2017-2018学年高一数学必修5模块综合测评 含答案 精品

模块综合检测(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c=2a ,则cos B 等于( ). A .14B .34C .24D .23答案:B2下列结论正确的是( ).A.若ac>bc ,则a>bB.若a 8>b 8,则a>bC.若a>b ,c<0,则ac<bcD.若a <b ,则a >b答案:C3等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 7+a 12=30,则S 13的值是( ).A.130B.65C.70D.75解析:因为a 2+a 7+a 12=(a 2+a 12)+a 7=2a 7+a 7=3a 7=30,所以a 7=10.所以S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 7+a 7)2=13a 7=130.答案:A4已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ).A.10B.9C.8D.5解析:由23cos 2A+cos2A=0,得cos 2A =125.∵A ∈A (0,π2),∴cos =15.∵cos A b=).=36+b 2-492×6b ,∴b =5或‒135(舍故选D .答案:D5若在等比数列{a n }中,a 4=7,a 6=21,则a 8等于( ).A.35B.63C.213D .±213答案:B6若在△ABC 中,a=4,b=43,A =30°,则角B 的度数等于( ).A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°答案:D7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,则角B 的取值范围是( ).A .(0,π3]B .[π3,π]C .(0,π6]D .[π6,π)答案:A8某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ).A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B 型车分别为x ,y 辆(x ,y ∈N ),则x ,y 需满z ,则足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z=1600x+2400y ,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36800.故选C.答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y )=1,则( ).A.x+y ≥2(2+1)B .xy ≤2+1C.x+y ≤≥2(2+1)2D .xy (2+1)解析:∵xy=1+(x+y )≤(x +y 2)2,∴(x+y )2-4(x+y )-4≥0,∴x+y ≥2(2+1),当且仅当x=y .=2+1时等号成立答案:A10若数列{a n }满足a 1=0,a n+1∈N *),则a 20等于( ).=a n -33a n +1(n A.0B.‒3C .3D .1解析:由a 1=0,a n+1∈N *),=a n -33a n +1(n 得a 2={a n }是周期数列,周期为3,所以a 20=a 2=‒3,a 3=3,a 4=0,…由此可知数列‒ 3.答案:B 11若在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x (x-2)+2x+(x-2)<0,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1.答案:B12已知集合A={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,关于x 的不等式x 2+tx-t>2x-1恒成立,则x 的取值范围是( ).A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t ≤2},设f (t )=(x-1)t+x 2-2x+1,由条件知f (t )在区间[-2,2]上恒为正值.于是有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0,x 2-1>0.解得x>3或x<-1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 .解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n≥100.所以2n ≥51,n ≥6.=2(1-2n )1-2=2(‒1+2n )答案:614已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,点O 为坐标原点,则|PO |的最小值等于 ,最大值等于 .答案:2　1015在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c =2a ,则a 与b 的大小关系是 .解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos120°.∵c =2a ,∴2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,a 2-b 2=ab>0.∴a 2>b 2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n }满足a 1=t ,a n+1-a n +2=0(t ∈N *,n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ),则f (t )= .答案:{t 2+2t 4,t 为偶数,(1+t 2)2,t 为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.解(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9,得{a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得{a 1=9,d =-2,所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n.(2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2d =10n ‒n 2.因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A ,B 两船,B 船在A 船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C 岛,C 岛在B 船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C 岛,经测算,A 船行驶了107海里,求B 船的速度.解如图所示,在△ABC 中,AB=10,AC=1∠ABC=120°.07,由余弦定理,得AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos120°,即700=100+BC 2+10BC ,得BC=20.设B 船速度为v ,行驶时间),路程为BC=20海里,则有v /时),即B 船为8060=43(小时=2043=15(海里的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2c -b a =cosB cosA .(1)求角A 的大小;(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值.5解(1)因=,所以(2c-b )cos A=a cos B.为2c ‒b a cosBcosA 由正弦定理,得(2sin C-sin B )cos A=sin A cos B ,整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin (A+B )=sin C.在△ABC 中,0<C<π,所以sin C ≠0.所以cos A=.又0<A<π,故A=.12π3(2)由(1)得A=,又a=2,π35则cos A==,整理得b 2+c 2=bc+20.b 2+c 2‒a 22bc 12由基本不等式,得b 2+c 2≥2bc ,则bc+20≥2bc ,所以bc ≤20,当且仅当b=c 时,等号成立,故三角形的面积S=bc sin A=bc sin =bc ≤×20=5.1212π334343所以△ABC 面积的最大值为5.320(12分)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.{a n2n ‒1}解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =‒10,解得{a 1=1,d =‒1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n.(2)设数n 项和为S n,列{a n2n ‒1}的前即S n =a 1++…+,a 22a n2n ‒1则S 1=a 1=1,=++…+.S n 2a 12a 24a n 2n ∵当n>1时,=a 1++…+-S n 2a 2‒a 12a n ‒a n ‒12n ‒1a n 2n =1--(12+14+…+12n ‒1)2‒n 2n =1--=,(1‒12n ‒1)2‒n 2n n 2n∴S n =.n2n ‒1当n=1时,S 1=1也符合该公式.综上可知,数n 项和S n =.列{a n 2n ‒1}的前n2n ‒121(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?解设片集甲播放x 集,片集乙播放y 集,则有{x +y ≥6,21x +11y ≤86,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .要使收视率最高,则只要z=60x+20y 最大即可.M (2,4).由{21x +11y =86,x +y =6,得由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y 取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n 为数列的前n 项和,若T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.{1a n a n +1}解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知d=1或d=0(舍去),得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得因此a 1=2.故a n =n+1.(2)∵由(1)可==-,知1a n a n +11(n +1)(n +2)1n +11n +2∴T n =-+-+…+-=.121313141n ‒11n +2n2(n +2)∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,∴≤λ(n+2),n2(n +2)即λ≥n ∈N *恒成立.n2(n +2)2对任意==,又n2(n +2)2n 2(n 2+4n +4)12(n +4n +4)≤116当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值.为116。

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A ．{x |x ＜－2} B ．{x |x ＞3} C ．{x |－1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3}解析：选C.M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}，故M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}． 2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案：D3．在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则A 的取值范围是( ) A ．90°＜A ＜180° B ．45°＜A ＜90° C ．60°＜A ＜90° D ．0°＜A ＜90°解析：选C.由b 2＋c 2－a 2＞0得cos A ＞0，故A ＜90°，又A 为不等边三角形中的最大角，故A ＞60°.4．若两个等差数列{a n }、{b n }前n 项和分别为A n 、B n ，满足A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值为( )A.74B.32C.43D.7871解析：选C.a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝n a 1＋a 212n b 1＋b 212＝A 21B 21＝7×21＋14×21＋27＝43.5．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．1B.56 C.16D.130解析：选B.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，∴b n ＝1a n a n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1，∴{b n }的前5项和为S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝2 3.则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B.32 C ．1 D.12解析：选C.x ＝log a 3，y ＝log b 3， 则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3(a ＋b 2)2＝1，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以1x ＋1y的最大值为1.7．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∈M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∉M解析：选A.M ＝{x |x ≤k 4＋4k 2＋1}，∵k 4＋4k 2＋1＝k 4－1＋5k 2＋1＝k 2－1＋5k 2＋1＝k 2＋1＋5k 2＋1－2≥25－2>2.∴2∈M,0∈M .8．设等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A ．S n ＝na n －3n (n －1) B ．S n ＝na n ＋3n (n －1) C ．S n ＝na n －n (n －1) D ．S n ＝na n ＋n (n －1) 解析：选C.因为a n ＝a 1＋(n －1)d ， 所以a 1＝a n －2(n －1)，所以S n ＝n a 1＋a n 2＝2a n －n －2×n＝na n －n (n －1)．9．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 解析：选A.设此数列为{a n }，则a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146， ∴3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.又S n ＝n a 1＋a n 2，∴390＝60n 2，解得n ＝13.10．(2018年高考江西卷)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：选C.由a 24＝a 3·a 7，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )． ∵d ≠0，∴2a 1＋3d ＝0.①∵S 8＝32，∴a 1＋a 8＝8，∴2a 1＋7d ＝8.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴S 10＝－3×10＋10×92×2＝60.11．在△ABC 中，若三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则边b 所对的角为( ) A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不能确定解析：选A.设公差为d .当d ＝0时，1a ＝1b ＝1c ，∴a ＝b ＝c ，B ＝60°.当d ＞0时，1a ＜1b＜1c，∴c ＜b ＜a ，B 为锐角，当d ＜0时，1a ＞1b ＞1c，∴a ＜b ＜c ，B 为锐角．∴B 为锐角．12．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则f (x )的图象是( )A ．在x 轴的上方B ．在x 轴的下方C ．与x 轴相切D ．与x 轴交于两点解析：选A.由Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝4b 2c 2cos 2A －4b 2c 2＝－4b 2c 2sin 2A ＜0，故f (x )图象与x 轴无交点，又b 2＞0则图象在x 轴上方．二、填空题(本大题共4小题，把答案填写在题中横线上)13．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________.解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，∴S 6＝－261－2＝63.答案：6314．(2018年高考北京卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ≤4y ≤5，则s ＝y －x 的最小值为________．解析：如图画出可行域知，当直线过(4，－2)点时s min ＝－6.答案：－615．已知△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值为________．解析：依题意，得ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab .由余弦定理知：a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .∴ab sin C ＝2ab (1＋cos C )，即sin C ＝2(1＋cos C )．∵sin C 2cos C2＝2cos 2C2，又0°<C <180°，∴cos C 2≠0，∴sin C 2＝2cos C2，即tan C2＝2.∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝41－4＝－43.答案：－4316．设集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝________.解析：A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，所以B ＝{x |－1≤x ≤4}，即－1,4是关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根，由此得a ＝－3，b ＝－4，故a ＋b ＝－7.答案：－7三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ，若a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，a ＝43，B ＝45°，求△ABC 的面积．解：因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b )(a 2＋b 2－c 2－ab )＝0.因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C <180°，所以C ＝60°. 因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B， 所以b ＝a sin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3. 根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.18．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋4x －5＜0的解集为B . (1)求A ∪B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∪B ，求ax 2＋x ＋b ＜0的解集．解：(1)解不等式x 2－2x －3＜0，得A ＝{x |－1＜x ＜3}解不等式x 2＋4x －5＜0， 得B ＝{x |－5＜x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |－5＜x ＜3}．(2)由x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－5,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25－5a ＋b ＝09＋3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－15， ∴2x 2＋x －15＜0，求得解集为{x |－3＜x ＜52}．19．△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . (1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)求cos B 的最小值．解：(1)证明：由正弦定理得sin A (1＋cos C )＋sin C (1＋cos A )＝3sin B⇒sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin B ⇒sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ⇒sin A ＋sin C ＝2sin B . 由正弦定理知a ＋c ＝2b ， 所以a ，b ，c 成等差数列．(2)cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ＝a 2＋c 2－a ＋c 222ac＝3a 2＋3c 2－2ac 8ac ＝38·a 2＋c 2ac －14≥34－14＝12， 所以当a ＝c 时，(cos B )min ＝12.20.如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线．在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速率是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)． 解：(1)依题意，PA －PB ＝1.5×8＝12(km)， PC －PB ＝1.5×20＝30(km)，∴PB ＝(x －12) km ，PC ＝(x ＋18) km.在△PAB 中，AB ＝20 km ，由余弦定理，得cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB＝x 2＋202－x －22x ·20＝3x ＋325x.同理cos ∠PAC ＝72－x3x.由于cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ， 即3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327km.(2)作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt△PDA 中， PD ＝PA cos ∠APD ＝PA cos ∠PAB＝x ·3x ＋325x≈17.71(km)．所以，静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为 17．71 km.21．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a n n，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，…b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1，＝2－12n －1(n ≥2)，又b 1＝1，∴{b n }的通项公式b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知a n ＝n ·b n ＝2n －n2n －1，令T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，则2T n ＝2＋220＋32＋…＋n2n －2，作差得：T n ＝2＋(120＋121＋…＋12n －2)－n 2n －1＝4－n ＋22n －1，∴S n ＝(2＋4＋6＋…＋2n )－T n＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.22．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0，y ＝3n －nx >0，得0<x <3.所以x ＝1或x ＝2，即D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1＝2n ，y 2＝n ，所以a n ＝3n (n ∈N ＋)．(2)因为S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋2，所以T n ＝n n ＋2n.又T n ＋1T n ＝n ＋22n， 所以当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32.所以实数m 的取值范围为[32，＋∞)．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )． A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152. 答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )． A ．－14B.14C ．－23 D.23解析 由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )．A ．16B ．32C ．64D ．256解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )． A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3， ∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．A. 2B.32C.322D ．2解析 |CD|＝1＋1＝2，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1，∴S △CDA ＝12×2×12＝12，S △CDB ＝12×2×1＝1.故所求区域面积为32.答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m)x ＋(3－m)＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m ＜3. 答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )． A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关 解析 因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝ a n (1－q)(1－q 2)＝a n (1－q)2(1＋q)＞0. 答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )． A. 3 B.2C ．±3D ．± 2解析 等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }， 则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝± 3.答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m＝ 1. 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q)＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n .∴b n ＝3－n.∴S 10＝－25. 答案 －2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝PA sin ∠PBA ，60sin 15°＝PAsin 135°，∴PA ＝60(3＋1)，PQ ＝PA ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C(1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析 如图，设AB ＝k ， 则AC ＝2k ，再设BD ＝x ， 则DC ＝2x.在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x.② 由①②得x 2－4x －1＝0， 解得x ＝2＋5(负值舍去)． 答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析 因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23， 所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n(n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x>b}， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0， 即x 2－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解 据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×3×32＝1534.19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6) 解 (1)第一年末的住房面积为 a ·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)． 第二年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102，第四年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103，第五年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b.依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 法一 作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二 设2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y)≤－12，－52≤52(x －y)≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt.此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．23 B ．2 2 C ． 3D ． 2解析： 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.答案： D2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21解析： 由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案： B3．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．cb 2＜ab 2 B ．c (b －a )＞0 C ．ab ＜acD ．ac (a －c )＜0 解析： 若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立． 答案： A4．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析： 将通项公式变形得： a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48. 答案： C5．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形解析： 由c ＝a cos B 得，c ＝a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a sin C ＝a ×ca ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： D6．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析： ∵Δ＝1＋8＝9>0，∴方程2x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根， 解得x 1＝－12，x 2＝1.∴2x 2－x －1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案： D7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析： 作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A (－1，0)，B (3,0)，C (1,2)，由可行域可知，z ＝2x ＋y 过点B (3,0)时，z 有最大值，且z max ＝6.答案： C8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B ．22C ．12D ．－12解析： 利用余弦定理求解． ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2， ∴cos C ≥12.答案： C9．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析： z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝7.当且仅当3x ＝27y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．故选B.答案： B10．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B ．15C ．2D ．3解析： ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c ， ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 答案： A11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析： 设左、右臂长分别为t 1，t 2，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10(g)，即大于10 g.答案： B12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.故选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析： 利用三边长是公比为2的等比数列，可把三边长表示为a ，2a,2a ，再利用余弦定理求解．设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a .在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a ＝－24.答案： －2414．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析： 如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，∴B (－6,3)， ∴z min ＝－6＋3＝－3. 答案： －315．已知△ABC 中三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，则△ABC 的形状为________．解析： 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ① 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ②②2－①得2ac ＝2b ，即b 2＝ac ，①平方得a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2， 将b 2＝ac 代入得a 2＋2ac ＋c 2＝4ac ， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵a ＋c ＝2b ，∴2a ＝2b ， ∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c . 答案： 等边三角形16．已知log 2(x ＋y )＝log 2 x ＋log 2 y ，则xy 的取值范围是____________． 解析： 由已知得x ＋y ＝xy ，又x ＞0，y ＞0， ∴xy ＝x ＋y ≥2xy ，∴xy ≥4. 答案： [4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解析： (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.18．(本小题满分12分)(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解析： (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0＜A ＜π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.19．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0， 即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.20．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4， 即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )， 化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0， ∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.21．(本小题满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解析： (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.答：sin α的值为3314.方法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.答：sin α的值为3314.22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解析： 设桌子、椅子各买x 张和y 张， 则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007. 点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752，则前面的不等式组所表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0，得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时，亦即x ＝25，y ＝752时，z 取最大值．因为x ，y ∈N *，所以x ＝25，y ＝37时，z 取最大值． 故买桌子25张，椅子37张较为合适．。

模块综合检测（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若a〈1，b〉1，那么下列命题中正确的是( ）A。

错误!〉错误! B.错误!〉1C．a2<b2D．ab〈a＋b解析：选D 利用特值法，令a＝－2，b＝2。

则错误!〈错误!，A 错；错误!<0，B错；a2＝b2，C错，ab<a＋b，D正确．2．已知数列｛a n｝的前n项和S n＝n3，则a5＋a6的值为( ）A．91 B．152C．218 D．279解析：选B a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.3．不等式组错误!表示的平面区域是（）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示,所以不等式组错误!表示的平面区域是等腰梯形．4．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于（）A．16 B．32C．64 D．256解析：选C ∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a错误!(a n ＞0），∴a8·a10·a12＝a错误!＝64。

5．在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，若A＝错误!，b＝1,△ABC的面积为错误!，则a的值为( )A．1 B．2C.错误!D.错误!解析：选D 根据S＝错误!bc sin A＝错误!,可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝3，故a＝错误!。

6．若AB―→·BC―→＋AB―→2＝0，则△ABC是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由AB―→·BC―→＋AB―→2＝0,得c2＝－ac·cos （π－B)，∴cos B＝错误!，根据余弦定理得错误!＝错误!，整理得a2＝c2＋b2,所以该三角形为直角三角形．7．等比数列｛a n}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24,则公比q为（)A.错误!B．2C。

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝ .【导学号：92862026】【解析】 C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2.【答案】 22．在△ABC 中，已知c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b ＝ . 【解析】 由b 2＝16＋36－2×4×6cos 120°， 得b ＝219. 【答案】 2193．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B ＝ . 【解析】 sin B ＝b sin A a ＝43sin 30°4＝32.又a <b ，故B >A ，∴B ＝60°或120°. 【答案】 60°或120°4．在△ABC 中，化简b cos C ＋c cos B ＝ .【解析】 利用余弦定理，得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a .【答案】 a5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝ . 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则 cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k＝－14.【答案】 －146．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝2203，则a ＝ . 【解析】 由12bc sin A ＝2203，可知c ＝55. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， ∴a ＝49. 【答案】 497．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ． 【解析】 ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ，∴0<c ≤403. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4038．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：92862027】(1)a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； (2)b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； (3)a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解； (4)a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解． 【解析】 (1)中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； (2)中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；(3)中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．【答案】 (4)9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ .【解析】 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.【答案】 5 10．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，那么△ABC 是 三角形． 【解析】 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形． 【答案】 等边11．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为 ．图1【解析】 由三角形内角平分线的性质得 |AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|， 故|DB →|＝32. 【答案】 3212．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为 m.图2【解析】 由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°，∴BS ＝2 000sin 15°，∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝1 000sin 30°＝500，∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000 m.【答案】 1 00013．已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n ，且a ＝2，cos B ＝33，则b＝ .【解析】 ∵m·n ＝0，∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝0，∵cos A2≠0，∴tan A 2＝33，∴A2＝30°，∴A ＝60°， ∵a sin A ＝bsin B ，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝43 2.【答案】 43 214．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是 ．【解析】 ∵b a ＋ab ＝6cos C ，∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， 即a 2＋b 2＝32c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc .【解】 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .又∵b 2＝ac ，A ＝60°， ∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin Asin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1， 因此b ＝2.18．(本小题满分16分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.【导学号：92862028】【解】 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴2bc cos A ＝－bc ，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)， ∴A ＝2π3.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12. 又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影．【解】 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B－sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. 又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ， 所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35， 所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin []π－(A ＋C ) ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

章末综合测评(三)不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1b B．0＜ab＜1C．ab＞b2 D.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.【答案】 C2．设m＝(x＋5)(x＋7)，n＝(x＋6)2，则m、n的大小关系是()A．m≤n B．m＞nC．m＜n D．m≥n【解析】∵m＝(x＋5)(x＋7)＝x2＋12x＋35，n＝(x＋6)2＝x2＋12x＋36，∴m－n＝－1＜0，∴m＜n.【答案】 C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是()A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a【解析】不等式化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a.∵a＜0，∴x1＞x2，∴不等式的解为x＜5a或x＞－a.【答案】 B4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是() 【导学号：47172135】A.|a＋b|2≥|ab| B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22D．(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b≥4【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b22，当且仅当a ＝b时取等号，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 【答案】 C5．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图像与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【解析】 由题意知Δ＝b 2－4a 2＞0， ∴(b －2a )(b ＋2a )＞0，∴⎩⎨⎧ b －2a ＞0，b ＋2a ＞0，或⎩⎨⎧b －2a ＜0，b ＋2a ＜0，画图知选C. 【答案】 C6．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：47172136】A.72 B ．4 C.92D ．5【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b2a ，∵a ＞0，b ＞0，∴2a b ＋b2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C. 【答案】 CA.12 B.14 C.16D.18【解析】 设m ＝x －2y ，则y ＝12x －m2，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y ＝12x －m 2，由图可知当直线y ＝12x －m 2过点A 时，直线y ＝12x －m2的截距最大，此时m 最小，由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)，此时m 最小，为2－2×2＝－2，则z ＝2x －2y的最小值为2－2＝14，故选B.【答案】 B8．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )【导学号：47172086】A ．(－∞，2]B ．(－2,2)C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a －2≠0时，即a ≠2时，由题意，得⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围为－2＜a ≤2，故选C. 【答案】 C＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( ) 【导学号：47172137】A.256B.83C.113D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时取等号)．【答案】 A10．已知O 是坐标原点，点P (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1 ，y ≤2，上的一个动点，则OP →·OM→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】 OP →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OP →·OM→的取值范围是[0,2]，故选C. 【答案】 C11．已知实数x ，y 满足2x ＋y －5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．210【解析】 ∵y ＝5－2x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(5－2x )2＝5x 2－20x ＋25＝5(x －2)2＋5，∴当x ＝2时，x 2＋y 2的最小值为 5. 【答案】 A12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x －y ＝0对称，动点P (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋2≥0，kx －my ≤0，y ≥0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝b －2a －1的取值范围是( ) 【导学号：47172138】A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】 由题意分析直线y ＝kx ＋1与直线x －y ＝0垂直，所以k ＝－1，即直线y ＝－x ＋1.又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2在直线x －y ＝0上，可求得m ＝－1.则不等式组为⎩⎨⎧－x －y ＋2≥0，－x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域如图，ω＝b －2a －1的几何意义是点Q (1,2)与平面区域上点P (a ，b )连线斜率的取值范围．k OQ ＝2，k AQ ＝－2，故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 【答案】 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若关于x 的不等式m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．【解析】 法一：由m (x －1)＞x 2－x 整理得(x －1)(m －x )＞0，即(x －1)(x －m )＜0，又m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，所以m ＝2.法二：由条件知，x ＝2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根， ∴m ＝2. 【答案】 2 14．函数y ＝16－x －x2的定义域是________． 【导学号：47172139】 【解析】 要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0，即x 2＋x －6＜0.∵Δ＝1＋24＝25＞0，∴方程x 2＋x －6＝0有两个不相等的实数根分别为－3,2.∴不等式x 2＋x －6＜0的解为－3＜x ＜2， ∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜2}． 【答案】 {x |－3＜x ＜2}15．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．【解析】由⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，作出可行域如图．由图可知，目标函数z ＝2x －y 在点A (2，－1)处取最大值z ＝2×2＋1＝5. 【答案】 516．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 由x 2＋y 2＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得 －233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值为233. 【答案】233三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎨⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1＞0.【解】3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)， 2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1＋∞)，所以，原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12∪(1,6)．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围. 【导学号：47172140】【解】 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14. 此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解． 此时，原不等式的解集为空集． 当a 2－4≠0时，由题意，得⎩⎨⎧a 2－4＜0，Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)＜0，∴－2＜a ＜65.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ＜65. 19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值． 【解】 (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6. 当且仅当⎩⎨⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12， 即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y x，x ＋2y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32，y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.20．(本小题满分12分)某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200，∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．∴该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大的收益是70万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜(k ＋1)x －k2－x.【解】 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b －x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)原不等式即为x 22－x ＜(k ＋1)x －k 2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2时，1＜x ＜k 或x ＞2； ②当k ＝2时，x ＞1且x ≠2； ③当k ＞2时，1＜x ＜2或x ＞k .综上所述，当1＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜k 或x ＞2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＞1且x ≠2}； 当k ＞2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2或x ＞k }．22．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) 【导学号：47172141】【解】(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2，∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k·32，解得：k＝6 000，∴y＝6 000x2，即此钻石的价值与重量的函数关系式为y＝6 000x2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2，现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率＝6 000(m＋n)2－6 000m2－6 000n26 000(m＋n)2×100%＝2mn(m＋n)2×100%≤2×⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22(m＋n)2＝12，当且仅当m＝n时取等号．即当m＝n时，价值损失的百分率最大．。

模块综合评价(二)（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ）A．若a，b,c是等差数列，则log2a,log2b，log2c是等比数列B．若a,b，c是等比数列，则log2a，log2b,log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列解析:错误!＝2b－a，错误!＝2c－b，因为a,b，c成等差数列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b,即错误!＝错误!。

答案：C2．在△ABC中，A＝135°,C＝30°,c＝20，则边a的长为（) A．10错误!B．20错误!C．20错误!D。

错误!解析：由正弦定理：asin A＝错误!,所以a＝错误!＝错误!＝20错误!。

答案：B3．不等式2x2＋mx＋n〉0的解集是{x｜x〉3或x〈－2｝，则m，n的值分别是( )A．2，12 B．2,－2C．2，－12 D．－2,－12解析:由题意知－2，3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－错误!，－2×3＝错误!，所以m＝－2，n＝－12.答案：D4．在等差数列｛a n}中，首项a1＝0,公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ）A．37 B．36 C．20 D．19解析:由a m＝a1＋a2＋…＋a9得（m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案：A5．不等式(x－2y＋1）（x＋y－3）〈0表示的区域为（)A BC D解析：利用点（4，0）判断不等式(x－2y＋1）·(x＋y－3)<0，故排除选项A、B、D.答案：C6．若三条线段的长分别为3、5、7,则用这三条线段（)A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形解析:由余弦定理：设最大角为A，则cos A＝错误!＝－错误!＜0，所以A为钝角．答案：C7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式42－36＋45＜0成立的x的取值范围是( )A。

模块综合测试卷班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.122．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论正确的是( )A. a ＋c >b ＋dB. a －c >b －dC. ac >bdD. a d >b c3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝45°，B ＝60°，a ＝6，则b 等于( ) A. 3 6 B. 3 2 C. 3 3 D. 2 6 4．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－15．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝( )A. 5B. 10C. 15D. 206．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( )A ．－2 2B ．－533C ．－3D ．－727．在R 上定义运算 ：x y ＝x (1－y )，若不等式(x －a ) (x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <128．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.239．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则C 等于( )A ．30° B．60° C．45°或135° D．120°10．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZ D ．Y (Y －X )＝X (Z －X )二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．112＋214＋318＋…＋101210＝________. 12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．13．已知△ABC 的面积为12，sin A ＝14，则1b ＋2c的最小值是________． 三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35. (1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．15．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 2，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元．集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨．求用该集装箱托运甲、乙两种产品能获得的最大利润．16．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ²3n ，求数列{b n }的前n 项和的公式．17．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .18．同学们对正弦定理的探索与研究中，得到a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．请利用该结论，解决下列问题：(1)现有一个破损的圆块如图1，只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请你设计一种方案，求出这个圆块的直径的长度．(2)如图2，已知△ABC 三个角满足(sin∠CBA )2＋(sin∠ACB )2－(sin∠CAB )2＝sin∠CBA ²sin∠ACB ，AD 是△ABC 外接圆直径，CD ＝2，BD ＝3，求∠CAB 和直径的长．。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95 D．23【解析】由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10×(2a1＋9d)2＝10×(－8＋27)2＝5×19＝95.【答案】 C2．在△ABC中，已知a、b和锐角A，要使三角形有两解，则应该满足的条件是()A．a＝b sin A B．b sin A＞aC．b sin A＜b＜a D．b sin A＜a＜b【解析】当a＝b sin A时，有一解，当b sin A＜a＜b时，有两解，当a＞b 时有一解．【答案】 D3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4【解析】欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.【答案】 A4．已知等差数列的前n项和为18，若S3＝1，a n＋a n－1＋a n－2＝3，则n的值为()A．9 B．21C．27 D．36【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C.【答案】 C5．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【解析】 (ax ＋b )(x －3)>0等价于 ⎩⎨⎧ ax ＋b >0，x －3>0或⎩⎨⎧ax ＋b <0，x －3<0， ∴⎩⎨⎧x >－1，x >3或⎩⎨⎧x <－1，x <3. ∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 【答案】 A6．“神七”飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征2号”系列火箭，点火1分钟内通过的路程为2 km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n 分钟内通过的路程为S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1)．检验选项知，n ＝15时，S 15＝240 km.故选C.【答案】 C7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31510D.1116【解析】 由6sin A ＝4sin B ＝3sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k ＞0)， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(22＋42－32)k 22×2k ×4k ＝1116.【答案】 D8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )【导学号：47172142】A ．－4B ．6C ．10D ．17【解析】 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B. 【答案】 B9．y ＝3＋x ＋x 21＋x(x ＞0)的最小值是( )A ．2 3B ．－1＋2 3C ．1＋2 3D ．－2＋2 3【解析】 y ＝3＋x ＋x 21＋x ＝31＋x ＋x ＝31＋x ＋x ＋1－1≥23－1，当且仅当31＋x ＝1＋x ，即x ＝3－1时取等号，故y 有最小值23－1.【答案】 B10．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|的值是( )A.2 0142 015 B.2 0162 015 C.2 0152 014D.2 0152 016【解析】 |A n B n |＝|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝2 0152 016.【答案】 D11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15 B ．a ＜－1 C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞15 【解析】 由于f (x )＝3ax －2a ＋1，故f (x )一定是一条直线，又由题意，存在x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，故直线y ＝3ax －2a ＋1在x ＝－1和x ＝1时的函数值异号，即f (－1)f (1)＜0，得(1－5a )(a ＋1)＜0，解得a ＜－1或a ＞15.【答案】 C12．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) 【导学号：47172143】A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】 作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域的交点为A (6,1)，B (－2,1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝________.【解析】 由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.【答案】 214．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________.【导学号：47172144】【解析】 设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得49＝a 2＋25－2×5a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5×sin120°＝1534. 【答案】 153415．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】 画出可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线l 0：x ＋y ＝0. 当直线过点A 时，z 最大，z max ＝1＋12＝32. 【答案】 3216．若a ＞0，b ＞0，且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．【解析】 a 1＋b 2＝12·2a 1＋b 2≤4a 2＋1＋b 24＝54，当且仅当⎩⎨⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立， 即a ＝104，b ＝62时成立．【答案】 54三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的度数． 【解】 (1)由题意△ABC 的周长为2＋1， ∴AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.由正弦定理，得 BC ＋AC ＝2AB ，∴AB ＝1.(2)由△ABC 的面积为12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由(1)知BC ＋AC ＝2，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝12，∴C ＝60°.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128，若b n ＝log 2a n ，数列{b n }前n 项的和为S n .(1)若S n ＝35，求n 的值； (2)求不等式S n ＜2b n 的解集.【导学号：47172145】【解】 (1)由a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝128得q 3＝64， ∴q ＝4，a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12·4n －1＝22n －3， ∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －3＝2n －3. ∵b n ＋1－b n ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，∴{b 1}是以b 1＝－1为首项，2为公差的等差数列， ∴S n ＝(－1＋2n －3)n 2＝35，n 2－2n －35＝0，(n －7)(n ＋5)＝0，即n ＝7.(2)∵S n －2b n ＝n 2－2n －2(2n －3)＝n 2－6n ＋6＜0， ∴3－3＜n ＜3＋3， ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3,4，即所求不等式的解集为{2,3,4}．19．(本小题满分12分)如图1，矩形ABCD 是机器人踢球的场地，AB ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器人先从AD 中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？图1【解】 设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上．连接FG .设FG ＝x cm.根据题意，得BG ＝2x cm.则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )cm.连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ， 所以∠EAF ＝45°，AF ＝402cm ， 于是∠F AG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理，得 FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos ∠F AG ，所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x )×cos 45°， 解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70 cm 或AG ＝－2303cm(不合题意，舍去)． 即该机器人最快可在线段AB 上离A 点70 cm 处截住小球．20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：47172146】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.21．(本小题满分12分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车运营的总利润y (单位：十万元)与运营年数x 满足二次函数的关系：y ＝－a (x －6)2＋11，且该二次函数图像过点(4,7)．问每辆客车运营多少年，运营的年平均利润最大？最大值为多少？(年平均利润＝总利润年数) 【解】 设年平均利润为z 十万元，依题意， ∵二次函数y ＝－a (x －6)2＋11的图像过点(4,7)， ∴7＝－a (4－6)2＋11， ∴a ＝1，∴y ＝－(x －6)2＋11，z ＝y x ＝－(x －6)2＋11x＝－x 2＋12x －25x ＝－x －25x ＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12.∵x ＞0，∴x ＋25x ≥10， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤－10，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤2，∴z ≤2，当且仅当x ＝25x 即x ＝5时，z 有最大值为2十万元．即每辆客车运营5年，运营的年平均利润最大，最大值为2十万元． 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N ＋)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求证：{b n }是等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n ；(3)若c n ≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：47172147】【解】 (1)证明：由题意知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)，∵b n ＝3log 14a n －2，b 1＝3log 14a 1－2＝1，∴b n ＋1－b n ＝3log 14a n ＋1－3log 14a n ＝3log 14a n ＋1a n ＝3log 14q ＝3，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列． (2)由(1)知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)，∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)，∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ；于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. ∴S n ＝23－12n ＋83×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)． (3)∵c n ＋1－c n ＝(3n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝9(1－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，c 2＝c 1＝14， 当n ≥2时，c n ＋1＜c n ，即c 1＝c 2＞c 3＞c 4＞…＞c n ，∴当n ＝1或2时，c n 取得最大值是14.又c n ≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，∴14m 2＋m －1≥14，即m 2＋4m －5≥0，解得m ≥1或m ≤－5.故实数m 的取值范围为{m |m ≥1或m ≤－5}．。

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝2sin 60°3＝22. 又a <b ，B ＝60°，∴A <60°，∴A ＝45°. 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( ) A.116 B.117 C.110D.125解析：选C a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110. 4．若关于x 的不等式x 2－3ax ＋2>0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D.5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x＋＋y22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1 解析：选B ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意．故选B.8．已知S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，S 3＝3a 1＋2a 2，且a 2－12，a 4，a 5成等差数列，则a 1＝( )A ．2 B.12C.14D ．4解析：选C 设数列{a n }的公比为q (q >0)，则由S 3＝3a 1＋2a 2可得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，又a 2－12，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 2－12＋a 5，即a 2＝12，所以a 1＝14.9．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos 60°＝7，解得AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得12·BC ·x ＝12AB ·BC ·sin 60°，解得x ＝332，故选B.10．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为( )A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,10解析：选A 设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z ＝x ＋y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥40，x ≥0，y ≥0作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x ＋z过Q点时，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝40，得Q (16,8)，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．11．若log 4(3x ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝2xy2＝22，并且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 315．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n16．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号)解析：因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥a ＋b22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，所以④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －2d ＝242，得12n ＋n n －2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.18．(12分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)， 所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)， 所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系，知－b 2＝5，c2＝0， 所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t－2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为 (－∞，－10]．19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1－2n－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12( 1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1 )＝n1－2n. 20．(12分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340 m/s)解：由题意，设AC ＝x m ， 则BC ＝x －217×340＝(x －40)m ，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2·BA ·CA ·cos∠BAC ， 即(x －40)2＝1002＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC ，可得CH ＝AC ·sin∠CAHsin ∠AHC＝1406(m)．即该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.21．(12分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cosC ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得sin B ＝AC sin A BC ＝12. 因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝12，2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <34.解：(1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴a n a n －1＝13(由题意可知a n －1≠0)． ∴{a n }是公比为13的等比数列，而S 1＝a 1＝12(1－a 1)，∴a 1＝13，∴a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.由2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2，1b 1＝1，1b 2＝2，得d ＝1b 2－1b 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫d 为等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的公差， ∴1b n ＝n ，∴b n ＝1n.(2)证明：c n ＝a n b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，设T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，则T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，由错位相减，得23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，所以T n ＝34－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －12n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝34－2n ＋34×13n <34.。

2017-2018学年高中数学必修5模块综合检测题2018.1.23本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)⎛⎤112．定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，－1，x ＜0，则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜－3＋334 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－3＋334 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－3＋334[Z|X D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝(2－a 2)x ＋a 在区间[0,1]上恒为正，则实数a 的取值范围是________． 14．在R 上定义运算⊗，a ⊗b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊗(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．必修5模块综合检测题参考答案【第1题解析】由9x 2＋6x ＋1≤0，得(3x ＋1)2≤0，可求得其解为x ＝－31.故选D.【第2题解析】利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如下图．根据题意得C (1＋，2)．作直线－x ＋y ＝0，并平移，过点B (1,3)和C (1＋，2)时，z ＝－x ＋y 分别取最大值和最小值，则－(1＋)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－，2)．故选A.【第5题解析】∵不等式x ＋a x ＋1<2的解集为P ，且1∉P ，∴1＋a 1＋1≥2，即a ＋12a≤0，∴－1<a ≤0.故选D.【第6题解析】∵x >1，y >1，且xy ＝16，∴log 2x >0，log 2y >0且log 2x ＋log 2y ＝log 216＝4.∴log 2x ·log 2y ≤2log2x ＋log2y 2＝4(当且仅当x ＝y ＝4时取等号)．故选D.【第7题解析】由图象知抛物线顶点坐标为(6,11)，且过点(4, 7)．设y ＝a (x －6)2＋11，将点(4,7)代入，得7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴年平均利润为x y ＝－x －x 25＋12＝12－x 25.∵x ＋x 25≥10，即x ＝5时，取等号25，∴当x ＝5时，x y有最大值2.故选C.【第8题解析】∵不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈21成立，∴对一切x ∈21，ax ≥－x 2－1，即a ≥－x x2＋1成立．令g (x )＝－x x2＋1＝－x 1.易知g (x )＝－x 1在21内为增函数．∴当x ＝21时，g (x )max ＝－25.∴a 的取值范围是a ≥－25，即a 的最小值是－25.故选C.【第9题解析】“求(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围”实质上是求不等式组2<12<1的解集，由于这几个不等式结构一样，则其中解集“最小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集．(1－a i x )2<1即a i 2x2－2a i x <0，a i x (a i x －2)<0.∵a i >0，∴这个不等式可化为x ai 2<0，∴0<x <ai 2.若ai 2取最小值，则a i 应取最大值，因此0<x <a12，故选B.【第11题解析】设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为x ，y ∈N ，y －x≤7，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点P (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．故选C.【第12题解析】当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得－433＜x＜433，即－433＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为＜x ＜333.故选D.【第13题解析】当2－a 2＝0时，a ＝±.由题意知a ＝时符合题意． 当2－a 2≠0，即a ≠±时，f (x )是一次函数，在[0,1]上是单调的，∴>0，0>0，即－a2＋a ＋2>0.a>0，解得0<a <2且a ≠±.综上可知0<a <2.故填(0,2).【第14题解析】∵x ⊗(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，∴x ⊗(x －2)<0，即x 2＋x －2<0，即(x ＋2)(x －1)<0，∴实数x 的取值范围为－2<x <1.故填(－2,1).【第15题解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知f (x )的图象如图1所示，则有>0<0，⇔a ＋b ＋2>0.a ＋2b ＋1<0，图1图2【第16题解析】作出可行域如图所示的阴影部分，平移直线l ：ax ＋by ＝0，由于a >0，b >0，∴直线l 的斜率为－b a<0，∴当直线l 经过点A 时，z ＝ax ＋by 取得最大值6.由x －y ＋2＝0，3x －y －6＝0，解得y ＝6，x ＝4，∴A (4,6)．∴4a ＋6b ＝6.∴32a ＋b ＝1且a >0，b >0.∴a 1＋b 2＝b 2a ＋b 2＝38＋a b ＋3b 4a ≥38＋23b 4a ＝33.(当且仅当a b ＝3b 4a ，即a ＝23b 时取等号)故填33.【第17题答案】y min ＝3.【第17题解析】令t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1.∴y ＝x2＋1x4＋3x2＋3＝t t －1＋3＝t t2＋t ＋1＝t ＋t 1＋1.∵t ≥1，∴t ＋t 1≥2t 1＝2，当且仅当t ＝t 1，即t ＝1时，等号成立．∴当t ＝1时，t 1min ＝2，此时x ＝0，y min ＝t ＋t 1＋1＝3.故当x ＝0时，函数y 取最小值，y min ＝3.【第18题答案】x >2或x <－1m ∈，31，问题转化为g (m )在m ∈，31上恒大于0，则>0，>0，解得x >2或x <－1.故填x >2或x <－1.【第19题答案】23【第19题解析】(1)若a ＝2，则不等式f (x )≥0化为2x 2－5x ＋3≥0，∴不等式f (x )≥0的解集为或x≤13. (2)∵ax 2－(2a ＋1)x ＋a ＋1＝a (x －1)2－(x －1)，令g (a )＝a (x －1)2－(x －1)，则g (a )是关于a 的一次函数，且一次项的系数为(x －1)2≥0，∴当x －1＝0时，f (x )＝0不合题意；当x ≠1时，g (a )为[－2,2]上的增函数．∵f (x )<0恒成立，∴只要使g (a )的最大值g (2)<0即可，即g (2)＝2(x －1)2－(x －1)<0，解得1<x <23. 综上，x 的取值范围是23. 学科*网【第20题答案】（1）f (x )＝38－x ＋10180－5x，x ∈[0,100]；（2）分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．【第21题答案】存在常数a ＝41，b ＝21，c ＝41满足题意．【第21题解析】由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0.①又对x ∈R ，不等式x ≤f (x )≤21(x 2＋1)成立，取x ＝1，有1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1，故a ＋b ＋c ＝1.②由①②可得b ＝21，c ＝21－a ，将其代入x ≤f (x )≤21(x 2＋1)，得x ≤ax 2＋21x ＋21－a ≤21(x 2＋1)对x ∈R 恒成立，即x －a≤0 ④1对x ∈R 恒成立．由③得Δ≤0a>0，⇒a ＝41.由④得Δ≤0<0，⇒a ＝41.综合可知，存在常数a ＝41，b ＝21，c ＝41满足题意．【第22题答案】存在实数k ∈[3，＋∞)使不等式恒成立．【第22题解析】存在．将不等式4－kx －x 4≤0变形，即－x 4≤kx －4(x >0)．可设f 1(x )＝－x 4，f 2(x )＝kx －4.故f 2(x )中参数k 的几何意义是直线y ＝kx －4的斜率．由下图知当直线y ＝kx －4与曲线y ＝－x 4相切时，关于x 的方程－x 4＝kx －4有唯一大于0的解，将方程整理成关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋4＝0.由Δ＝(－4)2－4×4×k ＝0，可得k ＝3.又直线y ＝kx －4过定点(0，－4)，故要使f 1(x )≤f 2(x )(x >0)恒成立，只需k ≥3即可．综上，存在实数k ∈[3，＋∞)使不等式恒成立．。

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f（x）＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f（x)与g（x）的大小关系为( )A．f(x）〉g(x) B．f(x）＝g(x)C．f(x)<g（x) D．随x值变化而变化解析:选A 因为f（x)－g（x）＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x－1）＝x2－2x＋2＝(x－1）2＋1〉0，所以f（x）〉g(x）．2．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若a＝错误!，b＝错误!,B＝60°，那么角A等于（)A．135° B．90°C．45° D．30°解析：选C 由正弦定理知错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!＝错误!.又a<b，B＝60°，∴A〈60°,∴A＝45°。

3．若a1＝1，a n＋1＝错误!，则给出的数列{a n｝的第4项是( )A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析:选C a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!＝错误!。

4．若关于x的不等式x2－3ax＋2〉0的解集为（－∞，1)∪(m,＋∞),则a＋m＝( ）A．－1 B．1C．2 D．3解析:选D 由题意,知1,m是方程x2－3ax＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得错误!解得错误!所以a＋m＝3，故选D。

5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8,则(1＋x)（1＋y）的最大值为（)A．16 B．25C．9 D．36解析：选B (1＋x)(1＋y)≤错误!2＝错误!2＝错误!2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)（1＋y）取最大值25，故选B.6．已知数列｛a n}为等差数列,且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于（)A．40 B．42C．43 D．45解析：选B 设等差数列｛a n｝的公差为d，则2a1＋3d＝13，∴d＝3，故a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42。

模块综合检测（一） (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3， ∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10， ∴d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2.2．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b解析：选D 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b a<0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由不等式组作出可行域如图所示，由图可知：当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取得最小值为－1.4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 5．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D 由题意可得B ＝60°，再由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 又三边a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，上式即为a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＝0， 则a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．6．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C S 4－(a 2＋a 4)＝60⇒a 1＋a 3＝60. ∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，a 1＝6. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.8．关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，且n －m ≤5，则实数a 的取值范围是( )A ．C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．解析：选D 由题意知，方程x 2－ax －6a ＝0有两根分别为m 和n ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋24a ＞0⇒a ＜－24或a ＞0，m ＋n ＝a ，mn ＝－6a .又0＜n －m ≤5，∴(n －m )2＝(n ＋m )2－4nm ＝a 2＋24a ≤25， 即a 2＋24a －25≤0，解得－25≤a ≤1. ∴－25≤a ＜－24或0＜a ≤1. 故实数a 的取值范围是．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a，x －y ≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D.32解析：选A 由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a )时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |a <x <c }，则S △ABC 等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B 由于不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |2<x <4}， ∴a ＝2，c ＝4.又角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×4×sin π3＝2 3.11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n n －12＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n＝642，所以n ＝12.12．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x ＞1， ∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪211x <2的解集是________．解析：由已知可得1<2x －1<2，解得1<x <32，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32 14．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n. ∴2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3×2n －1，∴S 6＝3×1＋3×2＋…＋3×25＝189.答案：18915．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，AB＝3 km，AC＝2 km.设BC＝a km.由余弦定理的推论，得cos 120°＝a2＋4－94a，解得a＝6－1或a＝－6－1(舍去)，即B到C的距离为(6－1) km.答案：(6－1)16．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝35 .(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若S△ABC＝4，求b，c的值．解：(1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5 .由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45＝4. ∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1， ∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． ∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， ∴0<x 2－4x ＋3≤3， ∴0≤x <1或3<x ≤4，∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3＜x ≤4}．19．(本小题满分12分)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13． ∴T n ＝19．21．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？请求最小面积．解：(1)设AN ＝x (x >2)米，则ND ＝x －2， 因为ND DC ＝AN AM ，所以x －23＝x AM， 所以AM ＝3xx －2. 所以3xx －2·x >32， 所以3x 2－32x ＋64>0， 所以(3x －8)(x －8)>0， 所以2<x <83或x >8.即2<AN <83或AN >8.(2)S 矩形AMPN ＝3x2x －2＝x －2＋x －＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24， 当且仅当x ＝4时取等号．所以当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米．22．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ，得0<x <3. 则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2， 则y 1＝2n ，y 2＝n ，∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋2，∴T n ＝n n ＋2n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，即T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26， ∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________．【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域[0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14， ∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17， 令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)，∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)． ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1 ＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1 ＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25) ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。

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模块质量评估(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.在△ABC中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【解析】选B.因为bsinA≈100×0.7<a,且b>a,所以有两解.2.(2016·杭州高二检测)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么,对应的三边之比a∶b∶c等于( )A.3∶2∶1B.错误！未找到引用源。

∶2∶1C.错误！未找到引用源。

∶错误！未找到引用源。

∶1D.2∶错误！未找到引用源。

∶1【解析】选D.因为A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,所以A=90°,B=60°,C=30°.由正弦定理可知:a∶b∶c=sin90°∶sin60°∶sin30°=1∶错误！未找到引用源。

∶错误！未找到引用源。

=2∶错误！未找到引用源。

∶1.3.不等式错误！未找到引用源。

>0的解集为( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.原不等式化为错误！未找到引用源。

<0,与不等式对应的方程的根为x1=错误！未找到引用源。

,x2=错误！未找到引用源。

,所以不等式的解集为错误！未找到引用源。

.4.(2016·汕头高二检测)已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是( )A.a2<abB.错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。