2019届高考数学总复习第四单元三角函数与解三角形第21讲任意角的三角函数课件

1°＝_____ rad,1 rad＝ _____ 度． (3)扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，面积为 S，圆心角为 α(0<α<2π)，
则 l＝_R__α__，S＝_________.
3．任意角的三角函数 设 α 是任意一个角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：
sin α＝__y__；cos α＝___x_ ，tan α＝____ (x≠0)．
3 4π.
1．要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特 别要注意它们的区别与联系．求与 α 终边相同的角的集合时，先 找出 0～2π 范围内与 α 终边相同的角，再加上 2kπ 即可．
2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的 表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用．掌握弧长公式 l＝|α|r，扇形面积公式 S＝12lr＝12|α|r2，并注意其中角 α 为圆心角 的弧度数．
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的__始__边__，射线的 端点 O 叫做角的_顶__点_____.按_逆____时针方向旋转形成的角叫做正角，按 顺____时针方向旋转形成的角叫做负角，若一条射线没作任何旋转，称它形 成了一个_零____角．
(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与____坐__标__原___点_重合， 角的始边与_x_轴__的___非__负__半___轴__重合，那么角的终边落在第几象限，我们就
说这个角是第几象限角．
(3)终边相同的角：所有与 α 终边相同的角，连同 α 在内，可构成一个
集合{_β_|_β_＝__k_·_3_6_0_°_＋___α_，__k_∈__Z__}_____或_{_β_|_β_＝__2__k_π_＋__α_，__k_∈___Z_}_____，前
者 α 用角度制表示，后者 α 用弧度制表示．
该点落在 x 轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为π3扇形减
去一个等边三角形的面积．
因为 S 扇形＝12rl＝21r2α＝21×22×π3＝23π，
S△ACB＝12×2×2sinπ3＝ 3，
所以弓形的面积为23π－ 3，又圆的面积为 4π，
所以该点落在 x 轴下方的概率为23π－4π
3＝16－
2．弧度制
(1)定义：把长度等于__半__径____长的弧所对的__圆__心__角__叫 1 弧度的角．以 弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________弧. 度制
正角的弧度数是一个_正___数____，负角的弧度数是一个__负__数____，零角 的弧度数是__0______.
(2)度与弧度的换算关系：180°＝___π__ rad，
第21讲 任意角的三角函数
1．了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度 制与角度制的互化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义， 掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域．
3．掌握扇形的弧长公式及面积公式．
1．角的概念 (1)任意角：角可以看做平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到
即 2kπ＋π2<α<2kπ＋π,k∈Z,
kπ＋π4<α2<kπ＋π2(k∈Z),
当 k 为偶数时,12α 为第一象限角；
当 k 为奇数时,12α 为第三象限角.
考点二·任意角的三角函数的定义
【例 2】(2017·河南洛阳三月模拟)已知角 α 的始边与 x 轴的非负
半 轴 重 合 ， 终 边 在 射 线 4x － 3y ＝ 0(x≤0) 上 ， 则 cos α － sin α
点评：只要确定扇形的半径r，弧长l和圆心角α三个
中的两个，这个扇形就确定了．这三个量间的关系是l＝ |α|r.
【变式探究】
3．(2018·河北五校高三联考)向圆(x－2)2＋(y－ 3)2＝4
内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下方的概率
为
.
解：由题意，设圆心为 C，圆与 x 轴的交点为 A，B，则∠ACB＝π3，
A. [0，π6]
B. [π6，56π]
C. [π6，23π]
D. [5知，选B.
答案：B
角的概念 任意角的三角函数的定义 弧度制的应用
考点一·角的概念
【例1】 已知α＝1690°. (1)把α表示成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式，则α＝____________； (2)α所在的象限为____________． 解：(1)α＝1690°＝1690×1π80＝11689π＝8π＋2158π. 所以α＝4×2π＋2158π. (2)因为α＝4×2π＋1285π，又π<2158π<23π， 所以α在第三象限． 答案：(1)4×2π＋2158π (2)第三象限
3．三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解 三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限 内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以 及后续内容学习的基础．根据三角函数的定义可知：①一个角的 三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角 α 与 β＝2kπ＋α(k ∈Z)的同名三角函数值相等；②|x|≤r，|y|≤r，故有|sin α|≤1， |cos α|≤1，这是三角函数中最基本的一组关系．
点评：(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180°＝π rad 这一关系．
(2)判断一个角所在的象限，关键是在[0,2π)内找到与该 角终边相同的角．
【变式探究】
1．已知 sin α>0,cos α<0,则12α 所在的象限是( )
A.第一象限
B.第三象限
C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 解：因为 sin α>0,cos α<0,所以 α 为第二象限角,
2．三角函数值的符号规律
Ⅰ ⅡⅢ Ⅳ sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ －
可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：因为－870°＝－3×360°＋210°， 而210°的终边在第三象限，所以－870°的终边在第三象 限．
(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定 义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象 限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．
(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角 α 的意义，注 意角的始边及旋转方向．
【变式探究】
2．(2017·湖南长沙四校一模)在直角坐标系中，P 点的坐 标为(53，45)，Q 是第三象限内一点，|OQ|＝1 且∠POQ＝43π， 则 Q 点的横坐标为( )
答案：C
2．若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4 cm，则这个圆心角
所夹的扇形的面积是( A．4 cm2 C．8 cm2
) B．2 cm2 D．2π cm2
解：因为l＝rθ，所以r＝42＝2，
所以S＝12lr＝12×4×2＝4 cm2.
答案：A
3．已知角 α 的终边经过点(－4,3)，则 cos α＝( )
4
3
A.5
B.5
C．－35
D．－45
解：因为r＝ －42＋32＝5， 所以由三角函数的定义知cos α＝－45.
答案：D
4．若 sin α<0 且 tan α>0，则 α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
5．在[0,2π]上满足 sin x≥12的 x 的取值范围是( )
A．－7102 B．－352 C．－7122 D．－8132 解：设∠xOP＝α，则 cos α＝35，sin α＝45， 则 xQ＝cos(α＋34π)＝35×(－ 22)－45× 22＝－7102.
考点三·弧度制的应用
【例 3】一扇形的周长为 40 m．求使扇形面积最大时，扇形的半 径、圆心角和扇形的面积．
＝
.
解：因为角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在射线 4x
－3y＝0(x≤0)上，
不妨令 x＝－3，则 y＝－4，所以 r＝5.
所以 cos α＝xr＝－35，sin α＝yr＝－54.
所以 cos α－sin α＝－35＋45＝15.
点评：(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角 的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义．
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， S＝12lr＝12(40－2r)·r＝－r2＋20r＝－(r－10)2＋100. 当r＝10时，Smax＝100(m2)， 此时，θ＝rl＝40－120×10＝2(弧度)． 所以当扇形圆心角θ＝2，半径为10 m时，扇形面积最大， 最大面积为100 m2.
4.三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：
sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .
1．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任一点，它到原点 的距离为 r(r>0)，那么： sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．