2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年陕西卷（理01）】已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π.2C π.4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω 【2014年陕西卷（理03）】定积分1(2)xx edx +⎰的值为（ ）.2Ae +.1B e +.C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x选∴,-0-1|)()2(11102∫=+=+=+【2014年陕西卷（理04）】根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n =.2(1)n B a n =-.2n n C a =1.2n n D a -=【答案】 C【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π.4B π.2C π4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π【2014年陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D【答案】 C【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 【2014年陕西卷（理07）】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+【2014年陕西卷（理08）】原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=【2014年陕西卷（理09）】设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a=+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，. 【2014年陕西卷（理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =- （C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.【2014年陕西卷（理11）】已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，【2014年陕西卷（理12）】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y【2014年陕西卷（理13）】设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a【2014年陕西卷（理14）】观察分析下表中的数据：多面体 面数（F ） 顶点数（V ) 棱数（E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】 2+=+E V F【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得【2014年陕西卷（理15）】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线s i n ()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 【2014年陕西卷（理16）】 （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.（1） a 、b 、c 成等数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin(A+C) ∴ sinA+sinC=2sin （A+C ）.(II) a,b,c 成等比例，∴ b 2=2c.由余弦定理得cosB=ac ac c a ac b c a 2222222-+=++≥2122=-ac ac ac ，当且仅当a=c 时等号成立.∴ cosB 的最小值为21.【2014年陕西卷（理17）】（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.解 （I ）由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC, BD ⊥AD , AD ⊥DC, BD=DC=2，AD = 1.由题设，BC //平面EFGH, 平面EFGH ⋂平面BDC=FG, 平面EFGH ⋂平面ABC=EH,∴ BC// FG, BC//EH, ∴FG//EH. 同理EF//AD,HG//AD, ∴EF//HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则R M 为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12- C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1． 答案：D解析：要使函数f (x )1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，RM ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2． 答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3． 答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4． 答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个． 5． 答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确． 7． 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8． 答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝.663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9． 答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12． 答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+)解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n )．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A =，=化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk -，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y yx x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1xx x ψ=+-+(x ≥0)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]， 设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1) 理科数学解析版2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}22|,032|22．=-+23)1()1(i i （）A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --13．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C.．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(|x g x f 是奇函数【答案】C 【解析】试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．【考点定位】函数的奇偶性．4．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（） A.3 B. 3 C. m 3 D. m 35．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（） A ．81 B ．83 C ．85 D ．876．如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（）【答案】C 【解析】7．执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=（） A. 320 B.27 C.516 D.815【答案】D 【解析】试题分析：程序在执行过程中，1,2,3a b k ===，1n =；1331,2,b ,2222M a n =+====；28382,,b ,33323M a n =+====；3315815,,b ,428838M a n =+====，程序结束，输出158M =．【考点定位】程序框图．8．设(0, ),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（）（A ）32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C 【解析】9.不等式组1,24,x y x y +≥??-≤?的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ?∈+≥-，2:(x ,y )D ,x 2y 2 p ?∈+≥，3:(x,y)D,x 2y 3p ?∈+≤ 4:(x ,y ) D ,x 2y 1p ?∈+≤-，其中的真命题是（）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p10．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 有两个零点3和3-，不满足题意，舍去；当0a >时，'2()36f x ax x =-，令'()0f x =，得0x =或2x a=．(,0)x ∈-∞时，'()0f x >；2(0,)x a ∈时，'()0f x ∈+∞时，'()0f x >，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a ∈-∞时，'()0f x 2(,0)x a∈时，'()0f x >；(0,)x ∈+∞时，'()0f x ，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）（B ）6 （C ）（D ）4【考点定位】三视图．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【解析】试题分析：由题意，8()x y +展开式通项为8k k18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ?+-?=-，系数为20-．【考点定位】二项式定理．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________【解析】试题分析：由2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，故(ab )(s i n A s +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，22b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=，又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ?=≤ 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.所以21n a n =-，12n n a a +-=．因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：。

2014年高招全国课标1（理科数学解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3Q F Q M== 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

2014高考数学（理科）陕西卷真题答案解析
举国瞩目的2014高考已结束，新东方在线高考名师团队联合西安新东方高考名师第一时间对2014高考北京物理真题进行了点评，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。

以下是西安新东方高考数学名师对2014陕西高考数学（理科）真题的解析和点评。

[0,1N =考察解不等式及集合的交并补关系
tanθ=1
；
．
5 ; 225a b +=；(a 2222
5
55
ma nb m n a b ++≥
=
=+ ABC ∆，
)
3,1，
平面平面由题设，可知，）由该四面体的三视图解（EH
FG EH BC FG BC EFGH EFGH BC BD ∴∴////,//,//1(2)(0,0,1)(2,2,0)(2,0,1)n z 0
D DA BC BA DA →
→
→
→
→
→
==-=-∴⋅==⎧⎨解法一：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得
线面平行、垂直性质应用；建立空间坐标系，利用法向量求线面夹角理科18
在直角坐标
m n y x -=-两式相减，得
令y x t -=，由图知，当直线y x t =+过点1，故m n - 的最大值为1.
向量坐标运算；线性规划
的方程.
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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2） 2. 32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x m y m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线O A ，终边为射线O P ，过点P 作直线O A 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线O P 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1s in ta n c o s βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-= C .32παβ+=D .22παβ+=9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线P F 与C 的一个焦点，若4F P F Q =，则||Q F =A .72B .52C .3D .211. 已知函数()f x =3231a x x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1） 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014·陕西卷(理科数学)1．[2014·陕西卷] 设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1]D ．(0，1) 1．B [解析]由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝{x |－1<x <1，x ∈R }，得M ∩N ＝[0，1)．2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．B [解析]已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.3．[2014·陕西卷] 定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －13．C [解析]⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(12＋e 1)－(02＋e 0)＝e .图1-1 4．[2014·陕西卷] 根据如图1-1所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －14．C [解析]阅读题中所给的程序框图可知，对大于2的整数N ，输出数列：2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .5．[2014·陕西卷] 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2πD.4π35．D [解析]设该球的半径为R ，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R )2＝(2)2＋12＋12，解得R ＝1，所以该球的体积为V ＝43πR 3＝43π.6．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( ) A.15B.25C.35D.456．C [解析]利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有C 25＝10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形的4条边长和2条对角线长，共有6种．故所求概率P ＝610＝35.7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x7．B [解析]由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 8．[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 8．B [解析]设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．9．[2014·陕西卷] 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC ．1，4D ．1，4＋a9．A [解析]由题意可知x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010＝1，故y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋10a10＝1＋a .数据x 1，x 2，…，x 10同时增加一个定值，方差不变．故选A.10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x10．A [解析]设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .11．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．11.10 [解析]由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012＝10.12．[2014·陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C的标准方程为________．12．x 2＋(y －1)2＝1 [解析]由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.13．[2014·陕西卷] 设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．13.12 [解析]因为向量a ∥b ，所以sin2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.14．猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．14．F ＋V －E ＝2 [解析]由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.15．[2014·陕西卷] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．图1-3 B ．(几何证明选做题)如图1-3，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．15．A.5 B ．3 C ．1 [解析]A ．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，代入数据，得m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，故m 2＋n 2的最小值为 5.B ．由题意，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽ACB ，所以AE AC ＝EFBC .因为AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.C ．点⎝⎛⎭⎫2，π6的极坐标可化为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即点⎝⎛⎭⎫2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ρsin θcos π6－ρcos θsinπ6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．图1-417．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知， BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ， BD ＝DC ＝2，AD ＝1.由题设，BC ∥平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC ， ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形．(2)方法一：如图，以D D (0，0，0)，A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，DA ＝(0，0，1)，BC ＝(－2，2，0)， BA ＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵EF ∥AD ，FG ∥BC ， ∴n ·DA ＝0，n ·BC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，1，0)， ∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA ||n |＝25×2＝105.方法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝⎛⎫1，0，12，F (1，0，0)，G (0，1，0)．∴FE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，FG ＝(－1，1，0)， BA ＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·FE ＝0，n ·FG ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA →||n |＝25×2＝105.18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.19．，[2014·陕西卷] 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．19．解：(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l 的方程．图1-520．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由ca＝32及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分． 21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，12<ln2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln2－ln1>12，ln3－ln2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =U （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c r r r是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14C ．12πD ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=Θ2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ 3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为（ ）.2Ae + .1B e + .C e .1De -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+Θ4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ5.已知底面边长为12则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=πΘ6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12zz =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =L ），则12,10,y y y L 的均值和方差分别为（ ） （A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=Θ第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212a a========x a x a x 所以，Θ12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y Θ设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r ，，，，若b a ρρ//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即Θ14.猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是 【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+ΘB.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与Θ C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点Θ三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.【答案】 （1） 省略 （2）21【解析】 （1）C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+=ΘΘ即成等差，c b a（2）.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==Θ17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 （1） 省略 （2）510【解析】 （1）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====ΘΘ（2）510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB z y x EHGF G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若=++，；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 （1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】 （1）22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A Θ（2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=Θ19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 （1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3） （2） 0.896【解析】 （1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 800 2000 4000 P0.20.50.3896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.【答案】 （1） a=2,b=1 （2） )1-(38-x y =【解析】 （1）14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x y c b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线ΘΘ（2）)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过Θ21.（本小题满分14分） 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 （1） nx x x g n +=1)(（2）,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 （1）+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，，ΘΘ （2）,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f ΘΘ（3）2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）数学试题卷（理工类）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2﹜，则A B ⋂=A .[2,1]--B .[1,2)-C .[1,1]-D .[1,2)2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点， 角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为M OPA7.执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M=A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .32παβ+= C .22παβ-=D .22παβ+=9.不等式组⎩⎨⎧≤-≥+42,1y x y x 的解集记为D ，有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-；2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥；3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤；4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中的真命题是A .2p ，3pB .1p ，2pC .1p ，4pD .1p ，3p10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .3 C .52D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（1，+∞）C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的六条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4开始 结束ba M 1+← n←n+1是n ≤k输出M 否n ←1 输入a ,b,k a ←b b ←M OAx y 1 π OBx y1π OCx y1π ODxy1π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.8()()x y x y -+的展开式中72y x 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2，且(2)(s i n s i n )(b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．18.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间)2.212,8.187(的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． （Ⅰ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB =BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．AA 1C 1B 1CB0.008 165 175 185 195 205 215 225 235 0.009 0.0220.024 0.033 质量指标值频率组距0.00220.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．21.（本小题满分12分）设函数()xbe x ae x f x x1ln -+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为(1)2y e x =-+． （Ⅰ）求a ，b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB =CE ． （Ⅰ）证明：∠D =∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB =MC ，证明：△ADE 为等边三角形．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：⎩⎨⎧-=+=ty t x 22,2（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11ab a b+=． （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得632=+b a ？并说明理由．AB EC DMO2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷Ⅰ卷）数学（理科）参考答案一、选择题1．A 解析：{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，又{}22B x x =-≤<，AB =[]2,1--，故选A ．2．D 解析：()()()()()()3222111211211i i i i i i i i i ⋅===---++++--，故选D ． 3．C 解析：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，排除A ．()f x 是奇函数，()f x 是偶函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是偶函数，排除B ． ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，C 正确．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x 是奇函数，则()()f x g x 是偶函数，排除D ．4．A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b ，故距离为3，选A ．5．D 解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为4422728P -==，故选D ． 6．C 解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===．又()1122f x OP OM MP ⋅=， 所以()1sin cos sin 22f x x x x ==，故选C ． 7．D 解析：当1n =时，1331,2,222M a b =+===；当2n =时，28382,,3323M a b =+===；当3n =时，3315815,,28838M a b =+===；当4n =时，结束，故158M =，选D ． 8．C 解析：由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin ,sin cos cos cos sin ,cos cos αβαβααβαβ+=∴=+ 即()sin cos αβα-=，所以()sin sin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 由已知0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,02222ππππαβα-<-<<-<， sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以,222ππαβααβ-=--=，故选C ．9．B 解析：令()()()()222x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，所以1,22,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4,31,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以()()4122033x y x y x y +=+--≥，因而可以判断12,p p 为真，故选B ．10．B 解析：由已知2,2,P F x x =-=又4FP FQ =，则()442Q x -=-，1Q x ∴=． 过Q 作QD 垂直于l ，垂足为D ，所以3QF QD ==，故选B ．11．C 解析：'()3(2)f x x ax =-．当0a =时，2()13f x x =-，不合题意； 当0a >时，()f x 在(,0)-∞上是增函数，且(0)1f =，不合题意；当0a <时，()f x 在2(,)a -∞上是减函数，2(,0)a上是增函数，(0,)+∞是减函数，且(0)1f =，故只需2()0f a>，24a >，2a <-．选C ．12．B 解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,4,AB BC AC ==顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ABC ⊥面，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6，故选B ．ACPB二、填空题13．20- 解析：888()()()()x y x y x x y y x y -+=+-+，故展开式中72y x 的系数为128882820C C -=-=-．14．A 解析：乙没去过C 城市，甲没去过B 城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A ，C ，三人都去过同一个城市，一定是A ，所以填A ． 15．2π 解析：1()2AO AB AC =+，O 为BC 中点，即BC 为直径，所以AB 与AC 的夹角为2π．16．3 解析：222(2)(sin sin )()sin (2)()()b A B c b C b a b c b c a b c bc +-=-⇒+-=-⇒-=-，所以2222221cos 223b c a b c a bc A A bc π+-+-=⇒==⇒=． 又2244b c bc bc +-=⇒≤．所以13sin 324S bc A bc ==≤． 三、解答题17．解：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1．因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ． （Ⅱ）由题设，a 1=1，a 1a 2=λS 1－1，可得a 2=λ－1．由（Ⅰ）知，a 3=λ＋1． 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4． 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1． 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此存在λ=4，使得数列{a n }为等差数列．18．解：（Ⅰ）0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()()222222220.021702000.091802000.221902000.332002000.242102000.082202000.022********.s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-=（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，2δ=2s =150，所以15012.2δ=≈，(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=．（ii ）100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数X 服从二项分布()100,0.6826B ，所以1000.682668.26EX =⨯=．19．解：（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于点O ，连结AO ． 侧面11BB C C 为菱形，∴11BC B C ⊥. 又1AB B C ⊥，1ABBC B =，11.B C ABC ∴⊥面1AO ABC ⊂面，1AO B C ∴⊥，又O 为1B C 中点，所以1AC AB =.（Ⅱ）1AC AB ⊥，且O 是B 1C 中点，所以AO =CO .又因为AB =BC ，所以BOA ∆BOC ≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．因为o 160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又AB =BC ， 则()13330,0,,1,0,0,0,,0,0,,0333A B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1330,,33AB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭．设(),,n x y z =为平面11AA B 的一个法向量，则()111330,0,331,3,30,30,3y z n AB n n A B x z ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪=⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎪⎩即所以可取．设(),,m a b c =为平面111A B C 的一个法向量，则()11110,1,3,30.m B C m m A B ⎧⋅=⎪=-⎨⋅=⎪⎩同理可取． 则1cos ,7n m n m n m⋅<>==，所以二面角111A ABC --的余弦值为17． 20．解：（Ⅰ）由已知得223,2,2143,223,3c a x a E y c c⎧=⎪=⎧⎪⎪∴+=⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩解得椭圆的方程.（Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故设l ：2y kx =-，()()1122,,,.P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=得()224116120k x kx +-+=， 当()()222164411264480k k k ∆=--⨯+⨯=->，即234k >时， 21,22824341k k x k ±-=+，从而2121||PQ k x x =+-222414341k k k +-=+． AA 1C 1B 1CBOyx z又点O 到直线l 的距离221d k =+，所以OPQ ∆的面积()221443241k S k PQ d k -==+． 设()2430k t t -=>，()244712,424t S k t k t t t ⎛⎫==≤==± ⎪ ⎪+⎝⎭+当且仅当即时取到， 所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为722y x =-或722y x =--． 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1． 由题意可得f (1)=2，f ′(1)=e ，故a =1，b =2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )=e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e． 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0． 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e． 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )， 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0．故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e． 综上，当x >0时，()()g x h x >，即()1f x >．22．解：（Ⅰ）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故.D E ∠=∠（Ⅱ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB =MC 知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即.MN AD ⊥所以//AD BC ，故.A CBE ∠=∠又CBE E ∠=∠，故.A E ∠=∠由（Ⅰ）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． A B EC D M O N23．解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩直线l 的普通方程为260x y +-=； （Ⅱ）令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ，点P 到直线l 的距离为d . ()55sin 64cos 3sin 64tan 535d θφθθφ+-+-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，||2sin 30d PA d ==︒， 所以()max max max 225||225PA d d ===；()min min min 25||225PA d d ===． 24．解析：（Ⅰ）由112ab a b ab=+≥得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立． 故3333242a b a b +≥≥，且当2a b ==时等号成立．所以33a b +的最小值为42．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，23264 3.a b ab +≥≥ 由于436>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=．。