河南省顶级名校2017届高三10月月考数学(理)试题(附答案)$755430
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河南省新乡一中2017届高三(上)第二次月考数学(理科)试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 6i |34i |-+-的实部与虚部之差为( )2.若集合{}2=870,=3x M x x x N x ⎧⎫∈|-+<|∉⎨⎬⎩⎭N N 则M N I 等于( ) A .}{3,6 B .}{4,5 C .}{2,4,5 D .}{2,4,5,73.已知sin 1sin cos 2ααα=+ ,且向量(tan ,1)AB α=u u u r ,tan ,2BC α=()u u u r ,则AC u u u r 等于( ) A .(2,3)- B .(1,2) C .(4,3) D .(2,3)4.下列四个命题中,正确的是( )A .若1x > ,则(,1)y ∀∈-∞,1xy ≠B .若sin cos x θθ= ,则(0,π)θ∀∈,12x ≠C .若1x >,则(,1)y ∃∈-∞,1xy =D .若sin cos x θθ=,则(0,π)θ∃∈,1x =5.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且5442S S a =-,则54S S 等于( )6.如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB =,E 、F 分别为AB 边、CD边上一点,且1AE DF ==,现将矩形ABCD 沿EF 折起,使得平面ADFE ⊥平面BCFE ,连接,AB CD ,则所得三棱柱ABE -DCF 的侧面积比原矩形ABCD 2.236≈)( )A .68%B .70%C .72%D .75%7.若定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得()()f x f x -=,则称()f x 为类偶函数.那么下列函数中,为类偶函数的是( )A .()4cos f x x =B .2()23f x x x =-+C .()21x f x =+D .3()3f x x x =-8.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )9.若函数sin(π)y k k ϕ=+()2k ϕ>ο,<与函数26y kx k =-+的部分图象如图所示,则函数()sin()cos()f x kx kx ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )10.已知平面区域34180:20x y x y +-⎧⎪Ω⎨⎪⎩≤≥≥,夹在两条斜率为34-的平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为m .若点(,)P x y ∈Ω,则z mx y =-的最小值为( )11.已知函数()f x 的导数为()f x ' ,且()(1)()0x f x xf x '++≥对[0,)x ∈+∞恒成立,则下列不等式一定成立的是( )A .(1)2e (2)f f <B .e (1)(2)f f <C .(1)f <0D .e (e)2(e)f f <12.在正四棱锥P ABCD -中,O 为正方形ABCD 的中心,()24PE EO λλ=u uur u u u r ≤≤,且平面ABE 与直线PD 交于F ,()PF f λ=u u u r ,PD u u u r 则( )二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(,2)a x =r ,(2,1)b =r ,(3,)c x =r ,若a b r r ∥,则向量a r 在向量c r 方向上的投影为_________.14.已知一个三棱锥的体积和表面积分别为V ,S ,若V =2,3S =,则该三棱锥内切球的表面积是_________. 15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为_________.16.函数()f x =的定义域为_________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数π()sin(2)3f x x =+.(1)若π(,0]6x ∈-,求14()()f x f x +的最小值,并确定此时x 的值; (2)若π(,0)2a ∈-,π()23a f +=,求()f a 的值. 18.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,52a =,且3a 是1a 与85-的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)若1a 为整数,求证:1122333n i i n s i n =>++∑.1 19.如图,在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且1sin cos csin cos 3a A CA A c +=,D 为AC 边上一点.(1)若c b =2=4,53BCD S =△,求DC 的长. (2)若D 是AC 的中点,且cos B BD =,求ABC △的最短边的边长.20.如图,在五棱锥F ABCDE -中,平面AEF ⊥平面ABCDE ,AF EF ==1,AB DE ==2,BC CD ==3,且90AFE ABC BCD CDE ∠=∠=∠=∠=︒.(1)已知点G 在线段FD 上,确定G 的位置,使得AG ∥平面BCF ;(2)点M ,N 分别在线段DE ,BC 上,若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折,D 与F 恰好重合,求直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值.21.已知a ∈R ,函数32()f x x ax ax a = -++,g()()3x f x a x =+(-).(1)求证:曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过定点;(2)若(1)g 是g()x 在区间(0,3]上的极大值,但不是最大值,求实数a 的取值范围;(3)求证:对任意给定的正数b ,总存在(3,)a ∈+∞,使得g()x 在(,)33a a b +上为单调函数. 22.已知函数()ln f x ax x =-,()e x F x ax =+,其中x a >0,<0.(1)若()f x 和()F x 在区间(0,ln3)上具有时间的单调性,求实数a 的取值范围;(2)若21(]e a ∈-∞,-,且函数1g()e ()ax x x ax f x -= -2+的最小值为()a ϕ,求()a ϕ的最小值.。
河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(5分)已知集合M={x|x≥x2},N={y|y=2x,x∈R},则M∩N=()A.(0,1)B.C.2.(5分)已知复数z=,则z的虚部是()A.B.﹣C.﹣i D.﹣3.(5分)某学生在一门功课的22次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A.117 B.118 C.118.5 D.119.54.(5分)已知双曲线my2﹣x2=1(m∈R)与椭圆+x2=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x5.(5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.6.(5分)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a m+1•a m﹣1=2a m(m≥2),数列{a n}的前n项积为T n,若T2m﹣1=512,则m的值为()A.4B.5C.6D.77.(5分)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为()A.﹣B.﹣C.D.8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为21,则判断框中应填()A.i<5 B.i<6 C.i<7 D.i<89.(5分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.54 B.27 C.18 D.910.(5分)抛物线y2=4x的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,弦AB中点M在其准线上的射影为N,则的最大值为()A.B.C.D.11.(5分)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()A.8πB.12πC.16πD.32π12.(5分)函数在上的最大值为2,则a的范围是()A.B.C.(﹣∞,0]D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)若点P(x,y)满足线性约束条件,则z=x﹣y的取值范围是.14.(5分)若(x2﹣)n二项展开式中的第5项是常数项,则中间项的系数为.15.(5分)设O是△ABC的三边中垂线的交点,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,已知b2﹣2b+c2=0,则•的范围是.16.(5分)已知有限集A={a1,a2,a3…,a n}(n≥2).如果A中元素a i(i=1,2,3,…,n)满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n,就称A为“复活集”,给出下列结论:①集合{,}是“复活集”;②若a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则a1a2>4;③若a1,a2∈N*则{a1,a2}不可能是“复活集”;④若a i∈N*,则“复合集”A有且只有一个,且n=3.其中正确的结论是.(填上你认为所有正确的结论序号)三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C对的边分别为a,b,c,已知a=2.(1)若A=,求b+c的取值范围;(2)若•=1,求△ABC面积的最大值.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(Ⅰ)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°,并求出的值.19.(12分)生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件A、元件B为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元;生产一件元件B,若是正品可盈利100元,若是次品则亏损20元,在(Ⅰ)的前提下:(i)求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率;(ii)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望.20.(12分)椭圆C:+=1过点A(1,),离心率为,左右焦点分别为F1、F2.过点F1的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆C的方程.(2)当△F2AB的面积为时,求l的方程.21.(12分)f(x)=axe kx﹣1,g(x)=lnx+kx.(Ⅰ)当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上是增函数,求k 值;(Ⅱ)对于任意k>0,x>0,f(x)>g(x)恒成立,求a的取值范围.三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)已知,在△ABC中,D是AB上一点,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2BE.(Ⅰ)求证:BC=2BD;(Ⅱ)若CD平分∠ACB,且AC=2,EC=1,求BD的长.三、选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),已知过点P(﹣2,﹣4)的直线L的参数方程为:,直线L与曲线C分别交于M,N.(Ⅰ)写出曲线C和直线L的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.三、选修4-5:不等式选讲24.已知函数f(x)=|x﹣1|.(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x﹣1)≤2;(Ⅱ)当a>0时,不等式2a﹣3≥f(ax)﹣af(x)恒成立,求实数a的取值范围.河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(5分)已知集合M={x|x≥x2},N={y|y=2x,x∈R},则M∩N=()A.(0,1)B.C.考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出M中不等式的解集确定出M,求出N中y的范围确定出N,求出两集合的交集即可.解答:解:由M中的不等式变形得:x(x﹣1)≤0,解得:0≤x≤1,即M=;由N中的y=2x>0,得到N=(0,+∞),则M∩N=(0,1].故选:D.点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)已知复数z=,则z的虚部是()A.B.﹣C.﹣i D.﹣考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:由复数代数形式的除法运算化简复数z,从而求得复数z的虚部.解答:解:由=,则复数z的虚部是.故选:B.点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数z的虚部的求法,是基础题.3.(5分)某学生在一门功课的22次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A.117 B.118 C.118.5 D.119.5考点:茎叶图.专题:概率与统计.分析:求出22次考试分数最大为98,最小56,可求极差,从小到大排列,找出中间两数为76,76,可求中位数,从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和.解答:解:22次考试分数最大为98,最小为56,所以极差为98﹣56=42,从小到大排列,中间两数为76,76,所以中位数为76.所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118.故选B.点评:本题考查茎叶图,考查学生分析解决问题的能力,确定极差与中位数是关键.4.(5分)已知双曲线my2﹣x2=1(m∈R)与椭圆+x2=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定椭圆、双曲线的焦点坐标,求出m的值,即可求出双曲线的渐近线方程.解答:解:椭圆+x2=1的焦点坐标为(0,±2).双曲线my2﹣x2=1(m∈R)的焦点坐标为(0,±),∵双曲线my2﹣x2=1(m∈R)与椭圆+x2=1有相同的焦点,∴=2,∴m=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选:A.点评:本题考查椭圆、双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.5.(5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是3×3种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果,根据古典概型概率公式得到结果.解答:解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是3×3=9种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,由于共有三个小组,则有3种结果,根据古典概型概率公式得到P=,故选A.点评:本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目.6.(5分)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a m+1•a m﹣1=2a m(m≥2),数列{a n}的前n 项积为T n,若T2m﹣1=512,则m的值为()A.4B.5C.6D.7考点:等比数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:由已知条件推导出a m=2,从而T n=2n,由T2m﹣1=512,得22m﹣1=512=29,由此能求出结果.解答:解:设数列{a n}公比为qa m﹣1=,a m+1=a m•q,∵a m+1•a m﹣1=2a m,∴,∴,解得a m=2,或a m=0(舍),∴T n=2n,∵T2m﹣1=512,∴22m﹣1=512=29,∴2m﹣1=9,解得m=5.故选:B.点评:本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.7.(5分)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为()A.﹣B.﹣C.D.考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:计算题.分析:通过函数的图象,利用KL以及∠KML=90°求出求出A,然后函数的周期,确定ω,利用函数是偶函数求出ϕ,即可求解f()的值.解答:解:因为f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=,T=2,因为T=,所以ω=π,函数是偶函数,0<ϕ<π,所以ϕ=,∴函数的解析式为:f(x)=sin(πx+),所以f()=sin(+)=cos=.故选:D.点评:本题考查函数的解析式的求法,函数奇偶性的应用,考查学生识图能力、计算能力.8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为21,则判断框中应填()A.i<5 B.i<6 C.i<7 D.i<8考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:根据题意,模拟程序框图的执行过程,计算输出结果即可.解答:解:模拟程序框图执行过程,如下;开始,i=1,s=0,不输出,进入循环,1是奇数?是,s=0﹣12=﹣1,i=1+1=2,不输出,进入循环,2是奇数?否,s=﹣1+22=3,i=2+1=3,不输出,进入循环,3是奇数?是,s=3﹣32=﹣6,i=3+1=4,不输出,进入循环,4是奇数?否s=﹣6+42=10,i=4+1=5,不输出,进入循环,5是奇数?是,s=10﹣52=﹣15,i=5+1=6,不输出,进入循环,6是奇数?否,s=﹣15+62=21,i=6+1=7,退出循环,输出21,∴判断框中的条件是:i<7?故选C.点评:本题考查了程序框图的执行结果的问题,解题时应模拟程序的执行过程,是基础题.9.(5分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.54 B.27 C.18 D.9考点:由三视图求面积、体积.分析:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥,由体积公式可求.解答:解:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥,且底面为矩形,长6,宽3;体高为3.则=18.故选:C.点评:做三视图相关的题时,先要形成直观图,后要注意量的关系.属于基础题.10.(5分)抛物线y2=4x的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,弦AB中点M在其准线上的射影为N,则的最大值为()A.B.C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:设AF=a,BF=b,由抛物线定义,2MN=a+b.再由余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°,进而根据a+b≥2,求得|AB|的范围,进而可得答案.解答:解:设AF=a,BF=b,由抛物线定义,2MN=a+b.而余弦定理,|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=(a+b)2﹣ab,再由a+b≥2,得到|AB|≥(a+b).所以的最大值为.故选:A.点评:本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.11.(5分)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()A.8πB.12πC.16πD.32π考点:球的体积和表面积.专题:球.分析:取CD的中点E,连结AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积.解答:解:取CD的中点E,连结AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心,BE=,BG=,R===2.四面体ABCD外接球的表面积为:4πR2=16π.故选:C.点评:本题考查球的内接体知识,考查空间想象能力,确定球的切线与半径是解题的关键.12.(5分)函数在上的最大值为2,则a的范围是()A.B.C.(﹣∞,0]D.考点:函数最值的应用.专题:常规题型.分析:先画出分段函数f(x)的图象,如图.当x∈上的最大值为2;欲使得函数在上的最大值为2,则当x=2时,e2a的值必须小于等于2,从而解得a的范围.解答:解:先画出分段函数f(x)的图象,如图.当x∈上的最大值为2;欲使得函数在上的最大值为2,则当x=2时,e2a的值必须小于等于2,即e2a≤2,解得:a故选D.点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)若点P(x,y)满足线性约束条件,则z=x﹣y的取值范围是作出直线x﹣y=0,对该直线进行平移,可以发现当直线经过点(0,0)时,Z取得最大值0,当直线经过点(﹣2,0)时,Z取得最小值﹣2,所以Z的取值范围为又f(0)=0,f(2)=2.∴.即的取值范围是.故答案为.点评:本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法,属于难题.16.(5分)已知有限集A={a1,a2,a3…,a n}(n≥2).如果A中元素a i(i=1,2,3,…,n)满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n,就称A为“复活集”,给出下列结论:①集合{,}是“复活集”;②若a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则a1a2>4;③若a1,a2∈N*则{a1,a2}不可能是“复活集”;④若a i∈N*,则“复合集”A有且只有一个,且n=3.其中正确的结论是①③④.(填上你认为所有正确的结论序号)考点:元素与集合关系的判断.专题:集合.分析:根据已知中“复活集”的定义,结合韦达定理及反证法,逐一判断四个结论的正误,进而可得答案.解答:解:∵•=+=﹣1,故①是正确的;②不妨设a1+a2=a1a2=t,则由韦达定理知a1,a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根,由△>0,可得t<0,或t>4,故②错;③不妨设A中a1<a2<a3<…<a n,由a1a2…a n=a1+a2+…+a n<na n,得a1a2…a n﹣1<n,当n=2时,即有a1<2,∴a1=1,于是1+a2=a2,a2无解,即不存在满足条件的“复活集”A,故③正确.当n=3时,a1a2<3,故只能a1=1,a2=2,求得a3=3,于是“复活集”A只有一个,为{1,2,3}.当n≥4时,由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×(n﹣1),即有n>(n﹣1)!,也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n﹣1)!,事实上,(n﹣1)!≥(n﹣1)(n﹣2)=n2﹣3n+2=(n﹣2)2﹣2+n>2,矛盾,∴当n≥4时不存在复活集A,故④正确.故答案为:①③④点评:本题考查的知识点是元素与集合的关系,正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键,难度较大.三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C对的边分别为a,b,c,已知a=2.(1)若A=,求b+c的取值范围;(2)若•=1,求△ABC面积的最大值.考点:余弦定理的应用;平面向量数量积的运算;正弦定理.专题:三角函数的图像与性质;解三角形.分析:(1)利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出;(2)利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出.解答:解:(1)∵,∴=,∴b+c=======4.∵,∴.∴,∴,∴.∴b+c∈(2,4],(2)∵•=1,∴bccosA=1.∴,∴=,∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴4=b2+c2﹣2,6=b2+c2≥2bc,∴bc≤3,∴b2c2≤9.∴==≤=.当且仅当时,△ABC的面积取到最大值为.点评:本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(Ⅰ)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°,并求出的值.考点:与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离.分析:(I)由已知条件推导出PQ⊥AD,BQ⊥AD,从而得到AD⊥平面PQB,由此能够证明平面PQB⊥平面PAD.(II)以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.解答:(I)证明:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD,又∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,又∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,又∵AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(II)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,∴PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图.则由题意知:Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(﹣2,,0),设(0<λ<1),则,平面CBQ的一个法向量是=(0,0,1),设平面MQB的一个法向量为=(x,y,z),则,取=,(9分)∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°,∴=,解得,此时.(12分)点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查满足条件的点的位置的确定,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.19.(12分)生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件A、元件B为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元;生产一件元件B,若是正品可盈利100元,若是次品则亏损20元,在(Ⅰ)的前提下:(i)求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率;(ii)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:(Ⅰ)由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率.(Ⅱ)(i)设生产的5件元件中正品件数为x,则有次品5﹣x件,由题意知100x﹣20(5﹣x)≥300,由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率.(ii)随机变量X的所有取值为150,90,30,﹣30,分别求出P(X=150),P(X=90),P (X=30),P(X=﹣30),由此能求出X的分布列和EX.解答:(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题可知元件A为正品的概率为=,元件B为正品的概率为=.…(2分)(Ⅱ)(i)设生产的5件元件中正品件数为x,则有次品5﹣x件,由题意知100x﹣20(5﹣x)≥300,得到x=4,5,设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C,则P(C)==.…(6分)(ii)随机变量X的所有取值为150,90,30,﹣30,则P(X=150)=,P(X=90)=,P(X=30)==,P(X=﹣30)==,所以X的分布列为:X 150 90 30 ﹣30P…(10分)EX=150×+90×+30×﹣30×=108.…(12分)点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,在历年2015届高考中都是必考题型.20.(12分)椭圆C:+=1过点A(1,),离心率为,左右焦点分别为F1、F2.过点F1的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆C的方程.(2)当△F2AB的面积为时,求l的方程.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)由已知条件推导出,,由此能求出椭圆C的方程.(2)由(1)知F1(﹣1,0),直线l方程为y=k(x+1),由,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2﹣12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由此利用韦达定理能求出直线l的方程.解答:解:(1)∵椭圆过点,∴…(1分)∵离心率为,∴,…(2分)又∵a2=b2+c2…(3分)解①②③得a2=4,b2=3…(4分)∴椭圆…(6分)(2)由(1)得F1(﹣1,0)①当l的倾斜角是时,l的方程为x=﹣1,焦点此时,不合题意.…(7分)②当l的倾斜角不是时,设l的斜率为k,则其直线方程为y=k(x+1)由,消去y得:(4k2+3)x2+8k2x+4k2﹣12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则…(9分)∴===…(10分)又已知,∴,∴(k2﹣1)(17k2+18)=0,∴k2﹣1=0,解得k=±1,故直线l的方程为y=±1(x+1),即x﹣y+1=0或x+y+1=0.…(13分)点评:本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用.21.(12分)f(x)=axe kx﹣1,g(x)=lnx+kx.(Ⅰ)当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上是增函数,求k 值;(Ⅱ)对于任意k>0,x>0,f(x)>g(x)恒成立,求a的取值范围.考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题:导数的综合应用.分析:(Ⅰ)a=1时,f(x)=xe kx﹣1,分别求出函数f(x),g(x)的导数,从而得出k 的取值范围;(Ⅱ)设h(x)=f(x)﹣g(x)=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1(x>0),求出h(x)的导数,通过讨论a的取值范围解决问题.解答:解:(Ⅰ)a=1时,f(x)=xe kx﹣1,∴f′(x)=(kx+1)e kx,g′(x)=+k,f(x)在(1,+∞)上为减函数,则∀x>1,f′(x)≤0⇔k≤﹣,∴k≤﹣1;∵g(x)在(0,1)上为增函数,则∀x∈(0,1),g′(x)≥0⇔k≥﹣,∴k≥﹣1;综上所述:k=﹣1.(Ⅱ)设h(x)=f(x)﹣g(x)=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1(x>0),∴h′(x)=(kx+1)(ae kx﹣),设u(x)=ae kx﹣,∴u′(x)=ake kx+,①a≤0时,u(x)=ae kx﹣<0,则h′(x)=(kx+1)(ae kx﹣)<0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,h(x)>0不恒成立;②当a>0时,,则在(0,+∞)上,是增函数,u(x)的函数值由负到正,必有x0∈(0,+∞),u(x0)=0,即,两边取自然对数得,lna+kx0=﹣lnx0,h(x)在(0,x0)上是减函数,(x0,+∞)上是增函数,=1﹣1﹣lnx0﹣kx0=﹣lnx0﹣kx0=lna因此,lna>0,即a的取值范围是(1,+∞).点评:本题考察了函数的单调性,导数的应用,求参数的取值,本题是一道综合题.三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)已知,在△ABC中,D是AB上一点,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2BE.(Ⅰ)求证:BC=2BD;(Ⅱ)若CD平分∠ACB,且AC=2,EC=1,求BD的长.考点:与圆有关的比例线段;弦切角.专题:选作题;立体几何.分析:(Ⅰ)连接DE,证明△DBE∽△CBA,即可证明BC=2BD;(Ⅱ)先求DE,利用CD是∠ACB的平分线,可得DA=1,根据割线定理求出BD.解答:(Ⅰ)证明:连接DE,因为四边形ACED是圆的内接四边形,所以∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,所以△DBE∽△CBA,即有,又AB=2BE,所以BC=2BD …(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)△DBE∽△CBA,知,又A B=2BE,∴AC=2DE,∵AC=2,∴DE=1,而CD是∠ACB的平分线,∴DA=1,设BD=x,根据割线定理得BD•BA=BE•BC即x(x+1)=(x+1),解得x=1,即BD=1.…(10分)点评:本题考查与圆有关的比例线段,考查割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),已知过点P(﹣2,﹣4)的直线L的参数方程为:,直线L与曲线C分别交于M,N.(Ⅰ)写出曲线C和直线L的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.考点:参数方程化成普通方程;等比数列的性质.专题:计算题.分析:(1)消去参数可得直线l的普通方程,曲线C的方程可化为ρ2sin2θ=2aρcosθ,从而得到y2=2ax.(II)写出直线l的参数方程为,代入y2=2ax得到,则有,由|BC|2=|AB|,|AC|,代入可求a的值.解答:解:(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ,即y2=2ax,直线L的参数方程为:,消去参数t得:直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2(3分)(Ⅱ)直线l的参数方程为(t为参数),代入y2=2ax得到,则有…(8分)因为|MN|2=|PM|•|PN|,所以即:2﹣4×8(4+a)=8(4+a)解得a=1…(10分)点评:本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线的参数方程中参数的几何意义,是一道基础题.三、选修4-5:不等式选讲24.已知函数f(x)=|x﹣1|.(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x﹣1)≤2;(Ⅱ)当a>0时,不等式2a﹣3≥f(ax)﹣af(x)恒成立,求实数a的取值范围.考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)分当x≤1时、当1<x≤2时、当x>2时三种情况,分别求得原不等式的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)当a>0时,利用绝对值三角不等式可得f(ax)﹣af(x)≤|a﹣1|,结合题意可得2a ﹣3≥|a﹣1|,由此解得a的范围.解答:解:(Ⅰ)原不等式等价于:当x≤1时,﹣2x+3≤2,即≤x≤1.当1<x≤2时,1≤2,即1<x≤2.当x>2时,2x﹣3≤2,即2<x≤.综上所述,原不等式的解集为{x|≤x≤}.(Ⅱ)当a>0时,f(ax)﹣af(x)=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|,所以,2a﹣3≥|a﹣1|,解得a≥2.点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化以及分类讨论的数学思想,属于中档题.。
2017学年度第一学期10月份联考试卷高三理科数学一、选择题:(本大题共14小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={1,2,3,4},Q={R x x x ∈≤,2},则P ∩Q 等于 ( )(A){1,2} (B) {3,4} (C) {1} (D) {-2,-1,0,1,2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( ) (A)2π (B) (C) (D) 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a =A. 0B. 1C. 2D. 35.函数()f x =(A )1(0,)2(B )(2,)+∞(C )1(0,)(2,)2+∞(D )1(0,][2,)2+∞ 6.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)487..若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 28.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项的和为21,则345a a a ++=(A) 33 (B) 72 (C) 84 (D) 1899在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下:9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为(A) 9.4,0.484 (B) 9.4,0.016 (C) 9.5,0.04 (D) 9.5,0.01610.若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A.4B.3C.2D.1 11.3223i i+=- A.iB. C.12-13 D.12+1312.已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0)C 的渐近线方程为(). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x± D .y =±x13.设命题P :nN ,>,则P 为(A )nN, >(B ) nN, ≤(C )nN, ≤(D ) nN, =14.如图,函数()f x 的图像为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A .{}|10x x -<≤B .{}|11x x -≤≤C .{}|11x x -<≤ D.{}|12x x -<≤二.填空题:本大题共有4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位(1) 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是▲.(2)函数y =的定义域为▲.(3) =-+-1)21(2lg 225lg(4) 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) 三、解答题(15分×4=60分)1.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足23b a =,37b a =,问:与数列{}n a 的第几项相等?2.(北京文科)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的。
一、选择题1.已知集合{1,0,1,2}M =-,{|21,}N y y x x M ==+∈,则M N =A. {1,1}-B. }2,1{C. {1,1,3,5}-D. {1,0,1,2}-【答案】A考点:集合的运算2. 复数z 满足(1-i )z=m+i (m ∈R, i 为虚数单位),在复平面上z 对应的点不可能在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 试题解析:2)1()1()1)(1()1)((1i m m i i i i m i i m z ++-=+-++=-+=i m m 2121++-=,复平面上z 对应的点不可能在第四象限.考点:复数运算及几何意义.3.已知命题p :0x ">,总有()11xx e +>,则p Ø为A. 00x $£,使得()0011xx e £+ B. 00>∃x ,使得1)1(00≤+xe xC. 0x ">,总有()11xx e +£ D. 0x "£,总有()11xx e +£【答案】B 【解析】试题解析:命题,0:>x p “总有”1)1(>+xe x ,则,0:0>∃⌝x p 使得1)1(00≤+x ex ,选B.考点:全称量词与特称量词4.执行如图所示的程序框图,输出的k 值是 A. 4 B. 5 C. 6 D.7 【答案】B 【解析】试题解析:5=n 为奇数,16153=+⨯=n ,1=k ,1=n ?否, n 为偶数,8216==n ,2=k ,1=n ?否, n 为偶数,428==n ,3=k ,1=n ?否,n 为偶数, 224==n ,4=k ,1=n ?否,n 为偶数,122==n ,5=k ,1=n 是,输出5=k .选B.考点:程序框图5.有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张,那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) A31 B 32 C 107 D 103【答案】C考点:古典概型6.函数y=4cosx-e |x|(e 为自然对数的底数)的图象可能是A B C D【答案】A考点:函数的奇偶性、单调性,函数的图象.7.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .73B .83π-C .83D .73π-【答案】B 【解析】试题解析:根据三视图可以看出原几何体为一个四棱锥ABCD P -,平面⊥PCD 平面ABCD ,割去半个圆锥,圆锥底面直径为CD ,P 为顶点,其体积为38213121-222312ππ-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯,选B.考点:三视图8.已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩,则2y z x =的最大值是A .13B .9C .2D .11【答案】B 【解析】试题解析:先画出二元一次不等式所表示的平面区域(如图),则1,1≥≥y x 要使x y 2最大,只需y 最大,x 最小,由图像可知当xy z 2=经过定)3,1(A 时,z 最大,最大值为9.选B.考点:线性规划.9. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ,0,0>>ωA ,若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调,且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ,则)(x f 的最小正周期为 A .2πB .2πC .4πD .π【答案】D考点:三角函数图象与性质.【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断ω的范围,根据函数值相等可判断函数图象的对称轴,根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心,有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.10.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形,则下列命题中的假命题是 A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o; B. 四边形AECF 是正方形; C. 点A 到平面BCED. 该八面体的顶点在同一个球面上. 【答案】C 【解析】试题解析:因为八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形,相邻两条棱所在的直线所成的角是060,而象AE 与CE 所成的角为090,A 正确;四边形AECF 各边长均为1,2==EF AC ,所以四边形AECF是正方形;2=DB ,该八面体的顶点在同一个球面上,D 正确;设A 到平面BCE 的距离为h,由BCE A ABCD E V V --=2,所以h 43312221131⨯⨯=⨯⨯⨯,解得36=h ,C 错误; 考点:空间几何体中点、线、面的位置关系.11.双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -,2(,0)F c ,M ,N 两点在双曲线C 上,且MN ∥F 1F 2,12||4||F F MN =,线段F 1N 交双曲线C 于点Q ,且1||||F Q QN =,则双曲线C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D.6【答案】D考点:求离心率.【方法点睛】求离心率就是要找出一个关于c b a 、、的等式,借助于曲线上一点的坐标满足曲线方程也是一种很不错的方法.12.已知变量a,b 满足b=-12a 2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+12上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为A. 9B. 353C. 59D. 3 【答案】C 【解析】试题解析:令221ln 3x x y -=及y=2x+12,则(a-m)2+(b-n)2的最小值就是曲线221ln 3x x y -=上一点与直线y=2x+12的距离的最小值,对函数221ln 3x x y -=求导得:x xy -='3,与直线y=2x+12平行的直线斜率为2,令x x -=32得1=x 或3-=x (舍),则1=x ,得到点)21,1(-到直线y=2x+12的距离为553,则(a-m)2+(b-n)2的最小值为59)553(=. 【方法点睛】本题转化为一条曲线上一点到一条直线的距离的最小值问题,再转化为曲线上一点的切线平行已知直线,化为两条平行线间的距离的最小值,是一种转化思想. 考点:两点间的距离.二、填空题13. 已知向量a =(1),b =(3, m ),且b 在a 上的投影为3,则向量a 与b 夹角为 . 【答案】6π考点:平面向量14.设函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩,且f (x )为奇函数,则g (14-)=【答案】2 【解析】试题解析:由于)41()41(-=-g f ,而f (x )为奇函数,241log )41()41(2=-=-=-f f ,则 2)41(=-g考点:分段函数求值,函数的奇偶性.15.在△ABC 中,a =3,b =26,∠B =2∠A ,则c = .【答案】5考点:解三角形.【方法点睛】本题根据正弦定理可以求出36cos =A ,下一步有两种方法,(1)如本题解析走余弦定理,解出c ,但要对解出的解进行检验;(2)求C sin ,利用正弦定理求c .16.过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->,作圆2224a x y +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若2OP OE OF =-,则双曲线的离心率是 .【答案】510 【解析】试题解析:由2OP OE OF =-得:)(21+=可知,E 为PF 的中点,令右焦点为F ',则O 为F F '的中点,a OE F P =='2,E 为切点,PF OE ⊥∴,PF F P ⊥',a PF a F P PF 3,2=='-,又222F F F P PF '='+,则210,41022==e c a .考点:求离心率.三、解答题17. (本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n .(Ⅰ)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (Ⅱ)令c n = a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n . 【答案】(1)a n =3n-1,b n =113n -,(2)T n = 214- 14(6n+7)31-n .(Ⅱ)c n = a n b n =(3n-1)113n - ∴T n =2×013+5×13+8×213+……+(3n-1)113n - ①13T n = 2×13+5×213+8×313+……+(3n-1)13n ② ① - ②:23T n =2 +3×13+3×213+……+3×113n - -(3n-1)13n =2 + 3×1133113n ---(3n-1)13n∴T n =214- 14(6n+7)31-n . 考点:等差(比)数列通项公式,错位相减法数列求和.【方法点睛】数列求和常用方法有分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法,其中错位相减法、裂项相消法尤其重要.18. (本小题满分12分)随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到如下列联表: 性别与读营养说明列联表(Ⅰ)根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系?(Ⅱ)从被询问的16名不读营养说明的大学生中,随机抽取2名学生,求抽到男生人数ξ的分布列及其均值(即数学期望).(注:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=,其中d c b a n +++=为样本容量.)【答案】(1)能(2)21.(Ⅱ)ξ的取值为0,1,2.2011)0(216212===C C P ξ,52)1(21614112=⨯==C CC P ξ,201)2(21624===C C P ξ. ξ的分布列为ξ的均值为21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE ……12分.考点:独立性检验与离散型随机变量的概率分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,面11ABB A 为矩形,11,AB BC AA D ===为1AA 的中点,BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥. (Ⅰ)证明:1CD AB ⊥;(Ⅱ)若OC =,求BC 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明略(2.(Ⅱ) 在Rt △ABD 中,AB=1,∴在Rt △AOB 中, 得BO=, 222BO CO BC ∴+= 即BO CO ⊥ CO AOB ∴⊥平面 ----8分建立如图坐标系,设BC 与平面ACD 所成的角为θ(0,A B C D 设平面ADC 的法向量为n.解得n=()1,1,1.2,sin n BC BCn BC θ⎛⋅=∴== ⎝ 即BC 与平面ACD 考点:线线垂直的证明,利用空间向量求线面角.20. (本题满分12分)如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1:22(0)x pyp =>的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2:221x y +=相切于点Q .(Ⅰ)当直线PQ 的方程为0x y -=时,求 抛物线C 1的方程;(Ⅱ)当正数P 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求12S S 的最小值. 【答案】(1)x 2y .(2)322+. 【解析】试题解析:(Ⅰ)设点P (x 0,202x p ),由x 2=2py (p >0)得,y=22x p ,求导y′=x p ,因为直线PQ的斜率为1,所以0x p=1且x 0 -202x p -√2=0,解得p=2,所以抛物线C 1 的方程为x 2=4y .…………………………4分根据切线与圆切,得d=r ,即1=,化简得x 04=4x 02+4p 2,由方程组2000220x x py x py x x ⎧--=⎪⎨=-⎪⎩,解得Q (02x ,2042x p -),…………………………7分 所以|PQ|=√1+k 2|x P -x Q|=200022||||x x x x --=点F (0,2p)到切线PQ 的距离是d==所以S 1=20012||||2x PQ d x -==2220002||4x p x p x +-, S 2=01||||22||Q pOF x x =, …………………………9分 而由x 04=4x 02+4p 2知,4p 2=x 04-4x 02>0,得|x 0|>2,所以22222210000022022||()(2)||42S x p x x x p x S p x p p +-+-== =242222000000422000(44)(2)(2)2(4)2(4)x x x x x x x x x +---=-- =20204424x x -+-+3≥2+3,当且仅当20204424x x -=-时取“=”号, 即x 02=4+2,此时,p=所以12S S 的最小值为2+3. 考点:求抛物线的方程,与抛物线有关的最值问题. 21. (本小题满分12分)设函数f (x )=(x ﹣a )2lnx ,a ∈R .(I )若x=e 是y=f (x )的极值点,求实数a 的值;(Ⅱ)若函数y=f (x )﹣4e 2只有一个零点,求实数a 的取值范围 .【答案】(1)a=e 或a=3e .(2)(-∞,3e ).(Ⅱ)由已知得方程f(x)=4e2只有一个根,即曲线f(x)与直线y=4e2只有一个公共点.易知f(x)∈(﹣∞,+∞),设()2ln1ah x xx=+-,①当a≤0时,易知函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,满足题意;②当0<a≤1时,易知h(x)是单调递增的,又h(a)=2lna<0,h(1)=1﹣a≥0,∴∃x0∈(a,1),h(x0)=0,当0<x<a时,f′(x)=(x﹣a)(2lnx+1﹣ax )>o∴f(x)在(0,a)上是单调递增,同理f(x)在(a,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又极大值f(a)=0,所以曲线f(x)满足题意;③当a>1时,h(1)=1﹣a<0,h(a)=2lna>0,∴∃x0∈(1,a),h(x0)=0,即,得a﹣x0=2x0lnx0,可得f(x)在(0,x0)上单调增,在(x0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增又f(a)=0,若要函数f(x)满足题意,只需f(x0)<4e2,即(x0-a)2lnx0<4e2∴x02ln3x0<e2, 由x0>1,知g(x)=x2ln3x>0,且在[1, +∞)上单调递增,由g(e)=e2,得1<x0<e,因为a=x0+2x0lnx0在[1,+∞)上单调递增,所以1<a<3e;综上知,a∈(-∞,3e)考点:利用导数研究极值与零点问题.选考题22.(本小题满分10分)选修4 - 1:几何证明选讲如图,EF 是⊙O 的直径,AB ∥EF ,点M 在EF 上,AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D 。
∴sin a =.则cos a = ∵π(,0)2a ∈-,∴cos a =. 243sin 22sin cos ,cos212sin 55a a a a a ==-=-=.∴1()sin 222f a a a == 18.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,依题意得:1211428(2)5a d a d a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩, 解得1103a d =-⎧⎨=⎩或12535a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故103(1)313n a n n =-++=-或233(1)1555n a n n =-+-=-, 即数列{}n a 的通项公式为:313n a n =-或315n a n =-; 证明:(2)∵1a 为整数,∴110a =-,3d =∴310n a n =- ∴2(10313)323222n n n n n S -+-==-, 则22233n S n n += 即证2221111+133233333n n n +++>⨯⨯⨯+… . ∵211(1)n n n >+ ,即21111n n n >-+, ∴2111111111(1)(1)32231313(1)n n n n n n >-+-+-=-=+++…, 即1122333ni i n s i n =>++∑. 19.解:∵1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=, ∴1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C +=, 即1sin sin sin 3A B C =, (1)∵2c b =,∴sin sin C B =, 则2sin 3A =, ∴18sin 23ABC S bc A ==△,∵2AC =,53ABC S =△ ,ABC S CD AC S =△BCD △, ∴54CD =.…(2)由25cos B =,得5sin B = ,∵()C A B π=-+,∴3sin 5sin()A A B =+,则sin cos A A =,得tan 1A =,∴4A π=,则c b bc +-=2212264,sin sin A C ⨯=513,且sin sin B C ⨯=213,∴,c a b c a ===35210,∴a a a +-=222913265105,解得:a =25,∴,b c ==226,∴ABC △的最短边的边长22.20.解:(1)点G 为靠近D 的三等分点,…在线段CD 取一点H ,使得CH =2,连结,AH CH ,==ABC BCD ︒∠∠90,∴AB CD ∥.又AB CH =,∴四边形ABCH 为平行四边形,∴AH BC ∥,∵点G 为靠近D 的三等分点,∴:::FG GD CH HD ==21∴GH CF ∥,∵AH GH H =I ,∴平面AGH ∥平面BCF ,而AG AGH ⊂平面,∴AG BCF ∥平面(2)取AE 的中点K ,连接FK ,∵AE EF =,∴FK AE ⊥,又平面AEF ⊥平面ABCDE ,∴FK ⊥平面ABCDE如图,建立空间直角坐标系-B xyz ,则,(,,),C(,,)(,,),(,,,D D F 1533030013022 . 设()EM m m =<<02,则(,,)M m +130∵翻折后,D 与F 重合,∴,DM FM FM KM FK ==+222又, 故()()()m m m -=+++⇒=222111322225,从而(,,)BM =8303u u u u r (,,)BE =130u u u r,(,BF =1522u u u r , 设(,,)n x y z =r 为平面BEF 的一个法向量,则x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩3015022, 取x =3,则(,n =-r 31设直线BM 与平面BEF 所成角为α,则sin α==⨯95175, 故直线BM 与平面BEF21.解:(1)∵()f x x ax a '=-+232,∴()f a '=-13,∴()f a =+11,∴曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程为:()()()y a a x -+=--131,即()a x x y -=--232,令x =2,则y =4,故曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线过定点(,)24.(2)解:()()[()]g x x x a '=---1323,令()g x '=0,得a x x -==230或3, ∵()g 1是()g x 在区间(,]03上的极大值, ∴a ->2313,解得:a >3, 令()g x '>0,得a x x -<>231或3,()g x 递增 令()g x '<0,得a x -<<2313,()g x 递减. ∵()g 1不是()g x 在区间(,]03上的最大值, ∴()g x 在区间(,]03上的最大值为()g a =-3182.∴()()g a g a =->=-3182122,∴a <5,又a >3,∴a <<35.(3)证明: ()()()[()]g x f x a x x a ''=+-=---31323.∵(,)a ∈+∞3,∴a ->2313, 令()g x '>0,得a x x -<>231或3,()g x 递增 令()g x '<0,得a x -<<2313,()g x 递减.; ∵(,)a ∈+∞3,∴a a -<<23133, 若()g x 在,()a a b +33为单调函数,则a b a +-23≤33,即a b +≥3, 故对任意给定的正数n ,总存在(,)a b ∈++∞3(其中b +>33), 使得()g x 在,()a a b +33为单调函数. 22.解:(1)(),()e ,x ax f x a F x a x x x-''=-==+>110 ∵,()(,)a f x '<+∞0在0上恒成立,即()f x 在(0,+∞)上单调递减, 当a -<1≤0时,()F x '>0 ,即()F x 在(,)+∞0上单调递增,不合题意当a <-1时,由()F x '>0,得ln()x a >-,由()F x '<0,得ln()x a <<-0,∴()F x 的单调减区间为(,ln())a -0,单调增区间为(ln(),)a -+∞∵()f x 和()F x 在区间(,ln )03上具有相同的单调性,∴ln()ln a -≥3,解得a -≤3,综上,a 的取值范围是(,]-∞-3(2)()()()ax ax ax g x e axe a ax e x x---'=+--=+-111111, 由e ax x --=110得到ln x a x -=1,设ln ln (),()x x p x p x x x --'==212, 当e x >2时,()p x '>0;当e x <<20时,()p x '<0,从而()p x 在(,e )20上递减,在(e ,)+∞2上递增, ∴2min 21()(e )e p x p ==-当a e -21≤时,ln x a x -1≤,即e ax x--11≤0, 在(,)a-10上,ax +>10,()g x '≤0,()g x 递减; 在(,)a-+∞1上,ax +<10,()g x '≥0,()g x 递增, ∴min ()()()g x g a a ϕ==1,设,(,e ],()()ln (e )()e e t t a h t t t h t a tϕ'=∈==-+<<=-2222111010≤0,()h t 在(,e ]20上递减, ∴()(e )h t h =2≥0, ∴()a ϕ的最小值为0河南省新乡一中2017届高三(上)第二次月考数学(理科)试卷解 析1.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由复数求模公式和复数的乘法运算化简复数()6|34|i i i -+-,求出复数()6|34|i i i -+-的实部和虚部,则答案可求. 【解答】解:∵()261616|34|555i i i i i -+--==---,∴复数()6|34|i i i -+-的实部为:15-,虚部为:65-,差为:1.故选:B .2.【考点】交集及其运算. 【分析】求解一元二次不等式化简M ,再由交集运算得答案.【解答】解:∵{}{}2=8707{2,3,4,5,6},=3x M x x x x x N x ⎧⎫∈|-+<=∈|1<<=|∉⎨⎬⎩⎭N N N , ∴{}2,3,4,5,6{2,4,5}3x M N x ⎧⎫=|∉=⎨⎬⎩⎭N I I ,故选:C .3.【考点】三角函数的化简求值.【分析】根据已知条件得到tan 1α=,由向量加法的三角形法则求得AC u u u r 即可. 【解答】解:sin 1sin cos 2ααα=+,2sin sin cos ααα=+,即sin cos αα=,所以tan 1α=,因为向量(tan ,1)AB α=u u u r ,(tan ,2)BC α=u u u r , 则(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α=+==u u u r u u u r u u u r , 故选:D .4.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】当1x >时1(,1)y x =∈-∞,1xy =,11sin cos sin 222x θθθ==≤. 【解答】解:当1x >时,1(,1)y x =∈-∞,1xy =,故A 错,C 正确;因为11sin cos sin 222x θθθ==≤,故B ,D 均错误. 故选:C .5.【考点】等比数列的前n 项和.【分析】利用等比数列的通项公式及其求和公式及其性质即可得出.【解答】解:∵5442S S a =-,∴542a a =-,解得公比2q =. ∴5554441213312115S q S q ---===---.故选:A .6.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【分析】根据题意求出三棱柱ABE -DCF 的侧面积增加的部分与原来矩形ABCD 的面积之比可得答案.【解答】解:将矩形ABCD 沿EF 折起,使得平面ADFE⊥平面BCFE ,可得三棱柱ABE -DCF ,(如图)侧面积增加的部分为ABCD ,∵EB BC ⊥,ABC △是直角三角形,∴AB BC ⊥.同理可证ABCD 是矩形.∵1AE DF ==.3AB =,AD =∴2BE =∴AB =故得侧面积增加的部分为5S =. 侧面积比原矩形ABCD2.2367533===%故选D .7.【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】根据新定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得()()f x f x -=,则称()f x 为类偶函数.对各选项进行判断即可.【解答】解:对于:A ()4cos f x x =,根据新定义,当自变量0x ≠时,存在多个非零自变量x 使得()()f x f x -=,∴不对.对于:B 2()23f x x x =-+,由2()23()f x x x f x -=++≠,∴不对. 对于:C ()21x f x =+,由()21()x f x f x --=+≠,∴不对.对于:D 3()3f x x x =-,由3()3f x x x -=-+,即3()()20f x f x x x --=-6=,可得22(3)0x x -=,当自变量0x ≠时,存在两个非零自变量1x =2x =()()f x f x -=,∴对. 故选D .8.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】该几何体由一个直四棱柱(底面为直角梯形)截去一个三棱锥而得,它的直观图如图所示,即可求其体积.【解答】解:该几何体由一个直四棱柱(底面为直角梯形)截去一个三棱锥而得,它的直观图如图所示,故其体积为211168(24)24222323⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选D .9.【考点】正弦函数的对称性.【分析】由函数的最大值求出A ,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的解析式.【解答】解:根据函数sin()y k k πϕ=+()2k πϕ>ο,<的最大值为k ,∴26k k -+=,∴2k =. 把点(,0)12π代入2sin(2)y πϕ=+可得sin()06πϕ+=,∴6πϕ=-,∴入2sin(2)6y x π=-.则函数5()sin()cos()2sin(2)2cos(2)))666412f x kx kx x x x x πππππϕϕ=-+-=+++++=+. 令52122x k πππ+=+,求得224k x ππ=+,k ∈Z ,故()f x 的图象的对称轴的方程为得224k x ππ=+,k ∈Z , 当3k =时,3724x π=, 故选:B .10.【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,结合题意求出m ,利用目标函数的几何意义,求解即可.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,∵平面区域Ω夹在两条斜率为34-的平行直线之间,且两条平行直线间的最短距离为m , 则|3218|255m ⨯-==. 令125z mx y x y =-=-,则125y x z =-, 由图可知,当直线125y x z =-过(2,3)B 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最小值为:249355-=. 故选:A .11.【考点】函数的单调性与导数的关系;导数的运算.【分析】构造函数()()F x xexf x =,则F ()[(1)()()]0x ex x f x xf x ''=++≥对[0,)x ∈+∞恒成立,得出函数()()F x xexf x =在[0,+∞)上单调递增,即可得出结论、【解答】解:构造函数F (x )=xexf (x ),则F′(x )=ex[(x+1)f (x )+xf′(x )]≥0对x ∈[0,+∞)恒成立, ∴函数F (x )=xexf (x )在[0,)+∞上单调递增,∴(1)(2)F F <,∴(1)2(2)f ef <,故选A .12.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ,过F 作FG 垂直于PO 交于G ,根据相识三角形成比例关系可求解.【解答】解:由题意:P ABCD -是正四棱锥,O 为正方形ABCD 的中心,则OP ⊥平面ABCD ,()24PE EO λλ=u u u r u u u r ≤≤,即E 是PO 上的点,在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ,()PF f λ=uuu r ,过F作FG 垂直于PO 交于G , 可得:2PF FG PG GE PG GE PD OD PO EO PO EO λλ+=====++. 故选A .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】先根据平行求出x 的值,再根据投影的定义即可求出. 【解答】解:∵(,2)a x =r ,(2,1)b =r ,//a b r r ,∴2x =⨯2=4, ∴(3,4)c =r,∴||5c =r ,(4,2)(3,4)12820a c ==+=r r g g, ∴向量a r 在向量c r 方向上的投影为2045||a c c ==r r g r , 故答案为:4.14.【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.【分析】利用等体积求出内切球半径,即可求出该三棱锥内切球的表面积.【解答】解:设三棱锥的四个面积分别为:1S ,2S ,3S ,4S ,由于内切球到各面的距离等于内切球的半径 ∴12341111133333V S r S r S r S r S r =⨯+⨯+⨯+⨯=⨯ ∴内切球半径32V r S==, ∴该三棱锥内切球的表面积是42216ππ=g . 故答案为16π.15.【考点】数列的应用.【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,运用等差数列通项公式,以及解不等式即可得到所求项数.【解答】解:由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故=1514n a n -.由=15142016n a n -≤得135n ≤,故此数列的项数为135.故答案为:135.16.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】设g (x )=x ﹣lnx ﹣1,求出导数,求得单调区间和最值,可得f (1)=0,再由lnx ﹣2≥0,即可得到所求定义域.【解答】解:设()ln 1g x x x =--,导数1g ()x x x-'=. 令g ()0x '>,得1x >,g()x 递增;令g ()0x '<,得01x <<,g()x 递减.则g()x 的最小值为g(1)0=,即ln 10x x --≥.当1x =时,(1)0f =;当0x >,且1x ≠时,ln 20x -≥,解得2x e ≥.则()f x 的定义域为:{}2[,)1e+∞U . 故答案为:{}2[,)1e +∞U .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)根据(,0]6x π∈-,求出()sin(2)3f x x π=+的范围,利用基本不等式求解.(2)利用(,0),()223a a f ππ∈-+=,求先解出sin a 和cos a ,在求解sin2a 和cos2a ,可得()f a 的值 18. 【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)根据等差数列的通项公式来求数列{an}的首项和公差;(2)根据等差数列的前n 项和公式求得232322n n n S =-,则22233n S n n +=.即证2221111+133233333n n n +++>⨯⨯⨯+… 即可.19.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得1sin sin sin 3A B C =,结合已知可求sin A ,利用三角形面积公式可求ABC 的面积,进而可求CD 的值.(2)由同角三角函数基本关系式可求sin B ,结合已知可求A ,利用正弦定理,余弦定理可求三边长,即可得解.20.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.【分析】(1)点G 为靠近D 的三等分点,证明平面AGH ∥平面BCF ,而AG ⊂平面AGH ,可得AG ∥平面BCF ;(2)建立空间直角坐标系B ﹣xyz ,利用向量方法求直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值.21.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,计算(1)f ,(1)f ' ,求出切线方程,从而求出切线过定点;(2)求出g()x 的导数,根据g(1)是g()x 在区间(0,3]上的极大值以及g(1)不是g()x 在区间(0,3]上的最大值,得到关于a 的不等式,解出即可;(3)求出g()x 的导数,若g()x 在(,)a a b +33为单调函数,则a b a +-23≤33,即a b +≥3,从而证出结论. 22.【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a 的范围,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数g()x 的导数,根据函数的单调性求出g()x 的最小值,从而求出()a ϕ的最小值.。
【关键字】质量理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.B.C.D.2. 为虚数单位,则()A.B.-1 C.D.13.已知,,,则()A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图,如果输入的是5,那么输出的是()A.120 B.720 C. 1440 D.50405.如图,在长方体中,,,则与平面所成的角的正弦值为()A.B. C. D.6.如果函数的图象关于点成中心对称,那么的最小值为()A.B. C. D.7.已知数列满足,则()A.B. C. D.8.已知关于的函数,若点是区域内的随机点,则函数在上有零点的概率为()A.B. C. D.9. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;在以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 532 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A.0.35 B.0.25 C. 0.30 D.0.2010.已知斜率为3的直线与双曲线交于两点,若点是的中点,则双曲线的离心率等于()A.B. C. 2 D.11.若,则在中,正数的个数是()A.143 B.286 C. 1731 D.200012.定义在上的函数满足,,,且当时,有,则()A.B. C. D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量与的夹角为,且,,则.14. 的展开式中常数项为.(用数字作答)15.已知是等差数列的前项和,若,,则.16.多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 的面积是30,内角所对边长分别为,.(1)求;(2)若,求的值.18.如图,矩形和梯形所在平面互相笔直,,,,.(1)求证:平面;(2)当的长为何值时,二面角的大小为.19.如图是某市至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择至中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设是此人停留期间空气质量优良的天数,求的分布列和数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)20.已知椭圆的两个焦点分别为,点与椭圆短轴的两个端点的连线互相笔直.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,记直线的斜率分别为,求证:为定值.21.已知函数,.(1)若2a =,求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)若()0f x =恰有一个解,求a 的值; (3)若()()g x f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲已知圆1O 和圆2O 相交于,A B 两点,过A 点圆1O 的切线交于圆2O 于点E ,连接EB 并延长交圆1O 于点C ,直线CA 交圆2O 于点D .(1)当点D 与点A 不重合时,(如图1),证明:2ED EB EC =•;(2)当点D 与点A 重合时,(如图2),若2,6BC BE ==,求圆2O 的直径长. 23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线l 过点(2,0)P ,斜率为43,直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点,设线段AB 的中点为M ,求:(1)点M 的坐标; (2)线段AB 的长||AB .24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2|5f x x a x =-+,其中实数0a >. (1)当3a =时,求不等式()46f x x ≥+的解集; (2)若不等式()0f x ≤的解集为{|2}x x ≤-,求a .试卷答案一、选择题CCCAD DBBCA CC 二、填空题 13、; 14、1820; 15、; 16、。
2016-2017学年度第一学期第二次月考高三年级 数学试卷(理科)一 、选择题:(本大题共8小题;每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的, 将正确答案填写在括号内.)1.复数z 满足( ) A.1+i B.1i - C.1i -- D.1+i -2.,若A B A = ,则实数a 的值为 ( )A.2,1B.C.2,1,0 3. 已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是 ( )A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(1,2)-C.(2,1)-D.(,2)(1,)-∞-⋃+∞4. 已知0,0x y >>,若恒成立,则实数m 的取值范围是 ( ) A. 2m ≤-或4m ≥ B.4m ≤-或2m ≥C.24m -<<D.42m -<<5.下列四种说法中,错误的个数是 ( ) ①{}1,0=A 的子集有3个; ②命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是:“不存在02,00>∈x R x ;③函数x xe ex f -=-)(的切线斜率的最大值是2;④已知函数)(x f 满足,1)1(=f 且)(2)1(x f x f =+,则1023)10()2()1(=+++f f f . A.1 B.2 C.3 D.46.已知函数()f x 满足:①定义域为R ;②x R ∀∈,都有)()2(x f x f =+;③当[1,1]x ∈-时,()||1f x x =-+,则方程在区间[3,5]-内解的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.87.函数)(x f 在定义域R 内可导,若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时,0)()1(<'-x f x ,设( )C.a b c <<D.a c b <<8. 已知函数)(x f 满足,当[]3,1∈x 时,x x f ln )(=,若在区,曲线x ax x f x g 与-=)()(轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ( )二、填空题:(本大题共6小题;每小题5分,共30分,把答案填写在横线上.) 9.________.10. 若实数x ,y 满足约束条件42y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,且2z x y =+有最大值8,则实数k =________.11.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++ 的展开式中4x 的系数是35-,则127a a a +++= ________.12.设已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩,,,是偶函数,直线y t =与函数()y f x =的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D .若AB BC =,则实数t 的值为________.13.已知函数3223,0()log 1,x x x kf x x k x a⎧-+≤<=⎨+≤≤⎩,若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2,则实数a 的取值范围是_______.14. ()f x 是定义在D 上的函数,若存在区间[]m n D ⊆,,使函数()f x 在[]m n ,上的值域恰为[]km kn ,,则称函数()f x 是k 型函数.给出下列说法:是1型函数,则n m -的最大值为 型函数,则40m n =-=,;④设函数32()2f x x x x =++(x ≤0)是k 型函数,则k 的最小值为其中正确的说法为________.(填入所有正确说法的序号)三 、解答题:(本大题6小题,共80分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分13分)(1)等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知102030,50,242n a a S ===,求n . (2)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若103010,130S S ==,求20S .16.(本小题满分13分)已知函数=)(x f x x x 22cos 2)cos (sin -+,R x ∈. (1)求函数)(x f 的递增区间; (2)若函数m x f x g -=)()(在上有两个不同的零点1x 、2x ,求)tan(21x x +的值.17.(本小题满分13分)某次有1000人参加的数学摸底考试,其成绩的频率分布直方图如图所示,规定85分及其以上为优秀.(1(2)现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(3)在(2)中抽取的40名学生中,要随机选取2名学生参加座谈会,记“其中成绩为优秀的人数”为X ,求X 的分布列与数学期望.18.(本小题满分13分),()()4log 41xf x mx =++是偶函数. (1(2若()()4log 21g xh a >+⎡⎤⎣⎦对任意1x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分14分)(1)当1=a 时,求)(x f 的单调区间; (2在区间(1,3)上不单调,求实数a 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-. (1)讨论()f x 的单调性; (2)设0a >,证明:当(3)若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点,线段AB 中点的横坐标为0x , 证明:0'()0f x <.2016-2017学年度第一学期第二次月考高三年级 数学试卷理科参考答案及评分标准一 、选择题:(本大题共8小题;每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是二 、填空题:(本大题共6小题;每小题5分,共30分,把答案填写在答题卡横线上.) 9. (,3)(3,1][4,)-∞---+∞ 10. -4 11. 1 13.[1,2] 14. ②③三 、解答题:(本大题6小题,共80分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.【答案】(1)11;(2)40. 【解析】试题分析:第(1)问重点考查等差数列基本公式,要求学生对基础知识以及基本公式熟练掌握,重点考查学生的基本计算,着重对双基的考查。
2016-2017学年河南省新乡一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈R|≤0},B={x∈R|(x﹣2a)(x﹣a2﹣1)<0}.若A∩B=∅,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.{1}∪[2,+∞)D.(1,+∞)2.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为()A.B. C.D.3.已知平面直角坐标系内的两个向量=(1,2),=(m,3m﹣2),且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(﹣∞,2)B.(2,+∞)C.(﹣∞,+∞)D.(﹣∞,2)∪(2,+∞)4.已知把函数的图象向右平移个单位,再把横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g(x),则函数g(x)的一条对称轴为()A.B.C.D.5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2n﹣1+k,则f(x)=x3﹣kx2﹣2x+1的极大值为()A.2 B.C.3 D.6.△ABC中三边上的高依次为,则△ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形7.已知两个力,的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与的夹角为60°,那么的大小为()A.5N B.5N C.10N D.5N8.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2﹣2x,那么不等式f(x+1)>3的解集是()A.(﹣∞,2)∪(2,+∞)B.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞)C.(﹣∞,0)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)9.定积分|sinx﹣cosx|dx的值是()A.2+B.2﹣C.2 D.210.已知函数f(x)=sin2x﹣(x∈[0,π]),g(x)=x+3,点P(x1,y1),Q(x2,y2)分别位于f(x),g(x)的图象上,则(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2的最小值为()A.B.C.D.11.已知函数f(x)=Acos2(ϖx+φ)+1(A>0,ϖ>0,0<φ<)的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f (3)+…+fA.2468 B.3501 C.4032 D.573912.已知三角形ABC内的一点D满足•=•=•=﹣2,且||=||=||.平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是()A.B.C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若实数x,y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为.14.已知P是△ABC所在平面内一点,D为AB的中点,若2+=(λ+1)+,且△PBA与△PBC的面积相等,则实数λ的值为.15.设曲线y=x n+1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为x n,则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且btanA,ctanB,btanB成等差数列,则角A的大小是.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{a n}的前项和为S n.若a1=1,a n=3S n+4(n≥2).﹣1(1)求数列{a n}的通项公式;,记数列{c n}的前项和为T n.求T n+的值.(2)令b n=log2,c n=,其中n∈N+18.如图,在多面体ABCD﹣EF中,四边形ABCD为正方形,EF∥AB,EF⊥EA,AB=2EF=2,∠AED=90°,AE=ED,H为AD的中点.(Ⅰ)求证:EH∥平面FBD;(Ⅱ)求证:EH⊥平面ABCD;(Ⅲ)在线段BC上是否存在一点P,使得二面角B﹣FD﹣P的大小为?若存在求出BP的长,若不存在请说明理由.19.为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意,某旅行社从年龄(单位:岁)[22,52]在内的游客中随机抽取了1000人,并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查,记4人中年龄在[47,52]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.20.已知椭圆: +=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,离心率为,△ABF2的周长等于4,点A、B在椭圆C上,且F1在边AB上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N,求△PMN面积的最大值.21.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣1(e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a>0时,若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(Ⅲ)求证:ln[1+]+ln[1+]+…+ln[1+]<2.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.(Ⅰ)求证:BC∥DE;(Ⅱ)若D,E,C,F四点共圆,且=,求∠BAC.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(其中参数t∈R,a为常数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为ρ=2cos(θ+).(1)求曲线C普通方程;(2)已知直线l曲线C交于A,B且|AB|=,求常数a的值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣1|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)求函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积S.2016-2017学年河南省新乡一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈R|≤0},B={x∈R|(x﹣2a)(x﹣a2﹣1)<0}.若A∩B=∅,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.{1}∪[2,+∞)D.(1,+∞)【考点】交集及其运算.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,表示出B中不等式的解集,根据A与B的交集为空集,分两种情况考虑:B为空集与B不为空集,求出满足题意a的范围即可.【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣4)(x+1)≤0,且x+1≠0,解得:﹣1<x≤4,即A=(﹣1,4],由B中不等式解得:2a<x<a2+1,即B=(2a,a2+1),∵A∩B=∅,∴分两种情况考虑:当B=∅时,2a=a2+1,即a=1;当B≠∅时,则有2a≥4或a2+1≤﹣1,即a≥2,综上,实数a的范围为{1}∪[2,+∞).故选:C.2.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为()A.B. C.D.【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值.【解答】解:角α的终边上一点的坐标为(sin,cos)即(,),则由任意角的三角函数的定义,可得sinα=,故选:A.3.已知平面直角坐标系内的两个向量=(1,2),=(m,3m﹣2),且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(﹣∞,2)B.(2,+∞)C.(﹣∞,+∞)D.(﹣∞,2)∪(2,+∞)【考点】平面向量坐标表示的应用.【分析】平面向量基本定理:若平面内两个向量、不共线,则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示,即存在唯一的实数对λ、μ,使=λ+μ成立.根据此理论,结合已知条件,只需向量、不共线即可,因此不难求出实数m的取值范围.【解答】解:根据题意,向量、是不共线的向量∵=(1,2),=(m ,3m ﹣2)由向量、不共线⇔解之得m ≠2所以实数m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠2}. 故选D4.已知把函数的图象向右平移个单位,再把横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g (x ),则函数g (x )的一条对称轴为( )A .B .C .D .【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数y=Asin (ωx +φ)的图象变换.【分析】由两角和的正弦公式可得f (x )=2sin (x +),再由相位变换、周期变换可得g(x )=2sin (x +),再令x +=k π+,k ∈Z ,解方程可得对称轴方程,对照选项,即可得到答案.【解答】解:函数=2(sinx +cosx )=2sin (x +),由f (x )的图象向右平移个单位,可得对应函数的解析式为y=2sin (x ﹣+),即y=2sin (x +),再把横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g (x )=2sin (x +),由x +=k π+,k ∈Z ,可得x=2k π+,k ∈Z ,当k=0时,x=,故选:B . 5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =2n ﹣1+k ,则f (x )=x 3﹣kx 2﹣2x +1的极大值为( )A .2B .C .3D .【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】根据等比数列的性质求出k 的值,从而求出f (x )的解析式,根据函数的单调性求出f (x )的极大值即可.【解答】解:根据S n =2n ﹣1+k ,得到a 1=k ,S n ﹣1=2n ﹣2+k ,∴a n =S n ﹣S n ﹣1=(2n ﹣1+k )﹣(2n ﹣2+k )=2n ﹣1﹣2n ﹣2=2n ﹣2(2﹣1)=2n ﹣2,n ≥2,再根据{a n }是等比数列,所以{a n }是以为首项,2为公比的等比数列,则k的值为﹣,f(x)=x3+x2﹣2x+1,f′(x)=3x2+x﹣2=(3x﹣2)(x+1),令f′(x)>0,解得:x>或x<﹣1,令f′(x)<0,解得:﹣1<x<,故f(x)在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,)递减,在(,+∞)递增,故f(x)的极大值是f(﹣1)=.故选:B.6.△ABC中三边上的高依次为,则△ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形【考点】余弦定理的应用;三角形的形状判断.【分析】利用已知条件结合三角形的面积推出三边关系,然后利用余弦定理判断求解即可.【解答】解:设△ABC三边分别为a,b,c,,所以,设a=13k,b=11k,c=5k(k>0).因为11k+5k>13k,故能构成三角形,取大角A,,所以A为钝角,所以△ABC为钝角三角形.7.已知两个力,的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与的夹角为60°,那么的大小为()A.5N B.5N C.10N D.5N【考点】数量积表示两个向量的夹角.【分析】由条件利用两个向量的加减法及其几何意义,求得||的值.【解答】解:两个力,的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与的夹角为60°,那么的大小为||=10•cos60°=5(N ),如图所示:故选:B.8.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2﹣2x,那么不等式f(x+1)>3的解集是()A.(﹣∞,2)∪(2,+∞)B.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞)C.(﹣∞,0)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【考点】函数单调性的性质.【分析】先求出x>0时的解析式,由偶函数性质得:f(﹣x)=f(x),则f(x+1)>3可变为f(|x+1|)>3,代入已知表达式可表示出不等式,先解出|x+1|的范围,再求x范围即可.【解答】解:设x>0,则﹣x<0,因为当x≤0时,f(x)=x2﹣2x,所以f(﹣x)=x2+2x,因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(﹣x)=x2+2x,因为f(x)为偶函数,所以f(|x+1|)=f(x+1),则f(x+1)>3可化为f(|x+1|)>3,即|x+1|2+2|x+1|>3,(|x+1|+3)(|x+1|﹣1)>0,所以|x+1|>1,解得:x>0或x<﹣2,所以不等式f(x+1)>3的解集是{x|x>0或x<﹣2},故选:B.9.定积分|sinx﹣cosx|dx的值是()A.2+B.2﹣C.2 D.2【考点】定积分.【分析】由题意可得|sinx﹣cosx|dx=(cosx﹣sinx)dx+(sinx﹣cosx)dx 再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解: |sinx﹣cosx|dx=(cosx﹣sinx)dx+(sinx﹣cosx)dx,=(sinx+cosx)|+(﹣cosx﹣sinx)|,=[(sin +cos )﹣(sin0+cos0)]﹣[(sin π+cos π)﹣(sin+cos )],=(﹣1)﹣(﹣1﹣),=2, 故选:D10.已知函数f (x )=sin2x ﹣(x ∈[0,π]),g (x )=x +3,点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)分别位于f (x ),g (x )的图象上,则(x 1﹣x 2)2+(y 1﹣y 2)2的最小值为( )A .B .C .D .【考点】两点间的距离公式.【分析】求出与直线g (x )=x +3平行时切点的坐标,利用点到直线的距离公式,即可得出结论.【解答】解:f ′(x )=2cos2x=1,可得x=或,x=时,f (x ))=0,到直线g (x )=x +3的距离为,∴(x 1﹣x 2)2+(y 1﹣y 2)2的最小值为()2=,故选A .11.已知函数f (x )=Acos 2(ϖx +φ)+1(A >0,ϖ>0,0<φ<)的最大值为3,f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+fA .2468B .3501C .4032D .5739 【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f (x )=cos (2ωx +2φ)+1+,由函数的最值求出A ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,可得函数的解析式,再利用函数的周期性求得所求式子的值.【解答】解:∵函数f (x )=Acos 2(ωx +φ)+1=A •+1=cos (2ωx +2φ)+1+ (A >0,ω>0,0<φ<)的最大值为3,∴+1+=3,可求:A=2.∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即:=4,∴解得:ω=.又∵f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),可得:cos(2φ)+1+1=2,∴cos2φ=0,2φ=,解得:φ=.∴函数的解析式为:f(x)=cos(x+)+2=﹣sin x+2,∴f(1)+f(2)+…+f+2×2016=504×0+4032=4032.故选:C.12.已知三角形ABC内的一点D满足•=•=•=﹣2,且||=||=||.平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是()A.B.C. D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意可设:D(0,0),A(2,0),B(﹣1,),C(﹣1,﹣).根据动点P,M满足||=1,=,可设:P(2+cosθ,sinθ),M(,),求得得坐标,计算=,根据正弦函数的有解性求得它的最大值.【解答】解:∵三角形ABC内的一点D满足:•=•=•=﹣2,且||=||=||,∴可设:D(0,0),A(2,0),B(﹣1,),C(﹣1,﹣),∵动点P,M满足||=1,=,可设:P(2+cosθ,sinθ),M(,),∴=(,),∴=+=≤,当且仅当sin(﹣θ)=1时取等号,故选:A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若实数x,y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为﹣.【考点】简单线性规划.【分析】首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求z的最小值.【解答】解:作出不等式表示的平面区域(如图示:阴影部分):由得A(),由z=3x+y得y=﹣3x+z,平移y=﹣3x,易知过点A时直线在y上截距最小,所以.故答案为:﹣.14.已知P是△ABC所在平面内一点,D为AB的中点,若2+=(λ+1)+,且△PBA与△PBC的面积相等,则实数λ的值为﹣1.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】通过D为AB的中点,得到2,结合已知2+=(λ+1)+得到+=(λ+1)+,整理得,利用△PBA与△PBC的面积相等,得到P 为AC的中点,求得λ.【解答】解:∵D为AB的中点,∴2,又∵2+=(λ+1)+,∴+=(λ+1)+,∴,又∵△PBA与△PBC的面积相等,∴P为AC的中点,所以λ=﹣1;故答案为:﹣115.设曲线y=x n+1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为x n,则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为﹣1.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数y=x n+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程,取y=0求得x n,然后利用对数的运算性质得答案.【解答】解:由y=x n+1,得y′=(n+1)x n,∴y′|x=1=n+1,∴曲线y=x n+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程为y﹣1=(n+1)(x﹣1),取y=0,得x n=.∴x1x2x3•…•x2015==则log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015=log2016(x1x2x3•…•x2015)=﹣1.故答案为:﹣1.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且btanA,ctanB,btanB成等差数列,则角A的大小是.【考点】等差数列的性质;正弦定理.【分析】btanA,ctanB,btanB成等差数列,可得2ctanB=btanA+btanB,利用正弦定理化为cosA=,因为由A∈(0,π),即可得出A=.【解答】解:在△ABC中,∵btanA,ctanB,btanB成等差数列,∴2ctanB=btanA+btanB,∴2sinC•=sinB•+sinB•,化为sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,∴sinC=2sinCcosA,∴cosA=,∵A∈(0,π),∴A=.故答案是:.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{a n}的前项和为S n.若a1=1,a n=3S n+4(n≥2).﹣1(1)求数列{a n}的通项公式;,记数列{c n}的前项和为T n.求T n+的值.(2)令b n=log2,c n=,其中n∈N+【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)根据题意和,分别列出式子化简、验证后求出a n;(2)由(1)化简和对数的运算法则化简b n=log2,代入c n=化简,利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T n,即可求出答案.【解答】解:(1)由题意得,a1=1,a n=3S n﹣1+4(n≥2),当n=2时,a2=3S1+4=7,当n≥2时,由a n=3S n﹣1+4(n≥2),得a n+1=3S n+4,两式相减得,a n+1=4a n(n≥2),∴数列{a n}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列,则(n≥2),此时对n=1不成立,∴;(2)由(1)得,b n=log2==2n,则c n==,∴,①,②①﹣②得,=﹣=,∴,即.18.如图,在多面体ABCD﹣EF中,四边形ABCD为正方形,EF∥AB,EF⊥EA,AB=2EF=2,∠AED=90°,AE=ED,H为AD的中点.(Ⅰ)求证:EH∥平面FBD;(Ⅱ)求证:EH⊥平面ABCD;(Ⅲ)在线段BC上是否存在一点P,使得二面角B﹣FD﹣P的大小为?若存在求出BP的长,若不存在请说明理由.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)AC∩BD=O,连接HO,FO,推导出四边形EHOF为平行四边形,由此能证明EH∥平面FAC.(Ⅱ)推导出EH⊥AD,AB⊥EA,AB⊥AD,从而AB⊥平面AED,由此能证明EH⊥平面ABCD.(Ⅲ)AC,BD,OF两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段BC上是存在一点P,使得二面角B﹣FD﹣P的大小为,且BP=0.【解答】证明:(Ⅰ)AC∩BD=O,连接HO,FO,因为ABCD为正方形,所以O是AC中点,又H是AD中点,所以OH∥CD,OH=,EF∥AB,EF=,所以EF∥OH且EF=OH,所以四边形EHOF为平行四边形,所以EH∥FO,又因为FO⊂平面FAC,EH⊄平面FAC.所以EH∥平面FAC.(Ⅱ)因为AE=ED,H是AD的中点,所以EH⊥AD,又因为AB∥EF,EF⊥EA,所以AB⊥EA又因为AB⊥AD,所以AB⊥平面AED,因为EH⊂平面AED,所以AB⊥EH,所以EH⊥平面ABCD.解:(Ⅲ)AC,BD,OF两两垂直,建立如图所示的坐标系,∵AB=2EF=2,∴B(0,,0),C(﹣,0,0),F(0,0,1),D(0,﹣,0),设P(a,b,0),,0≤λ≤1,即(a,b﹣,0)=λ(﹣,﹣,0),∴a=﹣,,P(﹣,,0),=(0,﹣,﹣1),=(﹣,,﹣1),平面BDF的法向量=(1,0,0),设平面PDF的法向量=(x,y,z),则,取x=,得=(,,﹣2)∵二面角B﹣FD﹣P的大小为,∴cos=|cos<>|=||=,解得λ=0,∴线段BC上是存在一点P,使得二面角B﹣FD﹣P的大小为,且BP=0.19.为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意,某旅行社从年龄(单位:岁)[22,52]在内的游客中随机抽取了1000人,并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图1000(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查,记4人中年龄在[47,52]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)根据题意可得,年龄在[37,42)内的频率为1﹣(0.01+0.02×2+0.03×2)×5,即可得出年龄在[37,42)内的人数及其m.年龄在[27,32)内的频率为0.02×5,即可得出n.(2)由题意采用分层抽样的方法抽取的10人中,年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.依题意可得X=0,1,2,3,4.利用古典概率计算公式、超几何分布列及其数学期望的计算公式即可得出.【解答】解:(1)根据题意可得,年龄在[37,42)内的频率为1﹣(0.01+0.02×2+0.03×2)×5=0.45,故年龄在[37,42)内的人数为450,则,年龄在[27,32)内的人数为1000×0.02×5=100,故n=100×0.95=95.(2)因为年龄在[42,47)内且满意的人数为员144,年龄在[47,52]内且满意的人数为96,因此采用分层抽样的方法抽取的10人中,年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.依题意可得X=0,1,2,3,4..X的分布列为:.20.已知椭圆: +=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,离心率为,△ABF2的周长等于4,点A、B在椭圆C上,且F1在边AB上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N,求△PMN面积的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4可知a=,利用=可知,通过可知b=1,进而可得结论;(2)通过设P(x0,y0)及过P点的直线为y﹣y0=k(x﹣x0),并与椭圆方程联立,通过令根的判别式为0,计算可知过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直,进而计算可得结论.【解答】解:(1)∵△ABF2的周长等于4,且F1在边AB上,∴(BF1+BF2)+(AF1+AF2)=4,∴,即a=,又∵=,∴,∴==1,∴椭圆C的标准方程为: +y2=1;(2)依题意,设P(x0,y0),设过P点的直线为y﹣y0=k(x﹣x0),记b=﹣kx0+y0,整理得:y=kx+b,并代入椭圆方程,得:x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0,令△=0,得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0,∴9k2﹣3b2+3=0,即3k2﹣b2+1=0,又∵b=﹣kx0+y0,∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0,∵△=3y02+x02﹣3>0,∴k1•k2=,又∵x02+y02=4,即y02=4﹣x02,∴k1•k2==﹣1,∴过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直,∴MN为圆O的直径,显然当P点为P(0,±2)时,△PMN面积的最大,最大值为4•2=4.21.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣1(e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a>0时,若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(Ⅲ)求证:ln[1+]+ln[1+]+…+ln[1+]<2.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求导数,利用导数的正负,即可求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,a﹣alna﹣1≥0对a>0恒成立,即可求实数a 的值;(Ⅲ)方法一:要证原不等式成立,只需证:,即证:;方法二:n≥2时,==,即可证明结论成立.【解答】(Ⅰ)解:f′(x)=e x﹣a∴a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上单调递增.a>0时,x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.(Ⅱ)解:由(Ⅰ),a>0时,f(x)min=f(lna),∴f(lna)≥0即a﹣alna﹣1≥0,记g(a)=a﹣alna﹣1(a>0)∵g′(a)=1﹣(lna+1)=﹣lna∴g(a)在(0,1)上增,在(1,+∞)上递减∴g(a)≤g(1)=0故g(a)=0,得a=1(Ⅲ)证明:方法一:由(Ⅱ)e x≥x+1,即ln(1+x)≤x(x>﹣1),则x>0时,ln(1+x)<x要证原不等式成立,只需证:,即证:下证①⇔4(32k﹣2•3k+1)≥3•32k﹣4•3k+1⇔32k﹣4•3k+3≥0⇔(3k﹣1)(3k﹣3)≥0①中令k=1,2,…,n,各式相加,得=<1成立,故原不等式成立.方法二:n=1时,,n≥2时,==,n≥2时,<2[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.(Ⅰ)求证:BC∥DE;(Ⅱ)若D,E,C,F四点共圆,且=,求∠BAC.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(Ⅰ)通过证明∠EDC=∠DCB,然后推出BC∥DE.(Ⅱ)解:证明∠CFA=∠CED,然后说明∠CFA=∠ACF.设∠DAC=∠DAB=x,在等腰△ACF中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,求解即可.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB,所以∠EDC=∠DCB,所以BC∥DE.…(Ⅱ)解:因为D,E,C,F四点共圆,所以∠CFA=∠CED由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF.设∠DAC=∠DAB=x,因为=,所以∠CBA=∠BAC=2x,所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,在等腰△ACF中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则x=,所以∠BAC=2x=.…[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(其中参数t∈R,a为常数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为ρ=2cos(θ+).(1)求曲线C普通方程;(2)已知直线l曲线C交于A,B且|AB|=,求常数a的值.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)曲线C的方程为,ρ=2cos(θ+),即ρ2=2×(cosθ﹣sinθ),利用互化公式可得直角坐标方程.(2)把直线l的参数方程代入圆的方程可得:t2+at+a2﹣2=0,△>0,由参数t的含义知:|AB|=|t1﹣t2|=,把根与系数的关系代入即可得出.【解答】解:(1)曲线C的方程为,ρ=2cos(θ+),即ρ2=2×(cosθ﹣sinθ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x﹣2y,配方后为(x﹣1)2+(y+1)2=2.(2)把直线l的参数方程代入圆的方程可得: +=2,化为t2+at+a2﹣2=0,△=a2﹣4(a2﹣2)>0,解得a2.∴t1+t2=﹣a,t1•t2=a2﹣2,由参数t的含义知:|AB|=|t1﹣t2|===,化为8﹣3a2=5,化为a2=1,满足△>0,解得a=±1,综上:常数a的值为±1.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣1|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)求函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积S.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)画出函数的图象,从而求出三角形的面积即可.【解答】解:(1)x≥1时:x+1﹣2(x﹣1)≥1,解得:1≤x≤2,﹣1<x<1时:x+1+2(x﹣1)≥1,解得:≤x<1,x≤﹣1时:﹣(x+1)+2(x﹣1)≥1,解得:x≥4,不合题意,综上,不等式的解集是[,2];(2)f(x)=,如图示:显然A(1,2),B(,0),C(3,0),=××2=.故S△ABC2017年1月6日。
河南省顶级名校2017届高三10月月考数学(文)试题一、选择题(每题5分,共60分)1.已知集合错误!未找到引用源。
,则集合B不可能是()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
2.错误!未找到引用源。
是虚数单位,若错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
),则错误!未找到引用源。
的值是()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
3.曲线错误!未找到引用源。
与直线错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
等于()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的外接球半径为()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
5.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
6.已知函数错误!未找到引用源。
的图像在点错误!未找到引用源。
处的切线错误!未找到引用源。
与直线错误!未找到引用源。
平行,若数列错误!未找到引用源。
的前错误!未找到引用源。
项和为错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
的值为()A .错误!未找到引用源。
B .错误!未找到引用源。
C .错误!未找到引用源。
D .错误!未找到引用源。
7.已知函数f (x )=x 2﹣2cosx ,对于错误!未找到引用源。
上的任意x 1,x 2,有如下条件:①x 1>x 2;②错误!未找到引用源。
;③|x 1|>x 2;④x 1>|x 2|,其中能使错误!未找到引用源。
恒成立的条件个数共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个8.已知O 为坐标原点,双曲线错误!未找到引用源。
河南省顶级名校2016-2017学年高三10月第一次月考数 学(理)(120分钟 150分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={ y |y =lg |x |},B ={x |y ,则A ∩B =A .[0,1]B .(0,1)C .(-∞,1]D .[0,+∞] 2.己知复数z =2i i-(其中i 是虚数单位),那么z 的共轭复数是 A .1-2i B .1+2i C .-1-2i D .-1+2i 3.4(12)x -展开式中第3项的二项式系数为A .6B .-6C .24D .-24 4.命题“x ∀>0,1xx ->0”的否定是 A .x ∃<0,1xx -≤0 B .x ∃>0,0≤x ≤1C .x ∀>0,1xx -≤0 D .x ∀<0,0≤x ≤15.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为A .9,18,3B .10,15,5C .10,17,3D .9,16,56.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面ABD ⊥平面CBD ,形成三棱锥C -ABD 的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为A .12 B .2 C .4D .147.已知平面上的单位向量1e u r 与2e u r 的起点均为坐标原点O ,它们的夹角为3π.平面区域D由 所有满足OP uu u r =λ1e u r +μ2e u r 的点P 组成,其中100λμλμ⎧⎪⎨⎪⎩+≤≤≤,那么平面区域D 的面积为 A .12 BCD8.函数f (x )=-22sin x +sin2x +1,给出下列四个命题:①在区间[8π,58π]上是减函数;②直线x =8π是函数图象的一条对称轴;③函数f (x )2x 的图象向左平移4π个单位得到;④若x ∈[0,2π],则f (x )的值域是[0.其中,正确的命题的序号是A .①②B .②③C .①④D .③④ 9.己知9(2)x +=0a +1a x +22a x +…+99a x ,则213579(3579)a a a a a ++++-22468(2468)a a a a +++的值为A .93B .103 C .113 D .12310.若圆2(x +2(1)y -=3与双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为 ABC .2 D11.对于使f (x )≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界,若正数a ,b ∈R 且a +b =1,则122a b--的上确界为 A .92- B .92 C .14D .4-12.对于函数f (x )和g (x ),设α∈{x |f (x )=0},β∈{x |g (x )=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”.若函数f (x )=1x e-+x -2与g (x )=2x -ax -a +3互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是A .[2,4]B .[2,73] C .[73,3] D .[2,3] 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ,若F +y =0的对称点A 是椭圆C 上的点,则椭圆C 的离心率为_____________.14.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量a r=(m ,n )与向量b r =(1,-2)的夹角为θ,则θ为锐角的概率是________.15.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:在最合理的安排下,获得的最大利润的值为__________. 16.己知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且s i n s i n s i n A B C -=2c bb-+.则△ABC 面积的最大值__________.三、解答题:(共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设数列{n a }的前n 项和为n S ,a 1=1,n S =n na -3n (n -1),(n ∈N ﹡). (Ⅰ)求数列{n a }的通项公式n a ; (Ⅱ)是否存在正整数n ,使得11S +22S +33S +…+n S n-23(1)2n -=2016?若存在,求出n 值;若不存在,说明理由.18.(本小题满分12分)一个盒子中装有大量..形状 大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽 取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克), 重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如右图),(Ⅰ)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(Ⅱ)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率).19.已知抛物线C:2y=2px (p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为-p.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:OD OM||||>2.20.如图,已知斜三棱柱ABC一A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA1⊥AC1.(Ⅰ)求证:AC1⊥平面A1BC;(Ⅱ)求CC1到平面A1AB的距离;(Ⅲ)求二面角A-A1B-C的平面角的余弦值.21.设f(x)=(xlnx+ax+2a-a-1)x e,a≥-2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)讨论f(x)在区间(1e,+∞)上的极值点个数;(3)是否存在a,使得f(x)在区间(1e,+∞)上与x轴相切?若存在,求出所有a的值.若不存在,说明理由.请在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.已知,如图,AB是⊙O的直径,G为AB延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点G 作AB 的垂线,交直线 AC 于点E ,交AD 于点F ,过G 作⊙O 的切线,切点为 H .求证:(1)C ,D ,F ,E 四点共圆;(2)GH 2=GE ·GF .23.在极坐标系Ox 中,己知曲线C 1:ρcos (θ+4π)=2,C 2:ρ=1(0≤θ≤π), C 3:21ρ=2cos 3θ+2sin θ.设C 1与C 2交于点M .(Ⅰ)求点M 的极坐标;(Ⅱ)若动直线l 过点M ,且与曲线C 3交于两个不同的点A ,B ,求·MA MB AB的最小值.24.设函数f (x(1)当a =5时,求函数f (x )的定义域;(2)若函数f (x )的定义域为R ,试求a 的取值范围.河南省顶级名校2016-2017学年高三10月第一次月考数学(理)答案一选择题 CADBA BDCDA BD二填空题 1 1416. 15.62 16. 三解答题 1718.【解】(Ⅰ)由题意,得()0.020.0320.018101a +++⨯=,解得0.03a =;…………1分 又由最高矩形中点的的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20(克),……2分 而50个样本小球重量的平均值为:0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=(克)故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克;…………………………4分(Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2,………………5分 则1(3,)5X B ~.X 的可能取值为0、1、2、3,……………………………………6分()03031464055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()2131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()2231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()333141355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………10分 X ∴的分布列为:………………12分19.(I )解:∵直线AB 过点F 且与抛物线C 交于A ,B两点,,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB (不垂直x轴)的方程可设为.∴,.∵直线OA 与OB 的斜率之积为﹣p ,∴.∴,得 x 1x 2=4.由,化为,其中△=(k 2p+2p )2﹣k 2p 2k 2>0∴x 1+x 2=,x 1x 2=.∴p=4,抛物线C:y2=8x.(Ⅱ)证明:设M(x0,y0),P(x3,y3),∵M为线段AB的中点,∴,.∴直线OD的斜率为.直线OD的方程为代入抛物线C:y2=8x的方程,得.∴.∵k2>0,∴.20.解:(1)∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D,∴平面A1ACC1⊥平面ABC,∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC,∴BC⊥平面A1ACC1,∴BC⊥AC1,∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B,∴AC1⊥平面A1BC。
(2)如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,∵AC1⊥平面A1BC,∴AC1⊥A1C,∴四边形A1ACC1是菱形,∵D是AC的中点,∴∠A1AD=60°,∴A(2,0,0),A1(1,0,),B(0,2,0),C1(-1,0,),∴=(1,0,),=(-2,2,0),设平面A1AB的法向量=(x,y,z),∴,令z=1,∴=(,,1),∵=(2,0,0),∴,∴C 1到平面A 1AB 的距离是。
(3)平面A 1AB 的法向量=(,,1),平面A 1BC 的法向量=(-3,0,),∴,设二面角A-A 1B-C 的平面角为θ,θ为锐角,∴,∴二面角A-A 1B-C 的余弦值为。
21.解:(1)当0=a 时:xe x x xf )1ln ()(-=,(0>x )故xe x x x xf )1ln 1(ln )('-++=xe x x )1(ln +=当1=x 时:0)('=x f ,当1>x 时:0)('>x f ,当1<x 时:0)('<x f .故)(x f 的减区间为:)1,0(,增区间为),1(+∞……2分 (2)xe a ax x x x xf )ln (ln )(2'+++=令=)(x g 2ln ln a ax x x x +++,故a x x x g +++=1ln 1)(',x xx g 11)(2''+-=,…3分 显然0)1(''=g ,又当1<x 时:0)(''<x g .当1>x 时:0)(''>x g . 故=min ')(x g a g +=2)1(', 2-≥a ,02)()(min ''≥+=≥∴a x g x g .故)(x g 在区间),1(+∞e上单调递增,……4分注意到:当+∞→x 时,)(x g +∞→,故)(x g 在),1(+∞e上的零点个数由)11)(1()1(ea a e g ++-=的符号决定. ……5分 ①当0)1(≥e g ,即:e a 112--≤≤-或1≥a 时:)(x g 在区间),1(+∞e上无零点,即)(x f 无极值点.②当0)1(<e g ,即:111<<--a e 时:)(x g 在区间),1(+∞e上有唯一零点,即)(x f 有唯一极值点.综上:当e a 112--≤≤-或1≥a 时:)(x f 在),1(+∞e上无极值点. 当111<<--a e 时:)(x f 在),1(+∞e上有唯一极值点. ……7分(3)假设存在a ,使得)(x f 在区间),1(+∞e上与x 轴相切,则)(x f 必与x 轴相切于极值点处,由(2)可知:111<<--a e.不妨设极值点为0x ,则有: ⎩⎨⎧=--++==+++=0)1ln ()(0)ln (ln )(0020000200000'x x e a a ax x x x f e a ax x x x x f …(*)同时成立. ……8分 联立得:01ln 0=++a x ,即)1(0+-=a e x 代入(*)可得0)1(2)1(=-+++-a a ea .令)1,2(),1(et a t -∈+-=,2)1()(+--=t t e t h t .……9分则32)('--=t e t h t ,2)(''-=t e t h ,当 )1,2(e t -∈时02)1()(1''''<-=<e e e h t h( <ee 1<21e 2).故)('t h 在)1,2(e t -∈上单调递减.又01)2(2'>+=--e h ,032)1(1'<--=e e e h e .故)('t h 在)1,2(et -∈上存在唯一零点0t .即当),2(0t t -∈时0)('>t h ,)(t h 单调递增.当)1,(0et t ∈时0)('<t h ,)(t h 单调递减.因为01)2(2>+=--e h ,0131)1(21'<---=e ee e h e .故)(t h 在),2(0t t -∈上无零点,在)1,(0e t t ∈上有唯一零点. ……11分由观察易得0)0(=h ,故01=+a ,即:1-=a .综上可得:存在唯一的1-=a 使得)(x f 在区间),1(+∞e 上与x 轴相切. ……12分 请考上在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.证明:(1)连接CB , ∵∠ACB =90°,AG ⊥FG ,又∵∠EAG =∠BAC , ∴∠ABC =∠AEG.∵∠ADC =180°-∠ABC =180°-∠AEG =∠CEF ,∴∠ADC +∠FDC =∠CEF +∠FDC =180°,∴C ,D ,F ,E 四点共圆.……5分(2)由C ,D ,F ,E 四点共圆,知∠GCE =∠AFE ,∠GEC =∠GDF ,∴△GCE ∽△GFD ,故GC GF =GE GD,即GC·GD =GE·GF. ∵GH 为圆的切线,GCD 为割线,∴GH 2=GC·GD ,∴GH2=GE·GF23.解:(I )由221,1(0).x y x y y -=⎧⎨+=≥⎩解得点M 的直角坐标为(1,0),因此点M 的极坐标为(1,0).(II )设直线l 的参数方程为1cos ,(sin .x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数),代入曲线3C 的直角坐标方程并整理得222(3sincos )(2cos )20.t t ααα++-=设点,A B 对应的参数分别为12,,t t 则121222222cos 2,.3sin cos 3sin cos t t t t ααααα+=-=-++ 12222||||||,3sin cos MA MB t t αα∴⋅==+12||||AB t t =-==22.3sin cos αα=+||||||MA MB AB ⋅∴= 20,0sin 1.απα≤<∴≤≤∴当2πα=时,sin 1α=,||||||MA MB AB ⋅24. (1)当5a =时,()f x =.由1250x x +++-≥可得,1220x x ≥-⎧⎨-≥⎩或2120x -≤<-⎧⎨-≥⎩或2820x x <-⎧⎨--≥⎩,解得1x ≥或4,x ≤- 即函数()f x 的定义域为(,4][1,).-∞-+∞(2)依题可知120x x a +++-≥恒成立,即12a x x ≤+++恒成立, 而12(1)(2)1,x x x x +++≥+-+=当且仅当(1)(2)0,x x ++≤即21x -≤≤-时取等号,所以 1.a ≤。