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用列表法或树状图求事件的概率列表法或树状图是查找事件所有可能结果的非常有效的方法，要根据“求某事件的概率"的题目的具体特点,选用列表法或画树状图法，找出事件所有等可能结果，才能正确解决这类问题。
利用列举法求概率的关键在于正确列举出实验结果的各种可能性，当事件只有一步或涉及一个因素时,通常用直接列举法。
例1（天门市）2006年6月5日是中国第一个“文化遗产日",某中学承办了“责任与使命——亲近文化遗产，传承文明火炬”的活动，其中有一项“抖空竹”的表演，已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名同学各自随机选用其中的一种空竹。
求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率。
解析:三名同学的选择可以选择塑料和木质两种,我们可以将选择情况用列举法及树状图解决。
解：设塑料—A,木质-B 。
P(M ）=4182例2(济南市）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2,3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同。
（1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数,蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率.解:（1）在7张卡片中共有两张卡片写有数字1∴ 从中任意抽取一张卡片,卡片上写有数字1的概率是。
（2）组成的所有两位数列表为:1 2 3 4 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 313233343或列树状图为：∴这个两位数大于22的概率为712 练一练:1、（大连市）为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛。
初一年级选手编号为男1号、女1号，初二年级选手编号为男2号、女2号，初三年级选手编号为男3号、女3号。
比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺.（1）用列举法说明所有可能出现搭挡的结果；十位个位（2）求同一年级男、女选手组成搭档的概率； （3）求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率。
用列表法或画树状图法求概率（放回、不放回）
【方法】使用列表法或画树状图法求概率时，首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n ,然后找出符合事件A 出现的结果数m ,用公式求出
n
m A P )(即得所求事件的概率。
【出错点】求m 或n 的值。
【分类】放回、不放回
（一）明确写出放回、不放回类型
例1：(2018·威海中考)一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是？
例2：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是？
（二）隐含放回、不放回类型
例3：选人（不放回）（2019济南）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率。
例4：选课（放回）(2016济南中考)某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小容两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是？。
列表法与树状图法能量储备在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．注意：(1)用列举法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同；(2)全面列举出所有可能的结果，各种情况不能重复，也不能遗漏；(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示．通关宝典★基础方法点方法点1：利用概率公式计算某个事件发生的概率时，可利用列表法或画树状图法找全所有可能出现的情况，并将可能出现的全部的结果数作为分母．例1袋中有大小相同、标号不同的白球2个，黑球2个．(1)从袋中连取2个球后不放回，取出的2个球中有1个白球，1个黑球的概率是多少？(2)从袋中有放回地取出2个球的顺序为黑、白的概率是多少？解：(1)根据题意列表如下：共有12种等可能情况，符合题意的有8种，故有1个白球，1个黑球的概率P ＝812＝23. (2)画树状图如图所示．共有16种等可能情况，符合条件的有4种，故取球顺序为黑、白的概率P ＝416＝14. ★ ★ 易混易误点易混易误点1:研究所有等可能结果时重复或遗漏例2 从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球，取出一个红球和一个黄球的概率是( )A.13B.23C.14D.12解析：我们不妨把四个球分别记为红1，红2，黄1，黄2，从中摸出两个球的所有可能结果为(红1，红2)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，其中一红一黄共有4种，故其概率P ＝46＝23.故选B . 答案：B分析：本题易错误地认为任意取出两个球，共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果，所以任意取出两个球，取得一个红球和一个黄球的概率为13. 易混易误点2:不能准确区分放回抽样与不放回抽样对事件发生概率的影响例2 有完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，－1，2，－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后不放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m ，n ，以m ，n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点(m ，n)不在第二象限的概率．解：用列表法．可以看出，共有12种等可能的情况，其中点(m，n)不在第二象限的有8种情况，所以点(m，n)不在第二象限的概率P＝812＝23.,注意：对于某一关注的结果，放回抽样与不放回抽样是完全不同的，本题易忽视“不放回”这一条件而错误地列出如下表格求错概率．蓄势待发考前攻略考查用列表法或画树状图法求事件的概率是中考的必考内容，命题形式有填空题、选择题、解答题，难度适中．试题常用的背景有摸球、抽取卡片、转转盘、掷骰子等富有生活气息及与社会生活息息相关的内容，是中考的命题趋势，要引起重视.完胜关卡。
用列表法或画树状图法求概率（放回、不放回）【方法】使用列表法或画树状图法求概率时，首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n ,然后找出符合事件A 出现的结果数m ,用公式求出nmA P =)(即得所求事件的概率。
【分类】放回、不放回类型一：明确写出放回、不放回类型例1：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是？例2：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是？类型二：隐含放回、不放回类型例3：（指定特殊条件）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．23答：根据题意，列表如下： 共有 6 种可能的结果，每种结果出现的可能性都相同。
其中恰好选中“A 入口进入、从C ，D 出口”的结果有2种，所以3162)出口D ，C 入口A (==P例4：选人（不放回）（2019济南）该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣 传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率．有 8 种，所以32128)(==选择一男一女P 出口出口【同类题】1.（2019历下一模）调查结果中，该校九年级（2）班有四名同学相当优秀，了解程度为“很了解”，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．2.（2019年市中一模）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．3.（2019长清一模）已知受访的教师中，E 组只有2名女教师，F 组只有1名男教师，现要从E 组、F 组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率．例5：选课（放回）(2018济南中考)小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．A （A,A ） （B,A ） （C,A ）B （A,B ） （B,B ） （C,B ） C（A,C ）（B,C ）（C,C ）共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：39＝13．【同类题】1. （2015年中考）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．2. （2014年中考）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41。
解：（1）两个骰子的点数相同(记为事件A) ∴P(A)=6/36=1/6（2）两个骰子点数之和是9(记为事件B) ∴ P(B)=4/36=1/9（3）至少有一个骰子的点数为2 (记为事件C) ∴ P(C)=11/361．用树状图法求三步试验的概率【例1】（2015•绵阳模拟）甲、乙、丙三个人打乒乓球，为了确定哪两个人先打，商定三人伸出手来，若其中两人的手心或手背同时向上，则这两人先打，如果三个人手心或手背都向上则重来，则甲乙两先打的概率为（）A．B．C．D．总结：画树状图求概率的基本步骤：（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；（3）明确随机事件A，数出所求事件发生的可能结果m，以及所有可能发生的试验结果n；（4）计算随机事件的概率P A=mn （）．练1（2015•塘沽区三模）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为______．2．用树状图法求有放回、无放回摸球试验的概率【例2】（2015•大兴区一模）布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出一个球后再放回袋中，这样取出球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的概率是（）A．B．C．D．总结：以摸球为背景考查概率知识是一种常见题型，解答此类问题时，首先必须弄清楚摸球后有无放回，有放回与无放回对概率的影响不同：（1）第一次无放回，第二次只能从第一次剩下的球里面摸球，不能出现两次摸球是同一个球的情况；（2）有放回摸球，两次摸到的球可能是同一个，与无放回摸球相比，多了两次都是同一个球的情况；（3）分清楚有无放回后，利用画树状图的方法分析所有等可能的结果及所关注的结果，在此基础上计算出概率．练2（2015•宿迁）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同．（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为_______；（2）从袋中随机摸出1个球（不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球．求两次摸到的球颜色不相同的概率．3．用树状图法求配套问题的概率【例3】（2011•盐城）小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．总结：用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P=mn．一.选择题1．（2015•福州校级模拟）有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（）A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球2．（2014•江阴市校级二模）如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机的选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头A和E的概率的大小关系是（）A．A的概率大B．E的概率大C．同样大D．无法比较二.填空题3．（2015•温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是______．4．（2015•红桥区一模）在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为______．5．（2013•黄石）甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足|m﹣n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是________．三.解答题6．（2016•贵阳模拟）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到了小华处的概率是多少（用树状图表示或列表说明）；（2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由．7．（2015•酒泉）有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别下上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．（1）请用画树状图成列表的方法，写出代数式所有可能的结果；（2）求代数式恰好是分式的概率．8．（2015•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．奖项一等奖二等奖三等奖|x||x|=4|x|=31≤|x|＜3（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？9．（2015•安徽）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．10．（2015•黄石）父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？请说明理由．11．（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．典例探究答案：【例1】】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲乙两先打的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有8种等可能的结果，甲乙两先打的有2种情况，∴甲乙两先打的概率为：=．故选C．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．练1．分析：画出树状图，然后根据概率公式解答即可．解答：解：根据题意，画出树状图如下：一共有9种情况，两辆汽车经过十字路口全部继续直行的有1种情况，所以，P（两辆汽车经过十字路口全部继续直行）=．故答案为：．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【例2】分析：列举出所有情况，看球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的情况数占所有情况数的多少即可．解答：解：共有27种情况，球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的情况数有1种，所以概率为．故选A．点评：考查用列树状图的方法解决概率问题；得到球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．练2．分析：（1）直接利用概率公式求出摸出红球的概率；（2）利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．解答：解：（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为：=；故答案为：；（2）如图所示：，所有的可能有12种，符合题意的有10种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为：=．【例3】分析：先画出树状图展示所有可能的6种结果，找出取出红色水笔和白色橡皮占1种，然后根据概率的概念求解即可．解答：解：画树状图：共有6种等可能的结果，其中取出红色水笔和白色橡皮占1种，∴出红色水笔和白色橡皮配套的概率=．点评：本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P A=mn （）．点评：此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．练3．分析：（1）首先分别用A，B表示两支不同的笔，分别用a，b，c，d表示四个不同的笔帽，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图求得取出的笔和笔帽恰好配套的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）分别用A，B表示两支不同的笔，分别用a，b，c，d表示四个不同的笔帽，画树状图得：则共有8种等可能的结果；（2）∵取出的笔和笔帽恰好配套的有2种情况，∴取出的笔和笔帽恰好配套的概率为：=．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．课后小测答案：一.选择题1．分析：根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球．解答：解：观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球．故选A．点评：此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验．2．分析：分别求出到达树枝A与树枝E的概率，然后再比较大小．解答：解：蚂蚁到达树枝A的概率是×=，蚂蚁到达树枝E的概率是×=，∵＜，∴蚂蚁爬到树枝头E的概率大．故选B．点评：本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．二.填空题3．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情况，∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．分析：先利用树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出球的颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．解答：解：共有16种结果，两次都摸到白球的有4种结果，则概率是=．故答案是：．点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．5．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与m、n满足|m ﹣n|≤1的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，m、n满足|m﹣n|≤1的有10种情况，∴甲、乙两人“心有灵犀”的概率是：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．三.解答题6．分析：（1）列举出所有情况，看足球踢到了小华处的情况数占所有情况数的多少即可；（2）可设球从小明处先开始踢，得到3次踢球回到小明处的概率，进而根据树状图可得球从其他2位同学处开始，3次踢球回到小明处的概率，比较可得可能性最小的方案．解答：解：（1）如图：∴P（足球踢到小华处）=（2）应从小明开始踢如图：若从小明开始踢，P （踢到小明处）==同理，若从小强开始踢，P （踢到小明处）=若从小华开始踢，P （踢到小明处）=（理由3分）点评：考查用列树状图的方法解决概率问题；分类得到3次踢球踢到小明处的情况数是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．7．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）画树状图：（2）代数式所有可能的结果共有6种，其中代数式是分式的有4种：，，，，所以P （是分式）=．第一次第二次x 2+1 ﹣x 2﹣2 3x 2+1﹣x2﹣23点评：此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由树状图可得：当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．解答：解：（1）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，∴甲同学获得一等奖的概率为：=；（2）不一定，当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；（2）画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：=．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．分析：（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．解答：解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：=；（2）会增大．理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：=＞；∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．分析：（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）补全小明同学所画的树状图：（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况，∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．分析：（1）用完全列举法得到选考结果为AC，AD，BC，BD；（2）根据概率公式求解；（3）用1、2、3、4分别表示AC、AD、BC、BD，先利用树状图法展示所有16种等可能的结果数，找出甲、乙两个考生选考结果完全相同的结果数，然后根据概率公式求解．解答：解：（1）如果考生随机选考，共有4种不同的选考结果，它们是AC，AD，BC，BD；（2）恰好选中掷实心球和篮球运球投篮的概率，即P（AC）=；（3）用1、2、3、4分别表示AC、AD、BC、BD，画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中甲、乙两个考生选考结果完全相同的占4种，所以甲、乙两个考生选考结果完全相同的概率==．点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B概率．。
树状图和表格法求概率知识点一利用频率估计概率1、在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.2、我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.注意：（1）在试验时应注意试验的随机性；（2）要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的“波动”就会越小，即趋于相对稳定的状态；（3）得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值.我们可以用频率来估计概率，但是不能说频率等与概率，区别在于：频率是通过多次试验而得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性.3、频率与概率的联系：利用频率估计概率：在进行大量试验时，随着试验次数的增加，一个不确定事件的发生的频率逐渐稳定到某一个数值，在这个数值附件摆动，这个数值便是，因此可以用平稳时的频率来估计这个事件发生的概率。
利用概率指导频率：频率的合理性和科学性依赖于概率理论的严密性。
4、频率与概率的区别：1）概念不同：每个对象出现的次数与总次数的比值称为。
刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的。
2）意义不同：频率所描述对象可以是确定事件，也可以是不确定事件。
概率所描述对象通常为不确定事件。
3）性质不同：频率是试验统计值，是随着试验次数的变化而不断变化的。
概率是不确定事件本身所固有的特性，是不确定事件的一种内部规律，其数值是固定的，不随着试验次数的变化而变化。
注意：频率是变化的，概率是固定的。
二者存在一定的偏差，频率的值无限接近于概率的值。
5、利用频率估计概率可以估算数学或实际生活中的不能或不易直接获得的数值。
6、用抽取法估计数目两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录其中某一个颜色的球出现的次数，利用频率估计概率估算这一颜色球的数量。
依据：重复多次试验时，试验频率约等于概率。
（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一个颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复上述过程，摸一定的次数，求出这个颜色球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数量。
用列表法、树状图法求概率有招刘琛概率问题是中考中的热点问题，与概率有关的题目形式多样,但其中最主要的是考查利用列表法或树状图法求随即事件的概率.而利用列表法或树状图法求随即事件的概率,关键要注意以下三点：（1）注意各种情况出现的可能性务必相同；（2）其中某一事件发生的概率=各种情况出现的次数某一事件发生的次数；（3）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．例1田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.(1).如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？(2). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）分析：正确理解题意，将齐王和田忌的马正确排列，而后恰当列表．解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．(2).当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上1．双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P=6例 2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同样手势不分胜负，假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率．（提示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用B表示“布”）解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图：所有可能出的结果：（S，S）（S，J）（S，B）（J，S）（J，J）（J，B）（B，S）（B，J）（B，B）从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同．所以，P （出同种手势）=93=31P （甲获胜）=93=31解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：S J BS （S ，S ）（S ，J ）（S ，B ）J （J ，S ）（J ，J ）（J ，B ）B （B ，S ）（B ，J ）（B ，B ）以下同解法一评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件.（2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．(1).用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；(2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．解析：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：456 14562810123121518表格中共有9种等可能的结果，其中数字之积为3的倍数的有五种，数字之积为5的倍数的有三种，所以P （3的倍数）=95；P （5的倍数）93．（2）这个游戏对双方不公平∵小亮平均每次得分为2×95=910（分），小芸平均每次得分为3×93=99=1（分）．∵910≠1，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．。
概率知识点1 树状图（或列表法）的使用对于简单的概率类题型我们可以通过列举法，计算事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，但是对于可能情况较多的事件，我们可以通过用树状图或列表法来解决树状图法：①分层.分清事件发生的层次，哪些情况是第一层（第一次）发生的，哪些是第二层（第二次）发生的；②根据分层用树状图把每一层（每一次）表示出来，然后计算事件发生的概率；列表法：将前后两次发生的事件在表格中全部表达出来，在其中计算事件发生的次数，进而计算频率.例1.一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为例2.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；(2)求选手A 晋级的概率.21=63【解析】（1）树状图如图所示，选手一共有8种等可能的结果，分别为(√,√,√)、(√,√,×)、(√,×,√)、(√,×,×)、(×,√,√)、(×,√,×)、(×,×,√)、(×,×,×). 开始（2）由（1）得选手A 的结果共有8种等可能情况，其中晋级的情况有4种，故其概率为41=82例 3.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．【解析】（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3，，∴从盒子中随机抽取一张卡片,卡片上的实数是无理数的概率是：23（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况， ∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： 例4.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例5.如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1,BB 1,CC 1;(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？(2)小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．例6.如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ．例7.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y.（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数6y x =-+图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy>6，则小明胜；若x 、y 满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?例8.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x 2-3x+2=0的解的概率．。
用列表法、树状图法求概率有招刘琛概率问题是中考中的热点问题，与概率有关的题目形式多样,但其中最主要的是考查利用列表法或树状图法求随即事件的概率.而利用列表法或树状图法求随即事件的概率,关键要注意以下三点：（1）注意各种情况出现的可能性务必相同；（2）其中某一事件发生的概率=各种情况出现的次数某一事件发生的次数；（3）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．例1 田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.(1). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？ (2). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）分析：正确理解题意，将齐王和田忌的马正确排列，而后恰当列表． 解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．(2).当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表： 齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 田忌的马 上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P=61． 例2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同样手势不分胜负，假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率．（提示：为书写方便，解答时可以用S 表示“石头”，用J 表示“剪刀”，用B 表示“布”）解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图：所有可能出的结果：（S ，S ）（S ，J ）（S ，B ）（J ，S ）（J ，J ）（J ，B ）（B ，S ）（B ，J ）（B ，B ）从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同．所以，P （出同种手势）=93=31 P （甲获胜）=93=31解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：以下同解法一 评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件.（2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A 、B ；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．(1).用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；(2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平． 解析：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：AB表格中共有9种等可能的结果，其中数字之积为3的倍数的有五种，数字之积为5的倍数的有三种，所以P （3的倍数）=95；P （5的倍数）93． （2）这个游戏对双方不公平∵小亮平均每次得分为2×95=910（分）， 小芸平均每次得分为3×93=99=1（分）．∵910≠1，∴游戏对双方不公平． 修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．。
