河南省顶级名校2017届高三10月月考数学(理)试题(附答案)$755430

河南省新乡一中2017届高三（上）第二次月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数()i 6i |34i |-+-的实部与虚部之差为（ ）2．若集合{}2=870,=3x M x x x N x ⎧⎫∈|-+<|∉⎨⎬⎩⎭N N 则M N I 等于（ ） A ．}{3,6 B ．}{4,5 C ．}{2,4,5 D ．}{2,4,5,73．已知sin 1sin cos 2ααα=+ ,且向量(tan ,1)AB α=u u u r ,tan ,2BC α=()u u u r ,则AC u u u r 等于（ ） A ．(2,3)- B ．(1,2) C ．(4,3) D ．(2,3)4．下列四个命题中,正确的是（ ）A ．若1x > ,则(,1)y ∀∈-∞,1xy ≠B ．若sin cos x θθ= ,则(0,π)θ∀∈,12x ≠C ．若1x >,则(,1)y ∃∈-∞,1xy =D ．若sin cos x θθ=,则(0,π)θ∃∈,1x =5．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且5442S S a =-,则54S S 等于（ ）6．如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB =,E 、F 分别为AB 边、CD边上一点,且1AE DF ==,现将矩形ABCD 沿EF 折起,使得平面ADFE ⊥平面BCFE ,连接,AB CD ,则所得三棱柱ABE -DCF 的侧面积比原矩形ABCD 2.236≈）（ ）A ．68%B ．70%C ．72%D ．75%7．若定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得()()f x f x -=,则称()f x 为类偶函数.那么下列函数中,为类偶函数的是（ ）A ．()4cos f x x =B ．2()23f x x x =-+C ．()21x f x =+D ．3()3f x x x =-8．某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为（ ）9．若函数sin(π)y k k ϕ=+()2k ϕ>ο,<与函数26y kx k =-+的部分图象如图所示,则函数()sin()cos()f x kx kx ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为（ ）10．已知平面区域34180:20x y x y +-⎧⎪Ω⎨⎪⎩≤≥≥,夹在两条斜率为34-的平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为m .若点(,)P x y ∈Ω,则z mx y =-的最小值为（ ）11．已知函数()f x 的导数为()f x ' ,且()(1)()0x f x xf x '++≥对[0,)x ∈+∞恒成立,则下列不等式一定成立的是（ ）A ．(1)2e (2)f f <B ．e (1)(2)f f <C ．(1)f <0D ．e (e)2(e)f f <12．在正四棱锥P ABCD -中,O 为正方形ABCD 的中心,()24PE EO λλ=u uur u u u r ≤≤,且平面ABE 与直线PD 交于F ,()PF f λ=u u u r ,PD u u u r 则（ ）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知向量(,2)a x =r ,(2,1)b =r ,(3,)c x =r ,若a b r r ∥,则向量a r 在向量c r 方向上的投影为_________．14．已知一个三棱锥的体积和表面积分别为V ,S ,若V =2,3S =,则该三棱锥内切球的表面积是_________． 15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为_________．16．函数()f x =的定义域为_________．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数π()sin(2)3f x x =+．（1）若π(,0]6x ∈-,求14()()f x f x +的最小值，并确定此时x 的值； （2）若π(,0)2a ∈-,π()23a f +=，求()f a 的值． 18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，52a =，且3a 是1a 与85-的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若1a 为整数,求证:1122333n i i n s i n =>++∑.1 19．如图,在ABC △中,角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且1sin cos csin cos 3a A CA A c +=,D 为AC 边上一点.（1）若c b =2=4,53BCD S =△,求DC 的长. （2）若D 是AC 的中点,且cos B BD =,求ABC △的最短边的边长.20．如图,在五棱锥F ABCDE -中,平面AEF ⊥平面ABCDE ,AF EF ==1,AB DE ==2,BC CD ==3,且90AFE ABC BCD CDE ∠=∠=∠=∠=︒.（1）已知点G 在线段FD 上,确定G 的位置,使得AG ∥平面BCF ；（2）点M ,N 分别在线段DE ,BC 上,若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折,D 与F 恰好重合,求直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值.21．已知a ∈R ,函数32()f x x ax ax a = -++,g()()3x f x a x =+(-).（1）求证：曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过定点；（2）若(1)g 是g()x 在区间(0,3]上的极大值,但不是最大值,求实数a 的取值范围；（3）求证:对任意给定的正数b ,总存在(3,)a ∈+∞,使得g()x 在(,)33a a b +上为单调函数. 22．已知函数()ln f x ax x =-,()e x F x ax =+,其中x a >0,<0.（1）若()f x 和()F x 在区间(0,ln3)上具有时间的单调性,求实数a 的取值范围;（2）若21(]e a ∈-∞,-,且函数1g()e ()ax x x ax f x -= -2+的最小值为()a ϕ,求()a ϕ的最小值.。

河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.54．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．77．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜89．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．910．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是．14．（5分）若（x2﹣）n二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为．15．（5分）设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．解答：解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=；由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，1]．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求得复数z的虚部．解答：解：由=，则复数z的虚部是．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数z的虚部的求法，是基础题．3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.5考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求出22次考试分数最大为98，最小56，可求极差，从小到大排列，找出中间两数为76，76，可求中位数，从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和．解答：解：22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为98﹣56=42，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76．所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118．故选B．点评：本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定极差与中位数是关键．4．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n 项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a m=2，从而T n=2n，由T2m﹣1=512，得22m﹣1=512=29，由此能求出结果．解答：解：设数列{a n}公比为qa m﹣1=，a m+1=a m•q，∵a m+1•a m﹣1=2a m，∴，∴，解得a m=2，或a m=0（舍），∴T n=2n，∵T2m﹣1=512，∴22m﹣1=512=29，∴2m﹣1=9，解得m=5．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，∴判断框中的条件是：i＜7？故选C．点评：本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．9．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．10．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．再由余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°，进而根据a+b≥2，求得|AB|的范围，进而可得答案．解答：解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．而余弦定理，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=（a+b）2﹣ab，再由a+b≥2，得到|AB|≥（a+b）．所以的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．考点：函数最值的应用．专题：常规题型．分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a故选D．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是作出直线x﹣y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（﹣2，0）时，Z取得最小值﹣2，所以Z的取值范围为又f（0）=0，f（2）=2．∴．即的取值范围是．故答案为．点评：本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是①③④．（填上你认为所有正确的结论序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（1）∵，∴=，∴b+c=======4．∵，∴．∴，∴，∴．∴b+c∈（2，4]，（2）∵•=1，∴bccosA=1．∴，∴=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣2，6=b2+c2≥2bc，∴bc≤3，∴b2c2≤9．∴==≤=．当且仅当时，△ABC的面积取到最大值为．点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率．（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，分别求出P（X=150），P（X=90），P （X=30），P（X=﹣30），由此能求出X的分布列和EX．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为=，元件B为正品的概率为=．…（2分）（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P（C）==．…（6分）（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，则P（X=150）=，P（X=90）=，P（X=30）==，P（X=﹣30）==，所以X的分布列为：X 150 90 30 ﹣30P…（10分）EX=150×+90×+30×﹣30×=108．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F1（﹣1，0），直线l方程为y=k（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．解答：解：（1）∵椭圆过点，∴…（1分）∵离心率为，∴，…（2分）又∵a2=b2+c2…（3分）解①②③得a2=4，b2=3…（4分）∴椭圆…（6分）（2）由（1）得F1（﹣1，0）①当l的倾斜角是时，l的方程为x=﹣1，焦点此时，不合题意．…（7分）②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y=k（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∴===…（10分）又已知，∴，∴（k2﹣1）（17k2+18）=0，∴k2﹣1=0，解得k=±1，故直线l的方程为y=±1（x+1），即x﹣y+1=0或x+y+1=0．…（13分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k 的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，∴f′（x）=（kx+1）e kx，g′（x）=+k，f（x）在（1，+∞）上为减函数，则∀x＞1，f′（x）≤0⇔k≤﹣，∴k≤﹣1；∵g（x）在（0，1）上为增函数，则∀x∈（0，1），g′（x）≥0⇔k≥﹣，∴k≥﹣1；综上所述：k=﹣1．（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），∴h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣），设u（x）=ae kx﹣，∴u′（x）=ake kx+，①a≤0时，u（x）=ae kx﹣＜0，则h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，h（x）＞0不恒成立；②当a＞0时，，则在（0，+∞）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，必有x0∈（0，+∞），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=﹣lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+∞）上是增函数，=1﹣1﹣lnx0﹣kx0=﹣lnx0﹣kx0=lna因此，lna＞0，即a的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD；（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD．解答：（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB=2BE，所以BC=2BD …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又A B=2BE，∴AC=2DE，∵AC=2，∴DE=1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA=1，设BD=x，根据割线定理得BD•BA=BE•BC即x（x+1）=（x+1），解得x=1，即BD=1．…（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为ρ2sin2θ=2aρcosθ，从而得到y2=2ax．（II）写出直线l的参数方程为，代入y2=2ax得到，则有，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a的值．解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2（3分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有…（8分）因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以即：2﹣4×8（4+a）=8（4+a）解得a=1…（10分）点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a ﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2017学年度第一学期10月份联考试卷高三理科数学一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( ) (A)2π (B) (C) (D) 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a =A. 0B. 1C. 2D. 35.函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞ 6.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)487..若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 28.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=(A) 33 (B) 72 (C) 84 (D) 1899在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(A) 9.4，0.484 (B) 9.4，0.016 (C) 9.5，0.04 (D) 9.5，0.01610.若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A.4B.3C.2D.1 11.3223i i+=- A.iB. C.12-13 D.12+1312.已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为()． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x± D ．y ＝±x13.设命题P ：nN ，>，则P 为（A ）nN, >（B ） nN, ≤（C ）nN, ≤（D ） nN, =14．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤ D.{}|12x x -<≤二．填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位(1) 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是▲．(2)函数y =的定义域为▲．(3) =-+-1)21(2lg 225lg(4) 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) 三、解答题(15分×4=60分)1.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：与数列{}n a 的第几项相等？2.（北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的。

一、选择题1.已知集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则M N =A. {1,1}-B. }2,1{C. {1,1,3,5}-D. {1,0,1,2}-【答案】A考点：集合的运算2. 复数z 满足（1-i ）z=m+i （m ∈R, i 为虚数单位），在复平面上z 对应的点不可能在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 试题解析：2)1()1()1)(1()1)((1i m m i i i i m i i m z ++-=+-++=-+=i m m 2121++-=，复平面上z 对应的点不可能在第四象限.考点：复数运算及几何意义.3.已知命题p ：0x ">，总有()11xx e +>，则p Ø为A. 00x $£，使得()0011xx e £+ B. 00>∃x ，使得1)1(00≤+xe xC. 0x ">，总有()11xx e +£ D. 0x "£，总有()11xx e +£【答案】B 【解析】试题解析：命题,0:>x p “总有”1)1(>+xe x ，则,0:0>∃⌝x p 使得1)1(00≤+x ex ，选B.考点：全称量词与特称量词4.执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A. 4 B. 5 C. 6 D.7 【答案】B 【解析】试题解析：5=n 为奇数，16153=+⨯=n ，1=k ，1=n ？否， n 为偶数，8216==n ，2=k ，1=n ？否， n 为偶数，428==n ，3=k ,1=n ？否，n 为偶数， 224==n ,4=k ,1=n ？否，n 为偶数，122==n ,5=k ,1=n 是，输出5=k .选B.考点：程序框图5.有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（ ） A31 B 32 C 107 D 103【答案】C考点：古典概型6.函数y=4cosx-e |x|（e 为自然对数的底数）的图象可能是A B C D【答案】A考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．73B ．83π-C ．83D ．73π-【答案】B 【解析】试题解析：根据三视图可以看出原几何体为一个四棱锥ABCD P -，平面⊥PCD 平面ABCD ，割去半个圆锥，圆锥底面直径为CD ,P 为顶点，其体积为38213121-222312ππ-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，选B.考点：三视图8.已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是A ．13B ．9C ．2D ．11【答案】B 【解析】试题解析：先画出二元一次不等式所表示的平面区域（如图），则1,1≥≥y x 要使x y 2最大，只需y 最大，x 最小，由图像可知当xy z 2=经过定)3,1(A 时，z 最大，最大值为9.选B.考点：线性规划.9. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为 A ．2πB ．2πC ．4πD ．π【答案】D考点：三角函数图象与性质.【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断ω的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.10.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的假命题是 A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o； B. 四边形AECF 是正方形； C. 点A 到平面BCED. 该八面体的顶点在同一个球面上. 【答案】C 【解析】试题解析：因为八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是060,而象AE 与CE 所成的角为090,A 正确；四边形AECF 各边长均为1，2==EF AC ，所以四边形AECF是正方形；2=DB ，该八面体的顶点在同一个球面上，D 正确；设A 到平面BCE 的距离为h,由BCE A ABCD E V V --=2，所以h 43312221131⨯⨯=⨯⨯⨯，解得36=h ，C 错误； 考点：空间几何体中点、线、面的位置关系.11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D.6【答案】D考点：求离心率.【方法点睛】求离心率就是要找出一个关于c b a 、、的等式，借助于曲线上一点的坐标满足曲线方程也是一种很不错的方法.12.已知变量a,b 满足b=－12a 2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+12上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为A. 9B. 353C. 59D. 3 【答案】C 【解析】试题解析：令221ln 3x x y -=及y=2x+12，则(a-m)2+(b-n)2的最小值就是曲线221ln 3x x y -=上一点与直线y=2x+12的距离的最小值，对函数221ln 3x x y -=求导得：x xy -='3，与直线y=2x+12平行的直线斜率为2，令x x -=32得1=x 或3-=x （舍），则1=x ，得到点)21,1(-到直线y=2x+12的距离为553，则(a-m)2+(b-n)2的最小值为59)553(=. 【方法点睛】本题转化为一条曲线上一点到一条直线的距离的最小值问题，再转化为曲线上一点的切线平行已知直线，化为两条平行线间的距离的最小值，是一种转化思想. 考点：两点间的距离.二、填空题13. 已知向量a =（1），b =（3, m ），且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为 . 【答案】6π考点：平面向量14.设函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩，且f （x ）为奇函数，则g （14-）=【答案】2 【解析】试题解析：由于)41()41(-=-g f ，而f （x ）为奇函数，241log )41()41(2=-=-=-f f ，则 2)41(=-g考点：分段函数求值，函数的奇偶性.15.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，则c = ．【答案】5考点：解三角形.【方法点睛】本题根据正弦定理可以求出36cos =A ，下一步有两种方法，（1）如本题解析走余弦定理，解出c ，但要对解出的解进行检验；（2）求C sin ，利用正弦定理求c .16．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率是 .【答案】510 【解析】试题解析：由2OP OE OF =-得：)(21+=可知，E 为PF 的中点，令右焦点为F '，则O 为F F '的中点，a OE F P =='2，E 为切点，PF OE ⊥∴，PF F P ⊥'，a PF a F P PF 3,2=='-，又222F F F P PF '='+，则210,41022==e c a .考点：求离心率.三、解答题17. (本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ．（Ⅰ）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）令c n = a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【答案】(1)a n =3n-1,b n =113n -,(2)T n = 214- 14（6n+7）31-n .（Ⅱ）c n = a n b n =（3n-1）113n - ∴T n =2×013+5×13+8×213+……+（3n-1）113n - ①13T n = 2×13+5×213+8×313+……+（3n-1）13n ② ① - ②：23T n =2 +3×13+3×213+……+3×113n - -（3n-1）13n =2 + 3×1133113n ---（3n-1）13n∴T n =214- 14（6n+7）31-n . 考点：等差（比）数列通项公式，错位相减法数列求和.【方法点睛】数列求和常用方法有分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法，其中错位相减法、裂项相消法尤其重要.18. (本小题满分12分)随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表（Ⅰ）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？（Ⅱ）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量．）【答案】(1)能（2）21.（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2.2011)0(216212===C C P ξ，52)1(21614112=⨯==C CC P ξ，201)2(21624===C C P ξ. ξ的分布列为ξ的均值为21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE ……12分．考点：独立性检验与离散型随机变量的概率分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥. （Ⅰ）证明：1CD AB ⊥；（Ⅱ）若OC =，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明略（2.(Ⅱ) 在Rt △ABD 中，AB=1，∴在Rt △AOB 中, 得BO=, 222BO CO BC ∴+= 即BO CO ⊥ CO AOB ∴⊥平面 ----8分建立如图坐标系，设BC 与平面ACD 所成的角为θ(0,A B C D 设平面ADC 的法向量为n.解得n=()1,1,1.2,sin n BC BCn BC θ⎛⋅=∴== ⎝ 即BC 与平面ACD 考点：线线垂直的证明，利用空间向量求线面角.20. （本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：22(0)x pyp =>的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：221x y +=相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为0x y -=时，求 抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数P 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求12S S 的最小值． 【答案】(1)x 2y ．(2)322+. 【解析】试题解析：（Ⅰ）设点P （x 0，202x p ），由x 2=2py （p ＞0）得，y=22x p ，求导y′=x p ，因为直线PQ的斜率为1，所以0x p=1且x 0 -202x p -√2=0，解得p=2，所以抛物线C 1 的方程为x 2=4y ．…………………………4分根据切线与圆切，得d=r ，即1=，化简得x 04=4x 02+4p 2，由方程组2000220x x py x py x x ⎧--=⎪⎨=-⎪⎩，解得Q （02x ，2042x p -），…………………………7分 所以|PQ|=√1+k 2|x P -x Q|=200022||||x x x x --=点F （0，2p）到切线PQ 的距离是d==所以S 1=20012||||2x PQ d x -==2220002||4x p x p x +-， S 2=01||||22||Q pOF x x =， …………………………9分 而由x 04=4x 02+4p 2知，4p 2=x 04-4x 02＞0，得|x 0|＞2，所以22222210000022022||()(2)||42S x p x x x p x S p x p p +-+-== =242222000000422000(44)(2)(2)2(4)2(4)x x x x x x x x x +---=-- =20204424x x -+-+3≥2+3，当且仅当20204424x x -=-时取“=”号， 即x 02=4+2，此时，p=所以12S S 的最小值为2+3． 考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题. 21. (本小题满分12分)设函数f （x ）=（x ﹣a ）2lnx ，a ∈R ．（I ）若x=e 是y=f （x ）的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数y=f （x ）﹣4e 2只有一个零点，求实数a 的取值范围 .【答案】(1)a=e 或a=3e ．(2)（－∞，3e ）.（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设()2ln1ah x xx=+-，①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，∴∃x0∈（a，1），h（x0）=0，当0＜x＜a时，f′（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣ax ）>o∴f（x）在（0，a）上是单调递增，同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又极大值f（a）=0，所以曲线f（x）满足题意；③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，∴∃x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，可得f（x）在（0，x0）上单调增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增又f（a）=0，若要函数f（x）满足题意，只需f（x0）<4e2，即（x0-a）2lnx0<4e2∴x02ln3x0<e2, 由x0>1，知g（x）=x2ln3x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增，由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，所以1＜a＜3e；综上知，a∈（－∞，3e）考点：利用导数研究极值与零点问题.选考题22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D 。

∴sin a =.则cos a = ∵π(,0)2a ∈-，∴cos a =． 243sin 22sin cos ,cos212sin 55a a a a a ==-=-=．∴1()sin 222f a a a == 18．解:（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得:1211428(2)5a d a d a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， 解得1103a d =-⎧⎨=⎩或12535a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故103(1)313n a n n =-++=-或233(1)1555n a n n =-+-=-， 即数列{}n a 的通项公式为:313n a n =-或315n a n =-； 证明:（2）∵1a 为整数,∴110a =-，3d =∴310n a n =- ∴2(10313)323222n n n n n S -+-==-， 则22233n S n n += 即证2221111+133233333n n n +++>⨯⨯⨯+… ． ∵211(1)n n n >+ ，即21111n n n >-+， ∴2111111111(1)(1)32231313(1)n n n n n n >-+-+-=-=+++…， 即1122333ni i n s i n =>++∑． 19．解:∵1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=， ∴1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C +=， 即1sin sin sin 3A B C =， （1）∵2c b =，∴sin sin C B =， 则2sin 3A =， ∴18sin 23ABC S bc A ==△，∵2AC =，53ABC S =△ ，ABC S CD AC S =△BCD △， ∴54CD =．…（2）由25cos B =，得5sin B = ，∵()C A B π=-+，∴3sin 5sin()A A B =+，则sin cos A A =，得tan 1A =，∴4A π=，则c b bc +-=2212264,sin sin A C ⨯=513,且sin sin B C ⨯=213,∴,c a b c a ===35210,∴a a a +-=222913265105,解得:a =25,∴,b c ==226,∴ABC △的最短边的边长22.20.解:（1）点G 为靠近D 的三等分点,…在线段CD 取一点H ,使得CH =2,连结,AH CH ,==ABC BCD ︒∠∠90,∴AB CD ∥．又AB CH =,∴四边形ABCH 为平行四边形,∴AH BC ∥,∵点G 为靠近D 的三等分点,∴:::FG GD CH HD ==21∴GH CF ∥,∵AH GH H =I ,∴平面AGH ∥平面BCF ,而AG AGH ⊂平面,∴AG BCF ∥平面（2）取AE 的中点K ,连接FK ,∵AE EF =,∴FK AE ⊥,又平面AEF ⊥平面ABCDE ,∴FK ⊥平面ABCDE如图,建立空间直角坐标系-B xyz ,则,(,,),C(,,)(,,),(,,,D D F 1533030013022 . 设()EM m m =<<02,则(,,)M m +130∵翻折后,D 与F 重合,∴,DM FM FM KM FK ==+222又, 故()()()m m m -=+++⇒=222111322225,从而(,,)BM =8303u u u u r (,,)BE =130u u u r,(,BF =1522u u u r , 设(,,)n x y z =r 为平面BEF 的一个法向量,则x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩3015022, 取x =3,则(,n =-r 31设直线BM 与平面BEF 所成角为α,则sin α==⨯95175, 故直线BM 与平面BEF21．解:（1）∵()f x x ax a '=-+232,∴()f a '=-13,∴()f a =+11,∴曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程为:()()()y a a x -+=--131,即()a x x y -=--232,令x =2,则y =4,故曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线过定点(,)24.（2）解:()()[()]g x x x a '=---1323,令()g x '=0,得a x x -==230或3, ∵()g 1是()g x 在区间(,]03上的极大值, ∴a ->2313,解得:a >3, 令()g x '>0,得a x x -<>231或3,()g x 递增 令()g x '<0,得a x -<<2313,()g x 递减. ∵()g 1不是()g x 在区间(,]03上的最大值, ∴()g x 在区间(,]03上的最大值为()g a =-3182．∴()()g a g a =->=-3182122,∴a <5,又a >3,∴a <<35．（3）证明: ()()()[()]g x f x a x x a ''=+-=---31323.∵(,)a ∈+∞3,∴a ->2313, 令()g x '>0,得a x x -<>231或3,()g x 递增 令()g x '<0,得a x -<<2313,()g x 递减.; ∵(,)a ∈+∞3,∴a a -<<23133, 若()g x 在,()a a b +33为单调函数,则a b a +-23≤33,即a b +≥3, 故对任意给定的正数n ,总存在(,)a b ∈++∞3（其中b +>33）, 使得()g x 在,()a a b +33为单调函数. 22．解:（1）(),()e ,x ax f x a F x a x x x-''=-==+>110 ∵,()(,)a f x '<+∞0在0上恒成立,即()f x 在（0,+∞）上单调递减, 当a -<1≤0时,()F x '>0 ,即()F x 在(,)+∞0上单调递增,不合题意当a <-1时,由()F x '>0,得ln()x a >-,由()F x '<0,得ln()x a <<-0,∴()F x 的单调减区间为(,ln())a -0,单调增区间为(ln(),)a -+∞∵()f x 和()F x 在区间(,ln )03上具有相同的单调性,∴ln()ln a -≥3,解得a -≤3,综上,a 的取值范围是(,]-∞-3（2）()()()ax ax ax g x e axe a ax e x x---'=+--=+-111111， 由e ax x --=110得到ln x a x -=1，设ln ln (),()x x p x p x x x --'==212, 当e x >2时,()p x '>0;当e x <<20时,()p x '<0,从而()p x 在(,e )20上递减,在(e ,)+∞2上递增, ∴2min 21()(e )e p x p ==-当a e -21≤时,ln x a x -1≤,即e ax x--11≤0, 在(,)a-10上,ax +>10,()g x '≤0,()g x 递减; 在(,)a-+∞1上,ax +<10,()g x '≥0,()g x 递增, ∴min ()()()g x g a a ϕ==1,设,(,e ],()()ln (e )()e e t t a h t t t h t a tϕ'=∈==-+<<=-2222111010≤0，()h t 在(,e ]20上递减, ∴()(e )h t h =2≥0, ∴()a ϕ的最小值为0河南省新乡一中2017届高三（上）第二次月考数学（理科）试卷解 析1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数求模公式和复数的乘法运算化简复数()6|34|i i i -+-，求出复数()6|34|i i i -+-的实部和虚部，则答案可求． 【解答】解：∵()261616|34|555i i i i i -+--==---，∴复数()6|34|i i i -+-的实部为：15-，虚部为：65-，差为：1．故选：B ．2．【考点】交集及其运算． 【分析】求解一元二次不等式化简M ，再由交集运算得答案．【解答】解：∵{}{}2=8707{2,3,4,5,6},=3x M x x x x x N x ⎧⎫∈|-+<=∈|1<<=|∉⎨⎬⎩⎭N N N ， ∴{}2,3,4,5,6{2,4,5}3x M N x ⎧⎫=|∉=⎨⎬⎩⎭N I I ，故选：C ．3．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据已知条件得到tan 1α=，由向量加法的三角形法则求得AC u u u r 即可． 【解答】解：sin 1sin cos 2ααα=+，2sin sin cos ααα=+，即sin cos αα=，所以tan 1α=，因为向量(tan ,1)AB α=u u u r ，(tan ,2)BC α=u u u r ， 则(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α=+==u u u r u u u r u u u r ， 故选：D ．4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当1x >时1(,1)y x =∈-∞，1xy =，11sin cos sin 222x θθθ==≤． 【解答】解：当1x >时，1(,1)y x =∈-∞，1xy =，故A 错，C 正确；因为11sin cos sin 222x θθθ==≤，故B ，D 均错误． 故选：C ．5．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵5442S S a =-，∴542a a =-，解得公比2q =． ∴5554441213312115S q S q ---===---．故选：A ．6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意求出三棱柱ABE -DCF 的侧面积增加的部分与原来矩形ABCD 的面积之比可得答案．【解答】解：将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE ，可得三棱柱ABE -DCF ，（如图）侧面积增加的部分为ABCD ，∵EB BC ⊥，ABC △是直角三角形，∴AB BC ⊥．同理可证ABCD 是矩形．∵1AE DF ==．3AB =，AD =∴2BE =∴AB =故得侧面积增加的部分为5S =． 侧面积比原矩形ABCD2.2367533===%故选D ．7．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据新定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()f x 为类偶函数．对各选项进行判断即可．【解答】解：对于:A ()4cos f x x =，根据新定义，当自变量0x ≠时，存在多个非零自变量x 使得()()f x f x -=，∴不对．对于:B 2()23f x x x =-+，由2()23()f x x x f x -=++≠，∴不对． 对于:C ()21x f x =+，由()21()x f x f x --=+≠，∴不对．对于:D 3()3f x x x =-，由3()3f x x x -=-+，即3()()20f x f x x x --=-6=，可得22(3)0x x -=，当自变量0x ≠时，存在两个非零自变量1x =2x =()()f x f x -=，∴对． 故选D ．8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，即可求其体积．【解答】解：该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，故其体积为211168(24)24222323⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=． 故选D ．9．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的最大值求出A ，由特殊点的坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数sin()y k k πϕ=+()2k πϕ>ο,<的最大值为k ，∴26k k -+=，∴2k =． 把点(,0)12π代入2sin(2)y πϕ=+可得sin()06πϕ+=，∴6πϕ=-，∴入2sin(2)6y x π=-．则函数5()sin()cos()2sin(2)2cos(2)))666412f x kx kx x x x x πππππϕϕ=-+-=+++++=+． 令52122x k πππ+=+，求得224k x ππ=+，k ∈Z ，故()f x 的图象的对称轴的方程为得224k x ππ=+，k ∈Z ， 当3k =时，3724x π=， 故选：B ．10．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合题意求出m ，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵平面区域Ω夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m ， 则|3218|255m ⨯-==． 令125z mx y x y =-=-，则125y x z =-， 由图可知，当直线125y x z =-过(2,3)B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：249355-=． 故选：A ．11．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．【分析】构造函数()()F x xexf x =，则F ()[(1)()()]0x ex x f x xf x ''=++≥对[0,)x ∈+∞恒成立，得出函数()()F x xexf x =在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、【解答】解：构造函数F （x ）=xexf （x ），则F′（x ）=ex[（x+1）f （x ）+xf′（x ）]≥0对x ∈[0，+∞）恒成立， ∴函数F （x ）=xexf （x ）在[0,)+∞上单调递增，∴(1)(2)F F <，∴(1)2(2)f ef <，故选A ．12．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ，过F 作FG 垂直于PO 交于G ，根据相识三角形成比例关系可求解．【解答】解：由题意：P ABCD -是正四棱锥，O 为正方形ABCD 的中心,则OP ⊥平面ABCD ，()24PE EO λλ=u u u r u u u r ≤≤,即E 是PO 上的点，在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ,()PF f λ=uuu r ，过F作FG 垂直于PO 交于G ， 可得：2PF FG PG GE PG GE PD OD PO EO PO EO λλ+=====++． 故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先根据平行求出x 的值，再根据投影的定义即可求出． 【解答】解：∵(,2)a x =r ，(2,1)b =r ，//a b r r ，∴2x =⨯2=4， ∴(3,4)c =r，∴||5c =r ，(4,2)(3,4)12820a c ==+=r r g g， ∴向量a r 在向量c r 方向上的投影为2045||a c c ==r r g r ， 故答案为：4．14．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的表面积．【解答】解：设三棱锥的四个面积分别为：1S ，2S ，3S ，4S ，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径 ∴12341111133333V S r S r S r S r S r =⨯+⨯+⨯+⨯=⨯ ∴内切球半径32V r S==， ∴该三棱锥内切球的表面积是42216ππ=g ． 故答案为16π．15．【考点】数列的应用．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故=1514n a n -．由=15142016n a n -≤得135n ≤，故此数列的项数为135．故答案为：135．16．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设g （x ）=x ﹣lnx ﹣1，求出导数，求得单调区间和最值，可得f （1）=0，再由lnx ﹣2≥0，即可得到所求定义域．【解答】解：设()ln 1g x x x =--，导数1g ()x x x-'=． 令g ()0x '>，得1x >，g()x 递增；令g ()0x '<，得01x <<，g()x 递减．则g()x 的最小值为g(1)0=，即ln 10x x --≥．当1x =时，(1)0f =；当0x >，且1x ≠时，ln 20x -≥，解得2x e ≥．则()f x 的定义域为：{}2[,)1e+∞U ． 故答案为：{}2[,)1e +∞U ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据(,0]6x π∈-，求出()sin(2)3f x x π=+的范围，利用基本不等式求解．（2）利用(,0),()223a a f ππ∈-+=，求先解出sin a 和cos a ，在求解sin2a 和cos2a ，可得()f a 的值 18． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列的通项公式来求数列{an}的首项和公差；（2）根据等差数列的前n 项和公式求得232322n n n S =-，则22233n S n n +=．即证2221111+133233333n n n +++>⨯⨯⨯+… 即可．19．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得1sin sin sin 3A B C =，结合已知可求sin A ，利用三角形面积公式可求ABC 的面积，进而可求CD 的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求sin B ，结合已知可求A ，利用正弦定理，余弦定理可求三边长，即可得解．20．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）点G 为靠近D 的三等分点，证明平面AGH ∥平面BCF ，而AG ⊂平面AGH ，可得AG ∥平面BCF ；（2）建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，利用向量方法求直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算(1)f ，(1)f ' ，求出切线方程，从而求出切线过定点；（2）求出g()x 的导数，根据g(1)是g()x 在区间(0,3]上的极大值以及g(1)不是g()x 在区间(0,3]上的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可；（3）求出g()x 的导数，若g()x 在(,)a a b +33为单调函数，则a b a +-23≤33，即a b +≥3，从而证出结论． 22．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g()x 的导数，根据函数的单调性求出g()x 的最小值，从而求出()a ϕ的最小值．。

【关键字】质量理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A．B．C．D．2. 为虚数单位，则（）A．B．-1 C．D．13.已知，，，则（）A．B．C．D．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的是5，那么输出的是（）A．120 B．720 C. 1440 D．50405.如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（）A．B． C. D．6.如果函数的图象关于点成中心对称，那么的最小值为（）A．B． C. D．7.已知数列满足，则（）A．B． C. D．8.已知关于的函数，若点是区域内的随机点，则函数在上有零点的概率为（）A．B． C. D．9. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；在以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 532 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C. 0.30 D．0.2010.已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B． C. 2 D．11.若，则在中，正数的个数是（）A．143 B．286 C. 1731 D．200012.定义在上的函数满足，，，且当时，有，则（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量与的夹角为，且，，则．14. 的展开式中常数项为．（用数字作答）15.已知是等差数列的前项和，若，，则．16.多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 的面积是30，内角所对边长分别为，.（1）求；（2）若，求的值.18.如图，矩形和梯形所在平面互相笔直，，，，.（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为.19.如图是某市至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择至中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20.已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线互相笔直.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.21.已知函数，.（1）若2a =，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()0f x =恰有一个解，求a 的值； （3）若()()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知圆1O 和圆2O 相交于,A B 两点，过A 点圆1O 的切线交于圆2O 于点E ，连接EB 并延长交圆1O 于点C ，直线CA 交圆2O 于点D .（1）当点D 与点A 不重合时，（如图1），证明：2ED EB EC =•；（2）当点D 与点A 重合时，（如图2），若2,6BC BE ==，求圆2O 的直径长. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 过点(2,0)P ，斜率为43，直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：（1）点M 的坐标； （2）线段AB 的长||AB .24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|5f x x a x =-+，其中实数0a >. （1）当3a =时，求不等式()46f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{|2}x x ≤-，求a .试卷答案一、选择题CCCAD DBBCA CC 二、填空题 13、； 14、1820； 15、； 16、。

2016-2017学年度第一学期第二次月考高三年级 数学试卷(理科)一 、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的， 将正确答案填写在括号内.）1.复数z 满足（ ） A.1+i B.1i - C.1i -- D.1+i -2.，若A B A = ，则实数a 的值为 （ ）A.2,1B.C.2,1,0 3. 已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是 ( )A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(1,2)-C.(2,1)-D.(,2)(1,)-∞-⋃+∞4. 已知0,0x y >>，若恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A. 2m ≤-或4m ≥ B.4m ≤-或2m ≥C.24m -<<D.42m -<<5.下列四种说法中，错误的个数是 （ ） ①{}1,0=A 的子集有3个； ②命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是：“不存在02,00>∈x R x ；③函数x xe ex f -=-)(的切线斜率的最大值是2；④已知函数)(x f 满足,1)1(=f 且)(2)1(x f x f =+，则1023)10()2()1(=+++f f f . A.1 B.2 C.3 D.46.已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ∀∈，都有)()2(x f x f =+；③当[1,1]x ∈-时，()||1f x x =-+，则方程在区间[3,5]-内解的个数是 （ ） A.5 B.6 C.7 D.87.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ,设（ ）C.a b c <<D.a c b <<8. 已知函数)(x f 满足，当[]3,1∈x 时，x x f ln )(=，若在区，曲线x ax x f x g 与-=)()(轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 （ ）二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分,把答案填写在横线上.） 9.________.10. 若实数x ，y 满足约束条件42y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，且2z x y =+有最大值8，则实数k =________.11.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++ 的展开式中4x 的系数是35-，则127a a a +++= ________.12.设已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D .若AB BC =，则实数t 的值为________.13.已知函数3223,0()log 1,x x x kf x x k x a⎧-+≤<=⎨+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是_______.14. ()f x 是定义在D 上的函数，若存在区间[]m n D ⊆，，使函数()f x 在[]m n ，上的值域恰为[]km kn ，，则称函数()f x 是k 型函数.给出下列说法：是1型函数，则n m -的最大值为 型函数，则40m n =-=，；④设函数32()2f x x x x =++(x ≤0)是k 型函数，则k 的最小值为其中正确的说法为________.（填入所有正确说法的序号）三 、解答题：（本大题6小题，共80分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分）（1）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50,242n a a S ===，求n . （2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若103010,130S S ==，求20S .16.(本小题满分13分）已知函数=)(x f x x x 22cos 2)cos (sin -+，R x ∈. （1）求函数)(x f 的递增区间； （2）若函数m x f x g -=)()(在上有两个不同的零点1x 、2x ，求)tan(21x x +的值.17.(本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（1（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.18.(本小题满分13分）,()()4log 41xf x mx =++是偶函数. （1（2若()()4log 21g xh a >+⎡⎤⎣⎦对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分14分）（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2在区间(1,3)上不单调，求实数a 的取值范围.20.(本小题满分14分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设0a >，证明：当（3）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ， 证明：0'()0f x <.2016-2017学年度第一学期第二次月考高三年级 数学试卷理科参考答案及评分标准一 、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是二 、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分,把答案填写在答题卡横线上.） 9. (,3)(3,1][4,)-∞---+∞ 10. -4 11. 1 13.[1,2] 14. ②③三 、解答题：（本大题6小题，共80分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．【答案】（1）11；（2）40． 【解析】试题分析：第（1）问重点考查等差数列基本公式，要求学生对基础知识以及基本公式熟练掌握，重点考查学生的基本计算，着重对双基的考查。

2016-2017学年河南省新乡一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈R|≤0}，B={x∈R|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．{1}∪[2，+∞）D．（1，+∞）2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．3．已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）4．已知把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x），则函数g（x）的一条对称轴为（）A．B．C．D．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2n﹣1+k，则f（x）=x3﹣kx2﹣2x+1的极大值为（）A．2 B．C．3 D．6．△ABC中三边上的高依次为，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形7．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（）A．5N B．5N C．10N D．5N8．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）9．定积分|sinx﹣cosx|dx的值是（）A．2+B．2﹣C．2 D．210．已知函数f（x）=sin2x﹣（x∈[0，π]），g（x）=x+3，点P（x1，y1），Q（x2，y2）分别位于f（x），g（x）的图象上，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=Acos2（ϖx+φ）+1（A＞0，ϖ＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f （3）+…+fA．2468 B．3501 C．4032 D．573912．已知三角形ABC内的一点D满足•=•=•=﹣2，且||=||=||．平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．14．已知P是△ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2+=（λ+1）+，且△PBA与△PBC的面积相等，则实数λ的值为．15．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且btanA，ctanB，btanB成等差数列，则角A的大小是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+18．如图，在多面体ABCD﹣EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FBD；（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在求出BP的长，若不存在请说明理由．19．为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄（单位：岁）[22，52]在内的游客中随机抽取了1000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图（2）从年龄在[42，52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47，52]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，△ABF2的周长等于4，点A、B在椭圆C上，且F1在边AB上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N，求△PMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：ln[1+]+ln[1+]+…+ln[1+]＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中参数t∈R，a为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求曲线C普通方程；（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|=，求常数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）求函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积S．2016-2017学年河南省新乡一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈R|≤0}，B={x∈R|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．{1}∪[2，+∞）D．（1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集，根据A与B的交集为空集，分两种情况考虑：B为空集与B不为空集，求出满足题意a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤4，即A=（﹣1，4]，由B中不等式解得：2a＜x＜a2+1，即B=（2a，a2+1），∵A∩B=∅，∴分两种情况考虑：当B=∅时，2a=a2+1，即a=1；当B≠∅时，则有2a≥4或a2+1≤﹣1，即a≥2，综上，实数a的范围为{1}∪[2，+∞）．故选：C．2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．3．已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ，使=λ+μ成立．根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围．【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量∵=（1，2），=（m ，3m ﹣2）由向量、不共线⇔解之得m ≠2所以实数m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠2}． 故选D4．已知把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g （x ），则函数g （x ）的一条对称轴为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦公式可得f （x ）=2sin （x +），再由相位变换、周期变换可得g（x ）=2sin （x +），再令x +=k π+，k ∈Z ，解方程可得对称轴方程，对照选项，即可得到答案．【解答】解：函数=2（sinx +cosx ）=2sin （x +），由f （x ）的图象向右平移个单位，可得对应函数的解析式为y=2sin （x ﹣+），即y=2sin （x +），再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g （x ）=2sin （x +），由x +=k π+，k ∈Z ，可得x=2k π+，k ∈Z ，当k=0时，x=，故选：B ． 5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =2n ﹣1+k ，则f （x ）=x 3﹣kx 2﹣2x +1的极大值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据等比数列的性质求出k 的值，从而求出f （x ）的解析式，根据函数的单调性求出f （x ）的极大值即可．【解答】解：根据S n =2n ﹣1+k ，得到a 1=k ，S n ﹣1=2n ﹣2+k ，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n ﹣1+k ）﹣（2n ﹣2+k ）=2n ﹣1﹣2n ﹣2=2n ﹣2（2﹣1）=2n ﹣2，n ≥2，再根据{a n }是等比数列，所以{a n }是以为首项，2为公比的等比数列，则k的值为﹣，f（x）=x3+x2﹣2x+1，f′（x）=3x2+x﹣2=（3x﹣2）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）的极大值是f（﹣1）=．故选：B．6．△ABC中三边上的高依次为，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．【分析】利用已知条件结合三角形的面积推出三边关系，然后利用余弦定理判断求解即可．【解答】解：设△ABC三边分别为a，b，c，，所以，设a=13k，b=11k，c=5k（k＞0）．因为11k+5k＞13k，故能构成三角形，取大角A，，所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．7．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（）A．5N B．5N C．10N D．5N【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的加减法及其几何意义，求得||的值．【解答】解：两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为||=10•cos60°=5（N ），如图所示：故选：B．8．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（﹣x）=f（x），则f（x+1）＞3可变为f（|x+1|）＞3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+1|的范围，再求x范围即可．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，因为当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，所以f（﹣x）=x2+2x，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2+2x，因为f（x）为偶函数，所以f（|x+1|）=f（x+1），则f（x+1）＞3可化为f（|x+1|）＞3，即|x+1|2+2|x+1|＞3，（|x+1|+3）（|x+1|﹣1）＞0，所以|x+1|＞1，解得：x＞0或x＜﹣2，所以不等式f（x+1）＞3的解集是{x|x＞0或x＜﹣2}，故选：B．9．定积分|sinx﹣cosx|dx的值是（）A．2+B．2﹣C．2 D．2【考点】定积分．【分析】由题意可得|sinx﹣cosx|dx=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx 再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解： |sinx﹣cosx|dx=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx，=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|，=[（sin +cos ）﹣（sin0+cos0）]﹣[（sin π+cos π）﹣（sin+cos ）]，=（﹣1）﹣（﹣1﹣），=2， 故选：D10．已知函数f （x ）=sin2x ﹣（x ∈[0，π]），g （x ）=x +3，点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）分别位于f （x ），g （x ）的图象上，则（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两点间的距离公式．【分析】求出与直线g （x ）=x +3平行时切点的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f ′（x ）=2cos2x=1，可得x=或，x=时，f （x ））=0，到直线g （x ）=x +3的距离为，∴（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（）2=，故选A ．11．已知函数f （x ）=Acos 2（ϖx +φ）+1（A ＞0，ϖ＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x ）的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+fA ．2468B ．3501C ．4032D ．5739 【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f （x ）=cos （2ωx +2φ）+1+，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．【解答】解：∵函数f （x ）=Acos 2（ωx +φ）+1=A •+1=cos （2ωx +2φ）+1+ （A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，可求：A=2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：=4，∴解得：ω=．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，解得：φ=．∴函数的解析式为：f（x）=cos（x+）+2=﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f+2×2016=504×0+4032=4032．故选：C．12．已知三角形ABC内的一点D满足•=•=•=﹣2，且||=||=||．平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣）．根据动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ），M（，），求得得坐标，计算=，根据正弦函数的有解性求得它的最大值．【解答】解：∵三角形ABC内的一点D满足：•=•=•=﹣2，且||=||=||，∴可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），∵动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ），M（，），∴=（，），∴=+=≤，当且仅当sin（﹣θ）=1时取等号，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为﹣．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【解答】解：作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（），由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移y=﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以．故答案为：﹣．14．已知P是△ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2+=（λ+1）+，且△PBA与△PBC的面积相等，则实数λ的值为﹣1．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】通过D为AB的中点，得到2，结合已知2+=（λ+1）+得到+=（λ+1）+，整理得，利用△PBA与△PBC的面积相等，得到P 为AC的中点，求得λ．【解答】解：∵D为AB的中点，∴2，又∵2+=（λ+1）+，∴+=（λ+1）+，∴，又∵△PBA与△PBC的面积相等，∴P为AC的中点，所以λ=﹣1；故答案为：﹣115．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x n，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0，得x n=．∴x1x2x3•…•x2015==则log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015=log2016（x1x2x3•…•x2015）=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且btanA，ctanB，btanB成等差数列，则角A的大小是．【考点】等差数列的性质；正弦定理．【分析】btanA，ctanB，btanB成等差数列，可得2ctanB=btanA+btanB，利用正弦定理化为cosA=，因为由A∈（0，π），即可得出A=．【解答】解：在△ABC中，∵btanA，ctanB，btanB成等差数列，∴2ctanB=btanA+btanB，∴2sinC•=sinB•+sinB•，化为sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，∴sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．故答案是：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出a n；（2）由（1）化简和对数的运算法则化简b n=log2，代入c n=化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T n，即可求出答案．【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a n=3S n﹣1+4（n≥2），当n=2时，a2=3S1+4=7，当n≥2时，由a n=3S n﹣1+4（n≥2），得a n+1=3S n+4，两式相减得，a n+1=4a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，则（n≥2），此时对n=1不成立，∴；（2）由（1）得，b n=log2==2n，则c n==，∴，①，②①﹣②得，=﹣=，∴，即．18．如图，在多面体ABCD﹣EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FBD；（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在求出BP的长，若不存在请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）AC∩BD=O，连接HO，FO，推导出四边形EHOF为平行四边形，由此能证明EH∥平面FAC．（Ⅱ）推导出EH⊥AD，AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥平面AED，由此能证明EH⊥平面ABCD．（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段BC上是存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为，且BP=0．【解答】证明：（Ⅰ）AC∩BD=O，连接HO，FO，因为ABCD为正方形，所以O是AC中点，又H是AD中点，所以OH∥CD，OH=，EF∥AB，EF=，所以EF∥OH且EF=OH，所以四边形EHOF为平行四边形，所以EH∥FO，又因为FO⊂平面FAC，EH⊄平面FAC．所以EH∥平面FAC．（Ⅱ）因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD，又因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面AED，因为EH⊂平面AED，所以AB⊥EH，所以EH⊥平面ABCD．解：（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标系，∵AB=2EF=2，∴B（0，，0），C（﹣，0，0），F（0，0，1），D（0，﹣，0），设P（a，b，0），，0≤λ≤1，即（a，b﹣，0）=λ（﹣，﹣，0），∴a=﹣，，P（﹣，，0），=（0，﹣，﹣1），=（﹣，，﹣1），平面BDF的法向量=（1，0，0），设平面PDF的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2）∵二面角B﹣FD﹣P的大小为，∴cos=|cos＜＞|=||=，解得λ=0，∴线段BC上是存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为，且BP=0．19．为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄（单位：岁）[22，52]在内的游客中随机抽取了1000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图1000（2）从年龄在[42，52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47，52]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据题意可得，年龄在[37，42）内的频率为1﹣（0.01+0.02×2+0.03×2）×5，即可得出年龄在[37，42）内的人数及其m．年龄在[27，32）内的频率为0.02×5，即可得出n．（2）由题意采用分层抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42，47）内且满意的人数与年龄在[47，52]内且满意的人数分别为6，4．依题意可得X=0，1，2，3，4．利用古典概率计算公式、超几何分布列及其数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据题意可得，年龄在[37，42）内的频率为1﹣（0.01+0.02×2+0.03×2）×5=0.45，故年龄在[37，42）内的人数为450，则，年龄在[27，32）内的人数为1000×0.02×5=100，故n=100×0.95=95．（2）因为年龄在[42，47）内且满意的人数为员144，年龄在[47，52]内且满意的人数为96，因此采用分层抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42，47）内且满意的人数与年龄在[47，52]内且满意的人数分别为6，4．依题意可得X=0，1，2，3，4．．X的分布列为：．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，△ABF2的周长等于4，点A、B在椭圆C上，且F1在边AB上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N，求△PMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4可知a=，利用=可知，通过可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0，y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵△ABF2的周长等于4，且F1在边AB上，∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4，∴，即a=，又∵=，∴，∴==1，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1；（2）依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，又∵b=﹣kx0+y0，∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，∵△=3y02+x02﹣3＞0，∴k1•k2=，又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，∴k1•k2==﹣1，∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，∴MN为圆O的直径，显然当P点为P（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为4•2=4．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：ln[1+]+ln[1+]+…+ln[1+]＜2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，a﹣alna﹣1≥0对a＞0恒成立，即可求实数a 的值；（Ⅲ）方法一：要证原不等式成立，只需证：，即证：；方法二：n≥2时，==，即可证明结论成立．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=e x﹣a∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．a＞0时，x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0）∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减∴g（a）≤g（1）=0故g（a）=0，得a=1（Ⅲ）证明：方法一：由（Ⅱ）e x≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），则x＞0时，ln（1+x）＜x要证原不等式成立，只需证：，即证：下证①⇔4（32k﹣2•3k+1）≥3•32k﹣4•3k+1⇔32k﹣4•3k+3≥0⇔（3k﹣1）（3k﹣3）≥0①中令k=1，2，…，n，各式相加，得=＜1成立，故原不等式成立．方法二：n=1时，，n≥2时，==，n≥2时，＜2[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中参数t∈R，a为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求曲线C普通方程；（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|=，求常数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的方程为，ρ=2cos（θ+），即ρ2=2×（cosθ﹣sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t2+at+a2﹣2=0，△＞0，由参数t的含义知：|AB|=|t1﹣t2|=，把根与系数的关系代入即可得出．【解答】解：（1）曲线C的方程为，ρ=2cos（θ+），即ρ2=2×（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x﹣2y，配方后为（x﹣1）2+（y+1）2=2．（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得： +=2，化为t2+at+a2﹣2=0，△=a2﹣4（a2﹣2）＞0，解得a2．∴t1+t2=﹣a，t1•t2=a2﹣2，由参数t的含义知：|AB|=|t1﹣t2|===，化为8﹣3a2=5，化为a2=1，满足△＞0，解得a=±1，综上：常数a的值为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）求函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积S．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）画出函数的图象，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）x≥1时：x+1﹣2（x﹣1）≥1，解得：1≤x≤2，﹣1＜x＜1时：x+1+2（x﹣1）≥1，解得：≤x＜1，x≤﹣1时：﹣（x+1）+2（x﹣1）≥1，解得：x≥4，不合题意，综上，不等式的解集是[，2]；（2）f（x）=，如图示：显然A（1，2），B（，0），C（3，0），=××2=．故S△ABC2017年1月6日。

河南省顶级名校2017届高三10月月考数学（文）试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合错误！未找到引用源。

，则集合B不可能是（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

2．错误！未找到引用源。

是虚数单位，若错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

），则错误！未找到引用源。

的值是（）A．错误！未找到引用源。

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C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

3．曲线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

4．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

6．已知函数错误！未找到引用源。

的图像在点错误！未找到引用源。

处的切线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

平行，若数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

7．已知函数f （x ）=x 2﹣2cosx ，对于错误！未找到引用源。

上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2；②错误！未找到引用源。

；③|x 1|＞x 2；④x 1＞|x 2|，其中能使错误！未找到引用源。

恒成立的条件个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知O 为坐标原点，双曲线错误！未找到引用源。