2010-2019 解析几何第二十四讲 直线与圆真题汇编

抛物线方程及其几何性质，抛物线的定点问题文21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题2020卷1理11直线与圆直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质文6直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题卷2理5文8直线与圆直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式卷3理10直线与圆直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义文8直线与圆点到动直线距离公式的最值问题考点86直线方程与圆的方程1．(2020全国Ⅲ文6)在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB为半径的圆．故选：A ．2．(2020全国Ⅲ文8)点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为()A ．1B．C．D ．2【答案】B【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =3．(2015北京文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=．4．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=．5．【2017·天津文】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠==-⋅，解得m =，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则m =所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．6．【2016·浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】(2,4)--；5．【解析】由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215((1)24x y +++=-不表示圆．7．【2016·天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)9.x y -+=【解析】设(,0)(0)C a a >2,3a r =⇒==，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=8．(2011辽宁文)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．【答案】22(2)10x y -+=【解析】以题意设圆C 的方程为222()x a y r -+=，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r⎧-+=⎨-+=⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩，所以圆C ：22(2)10x y -+=．考点87两直线的位置关系9．【2016·上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________．【答案】255【解析】利用两平行线间距离公式得25d 5===10．(2011浙江文)若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =．【答案】1【解析】当0m =时，两直线不垂直，故0m ≠．因为直线250x y -+=与直线260x my +-=的斜率分别为12和2m -，由12(12m⨯-=-，故1m =．考点88点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系11．(2020·新课标Ⅰ文)已知圆2260x y x +-=，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2==．12．(2020·新课标Ⅱ文理5)若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为()A ．55B ．552C ．553D ．554【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离．【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，∴圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线230x y --=的距离均为255d ==，∴圆心到直线230x y --=．故选B ．13．(2020全国Ⅰ理11】已知⊙22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为()A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，∴直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，∴12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．∴以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程，故选D ．14．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A ．15．(2019北京文8)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为(A)4β+4cosβ(B)4β+4sinβ(C)2β+2cosβ(D)2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-．此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+．故选B ．16．【2018·全国Ⅲ文】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣【答案】A【解析】 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则22AB =．点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为(2，0)，则圆心到直线的距离1202222d ++==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎣，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△．故答案为A ．17．【2018高考全国2理2】已知集合(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z ，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．试题解析：2223,3x y x +≤∴≤ ，又,1,0,1x x ∈∴=-Z ．当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，选A ．【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．18．【2018高考全国3理6】直线20x y ++=分别与x 轴y 交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是()A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =点P 在圆()2222x y -+=上，∴圆心为()2,0，则圆心到直线距离1d ==，故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△，故选A ．19．【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离．当,m θ变化时，d 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +．试题解析：22cos sin 1P θθ+=∴ ,为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ．【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 25所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =- ，(0,1)AB =- ，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，|2|21514+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．21．【2016·山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是2M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】由2220x y ay +-=(0a >)得()222x y a a +-=(0a >)，所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是22222222()211=a +-，解得2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以()()2201212MN =-+-=，123r r +=，121r r -=，因为1212r r MN r r -<<+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．22．【2016·北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为()A ．1B ．2C D ．2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C ．23．【2016·新课标2文数】圆x 2+y 2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=()(A)−43(B)−34(D)2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．24．(2015安徽文)直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =．25．(2015新课标2文)已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34【答案】B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC 23(1,3，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为213=．26．(2015山东理)一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230k x y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．27．(2015广东理)平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B．20x y +=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D．20x y -+=或20x y --=【答案】A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c=，所以c =，故所求直线的方程为250x y ++=或250x y +-=．28．(2015新课标2理)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==29．(2015重庆理)已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．30．(2014新课标2文理)设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦，【答案】A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠< ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =C ，故选A ．31．(2014福建文)已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．32．(2014北京文)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．33．(2014湖南文)若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．34．(2014安徽文)过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．35．(2014浙江文)已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离2211d ==+，所以2422r a =+=-，故4a =-．36．(2014四川文)设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．[5,25]B ．[10,25]C ．[10,45]D ．[25,45]【答案】B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠102sin()4PAB π=∠+ [10,25]∈．故选B ．37．(2014江西文)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(625)π-D ．54π【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时425r =25r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==．38．(2014福建理)已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．39．(2014北京理)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．40．(2014湖南理)若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．41．(2014安徽理)过点P ）（13--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．30π，（C ．60[π，D ．]30[π，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．42．(2014浙江理)已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d ==所以2422r a =+=-，故4a =-．43．(2014四川理)设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠4PAB π=∠+∈．故选B ．44．(2014江西理)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==．45．(2013山东文)过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为()A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2．46．(2013重庆文)已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4-B 1-C ．6-D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444-=，故选A ．47．(2013安徽文)直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=．48．(2013新课标2文)已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】(1)当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，(2)当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-，∵0a >，∴12b <(3)当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭，21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=，即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+，∵0a >，∴22410b b -+<，解得221122b -<<+．综上：21122b -<<，故选B ．49．(2013陕西文)已知点M(a ，b)在圆221:O x y +=外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交，故选B ．50．(2013天津文)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ．51．(2013广东文)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =．52．(2013新课标2文)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．3(1)3y x =-或3(1)3y x =--C．1)y x =-或1)y x =-D ．2(1)2y x =-或2(1)2y x =--【答案】C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =，则1(3,(,33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则123(3,(,)33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，选C ．53．(2013山东理)过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-．54．(2013重庆理)已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4-B 1-C ．6-D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444-=，故选A ．55．(2013安徽理)直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=．56．(2013新课标2理)已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】(1)当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，(2)当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-，∵0a >，∴12b <．(3)当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭，21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=，即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+，∵0a >，∴22410b b -+<，解得221122b -<<+综上：21122b -<<，故选B ．57．(2013陕西理)已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离2211d a b=<+=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．58．(2013天津理)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ．59．(2013广东理)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y ++=【答案】A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =．60．(2013新课标2理)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．3(1)3y x =-或3(1)3y x =--C．1)y x =-或1)y x =-D．(1)2y x =-或(1)2y x =--【答案】C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =，则123(3,(,33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则1(3,(,)33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l的方程是1)y x =-或1)y x =-，选C ．61．(2012浙江文)设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件是(1)2a a +=，解得，1a =或2a =-，所以是充分不必要条件．62．(2012天津文)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞∞C ．[2-D ．(,2)-∞-∞ 【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞ ．63．(2012湖北文)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y + 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k =，故所求直线的斜率为–1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y ．故选A ．64．(2012天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于()()A()B ()C ()D 1【答案】B 【解析】圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==，弦AB 的长AB ==．65．(2012浙江理)设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件是(1)2a a +=，解得，1a =或2a =-，所以是充分不必要条件．66．(2012天津理)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞∞C ．[2-D ．(,2)-∞-∞ 【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞ ．67．(2012湖北理)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y + 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k =，故所求直线的斜率为-1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y ．故选A ．68．(2012天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．1【答案】B 【解析】圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==弦AB 的长AB ==．69．(2011北京文)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y +-=，||AB =由于ABC ∆的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122⨯=，即h =，2=2|2|2t t +-=，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．70．(2011江西文)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3文)B ．(3-，0) (0，3)C ．[33-，33]D ．(-∞，33-) (33，+∞)【答案】B 【解析】221:(1)1C x y -+=，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x =+，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l 的距离1d r =<=，解得33(,)33m ∈-，又当0m =时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．71．(2011北京理)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y =x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y +-=，||AB =由于ABC ∆的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122⨯=，即h =，2=2|2|2t t+-=，解得有4个实根，故这样的点C有4个．72．(2011江西理)若曲线1C：2220x y x+-=与曲线2C：()0y y mx m--=有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．(33-，33)B．(33-，0) (0，33)C．[33-，33]D．(-∞，33-) (33，+∞)【答案】B【解析】221:(1)1C x y-+=，2C表示两条直线即x轴和直线l：(1)y m x=+，显然x轴与1C有两个交点，由题意l与2C相交，所以1C的圆心到l的距离1d r=<=，解得(,33m∈-，又当0m=时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B．73．【2020年高考天津卷12】已知直线80x-+=和圆222(0)x y r r+=>相交于,A B两点．若||6AB=，则r的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x+=的距离4d==，由l=6=，解得=5r．74．【2020年高考浙江卷15】设直线:(0)l y kx b k=+>，圆221:1C x y+=，222:(4)1C x y-+=，若直线l 与1C，2C都相切，则k=；b=．【答案】33；233-【解析】由题意可知直线l是圆1C和圆2C的公切线，∵0k>，为如图所示的切线，由对称性可知直线l必过点()2,0，即20k b+=①1==，②由①②解得：33k =，233b =-，故答案为：33；233-．75．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系xOy 中，已知,0)2P ，A B 、是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是________．【答案】【解析】如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，则：∵PA PB =，6CA CB R ===，∴PC AB ⊥，EF 为垂径．要使面积PAB S ∆最大，则P D 、位于C 两侧，并设CD x =，计算可知1PC =，故1PD x =+，2AB BD ==，故1(12PAB AB PD S x ∆=⋅=+，令6cos x θ=，(1(16cos )6sin 6sin 18sin 2PABS x θθθθ∆=+=+⋅=+，02q π<≤，记函数()6sin 18sin 2f θθθ=+，则2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f θθθθθ'=+=+-，令2()6(12cos cos 6)0f θθθ'=+-=，解得2cos 3θ=(3cos 04θ=-<舍去)显然，当20cos 3θ≤<时，()0f θ'<，()f θ单调递减；当2cos 13θ<<时，()0f θ'>，()f θ单调递增；结合cos θ在(0,2π递减，故2cos 3θ=时()f θ最大，此时5sin 3θ==，故max 552()636333f θ=⨯+⨯⨯=，即PAB ∆面积的最大值是．(注：实际上可设BCD θ∠=，利用直角BCD ∆可更快速计算得出该面积表达式)76．【2019·浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===77．【2018·全国I 文】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为．78．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-= ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D ．所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅= 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =79．【2018高考上海12】已知实数1212x x y y ,,,满足：22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=，则∣∣∣∣的最大值为．+【解析】试题分析：由已知可得点()()1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y +=上．又由121212x x y y +=，容易想到向量的数量积，从而得AOB ∠的大小．而容易想到点()11,A x y 到直线10x y +-=的距离，因此问题转化为圆上两点()()1122,,,A x y B x y 到直线10x y +-=距离和的最大值问题，再三角换元，进而应用三角函数来求最大值．试题解析：由已知可得两点()()1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y +=上．121211,cos ,223OA OB x x y y AOB AOB OA OB ⋅π+=∴∠==∴∠=⋅．设()cos ,sin ,cos ,sin 33A B θθθθ⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则+=．已知点()()1122,,,A x y B x y 在直线10x y +-=sin 1cos sin 1331313sin 1cos sin sin cos 1222233cos sin 2222262cos 4θθθθθθθθθθθθθππ⎛⎫⎛⎫=+-++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+-+-++-⎫⎛=++--⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭=62sin 412θθ⎤-+-⎥⎦5π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当且仅当122θ5π3π+=即12θ13π=++．80．(2017江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，如图由250x y -+≤可知，P 在 MN 上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --，所以P 点横坐标的取值范围为[-．81．【2016·四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．【答案】②③【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x ，则其伴随点为(sin ,cos )P x x '-，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与曲线(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y --=++与2222(,)0y xf x y x y-=++，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2222(,)0y x f x y x y --=++与2222(,)0y xf x y x y-=++关于y 轴对称，所以③正确；对于④，取直线y kx b =+上一点P(x ，y)，则其伴随点2222(,)y xx y x y-++，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题为②③．82．[2016·新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________．【答案】4【解析】由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==．又直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．83．【2016·新课标1文数】设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若 =23，则圆C 的面积为．【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||AB =圆心C 到直线2y x a =+，所以得222()22a +=+，则22,a =所以圆的面积为2π(2)4πa +=．84．(2015重庆文)若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【答案】250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=．85．(2015湖南文)若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=(O为坐标原点)，则r =_____．【答案】2【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞）交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心(0,0)到直线3450x y -+=的距离为2r 2r=，∴2r =．86．(2015湖北文)如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，且||2AB =．(1)圆C 的标准方程为．(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为．【答案】(Ⅰ)22(1)(2x y -+-=；(Ⅱ)1-【解析】(Ⅰ)设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r ==，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+-=．(Ⅱ)令0x =得：1)B ．设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -+=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =．即圆C 在点B处的切线方程为1)y x =+，于是令0y =可得1x =，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1-，故应填22(1)(2x y -+-=和1-．87．(2015湖北理)如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，且2AB =．(Ⅰ)圆C 的标准．．方程为；(Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=；②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是．(写出所有正确结论的序号)【答案】(Ⅰ)22(1)(2x y -+-=；(Ⅱ)①②③【解析】(Ⅰ)由题意，设(1,)C r (r 为圆C 的半径)，因为||2AB =，所以r ==，所以圆心C ，故圆C的标准方程为22(1)(2x y -+=．(Ⅱ)由220(1)(2x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为B 在A的上方，所以1)A -，1)B +．不妨令直线MN 的方程为0x =，(0,1)M -(0,1)N ，所以||MA =，||2MB =+，||2NA =-||NB =，所以||1||NA NB ==，||1||MA MB ==，所以||||||||NA MA NB MB =，所以。

考点21 直线与圆1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【命题立意】本题主要考查直线平行问题.【思路点拨】可设所求直线方程为20x y c -+=，代入点（1，0）得c 值，进而得直线方程.【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）(A)22(5)5x y -+= (B)22(5)5x y ++=(C)22(5)5x y -+= (D)22(5)5x y ++=【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】选D .设圆心为(,0)(0)a a <，则2220512a r +⨯==+，解得5a =-，所以所求圆的方程为：22(5)5x y ++=，故选D .3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)． 则圆C 的方程为 .【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键. 【思路点拨】由题意得出圆心既在线段AB 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径,从而得解.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在线段AB 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，AB 的中垂线为3x =，联立半径2r CA ==22(3)2x y -+=.【答案】22(3)2x y -+=4.（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】设圆心坐标为(,0)a ，则022a +=，解得2a =±，又圆心位于y 轴左侧，所以2a =-.故圆O 的方程为22(2)2x y ++=. 【答案】22(2)2x y ++=5.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切.则圆C 的方程为【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系. 【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径.【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故22r ==，所以圆的方程为2x+1y 2+=2（）. 【答案】2x+1y 2+=2（） 6.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ 【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系.【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线12x-5y+c=0的距离小于1，从而求出c 的取值范围.【规范解答】如图，圆422=+y x 的半径为2， 圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1, 问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的 距离小于1.1,13,1313.c c <<∴-<<【答案】1313c -<<7.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.8.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解. 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=故所求圆的方程为22(3) 4.x y -+=. 【答案】22(3)4x y -+=【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.9.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 . 【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1”；第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.【规范解答】设PQ 的垂直平分线的斜率为k ，则k ·ab ba ----33=-1，∴k=-1，而且PQ 的中点坐标是(23b a -+ ,23b a +-)，∴l 的方程为：y-23b a +-=-1·(x-23b a -+ )，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴所求圆的方程为：x 2+(y-1)2=1. 【答案】-1 x 2+(y-1)2=1【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c 的对称点是(b-c,a+c).10.（2010·北京高考理科·Ｔ１9）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (1)求动点P 的轨迹方程.(2)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题的能力，考查了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】（1）设出点P 的坐标，利用AP 与BP 的斜率之积为13-，可得到点P 的轨迹方程.（2）方法一：设出00(,)P x y ，把PAB ∆和PMN ∆的面积表示出来，整理求解；方法二：把△PAB 与△PMN 的面积相等转化为||||||||PA PN PM PB =，进而转化为0000|1||3||3||1|x x x x +-=--. 【规范解答】（1）因为点B 与点A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1,1)-.设点P 的坐标为(,)x y ， 由题意得111113y y x x -+=-+-，化简得 2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±.（2）方法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=--， 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-，于是PMN ∆的面积为2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x S y y x x ∆+-=--=-， 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =， 于是PAB ∆的面积为001||||2PAB S AB d x y ∆==+， 当PABPMN S S ∆∆=时，有20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=-， 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得053x =. 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（方法二：若存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠， 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB =，所以0000|1||3||3||1|x x x x +-=--， 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53=， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（.。

专题九 解析几何第二十四讲 直线与圆2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β 2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.5（2019全国1文21）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ． 2．（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为A ．1B ．2CD ．3．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43B ．−34C D ．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=6．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或127．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34 8．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．⎡⎢⎣⎦ 9．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=10．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．411．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-12．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 13．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－814．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．15．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π16．（2013山东）过点（3，1）作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=17．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D18．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．19．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．113⎛⎤-⎥ ⎦⎝ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2013陕西）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定21．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1222．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=23．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或(1)2y x =-- 24．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞-∞UC ．[2-D ．(,2)-∞-∞U26．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=27．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A ()B ()C ()D 128．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 29．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（33-，33）B ．（33-，0）U （0，33） C ．[33-，33] D ．（-∞，33-）U （33，+∞） 30．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++= C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-= 31．（2010广东）若圆心在x 5O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5)5x y +=B ．22(5)5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题32．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__． 33．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__．34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ．35．（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．36．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 37．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．38．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为45，则圆C 的方程为__________ 39．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||23AB =，则圆C 的面积为 .40．（2016年全国III 卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.41．（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．42．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____．43．（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为 ．（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 ．44．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．45．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．46．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．47．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．48．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．49．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．50．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．51．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .52．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______.53．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .54．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .55．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___56．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．57．（2010新课标）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ．58．（2010新课标）过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__三、解答题59．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN =∠∠．60．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．61．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r 求实数t 的取值范围．62．（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN ．63．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？64．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上. ylO A（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.65．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为23（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程。

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (18)1．（1）设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=______，其中P=12（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=_________【答案】（1）sp（2）1a+b-c)2（【解析】试题分析：（1）I为△ABC内心，根据S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC列式整理即可得出结论；（2）根据切线的性质得出∠IDC＝∠IEC＝90°，OE＝OD，∠C＝90°得出四边形IDCE是正方形，则CE＝CE＝r，然后根据切线长定理用r表示AF、BF，最后根据AF＋BF＝AB列式整理即可得出r．试题解析：（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，则S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC，∴S＝12c·r＋12a·r＋12b·r＝12(a＋b＋c)r＝Pr，则r＝sp；（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C＝90°，ID＝IE，∴四边形DIEC为正方形，∴CE＝CD＝r，∵⊙I是△ABC的内切圆，∴AD＝AF＝b－r，BE＝BF＝a－r，∴b－r＋a－r＝c，∴r＝12（a＋b－c）．2．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．（1）求证：∠PAB=∠C．（2）如果PA2=PD·PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析（2）3 2【解析】试题分析：（1）过A点作直径AF，连接BF，求得∠ABF＝90°，即∠F＋∠BAF＝90°，P A切⊙O 于点A．得出∠P AF＝90°，即∠P AB＋∠BAF＝90°，从而求得∠P AB＝∠F，根据同弧所对的圆周角相等得出∠F＝∠C，进而求得∠P AB＝∠C；（2）由P A2＝PD•PE求得PE＝4，因为DE＝PE－PD，即可求得圆的直径，从而求得圆的半径．试题解析：（1）证明：过A点作直径AF，连接BF，∴∠ABF＝90°，∴∠F＋∠BAF＝90°，∵P A切⊙O于点A．∴∠P AF ＝90°，∴∠P AB ＋∠BAF ＝90°∴∠P AB ＝∠F ，∵∠F ＝∠C ，∴∠P AB ＝∠C ；（2）解：∴P A 2＝PD •PE ，∵P A ＝2，PD ＝1，∴PE ＝4，∴DE ＝PE －PD ＝4－1＝3，∴OD ＝O E ＝32， ∴⊙O 的半径为32； 点睛：本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 3．如图所示，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，点C 在⊙O 上，BD 是⊙O 的弦，∠A =∠CBD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交BD 于点G ，过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）求证：CG =BG ；（3）若∠DBA =30°，CG =4，求BE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证得BC DC ，根据垂径定理得到OC ⊥BD ，根据CE ∥BD 推出OC ⊥CE ，即可得到结论；（2）根据圆周角定理得出∠ACB =90°，然后根据同角的余角相等得出∠A =∠BCF ，即可证得∠BCF =∠CBD ，根据同角对等边即可证得结论；（3）连接AD ，根据圆周角定理得出∠ADB =90°，即可求得∠BAD =60°，根据圆周角定理得出∠DAC =∠BAC =30°，解直角三角形求得BC AC =tan30°然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE 的值．（1）证明：连接OC ，∵∠A =∠CBD ，∴BC DC =，∴OC ⊥BD ，∵CE ∥BD ，∴OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∵CF ⊥AB ，∴∠ACB =∠CFB =90°，∵∠ABC =∠CBF ，∴∠A =∠BCF ，∵∠A =∠CBD ，∴∠BCF =∠CBD ，∴CG =BG ；（3）解：连接AD ，∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，∵∠DBA =30°，∴∠BAD =60°，∵BC DC =，∴∠DAC =∠BAC =12∠BAD =30°，∴BC AC =tan30°=∵CE ∥BD ，∴∠E =∠DBA =30°，∴AC =CE ，∴BC CE ∵∠A =∠BCF =∠CBD =30°，∴∠BCE =30°，∴BE =BC ，∴△CGB ∽△CBE ，∴CG BC=BC CE =3，∵CG =4，∴BC =∴BE =点睛：本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，连结AC 交⊙O 于D ，若8cm BC =，DO ⊥AB ，则⊙O 的半径OA =___________cm ．【答案】4【解析】∵CB 切⊙O 于B ,∴BC ⊥AB ，又∵DO ⊥AB ，又∵点O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，又∵8BC =cm ，∴OD=4cm,又∵OA=OD,∴OA=4cm.故答案是：4.5．△ABC 中，AB =1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程（m +5）x 2-（2m -5）x +12=0两个根，外接圆O 的面积为4π，求m 的值． 【答案】20.【解析】试题分析：首先根据圆的面积得出圆的半径，从而知道AB 为直径，则221AC BC +=，然后根据韦达定理得出AC+BC 和AC·BC 的值，然后进行代入求出m 的值． 试题解析：∵πR 2=4π，∴R=12， ∵AB=1，∴AB 为⊙O 直径， ∴AC 2+BC 2=1，即（AC+BC ）2-2AC·BC=1， ∴225()5m m -+-2·125m +=1， 2m -18m-40=0，∴m=20或m=-2， 当m=-2时，△<0（舍去）， ∴m=20． 点睛：本题主要考查的就是垂径定理以及一元二次方程韦达定理的综合应用问题，难度在中等．在解决这个问题的时候，关键就是根据垂径定理得出221AC BC +=，然后利用韦达定理求出m 的值，在最后的时候我们还需要对求出的m 的值进行验证，从而得出最终的答案．在解决综合性问题的时候一定要理清思路，找出知识点之间的联系．6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是弧AB 上一点，连结CD ，并延长至E ，连结AD ，若AB =AC ，∠ADE =65°，试求∠BOC 的度数．【答案】100°试题分析：首先根据外接四边形的性质求出∠C 的度数，然后根据等腰三角形的性质求出∠BAC 的度数，最后根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出∠BOC 的度数．试题解析：∵四边形ADBC 为圆的外接四边形，∴∠C=∠ADE=65°，∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=65°， ∴∠BAC=50°，∵∠BOC 和∠BAC 是同弧所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOC=2∠BAC=100°．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 分别在两个半圆上（不与点A 、B 重合），AD 、BD 的长分别是关于x 的方程221(10225)04x m m -+-+=＝0的两个实数根． （1）求m 的值；（2）连接CD ，试探索：AC 、BC 、CD 三者之间的等量关系，并说明理由；（3）若CD ＝AC 、BC 的长．【答案】（1）5；（2）AC ＋BC C D ；(3) AC ＝6，BC ＝8或AC ＝8，BC ＝6．【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程有两个实数根可得:(()22141102254m m --⨯⨯-+≥0,解得()25m -≤0,因为()25m -≥0,所以m ＝5, (2)把(1) m ＝5代入方程得,240b ac -=,所以AD=BD , 将△ADC 绕点D 逆时针旋转90°后得△BDE ,根据圆内接四边形对角互补可得: ∠DAC ＋∠DBC ＝180°,所以∠DBE ＋∠DBC ＝180°,可证△CDE为等腰直角三角形,所以AC ＋BC ＝CE ,(3) 由(2)得,AC ＋BC CD ⨯＝14,由勾股定理可得: AC 2＋BC 2＝102＝100, 联立可解得: AC ＝6,BC ＝8或AC ＝8，BC ＝6.试题解析:（1）由题意,得 b 2－4ac ≥0,∴(()22141102254m m --⨯⨯-+≥0, 化简整理得, 21025m m -+-≥0,∴21025m m -+≤0，即()25m -≤0,又∵()25m -≥0,∴m ＝5,（2）AC ＋BC C D,理由是:如图,由(1)得, 当m ＝5时,240b ac -=,∴ AD ＝B D,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°,将△ADC 绕点D 逆时针旋转90°后得△BDE ,∴△ADC ≌△BDE ,∴∠DAC ＝∠DBE ,∵∠DAC ＋∠DBC ＝180°,∴∠DBE ＋∠DBC ＝180°,∴点C ,B ,E 三点共线,∴△CDE 为等腰直角三角形,∴CE D,即AC ＋BC D,(3)由(1)得,当m ＝5时,b 2－4ac,∴ AD ＝BD ＝,∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°,∴AB ＝10,∴AC 2＋BC 2＝102＝100①,由(2)得,AC ＋BC ⨯14②,由①②解得AC ＝6,BC ＝8或AC ＝8,BC ＝6.8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA＝CB．⑴求点B的坐标；A O与⊙P的位置关⑵如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线''系，并说明理由.【答案】⑴点B（8，0）⑵直线A′O′与⊙P相切【解析】试题分析：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.可以由已知坐标求出AF长，Rt△ACF≌Rt△BCE,可以求出BE＝AF，得到OB长.(2) AB的中点即为圆心P,取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q,利用旋转条件，RP⊥A′O′.,最终得到四边形RBO′Q是矩形, 圆心P到直线A′O′的距离，和半径相等，所以可以得到直线A′O′与⊙P相切.⑴过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.∴∠CFO＝∠CEO＝∠CEB=90°,∵∠AOB＝90°,∴四边形FOEC是矩形,∴∠FCE＝90°,∴∠ACE＋∠ACF＝90°,由点C（7，7）得：CF＝CE＝7,∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OF＝CE＝7，OE＝CF＝7,∴∠CBA＝∠COA＝45°，∠CAB＝∠COB＝45°,∴∠CAB＝∠CBA , ∴AC＝BC.∵点A（0，6）,∴OA＝6,∴ AF＝OF－OA＝7－6＝1 .∵∠AOB＝90° , ∴AB为⊙P的直径,∴ ∠ACE ＋∠BCE ＝90°,∴ ∠ACF ＝∠BCE .在Rt △ACF 和Rt △BCE 中,AC BC CF CE=⎧⎨=⎩, ∴ Rt △ACF ≌Rt △BCE ,∴ BE ＝AF ＝1,∴ OB ＝OE ＋EB ＝7＋1＝8,∴ 点B （8，0） .⑵ 直线A′O′与⊙P 相切.如图2，由AB 是⊙P 的直径可知：AB 的中点即为圆心P ,取OB 的中点R ，连接RP 并延长交A′O′的延长线于点Q,,∴ PR ∥OA ，PR ＝12OA ＝3 , ∵ ∠AOB ＝90° ∴ ∠QRB ＝90°,∵ △A′O′B ′由△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到,∴ ∠OBO′＝90°，BO′＝BO ＝8,∵ ∠AO′B ＝90° ∴ ∠BO′Q ＝90° 即：RP ⊥A′O′.∴ 四边形RBO′Q 是矩形,∴ ∠O′QR ＝90°，RQ=BO′＝8 ,∴ PQ ＝RQ －PR ＝8－3＝5,∵ ⊙P 的直径AB ＝10,∴ 圆心P 到直线A′O ′的距离等于半径长5,∴直线A′O′与⊙P 相切.有旋转)，矩形（由于题目中有坐标系，直角坐标系通常需要作轴的垂线，从而构成矩形），圆的知识，旋转，勾股定理等知识，总体难度较高.9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点F 是CD 延长线上的一点，且AD 平分∠BDF ，AE ⊥CD 于点E.⑴ 求证：AB ＝AC ．⑵ 若BD ＝11，DE ＝2，求CD 的长.【答案】⑴ 证明见解析⑵ 7【解析】试题分析：（1）同弧所对圆周角相等∠BCA =∠ADB,四边形的外接圆性质，可以得∠ADF =∠ABC ,利用AD 平分∠BDF ,可以得到AB=AC.(2)试题解析：过A 作BD 的垂线于G ，构造两个全等三角形AED AGD ≅，AGB ACE ≅ GD ＝ED,BG ＝CE ,可得CD 长.试题解析：⑴ ∵ AD 平分∠BDF ，∴ ∠ADF ＝∠ADB ，∵ ∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADF ＝180°，∴ ∠ADF ＝∠ABC,∵ ∠ACB ＝∠ADB,∴ ∠AB C ＝∠ACB,∴ AB ＝AC .⑵ 过点A 作AG ⊥BD ，垂足为点G .∵ AD 平分∠BDF ，AE ⊥CF ，AG ⊥BD.∴ AG ＝AE ，∠AGB ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AGD 中,AE AG AD AD =⎧⎨=⎩, ∴ Rt △AED ≌Rt △AGD （HL ）,∴ GD ＝ED ＝2,在Rt △AEC 和Rt △AGB 中,AE AG AB AC=⎧⎨=⎩, ∴ Rt △AEC ≌Rt △AGB （HL ）,∴ BG ＝CE ,∵ BD ＝11,∴ BG ＝BD －GD ＝11－2＝9 .∴ CE ＝BG ＝9.∴ CD ＝CD －DE ＝9－2＝7.点睛：（1）题目中遇到角平分线，可以做边的垂线，构造全等三角形.如图已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.（2）圆中涉及等腰三角形，内接四边形，同弧所对角，（弦切角），经常要倒角，都是做此类题型需要熟练掌握的知识点.10．在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AE=2，DC=√3，求圆弧的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2.解：（1）∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D，∴OD⊥BC．∴∠ODB=∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，又∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∴∠CAD=∠OAD∴AD平分∠BAC（2）过O作OH⊥AC于H，∴∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，∴OH= DC=∴在Rt△ABC中，圆弧的半径OA=11．如图，⊙O是△ABC的内切圆，过点O作DE∥BC，与AB、AC分别交于点D、E.（1）求证：BD+CE＝DE；（2）若∠BAC=70º，求∠BOC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）125°. 【解析】试题分析：（1）利用角平分线和平行线的性质易证DO=BD ，EO=CE,进而得证：BD+CE=DE ；（1）由BO 、CO 是角平分线，可证明∠BOC=90°+12∠A ，即可得出结论. 试题解析：（1）∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠∵DE ∥BC∴,DBO DOB ECO EOC ∠=∠∠=∠∴,BD DO EO EC ==∴BD CE DE +=（2）∵B O 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-（12∠ABC +12∠ACB ）=180°-（90°-12∠A ）=90°+12∠A ∵∠BAC =70º∴∠BOC=90°+35°=125°.12．如图，在等腰△ABC 中，AB=BC ，以BC 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交CB 延长线于点E ，垂足为点F ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径R=5，tanC=12，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）8 3【解析】（1）连接圆心和切点，利用平行，DE⊥AB可证得∠ODF=90°；（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD、CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OH•OE，求得OE的长，从而得到BE的长，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠90°，∴BD⊥AC．∵AB=BC，∴AD=DC．∵OA=OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）过D作DH⊥BC于H∵⊙O的半径R=5，tan C=12，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴BC=10，∴k∴BD，CD∴DH=CD BDBC⋅=4，∴OH，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH•OE，∴OE=253，∴BE=103，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴BF BE OD OE=，即1032553 BF=，∴BF=2，∴EF=83．本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解．13．如图，AB是⊙O的弦，点C是在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P.(1)判断△CBP的形状，并说明理由；(2)若⊙O的半径为6，AP=求BC的长.【答案】（1）△CBP 是等腰三角形，理由见解析；（2）8.【解析】【试题分析】（1）等腰三角形，理由：OC ⊥OA ，根据垂直的定义得∠AOC =90°，根据三角形内角和定理∠A +∠APO =90°，因为BC 切⊙O 于点B ,根据切线的性质，∠OBC =90°，即∠OBA +∠CBP =90°，因为OA =OB ,根据等边对等角，得∠A =∠OBA ,等量代换得，∠APO =∠CBP对等角相等得，∠APO =∠CPB ,∠CPB =∠CBP ,根据等角对等边得，CP =CB ，即△CBP 是等腰三角形；（2）OC ⊥OA ，根据勾股定理得，OP 2==设BC =x ,则OC =x +2,利用勾股定理得：222OC OB BC =+，即()22226x x +=+，解得x =8，即BC =8. 【试题解析】等腰三角形，理由：∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠A +∠APO =90°∵BC 切⊙O 于点B ,∴∠OBC =90°，∴∠OBA +∠CBP =90°∵OA =OB ,∴∠A =∠OBA ,∴∠APO =∠CBP∵∠APO =∠CPB ,∴∠CPB =∠CBP ,∴CP =CB△CBP 是等腰三角形；（2）∵OC ⊥OA ，∴OP 2==设BC =x ,∴OC =x +2,∵222OC OB BC =+∴()22226x x +=+，∴x =8，∴BC =8.14．如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB=DE;（2）若AB=12，BD=5，求⊙O 的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）152【解析】 试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin ∠DEF 和sin ∠AOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 试题解析：（1）∵DC ⊥OA ， ∴∠1+∠3=90°， ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD ， ∴∠2+∠5=90°， ∵OA=OB ， ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中， ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F ，连接OE ，∵DB=DE ， ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ， ∴DF=4=∴sin ∠DEF=DF DE = 45， ∵∠AOE=∠DEF ， ∴在RT △AOE 中，sin∠AOE=45 AEAO=，∵AE=6，∴AO=15 2.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.15．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若AB＝4，求线段GF的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M.证明OM等于圆的半径OD即可；（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG＝NF＝12GF.证出四边形OMBN是矩形，在Rt OBM△利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在Rt ONF中利用勾股定理求得NF，即可得出GF的长．试题解析：()1如图，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°.∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.∴AB与⊙O相切；()2如图，过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则NG＝NF＝12GF.∵O是BC的中点，∴OB＝2.在Rt△OBM中，∠MBO＝60°，∴∠BOM＝30°，∴BM＝12BO＝1，∴OM=∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形，∴ON＝BM＝1.∵OF＝OM，由勾股定理得NF∴GF＝2NF＝16．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A=25°，求的度数．（2）若BC=9，AC=12，求BD的长．【答案】(1)弧BD 的度数50°；(2) BD=54 5【解析】试题分析：（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．试题解析：解：（1）延长BC交⊙O于N，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠B=65°，∴∠B 所对的弧BDN的度数是130°，∴BD的度数是180°﹣130°=50°；（2）延长AC交⊙O于M，在Rt△BCA中，由勾股定理得：AB=15，∵BC=9，AC=12，∴CM=CE=BC=9，AM=AC+CM=21，AE=AC﹣CE=3，由割线定理得：AD×AB=AE×AM，∴（15﹣BD）×15=21×3，解得：BD=545．点睛：本题考查了勾股定理，割线定理、圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．17．如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在BAD上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD AC=BC+CD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）利用条件易得∠ABD＝∠ADB＝45°，所以可知∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形.(2) 如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，∠ACB＝45°，CA⊥AE，△ACE为等腰直角三角AC=BC+EB,再证明△ABE和△ADC，EB=CD,=BC+CD.试题解析：（1）∵弧AB＝弧AB，∴∠ADB＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD是该外接圆的直径.（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AC＝AE，由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，∴CE ，由（1）可知△ABD为等腰直角三角形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，又∵∠EAC ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAC ，∴∠EAB ＝∠DAC ，∴在△ABE 和△ADC 中AB AD EAB DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴BE ＝DC ，∴CE ＝BE ＋BC ＝DC ＋BC．18．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖.例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是______ cm;(2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是_____ cm;(3)长为2 cm ，宽为1 cm 的矩形被两个半径均为r 的圆所覆盖，r 的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是_____ cm.．【答案】（1) ；(3) ， 1.【解析】试题分析：（1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，则r应大于等于正方形对角线的一半，即半径最小为2；（2）当圆外接三角形时圆的半径最小，如图，根据勾股定理可求得圆（3）根据对称性可知两圆的交点分别是AD和BC的中点，将矩形分成两个相等的小正方形，圆的最小半径就是小正方形的对角线的一半，圆心距就是小正方形的边长.（1)以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r;(2) 边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB＝1，BD＝12，所以AD＝，因为三角形是正三角形，所以∠ABC＝60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD＝12 OB，设OA＝OB=x，则OD＝12x，在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，解得：x＝3 .(3)如图：矩形ABCD中AB＝1，BC＝2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r两圆心距＝1.19．在学习《2．1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图（1）、（2）所示，△ABC和△DBC中，∠A＝∠D＝90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．小明想到了如下证法：在图（1）、（2）中取BC中点M，连结AM、DM．则有AM＝BM＝CM及DM＝BM＝CM，即AM＝BM＝CM＝DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径的圆上．根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：（1）如图（3），在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，连结DE、DF，若∠BAC＝64°，则∠EDF＝__________°．（2）如图（4），已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合）．若∠EGF＝60°，求证：CD＝12 AB．【答案】52°【解析】试题分析：()1由(2)易得，点,,,F H D B在同一圆上，∴∠1=∠3.由(2)同理可得，点,,,E H D C在同一圆上，∴∠EDH=∠ECH. 可以证得∠2=∠3，求得∠EDF的度数.()2利用探究得出,,,C E O G四点在同一圆上，且,,,D G O F四点在同一圆上，∠OGE＝∠OCE，∠OGF＝∠ODF．∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，进一步证明△COD是等边三角形．从而得证.试题解析：()1如图，在四边形 FBDH 中,90BFH BDH ∠=∠=，由(2)易得，点,,,F H D B 在同一圆上，1 3.∴∠=∠在四边形EHDC 中,90HEC HDC ∠=∠=，由(2)同理可得，点,,,E H D C 在同一圆上，.EDH ECH ∴∠=∠90,90FBH FHB ECH EHC ∠+∠=∠+∠=，且FHB EHC ∠=∠， 23∴∠=∠，64,A ∠= 326.∴∠=1226.∴∠=∠=∠EDF ＝52°．()2证明：连结OC ，OD ，OG ．∵OC ＝OD ，G 为CD 的中点，∴OG ⊥CD ．CE AB DF AB ⊥⊥，，90OEC OGC ∴∠=∠=︒，且90OFD OGD ∠=∠=︒． ,,,C E O G ∴四点在同一圆上，且,,,D G O F 四点在同一圆上，∴∠OGE ＝∠OCE ，∠OGF ＝∠ODF ．∴∠OCE ＋∠ODF ＝∠OGE ＋∠OGF ＝∠EGF ＝60°，在Rt △CEO 和在Rt △DFO 中，()()9090,EOC DOF OCE ODF ∴∠+∠=︒-∠+︒-∠()180********OCE ODF =︒-∠+∠=︒-︒=︒，()18060COD EOC DOF ∴∠=︒-∠+∠=︒，又OC OD ＝，COD ∴是等边三角形．12CD OC OD AB ∴===． 即12CD AB =． 20．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】试题分析：()1连结OD ，∵AD 平分∠BAC ，∠OAD ＝∠CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，得出OD ∥AC ，得到∠ODE ＝90°，从而得证. ()2在Rt △AFO 中，利用勾股定理：AF 2＋OF 2＝AO 2，得出OF 的长，四边形ODEF 是矩形，从而得到DE 的长.试题解析：()1连结OD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，即∠AED ＝90°，∴∠ODE ＝90°，即DE ⊥OD ．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：作OF ⊥AC ，垂足为F ．132AF AC ∴==， 在Rt △AFO 中，AF 2＋OF 2＝AO 2，152AO AB ==， ∴32＋OF 2＝52，∴ OF ＝4，∵∠AED ＝∠ODE ＝∠OFE ＝90°，∴四边形ODEF 是矩形，∴DE ＝OF ＝4．21．如图，△ABC 中，AB ＝AC ．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结AO交BC于点H，求证：AH⊥BC；（3）若AB＝AC＝5，BC＝6．求△ABC的外接圆⊙O的半径．【答案】（1）（2）见解析；（3）258．【解析】试题分析：()1AB和AC的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出.()2证明：连结OB OC，，证明ABO ACO≌．由等腰三角形三线合一即可证明.()3在Rt OBH中，利用勾股定理222BH OH BO+=，即可求得外接圆的半径. 试题解析：()1圆O即为所求.()2证明：连结OB OC，，在ABO和ACO△中{AB ACAO AO OB OC ===，ABO ACO ∴≌．BAO CAO ∴∠=∠，AB AC =，AH BC ∴⊥．()356AB AC BC AH BC ===⊥，，．34BH CH AH ∴===，．在Rt OBH 中，222BH OH BO +=，即()22234BO BO +-=，解得：258BO =． 即ABC △的外接圆的半径为258． 点睛：三角形三条垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心. 22．已知扇形OAB 的半径为r ，C 为AB 上的任一点（不与A 、B 重合），CM ⊥OA ，垂足为M ，CN ⊥OB ，垂足为N ，连接MN ．（1）如图①，∠AOB ＝90°，求证MN ＝r ；（2）如图②，∠AOB ＝45°，探索MN 与r 的数量关系．【答案】（1）证明见解析（2）2r【解析】试题分析：()1连接OC ，四边形OMCN 是矩形,即可得证.()2 以O 为圆心，OA 为半径画⊙O ，证明MN 是△CPQ 的中位线,即可得出结果. 试题解析：()1证明：连接OC ，∵CM ⊥OA ， CN ⊥OB ，∴∠CMO ＝∠CNO ＝90°，又∠AOB ＝90°，∴四边形OMCN 是矩形．∴MN ＝OC ＝r .()2 以O 为圆心，OA 为半径画⊙O ，延长CM ，CN 分别与⊙O 交于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，PQ ，OC∵OA ⊥PC ,∴P A ＝AC ，.PA AC =同理CN ＝NQ ，,BC BQ =∴∠POA ＝∠COA ，∠QOB ＝∠COB,∴∠POQ ＝2∠AOB ＝90°,在△CPQ 中,MN 是△CPQ 的中位线,1 2MN PQ ∴=. 在Rt △OPQ 中,PQ ==.MN r ∴= 23．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与∠B 互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与∠B 互余的圆周角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：()1圆内接四边形的对角互补.()2直径所对的圆周角是直角.试题解析：()1如图①，P ∠即为所求．()2如图②，CBQ ∠即为所求．点睛：圆内接四边形的对角互补. 直径所对的圆周角是直角.24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，且AE平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（232π-.【解析】试题分析：()1连接OE．证明OE AC，从而得出∠OEB＝∠C＝90°，从而得证. ()2阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积.试题解析：()1连接OE．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAD，∵OA＝OE，∴∠EAD＝∠OEA，∴∠OEA＝∠CAE，OE AC∴，∴∠OEB ＝∠C＝90°，∴OE⊥BC，且点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠EAB＝30°，∴∠EOD ＝60°，∵∠OEB ＝90°，∴∠B ＝30°，∴OB ＝2OE ＝2OD ＝6，∴BE =OEB S = 扇形OED 的面积3π.2=阴影部分的面积为：3π.22- 25．如图，在⊙O 中．（1）若弧AB=弧AC ，∠ACB ＝70°，求∠BOC 的度数；（2）若⊙O 的半径为13，BC ＝10，求点O 到BC 的距离．【答案】(1)证明见解析；（2）12.【解析】试题分析：()1根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等得：70.ABC ACB ∠=∠=︒根据三角形的内角和求出A ∠的度数，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出BOC ∠的度数.()2作OD BC ⊥，垂足为点.D 根据垂径定理，1 5.2BD BC ==再利用勾股定理即可求出点O 到BC 的距离.试题解析：()1,AB AC =.AB AC ∴=70.ABC ACB ∴∠=∠=︒∴在ABC △中，18040.A ABC ACB ∠=︒-∠-∠-︒280BOC A ∴∠=∠=︒．()2作OD BC ⊥，垂足为点.D,OD BC OD ⊥过圆心1 5.2BD BC ∴== 在Rt BOD 中12.OD ===即点O 到BC 的距离为12.点睛：在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.26．如图，P 是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于A 点，PB 切⊙O 于B 点，已知OA=1，OP=2，求PB 的长．【解析】试题分析：连接OB ，由切线的性质则可得∠B=90°，在Rt △POB 在，利用勾股定理即可得. 试题解析：连接OB ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠B=90°，∵OA ＝1，∴OB ＝OA ＝R ＝1，∴OP ＝2，∴PB =.27．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）DE=125．【解析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴CD=BD=12 BC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE=∠CED=90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC=90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得,==4．∵S ACD=12AD•CD=12AC•DE，∴12×4×3=12×5DE．∴DE=125．本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．28．如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；试题解析：(1)连接OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°(0°<α<45°).(2)连接OF交AC于O′，连接CF.∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO,∴CF∥OA,∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°.29．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E，与AB相交于点F，连接AD．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若点E 为AD 的中点，探究线段BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点E 为AD 的中点，CD ，求DF 与线段BD ，BF 所围成的阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23π-【解析】试题分析：（1）连接OD ，根据题意可得∠ODB ＝∠C ＝90°，从而得到AC ∥OD ，从而可得∠CAD ＝∠ADO ，根据半径相等，可得∠OAD ＝∠ADO ，从而得∠CAD ＝∠OAD ，问题得证； （2）连接DE ，OE ，由点E 为弧AD 的中点，可得 AE ＝DE ，从而得∠CAD ＝∠ADE ，再根据∠CAD ＝∠OAD ，得∠OAD ＝∠ADE ，继而得DE ∥OA ，推导可得四边形OAED 为菱形，继而可得到∠B ＝30°， 根据30°角的直角三角形的性质以及菱形的性质即可得；（3）由ODB ODF S S S ∆=-阴影扇形，根据已知得到相关数据代入进行求解即可.试题解析：（1）连接OD ．则∠ODB ＝∠C ＝90°，∴AC ∥OD ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∴∠CAD ＝∠OAD ，即AD 平分∠BAC ；（2）连接DE ，OE ，∵E 为AD 的中点，∴AE DE =，∴AE ＝DE ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∵∠CAD ＝∠OAD ，∴∠OAD ＝∠ADE ，∴DE ∥OA ，又AC ∥OD ，OA ＝OD ，∴四边形OAED 为菱形，∴AE ＝OA ＝OE ．∴∠OAC ＝60°，∵∠C ＝90°，∠CAD ＝∠OAD ，∴∠B ＝90°－∠OAC ＝30°，∠OAD ＝∠CAD ＝30°， ∴12CD AD =，∠B ＝∠OAD ，∴BD ＝AD ＝2CD ；（3）∵AC ∥OD ，∠OAC ＝60°，∴∠DOB ＝∠OAC ＝60°，∵∠ODB ＝90°，∠B ＝30°，∴OB ＝2OD ，∵CD ，BD ＝2CD ，∴BD ＝在Rt △ODB 中，由勾股定理得，(()2222OD OD +=， 解得 OD ＝±2（负值舍去），所以OD=2，∴ODB ODF S S S ∆=-阴影扇形＝2160222360π⨯⨯⨯-＝23π ． 30．在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=12cm ，点D 从点A 出发沿边AB 以2cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC （点E 、F 分别在AC 、BC 上）.设点D 移动的时间为t 秒.试解答下列问题：（1）如图1，当t 为多少秒时，四边形DFCE 的面积等于20cm 2？（2）如图1，点D 在运动过程中，四边形DFCE 可能是菱形吗？若能，试求t 的值；若不能，请说明理由；（3）如图2，以点F 为圆心，FC 的长为半径作⊙F ．①在运动过程中，是否存在这样的t 值，使⊙F 正好与四边形DFCE 的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；②若⊙F 与四边形DFCE 至多有两个公共点，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)t1=1，t2=5(2)四边形DFCE能是菱形(3)①3；②≤t＜6【解析】试题分析：（1）设设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF=四边形DFCE的面积，列方程解答即可．（2）因为四边形DECF是平行四边形，所以当DE=DF时，四边形DECF是菱形．列出方程即可解决问题．（3））①存在．当DB=CF时，⊙F与DE相切．列出方程即可解决．②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．（1）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得，DE=AD=2t，试题解析：解：BD=12﹣2t，CF=DE=2t，又∵BD×CF=四边形DFCE的面积，∴2t（12﹣2t）=20，t2﹣6t+5=0，（t ﹣1）（t﹣5）=0，解得t1=1，t2=5；答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2．（2）可能是菱形．理由：如图1中，∵DE∥CF，DF∥EC，∴四边形DECF是平行四边形，∴当DE=DF时，四边形DECF是菱形．∵△ADE，△DFB都是等腰直角三角形，∴DE=2t，DF12﹣2t），∴2t12﹣2t），∴t=12﹣.答：t=（12﹣）s时，四边形DECF是菱形；（3）①存在．如图1中，当DB=CF时，⊙F与DE相切．则有12﹣2t=2t，∴t=3．答：当t=3s时，⊙F与DE相切．②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，在Rt△DFB中，∵∠B=90°，AD=DF=CF=2t，BD=BF=12﹣2t，∴2t12﹣2t），∴t=12﹣，由图象可知，当12﹣≤t≤6时，⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点．点睛：本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质、菱形的判定和性质、切线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，弦AE 平分∠BAC ，ED ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB=10，AC=6，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】试题分析：（1）首先连接OE ，由弦AE 平分∠BAC ，易证得OE ∥AC ，又由ED ⊥AC ，即可证得OE ⊥ED ，继而证得结论；（2）首先过点O 作OF ⊥AC 于点F ，易得四边形OEFD 是矩形，即可得DE =OF ，然后由垂径定理求得OF 的长，即可求得答案．试题解析：（1）证明：连接OE ，∵OA =OE ，∴∠BAE =∠OEA ，∵弦AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠DAE ，∴∠DAE =∠OEA ，∴OE ∥AC ，∵ED ⊥AC ，∴OE ⊥ED ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：过点O 作OF ⊥AC 于点F ，∵ED ⊥AC ，∴OF ∥ED ，AF =12AC =12×6=3，∵OE ∥AC ，∴四边形OEFD 是矩形，∴OF =DE ，∵OA =12AB =12×10=5，∴OF =4，∴DE =OF =4．。

2010年高考数学直线与圆试题分类解析一、考查直线方程以及直线间的位置关系 1、（2010安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 4.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行. 二、考查圆的方程以及直线与圆的位置关系 2、（2010湖南文数）14.若不同两点P ,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 -1 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为3、（2010山东文数）（16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为 . 答案：4、（2010天津文数）（14）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。

则圆C 的方程为 。

【答案】22(1)2x y ++=本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x 轴的交点为（-1.0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22r ==，所以圆C 的方程为22(1)2x y ++=【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

5、（2010广东理数）12.已知圆心在x 轴上，2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是12．22(5)5x y ++=．设圆心为(,0)(0)a a <，则22512r ==+，解得5a =-．6、（2010山东理数）【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)2，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。

直线与圆真题汇编1已知圆C :2220x y x y +-+=. （I ）求由点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆C 所引的切线长； （II ）求圆C 关于直线l ：10x y -+=对称的圆的方程.2（本题满分10分）已知圆22:20C x y x y +-+=，直线:20l x y -+=.（I ）判断直线l 与圆C 的位置关系；（II ）由点1(,1)2P 向圆C 引切线，求其切线长.3在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M （x ，y ）和N （4-，y ）满足→→⊥ON OM .（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若过点D （1，1-）的直线与轨迹交C 于A 、B 两点，且D 为线段AB 的中点，求此直线的方程。

4．(本小题满分6分)已知直线，直线和直线．（Ⅰ）求直线和直线交点的坐标；（Ⅱ）求以点为圆心，且与直线相切的圆的标准方程．5已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；(Ⅲ)已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程.1:20l x y +=2:20l x y +-=3:3450l x y ++=1l 2l C C 3l C6已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.7已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与||MQ 的比等于常数λ)0(>λ.求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.。

2010年高考题一、选择题2.（2010重庆理）（3）2241lim 42x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭= A. —1 B. —14 C. 14D. 1 【答案】 B 解析：2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=4121)2)(4(2(lim lim 222-=+-=+--→→x x x x x x 3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 【答案】C4.（2010湖南理）5、421dx x⎰等于 A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 25.（2010湖南理）3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线6.（2010安徽理）7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 的点的个数为 A 、1 B 、2C 、3D 、4【答案】B【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离3d ==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又31010>-，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为，然后再判断知3>. 二、填空题3.（2010北京理）（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (63)41．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的△O与BC相交于点E，与AC相交于点F，△B=△BAE=30°．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若AC=3，求△O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2；（3）四边形OAFE是菱形，理由见解析.【解析】分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出⊙AOE=60°，进而得出⊙BEO=90°，即可得出结论；（2）先求出⊙AEC=60°，利用锐角三角函数求出AE，最后用三角函数即可得出结论；（3）先判断出⊙AOF是等边三角形，得出OA=AF，⊙AOF=60°，进而判断出⊙OEF是等边三角形，即可判断出四边相等，即可得出结论．详解：（1）如图1，连接OE，⊙OA=OE，⊙⊙BAE=⊙OEA，⊙⊙BAE=30°，⊙⊙OEA=30°，⊙⊙AOE=⊙BAE+⊙OEA=60°，在⊙BOE 中，⊙B=30°，⊙⊙OEB=180°-⊙B-⊙BOE=90°，⊙OE⊙BC ，⊙点E 在⊙O 上，⊙BC 是⊙O 的切线；（2）如图2，⊙⊙B=⊙BAE=30°，⊙⊙AEC=⊙B+⊙BAE=60°，在Rt⊙ACE 中，AC=3，sin⊙AEC=AC AE ，⊙AE=360AC sin AEC sin ==∠︒连接DE ，⊙AD 是⊙O 的直径，⊙⊙AED=90°，在Rt⊙ADE 中，⊙BAE=30°，cos⊙DAE=AE AD，⊙AD=4AE cos BAE ==∠， ⊙⊙O 的半径r=12AD=2； （3）以A 、O 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在Rt⊙ABC 中，⊙B=30°，⊙⊙BAC=60°，连接OF，⊙OA=OF，⊙⊙AOF是等边三角形，⊙OA=AF，⊙AOF=60°，连接EF，OE，⊙OE=OF，⊙⊙OEB=90°，⊙B=30°，⊙⊙AOE=90°+30°=120°，⊙⊙EOF=⊙AOE-⊙AOF=60°，⊙OE=OF，⊙⊙OEF是等边三角形，⊙OE=EF，⊙OA=OE，⊙OA=AF=EF=OE，⊙四边形OAFE是菱形．点睛：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，求出⊙AEC=60°是解本题的关键．42．如图，已知AB是△O的直径，P是BA延长线上一点，PC切△O于点C，CG是△O的弦，CG△AB，垂足为D．（1）求证：△PCA=△ABC．（2）过点A作AE△PC交△O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos△P=45，CF=10，求BE的长【答案】（1）证明见解析；（2）BE=24．【解析】分析：（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊙PC，由圆周角定理得：⊙ACB=90°，所以⊙PCA=⊙OCB，再由同圆的半径相等可得：⊙OCB=⊙ABC，从而得结论；（2）先证明⊙CAF=⊙ACF，则AF=CF=10，根据cos⊙P=cos⊙FAD=45，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos⊙EAB=AEAB，可得AE的长，从而计算BE的长.详解:证明：（1）连接OC，交AE于H，⊙PC是⊙O的切线，⊙OC⊙PC，⊙⊙PCO=90°，⊙⊙PCA+⊙ACO=90°，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙ACO+⊙OCB=90°，⊙⊙PCA=⊙OCB，⊙OC=OB，⊙⊙OCB=⊙ABC，⊙⊙PCA=⊙ABC；（2）⊙AE⊙PC，⊙⊙CAF=⊙PCA，⊙AB⊙CG，⊙=AC AG，⊙⊙ACF=⊙ABC，⊙⊙ABC=⊙PCA，⊙⊙CAF=⊙ACF，⊙AF=CF=10，⊙AE⊙PC，⊙⊙P=⊙FAD，⊙cos⊙P=cos⊙FAD=45，在Rt⊙AFD中，cos⊙FAD=ADAF，AF=10，⊙AD=8，，⊙CD=CF+FD=16，在Rt⊙OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，⊙AB=2r=40，⊙AB是直径，⊙⊙AEB=90°，在Rt⊙AEB中，cos⊙EAB=AEAB，AB=40，⊙AE=32，=24．点睛：本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．43．如图，四边形ABCD内接于△O，△BAD=90°，点E在BC的延长线上，且△DEC=△BAC．（1）求证：DE是△O的切线；（2）若AC△DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为5．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊙DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊙BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出⊙BCD⊙⊙DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出⊙CFD⊙⊙BCD，即可得出结论．（1）如图，连接BD，⊙⊙BAD=90°，⊙点O必在BD上，即：BD是直径，⊙⊙BCD=90°，⊙⊙DEC+⊙CDE=90°．⊙⊙DEC=⊙BAC，⊙⊙BAC+⊙CDE=90°．⊙⊙BAC=⊙BDC，⊙⊙BDC+⊙CDE=90°，⊙⊙BDE=90°，即：BD⊙DE．⊙点D在⊙O上，⊙DE是⊙O的切线；（2）⊙DE⊙AC．⊙⊙BDE=90°，⊙⊙BFC=90°，⊙CB=AB=8，AF=CF=12 AC，⊙⊙CDE+⊙BDC=90°，⊙BDC+⊙CBD=90°，⊙⊙CDE=⊙CBD．⊙⊙DCE=⊙BCD=90°，⊙⊙BCD⊙⊙DCE，⊙BC CD CD CE=，⊙82CD CD=，⊙CD=4．在Rt⊙BCD中，，同理：⊙CFD⊙⊙BCD ， ⊙CF CD BC BD=， ⊙8CF =，⊙CF=5，⊙AC=2CF=5． 考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC ＝8是解本题的关键．44．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），△M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点．（1）请直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E ，求证：直线EA 与△M 相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1) 2115(2)(8)4442y x x x x =--=-+;(2)见解析;(3)存在， 点P 的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．理由见解析. 【解析】【解析】 （1）连接AM ，MC ，设ME 交x 轴于点D ，由M 点的坐标可求得MC 、MD 的长，可求得C 点坐标，在Rt△ADM 中可求得AD ，则容易求得A 、B 坐标；（2）由A 点坐标可求得抛物线解析式，则可求得ME 的长，由勾股定理的逆定理可判定⊙AME 为直角三角形，则可证得结论；（3）可设P 点坐标为（5，t ），则可表示出PB 、CP 、结合BC 的长，当⊙PBC 为等腰三角形时，则有PB=BC ，CP=BC ，PC=PB 三种情况，分别求解即可；解：（1）A ，B ，C 的坐标分别是A （2 ，0 ），B （8 ，0 ），C （0 ，4 ）；设抛物线解析式为()()28y a x x =--，将（0,4）代入得416a =即14a =⊙()()2115284442y x x x x =--=-+. （2）证明：把215442y x x =-+化为y=（x ﹣5）294-， ⊙E （5，﹣），⊙DE=，⊙ME=MD+DE=4+=，EA 2=32+（）2=，⊙MA 2+EA 2=52+=，ME 2=， ⊙MA 2+EA 2=ME 2，⊙⊙MAE=90°，即EA⊙MA ，⊙EA 与⊙M 相切；（3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下： 由勾股定理得：BC===4， 分三种情况：⊙当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合，⊙P （5，4）；⊙当BP=BC=4时，如图2所示： ⊙PD===， ⊙P （5，）；⊙当PC=BC=4时，连接MC ，如图3所示： 则⊙PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，⊙PD=4+， ⊙P （5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使⊙PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及切线的性质、垂径定理、待定系数法、勾股定理及其逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中确定出利用切线的性质容易求得C点坐标，利用垂径定理求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得E 点的坐标，求得ME、AE的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PB、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．45．如图，AB是△O的直径，AC BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交△O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是△O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．．【答案】（1）证明见解析；（2）BD=5【解析】（1）连接OC，由已知可得⊙BOC=90°，根据SAS证明⊙OCE⊙⊙BFE，根据全等三角形的对应角相等可得⊙OBF=⊙COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF 的长，然后由S ⊙ABF =11··22AB BF AF BD =，即可求出解：（1）连接OC ，⊙AB 是⊙O 的直径，AC BC =，⊙⊙BOC=90°，⊙E 是OB 的中点，⊙OE=BE ，在⊙OCE 和⊙BFE 中，OE BE OEC BEF CE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙OCE⊙⊙BFE （SAS ），⊙⊙OBF=⊙COE=90°，⊙直线BF 是⊙O 的切线；（2）⊙OB=OC=2，由（1）得：⊙OCE⊙⊙BFE ，⊙BF=OC=2，==⊙S ⊙ABF =11··22AB BF AF BD =， 即，本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．46．如图，BE 是圆O 的直径，点A 和点D 是△O 上的两点，过点A 作△O 的切线交BE 延长线于点C,（1）若△ADE=25°，求△C 的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求△O半径的长．【答案】（1）⊙C=40°；（2）⊙O的半径为2．【解析】【解析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）如图，连接OA，⊙AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，⊙OA⊙AC，⊙⊙OAC=90°，⊙AE AE=,⊙ADE=25°，⊙⊙AOE=2⊙ADE=50°，⊙⊙C=90°﹣⊙AOE=90°﹣50°=40°；（2）⊙AB=AC，⊙⊙B=⊙C，⊙AE AE=，⊙⊙AOC=2⊙B，⊙⊙AOC=2⊙C，⊙⊙OAC=90°，⊙⊙AOC+⊙C=90°，⊙3⊙C=90°，⊙⊙C=30°，⊙OA=12OC ， 设⊙O 的半径为r ，⊙CE=2， ⊙r=12(r+2)， 解得：r=2，⊙⊙O 的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.47．小明家房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A 、B 、C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若ABC ∆中，AB=8米，AC=6米，90BAC ∠=︒，试求小明家圆形花坛的面积.【答案】（1）见解析（2）25π米2【解析】(1)运用线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆；（2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积.解: (1)如图所示：(2)⊙⊙BAC ＝90°，⊙BC 是⊙O 的直径．⊙AB ＝8米，AC ＝6米，⊙BC ＝10米，⊙⊙ABC 外接圆的半径为5米，⊙小明家圆形花坛的面积为25π米2.本题考核知识点：求三角形的外接圆.解题关键点：利用直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点. 48．如图，AB是△O的直径，DO△AB于点O，连接DA交△O于点C，过点C作△O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交△O于点G．填空：△当△D的度数为时，四边形ECFG为菱形；△当△D的度数为时，四边形ECOG为正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙30°；⊙22.5°.【解析】分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得⊙1+⊙4=90°，再利用等腰三角形和互余证明⊙1=⊙2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）⊙当⊙D=30°时，⊙DAO=60°，证明⊙CEF和⊙FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；⊙当⊙D=22.5°时，⊙DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出⊙COE=45°，利用对称得⊙EOG=45°，则⊙COG=90°，接着证明⊙OEC⊙⊙OEG得到⊙OEG=⊙OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．详解：（1）证明：连接OC，如图，.⊙CE为切线，⊙OC⊙CE，⊙⊙OCE=90°，即⊙1+⊙4=90°，⊙DO⊙AB，⊙⊙3+⊙B=90°，而⊙2=⊙3，⊙⊙2+⊙B=90°，而OB=OC，⊙⊙4=⊙B，⊙⊙1=⊙2，⊙CE=FE；（2）解：⊙当⊙D=30°时，⊙DAO=60°，而AB为直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙B=30°，⊙⊙3=⊙2=60°，而CE=FE，⊙⊙CEF为等边三角形，⊙CE=CF=EF，同理可得⊙GFE=60°，利用对称得FG=FC，⊙FG=EF，⊙⊙FEG为等边三角形，⊙EG=FG，⊙EF=FG=GE=CE，⊙四边形ECFG为菱形；⊙当⊙D=22.5°时，⊙DAO=67.5°，而OA=OC，⊙⊙OCA=⊙OAC=67.5°，⊙⊙AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，⊙⊙AOC=45°，⊙⊙COE=45°，利用对称得⊙EOG=45°，⊙⊙COG=90°，易得⊙OEC⊙⊙OEG，⊙⊙OEG=⊙OCE=90°，⊙四边形ECOG为矩形，而OC=OG，⊙四边形ECOG为正方形．故答案为30°，22.5°．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．49．如图，在△ABC中，以AB为直径作△O交BC于点D，△DAC=△B．（1）求证：AC是△O的切线；（2）点E是AB上一点，若△BCE=△B，tan△B=12，△O的半径是4，求EC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CE=5．【解析】【解析】（1）欲证明AC是切线，只要证明AB⊙AC即可；（2）设EC=EB=x，在Rt⊙AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】（1）⊙AB是直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙B+⊙BAD=90°，⊙⊙DAC=⊙B，⊙⊙DAC+⊙BAD=90°，⊙⊙BAC=90°，⊙BA⊙AC，⊙AC是⊙O的切线．（2）⊙⊙BCE=⊙B，⊙EC=EB，设EC=EB=x，在Rt⊙ABC中，tan⊙B=AC1=AB2，AB=8，⊙AC=4，在Rt⊙AEC中，⊙EC2=AE2+AC2，⊙x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，⊙CE=5．【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．50．已知:等边三角形△ABC内接于△O，点D在AC上，连接AD、CD、BD，（1）如图1，求证：△ADB=△BDC=60°；（2）如图2，若BD=3CD，求证：AE=2CE；（3）在（2）的条件下，连接OE，若BE=14，求线段OE的长．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.（3）【解析】分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，推出⊙BDC=⊙BAC=60°，⊙ADC=⊙ACB=60°即可解决问题．（2）如图2中，在BD 上截取DH=DC ，作EN⊙AD ，EM⊙CD 垂足分别为N 、M ．由⊙ACD⊙⊙BCH 推出BD=DA+DC ，结合条件推出AD=2DC ，再根据1•2211•2ADE EDC AD EN SAE S EC CD EM ===，即可证明． （3）如图3中，连接AO ，由此AO 交BC 于M ，连接OE ，作EN⊙BC 于N ，设OE=x ．用x 表示BN 、EN ，在Rt⊙EBN 中，利用勾股定理列出方程即可．详解：（1）证明：如图1中，⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙⊙BAC=⊙ACB=60°，⊙⊙BDC=⊙BAC ，⊙ADC=⊙ACB ，⊙⊙ADB=⊙BDC=60°．（2）如图2中，在BD 上截取DH=DC ，作EN⊙AD ，EM⊙CD 垂足分别为N 、M ．⊙⊙HDC=60°，DH=DC ，⊙⊙DHC 是等边三角形，⊙HC=DC ，⊙CHD=60°，⊙⊙BCA=⊙HCD=60°，⊙⊙BCH=⊙ACD ，在⊙BCH 和⊙ACD 中，AC BC ACD BCH CD CH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊙⊙ACD⊙⊙BCH ，⊙BH=AD ，⊙BD=BH+HD=AD+CD ．⊙BD=3CD ，⊙3CD=AD+CD ，⊙AD=2CD ，⊙⊙ADB=⊙BDC ，EN⊙DA ，EM⊙DC ，⊙EN=EM ， ⊙1•2211•2ADE EDC AD EN SAE S EC CD EM ===， ⊙AE=2CE ．（3）如图3中，连接AO ，由此AO 交BC 于M ，连接OE ，作EN⊙BC 于N ，设OE=x ．⊙O 是等边三角形的外心，⊙OA=2OM ，⊙AE=2EC ，⊙OA AEOM EC=， ⊙OE⊙CM ，⊙AM⊙BC ，⊙AO⊙OE ，⊙⊙OAE=12⊙BAC=30°，⊙AE=2x ，EC=x ，CN=12x ，BN=52x ， 在Rt⊙BNE 中，⊙BE 2=BN 2+EN 2，⊙142=（52x ）2+（2x ）2， ⊙x 2=28，⊙x ＞0，．．点睛：本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会把问题转化为方程去思考． 51．如图，AB 是△O 的直径点F 、C 是半圆弧ABC 上的三等份点，连接AC ，AF ，过点C 作CD△AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D ．（1）求证：CD 是△O 的切线；（2）若△O 的半径为4，求CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）连接OC ，由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC 与AD 平行，由CD 与AD 垂直，得到CD 与OC 垂直，即可得证；（2）连接OF ，利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出⊙OCB 的度数，在直角三角形OCE 中，求出CE 的长，利用角平分线性质得到CD=CE ，即可求出CD 的长．【解答】（1）证明：连接OC ，⊙OA=OC，⊙⊙OAC=⊙OCA，⊙FC CB=，⊙⊙DAC=⊙CAB，⊙⊙OCA=⊙DAC，⊙OC⊙AD，⊙CD⊙AD，⊙CD⊙OC，则CD为圆O的切线；（2）连接OF，过C作CE⊙AB，⊙AF FC CB==，⊙⊙AOF=⊙FOC=⊙COB=60°，在Rt⊙OCE中，OC=4，⊙OCE=30°，⊙AC平分⊙DAB，CD⊙AD，CE⊙AB，点睛：此题考查了切线的判定，圆心角、弧及弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．52．如图，AB是△O的直径，E为弦AC的延长线上一点，DE与△O相切于点D，且DE△AC，连结OD，若AB=10，AC=6，求DE的长．【答案】4【解析】分析：连结BC，如图，BC与OD相交于点F，利用圆周角定理得到BC⊙AE，则BC⊙DE，再利用切线的性质得到OD⊙DE，接着利用垂径定理得到CF=12BC，接下来判定四边形CEDF是矩形得到DE=CF=12BC，然后利用勾股定理计算出BC，从而得到CF和DE的长．详解：连结BC，如图，BC与OD相交于点F，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BC⊙AE，又⊙DE⊙AC，⊙BC⊙DE，⊙DE是⊙O的切线，⊙OD⊙DE，⊙OD⊙BC，⊙CF=12 BC，⊙BC⊙AE，DE⊙AC，DE⊙AC，⊙四边形CEDF是矩形．⊙DE=CF=12 BC，在Rt⊙ACB中，⊙ACB=90°，=8，⊙CF=4，⊙DE=4．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．53．已知：如图，在四边形ABCD中，AD△BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为△DAB 和△CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作△O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，△O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin△AGF= 4，求△O的半径．5【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到⊙AGF=⊙AEB，根据sin⊙AGF的值，确定出sin⊙AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：⊙AD⊙BC，AD=BC，⊙四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）⊙AD⊙BC，⊙⊙DAB+⊙CBA=180°，⊙AE与BE分别为⊙DAB与⊙CBA的平分线，⊙⊙EAB+⊙EBA=90°，⊙⊙AEB=90°，⊙AB为圆O的直径，点F在圆O上，⊙⊙AFB=90°，⊙⊙FAG+⊙FGA=90°，⊙AE平分⊙DAB，⊙⊙FAG=⊙EAB，⊙⊙AGF=⊙ABE，⊙sin⊙ABE=sin⊙AGF=45AEAB ，⊙AE=4，⊙AB=5，则圆O的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．54．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△BAD=△CAD，CE△AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）⊙ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为52．【解析】（1）证明AD为⊙BCE的中位线得到CE=2AD=6；（2）过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，证明⊙ACD⊙⊙FBD，从而得到AC=BF，⊙CAD=⊙BFD，再结合⊙BAD=⊙CAD，得到BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt⊙PBD中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得R=256，则PD=76，再利用面积法求出r=43，即QD=43，然后计算PD+QD即可．（1）解：⊙AD是边BC上的中线，⊙BD=CD，⊙CE⊙AD，⊙AD为⊙BCE的中位线，⊙CE=2AD=6；（2）证明：过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，则⊙ACD=⊙FBD, ⊙ADC=⊙FDB，又⊙BD=CD，⊙⊙ACD⊙⊙FBD，⊙AC=BF，⊙CAD=⊙BFD，又⊙⊙BAD=⊙CAD，⊙⊙BAD=⊙BFD，⊙BA=BF,⊙AB=AC,⊙⊙ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt⊙ABD中，，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt⊙PBD中，（R-3）2+42=R2，解得R=256，⊙PD=PA-AD=256-3=76，⊙S⊙ABQ+S⊙BCQ+S⊙ACQ=S⊙ABC，⊙12×r×5+12×r×8+12×r×5=12×3×8，解得r=43，即QD=43，⊙PQ=PD+QD=76+43=52．答：⊙ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为52．本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．55．如图，CD是△O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：△CAD=△BDC；（2）若BD=23AD，AC=3，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出⊙OBD=⊙ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出⊙CAD=⊙BDC；（2）由⊙C=⊙C、⊙CAD=⊙CDB可得出⊙CDB⊙⊙CAD，根据相似三角形的性质结合BD=2 3AD、AC=3，即可求出CD的长．详（1）证明：连接OD，如图所示．⊙OB=OD，⊙⊙OBD=⊙ODB．⊙CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，⊙⊙ODB+⊙BDC=90°．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙OBD+⊙CAD=90°，⊙⊙CAD=⊙BDC．（2）⊙⊙C=⊙C，⊙CAD=⊙CDB，⊙⊙CDB⊙⊙CAD，⊙BD CD AD AC．⊙BD=23AD ， ⊙23BD AD =， ⊙2=3CD AC ， 又⊙AC=3，⊙CD=2．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出⊙CAD=⊙BDC ；（2）利用相似三角形的性质找出2=3CD AC ． 56．如图，D 为△O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且△CDA=△CBD ，（1）求证：CD 是△O 的切线；（2）若BC=6，tan△CDA=23，求CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】分析：（1）连接OD ，如图，先证明⊙CDA=⊙ODB ，再根据圆周角定理得⊙ADO+⊙ODB=90°，则⊙ADO+⊙CDA=90°，即⊙CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由于⊙CDA=⊙ODB ，则tan⊙CDA=tan⊙ABD=23，根据正切的定义得到tan⊙ABD=23AD BD =，接着证明⊙CAD⊙⊙CDB ，由相似的性质得23CD AD BC BD ＝＝，然后根据比例的性质可计算出CD 的长．详（1）证明：连接OD ，如图，⊙OB=OD ，⊙⊙OBD=⊙BDO ，⊙⊙CDA=⊙CBD ，⊙⊙CDA=⊙ODB，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，即⊙ADO+⊙ODB=90°，⊙⊙ADO+⊙CDA=90°，即⊙CDO=90°，⊙OD⊙CD，⊙CD是⊙O的切线；（2）⊙⊙CDA=⊙ODB，⊙tan⊙CDA=tan⊙ABD=23，在Rt⊙ABD中，tan⊙ABD=23 ADBD，⊙⊙DAC=⊙BDC，⊙CDA=⊙CBD，⊙⊙CAD⊙⊙CDB，⊙23 CD ADBC BD＝＝，⊙CD=23×6=4．点睛：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．57．如图，AB是△O的直径，ED切△O于点C，AD交△O于点F，△AC平分△BAD，连接BF．（1）求证：AD△ED；（2）若CD=4，AF=2，求△O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O【解析】【解析】（1）连接OC，如图，先证明OC⊙AD，然后利用切线的性质得OC⊙DE，从而得到AD⊙ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到⊙AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，⊙CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．（1）证明：连接OC，如图，⊙AC平分⊙BAD，⊙⊙1=⊙2，⊙OA=OC，⊙⊙1=⊙3，⊙⊙2=⊙3，⊙OC⊙AD，⊙ED切⊙O于点C，⊙OC⊙DE，⊙AD⊙ED；（2）解：OC交BF于H，如图，⊙AB为直径，⊙⊙AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，⊙FH=CD=4，⊙CHF=90°，⊙OH⊙BF，⊙BH=FH=4，⊙BF=8，在Rt⊙ABF中，⊙⊙O．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．58．如图，△A=△B=50°，P 为AB 中点，点M 为射线AC 上（不与点A 重合）的任意点，连接MP ，并使MP 的延长线交射线BD 于点N ，设△BPN=α．（1）求证：△APM△△BPN ；（2）当MN=2BN 时，求α的度数；（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．【解析】【解析】（1）根据AAS 即可证明⊙APM⊙⊙BPN ；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN ，所以PN=BN ，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：⊙BPN 是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．（1）⊙P 是AB 的中点，⊙PA=PB ，在⊙APM 和⊙BPN 中，A B APM BPN PA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APM⊙⊙BPN ；（2）由（1）得：⊙APM⊙⊙BPN ，⊙PM=PN ，⊙MN=2PN ，⊙MN=2BN ，⊙BN=PN ，⊙α=⊙B=50°；（3）⊙⊙BPN的外心在该三角形的内部，⊙⊙BPN是锐角三角形，⊙⊙B=50°，⊙40°＜⊙BPN＜90°，即40°＜α＜90°．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.59．根据问题进行证明：（1）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ△BE于点Q，DP△AQ于点P，求证：AP=BQ．（2）如图，已知AB是△O的直径，AC是△O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D且△A=△D．求△D的度数．【答案】见解析【解析】分析：（1）由正方形的性质知AD=BA、⊙BAD=90°，由AQ⊙BE、DP⊙AQ知⊙BAQ=⊙ADP、⊙AQB=⊙DPA=90°，即可证⊙AQB⊙⊙DPA得AP=BQ；（2）由切线的性质知⊙OCD=90°即⊙COB+⊙D=90°，由圆周角定理知⊙COB=2⊙A，结合⊙A=⊙D 可得答案．详解：（1）⊙四边形ABCD为正方形，⊙AD=BA，⊙BAD=90°，即⊙BAQ+⊙DAP=90°，⊙DP⊙AQ，⊙⊙ADP+⊙DAP=90°，⊙⊙BAQ=⊙ADP，⊙AQ⊙BE于点Q，DP⊙AQ于点P，⊙⊙AQB=⊙DPA=90°，在⊙AQB和⊙DPA中，⊙BAQ ADP AQB DPA AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊙⊙AQB⊙⊙DPA （AAS ），⊙AP=BQ ；（2）如图，连接OC ，⊙CD 是⊙O 的切线，⊙OC⊙CD ，⊙⊙OCD=90°，⊙⊙COB+⊙D=90°，由圆周角定理得⊙COB=2⊙A ，⊙⊙A=⊙D ，⊙2⊙A+⊙A=90°，⊙⊙A=30°，⊙⊙D=30°．点睛：本题主要考查正方形的性质、切线的性质、圆周角定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、切线的性质是解题的关键．60．如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D作DF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G .（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知BD =2CF =，求AE 和BG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）10 3【解析】分析：（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊙BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD⊙AC，从而由DG⊙AC可得OD⊙FG，即可得证；（2）连接BE．BE⊙GF，推出⊙AEB⊙⊙AFG，可得AB AEAG AF=，由此构建方程即可解决问题；详解：（1）如图，连接OD，AD，⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，即AD⊙BC，⊙AB=AC，⊙BD=CD，又⊙OA=OB，⊙OD⊙AC，⊙DG⊙AC，⊙OD⊙FG，⊙直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；（2）如图，连接BE．⊙CD＝BD＝⊙CF=2，=4，⊙BE=2DF=8，⊙cos⊙C=cos⊙ABC，⊙CF BD CD AB=，AB=，⊙AB=10，6=，⊙BE⊙AC，DF⊙AC，⊙BE⊙GF，⊙⊙AEB⊙⊙AFG，⊙AB AE AG AF=，⊙106 1026BG=++，⊙BG=103．点睛：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．61．如图，已知AB是△O的直径，C是△O上一点，△ACB的平分线交△O，作PD△AB，交CA的延长线于点P，连结AD，BD．求证：（1）PD是△O的切线；（2）△PAD△△DBC【答案】见解析【解析】分析：（1）根据角平分线的定义得出⊙1=⊙3，得出弧AD=弧BD，根据垂径定理可得出OD⊙AB，再根据PD⊙AB，就可证得OD⊙PD，即可得证；（2）根据圆内接四边形的定理，可证得⊙2=⊙CBD，再根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质，可证得⊙ADP=⊙1，然后根据相似三角形的判定定理，可证得结论.详解：（1）证明：如图，连接OD⊙CD平分⊙ACB⊙⊙1=⊙3⊙弧AD=弧BD⊙OD⊙AB⊙PD⊙AB⊙OD⊙PD⊙OD是半径⊙PD是⊙O的切线（2）证明：⊙四边形ADBC是圆的内接四边形，⊙⊙CAD+⊙CBD=180°⊙⊙2+⊙CAD=180°⊙⊙2=⊙CBD⊙AB是圆的直径⊙⊙ADO+⊙BDO=90°，⊙1+⊙3=90°，即⊙1=45°⊙弧AD=弧BD，OD⊙AB⊙AD=BD⊙⊙ADO=45°⊙⊙ADO+⊙ADP=90°⊙⊙ADP=45°=⊙1⊙⊙PAD⊙⊙DBC点睛：本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．62．已知：△O是正方形ABCD的外接圆，点E在AB上，连接BE、DE，点F在AD上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分△EDF．（1）如图1，求证：△CBE=△DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK△BN交DE于点K，过点E作EP△BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交△O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为74，求线段BR的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3.【解析】分析：（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；（2）如图2，过H作HM⊙KD，垂足为点M，根据题意确定出⊙BEP⊙⊙HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到⊙BED⊙⊙DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊙BD，垂足为S，根据⊙BER的面积与⊙DHK的面积的差为74，求出a的值，即可确定出BR的长．详解：（1）证明：如图1，⊙四边形ABCD是正方形，⊙⊙A=⊙ABC=90°，⊙⊙F=⊙A=90°，⊙⊙F=⊙ABC，⊙DA平分⊙EDF，⊙⊙ADE=⊙ADF，⊙⊙ABE=⊙ADE，⊙⊙ABE=⊙ADF，⊙⊙CBE=⊙ABC+⊙ABE，⊙DHG=⊙F+⊙ADF，⊙⊙CBE=⊙DHG；（2）如图2，过H作HM⊙KD，垂足为点M，⊙⊙F=90°，⊙HF⊙FD，⊙DA平分⊙EDF，⊙HM=FH，⊙FH=BP，⊙HN=BP，⊙KH⊙BN，⊙⊙DKH=⊙DLN，⊙⊙ELP=⊙DLN，⊙⊙DKH=⊙ELP，⊙⊙BED=⊙A=90°，⊙⊙BEP+⊙LEP=90°，⊙EP⊙BN，⊙⊙BPE=⊙EPL=90°，⊙⊙LEP+⊙ELP=90°，⊙⊙BEP=⊙ELP=⊙DKH，⊙HM⊙KD，⊙⊙KMH=⊙BPE=90°，⊙⊙BEP⊙⊙HKM，⊙BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，⊙3HF=2DF ，BP=FH ，⊙设HF=2a ，DF=3a ，⊙BP=FH=2a ，由（2）得：HM=BP ，⊙HMD=90°，⊙⊙F=⊙A=90°，⊙tan⊙HDM=tan⊙FDH ， ⊙23HM FH DM DF ==， ⊙DM=3a ，⊙四边形ABCD 为正方形，⊙AB=AD ，⊙⊙ABD=⊙ADB=45°，⊙⊙ABF=⊙ADF=⊙ADE ，⊙DBF=45°-⊙ABF ，⊙BDE=45°-⊙ADE ，⊙⊙DBF=⊙BDE ，⊙⊙BED=⊙F ，BD=BD ，⊙⊙BED⊙⊙DFB ，⊙BE=FD=3a ，过H 作HS⊙BD ，垂足为S ， ⊙tan⊙ABH=tan⊙ADE=23AH AB =，⊙设m ，m ，AB=6m ，m ，⊙sin⊙ADB=2HS DH =， ⊙HS=m ，，⊙BS=BD-DS=5m，⊙tan⊙BDE=tan⊙DBF=15 HSBS=，⊙⊙BDE=⊙BRE，⊙tan⊙BRE=15 BPPR=，⊙BP=FH=2a，⊙RP=10a，在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：⊙BEP=⊙HKD，⊙⊙BET⊙⊙HKD，⊙⊙BTE=⊙KDH，⊙tan⊙BTE=tan⊙KDH，⊙23BPPT=，即PT=3a，⊙TR=RP-PT=7a，⊙S⊙BER-S⊙DHK=74，⊙12BP•ER-12HM•DK=74，⊙12BP•（ER-DK）=12BP•（ER-ET）=74，⊙12×2a×7a=74，解得：a=12（负值舍去），⊙BP=1，PR=5，则=点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．63．在△O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，△ACB=120°，点I是△ABC的内心，CI的延长线交△O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若△O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分⊙ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据⊙ACB=120°，⊙ACD=⊙BCD，可求出⊙BAD的度数，再根据AD=BD，可证得⊙ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明⊙BID=⊙IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⊙的三等分点，⊙ABD是等边三角形，可证得⊙DAI1=⊙AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：⊙点I是⊙ABC的内心⊙CI平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD⊙弧AD=弧BD⊙AD=BD（2）AB=DI理由：⊙⊙ACB=120°，⊙ACD=⊙BCD⊙⊙BCD=×120°=60°⊙弧BD=弧BD⊙⊙DAB=⊙BCD=60°⊙AD=BD⊙⊙ABD是等边三角形，⊙AB=BD，⊙ABD=⊙C⊙I是⊙ABC的内心⊙BI平分⊙ABC⊙⊙CBI=⊙ABI⊙⊙BID=⊙C+⊙CBI，⊙IBD=⊙ABI+⊙ABD⊙⊙BID=⊙IBD⊙ID=BD⊙AB=BD⊙AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧。

专题九 解析几何 第二十四讲 直线与圆答案部分 2019年1.解析 由题意和题图可知，当P 为优弧»AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-. 此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.解析 24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．3.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径22(20)(12)5r --+-+= 解法二：由22034(1)41m r m ⨯-+==+++，得2m =-，所以55r ==. 4.解析 （1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线+2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离222d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所=解得2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．4．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．5．D 【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=．6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC ，故中心为，故ΔABC3=． 8．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=o，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 32OMN '∠=<， 则45OMN '∠<o，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =C ，故选A ．9．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 10．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．11．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．12．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．13．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d ==2422r a =+=-，故4a =-14．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．15．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 16．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2． 17．A 【解析】 圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．18．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.19．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b <<，选B20．B 【解析】点M(a , b )在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．21．C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-。

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (46)1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是BF的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【解析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，再利用圆周角定理得到∠BAC=∠EAC，加上∠BAC=∠OCA，所以∠EAC=∠OCA．则OC∥AE，从而得到AE⊥DE；（2）连接BF交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∴∠BFA=90°．易得四边形CEFG是矩形．则CO⊥BF，CF=GF，利用垂径定理得到BG=GF，再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CE的长．（1）证明：连接OC，如图，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∵点C是BF的中点，∴∠BAC=∠EAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA．∴OC∥AE．∴AE⊥DE；（2）连接BF交OC于G，如图，∵AB是⊙O直径，∴∠BFA=90°．易得四边形CEFG是矩形．∴CO⊥BF，CF=GF，∴BG=GF，在Rt△ABF中，∠BAE=60°，AF=4，∴∴∴．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．2．如图，在△ABC中，BC为O的直径，AB交O于点D，DE AC⊥，垂足为点E，延长DE交BC的延长线于点F.若A ABC∠=∠.（1）求证：BD AD=；（2）求证：DF是O的切线；（3）若O的半径为6，3sin5F∠=，求DE的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 4.8DE=. 【解析】（1）连接CD ，由圆周角定理易得CD ⊥AB ，又有AC=BC ，故AD=BD ．（2）连接OD ，根据三角形中角的互余关系可得∠ODF=90°，故DF 是⊙O 的切线．（3）根据三角函数的定义，可得sin ∠F= 353OF＝，进而可得CF=5-3=2，再根据比例的关系，代入数据可得答案．（1）证明：连接CD ，∵BC 是直径，∴90BDC ∠=︒，即CD AB ⊥∵A ABC ∠=∠，∴AC BC =∴BD AD =（2）证明：连接OD ，∵90A B AED BDC ∠=∠∠=∠=︒，，∴ADE DCO ∠=∠.∵OC OD =，∴DCO CDO ∠=∠.∴CDO ADE ∠=∠由（1）得90ADE CDE ∠+∠=︒，∴90CDO CDE ∠+∠=︒.即90ODF ∠=︒∴DF 是O 的切线.（3）在Rt DOF 中， ∴36sin 5OD F OF OF∠===∴10.10648OF CF DF ==-==，由（2）得90DEA ODF ∠=∠=︒，∴//OD AC . ∴CEF ODF ∽ ∴EF CF DF OF = 即84810DE -=. 解得： 4.8DE = 本题考查切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．3．如图，已知在矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，点O 在AB 的延长线上，OB =∠AOE =60°，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OE 方向运动，以P 为圆心，OP 为半径作⊙P ，同时点Q 从B 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B -C -D 向点D 运动，Q 与D 重合时，P ，Q 同时停止运动，设P 的运动时间t 秒．（1）∠BOC = ，PA 的最小值是 ；（2）当⊙P 过点C 时，求⊙P 的劣弧与线段OA 围成的封闭图形的面积；（3）当⊙P 与矩形ABCD 的边所在直线相切时，求t 的值．【答案】（1）30°；；（2）89π-（3）上述t 值均在0≤t≤6范围之内，当⊙P 与矩形ABCD 的边所在直线相切时，t 【解析】【解析】（1）在直角△OBC 中，先根据锐角的正切求∠BOC 的度数；根据垂线段最短可知：当AP ⊥OP 时，P A 的值最小，根据三角函数求AP 的最小值；（2）如图2，作辅助线，构建矩形PCBN ，确定⊙P 的劣弧与线段OA 围成的封闭图形是小弓形OM ，根据扇形面积减去三角形面积可得结论；（3）分三种情况：①当⊙P 与矩形ABCD 的边BC 相切时，是（2）问中的情况，此时t =； ②当⊙P 与矩形ABCD 的边AD 相切时，如图3，根据AN +NO =AO 列式可得t 的值；③当⊙P 与矩形ABCD 的边CD 相切时，如图4，根据PM +PH =BC 列式可得t 的值．（1）如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，∴∠OBC =90°，tan ∠BOC 3BC OB ===，∴∠BOC =30°．当AP ⊥OP 时，P A 的值最小．∵OA =AB +OB在Rt △AOP 中，∵∠AOE =60°，∴sin60AP OA =，∴AP 4=+=（，∴P A 的最小值是．故答案为30°，（2）如图2，由题意得：OP =半径r =2t ，连接PC 、PM ，则PC =PM =PO =r =2t ，∴∠POC =∠PCO =∠BOP ﹣∠BOC =60°﹣30°=30°．∵∠BCO =90°﹣∠BOC =90°﹣30°=60°，∴∠PCB =∠BCO +∠PCO =60°+30°=90°，即半径PC ⊥BC （此时直线BC 与⊙P 相切）．作PN ⊥OM 于N ，∴∠PNB =∠NBC =∠BCP =90°，∴四边形PCBN 是矩形，∴BN =PC =2t ．∵∠NOP =60°，∴在Rt △PNO 中，∠OPN =30°，∴ON 12=OP =t ． ∵BN +ON =BO ，∴2t +t，∴t =，r =∴当t =时，⊙P 经过点C ，S 小弓形OM =S 扇形POM ﹣S △POM ．∵∠POM =60°且PO =PM ，∴△POM 是等边三角形，∴OM =2ON =2t 3=，PN ==2，∴S 小弓形OM 260133602π⋅=-（289=π．答：⊙P 的劣弧与线段OA 围成的封闭图形的面积为89π（3）①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中⊙P过点C，此时t=②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，过P作PF⊥AD于F，过P作PN⊥AO于N，AN=FP=r=2t，ON12=OP=t．∵AN+NO=AO，∴2t+t4，t=③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，过PM⊥DC于M，交OA于H，则PM=OP=2t，PH=．∵PM+PH=BC，∴2t=2，t=4﹣综上所述：当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时t或4﹣．本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、垂线段的性质、直角三角形30°角的性质、弓形面积的计算、扇形面积公式、勾股定理、动点问题、直线与圆相切等知识，熟练掌握矩形的性质和直线与圆相切的性质是关键，第三问有难度，采用了分类讨论的思想解决问题，注意不要丢解． 4．如图，AB 是⊙O 的直径．CD 切⊙O 于点C ，BE CD ⊥于E ，连接,AC BC ．（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若⊙O 的半径为2，060A ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CE =．【解析】【解析】（1）连接OC ，利用切线的性质和已知条件证明BE ∥OC ，进而得到内错角相等，再利用圆的半径相等得到相等的角即可证明BC 平分∠ABE ；（2）由圆周角定理可知∠ACB=90°，所以∠ABC=30°，由（1）可知∠CBE=30°，利用勾股定理和在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出CE 的长．（1）CD 是⊙O 的切线，切点为C ，OC DE ∴⊥，BE DE ⊥，//CO BE ∴，OCB EBC ∴∠=∠，连接OC ，可得OC OB =，OCB OBC ∴∠=∠；OBC EBC ∴∠=∠，BC ∴平分ABE ∠；（2）AB 是⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒，60A ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，⊙O 的半径为2，4AB ∴=，2AC ∴=，BC ∴= BC 平分ABE ∠，30CBE ∴∠=︒，12CE BC ∴== 本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、切线的性质及圆周角的性质定理，本题综合性较强，熟记且能运用是解答的关键． 5．问题探究：（1）已知：如图①，△ABC 中请你用尺规在BC 边上找一点D ，使得点A 到点BC 的距离最短．（2）托勒密（Ptolemy ）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P 是正△ABC 外接圆的劣弧BC 上任一点（不与B 、C 重合），请你根据托勒密（Ptolemy ）定理证明：PA=PB+PC问题解决：（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m 、60m 的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P 处，使P 到A 、B 、C 三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P ？若存在，请作出点P 的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）过点A 作BC 边的垂线，垂足为D ，点D 即为所求，见解析；（2）证明见解析；（3）点P 到A 、B 、C 三点距离之和的最小值约是．【解析】【解析】（1）过点A 作AD ⊥BC 于D ，点D 即为所求．（2）由托勒密定理得：P A •BC =BP •AC +CP •AB ．再由等边三角形的性质得到AB =BC =AC ，代入即可得到结论．（3）如图③，以BC 为边向外作正ΔBCD ，再作它的外接圆，连接AD ，与外接圆交于点P ，点P 就是所要求作的位置．由托勒密定理得到PD =BP +PC ，而三点A 、P 、D 共线，因此点P 到三个顶点的距离和P A +PB +PC =P A +PD =AD 最短．过点D 作DE ⊥AC ，交其延长线于点E ．由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出结论．（1）过点A 作BC 边的垂线，垂足为D ，点D 即为所求，如图①．（2）如图②，由托勒密定理得：P A •BC =BP •AC +CP •AB ．又∵ΔABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC ，∴AP •BC =（BP +CP ）•BC ．∴AP =BP +PC ．（3）如图③，以BC 为边向外作正ΔBCD ，再作它的外接圆，连接AD ，与外接圆交于点P ，点P 就是所要求作的位置．由托勒密定理得：PD =BP +PC ，而三点A 、P 、D 共线，因此点P 到三个顶点的距离和P A +PB +PC =P A +PD =AD 最短．过点D 作DE ⊥AC ，交其延长线于点E ．∵BC =CD =30，∠DCE =30°，∴DE =15，CE =在RtΔADE 中，由勾股定理得：AD ==P 到A 、B 、C 三点距离之和的最小值约是．本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、圆周角定理以及含30°角的直角三角形，解题的关键是利用托勒密定理．6．如图，已知ABC △为等腰三角形. (1)尺规作图：作ABC △的外接圆O (保留作图痕迹，不写作法)；(2)若底边5BC =，腰3AB =，求(1)中ABC △的外接圆O 的半径r .【答案】(1)作图见解析；(2)11. 【解析】【解析】 （1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC 的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心（设圆心为O ）；以O 为圆心、OB 长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．（2）连接OB ，连接OA 交BC 于点E ．利用勾股定理构建方程即可解决问题.(1)如图所示.如图O 是所求作的ABC ∆的外接圆.(2)连结OB ，连结OA 交BC 于点E ，∵ABC ∆是等腰三角形，底边5BC =，腰3AB =，∴OA BC ⊥，52BE CE ==.在Rt ABE ∆中，2AE ==.在Rt BOE ∆中，222522r r ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴11r == 此题主要考查的是三角形外接圆的作法，勾股定理等知识，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出外接圆的圆心，重合利用参数构建方程解决问题．7．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，给出如下定义：若点P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心C 的距离d ≤r ，则称P 为⊙C 的关联整点.（1）当⊙O 的半径r =2时，在点D （2，-2），E （-1，0），F （0，2）中，为⊙O 的关联整点的是 ； （2）若直线4y x =-+上存在⊙O 的关联整点，且不超过7个，求r 的取值范围；（3）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，若直线4y x =-+上存在⊙C 的关联整点，求圆心C 的横坐标t 的取值范围.【答案】（1）E 、F ；（2） r ＜（3）3≤t ≤5+. 【解析】 【解析】（1）根据关联整点的定义进行判断即可.（2）首先求出直线4y x =-+上有一个⊙O 的关联整点时，即⊙O 过点G （2,2）时，半径r 的值，再求出直线4y x =-+上有9个⊙O 的关联整点时，即⊙O 过点L （-2,6）时，半径r 的值，即可求解.（3）分别求出当⊙C 过点M （3,1）和⊙C 过点N （5,-1）时，圆心C 的横坐标即可.（1）点D,E,F 的横、纵坐标均为整数，点D 到圆心O 2,=>不满足关联整点的定义.点E 到圆心O 12,=<满足关联整点的定义.点F 到圆心O 22,=≤满足关联整点的定义. 则E,F 为⊙O 的关联整点 故答案为：E 、F ；（2）当⊙O 过点G （2,2）时，r =⊙O 过点L （-2,6）时，r =∴ r ＜（3）如图所示：当⊙C过点M（3,1）时，CM=2，MH=1，则CH C的横坐标t=3，当⊙C过点N（5,-1）时，点C的横坐标t=5∴3t≤5+属于圆的综合题，读懂题目中关联整点的定义是解题的关键.8．如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为x cm，B，E两点间的距离为y cm(当点C与点A或点B重合时，y的值为0)．小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：经测量m的值为_____；（保留两位小数）(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2时，AC的长度约为cm.【答案】（1）2.76；（2）如图见解析；（3）2.14， 5.61.【解析】【解析】（1）利用测量法即可解决问题；（2）利用描点法画出图形即可解决问题；（3）观察图象，即可求出当BE=2时，AC的长度.(1)经测量m的值是m=2.76；(2)如图；(3)观察图象，当BE=2时，AC的长度约为2.14，5.61.故答案为：2.14， 5.61.属于圆的综合题，解题的关键是理解题意，学会函数图象的画法.9．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．①求证：AG＝GD；②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝35，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC的长为145．【解析】【解析】（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan∠ABD34=，cos∠ABD＝45，再求出DF、BF，然后即可求出BC.（1）证明：连接AD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AE=，∴∠ADE＝∠ABD，∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AG＝GD；（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，∴△DGF是等边三角形；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，∵AB＝10，sin∠ABD＝35，∴在Rt△ABD中，AD＝AB•sin∠ABD＝6，∴BD＝8，∴tan∠ABD＝34ADBD=，cos∠ABD＝4=5BDAB，在Rt△ADF中，DF＝AD•tan∠DAF＝AD•tan∠ABD＝6×34＝92，∴BF＝BD﹣DF＝8﹣92＝72，∴在Rt△BCF中，BC＝BF•cos∠DBC＝BF•cos∠ABD＝72×45＝145．∴BC的长为：145．此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．10．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3． 【解析】 【解析】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =，进而得到∠DAC＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可. 作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ， ∴BC CD =， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°， ∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE，∴DE ＝AE ＝2， ∵AC ＝7， ∴CE ＝5，∴DC =，∴BC ， ∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°， ∴tan60°＝BFAF，BF 2+CF 2＝BC 2，∴BF ，∴()2227AF +-=，∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AFAB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4， ∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC （SSS ）， ∴∠ADC ＝∠ABC ， ∵ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC ＝180°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，2222453AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去）， 当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PC 切⊙O 于点P ，过A 作直线AC ⊥PC 交⊙O 于另一点D ，连接PA 、PB ．(1)求证：AP 平分∠CAB ；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP的长是_____时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当AP的长度是______时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．【答案】(1)证明见解析；(2)①②23π或43π．【解析】(1)利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC∥OP得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，所以∠1＝∠2；(2)①当∠AOP＝90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP＝；②根据菱形的判定方法，当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP和△AOD 为等边三角形，然后根据弧长公式计算AP的长度．当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，根据弧长公式计算AP的长度．(1)∵PC切⊙O于点P，∴OP⊥PC，∵AC⊥PC，∴AC∥OP，∴∠1＝∠3，∵OP＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP平分∠CAB；(2)①当∠AOP＝90°，四边形AOPC为矩形，而OA＝OP，此时矩形AOPC为正方形，AP OP＝；②当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP＝60°，AP的长度＝602180=23π．当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，AP 的长度＝120241803ππ=．故答案为；23π或43π．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形和菱形的判定．12．阅读理解：如果两个正数a ，b ，即a ＞0，b ＞0，有下面的不等式：2a b+≥，当且仅当a ＝b 时取到等号我们把2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具． 初步探究：（1）已知x ＞0，求函数y ＝x+4x的最小值． 问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为100m 2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB 经点P （3，4），与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求△AOB 的内切圆的半径．【答案】初步探究：（1）4；问题迁移：（2）x ＝m 时，y 有最小值，即所用栅栏最短；创新应用：（3）R ＝2． 【解析】 【解析】（1）根据x ＞0，令a=x ，b=4x，利用题中的新定义求出函数的最小值即可；（2）设一直角边为xm ，则另一直角边为200xm ，栅栏总长为ym ，根据题意表示出y 与x 的函数关系式，利用题中的新定义求出y 取得最小值时x 的值即可；（3）设直线AB 解析式为y=kx+b ，把P 坐标代入用k 表示出b ，进而表示出A 与B 坐标，确定出OA 与OB 的长，得出三角形AOB 面积，利用题中的新定义求出三角形AOB 面积最小时k 的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB 内切圆半径． 解：（1）令a ＝x ，b ＝4x（x ＞0），由y ＝x+4x 4， 当且仅当x ＝4x时，即x ＝2时，函数有最小值，最小值为4； （2）设一直角边为xm ，则另一直角边为200xm ，栅栏总长为ym ，y ＝x+2002002x x x⋅=当且仅当x ＝200x时，即x ＝m 时，y 有最小值，即所用栅栏最短； （3）设直线AB 的解析式是y ＝kx+b ， 把P （3，4）代入得：4＝3k+b ， 整理得：b ＝4﹣3k ，∴直线AB 的解析式是y ＝kx+4﹣3k ， 当x ＝0时，y ＝4﹣3k ；当y ＝0时，x ＝34k k-， 即A （0，4﹣3k ），B （34k k-，0）， ∴S △AOB ＝12OB•OA ＝12（4﹣3k ）•34k k -＝12﹣（982k k+），∵要使△AOB 的面积最小， ∴982k k+必须最大， ∵k ＜0， ∴﹣k ＞0，∵982k k --≥6＝12，当且仅当982k k -=-时，取等号，解得：k ＝±43，∵k ＜0，∴k ＝﹣43， 即OA ＝4﹣3k ＝8，OB ＝6，根据勾股定理得：AB ＝10，设三角形AOB 的内切圆的半径是R ， 由三角形面积公式得：12×6×8＝12×6R+12×8R+12×10R ， 解得：R ＝2．圆的综合题，弄清题中新定义“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”是解本题的关键．13．在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，BE ⊥AC 于点E ，点O 是线段AC 上的一点，以AO 为半径作圆O 交线段AC 于点G ，设AO=m ．（1）直接写出AE 的长：AE= ；（2）取BC 中点P ，连接PE ，当圆O 与△BPE 一边所在的直线相切时，求出m 的长； （3）设圆O 交BE 于点F ，连接AF 并延长交BC 于点H ．①连接GH ，当BF=BH 时，求△BFH 的面积；②连接DG ，当tan ∠HFB=3时，直接写出DG 的长，DG= ．【答案】（1）AE=185；（2）95m =，154m =，2720m = ；（3）①185，②DG=5【解析】【解析】 （1）证明△ABE ∽△ACB ，根据相似三角形对应边成比例求出AE 的长即可；（2）符合题意的共有圆O 与BE 相切，圆O 与EC 相切，圆O 与EP 相切三种情况，分别算出这三种情况下m 的值即可；（3）①如图，过点F 作FN ⊥AB ，先根据证明△AEF ∽△ABH ，再根据相似比求出EF 的长，证明△AEF ≌△ANF ，得到FN 的长，最后根据S △BFH ＝S △ABH －S △ABF 求解即可；②如图，作一条经过G 点与AB 垂直的直线GM ，与AB 交点为M ，过点G 作QG ⊥AD ，垂足为Q ，先根据tan ∠HFB＝3得到EF ＝13AE ，求出EF 的长，设AO 为m ，则OE ＝185－m ，OF ＝m ，在△OEF 中，根据勾股定理列含m 的等式解出m 的值，进而得到AG 的长度，再根据AM AB AG AC ＝，求出AM 的长，再在△AMG 中，由勾股定理求出GM ，最后根据勾股定理求出DG 即可.（1）∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝ABC ＝90°，又∵∠CAB ＝∠EAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB 2＝AE∙AC ，∴AE ＝3610＝185. （2）如图，共三种情况.①圆O 与BE 相切，则AO ＝m ＝2AE ＝95， ②圆O 与BC 相切，记切点为M 点，连接OM ，则OM CO AB AC＝， ∴106m m m－＝， ∴m ＝154 ， ③圆O 与EP 相切，记切点为M ，连接OM ，∵∠MEO ＝∠CEP ＝∠ECP ＝∠ABE ，又∠OME ＝∠AEB ＝90°，∴△OME ∽△AEB ， ∴OM OE AE AB＝， 即1851865m m ＝ ∴m ＝2720. （3）①∵BF ＝BH ，∴∠BFH ＝∠BHF ，又∵∠AFE ＝∠BFH ，∴∠AFE ＝∠AHB ，又∠AEF ＝∠ABH ，∴△AEF ∽△ABH ， ∴AE EF AB BH＝， 设EF 的长度为x ，∵AB ＝6，BC ＝8，所以由勾股定理易知AC ＝10，S △ABC ＝1××2AB BC ＝24， ∴BE ＝2ABC S AC＝4.8， ∴AE EF EF AB BH BE x＝＝－， 即1856 4.8x x ＝－，解得x ＝95， ∴BF ＝BH ＝BE －EF ＝3，如图，过点F 作FN⊥AB ，∵∠EFA＝∠HFB，∠EFA＋∠EAF＝∠HAB＋∠AHB＝90°，∠HFB＝∠AHB，∴∠EAF＝∠HAB，又因为∠AEF＝∠ANF，AF＝AF，∴△AEF≌△ANF，∴FN＝EF＝95，∴S△BHF＝S△ABH－S△ABF＝11918×3?6?×6 2255－＝.②如图，作一条经过G点与AB垂直的直线GM，与AB交点为M，过点G作QG⊥AD，垂足为Q，∵∠EFA＝∠HFB，∴13 EFAE＝，∴EF＝6 5 ,设AO为m，则OE＝185－m，OF＝m，在△OEF中，由勾股定理有OE2＋EF2＝OF2，即22218655m m⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－＋＝，解得m＝2，∴AO＝2，AG＝4，∵GM∥CB，∴AM ABAG AC＝，∴AM＝125，∴QG＝AM＝125，在△AMG中，由勾股定理有GM165＝，∴DQ＝8－GM＝245，∴在△DQG中，由勾股定理有，DG.本题考查的知识点有圆的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握这些知识，并根据题意灵活运用，掌握数形结合的思想，是解答此类问题的关键.14．如图，点P是圆O直径CA延长线上的一点，PB切圆O于点B，点D是圆上的一点，连接AB，AD，BD，CD，∠P=30°．（1）求证：PB=BC；（2）若AD=6，tan∠DCA=34，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【解析】（1）如图，连接OB，根据切线的性质易得∠POB＝60°，再根据外角的性质求得∠PCB＝30°，则PB＝PC得证；（2）如图过A点作AM⊥BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，再根据锐角三角函数求出DM、AM的长，再由tan∠DCA＝34求出BM的长，即可求出BD的长.（1）如图所示，连接OB.∵PB是切线，∴∠OBP＝90°，∴∠POB＝90°－∠P＝60°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB＝12∠POB＝30°，∴∠P＝∠PCB，∴PB＝PC.（2）如图过A点作AM⊥BD，∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，∴DM＝ADcos30°＝AM＝ADsin30°＝3，∵tan∠ABD＝tan∠DCA＝34，∴34 AMBM＝，∴BM＝4，∴BD＝BM＋DM＝4＋本题主要考查了切线的性质和圆周角定理等知识点，熟练掌握基础知识并根据题意灵活运用是解答本题的关键.15．如图，网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．（1）在图①中画出格点△ABC，使△ABC是等腰三角形；（2）以AB为斜边作Rt△ABC（见图②），在图②中找出格点D，作锐角△ADC，且使得∠ADC=∠B．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据等腰三角形的特征作图即可；（2）利用直角三角形的性质结合外心的性质，作图即可. （1）如图所示.（2）如图所示:本题主要考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握这些知识是解答本题的关键.16．如图，CD是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，点A在CD的延长线上，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，且CB平分∠ACE.（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径.【答案】（1）证明略；（2）半径为25 8.【解析】（1）连接OB，由题意可证OB∥CE，由CE⊥AE，可得OB⊥AE，则可证AB是⊙O的切线；（2）连接BD通过△DBC∽△BEC，得到比例式DC BCBC CE=，求出DC即可得结果．解：（1）连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠BCE，∴∠OBC=∠BCE，∴OB∥CE，∵CE⊥AE，∴OB⊥AE，∴直线AB是⊙O的切线；（2）连接BD，∵CE丄AB，∴∠E＝90°，∴BC5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴DC BC BC CE=∴BC2＝DC•CE，∴DC＝254，∴OC＝12CD＝258，∴⊙O的半径＝25 8.本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．【答案】（1）见解析；（2）DB【解析】【解析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM＝∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DF•DA，据此解答即可．（1）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线；（2）BD CD=，∴∠DBF＝∠DAB，又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2＝DF•DA，∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7 ∴DB2＝DF•DA＝14∴DB．本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圆⊙O于点E．（1）求证：∠CAB＝∠AEC．（2）若BC＝3．①EC∥BD，求AE的长．②若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长．（3）若BC＝EC，则BCDACESS∆＝．（直接写出结果即可）【答案】（1）见解析；（2）①AE ＝163，②BD ＝154 ；（3）BCD ACE S S =. 【解析】【解析】 （1）利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立；（2）延长AC 交BD 于点F ，利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可；（3）利用勾股定理和相似三角形分别求出AE 和BD 的长，依据对应边等高三角形的面积比是对应边之比，进而求解；证明：（1）∵四边形BCED 内接于⊙O∴∠AEC ＝∠DBC又∵DB ⊥AB∴∠ABC+∠DBC ＝90°又∵∠ACB ＝90°∴在Rt △ABC 中，∠CAB+∠ABC ＝90°∴∠DBC＝∠CAB∴∠CAB＝∠AEC（2）①如图1延长AC交BD于点F，延长EC交AB于点G．∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3∴由勾股定理得，AC＝4又∵BC⊥AF，AB⊥BF∠AFB＝∠BFC∴Rt△AFB∽Rt△BFC∴CF BC BC AC=∴BC2＝CF•AC即9＝CF•4，解得，CF＝9 4又∵EC∥BD∴CG⊥AB∴AB•CG＝AC•BC即5CG＝4×3，解得，CG＝12 5又∵在Rt△ACG中，AG=16 5又∵EC∥DB∴∠AEC＝∠ADB由（1）得，∠CAB＝∠AEC ∴∠ADB＝∠CAB又∵∠ACB＝∠DBA＝90°∴Rt△ABC∽Rt△DBA∴BC AB AB AD=得AD＝25 3又∵EG∥BD∴AG AE AB AD=得AE＝16 3②当△BDC是直角三角形时，如图二所示∵∠BCD＝90°∴BD为⊙O直径又∵∠ACB＝90°∴A、C、D三点共线即BC⊥AD时垂足为C，此时C点与E点重合．又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90°∴Rt△ACB∽Rt△ABD∴AC AB AB AD=得AD＝25 4又∵在Rt△ABD中，BD15 4 =③如图三，由B、C、E都在⊙O上，且BC＝CE＝∴BC CE=∴∠ADC＝∠BDC即DC平分∠ADB过C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分别为M、N．，H．∵在Rt△ACB中AB＝5，BC∴AC＝又∵在Rt△ACB中CH⊥AB∴AB•CH＝AC•BC即5CH＝解得，CH＝2∴MB＝2又∵DC平分∠ADB∴CM＝CN又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2∴HB＝1∴CM＝CN＝1又∵在△DCN与△DCM中NDA MDC NDC DMC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCN 与△DCM （AAS ）∴DN ＝DM设DN ＝DM ＝x则BD ＝x+2，AD ＝在Rt △ABD 中由AB 2+BD 2＝AD 2得，25+（x+2）2＝（2解得，x＝23∴BD ＝BM+MD ＝又由（1）得∠CAB ＝∠AEC ，且∠ENC ＝∠ACB∴△ENC ∽△ACB ∴2NC AC EN BC== ∴NE ＝2又∵在Rt △CAN 中CN ＝1，AC ＝∴AN＝∴AE ＝AN+NE又∵S △BCD ＝12BD•CM ，S △ACE ＝12AE•CN ，CM ＝CN∴95BCD ACE SBD S AE == 故BCDACES S =95. 本题综合考察了圆内接四边形的性质，以及等弧对等弦，等弧所对的圆周角相等与相似三角形的判定，勾股定理的运用，全等三角形的证明等多个知识点，需要认真分析，属于偏难题型． 19．已知，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在CD 的延长线上取一点P ，PG 与⊙O 相切于点G ，连接AG 交CD 于点F ．（Ⅰ）如图①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；（Ⅱ）如图②，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝PF的长．【答案】（Ⅰ）∠GFP＝70°，∠AGP＝70°；（Ⅱ）PF＝4．【解析】【解析】（Ⅰ）连接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为OA＝OG，所以∠OGA ＝∠A＝20°，因为PG与⊙O相切于点G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，证明△OAD为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD ＝30°，因为DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF 中可求得AF＝2，再证明△GFP为等边三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．解：（Ⅰ）连接OG，∵CD⊥AB于E，∴∠AEF＝90°，∵∠A＝20°，∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，∴∠GFP＝∠EFA＝70°，∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠A＝20°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，∴OD＝AD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠AGD＝12∠AOD＝30°，∵DG∥AB，∴∠BAG＝∠AGD＝30°，∵AB为⊙O的直径，OA＝，∴∠AGB＝90°，AB＝∴AG＝AB•cos30°＝6，．∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠BAG＝30°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，∴△GFP为等边三角形，∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键是掌握圆的切线的性质．20．如图，△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16．（1）作△ABC的外接圆O（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）（2）求OA的长．【答案】（1）见解析；（2）OA＝253．【解析】【解析】（1）可按尺规作图的方法进行作图．（作其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆）；（2）可通过构建直角三角形来求解．连接OA，OC，OA⊥BC．先在三角形ACD中求出AD的值，然后在三角形ODC中，用半径表示OD，OC，根据勾股定理求出半径．解：（1）如图，点O即为所求的点．（2）连接OA交BC于D，连接OC．因为AB＝AC，所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8．在Rt△ADC中，AD6==.设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6．在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2，得R2＝（R﹣6）2+82，解得R＝253，∴OA＝253．本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理和垂径定理，要注意本题中外接圆的作法．21．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）AD =（3【解析】【解析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α。

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。

图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (62)1．如图，是的直径，是上半圆的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作切线的垂线，垂足为，且与交于点，设，的度数分别是.(1)用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；(2)连接与交于点，当点是的中点时，求，的值.【答案】（1）β=90°-2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°.【解析】试题分析：（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；试题解析：（1）连接OC．∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°（0°＜α＜45°），即β=90°-2α（0°＜α＜45°）．（2）连接OF交AC于O′，连接CF．∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．考点：切线的性质；垂径定理；菱形的判定；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质. 2．如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆.（1）求证：是的切线；（2）若求的半径.【答案】(1)证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．试题解析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，∴DF=2，∴AD==2，∴AE=，在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，∴R=，即⊙O的半径为．考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．3．已知的内切圆与分别相切于点，若，如图1.(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)设与相交于点，如图2，求的长.【答案】（1）△ABC为等腰三角形，证明见解析；（2）AM=．【解析】试题分析：（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．试题解析：（1）△ABC为等腰三角形，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，∵四边形内角和为360°，∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，∵，∴∠EOF=∠DOE，∴∠B=∠C，AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE=CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF=AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，∴AD=AF，BD=CF，∴DF∥BC，∴，∵AE==4，∴AM=4×=．考点：三角形的内切圆与内心．4．如图14，是的直径，，连接．（1）求证：；（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①②【解析】试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②试题解析：（1）证明：如图，连接BC.是的直径，（2）①如图所示，作于F由（1）可得，为等腰直角三角形.是的中点.为等腰直角三角形. 又是的切线，四边形为矩形②当为钝角时，如图所示，同样，（3）当D在C左侧时，由（2）知,,在中，当D在C右侧时，过E作于由（2）得，在中，考点：圆的相关知识的综合运用5．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求的最小值.【答案】（1）详见解析；(2)2.【解析】试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值．试题解析：(1)如图，点P即为所求作的点.(2)由（1）可知，的最小值为的长，连接,OB、OA∵A点关于MN的称点，∠AMN=30°，∴又∵为的中点∴∴∴又∵MN=4∴在Rt△中，即的最小值为2.考点：圆，最短路线问题．6．如图，是的直径，轴，交于点．(1)若点，求点的坐标；(2)若为线段的中点，求证：直线是的切线．【答案】(1)(，2)；(2)详见解答.【解析】试题分析：(1)在直角三角形ABN中，求出BN的长，即可得到点B的坐标；(2)连接MC，NC，用等腰三角形的性质证明∠MCD＝∠MND.试题解析：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4，∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8，∴由勾股定理可知：NB＝，∴B(，2)(2)连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝90°，∴∠NCB＝90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD，∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC．∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：圆的基本性质；解直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质；切线的判定.7．如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接，，使得，.(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长.【答案】(1)证明见解析;(2)．【解析】试题分析:（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．试题解析：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴，∴EF=．考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．8．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若BF=10，sin∠，求DE的长．【答案】（1）详见解析；（2）4.【解析】（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，试题分析：进而得出直线DE是⊙O的切线；（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据=sinF=sin∠BDE=，可得BD=2，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE==，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．试题解析：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE==4．考点：切线的判定与性质；解直角三角形.9．如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．（Ⅰ）若，求弧的长；（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．【答案】（Ⅰ）的长=π；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得PD是⊙O的切线.试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的长==π；（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD==45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.10．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．【答案】（1）∠BOC=90°；（2）BE+CG =10cm；（3）OF=4.8cm．【解析】试题分析：（1）连接OF，根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；再根据平行线性质得到∠BOC为直角；（2）进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）由勾股定理可求得BC的长，最后由三角形面积公式即可求得OF的长．试题解析：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBE+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°；（2）∵OB=6cm，OC=8cm，∴BC=10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）OF=4．8考点：1．切线长定理，2．勾股定理，3．平行线的性质11．已知AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的任意一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线PD与AC交于点D．(1)如图1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度数；(2)如图2,若点P位于(1)中不同的位置，(1)的结论是否仍然成立？说明你的理由．【答案】（1）∠CDP=45°；（2）∠CDP的大小不发生变化，理由见解析.【解析】（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，试题分析：由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP 的大小不发生变化．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC∴∠OCP=90°．∵∠CPA=30°，∴∠COP=60°∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°∵PD平分∠APC，∴∠APD=15°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．（2）∠CDP的大小不发生变化．∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°．∵PD是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APD．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．即∠CDP的大小不发生变化．点睛：本题考查切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，注意各个知识点之间的衔接.切线性质的运用：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造订立图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.12．如图，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？【答案】4.【解析】分析：1、求作以AB为一腰的圆内接等腰三角形的个数；2、可以分别以A、B为圆心,以AB为半径画弧,与圆相交,分别连结A、B与其交点,即可得到三角形.本题解析：当以AB为一腰时，有两个等腰三角形可以作：分别以A，B两点为圆心，AB长为半径画弧交圆于C，D两点(如图).△ABC和△ABD就是所求作的三角形.当以AB为底边时，有两个等腰三角形可以作：作AB的垂直平分线交圆于E，F两点(如图).△ABE 和△ABF就是所求作的三角形.∴这样的三角形能作4个.点睛：本题主要考查了等腰三角形的作法.这类题目是一些基本作图的综合应用.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 13．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tan C．C【答案】（1）详见解析；（2）tan2【解析】（1）连接OD ，根据等边对等角得出∠B=∠ODB ，∠B=∠C ，得出∠ODB=∠C ，证得OD ∥AC ，证得OD ⊥DF ，从而证得DF 是⊙O 的切线；（2）连接BE ，AB 是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出AE ，CE=4AE ，然后在Rt △BEC 中，即可求得tanC 的值． （1）连接OD ，∵OB=OD ， ∴∠B=∠ODB ， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）连接BE ， ∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC ，AC=3AE ， ∴AB=3AE ，CE=4AE ，∴=，在RT △BEC 中，tanC=42BE CE AE ==． 14．如图，为半圆的直径，是⊙的一条弦，为的中点，作,交的延长线于点,连接.（1）求证：为半圆的切线；（2）若，求阴影区域的面积.（结果保留根号和π）【答案】（1）证明见解析（2）-6π【解析】试题分析：（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD=S△COD，再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD，求出答案．试题解析：（1）连接OD，∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）连接OC与CD，∵DA=DF，∴∠BAD=∠F，∴∠BAD=∠F=∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，∴∠F=30°，∠BAC=60°，∵OC=OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∠COB=120°，∵OD⊥EF，∠F=30°，∴∠DOF=60°，在Rt△ODF中，DF=6，∴OD=DF•tan30°=6，在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，∴DE=DA•sin30°·，EA=DA•cos30°=9，∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，∴CD∥AB，故S△ACD=S△COD，﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．∴S阴影=S△AED考点：1、切线的判定与性质；2、扇形面积的计算15．如图，与⊙相切于，分别交⊙于点，．（1）求证：；（2）已知，，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接OC，则OC⊥AB，然后等弧对等角求得∠AOC=∠BOC，再根据全等三角形的判定ASA证得△AOC≌△BOC，根据全等三角形的性质可得证；（2）根据三角形的面积求出，和扇形的面积，然后求差即可.试题解析：（1）连接OC，则OC⊥AB∵∴∠AOC=∠BOC在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC（ASA）∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=AB=∴在Rt△AOC中，OC=2∴∠AOC=∠BOC=60°∴∴考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积16．如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．(1)求证：；(2)当时，求的长(结果保留)；(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)；(3)4＜OC＜8.【解析】(1)连接OQ，证明AP，BQ所在两个三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的长求出∠BOQ 的度数，得到所对圆心角的度数，再根据弧长公式求解；(3)△APO的外心是OA的中点，试题分析：试题解析：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.∵OQ=8×cos60°=4，∴的长为=.(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM=4.当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.17．如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形．过A 点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理得到∠DBC=90°，再利用平行四边形的性质得AO∥BC，所以BD⊥OA，加上EF∥BD，所以OA⊥EF，于是根据切线的判定定理可得到EF是⊙O的切线；（2）连接OB，如图，利用平行四边形的性质得OA=BC，则OB=OC=BC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以∠C=60°，易得∠AOE=∠C=60°，然后在Rt△OAE中利用正切的定义可求出AE 的长．试题解析：（1）证明：∵CD为直径，∴∠DBC=90°，∴BD⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AO∥BC，∴BD⊥OA，∵EF∥BD，∴OA⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接OB，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC，而OB=OC=OA，∴OB=OC=BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠AOE=∠C=60°，在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=，∴AE=3tan60°=3．考点：切线的判定与性质；平行四边形的性质．18．已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）=1.【解析】试题分析：（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．试题解析：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴，∴，即=，∵AB=BC，∴=1．考点：相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.19．已知，四边形中，是对角线上一点，,以为直径的与边相切于点.点在上，连接.（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；（2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可．试题解析：（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD，∴DE=OE；（2）∵OD=OE，∴OD=DE=OE，∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，∴∠2=∠1=30°，∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴△ABO≌△CDE，∴AB=CD，∴四边形A∴D是平行四边形，∴∠DAE=∠DOE=30°，∴∠1=∠DAE，∴CD=AD，∴▱ABCD是菱形．考点：1、切线的性质；2、菱形的判定20．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P 作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②3．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴O P=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题21．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ，AD ⊥CD 于点D ． （1）求证：AE 平分∠DAC ；（2）若AB=4，∠ABE=60°，求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）43【解析】试题分析：（1）连接OE ，可证得OE ∥AD ，则∠DAE=∠AEO=∠EAO ，可得结论；（2）由条件求得∠AOE=120°，容易求得△AOE 和扇形AOE 的面积，利用面积差可求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接OE ，如图，∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴OE ∥AD ，∴∠DAE=∠AEO ，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）∵OA=OB，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOE﹣S△AOE=S扇形AOE﹣12S△ABE=2120211-2 36022π⨯⨯⨯=4 3π22．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=900，AD是∠BAC的角分线.（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；【答案】（1）作图见解析；（2）相切；证明见解析.【解析】试题分析（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．试题解析：（1）如图所示，（2）相切；理由如下：证明：连结OD，∴∠OAD=∠ODA∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥BC，即BC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定以及基本作图，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：（1）求∠CAD的度数；（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积.【答案】（1）30°；（2）∠AEC=100°，∠AFC=20°；（3）3π.【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可；（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出即可；（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可．试题解析：：（1）∵弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC=60°，∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，答：∠CAD 的度数是30°．（2）∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=70°-30°=40°，∴∠BCD=∠BAD=40°，∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，∵∠AFC=∠ABC-∠BCF=60°-40°=20°，答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．连接OC ，过O 作OQ ⊥AC 于Q ，∵∠CAD=30°，AO=3，∴OQ=1322OA =由勾股定理得：由垂径定理得：AC=2AQ=∵∠AOC=2∠ABC=120°，∴阴影部分的面积是S 扇形OAC -S △AOC =2120313336022ππ⨯-⨯=- . 24．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，且∠BDE=∠A ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=16，tanA=34，求⊙O 的半径．【答案】（1）DE 为⊙O 的切线；（2）5．【解析】试题分析：（1）连接DO ，BD ，由∠BDE=∠A ，∠A=∠ADO ，得到∠ADO=∠EDB ，再由圆周角定理得∠ADB=90°，得到∠ADO+∠ODB=90°，于是有∠ODB+∠EDB=90°，然后由切线的判定定理可判断DE 为⊙O 的切线；（2）由等角的余角相等得到∠ABD=∠EBD ，由于BD ⊥AC ，得到△ABC 为等腰三角形，所以AD=CD=12AC=8，在Rt △ABD 中利用正切定义可计算出BD 的长，再由勾股定理计算出AB ，从而得到⊙O 的半径．试题解析：（1）DE 与⊙O 相切．理由如下：连接DO ，BD ，如图，∵∠BDE=∠A ，∠A=∠ADO ，∴∠ADO=∠EDB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵∠BDE=∠A ，∴∠ABD=∠EBD ，而BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴AD=CD=12AC=8，在Rt △ABD 中，∵tanA=BD AD =34，∴BD=34×8=6，∴，∴⊙O 的半径为5．考点：1．切线的判定；2．综合题．25．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作⊙O 的切线L ，且AC ⊥DE ，垂足为点E .（1）求证：AD 2=AB ·AE（2）如果DE CE =1，请判别四边形ACDO 的形状，并证明你的结论成立.【答案】（1）证明见解析（2）四边形ACDO 是菱形【解析】（1）连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90°又∵AE ⊥DE ∴∠ADB =∠AED =90°∵∠BAD =∠DAE ∴△ADB ∽△AED ∵AB AD AD AE∴AD 2=AB •AE （2）四边形ACDO 是菱形连结OC ∵tan ∠DCE ∴∠DCE =60°∵OD ∥AE ∴∠DCE =∠ODC =60°∵OD =OC ∴△OCD 是等边三角形同法△OAC 是等边三角形∴OA =AC =CD =DO ∴四边形ACDO 是菱形26．如图，在△AOB 中，∠AOB 为直角，OA =6，OB =8，半径为2的动圆圆心Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD 、QC ．（1）当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）当⊙Q 经过点A 时，求⊙P 被OB 截得的弦长．（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）3011；（2；（3）0＜t ≤1813或3011＜t ≤5． 【解析】试题分析：（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q 与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．试题解析：（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴+t=6，∴t=；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t==4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，由垂径定理可求知：FG=2EF=；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=，∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5．27．如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2=AB·AE.求证：DE是⊙O的切线.【答案】证明略【解析】证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE ＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF ＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线28．如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．【答案】(1)证明见解析;(2) BE的长为5.【解析】试题分析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；∴，∴CD=×12=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．考点：切线的判定与性质；解直角三角形．29．如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,过O点作EC⊥OD，EC交BC于C,交直线AD于E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析;(2) 3﹣π;【解析】试题分析：（1）首先作OH⊥CD，垂足为H，由BC、AD是⊙O的切线，易证得△BOC≌△AOE（ASA），继而可得OD是CE的垂直平分线，则可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，则可得OH=OA，证得CD是⊙O的切线；（2）首先证得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA的长，然后利用三角函数的性质，求得∠DOA的度数，继而求得答案．试题解析：(1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，∵BC、AD是⊙O的切线，∴∠CBO=∠OAE=90°，在△BOC和△AOE中，，∴△BOC≌△AOE（ASA），∴OC=OE，又∵EC⊥OD，∴DE=DC，∴∠ODC=∠ODE，∴OH=OA，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，∴∠E=∠DOA，又∵∠OAE=∠ODA=90°，∴△AOE∽△ADO，∴=，∴OA2=EA•AD=1×3=3，∵OA＞0，∴OA=，∴tanE==，∴∠DOA=∠E=60°，∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，∴∠DOH=∠DOA=60°，∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．30．如图，在Rt△ACB中，∠A=30°，过点B、C的⊙O交AB于D，交AC于E，点F在AE上，连接DE、DC、BE和DF，已知BC=EC，AD=AF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）当BC=4时，求弦CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2） ．【解析】试题分析：（1）连接半径OD ，可求得∠ODB=15°，∠ADF=75°，进一步可求得∠ODF=90°，可证得结论；（2）先求出BE ，证明△ADC ∽△AEB ，有AB BE AC CD=，可求出CD 的长． 试题解析：（1）如图，连接半径OD ，∵∠A=30°，AF=AD ，∴∠ADF=75°，∵BE 为直径，BC=EC ，∴∠CBE=45°，且∠ABC=60°，∴∠OBD=∠ODB=15°，∴∠ODF=180°﹣（∠ODB+∠ADF ）=90°，∴DF 是⊙O 的切线；（2）在Rt △BCE 中，BC=CE=4，∴BE=∵∠A=30°，∴AB=2BC=8，AC=又∠ABE=∠DCA ，∠A=∠A ，∴△ADC ∽△AEB ，∴AB BEAC CD ==，解得CD=点睛：本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点是连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.31．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC＝º,圆的半径为，劣弧的长为．【答案】(1)画图见解析；（2）90 , 1 ，二分之一π【解析】（1）作AC、BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心OA长为半径，即可作出；（2）等腰直角△ABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点，由等腰三角形底边上的中线、高线和角平分线三线合一，可知CO⊥AB，进而得到∠BOC＝90 º，由勾股定理及弧长公式即可求解.解：（1）⊙O如图所示：（2）连接CO，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC由勾股定理得：AB=2，∵∠ACB=90°∴⊙O的半径＝12AB＝1，∵O是AB的中点，且AC=BC ∴CO⊥AB∴∠BOC＝90º,∴9011802 BCππ⨯⨯==.32．如图，在⊙O中，AB为直径，D．E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC 为⊙O 的切线．（2）若sinA=35，BC=6，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠E ，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC=90°，然后根据切线的定义证明即可；（2）根据∠A 的正弦求出AC ，利用勾股定理列式计算求出AB ，然后求解即可．试题解析：（1）证明：∵∠A 与∠E 所对的弧都是BD ，∴∠A=∠E ，又∵∠E+∠C=90°，∴∠A+∠C=90°，在△ABC 中，∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AB 为直径，∴BC 为⊙O 的切线；（2）解：∵sinA=35，BC=6，∴CB AC =35，即6AC =35，解得AC=10，由勾股定理得，，∵AB 为直径，∴⊙O 的半径是12×8=4． 考点：切线的判定；解直角三角形． 33．如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）若CF=3，cosA=25，求出⊙O 的半径和BE 的长； （3）连接CG ，在（2）的条件下，求CG EF的值．【答案】(1)见解析；（2）2，65（3）CG:EF＝4：7【解析】试题分析：（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根据余弦函数的定义得到cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，解方程=，求出R=，那么AB=2OD=，解Rt△AEF，根据余弦函数的定义得到cosA==，求出AE=，然后由BE=AB﹣AE即可求解．试题解析：（1）证明：如图，连结OD．∵CD=DB，CO=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB=2OD，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，则=，解得R=，∴AB=2OD=．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cosA===，∴AE=，∴BE=AB﹣AE=﹣=2．【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．34．如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G、E是劣弧BD上一点，点E 处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．（1）求证：PE=PF（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圆O的直径．【答案】（1）PE=PF；（2）圆O的直径为75 2．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OE，根据切线的性质得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）如图2，连接BE，根据相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可．试题解析：（1）证明：如图1，连接OE，。