最新-上海市2018年“新知杯”初中数学竞赛试卷0181 精品

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。

(C) $-\frac{1}{3}$。

(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。

(B) $1$。

(C) $0$。

(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

2018年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2018年12月12日 上午9:00~11:00）解答本试卷可以使用计算器一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知31=+x x ，则=+++10551011x x x x _________。

2. 满足方程()()33222=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为__________。

3. 已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，，CD 为C ∠的角平分线，则CD=_________。

4. 若前2018个正整数的乘积201121⨯⨯⨯ 能被k 2010整除，则正整数k 的最大值为________。

5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。

6. 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，HOG F EH D C B A分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是_________。

7. 整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p ________。

8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。

设21x x ，是方程02=++c bx ax 的两个实数根，则平面直线坐标系内两点()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为_______。

9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于_______。

新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。

设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

上海初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。

则n最小为A．7;B．9;C．10 ;D．11.8.如表所示，则x与y的关系式为（）+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论9.在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大（）10.运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（）A．1 ;B．2;C．3;D．4.二、填空题1.计算： .2.(17届江苏初一1试)计算等式，式中的应为 .3.三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 .4.将1,2,3，…，49,50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，则这10个中位数的最大值是 .5.(15届江苏初一1试)时钟在2点时，分针与时针所夹的角为60°.从0时到3时，会有个时刻，分针与时针也能构成60°的角.6.图中阴影部分占(15届江苏初二1试)图中图形的（填几分之几）.7.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长为1，则这个六边形的周长是 (17届江苏初一1试)如图如 .8.已知，点O在三角形内，且，则的度数是(17届江苏初一1试) 度．9.(17届江苏初三)在在在4点钟与5点钟之间，分钟与时钟成一条直线，那么此时时间是 .10.(15届江苏初一1试)一条一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k （k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处.上海初一初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.【答案】D【解析】析：六位数由三位数重复构成，说明这类数一定能被此三位数整除，不妨用构成的六位数除以三位数得到的数即所求的数．解答：解：256256÷256=1001，678678÷678=1001，设三位数abc，则重复构成的六位数为abcabc，abcabc÷abc=1001．故选D．点评：此题考查了学生对数的整除性问题的解答与掌握，此题解答的关键是用构成的六位数除以三位数得出要求的数．2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.【答案】B【解析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：根据题意得：该组数据的平均数==74．故选B．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，70这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.【答案】C【解析】分析：这个最小正整数加上1是2、3、4、5、…10的最小公倍数，求得最小公倍数减1即可求得答案．解答：解：由题意可知所求最小正整数是2，3，4，5，…，10的最小公倍数减去1，2，3，4，5，…，10的最小公倍数是实际就是7，8，9，10的最小公倍数为2520，则所求最小数是2520-1=2519．故选C．点评：此题考查了带余数除法，主要利用求几个数的最小公倍数的方法解决问题．4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．注意小数和分数相互间的转化．解答：解：0.000 000 375=3.75×10-7=3×10-7=≠.故选D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.【答案】D【解析】分析：本题直接求解难度较大，故采用代入法，间接验证．解答：解：∵1+2+3+…+k=k(k+1)∴k(k+1)=n2，当k=1时，则k(k+1)=1，n=1，显然成立．当k=8时，则k(k+1)=36，此时n=6，成立；当k=49时，则k(k+1)=25×49，n=35，成立．故答案为D．点评：本题考查完全平方数．同学们对于做选择题目，采用将选项代入验证的方法，有时候起到事半功倍的效果，本题就是这样，如直接求解，难度非常大，这样求解简单多了．6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】略7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。

数学试卷（初中）(满分150分，考试时间90分钟)注意事项：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，请各位学科教师务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上．】 1．小王在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）A ．325a a a +=；B ．32622a a a ⋅=； C ．()23624aa -=； D ．()11a a --=--．2．面对目前楼市价格过高的局面，在2011年的“十二五”上，温总理提出：中央财政预算拟安排补助资金1030亿元，重点发展公共租赁住房，控制房价上涨．数据中1030亿元的有效数字有几个？（ ）A ．3个；B ．4个；C ．12个；D ．13个．3．在直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为1，⊙A 的圆心A的坐标为()，直径为2．那么⊙O 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．相离；B ．内切；C ．相交；D ．外切．4．张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同．张老师希望上班经过每个路口都遇到绿灯．但实际上这样的机会是（ ）A ．12；B ．38；C ．18；D ．16．5．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点C 在第一象限，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在第四象限，且点B 在抛物线()20y axa =<的图像上．则a 的值为（ ）A ．23-； B．3-C ．-2；D ．12-．6．如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=（其中120k k >>）在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交2C 于点B ．下列说法正确的是（ ）①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积等于21k k -；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的三等分点时，点B 一定是PD 的三等分点．A ．①②；B ．①②④；C ．①④；D ．①③④．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果填入答题纸的相应位置】7．当实数a = 时，253x ax ++是一个完全平方式． 8．当a 满足时，21a =-．9．如图所示，Rt △AOB 中，AOB ∠=90°，4OA =，2OB =，点B 在反比例函数2y x=图像上，则图中过点A 的双曲线的解析式为 ．10．一组数据1，-1,0，-1,1的方差和标准差分别是 ．11．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为 ．12．如图，点A 是直线5y x =-+和双曲线6y x=在第一象限的一个交点，过A 作OAB AOX ∠=∠交x 轴于B 点，AC ⊥x 轴，垂足为C ，则△ABC 的周长为 ．13．如图，在一旗杆AB 上系一活动旗帜C ，在某一时刻，旗杆的影子落在平地BD和一坡度为的斜坡DF 上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡顶点D 处，若测得旗高=4BC m ，影长=8BD m ，影长=6DE m ，（假设旗杆AB 与底面垂直，B 、D 、G 三点共线，AB 、BG 、DF 在同一平面内）．则旗杆AB 的高度为 ．（精确到0.1m ）14．如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则sin BEC ∠= ．15．如图，点P 在边长为1的等边△ABC 的边AB 上，过点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．16．如图，A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路线作匀速运动．设运动时间为x （秒），APB y ∠=（度），右图函数图象表示y 与x 之间的函数关系，则点M 的横坐标应为 ．17．如图，1n +个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上．联结1AP 、2AP 、3AP 、......、n AP ，分别交11N Q 、22N Q 、33N Q 、......、n n N Q 于1M 、2M 、3M 、......、n M 设四边形1112PM N N 面积为1S ，四边形2223P M N N 的面积为2S ，......，四边形1n n n n P M N N +的面积为n S ．则n S = ．Q AP N 1Q 4Q 3Q 2Q 1P 4P 3P 2P 1N 5N 4N 3N 2M1M 2M 3M 4......18．如图，已知在正方形ABCD 外取一点E ，连接,,AE BE DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P．若1,AE AP PB ==①APD AEB ∆∆≌；②点B 到直线AE③EB ED ⊥；④1APD APB S S ∆∆+=； ⑤4ABCD S =正方形其中正确结论的序号是 ．三、解答题：（本大题共7题，其中19—22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：)114sin 6022-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解不等式组：()5231131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分3分；第3小题满分4分．吸烟有害健康！你知道吗？即使被动吸烟也大大危害健康．有消息称，某地区准备在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求居民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：根据统计图解答：（1）同学们一共随机调查了多少人？ （2）请你把统计图补充完整；（3）如果在该社区随机咨询一位市民，那么该社区居民支持“强制戒烟”的概率是多少？假定该社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式．22．（本题满分10分）本题共有2道小题：第1小题满分5分；第2小题满分5分．如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向想、PQ 移动．已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处． （1）本次台风是否会影响B 市？如果有影响，请给出证明；如果没有影响，说明理由； （2）求这次台风影响B 市的时间．23．（本题满分12分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分4分；第3小题满分5分． 已知：如图△ABC 内接于⊙O ，OH ⊥AC 于H ，过A 点的切线与OC 的延长线交于点D ，30B ∠=，OH =（1）AOC ∠的度数； （2）线段AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积．24．（本题满分12分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分4分；第3小题满分5分．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B ，且满足632a b -=． （1）求抛物线的解析式；（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2/cm s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发沿BC 边以1/cm s 的速度向点C 运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设()22S PQ cm =．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当54S =时，在抛物线上是否存在点R 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点坐标；如果不存在，请说明理由．25．（本题满分14分）本题共有3道小题：第1小题满分3分；第2小题满分3分；第3小题满分8分．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．ABCDERP H Q。

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。

若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。

2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。

3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。

4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。

5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。

6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。

7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。

比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。

8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。

二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）12+2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92 <D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若y a ，最为b ，则22a b +的值为 .小值10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.<第12题）13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60o ，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC内，且52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由于1a =-，1a +=， 262a a =-， 所以 2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，<第13题）<第14题）所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．由于11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，由于()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即2<，164m ∆=-≥0，所以2<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 由于点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又由于2BD AC =，于是 所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（）， 即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又由于[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 由于AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. 又由于点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由得 2203x kx t --=， 于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又由于P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 由于∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC，BD，所以 AC2-，AD=2.由于PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是可求得2a b ==将b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k = 所以直线PQ的函数解读式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ的函数解读式为13y x =-+，或13y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.所以，直线PQ的函数解读式为1y =+，或1y +. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是224AQ AP BQ CP ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()28AB PQ AP BQ =++=+ .故 21sin 602ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b=a (a +b ) +b, 已知a ∗2.5=28.5，则实数a 的值是 。

【答案】4，132-2、在三角形ABC 中，22b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。

【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

【答案】50,944、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。

【答案】55、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。

PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。

6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a − d )( b − d )的值 。

【答案】2772第五题图BA7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx −1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。

【答案】1332k <<8方程xyz =2018的所有整数解有 组。

【答案】729如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。

设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。

【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°，AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是 。

【答案】300-二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。

2018区域八年级数学竞赛(解析版)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--222017学年第二学期八年级区域数学竞赛试卷(满分120分，时间120分钟)一、选择题（每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 在平面直角坐标系中，点(,22)P m m -，则点P 不可能在（ B ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2222x m y x y m =⎧→=-⎨=-⎩ 2．满足()2211n n n +--=的整数n 有（ D ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．422122211202,11100202n n n n n n n n n n n n n --=→--=→==---=-→-=→=+=→=-3. 不等式210a a->的解是（ B ） A. 0a ≠ B. 1a >或 1a <- C. 1a >或10a -<< D. 0a >或1a <-222111000111a a a a a a a a a-->→->→>→>→><-或4. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝12 cm . 点P 在AD 边上以每秒1 cm的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 达到点D 时停止（同时点Q 也停止）．在运动过程中，以P ，D ，Q ，B 四点为顶点组成平行四边形的次数有( B )A. 4次 B ．3次 C ．2次 D ．1次当点P 到达点D 时，Q 运动48cm ，即来回4次，当03t <≤时，不存在；当3612412 4.8t t t t <≤→-=-→=；第4题图第5题图S 1S 3S 2S 4第8题ABDEF 第7题图33当69123648t t t t <≤→-=-→= 当912124369.6t t t t <≤→-=-→=5. 如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，BD 12(0)y x x=>若ABE 与CDE 的面积之比为1︰3，则ABC 的面 积为（ A ）A. 2B. 52C. 3D. 42x+2k+a+b=12----(1)2x+6k+b=12-------(2)(1)-(2)→a=4k ∴b=4x代入（1）或（2）得：6x+6k=12→x+k=2→SABC =x+k=2baxx 3k3kk k6. 已知2310a a -+=，那么2294921a a a --++=（ A ） A. 3 B. 5 C. D. 2299492124921331363()6963a a a a a aa a a a --+=---++=+-=+-=-=7. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ C ）A. 23ab B. 34ab C. 38ab D. 12ab44y b-y a-xxS 1+S 2=S 3+S 4S 1+S 2+S 3+S 4=ab∴S 1+S 2=12ab∴S 1=S 2=14ab1214ab →x=12a →E 是AB 中点同理：F 是BC 的中点∴S 3=12•12•1218abS 4=12ab-18ab=38baF EDC B8. 实数x 满足31752233x xx -+-≥-，并且关于x 的函数22y x aa =-+的最小值为4，则常数a =（ C ）A. 2±B. 1±C. 2或 1-2- 或 1+317521233x xx x -+-≥-→> a ≤1x=1时，y 最小值=421-a+a 2=4a -2a+2=4a=1-3a>1x=a 时，y 最小值=4a 2=4a=2二、填空题(每小题5分，共30分) 9.1112++=原式10. 如图，在矩形OABC 中，A （0，2），C （4，0），点M 是直线y x =上的点，点N 是坐标平面内一点. 若四边形MBNC是平行四边形，则当MN取最小值时，点N的坐标是111 (,) 22-ABC O y=xMNPBC中点P(4, 1), 当NM⊥OM时，NM最小此时，NM: y=-x+5→M(52,52)→N(112, -12)11. 如图，在平面直角坐标系中，点(,)C x y是动点，以点C为旋转中心，将点(4,0)A-逆时针旋转90°到点(,4)B t，若22t-≤≤，则点C运动的路径长为22第10题图第12题5565432112345642246810121416182022BD=CE→t-x=yt-x=x+8x=t-82t=-2→x=-5→C(-5,3)t=2→x=-3→C(-3,5)点C运动的路径=22CD=AE→4-y=-4-x→y=x+8点C的轨迹是直线：y=x+8EDOC(x,y)B(t, 4)A(-4,0)12. 如果，，，12)206(27)39(4)4(===fff那么++++)4()3()2()1(ffff(99)100)____2116_____f f++=（仔细观察式子得到，原式＝（1＋2＋3＋…＋8＋9）＋（1＋1＋2＋3＋…8＋9）＋（2＋2＋4＋6＋…＋16＋18）＋（3＋3＋6＋9＋…＋24＋27）＋…＋（9＋9＋18＋27＋36＋…＋72＋81）＝45×1＋46×1＋46×2＋46×3＋…＋46×8＋46×9＝45×1＋46×45＝46×46＝2116.13. 已知a为常数，关于x的方程322(2)20x a a x a+--=在实数范围内只有一个解，则a的取值为08a≤<14. 如图，在等腰直角三角形ABC中，90C∠=︒，ABC内取一点P，且,()AP AC a BP CP b b a====<，则2222a ba b+-= 36677b补齐正方形ACBD →PBD ≅PCA →正PAD →∠PAC=30°→S PAC =14214a 2=12a 2=b 4a 2-b 2→a 4-4a (a 2+b 2)2=6a 2b 2(a 2-b 2)2=2a 2b 2∴a 2+b 2a 2-b2=3abbaa三、解答题（第15题13分，其余每題15分，共58分）15. 已知实系数一元二次方程220ax bx c ++=的两根为12,x x ，若a b c >>， 且 0a b c ++=，求12d x x =-的取值范围.解：ax 2+2bx+c=0→x 1+x 2=-b a 1•x 2=ca------2分∴d=x 1-x 2=(x 1+x 2)2-4x 1•x 2---------------------4分分a>b>c ，a+b+c=0→a>-a-c →2a>-c →ca >-2-------------8分-a-c>c →-a>2c →c a <-12--------------10分∴-2<c a <-12---------------11分∴3<d<23------------13分16. 如图，在矩形ABCO 中，点O 为坐标原点，点B 的坐标为（4，3），点A ，C 在坐标轴上，点P 在BC 边上，直线1:23l y x =+，直线2:23l y x =-.（1）分别求直线l 1与x 轴，直线l 2与AB 的交点坐标；（2）已知点M 在第一象限，且是直线2l 上的点，若∆APM 是等腰直角三角形，求点M 的 坐标.88（3）已知矩形ANPQ 的顶点N 在直线l 2上. Q 是坐标平面内的点，且N 点的横坐标为x ，请直接写出x 取值范围.--------------2分---4分----7分---10分-------------------------------13分 (3)x 的取值范围为：---------------15第16题图图2图199N 在直线l 2上, N(x, 2x-3)k AN •k BN =-1→2x-6x 2x-6x-4→5x 2-28x+36=0→x 1=185, x 2=2k AN •k CN =-1→2x-6x •2x-3=-1→5x 2-22x+18=0→x 12N在AB 上方，点P 从C →B 时x ≤185N 在AB 下方，点P 从C →B 时x ≤217. 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．（1）求证：①45EAF ∠=︒； ②222DN BM MN += （2）求EF AB的最小值（1）①延长CB 到G ，使BG=DF可得ABG ≅ADF→AEG ≅AEF →∠EAG=∠EAF=45°-----------5分②在AG 取点H ，使AH=ANABH ≅ADN →AMH ≅AMN ∴BMH 中HM=MN, BH=DN ∠MBH=45°+45°=90°∴MN 2=BM 2+DN 2-------------10分A CDEFFEDC1010（2）设：AB=a, EF=b, BE=x Rt CEF 中CE 2+CF 2=EF 2→(a-x)2+(a-b+x)2=b 2→x 2-bx+a 2-ab=0BE 存在，方程有解→≥0=b 2-4(a 2-ab)≥0b 2-4a 2+4ab ≥0→(b a )2+4(ba)≥4→(ba 2≥8→ba≥22-2-------------------15分18. 计算机从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色（比如29可表示为两个不同合数20和9之和，29要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。