2013高三数学二轮专题：2012江苏高考数学填空题“培优练习”(17)

2012江苏高考数学填空题“培优练习”（第11-20卷）编制：李晓峰2012年1月20日2012江苏高考数学填空题“培优练习”（11）1、已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1)()x n n n N ∈+∈，则n =__________．2、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-。

若函数()()log (2)(1)a g x f x x a =-+>在区间(]2,6-恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是__________．3、如图所示：矩形n n n n A B PQ 的一边n nA B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B PQ 的面积记为n S ，则lim n n S →∞=__________．4、如图所示：在AOB ∆中，,3,2,3AOB OA OB BH OA π∠===⊥于H ，M 为线段BH 上的点，且5,4MO MA BM xBO yBA ⋅=-=+ 若，则x y +的值等于__________．5、过抛物线22y x =的焦点F ，倾斜角为4π的直线l 交抛物线于,A B （A B x x >），则AF BF的值__________．6、已知ABC ∆三条边分别为,,a b c ，,,A B C 成等差数列，若2b =，则a c +的最大值为__________．7、两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是__________．8、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()3f x f x +=，()()2311,21m f f m ->=+，则实数m 的取值范围是__________．9、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为__________．10.记{}⎩⎨⎧>≤=时当时当b a b b a a b a ,,,min ，已知函数{}34,12min )(222+--++=x x t tx x x f 是偶函数（t 为实常数），则函数)(x f y =的零点为__________．（写出所有零点）B AO HM11.已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是__________．12．若a 、b 、c 都是复数，则“222c b a >+”是“0222>-+c b a ” 的__________条件.13．若xyy x 4)(cos 22+=θ，则x ，y 满足的条件是__________．14．已知函数a x x x f -++=1)(的图像关于直线1=x 对称，则a 的值是__________．参考答案（11）：【上海市徐汇区2011学年第一学期高三年级数学学科学习能力诊断卷】1、22、3、24、12【上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题】5. 223+；6. 4；7.8. 21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；9、【上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学】 10．1,3±±=x ； 11．{}3,0,3-； 12．充分而非必要； 13．y x = 且0≠x 或y x -=且0≠x ； 14．3；2012江苏高考数学填空题“培优练习”（12）1. 给出问题：已知ABC △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定ABC △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222a b c a b a b -=-+，⇔222c a b =+,故ABC △是直角三角形.（ii ）设ABC △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin 2sin 2A B ⇔=A B ⇔=， 故ABC △是等腰三角形.综上可知，ABC △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果．______________________________________________________________________．2. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9 的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为__________．3. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a =__________．4. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭， 则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为__________．① M N ； ②M N ； ③R M N ð； ④R M N ð.5. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是__________． ①若a m ⊥，a n ⊥，m αÜ，n αÜ,则a α⊥；②若a b ，b αÜ，则a α ；③若a βÜ，b βÜ，a α ，b α ,则αβ ； ④若αβ ，a αγ= ，b βγ= ，则a b .6．某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是__________．（用分数作答）7．已知平面区域|)||(|4:221y x y x C +≤+，则平面区域1C 的面积为__________．8．在边长为１的正六边形654321A A A A A A 中，5331A A A A ⋅的值为__________．9．函数)0,0)(cos(3πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，B A 、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4=AB ，则该函数的一条对称轴为__________．10．已知椭圆191622=+y x 及以下３个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=； ③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有________个．11、已知函数a x x f +=2)(，16)(2+-=x x x g ，对于任意的]1,1[1-∈x 都能找到]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数a 的取值范围是__________．12、已知a bc ，b ac ，c ab成等差数列，则①2b ac ≥；②ac b ≥2；③b c a ≥+2中，正确的是__________．（填入序号）13、定义在R 上的函数)(x f ，当]1,1(-∈x 时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足)()2(x af x f =-（常数0>a ），则函数)(x f 在区间]7,5(上的最小值是__________．14、已知集合{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x ∈≤++-≤+=-,05)7(20221且，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是__________．参考答案（12）：【上海市普陀区2012届高三上学期高三年级质量调研】 1. 等腰或直角三角形； 2.181； 3. 1*341,N n n -⋅+∈； 4. ④； 5. ④【上海市青浦区2012届高三上学期期终学习质量调研测试】 6．23-；7．70336；8．π1632+；9．1x T =+；10．２【上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试数学试题】11、62≤≤-a ；12、③；13、341a -；14、]1,4[--2012江苏高考数学填空题“培优练习”（13）1．在ABC △中，若a b ≠，且22tan tan a b A B=，则C ∠的大小为__________．2．若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为______个．3．如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM OA ⊥，垂足为M ，PN OC ⊥，垂足为N ，则四边形OMPN 的周长的最小值为__________．4．在一圆周上给定1000个点，如图，取其中一点，标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点，标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点，标记上数3……，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标上2012的那一点上的所有数中最小的数是__________．5．已知线段AB 上有10个确定的点（包括端点A 与B ）．现对这些点进行往返标数（从A →B →A →B →…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标数中，最小的是__________．6．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是__________．7、已知ABC ∆的一个内角为120 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于__________．8、已知盒中装有形状与大小完全相同的五个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，所取球颜色不同的概率等于__________．（用分数表示）9、已知,αβ是方程20(0,,,)ax bx c a a b c R ++=≠∈ 的两个根，则下列结论恒成立的是__________．①αβ=；②,b ca aαβαβ+=-= ；③240b ac -≤；④αβ-N M P C BAO A B 12356410、平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4),(1,3)AB AC ==，则AD BD ⋅=__________．11．在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,10x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为__________．12．已知函数()x f x ab c =+(0,1)b b >≠，[0,)x ∈+∞，若其值域为[2,3)-，则该函数的一个解析式可以为()f x =__________． 13．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为__________．14．若函数()f x 同时满足下列三个条件：①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同，则函数()f x 可以是__________． ①()sin f x x =（22x ππ-≤≤） ②2)(x x e e x f -+=③3)(x x f -= ④xxx f -+=11ln)(参考答案（13）：【上海市闵行区2012届高三上学期期末质量抽测试题】1．90o； 2．10； 3．6- 4．12； 5．3； 6．随m 的变化而变化【上海市崇明县2012届高三上学期期末考试数学试题】 11．12．35；17．②；18．8【上海市卢湾区2012届高三上学期期末考试】11．3；13．1532x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（满足01b <<的b 均可）；14．(,4)(9,)-∞-+∞ ；17．③2012江苏高考数学填空题“培优练习”（14）1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆222r y x =+（0>r ）内切于正方形A B C D ，任取圆上一点P ，若b a ⋅+⋅=（a 、R b ∈），则a 、b 满足的一个等式是__________．2．在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为__________．（结果用分数表示）．3．已知函数()1log (1)(01)a f x x a a =+->≠且的图像恒过定点P ，又点P 的坐标满足方程1=+ny mx ，则mn 的最大值为__________．4．函数),2,(cos sin )(*R x n N n x x x f n n ∈≠∈+=的最小正周期为__________．5．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X M ∈、M ∅∈；②对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈ ； ③对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈ ； 则称M 是集合X 的一个“M —集合类”.例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ∅=是集合},,{c b a X =的一个“M —集合类”。

2012江苏高考数学填空题“培优练习”（4）1．已知直线1()2y x b =+式曲线x y e =的一条切线，则实数b 的取值范围为__________． 2．若A 为不等式组002x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则实数a 从1-连续变化到1时，动直线x y a +=只想扫过A 中部分的区域面积为__________．3．已知一非零实数m 在区间[,]ππ-上，则使得函数2()2f x mx π=-在[,]ππ-上无零点的概率为__________．4．复数(3)(2)(,)z i m i n m n R =+-+∈对应的点在第四象限内，则m n的取值范围是__________．5．过直线:3l y x =上一点P 作圆22:(3)(1)2C x y -++=的两条切线，若两切线关于直线l对称，则点P 到圆心C 的距离为__________．6．已知点(0,)A b ，B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点，若点A 关于点B 的对称点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为__________．7．若集合{}0,1,2,3,4,5,6T =，3124234,1,2,3,47777i a a a a M a T i ⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭，将M 中的元素从大到小的顺序排列，则第2012个数是__________．8．()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x R ∈，有()f x m x ≤，则称()f x 为限定函数，给出下列函数：①2()2f x x x =-；②()sin f x x x =；③2()24x f x x x =++；④()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x -≤-，其中不是限制函数的序号为__________．9．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，满足()12f f a ⎡⎤=⎣⎦的实数a 的个数为__________个10． y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是__________．11．如果函数3211()228032f x ax ax ax a =+-++的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围为__________．12．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率e 为，直线y ex a =+与,x y 轴分别交于,A B 两点，E 点事直线与椭圆的一个交点，且AE e AB =⋅，则离心率e 的值为__________．13．已知双曲线22122x y -=的左准线过椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左焦点，并与该椭圆交于,A B 两点，已知3AB =，若该椭圆上的点到直线y x m =+的最小值为1，则实数m 的值为14．已知函数1()f x x x =-，若不等式4151(22)(42)f f αααα++-+<+对任意实数x 恒成立，则实数α的取值范围是__________．参考答案（4）：【江苏省盱眙中学2012届高三上学期第四次学情调研】1．1ln2+ 2．32 3．12 4．2(,1)3 510 62 7．39024018．①【2011-12江苏苏州园区二中第一学期自主调查二】9．8 10．10【2011-2012第一学期期末扬州市高二数学检测题】11．(96,15)-- 1251-【常州市2011~2012学年第一学期高二数学期末试卷】137272【常州市2011~2012学年第一学期高一数学期末试卷】14．(2,)+∞。

2012江苏高考数学填空猜题42道一、填空题：1．已知,1,121i z i z -=+=且12111z z z -=，则=z ▲ ． 2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++= ▲ ．3．函数x x x f sin cos 3)(+=)22(ππ<<-x 的值域为 ▲ ．4．下图是一个算法的流程图，则输出n 的值是 ▲ ．5．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则)(x g -与()g x 的关系是 ▲ ． 6．已知α、β表示两个不同的平面，m 是平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”之一）7．用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为 ▲ ．8．已知点),(b a M 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x 所确定的平面区域内，则),(b a b a N +-所在的平面区域的面积为 ▲ ．9．给出下列四个命题：①函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象关于点)0,6(π-对称；②若1->≥b a ，则bba a +≥+11；③存在实数x ，使0123=++x x ；④设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任意一点，圆1)()(:222=-+-b y a x O ，当1)()(2121=-+-b y a x 时，两圆相切．其中正确命题的序号是 ▲ ．（把你认为正确的都填上）10．在ABC ∆中，2,4==AC AB ，M 是ABC ∆内一点，且满足02=++MC MB MA ，则⋅= ▲ ．11．在直角坐标系中，过双曲线1922=-y x 的左焦点F 作圆122=+y x 的一条切线（切点为T ）交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则MT OM -= ▲ ．12．在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则=+222c b a ▲ ． 13．在等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项，若m n S n =，)(n m nm S m ≠=，则m n S +的取值范围是 ▲ ．14．设函数||1)(x xx f +-=)(R x ∈，区间[])(,b a b a M <=，集合{}M x x f y y N ∈==),(|，则使N M =成立的实数对),(b a 有 ▲ 对．填空题答案 ：-i ； 223+； (]2,1-； 5； )(x g -+()g x =0； 必要不充分； 31； 4；②③； -3； 2； 3； （4，∞+）； 01．已知复数2z i =，则13iz+的虚部为 ▲ . 2．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了6名志愿者，那么n =▲ .3．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .4．已知向量()()2,1,3,a b λ==，若()2a b b -⊥ ，则λ= ▲ .5．已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ . 6．在等比数列{}n a 中，若22a =-，632a =-，则4a = ▲ .7．已知函数2sin cos 122()2tan 2cos 12x xf x x x =+-，则()8f π的值为 ▲ . 8．按如图所示的流程图运算，则输出的S = ▲ .9．由“若直角三角形两直角边的长分别为,a b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线第8题长可求得该直角三角形外接圆的半径为r . 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为,,a b c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R = ▲ .10．已知,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ▲ .11．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前20项的和为 ▲ .12．已知直线10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM OA OB =+（O 为坐标原点），则实数k = ▲ .13．若,,0a b c >，且24a ab ac bc +++=，则2a b c ++的最小值为 ▲ .14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .答案： 1.12-2.303.13a -≤≤4.3或1-5.496.8-8.209.10.2 11.2101 12.0 13.414.a ≥1．已知复数2z i =，则13iz+的虚部为 ▲ . 2．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了6名志愿者，那么n =▲ .3．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .4．已知向量()()2,1,3,a b λ==，若()2a b b -⊥ ，则λ= ▲ .5．已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ . 6．在等比数列{}n a 中，若22a =-，632a =-，则4a = ▲ .第8题7．已知函数2sin cos 122()2tan 2cos 12x x f x x x =+-，则()8f π的值为 ▲ . 8．按如图所示的流程图运算，则输出的S = ▲ .9．由“若直角三角形两直角边的长分别为,a b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为r . 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为,,a b c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R = ▲ .10．已知,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ▲ .11．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前20项的和为 ▲ .12．已知直线10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM OA OB =+（O 为坐标原点），则实数k = ▲ .13．若,,0a b c >，且24a ab ac bc +++=，则2a b c ++的最小值为 ▲ .14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .1.12-2.303.13a -≤≤4.3或1-5.496.8-8.209.10. 11.2101 12.0 13.414.a ≥。

精心整理2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）{1,2,4,6B=某学校高一、高二、高三年级的学生人数之高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲ 名学生．【答案】15。

【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。

将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。

因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k循环前0 0第一圈是 1 0第二圈是 2 －2第三圈是 3 －2第四圈是 4 0项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲ ．。

【答案】35【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。

7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，【解析】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。

9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AEBF 的值是▲ ． 。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

由2ABAF =，得cos ABAF FAB ∠cos AF FAB DF ∠。

∵22DF =，之间的夹角为θ∵2BC =，点()(=cos =cos =cos cos AE BF AEBF AEBF AEBF θαβαβ+-()=cos cos sin sin =1221AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-标后求解。

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷17一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 1、已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 . 2、集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B = .3、一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 .4、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥1-B BCO 的体积为 .5、已知()()(2,3),(1,2),a b a b a b λ==+⊥-,则=λ .6、已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为 .7、由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞， 则实数a 的值是 .8、已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数)(x f 在20π=x 处的切线方程是 .9、在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2010a = .10、已知函数x x x f 2)(2-=, x ∈[a , b ]的值域为[－1, 3 ]，则b a -的取值范围是 .11、若m 、n 、l 是互不重合的直线，γβα,,是互不重合的平面，给出下列命题：第4题①若βαβαβα⊥⊥⊥=⋂⊥n n n m m 或则,,,②若n m n m //,,,//则=⋂=⋂γβγαβα③若m 不垂直于αα不可能垂直于则m ,内的无数条直线 ④若βαβαβα////,,,//,n n n n n m m 且则且⊄⊄=⋂⑤若l n l m n m l n m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=⋂=⋂=⋂,,,,,,,,则且γβγαβαγαγββα其中正确命题的序号是 . 12、如图，在平面四边形ABCD 中，若3,2AC BD ==，则()()+⋅+=AB DC AC BD .513、对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 . 14、若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin a A =， （1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．16、（本小题满分14分）如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ；（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值；17、（本小题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 18、（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求2a ，3a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ．19、（本题满分16分）已知直线0543:1=-+y x l ，圆4:22=+y x o ． （1）求直线1l 被圆O 所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线2l 与1l 垂直，2l 与圆心在直线02=-y x 上的圆M 相切，圆M 被直线1l 分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M 的方程．20、（本小题满分16分）已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（,a b 不同时为零的常数），导函数为()f x '. （1）当13=a 时，若存在[3,1]∈--x 使得()0f x '>成立，求ｂ的取值范围；（2）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点；（3）若函数()f x 为奇函数，且在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ， 关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)->-t t 上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.（附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．B ．选修4－2：矩阵与变换试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021C ．选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=． （1）将直线的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线和圆C 的位置关系．D ．选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75． （1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； （2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点． （1）求实数k 的值；（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？。

2012江苏高考数学填空题 “提升练习”和“培优练习”（提升练习—第41-50卷）制作：林夕 2013年5月15日2012江苏高考数学填空题“提升练习”（41）1．若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为__________．2．已知圆C ：)0(8)()(22>=-+-ab b y a x 过坐标原点，则圆心C 到直线1=+ayb x 距离的最小值为__________．3．若直线b x y +=和曲线21x y -=恰有一个公共点,则b 的取值范围是__________．4．若样本101,,k k 的方差为6，则样本)1(3,),1(3),1(31021---k k k 的方差为__________．5．数列 ,43211,3211,211++++++的前n 项之和为__________．6．某人按如下方法做一次旅行(都在同一个平面上)：第一天向东行12千米，第二天向南行22千米，第三天向西行32千米，第四天向北行42千米，第五天再向东行52千米，…，如此继续下去，到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为千米__________．7.已知a =，函数()xf x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为__________．8.已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =__________．9.函数()x f y =是R 上的偶函数,且在(]0,∞-上是单调增函数,若()()2f a f ≤,则实数a 的取值范围是__________．10、函数86)(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，顶点B 在椭圆1124822=+y x 上，则C A B sin sin sin +=__________．12．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好把线段AB 三等分，则2a =__________．13．已知,m n 为正整数，实数,x y 满足x y +=，若x y +的最大值为40，则m n +为__________．14．已知,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3sin 20x x a +-=，34sin cos 0y y y a ++=，则tan(2)x y +=__________．简明参考答案（41）：【淮安市吴承恩中学11-12学年高二数学第一次调研试题】1～3缺答案：4．54：5．2nn +：6．1160：7．m n <：8．4 9. (,2][2,)-∞-⋃+∞ 10. [0,1]【赣榆县海头高中2011-2012学年高二上学期期中考试数学试题】11．2【海头高级中学2012届高三上学期学情调研数学试题】 12．112；13．10；14．02012江苏高考数学填空题“提升练习”（42）1．当102x ≤≤时，3122ax x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是__________．2．首项为正数的数列{}n a 满足211(3)4n n a a +=+，*n N ∈，若对一切*n N ∈，都有1n n a a +>，则1a 的取值范围是__________．3．已知函数()1f x x =-，关于的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得换成恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得换成恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得换成恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得换成恰有8个不同的实根； 其中真命题的序号为__________．4．已知函数2,0,()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩则不等式2()f x x ≥的解集是__________．5．如果(,),2παπ∈且3sin ,sin()sin()544ππααα=++-那么=__________．6．已知项数为9的等比数列}{n a 中51a =，则其所有奇数项和的取值范围是__________．7221)0x y +-≤所表示的平面区域的面积是__________．8．已知―2,lg(21)230a R x mx a ∀∈-+--=一定有解‖是真命题，则实数m 的取值范围是__________．9．已知O 为坐标原点，,A B 是圆221x y +=分别在第一、四象限的两个点，(5,0)C 满足：3OA OC ⋅= 、4OB OC ⋅= ，则()OA tOB OC t R ++∈模的最小值为__________．10．设γβα、、满足πγβα20<<<<，若函数()sin()sin()sin()f x x x x αβγ=+++++的图像是一条与x 轴重合的直线，则βα-=__________．11、如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AB=6，D 在斜边BC 上，且CD=2DB ，则AD AB ∙的值为__________．12、已知直线)(R m mx y ∈=与函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0,1210,)21(2)(2x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是__________．13.定义在R 上的函数)(x f 满足)(,1)4('x f f =为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足,1)2(<+b a f 则11++a b 的取值范围是__________．14.已知函数,0)()()(,0,l o g )31()(2<<<<-=c f b f a f c b a x x f x实数d 是函数)(x f 的一个零点，给出下列四个判断：①;a d <②;b d >③;c d <④.c d >其中一定成立的个数为__________．简明参考答案（42）：【马坝中学2012届高三上学期期中考试数学试题】1．13[,]22-；2．(0,1)(3,)⋃+∞；3．①②③④第13题图A B D C【如皋市2011-2012学年度第一学期高三期中调研试卷数学（理科）】 4、[–1，1]；5、524-；6、),5[+∞；7、12-π；8、),1[]1,(+∞--∞ ；9、4；10、32π【蒋垛中学2011-2012年高三数学综合练习九】 11、24；12、),2(+∞【运河中学2012届高三学情调研（2011.11.19)】 13.)5,31( 14.12012江苏高考数学填空题“提升练习”（43）1.在等比数列｛a n ｝中，已知a 1+a n =66，a 2a n -1=128，且前n 项和S n =126，则项数n =__________．2.已知O 为坐标原点，点M （x ,y ）为平面区域x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥2≤1≤2上的动点，则x -y 的取值范围是__________．3.已知正四棱锥的底面边长为2，体积为4，则其侧面积为__________．4.在△ABC 中，D 为BC 的中点，AD =1，∠ADB =120o ，若ABAC ，则BC =__________．5.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠ADC =90o ，AD =2，BC =1，P 为腰DC 上的动点，则23PA PB +的最小值为__________．6.若实数a 、b 、c 满足()lg 1010a b a b +=+，()lg 101010a b c a b c ++=++，则c 的最大值是__________．7.对于数列｛a n ｝，定义数列｛b n ｝、｛c n ｝：b n =a n +1-a n ，c n =b n +1-b n .若数列｛c n ｝的所有项均为1，且a 10=a 20=0，则a 30=__________．8.已知a >0,方程x 2-2ax -2a ln x =0有唯一解,则a =__________．9、曲线y ＝｜x ｜与x 2+y 2＝4所围成较小区域的面积是__________．10、直线x t =过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是__________．11、下列四个命题：①定义在R 上的函数)(x f 满足)2()2(f f =-，则)(x f 不是奇函数 ②定义在R 上的函数)(x f 恒满足)()(x f x f =-，则)(x f 一定是偶函数 ③一个函数的解析式为2x y =，它的值域为{}4,1,0，这样的不同函数共有9个④设函数x x x x f -++=)1ln()(2，则对于定义域中的任意)(,2121x x x x ≠，恒有1)()(2121->--x x x f x f其中为真命题的序号有__________．（填上所有真命题的序号）12．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=0，对任意正整数n ，m (n >m )满足m n m n m n a a a a +-=-22，则a 119=__________．13．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是__________．14．现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a ，b ，c …，z 这26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3…，26这26个 4 13用如下变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=')2,261,(132)2,261,(21整除能被整除不能被x x N x x x x N x x x 将明文转换成密码。

2012江苏高考数学填空题“培优练习”（18）1．已知R 上的不间断函数)(x g 满足：①当0>x 时，0)(>'x g 恒成立；②对任意的R x ∈都有)()(x g x g -=．又函数)(x f 满足：对任意的R x ∈，都有)()3(x f x f -=+成立，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(3-=．若关于x 的不等式)2()]([2+-≤a a g x f g 对]3,3[-∈x 恒成立，则a 的取值范围__________．2．已知数列{}n a 满足nn n a a a a 21,111+==+)(*N n ∈，此数列通项公式为__________．(运用归纳法可得)3．已知a ，b ，a +b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1，则m 的取值范围是__________．4．已知n n a )(231⋅=，把数列{}n a 的各项排成三角形状1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a……记A （m ,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）=__________．5．已知圆在斜二侧画法下得到的曲线是椭圆，则该椭圆的离心率是__________．6．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0απα++=；三点等分单位圆时，有相应正确关系为24sin sin()sin()033ππααα++++=．由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．7．已知)33(A ，O 是原点，点),(y x P 的坐标满足303200x y x y ⎧-<⎪+<⎨⎪≥⎪⎩，则（1）||OA 的最大值为__________；（2的取值范围为__________．8. 在ABC ∆中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是21-，则ABC ∆的面积等于__________．9．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数(精确到0.1)时，设()f x ＝lg x ＋x －2，得出(1)f ＜0，且(2)f ＞0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为__________．A CB D E 10．直线1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211a b+的取值范围为__________． 11．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是__________．12．如图，△ABC 中，4AB =，AC =8，60BAC ∠=，延长CB 到D ，使BA BD =，当E 点在线段AB 上移动时，若AE AC AD λμ=+，当λ取最大值时，λμ-的值是__________．13.已知函数：①x x f ln 3)(=； ②x e x f cos 3)(=；③x e x f 3)(=； ④x x f cos 3)(=.其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量)()(,212x f x f x 使=3成立的函数的序号是__________．14．已知函数g (a )=.12,,2121,,22222,a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪⎪≤⎪⎩若g (x )≥g (1x )，则实数x 的取值范围是__________．参考答案（18）：【江苏省兴化市板桥高级中学2012届高三寒假作业数学试题】1～7缺答案【江苏省宿豫中学2011-2012高二年级第一学期数学月考试卷】8．缺答案【江苏省盱眙中学2012届高考数学预测卷（一）2012.1】10．[)1,+∞ 11．1112、32λμ-= 答案：当λ取最大值时，AE AB =， ,AB AC CB AB AD DB =+=+，所以(13)3AB AC AD +=+，所以31313λμ++32λμ-=．13.③14．x ≥1或－2≤x <0. 解析： 结合函数图象分析知在区间(－22，+∞)上，g (a )增且g (a )＞22，故g (x )≥g (1x ) x ≥1x 或⎩⎨⎧x ≤－22，1x ≤－22．解得x ≥1或－2≤x <0。

江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（17）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（14分）已知函数f (x )=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R) （1）求函数f (x )的最小正周期 ; （2）求使函数f (x )取得最大值的x 的集合.2．（14分）已知函数 ()(0)x af x a ax-=> （1）判断并证明)(x f y =在),0(+∞∈x 上的单调性；（2）若存在0x ，使()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点0x ；（3）若x x f 2)(<在),0(+∞∈x 上恒成立 , 求a 的取值范围．3．（15分）已知三次曲线C ：f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象关于点A （1，0）中心对称。

（1）求常数b 的值及c 与d 的关系；（2）当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，求c 的取值范围。

4．（15分）如图，从边长为2a 的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t ，问：x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？5．（16分）已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=。

(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧? 为什么?x xx xxxxx6．（16分）设｛a n ｝是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项和 （1）若S n ＝20，S 2n ＝40，求S 3n 的值；（2）若互不相等正整数p ，q ，m ，使得p ＋q ＝2m ，证明：不等式S p S q ＜S 2m 成立；（3）是否存在常数k 和等差数列｛a n ｝，使ka 2n －1＝S 2n －S n+1恒成立（n ∈N *），若存在，试求出常数k 和数列｛a n ｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。

2012江苏高考数学填空题“培优练习”（14）1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆222r y x =+（0>r ）内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OB b OA a OP ⋅+⋅=（a 、R b ∈），则a 、b 满足的一个等式是__________．2．在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为__________．（结果用分数表示）．3．已知函数()1log (1)(01)a f x x a a =+->≠且的图像恒过定点P ，又点P 的坐标满足方程1=+ny mx ，则mn 的最大值为__________．4．函数),2,(cos sin )(*R x n N n x x x f n n ∈≠∈+=的最小正周期为__________．5．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： ①X M ∈、M ∅∈；②对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈U ；③对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈I ；则称M 是集合X 的一个“M —集合类”.例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ∅=是集合},,{c b a X =的一个“M —集合类”。

已知集合},,{c b a X =，则所有含},{c b 的“M —集合类”的个数为__________．6．已知共有k *()k N ∈项的数列}{n a ，21=a ，定义向量),(1+=n n n a a c 、)1,(+=n n d n (1,2,3,,1)n k =-L ，若||||n n d c =，则满足条件的数列}{n a 的个数为__________．7.设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-fx ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．8.若椭圆()112222>>=+b a by a x 内有圆122=+y x ，该圆的切线与椭圆交于B A ,两点，且满足0=⋅OB OA （其中O 为坐标原点），则22169b a +的最小值是__________．9．若等比数列{}n a 前n 项和为a S n n +-=2，则复数ia i z +=在复平面上对应的点位于第__________象限10．若21,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2，0)，AM 为21AF F ∠的平分线．则2AF 的值为__________．11．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是__________(用数值作答)．12．已知函数22||(),2()sin (0),2(0);x x f x x x x x x ππππ⎧->⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪+<⎪⎩m 是非零常数，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有三个不同的实数根，若βα、分别是三个根中的最小根和最大根，则sin()3πβα⋅+=__________． 13．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，有2||(),2()sin (0);2x x f x x x ππππ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()3πα+=__________．14．现给出如下命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线l αP 平面；②“平面β上有四个不共线的点到平面α的距离相等”的充要条件是“平面βαP 平面”；③若一个球的表面积是108π，则它的体积V =球；④若从总体中随机抽取的样本为2,3,1,1,1,4,2,2,0,1---，则该总体均值的点估计值是0.9．则其中正确命题的序号是__________．参考答案（14）：【上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷】1．2122=+n m ； 2．61； 【上海市浦东区2012届高三上学期期末质量抽测】3．81； 4．2n n ππ为奇数时，2；为偶数时，； 5．10； 6．12k - 【上海市杨浦区2012届高三学科测试】 7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22； 8. 49； 9．一； 10．6 【上海市黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评】11、1114；12、14+；13．12-；14、(3)、(4)。