……….. 2分3.证明：必要性反证法若12,,nααα相关，则存在不全为零的12,,nk k k使1122n n k k k ααα+++=0. 若有1122n n p p p βααα=+++，则有111()()n n n p k p k βαα=++++，这与条件矛盾，故12,,n ααα必无关. ……….. 4分 充分性 反证法 若表法不唯一，设有1122n n l l l βααα=+++及1122n n k k k βααα=+++，则必有111222()()()n n n l k l k l k ααα-+-++-=0，由表法不唯一，说明12,,n ααα相关，矛盾，故表法必唯一. ……….. 4分。

7. (2011全国大纲卷理)设向量a , b , c 满足a _ c,b -c - 60°,则C 的最大值等于((B) 3(A) 2 7.【答案】A(c) .2-1|, a * b(D) 12011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10平面向量)一、选择题：1. (2011 广东文)已知向量 a = (1,2), b= (1,0), c 二(3,4).若■为实数，(a • ■ b ) // c ,则彊二()1 1 A. -B. -C . 1D . 24211•解析：(B ). a+Xb=1 切"，由(a +九 b ) // c ,得 6-4(1 + 树=0 ,解得 k =-2. (2011广东理)若向量a , b , c 满足a // b 且a _ c ，则c (a 2bH ()A . 4B . 3C . 2D . 02.解析：(D ).依题意得 c _ a , c _ b ，则 c (a • 2b )二 c a 2c 03 . (2011湖北文)若向量a = 1,2 ,b = 1, -1，则2a+b 与a-b 的夹角等于()3 二A .B .C .D .—4644所以2a b与a -b 的夹角等于:。

故答C4 . (2011 辽宁文)已知向量 a = (2,1) , b =(一1, k) , a ・(2a -b )=0，则 k =(6. (2011全国大纲卷文)设向量a,b 满足| a |=|b |=1, a ・b =-一，则a + 2b =()2(A 迈(B )3(C )5(D )7【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法rr 2r 2rrcr 21rr^【解析】|a+2b|=|a| +4a b+4|b |=1+4 汇(―3)+4 =3,所以 a+2b=j3解:2a b =(3,3),a-b =(0,3), COSTA . -12B . -6C . 6D . 12 5 . (2011辽宁理)若a , 值为()A . .2—1B . 1b ,c 均为单位向量，且 C .2 D . 2a ・b = 0 , (a -c )・(b - c ) _ 0 ,则 | a • b - c | 的最大ACD【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想uur r uuu r uuu r - _【解析】如图，设AB 二a, AD 二b, AC =c，则.BAD =120 ,. BCD =60 ,.BAD • . BCD =180 ,二A,B,C, D四点共圆，当AC为圆的直径时，最大，最大值为2.8. (2011全国新课标卷理)已知a与b均为单位向量，其夹角为v，有下列四个命题P3: a —b >1二其中的真命题是( (A)R,R0,-[3丿\兀)日e|0,—111 3丿)F4: a —b2 二，二.3,二.3'c 1cos2.a2b2-2abcos J -、2「2cos 二1 得cos^ :: 1 =28.解析：a+b = J a2+b2+2abcosT = J2+2cos 日> 1 得,0,2兀)亠 a —b1。