北师大版 七年级数学上册 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (2)

C.π·82x＝π·62(x＋5)
D.π·82x＝π·62×5
4. 用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2 cm，高16 cm 的圆柱形零件，则需要截取的圆钢长___1_2___cm. 5. 用5个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图的大长方 形，若大长方形的周长是14，则小长方形的长是___2___， 宽是__1___.
教学课件
数学 七年级上册 BS版
第五章 一元一次方程
3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水 箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的 占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2 m.那 么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m 增高为多少米？
【展示点评】分析：由题意可知，长方形的周长始终是不 变的，即长与宽的和为：20×½ ＝10m.在解决这个问题的 过程中，要抓住这个等量关系.
解：（1）设此时长方形的宽为 x m，则长为 x+1.4
根据题意，得 x+x+1.4=10 × 1
2
解这个方程，得 x=1.8 此时长方形的长为 3.2 ，宽为 1.8 ，面积为 5.76.
2
解这个方程，得 x=2.5
此时正方形的长为 2.5 ，面积为 6.25 的面积比
（2）中面积 增大6.25-6.09=0.16 m².
【小组讨论2】用一元一次方程解决实际问题的一般步 骤有哪些？ 【反思小结】 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 审：审题，明确各数量之间的关系； 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）； 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； 解：解所列的方程，求出未知数的值； 检：检查所求解是否符合题意；

5.3Βιβλιοθήκη 应用一元一次方程——水箱变高了
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！

小明的方案：周长为10米，长比宽多0.8米
解：（2）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米。 根据题意，得：
(x+0.8 +x) ×2 =10 x=2.1
长=2.1+0.8=2.9 面积=2.9 ×2.1=6.09
答:该长方形的长为2.9米,面积为6.09米2
爸爸的方案：长和宽相等——正方形
列方程解应用题的一般步骤（解题思路） 4 +X) ×2 =10
圆的面积 S = _______; 了解运用方程解决实际问题的步骤,知道最重要的是抓等量关系.
（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题 圆的周长 C = ________;
圆柱体体积V = _________. 妈妈的方案：周长为10米，长比宽多1.
同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？
（（长长++宽宽））的×× 22==式周周长长 子，然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值． 小明想使长方形的长比宽多0.
长为10米的栏杆，围成一个长方形花圃，怎么围呢？ 圆柱体体积V = _________.
圆的周长（C = __5__）____; 答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是 方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
含义的相等关系（找出等量关系）． 等积变形问题的基本关系式：
同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？
（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． x=2.
等积变形问题的基本关系式： 爸爸的方案：长和宽相等——正方形
X正=方1.形的（面积 S3=_）_____列_; —列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母

• 第•二第级三解级得 x=2.5.
• 第四级
正方形的• 第边五级长为2.5 m. 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
同样长的铁丝可以 围更大的地方
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典例精析
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆， 已• 知单正击方此形处的编边辑长母比版圆文的本半样径式长2(π－2) m，求这两 根等•长第的二铁级 丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
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(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一
• 个单正击方此形处，编那辑么母正版方文形本的样边式长是多少？它围成 的•正第方二形级的面积与(2)中相比，又有什么变化？
• 第三级
• 第四级 • 第五级
xm
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解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得 • 单击此处(x编+辑x)母×版2 =文10本. 样式
2 cm，• 长第方二形级就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 c•m第•三第级四级 B.7 cm
• 第五级
C.8 cm
D. 9 cm
2.
C
2019/8/20
18
单击此处编母版标题样式 3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( B )
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
• 第二级
•所第以三铁级 丝的长为2πr＝8π(m)．
• 第四级
所以圆• 的第五面级 积是π×42＝16π(m 2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，

例题欣赏 ☞
例题&解析
（2）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形 的边长是多少米？围成的面积与第二次围成的面积相比，又有什么 变化？
x
例题&解析
解：（2）设正方形的边长为x米.
根据题意，得：(x +x) ×2 =10 解得：x=2.5
面积：2.5×2.5=6.25(米2)
同样长的铁丝围成 怎样的四边形面积
x x+0.8
例题&解析
解：（1）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8） 米.根据题意，得：
(x+0.8 +x)×2=10 解得：x=2.1 长：2.1+0.8=2.9 面积：2.9×2.1=6.09(米2)
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为6.09平方米.此时长 方形的面积比第一次围成的面积增大6.09-5.76=0.33(平方米).
探索&交流
如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆 柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
10
20 9
锻压前的体积＝锻压后的体积．
10
20 9
探索&交流
探索&交流
设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表： （单位：厘米）
底面半径 高
锻压前 10 9
锻压后 5 x
体积
探索&交流
列方程解应用题的一般步骤： 设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确 定答案；可简要地概括为“设、列、解、检、答”．
例题欣赏 ☞
例题&解析
例3.3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如 果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵， 要正好使每个树坑种一棵树，则该年级的男生、女生各有多少人？

数学 七年级上册 北师版
第五章 一元一次方程
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
等积变形问题
1．(3分)要锻造一个半径为5 cm，高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的 圆钢的高度为( A)
A．12.5 cm B．13 cm C．13.5 cm D．14 cm 2．(3分)有一个底面半径长为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把 它里边的水倒入一个底面直径长为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯 的高为_1_0__cm.
3．(6分)把一个长、宽、高分别为8 cm，7 cm，5 cm的长方体铁块和一个棱长 为5cm的正方体铁块熔炼成一个直径为10 cm的圆柱体，则熔炼成的圆柱体的高是 多少？(结果保留两位小数)
解：设熔炼成的圆柱体的高是 x cm，根据题意，得 8×7×5＋53＝(120 )2πx，解得 x＝58π1 ≈5.16，所以熔炼成的圆柱体的高约是 5.16 cm
7．(4分)如图所示的是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽的比为 2∶1的长方形，那么该长方形的长为__1_1_，宽为_5_._5_．
8．(7分)某农场拟建两间长方形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道 墙隔开，已知计划中的材料可建墙பைடு நூலகம்的总长为26 m，且AB∶BF＝3∶2，求建成 的每间饲养室的面积．
平面图形的变化问题
4.( 3分)某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块周长为120 m的长 方形绿地，并且长比宽多10 m．设绿地的宽为x m，根据题意，下面列出的方程 正确的是(D )
A．2(x－10)＝120 B．2[x＋(x－10)]＝120 C．2(x＋10)＝120 D．2[x＋(x＋10)]＝120

（2）设此时长方形的宽为 x m，
则它的长为（x + 0.8）m.
根据题意，得
x+ x
+
0.8
=
10×
1 2
.
解这个方程，得 x = 2.1.
2.1 + 0.8 = 2.9.
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m， 它所围成的面积为 2.9×2.1 = 6.09（m2），
（1）中长方形所围成的面积为 3.2×1.8 = 5.76（m2）.
答：小颖所钉长方形的长为16 cm，宽为 10 cm.
随堂演练
1. 一个长方形的周长是 60 cm，且长与宽的 比是 3∶2，求长方形的宽.
解 设长方形的宽为 2x cm，则长为 3x， 根据题意，得 2（2x + 3x）= 60， 解得 x = 6， 2x = 12，
答：长方形的宽为 12 cm.
解 （1）设小李拿到的 3 张卡片中间数字为 x， 根据题意，得 x – 4 + x + x + 4 = 348， 移项，合并同类项得 3x = 348， 两边除以 3，得 x = 116， x – 4 = 112，x + 4 = 120，
答：小李拿到的 3 张卡片为 112，116，120.
解 （2）设小李拿到的 3 张卡片中间数字为 x， 根据题意，得 x – 4 + x + x + 4 = 93， 移项，合并同类项得 3x = 93， 两边除以 3，得 x = 31， 因为卡片上的数字都是偶数，所以卡片上的
数字不可能是 31，三张卡片上的数之和不可能等 于 93.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.

解：设每颗钢珠的体积为x立方厘米
5x 52 (2518)
解得：x 35
答：每颗钢珠的体积是35立方厘米
知识讲解
2.图形的等长变化
前后的周长相等
例 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么 没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
知识讲解
xm
围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
知识讲解
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
xm
解得 x
(x+0.8) 此时长方形的长为m，宽为m，面积为2.m9
×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 ×
(m2).
（2）形状、面积发生了变化，周长不变.
其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长.
（3）形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关 系，即为相等关系.
随堂训练
1．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示 (单位：cm)．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉 成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各 为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方
课堂小结
审 设
应用一元
列
一次方程
解
检
答
通过审题找出等量关系. 设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 依据找到的等量关系，列出方程. 求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 注意单位名称.
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)，

容积不变
旧
新
分析：在这个问题中有如下的等量关系：
=
.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
白银十中
【自主研“究”】
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径/m
2
1.6
高/m
容积/m3
4 π 22 4
x
1.62 x
白银十中
【自主研“究”】
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
5.3 应用一元一次方 程——水箱变高了
【课前回顾】
长方形的周长C = 2(a+b) ;
长方形面积S=___a__b__; 长方体体积V=___a_b_h____.
b a
h
b
a
白银十中
【课前回顾】
正方形的周长 C =_4_a_____;
正方形面积 S =_a_2_____; 正方体体积 V =_a_3____.
三角形的周长=长方形的周长
2、把一小杯的水倒入另一只大杯中；
小杯中水的体积=大杯中水的体积
白银十中
【自主研“究”】
• 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的 占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原来的4 m 增高为多少米？
（2）使得长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、 宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长 方形相比，面积有什么变化？
（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形， 此时正方形的边长是多少米？围成的面积与前两次围成 的面积相比，又有什么变化？