中考数学复习指导：抓住树状图法教学中的关键

抓住树状图法教学中的关键一、从学生的作业谈起题目一只蚂蚁在如图1所示的树枝上寻觅食物（A、B)，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，它获得食物的概率是多少？这是一道人教版教材中的习题多数学生作业中的做法为：图中共有7个树枝，其中有2个树枝上有食物，因此蚂蚁获得食物的概率为27．显然，学生是把问题中的树枝图（生活原型图）当成了等可能条件下的树状图来做．学生为什么会犯这种错误呢？二、对课本内容的思考为了剖析学生出错的原因，让我们先来研究课本对树状图法的教学编排．对于等可能条件下的树状图法，人教版数学实验课本是这样引入和教学的：在安排学习了5个等可能条件下的概率问题（课本中的例1－例5）后，通过例6学习树状图列举法．例1（课本例6）甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母H和L从3个口袋中各随机地取出1个小球．(1)取出的3个小球上恰有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树形图”．解根据题意，我们可以画出如图2的“树形图”：12从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，即：这些结果出现的可能性相等（以下略）．客观地说，像课本例6这样“陈述性”地介绍树状图列举法，是很难引起学生对方法的内涵与本质作出思考的．反而极易造成学生只看到树状图“形”的一面，直接导致学生机械地模仿与简单的记忆．因此，建议课本设置以下问题：(1)如何求等可能条件下的概率？（意图：重温列举要点——要按一定规律列举出所有等可能情况，做到既不重复，又不遗漏．）(2)你能用课本例5的二维方形表格列举所有可能的结果吗？（意在突出学习树状图列举法的必要性）(3)请你认真阅读图3，并根据图3所提供的信息，尝试补全图3，列举出“从3个口袋中各随机地取出1个小球”事件发生的所有可能结果．（意图：给出一个不完整的树状图，以便让学生在“补图”的过程中，通过阅读、思考、探索等活动，自己发明创造树状图，体会树状图法的列举规律．）(4)利用图3，你能确定多少个可能结果？这些结果出现的可能性相等吗？(5)你能通过画树状图列举课本例4、例5中的可能结果吗？什么时候使用画树状图列举比较方便？什么时候使用列表法比较方便？3通过对以上系列问题的思考，让学生经历树状图法的产生、形成和应用的过程，体会树状图的列举规律，领悟树状图法的本质，尽可能地避免照搬照抄、机械模仿等不良学习行为的发生．三、学生错误分析及启示《九年义务教育数学课程标准（实验稿）》要求：运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率．其中，树状图法是在等可能条件下计算两次或两次以上实验中事件发生概率大小的重要方法，在应用方法时应注意等可能的条件是否满足．而作业题所提供的图形并不满足等可能的条件，这是因为：蚂蚁到第二个岔路口时，左干枝有3个分枝，而中间干枝和右干枝却都只有2个分枝，它们之间是不均等的．本题的正确解答应为：蚂蚁走中间2个分枝的可能性大小分别为13×12＝16，走右侧2个分枝的可能性大小为13×12＝16，所以P(蚂蚁吃到食物的概率）＝16＋16＝13． 对于树状图法的教学，关键应抓住树状图法的列举规律，通过对树状图法的列举规律的分析，领悟方法的内涵与本质．(1)做适量的变式练习．通过变式练习，让学生在方法的具体应用中，掌握树状图法 的列举规律，提高灵活应用的能力．例2（课本例7） 在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．(1)写出三位评委给出A 选手的所有可能的结论；(2)对于选手A ，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？分析 从课本例6的摸球到本题的“三位评委各给出两种结论”，问题情境的变化较大．这时，学生常会出现以下典型的错误解法：画树状图（如图4，图5）：由树状图可知，结果有（甲，待定），（甲，通过），（乙，待定），（乙，通过），（丙，待定），（丙，通过）共6种．显然，这6种结果并不是事件“三位评委给出A选手的所有可能的结论”发生的结果，而学生又不能正确运用树状图法列举解决问题．这说明学生并不真正明白树状图法的本质与列举规律——树状图是要按照结果的发生线索，分步骤分块列举，而不是把操作者与结果用树状图来套．正确解法：画树状图（如图6）．由树状图可知，结果有（待定，待定，待定），（待定，待定，通过），…，（通过，通过，通过）共8种．借助“错误”与“正确”的比较，让学生进一步明晰树状图的列举规律，对树状图法是什么、使用时应注意什么，以及如何使用等内涵与本质有着自己的理解与体会，以切实理解并掌握方法．(2)透过规律，领悟本质．树状图法是什么？简单地说，是人们为了计数，为了按照一定的规律，列举所有可能结果而采用的一种图示方法，它是乘法原理的一种图形解释，其中蕴含了数学的转化、分类讨论等思想．对于树状图法的本质，重在让学生体会、感悟，如，像上述两道例题的教学，可穿插以下两个教学环节：①在列举解答之前，让学生结合课本例4与例5的解题经验，猜想新问题中所有可能的结果数会有多少．（此时，学生会很快作出一些判断，有的认为用加法计算，有的认为应用乘法计算等）②在解决问题之后，再让学生思考前面的“猜想”．结合树状图的特征（规律的外在表示形式），学生会发现：课本例6的12种结果数可计算为2×3×2＝12，课本例7的所有4结果可计算为2×2×2＝8（种）．有了以上的由表及里的分析过程，适量的变式训练和方法的形成与应用的过程，学生始终处在思考、探索与交流中，从而充分体会方法的内在实质，达到真正理解和掌握数学方法的目的．5。

第一环节：回顾思考，做好铺垫问题探究：如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？设计问题：通过三个学生的解答，结合上节课，你学会了用什么方法求某个事件发生的概率？ 设计目的：通过问题思考，学生回答，回想上节课主要内容，为这节课计算概率做好铺垫。

第二环节：师生互动，探究新知本节是从“石头、剪刀、布”这个耳熟能详的游戏作为切入点，使学生产生学习新知的兴趣，使学生进一步掌握用列表法或树状图计算某事件发生的概率，进而得到判断游戏规则公平与否的依据。

本节课提供了多种具体情境，一方面使学生感受概率存在的普遍性，另一方面适应不同的情境，得到概率。

问题探究：(展示例题，引出新课)：小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？ 法一：总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同,而两人手势相同的结果有三种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)，所以小凡获胜的概率为小明胜小颖的结果有三种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明获胜的概率为3193=3193=小颖胜小明的结果也有三种：(剪刀，石头)(布,剪刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为 所以，这个游戏对三人是公平的. 法二：设计目的：通过儿时的游戏，激发学生学习新知的兴趣。

使学生意识到是比较事件发生的概率，是评判规则公平与否的依据，而求概率的方法即为课前回顾的——树状图和列表法。

实际效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣，能引导学生从问题出发，利用概率解决实际问题。

第三环节：提高拓展，激励创新内容：在例题结束后，适时抛出一个类似的情境：小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下：每人从1,2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？分析思路：此题等同于两人各掷一个骰子，将两人掷得的点数相加，点数之和为几的概率最大? 解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可能出现的结果：3193从表格中，能看出和为7出现的次数最多，所以选择7，概率最大！拓展问题：由上面这张表格，你还能提出哪些问题？设计目的：本环节的设置，开放性更强，让学生在问题中需求解决方案。

九年级树状图求概率知识点概率是数学中一个重要的概念，也是生活中经常用到的知识点。

九年级学生需要掌握树状图求概率的方法，通过树状图可以清晰有效地计算事件发生的可能性。

以下是九年级树状图求概率的相关知识点：一、概率的基本概念概率是指某事件发生的可能性大小。

用P(A)表示事件A发生的概率，P(A)介于0和1之间。

当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A一定会发生。

二、树状图的构造树状图是一种图形工具，用于展示事件发生的可能路径和相应的概率。

构造树状图的步骤如下：1. 从根节点开始，代表起始事件；2. 从根节点延伸出多个分支，代表第一次事件的可能结果；3. 每个分支再延伸出多个分支，代表下一次事件的可能结果，依此类推。

三、树状图求概率的例题以掷骰子为例，假设我们掷一次骰子。

要求：1. 计算掷骰子出现奇数点的概率；2. 计算掷骰子出现小于等于3点的概率。

首先，我们构造树状图：- 掷骰子结果：1 -> 奇数点-> 偶数点2 -> 奇数点-> 偶数点3 -> 奇数点-> 偶数点4 -> 奇数点-> 偶数点5 -> 奇数点-> 偶数点6 -> 奇数点-> 偶数点根据树状图，我们可以看出共有6个基本事件：1奇、1偶、2奇、2偶、3奇、3偶。

掷骰子出现奇数点的概率可以由以下两个基本事件的概率相加得到：1奇和3奇。

P(奇数点) = P(1奇) + P(3奇)= 1/2 + 1/2= 1同理，掷骰子出现小于等于3点的概率可以由以下三个基本事件的概率相加得到：1奇、1偶和2奇。

P(小于等于3点) = P(1奇) + P(1偶) + P(2奇)= 1/2 + 1/2 + 1/2= 3/2= 1在这个例子中，我们可以发现两个概率超过了1。

这是因为在树状图的构造中，我们没有考虑到不可能的情况，即掷骰子出现偶数点。

为了使概率的计算结果准确，我们在构造树状图时，需要包括所有可能的情况。

用列举法求概率树状图法【学习目标】1、进一步理解有限等可能性事件概率的意义。

2、会用树状图列出一次试验中分三步或更多步完成时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算事件的概率。

3、进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树状图）,了解在什么情况用“列表”，什么情况用“树状图”较为方便。

【学习重点】用树状图计算简单事件发生的概率，构建数学模型,培养思维的条理性【学习难点】会用树状图法不重不漏地列举出所有可能的结果【学习过程设计】一、情境创设，引出新课1、通过前面的学习，我们掌握了用哪些方法求概率？2、看P138页第4题，思考蚂蚁吃到树枝尖端食物的概率是多少？二、出示学习目标三、新课讲授例1同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率:(1) 三枚硬币全部正面朝上;(2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上;(3) 至少有两枚硬币正面朝上.解析：教师示范问题解法（过程略）试一试小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？（提示：可设两双袜子分）例2 经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆汽车经过这个十字路口时,求下列事件的概率:(1)三辆车全部继续直行;(2)两辆车向右转,一辆车向左转;(3)至少有两辆车向左转.解析：教师示范问题解法（过程略）注意：用树状图和列表的方法求概率的前提:各种结果出现的可能性务必相同.想一想什么时候使用“列表法”方便?什么时候使用“树形图法”方便?（1）当试验包含两步且结果数目较多时,列表法比较方便, 此时也可以用树形图法;（2）当试验在三步或三步以上时,用树形图法.四、总结：用树状图列举的结果看起来一目了然，可以清晰地表示出某个试验所有可能出现的结果，当试验要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。

游戏1：小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.16(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?活动目的：通过这个转转盘“配紫色”游戏，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率的过程，并体会求概率时必须使每种事件发生的可能性相同培养学生应用所学知识解决问题的能力.提高学生分析问题解决问题的能力.活动效果：学生借助树状图或者列表法表示出所有可能出现的结果，很顺利地求出游戏者获胜的概率。

同时在自学过程中也注意到转盘是被分成面积相等的几份扇形，初步感受了每件事情发生的可能性为下一环节的学习打好基础。

第二环节：合作交流，探求新知游戏2：如果把转盘变成如下图所示的转盘进行“配紫色”游戏.(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?小颖做法如下图，并据此求出游戏者获胜的概率为21小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是21．你认为谁做得对?说说你的理由．（小组合作交流）分析：小颖的做法是不正确的，因为A 盘中红色区域和蓝色区域的面积不同，所以指针落在这两个区域的可能性是不同的。

而小亮的做法是正确的。

他将A 盘的红色区域分成两份，这样各种结果出现的可能性就相同了，也就可以用等可能概型的概率计算公式计算概率了。

活动目的：让学生先自己画树状图或者表格表示出所有可能出现的结果，然后通过合作交流观察A 盘和游戏1转盘的区别并做出正确判断.并总结出求一件事情发生的概率必须是所有可能出现的结果都相同。

红色 蓝色 红色1 （红1，红） （红1，蓝） 红色2 （红2，红） （红2，蓝） 蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）开始红蓝红蓝红蓝(红,红) (红,蓝)(蓝,红)(蓝,蓝)活动效果：通过合作交流学生会发现游戏2中A盘中蓝色部分和红色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同。

（3）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。

由此，你认为这个游戏公平吗？活动体会：从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上。

一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。

所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。

深入探究：在上面抛掷硬币试验中，（1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？（2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？（3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？请将各自的试验数据汇总后，填写下面的表格：抛掷第一枚硬币抛掷第二枚硬币正面朝上的次数正面朝上的次数反面朝上的次数反面朝上的次数正面朝上的次数反面朝上的次数表格中的数据支持你的猜测吗？探究体会：由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同。

无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的。

所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。

因此，我们可以用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果：其中，小明获胜的结果有一种：（正，正）。

所以小明获胜的概率是41； 小颖获胜的结果有一种：（反，反）。

所以小颖获胜的概率也是41； 小凡获胜的结果有两种：（正，反）（反，正）。

所以小凡获胜的概率是42。

因此，这个游戏对三人是不公平的。

利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗留地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。

活动目的：对于随机现象，学生一般都有一些朴素的想法，这些想法有的是正确的，有的是错误的，因此要让学生亲自经历对随机现象的探索过程，亲自经历猜测、试验、收集试验数据、设计试验方案、分析试验结果等活动过程，以获得事件发生的概率。

初三数学树状图怎么画引言：数学是一门需要有系统性思维和良好逻辑推理能力的学科。

在初中数学学习中，掌握各种图表的绘制是非常重要的。

而数学树状图是一种常见的图表，用于展示数学问题的逻辑关系和分类。

本文将介绍初三数学树状图的绘制步骤和技巧，帮助学生更好地理解和应用树状图在解题中的作用。

一、了解树状图的定义和基本结构树状图是一种有向无环图，用于展示问题的分类、层次和逻辑关系。

树状图的基本结构由根节点、分支和叶节点组成。

根节点代表问题的起点，分支代表问题的分类或分支，而叶节点代表问题的解或结果。

二、确定数学问题和分类在绘制数学树状图之前，我们需要先确定要解决的数学问题，并对问题进行分类。

例如，我们可以以几何形状为例，根据形状的性质和特点来分类，如三角形、四边形、圆等。

确定好问题和分类后，我们就可以开始绘制数学树状图了。

三、绘制树状图的步骤1.将纸张横向放置，并在纸张的中央位置绘制一个大圆圈作为根节点，写上与问题相关的关键词或名称。

2.从根节点开始，根据问题的分类或分支，在根节点下方绘制相应的分支线。

3.在每个分支线的下方继续绘制更多的分支线，代表更具体的分类或细分。

可根据需要，继续绘制下一级的分支线，直到细分到具体的解或结果为止。

4.在每个分支线的尽头绘制叶节点，并在叶节点上写上问题的具体解答或结果。

5.根据需要，可以在树状图的分支线上添加标签或关键词，以更清晰地表示问题的逻辑关系和层次。

6.完成绘制后，可以使用不同的线条粗细或颜色来区分主次分支或问题的重要性。

四、注意事项和技巧1.在绘制树状图时，尽量保持分支的平衡和整齐，以便更清晰地展示问题的层次和逻辑关系。

2.根据实际需要，可以调整树状图的大小和比例，适应绘制的空间和内容。

如果分支众多，可以采用横向展开的方式，使整个树状图更加清晰可读。

3.使用合适的字体大小和颜色，以确保文字清晰可读。

4.在绘制树状图时，可以使用不同的图形符号来表示问题的性质或特点。

例谈画树状图一、显性放回例1 现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”、“2”、“3”．第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字．请用画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二 次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率．分析 从题中文字“记下数字后放回”知本题属于“显性放回”．本题中的事件是摸两次卡片，看卡片的数字，由此可以确定事件包括两个环节．摸第一张卡片，放回去，再摸第二张卡片，所以树状图应该画两层．第一张卡片的数字可能是1，2，3等3个中的一个，所以第一层应画3个分叉；再看第二层，由于放回，第二个乒乓球的数字可能是3个中的一个，所以第二层应接在第一层的3个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉．画出树状图，这样共得到3x 3＝9种情况，从中找出第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况，再求出概率．解 根据题意画树状图如图1．所有可能的结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．∵有9种等可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的只有3种， ∴ P(第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字)＝13．二、显性不放回例2 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，－2，3，－4．小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去)，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球．(1)共有_______种可能的结果；(2)请用画树状图的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率．分析 从文字条件“不放回去”知，本题属于“显性不放回”．本题中的事件是摸两个乒乓球，看乒乓球的数字，由此可以确定事件包括两个环节，所以树状图应该画两层．第一个乒乓球的数字可能是1，－2，3，－4等4个中的一个，所以第一层应画4个分叉；由于不放回，第二个乒乓球的数字可能是剩下的3个中的一个，所以第二层应接在第一层的4个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉，画出树状图．解 根据题意画树状图如图2．(1)由图2可知，共有12种可能结果，分别为：(1，－2)，(1，3)．(1，－4)，(－2，1)，(－2，3)，(－2．－4)，(3，1)，(3，－2)， (3，－4)，(－4，1)，(－4，－2)，(－4，3)．故答案为12．(2)∵在(1)中的12种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有10种，∴P(积为偶数)＝56． 三、隐形放回例3 小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口，假没他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均为12，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的慨率是多少？请用画树状图的方法加以说明．分析 通过反复分析知本题属于“隐形放回”问题，比较容易出错．其实问题相当于一个口袋里有红球和绿球各1个，放回地随机取三次．本题中的事件是小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口，由此可以确定事件包括三个环节，所以树状图应该画三层．由于每一个路口可能是红灯，绿灯等2个中的一个，所以每一层的分叉的小分支上都有两个小分叉．解 根据题意画树状图如图3．∵经过三个路口共有8种情况，其中恰有一次遇到红灯的有3种，∴P(恰有一次遇到红灯)＝38．四、隐形不放回1、随机取明确分类例4 小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、灰色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．分析 从文字中稍加分析知，本题属于“隐性不放回”，而且选取时有指明对象，是水笔和橡皮．本题中的事件是小明有3支水笔为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮为白色、灰色，取出1支水笔和1块橡皮配套使用．由此可以确定事件包括两个环节，所以树状图应该画两层．至于水笔和橡皮哪个先取，可以随便，不影响结果，关键是各层的分叉要画对．解法 根据题意画树状图如图4．所有可能结果为：(红，白)，(红，灰)，(蓝，白)，(蓝灰)，(黑，白)，(黑，灰)．∵有6种等可能的结果，而红色水笔和白色橡皮配套的只有1种，∴P(红色水笔和白色橡皮配套)＝16．2、随机取，不明确分类例5 有两个不同形状的计算器(分别记为A，B)和与之匹配的保护盖(分别记为a，6)(如图5所示)散乱地放在桌子上，若从计算器和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．分析从文字中理解本题属于“隐性不放回”，而且随机选取没有指明对象是计算器还是保护盖，比较容易出错，本题中的事件是从计算器和保护盖中随机取两个，看恰好匹配．由此可以确定事件包括两个环节，取第一个，不放回去，然后再取第二个，所以树状图应该画两层．取第一个可能是A，B，a，b等4个中的一个，所以第一层应画4个分叉；再看第二层，由于不放回，取第二个可能是剩下的3个中的一个，所以第二层应接在第一层的4个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉，画出树状图．解根据题意画树状图如图5．∵从计算器和保护盖中随机取两个，共有12种情况，其中恰好匹配的有4种，∴P(恰好配套)＝13．画树状图的关键是确定层数和确定每层分叉的个数，树状图的层数取决于事件的环节数，每层分叉的个数取决于本环节包含的可能情况的种类数，特别要注意区分是放回还是不放回问题．。

押上海卷第11-15题押题方向一：概率5年上海真题考点命题趋势2023年上海卷第12题概率公式从近五年上海卷的概率真题分析，其知识点主要考查学生概率的基本定义、概率的计算方法、频率估计概率等，并且注重思维能力和创新意识的考查。

预计2024年上海卷仍将继续对概率计算方法和频率估计概率等方面进行考查。

2022年上海卷第11题列表法与树状图法2021年上海卷第13题概率公式2020年上海卷第11题概率公式2019年上海卷第11题概率公式1.（2023·上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为25．【答案】25．【考点】概率公式【专题】概率及其应用；数据分析观念【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为42105=，故答案为：25．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．2．（2022•上海）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为13．【答案】1 3．【考点】列表法与树状图法【专题】推理能力；概率及其应用【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，∴分到甲和乙的概率为21 63=，故答案为：1 3．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为1 3．【答案】1 3．【考点】概率公式【专题】概率及其应用；数据分析观念【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．【解答】解： 共有9个数据，其中偶数有3个，∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为31 93=，故答案为：1 3．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．4．（2020•上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是1 5．【考点】4X ：概率公式【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解： 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105=．故答案为：15．【点评】此题主要考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．5．（2019•上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是13．【考点】4X ：概率公式【专题】543：概率及其应用【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．【解答】解： 在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为2163=，故答案为：13．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．（1）随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P （必然事件）＝1．（3）P （不可能事件）＝0．1．不透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为3 7．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解： 透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率为3 7，故答案为：3 7．【点评】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．随机概率公式是解题的关键．2．一个不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的4个红球和3个白球，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是3 7．【分析】根据概率公式解答即可．【解答】解：袋子中球的总数为437+=，而白球有3个，则摸到白球的概率是3 7．故答案为：3 7．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）m n =．3．一个不透明的布袋中装有3个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是13，则n=6．【分析】根据白球的概率公式3133n=+列出方程求解即可．【解答】解：一个不透明的布袋中中装有3个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，共有(3)n+个球，其中白球3个，根据古典型概率公式知：P（白球）3133 n==+，解得：6n=．故答案为：6．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）m n =．4．有四张正面分别标有数字2-，12-，0，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：2-12-022-1(2,)2--(2,0)-(2,2)-12-1(2-，2)-1(2-，0)1(2-，2)0(0,2)-1(0,)2-(0,2)2(2,2)-1(2,)2-(2,0)共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有：(2,2)-，1(2-，2)，(2,2)-，1(2,)2-，共4种，∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是41123=．故答案为：13．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．5．在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分揽匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有30个．【分析】根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.25，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出红球的个数．【解答】解： 通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，∴摸到白球的概率为0.25，∴小球的总数约为：100.2540÷=（个)，则红球的个数为：401030-=（个)．故答案为：30．【点评】本题考查的是用频率估计概率，正确记忆概率公式是解题关键．6．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率mn0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为0.96．【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即可估计这批产品合格的产品的概率．【解答】解：由图表可知合格的产品频率mn都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96，故答案为：0.96．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此三维码中黑色阴影的面积为9.6．【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为160.69.6⨯=．故答案为：9.6．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 2.12m．【分析】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为x ，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．【解答】解：据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为2326()m ⨯=，设不规则图案的面积为x ，则0.356x=，解得： 2.1x =，∴不规则图案的面积约为22.1m ，故答案为：2.1．【点评】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．押题方向二：统计5年上海真题考点命题趋势2023年上海卷第16题扇形统计图上海中考数学统计命题趋势将更加注重基础知识的应用、能力的考查、实践性和创新性以及德育教育的考查，同时可能会减少机械记忆题目的比重，增加跨学科题目的比重，并加强对学生思维能力的考查。