导数的概念及其几何意义教案

导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。

在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。

2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。

导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。

二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。

对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。

通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。

2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。

对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。

通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。

三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。

通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。

2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。

导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。

导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。

结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。

通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。

2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学。

五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。

4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。

5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。

8. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。

七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。

鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。

八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。

九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。

2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。

2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。

3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。

《导数的概念及其几何意义》一、教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义.在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。

从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。

它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理.从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用. 二、学生学情分析1.导数是对变化率的一种“度量”实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从. 2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，t h ∆∆趋于一个定值；当||x ∆趋于0时，xy∆∆趋于一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数)(x f y =的图像，平均变化xy∆∆表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。

人教A版选修2《导数的几何意义》教案及教学反思一、教师教学设计1.1 教学目标1.理解导数的定义及几何意义；2.掌握导数的概念、符号和实质；3.能够利用导数求一元函数的单调性和极值；4.能够应用导数求解相关最值问题。

1.2 教学内容导数的概念及几何意义1.3 教学重点1.导数的概念的理解；2.导数的几何意义的掌握。

1.4 教学难点1.导数的符号的理解；2.导数的实质的理解。

1.5 教学方法1.讲授法：讲解导数的定义及几何意义，并通过实例演示导数的计算方法；2.案例法：通过一些简单的案例，帮助学生理解导数的概念；3.组织讨论法：通过讨论和合作，帮助学生更好地掌握导数的概念和几何意义。

1.6 教学过程第一步：导入导数的概念1.在黑板上写出导数的定义；2.带领学生探讨“速度”和“斜率”之间的关系。

第二步：导数的符号及实质1.介绍导数的符号及意义；2.帮助学生理解导数的实质。

第三步：导数的几何意义1.通过实际图形，帮助学生理解导数的几何意义；2.分组讨论，让学生自己发现导数的几何意义。

第四步：导数的应用1.通过实例演示如何应用导数求解单调性和极值问题；2.让学生结合实际应用场景，自己解决相关最值问题。

1.7 教学评价1.通过讨论和合作，学生能够更好地掌握导数的概念和几何意义；2.学生能够熟练地运用导数，求解一元函数的单调性和极值；3.学生能够应用导数求解相关最值问题。

二、教学反思本节课使用了讲授法、案例法和组织讨论法，让学生更好地理解了导数的概念和几何意义。

在实践中，我发现不同的学生适合不同的教学方法。

一些学生更适合案例法，因为这可以让他们通过具体案例更深入地理解导数的概念。

另一些学生更适合组织讨论法，因为他们更喜欢合作学习，并通过讨论和交流来理解概念。

此外，通过案例和实例分析的模式，学生的学习兴趣得到了增强。

在处理实际问题时，学生能够更快地反应和解决问题。

另外，导数的公式计算也是学生较难掌握的部分。

为了更好地帮助学生掌握计算步骤，我在教学过程中设计了许多具体例子，并兼顾训练学生的能力，即教师既要根据学生的实际情况进行启发式讲解，也要有目的地培养学生的计算能力。

《导数的概念及其几何意义》教学设计课题：导数的概念及其几何意义教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。

而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。

导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。

考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。

因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。

教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。

教学目标：1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。

2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。

观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。

3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。

教学重点：导数的概念以及导数的几何意义。

教学难点：导数的概念以及导数的几何意义。

教学过程：【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为。

数学组导数的概念及其几何意义教案
一、教学目标：
1.了解导数的概念及求导的方法；
2.理解导数的几何意义。

二、教学内容：
2.导数的求法；
三、教学重点：
五、教学方法：
1.讲解法；
2.图示法；
3.举例法。

六、教学过程：
1.开场导入
教师可以先询问学生对导数概念的初步认识，引导学生思考。

导数的概念是指函数的变化率。

当我们讨论函数$f(x)$在某一点$x_0$处的导数时，实际上是在研究函数$f(x)$在这一点上的变化率。

导数用符号$f'(x_0)$表示。

（1）极限法
$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
（2）定义法
（3）微分法
$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$
导数的几何意义是函数图像在某点的切线斜率。

我们可以通过切线的斜率来判断函数在某一点上的变化率，从而了解函数的性质。

七、扩展应用
导数是微积分的重要概念，它不但有着广泛的应用，而且可以帮助我们更加深入地了解各种数学问题。

在研究曲线运动、函数极值、微分方程等方面，导数都是必不可少的工具。

八、课堂小结
在本节课中，我们学习了导数的概念及其求法，同时还了解了导数的几何意义。

导数作为微积分的核心概念，在现代经济学、物理学、生物学、优化等许多领域都有着广泛的应用。

教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。

难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。

4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。

5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。

因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。

本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。

2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。

导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。

3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。

c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。

4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。

b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。

二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。

2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。

3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。

b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。

4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。

b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。

三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。

2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。

3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。

b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。

4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。

b. 练习使用导数解决优化问题。

四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。

2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。

3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。

导数的概念及几何意义教学设计一、目标分析依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。

（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。

（3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。

二、教学重点理解导数的概念及几何意义教学难点运用极限的思想抽象出导数的定义三、教学方法是讨论发现法，问题探究法。

四、设计的指导思想现代认知心理学——建构主义学习理论。

五、设计的设计理念为了学生的一切.六、教学过程（一）创设情境、导入课题 1、在时间段( t 0+△t)－ t 0 = △t 内，刘翔的平均速度为:因此刘翔在跨过最后一栏的瞬时速度v 就是他在t 0 到t 0+ Δ t 这段时间内,当Δ t 趋向于 零时平均速度的极限 ，即 2、曲线的切线我们发现,当点Q 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.（二）实例分析、形成概念物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？函数的改变量 y ∆与自变量的改变量 x ∆比值的极限。

得出：提炼得出概念导数的定义：设函数y =f (x )在点x 0处及其附近有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量△x 时，函数y 相应的增量 △y= f (x 0+ △x) － f (x 0)， t s v t ∆∆=→∆0lim t s v ∆∆=()()t t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00lim lim ()()x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆0000lim lim tan α()()x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim当△x →0 时，如果 xy ∆∆有极限，我们就说函数f(x)在点x 0处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x 0处的导数(或变化率)记作（三）组织讨论 深化认识设计理念：建构主义论：一切知识的学习都必须经过主体根据已有知识和经验进行理解、加工、构建自己的意义后才能被纳入到主体原有的认知系统中。

导数的几何意义教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 掌握导数的计算方法3. 能够运用导数解决实际问题二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究导数的定义和几何意义2. 通过图形演示和实例分析，帮助学生理解导数的概念和应用3. 利用练习题和实践项目，巩固学生的理解和应用能力五、教学准备1. 教学PPT或黑板2. 导数的定义和几何意义的讲解材料3. 练习题和实践项目教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握导数的定义、几何意义和计算方法，并能够运用导数解决实际问题。

通过问题驱动法和图形演示，引导学生主动探究导数的概念，并通过练习题和实践项目巩固学生的理解和应用能力。

六、教学过程1. 引入：通过回顾函数的图像，引导学生思考函数在某一点的切线斜率与函数值的变化关系。

2. 导数的定义：解释导数的定义，即函数在某一点的导数是其切线斜率。

引导学生通过图形演示和实例分析来理解导数的几何意义。

3. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本的求导法则和导数的运算法则。

通过示例和练习题，让学生掌握求导的方法和技巧。

4. 导数在实际问题中的应用：通过实际问题实例，展示导数在解决实际问题中的应用，如运动物体的速度和加速度、函数的极值和最大值等。

七、练习与巩固1. 针对本节课的内容，设计一些相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题，以巩固学生对导数的定义和计算方法的理解。

2. 组织学生进行小组讨论和合作，共同解决练习题，促进学生之间的交流和互助。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考导数的其他几何意义，如切线与曲线的切点处的切线斜率、曲线的凹凸性等。

2. 引入高阶导数的概念，即函数的导数的导数，解释其几何意义和应用。

<<高等数学〉>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程教学难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程:1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数： s f (t ），求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--，这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短， 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。

但这样做是不精确的， 更确地应当这样: 令t t 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限， 如果这个极限存在， 设为v ， 即 00)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0， 则y f （x 0x ）f (x 0) f (x )f (x 0)， x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(limx x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。

导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。

2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。

2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。

3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。

2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。

引导学生直观理解导数的几何意义。

4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。

5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。

3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。

4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。

5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。

导数的概念和几何意义一、教学目标一知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵2．通过函数图象直观了解导数的几何意义（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题二、教学重点导数的定义与求导的方法三、教学难点对导数概念的理解四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f（）；（2）f（d）－f（）；（3）dx fdxf)()(-+；（4）当d趋于0时，dx fdxf)()(-+趋于一个确定的常数师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义（二）探求新知 1增量、变化率的概念对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从0变化为1时，相应的函数值有0变为1，其中1－2叫做自变量的增量，记为△，1－0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△，则).()(01x f x f y -=∆叫做函数的变化率（或函数在步长为△的差商）★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限 ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限 2．导数定义设函数在包含0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数在=0处的导数或微商，记做)('x f上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商 ★)('x f 也是关于的函数，叫做函数的导函数 3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）令△→0，差商→)(0'x f 4．导数的几何意义函数)(x f y =在点0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （0，）处的切线的斜率)(0'x f5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）试问哪个企业的治污效果较好分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t即排污量相同，但是考虑到一开始 有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有10212010111)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均 治污率大即企业甲的治污效果要好一些例2 投石入水，水面产生圆形波纹区 圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图）， 计算：（1）半径r 从a 增加到ah 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率 分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆） 面积的平均变化率。

导数的概念及几何意义一、学习目标1.经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会导数的概念的实际背景2.理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.3.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.4.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.5.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.6根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程.二、知识精讲2、瞬时变化率： 一般地，函数y=f(x) 在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或 ，即。

3、导函数：从求函数f (x )在x =x 0处导数的过程可以看到，当x =x 0时，f ' (x 0)是一个确定的数. 这样, 当x 变化时, f '(x )便是x 的一个函数, 我们称它为f (x ) 的导函数(简称导数).即：题型1：平均变化率1、某质点沿曲线运动的方程为()221f x x =-+（x 表示时间，()f x 表示位移），则该质点从1x =到2x =的平均速度为（ ） A ．-4B ．-8C ．6D ．-62、函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ） A ．2x ∆+B ．3x ∆+C ．()22x x ∆+∆D ．()23x x ∆+∆3、某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为()252s t t t =+，则该物体在运行前2秒的平均速度为（ ）（米/秒） A ．18B ．13C ．9D ．1324、若函数()2f x x c =-在区间[]1m ，上的平均变化率为4，则m 等于（ ） A B ．3C ．5D ．160x x =0000()()lim lim ∆→∆→+∆-∆=∆∆x x f x x f x yx x()y f x =0x x =0()f x '0x xy ='00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆1、 平均变化率：若函数关系用y=f(x)表示，则变化率可用式子1212()()--f x f x x x 表示。

导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的根本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的根本方法①定义法：=②公式法：〔c 为常数〕; = (n∈N) ; =3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布〔个数〕、解析几何等问题中的综合应用．二．根底训练1.函数有极值的充要条件是( )A. B. <0 D.2.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是〔〕，-1 ，-17 ，-17 ，-19>3,那么方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,假设的图象如下图,以下判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数;②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的选项是A①②B②③C③④D②③④5. 函数f(x) =-x3+3x2+ax+c在(-∞,1]上是单调减函数,那么a的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与y=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(I)用t表示a，b，c；(Ⅱ)假设函数y=f(x)-g(x)在(-l，3)上单调递减，求t的取值范围．三．典型例题例1.设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a．〔I〕求f(x)的极值；〔Ⅱ〕当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．例2f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l，x2∈[-1，1]，且x1≠x2．1)求证：|f(x1)-f(x2)|< 2|x1-x2|；2)假设0<x l<x2≤1，求证：|f(x1)-f(x2)|<1．例3抛物线和，如果直线L同时是和的切线，称L是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

《导数的概念及其几何意义》教学设计一、内容及内容解析1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义.2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.二、目标及目标解析1．教学目标（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.2．目标解析（1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.（2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会.（3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.三、学生学情诊断分析本节课授课对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻辑思维水平.如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.四、教学策略分析学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会与认识.学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增加了学生抽象概括出导数概念的难度. 因此，借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极限的“逼近”的过程，以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件.此外，教学中还应该关注以下几点：1．注重由特殊到一般的思维引导本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立导数的概念.2．强化数学抽象的核心素养在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.3．引导学生借助直观想象理解导数的几何意义通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.五、教学过程设计【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？师生活动预设：①教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出1s t =，2s t =时刻的瞬时速度，提问：如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？②学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题.③教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算[]0.5,0.5t +∆时间段的平均速度，再令时间间隔t ∆无限趋近于0，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就是0.5s t =时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程，体会无限逼近的思想.追问：(1)现在我们算出1s t =，2s t =，0.5s t =时刻的瞬时速度，那么对于某一时刻0t ，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由.解：时间段[]00,t t t +∆内的平均速度()()0004.99.8 4.8h t t h t v t t t+∆-==-∆-+∆，令0t ∆→，则004.99.8 4.89.8 4.8v t t t =-∆-+→-+，可见瞬时速度是一个只与0t 有关的值，不妨记为()0v t ，即()0000lim lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t v t v t t t ∆→∆→==-∆-+=-+，所以运动员在某一时刻0t 的瞬时速度为()009.8 4.8v t t =-+.师生活动预设：①学生思考；②教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.追问：①类似地，我们还研究了抛物线2y x =在点某点处的切线斜率，如点()1,1P ，()1,1P -，其他点处切线的斜率能不能求？②一般的点怎么表示？其斜率如何计算？设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数()y f x =，你可以类似地得出什么结论？师生活动预设：①给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念.技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示.③教师给出函数的平均变化率、导数的定义：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应的，函数值y 就从()0f x 变化到()0f x x +∆.这时，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为()()00y f x x f x ∆=+∆-.我们把比值yx∆∆，即 ()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率.如果当0x ∆→时，平均变化率y x ∆∆趋近于一个确定的值，即yx∆∆有极限，则称()f x 在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数(derivative)，记作()0'f x 或0'|x x y =，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法.追问：瞬时速度()0.5v 用导数怎么表示？点()200,P x x 处的切线斜率k 用导数怎么表示？ 师生活动预设：①学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台；②教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示()()0.5'0.5v h =，()00'|x x v t y ==.例1 设()1f x x=，求()'1f .解：()()1111111f x f x x x x-+∆-+∆==-∆∆+∆，()()()000111111'1lim lim lim 11x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭. 师生活动预设：①学生思考.②教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.【问题3】 曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值为________.师生活动预设：①教师先回忆上节课研究的抛物线2y x =上一点到直线330x y --=距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线2y x =换成曲线3y x =(0x ≥)如何解决.②学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题.③教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.追问：①现在我们需要求得曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线，使其平行于直线330x y --=，也就是让切线斜率等于？②现在的关键是求出曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？师生活动预设：①学生思考并讨论，如何定义曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,xx (00x ≥)的切线.②学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义方式.追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程. 追问：对于曲线3y x =(0x ≥)呢？一般曲线()y f x =呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线()y f x =在一点处的切线定义：取曲线()y f x =上的一动点()()00,P x x f x x +∆+∆，当点()()00,P x x f x x +∆+∆沿着曲线()y f x =趋近于点()()000,P x f x 时，割线0PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为点P 处的切线(tangent line ).追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率.②教师投影切线斜率()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆.追问：现在我们称()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆为？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数()y f x =在0x x =处的)导数. 追问：导数的几何意义就是？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的)切线斜率.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的哪个点处的切线斜率为3？师生活动预设：①教师提示：设点()300,P x x (00x ≥)处切线斜率为3，则()0'3f x =.②学生在学案上计算0x 的值并拍照上传到畅言平台. ③教师点评学生的答案，并给出解答过程.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值是？设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几何意义.追问：通过前面的例子，你知道求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤吗？师生活动预设：学生思考并回答问题：第一步，求函数的平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆并化简； 第二步，求极限，令0x ∆→，得到导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？①瞬时速度是导数. ②导数是切线斜率. ③导数是特殊的极限.④曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程是()()()000'y f x f x x x -=-.师生活动预设：①学生在技术平台上完成解答；②教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小结.③教师布置课后检测作业.设计意图：通过【问题 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理解，加强数学抽象、直观想象等核心素养.六、目标检测设计1.圆的面积S 与半径R 的关系为2πS R =，问5R =时面积关于半径的瞬时变化率是多少？(设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(设计意图：理解导数的概念及其几何意义)3.求曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角的大小.(设计意图：理解导数的几何意义)。

导数的概念及几何意义教学设计导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。

导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和性质。

本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学生深刻理解导数的概念及几何意义。

设计主要针对高中数学任课老师使用。

一、教学目标：1.理解导数的概念及几何意义；2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。

二、教学准备：1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动物体的位移函数；2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于绘制函数图像和求解导数。

三、教学过程：1.引入导数的概念：b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时间的变化规律。

c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看作是瞬时变化率。

2.几何意义的引入：a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。

b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导数的关系，即导数就是切线的斜率。

3.导数的计算：a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。

b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。

c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解释导数不存在的情况？4.导数的性质和应用：a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负表示函数在该点减少。

b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些问题并解释其实际意义。

c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。

5.总结与拓展：a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实际问题分析的重要性。