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方差变化之规律例 观察与探索⑴观察下列各组数据并填空：A:1,2,3,4,5,.________________;2==A A s xB:11,12,13,14,15, .________________;2==B B s xC:10,20,30,40,50, .________________;2==C C s xD:3,5,7,9,11, .________________;2==D D s x⑵比较A 与B,C,D 的计算结果，你能发现什么规律？⑶若已知一组数据n x x x ，⋯⋯,,21的平均数为，x 方差为2s ，那么另一组数据23,23,2321-⋯⋯--n x x x ，的平均数是_______;方差是__________.分析:本题一方面考查学生运用平均数、方差公式处理数据的能力，另一方面考查学生观察数据，发现规律的思维能力. ⑴ 由样本平均数、方差公式，易求出,2,32==A A s x ,2,132==B B s x 200,302==C C s x ,8,72==D D s x .⑵A 与B 比较，B 组数据是A 组各数据加上10 得到的,所以1310=+=A B x x ,而方差不变,即.22=B sA 与C 比较，C 组数据是A 组各数据的10倍，所以.20021010,30102222=⨯====A C A C s s x xA 与D 比较,D 组数据是由A 组数据的2倍加1得到的，所以.8222,7132122222=⨯=⋅==+⨯=+=A D A D s s x x规律：有两组数据，设它们的平均数为,,21x x 方差为,,2221s s①当第二组的每个数据是第一组每个数据增加m 时，则有;,212212s s m x x =+= ②当第二组的每个数据是第一组每个数据的n 倍时，则有;,2122212s n s x n x == ③当第二组的每个数据是第一组每个数据的n 倍加m 时，则有;,2122212s n s m x n x =+= 这个规律也可以这样概述: 已知一组数据n x x x ，⋯⋯,,21的平均数为，x 方差为2s ，则新数据p mx p mx p mx n +⋯⋯++，,,21的平均数为,p x m +方差为22s m .⑶由(2)的规律可解.解:(1) ,2,32==A A s x ,2,132==B B s x ,200,302==C C s x .8,72==D D s x(2)规律是:设原数据为n x x x ，⋯⋯,,21的平均数为，x 方差为2s ，则新数据p mx p mx p mx n +⋯⋯++，,,21的平均数为,p x m +方差为22s m .(3),23-x 方差为.92s方法探究: 新旧两组数据之间存在一种规律,设原数据为n x x x ，⋯⋯,,21的平均数为，x 方差为2s ，则新数据p mx p mx p mx n +⋯⋯++，,,21的平均数为,p x m +方差为22s m ,标准差为.||s m ⋅快乐套餐:1.若数据n x x x ，⋯⋯,,21的平均数10,方差为2,那么样本3,3,321+⋯⋯++n x x x ，的平均数为_______,方差为________.2.已知一组数据521,,x x x ，⋯⋯的平均数为2,方差为,31那么另一组数据23,23,23521-⋯⋯--x x x ，的平均数与方差分别为( )A.31,2B. 2,1C. 32,4 D.4,3 参考答案:1. 10 3.5 2. D.。
![【配套K12]七年级数学下册 6.2 方差 拓展 借助计算机求方差与标准差素材 (新版)湘教版](https://img.taocdn.com/s1/m/1d9e7113bd64783e09122b73.png)
K12教育资源学习用资料
K12教育资源学习用资料 借助计算机求方差与标准差
方差与标准差是非常有用的统计量,但是计算起来比较麻烦.如果能够借助计算机,就可以把我们从繁琐的计算中解放出来.
在Excel 工作表中输入数据,选定单元格J2,点击工具栏的“=”，在等号左边的列表中选“其他函数”，然后在跳出的函数框中选“VARP”（求方差），最后单击“确定”（如图
1）.此时，计算机会要求你输入运算范围，因为我们要计算方差的数据位于单元格B2到I2，所以只需在Number 中输入“B2：I2”即可（如图2），最后单击“确定”，我们要求的方差就会在单元格J2中出现.
同样地，求标准差只需要在函数列表中选择“STDEVP”，其他步骤与计算方差相同.
图
1
图
2。
方差和标准差学习要点目标篇1．理解一组数据（补充）极差、方差、标准差的含义，知道三个统计量之间的区别与联系．2．会计算极差、方差、标准差并能用它们来比较不同样本的波动情况．3．通过实验和探索，体会用三个统计量表示数据波动情况的合理性，并能用它们解决有关实际问题．概念篇1．（补充）极差：指一组数据中的最大数据与最小数据的差，即极差=最大值－最小值．极差虽然反映了一组数据波动情况，但由于易受数据中极端数据的影响，所以在有些情况下用极差难以准确地说明问题．注意：极差一定要带单位，它只表示这一组数据中两个极端值之间的差．2．方差：一组数据中，各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用2s表示．对于一组数据n x x x x ,,,321，其平均数为x ，则方差2s = 21)[(1x x n22)(x x +…])(2x x n ．注意：方差的计算需要先算出这组数据的平均数；方差的单位与原数据的单位不一致，是原数据单位的平方．3．标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号“s”表示，即s=2S ． 注意：（1）标准差的单位与原数据的单位一致；（2）已知方差可以求标准差，同样已知标准差也可以求方差．作用篇“三差”都可以刻画一组数据波动情况，对于极差来说，一组数据的极差越大，说明数据的波动范围越大；反之，波动范围越小．对于方差和标准差来说，一组数据的方差（或标准差）越大，说明数据的波动越大，稳定性越差；反之，波动越小，稳定性越好．极差的计算较简单方便，但有时不能反映数据的全貌；而方差、标准差能更好地刻画一组数据波动情况，特别是标准差，其单位与数据的单位一致，用起来较方差更方便些．计算篇例1 (2008年永州市) 已知一组数据1，2，0，－1，x ，1的平均数是1，则这组数据的极差为 ．析解：极差是一组数据的最大值与最小值的差，因此求一组数据极差的关键是找出这组数据的最大值与最小值．因为数据1，2，0，－1，x ，1的平均数是1，所以61(1+2+0－1+x+1)=1，求得x=3．在1，2，0，－1，3，1中，最大值是3，最小值是－1，所以这组数据的极差为3－(－1)=4．例2（2008年威海市）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； （1）将下表填完整：（2）甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； （3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．析解：要判断哪支仪仗队更为整齐，就要分别算出甲、乙两支仪仗队队员身高数据的方差，然后再根据方差的特征，确定结果．（1）（2）178，178； （3）甲仪仗队更为整齐．因为甲队队员身高数据的方差2S 甲=101[ (177－178)2×3+(178－178)2×4+(179－178)2×3]= 0.6；乙队队员身高数据的方差2S 乙=101[ (176－178)2×2+(177－178)2+(178－178)2×4+(179－178)2×1+(180－178)2×2]=1.8．因此，可以认为甲仪仗队更为整齐．。
“三差”考点例析
一、基本考题
例1．（1）若一组数据1，2，3，x 的极差为6，则x 的值是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．7或－3
（2）在“手拉手，献爱心”捐款活动中，某校初三年5个班级的捐款
数分别为260、220、240、280、290（单位：元），则这组数据的极差是 元.
（3）小明与小华本学期都参加了5次数学考试（总分均为100分），数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的（ ）
A ．平均数；
B ．方差；
C ．众数；
D ．中位数.
（4）若一组数据1，2，x ，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是（ ）
A ． 2 B. C ．10 D 分析：以上四个小题重点考查“三差”的有关概念和应用，只要按照规定解答即可 解：（1）由极差的定义易得：x 的值为7或－3，故应选D ；
（2）由极差的定义易得这组数据的极差是70元；
（3）方差是描述“离散程度”的统计量，是否稳定要看方差，故选B ；
（4）由平均数的定义可先求出x=5，故选B
点评：以上四道中考填空题属于基本类型的考题，重点是对几个基本统计量的理解和掌握，题目不难，只要按照定义、公式来进行即可解决问题
二、跨学科考题
例2．（1）甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙灌装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：2甲S =4.8，2
乙S =3.6．那么
(填“甲”或“乙”)灌装的矿泉水质量较稳定．
（2）刘翔在出征北京奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他20次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这20次成绩的（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．频数
D ．方差
（3）体育老师对甲、乙两名同学分别进行了5次立定跳远测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差是0.03，乙同学的成绩(单位：m)如下：2.3 2.2 2.5 2.1 2.4，那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是__ __同学.
分析：以上三个小题重点考查“三差”的有关概念和应用，只要按照规定解答即可
解：（1）由于2乙S ＜2甲S ，所以乙灌装的矿泉水质量较稳定；
（2）判断他的成绩是否稳定要看方差，故选D ；
（3）知道甲同学成绩的方差是0.03，计算乙同学成绩的方差是0.02，所以2乙S ＜2甲S ， 乙较稳定
点评：本例的几个小题通过生活中的几个实例，重点考查对“三差”概念、性质的理解和掌握
三、应用与创新题
例3．（2006年益阳市）为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒）
（1）计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；
（2）你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由.
分析：（1）根据表格中提供的数据，利用平均数的计算公式即可；
（2）要说明哪种手表走时稳定性好，要首先求出方差或标准差,然后比较,•方差大的,不稳定.
解：（1）2122122124310
1）＝＋＋－＋＋－＋－＋－＋＋＋－（＝甲x 2221214121410
1）＝－＋＋－＋－＋＋＋＋－＋＋－（＝乙x （2）
8.0])12()22()22()12()22()22()12()22()42()32[(10
122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-＝甲S 2.1])22()22()12()22()12()42()12()22()12()42[(10
122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-＝乙S 由22S S 乙甲＜，知甲种手表走时稳定性好.
点评:当两组数据的平均数相同或接近时,通常要通过比较两组数据的方差来判断其稳
定性,方差越大,越不稳定,越小的越稳定.
四、开放与研究题
例4．一次期中考试中A 、B 、C 、D 、E 五位同学的数学、英语成绩等有关信息、如下表所示：
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的 计算公式是标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差
从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好.
友情提示：一组数据的标准差计算公式是S =其中 _x 为n 个数据 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ 的平均数.
分析：（1）根据表格中提供的数据，利用平均数的公式和友情提示中标准差公式计算即可；
（2）首先通过阅读，搞清计算标准，然后进行计算再比较即可
解（1）数学考试成绩的平均分
_15
x =数学（71+72+69+68+70）=70. 英话考试成绩的标准差
6S ==英语 (2)设A 同学数学考试成绩标准分为P 数学，英语考试成绩标准分为P 英语，则
P 数学 =3=（71-70） P 英语162
÷=（88-85）， P 数学> P 英语 从标准分看，A 同学数学比英语考得更好
点评：以学生熟悉的问题情景为切入点，用表格的形式展示出统计问题，在运用统计的方法
解决问题中感悟统计的思想，引导学生在统计中认识数据、关注社会，本题有创意！。
