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模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为()A．0.95 B．0.7C．0.35D．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥大事，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立大事，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．总体容量为203，若接受系统抽样法进行抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体()A．4 B．5 C．6 D．7解析：由于203＝7×29，即203在四个选项中只能被7整除，故间隔为7时不需剔除个体．答案：D3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1，当x＝3的值时，先算的是()A．3×3＝9 B．0.5×35＝121.5C．0.5×3＋4＝5.5 D．(0.5×3＋4)×3＝16.5解析：按递推方法，从里到外先算0.5x＋4的值．答案：C4.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为()A．6 B．8C．10 D．14解析：由甲组数据的众数为14得x＝y＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C5．已知回归直线的斜率的估量值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为()A.y^＝1.23x＋0.08 B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋4 D.y^＝0.08x＋1.23解析：设回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝1.23，由于回归直线必过样本点的中心，代入点(4，5)得a^＝0.08.所以回归直线方程为y^＝1.23x＋0.08.答案：A6．如图所示是计算函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，x≤－1，0，－1<x≤2，x2，x>2的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－x D ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2解析：框图为求分段函数的函数值，当x ≤－1时，y ＝－x ，故①y ＝－x ，当－1<x ≤2时，y ＝0，故③为y ＝0，那么②y ＝x 2.答案：B7．已知样本3，5，7，4，6，则该样本的标准差为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由于x －＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，所以s ＝ 15×[（3－5）2＋…＋（6－5）2] ＝ 15×（4＋0＋4＋1＋1） ＝ 2. 答案：B8．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则推断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5? 解析：依据题意可知该程序运行状况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此推断框应当是“i >6？”． 答案：A9．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值． ②一次试验中不同的基本大事不行能同时发生． ③任意大事A 发生的概率P (A )总满足0<P (A )<1. ④若大事A 的概率为0，则大事A 是不行能大事．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：不行能大事的概率为0，但概率为0的大事不肯定是不行能大事，如几何概型中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不行能大事，所以④不对；不同的基本大事是彼此互斥的，在同一次试验中不行能同时发生，故②正确；任意大事A 发生的概率P (A )满足0≤P (A )≤1，由于③错误；由概率和频率的关系知①正确．所以选C.答案：C10．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4.答案：C11．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自其次层开头在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )A.19B.29C.49D.89解析：法一：设2个人分别在x 层，y 层离开，则记为(x ，y )．基本大事构成集合Ω＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，…，(2，10)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，…，(3，10)，(10，2)，(10，3)，(10，4)，…，(10，10)}，所以除了(2，2)，(3，3)，(4，4)，…，(10，10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P ＝9×9－99×9＝89.法二：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为19，故不在这一层离开的概率为89.答案：D12．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95解析：样本数据在[8，10)之外的频率为(0.02＋0.05＋0.09＋0.15)×2＝0.62，所以样本数据在[8，10)内的频率为1－0.62＝0.38，所以样本数据在[8，10)内的频数为0.38×200＝76.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．解析：甲组中应抽取的城市数为624×4＝1(个)．答案：114．一个长为2 m 、宽为1 m 的矩形纱窗，由于某种缘由，纱窗上有一个半径为10 cm 的圆形小孔，一只蚊子任凭撞到纱窗上，那么它恰好飞进屋的概率为________．解析：这是一个几何概型问题，P ＝π·0.122×1＝0.005π.答案：0.005π15．(2022·山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．解析：由x 2－4x ＋3≤0，解得1≤x ≤3. 当x ＝1时，满足1≤x ≤3， 所以x ＝1＋1＝2，n ＝0＋1＝1； 当x ＝2时，满足1≤x ≤3， 所以x ＝2＋1＝3，n ＝1＋1＝2； 当x ＝3时，满足1≤x ≤3，所以x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3；当x ＝4时，不满足1≤x ≤3，所以输出n ＝3. 答案：316．甲、乙两个人玩一转盘玩耍(转盘如图①，“C 为弧AB 的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC 时甲胜，指向圆弧BC 时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD ，取AD 中点E ，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 时甲胜，指向线段ED 时乙胜．然后连续玩耍，你觉得此时玩耍还公正吗？答案：________，由于P 甲________P 乙(填“<”，“>”或“＝”)．解析：连接OE ，在直角三角形AOD 中，∠AOE ＝π6，∠DOE ＝π3，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 的概率是：π6÷π2＝13，指针指向线段ED 的概率是：π3÷π2＝23，所以乙胜的概率大，即这个玩耍不公正． 答案：不公正 <三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：类别 文艺节目新闻节目总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁152742总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，则大于40岁的观众应当抽取几名？解：(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．(2)27×545＝3(名)，所以大于40岁的观众应抽取3名．18．(本小题满分12分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓状况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题状况如下表所示．(1)假如出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓状况比较好，试估量该公司的出租车司机对新法规知晓状况比较好的概率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．答对题目数[0，8)8910女213128男337169解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为大事A，P(A)＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A，B，C，D，E，其中A，B为女司机，任选出2人包含AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种状况，至少有一名女出租车司机的大事为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，共7种．记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为大事M，则P(M)＝710＝0.7.19．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：零件的个数x/个234 5加工的时间y/h 2.534 4.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；第19题图(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试猜测加工10个零件需要多少时间？解：(1)散点图如图：(2)由表中数据得：代入公式得b ^＝0.7，a ^＝1.05， 所以y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)． 所以猜测加工10个零件需要8.05 h.20．(本小题满分12分)(2021·广东卷)某工厂36名工人的年龄数据如下表．抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以全部样本数据的编号为4n －2(n ＝1，2，…，9)， 其年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37. (2)由均值公式知：x －＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)由于s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －－s 和x －＋s 之间的人数等于年龄在区间[37，43]上的人数，即40，40，41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －－s 和x －＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.21．(本小题满分12分)(2021·四川卷)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们依据座位号从小到大的挨次先后上车．乘客P 1因身体缘由没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规章就座：假如自己的座位空着，就只能坐自己的座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规章就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；乘客P1P 2P3P4P5座位号32145 32451(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规章就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．解：(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241 532541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规章就坐，则全部可能的坐法可用下表表示：乘客P1P2P3P4P5座位号2134 52314 52341 52345 12354 12431 52435 125341于是，全部可能的坐法共8种．设“乘客P5坐到5号座位”为大事A，则大事A中的基本大事的个数为4，所以P(A)＝48＝12.即乘客P5坐到5号座位的概率是12.22．(本小题满分12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组“低碳族”的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6其次组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45) a 0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中接受分层抽样的方法抽取6人参与户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)其次组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝2000.2＝1 000.由于其次组的频率为0.3，所以其次组的人数为1 000×0.3＝300，所以p＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a＝150×0.4＝60.(2)由于年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以接受分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a，b，c，d，[45，50)中的2人为m，n，则选取2人作为领队的状况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种，其中恰有1人年龄在[40，45)岁的状况有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P＝815.。
第六章 计数原理 章末综合训练一、选择题1. 若 100 件产品中有 6 件次品．现从中任取 3 件产品，则至少有 1 件次品的不同取法的种数是 ( )A ． C 61C 942B ．C 61C 992 C ． C 1003−C 943D ． C 1003−C 9422. 从 5 件不同的礼物中选出 3 件分别送给了 3 位同学，不同方法的种数是 ( )A ． A 53B ．C 53 C ． 35D ． 53 3. 从 1，2，3，4，5 五个数中任取 3 个，可组成不同的等差数列的个数为 ( ) A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8 4. 把 (√3i −x)10 按二项式定理展开，展开式的第 8 项的系数是 ( )A ． 135B ． −135C ． −360√3iD ． 360√3i5. 从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同的工作，若乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案有 ( )A ． 36 种B ． 12 种C ． 18 种D ． 24 种 6. 在 (x +2y )7 的展开式中，系数最大的项是 ( )A ． 68y 7B ． 112x 3y 4C ． 672x 2y 5D ． 1344x 2y 57. 1−90C 101+902C 102−903C 103+⋯+9010C 1010 除以 88 的余数是 ( ) A ． 2 B ． 1 C ． 86 D ． 878. 如果一个三位正整数如" a 1a 2a 3 "满足 a 1<a 2，且 a 2>a 3，则称这样的三位数为凸数（如 120，343，275 等)，那么所有凸数的个数为 ( )A ．240B ．204C ．729D ．920二、填空题9. 某搬运工不慎将 4 件次品与 6 件正品混在一起，由于产品外观一样，需要用仪器对产品一一检测，直至找到所有次品为止，若至多检测 6 次就能找到所有次品，则不同的检测方法共有 种．10. 设 n ∈N ∗，若 (2+√x)n的二项展开式中，有理项的系数之和为 29525，则 n = ．11. 若 (x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则 a 0+a 2+a 4 的值为 ．12. 已知 (x −λ)2n =a 0x 2n +a 1x 2n−1+a 2x 2n−2+⋯+a 2n−2x 2+a 2n−1x +a 2n ，其中 n ∈N ∗，实数λ 为非零常数，设 A =a 0+a 2+⋯+a 2n−2+a 2n ，B =a 1+a 3+⋯+a 2n−1，若 A +B =(A −B )2，则实数 λ 的值为 ．三、多选题13.下列结论正确的是( )A．3个孩子，4把椅子，让孩子都坐下，有24种方法（每把椅子只坐一个孩子）B．3个孩子，4间屋子，让孩子都进屋，有81种结果（每个屋子可以进多个孩子）C．3朵花，4个孩子，把花分给孩子，每人至多一朵，不区分花，有4种分法D．3朵花，4个孩子，把花分给孩子，不区分花，有20种分法14.下列关系中，能成立的是( )A．C n m=mn C n−1m−1B．Cnm=n!(n−m)!m!C．m!=A n mC n m D．A n m+mA n m−1=A n+1m15.对于(1x2+x5)n(n∈N+)，下列判断正确的是( )A．对任意n∈N+，展开式中有常数项B．存在n∈N+，展开式中有常数项C．对任意n∈N+，展开式中不含x项D．存在n∈N+，展开式中含x项16.下列结论正确的是( )A．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种B．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有140种C．某天上午要排语文、数学、体育、计算机4节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有18种D．某天上午要排语文、数学、体育、计算机4节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有36种四、解答题17.已知x满足等式C16x2−x=C165x−5，求A9x的值．18.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有多少种？19.某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人．(1) 每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法？(2) 选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？20.在二项式(√x3−)n的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．求：(1) 展开式中的第4项．(2) 展开式中各项的二项式系数之和与各项的系数之和．21.已知(x2−3x+2)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10．求：(1) a0+a1+a2+⋯+a10；(2) (a0+a2+a4+a6+a8+a10)2−(a1+a3+a5+a7+a9)2．22.已知(1+x2)n展开式中的n+1项按x的升幂排列依次为f1(x)，f2(x)，f3(x)，⋯，f n(x)，f n+1(x)．(1) 若f2(2)=8,求n值；(2) 记a k=2k f k(2)(k=1,2,⋯,n+1)，求和S n+1=a1+a2+⋯+a n+a n+1．。
7.3.2离散型随机变量的方差基础过关练题组一离散型随机变量的方差与标准差1.(2020广东佛山顺德一中高二下期末)已知离散型随机变量X的分布列如下,则D(X)=( )X 0 2 4P 141214A.1B.2C.3D.42.(2020广东实验中学南海学校高二下期中)已知随机变量X的分布列如下表,则X的标准差为( )X 1 3 5P 0.4 0.1 xA.3.56B.√3.2C.3.2D.√3.563.(2020山东临沂罗庄第一中学高二下期中)编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为( )A.√2B.√22C.12D.14.(多选)已知离散型随机变量X 的分布列如下表,则( )X -1 0 1 P121316A.P(X=0)=13B.E(X)=-13C.D(X)=2327D.D(X 2)=295.(2020天津静海第一中学高二期中)随机变量X 的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)= .题组二 离散型随机变量的方差的性质6.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下阶段检测)已知随机变量Y,X 之间的关系为Y=2X+3,且D(X)=7,则D(Y)=( ) A.7 B.17 C.28 D.637.若随机变量X 满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列结论正确的是( ) A.E(X)=72,D(X)=132B.E(X)=2,D(X)=4C.E(X)=2,D(X)=8D.E(X)=74,D(X)=88.(2020海南海口四中高三上月考)已知随机变量X 的分布列为X 0 1 x P12 13 pE(X)=23.(1)求D(X);(2)若Y=3X-2,求D(Y).题组三 均值与方差的简单应用9.若X 是离散型随机变量,P(X=x 1)=23,P(X=x 2)=13,且x 1<x 2,已知E(X)=43,D(X)=29,则x 1+x 2的值为( ) A.53B.73C.3D.11310.(2019山东枣庄高二下期末)已知随机变量X 的分布列如下表,若E(X)=1,D(2X+1)=2,则p=( )X 0 a 2 P 12-p 12pA.13B.14C.15D.1611.(2019山东菏泽鄄城一中高二下月考)有三张形状、大小、质地完全相同的卡片,在卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,将其上数字记作y,令X=xy.求: (1)X 的分布列; (2)X 的数学期望与方差.能力提升练题组一离散型随机变量的方差1.()随机变量X的分布列如下表,其中a,b,c成等差数列,则D(X)的最大值为( )X 1 2 3P a b cA.29B.59C.34D.232.(多选)(2020河南顶级名校高三联考,)已知随机变量X的分布列如下表,则下列说法正确的是( )X x yP y xA.存在x,y∈(0,1),E(X)>12B.对任意x,y∈(0,1),E(X)≤12C.对任意x,y∈(0,1),D(X)≤E(X)D.存在x,y∈(0,1),D(X)>143.(2020山东德州高三上期末,)随机变量X 的可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)= . 4.(原创)()已知随机变量X 的分布列如下:X 0 1 2 Pabc在①a=b -c,②E(X)=1这两个条件中任选一个,并判断当a 在(0,12)内增大时,D(X)是否随着a 的增大而增大,请说明理由.题组二 离散型随机变量的均值与方差的应用 5.()如图,某工人的住所在A 处,上班的企业在D 处,开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到B,C,E,F,G 五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为15,12,14,13,16,此外再无别的路口会遇到红灯.(1)为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线?(2)对于(1)中所选择的路线,求其堵车次数的方差.6.(2019福建龙岩一级达标校高二下期末联考,)为回馈顾客,某购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励.规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球(球的大小、形状完全相同),球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元,其余3个所标的面值均为20元,求顾客所获的奖励额X的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是30 000元,并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成,或标有面值为15元和45元的两种球共同组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.提示:袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成,即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”.答案全解全析7.3.2 离散型随机变量的方差基础过关练1.B 由已知得E(X)=0×14+2×12+4×14=2,所以D(X)=(0-2)2×14+(2-2)2×12+(4-2)2×14=2.2.D 易知0.4+0.1+x=1,解得x=0.5, ∴E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56, ∴X 的标准差为√D (X )=√3.56. 故选D.3.D 由题意得X 的可能取值为0,1,3, P(X=0)=2A 33=13,P(X=1)=3A 33=12, P(X=3)=1A 33=16,∴E(X)=0×13+1×12+3×16=1,∴D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×16=1.故选D.4.ABD 由X 的分布列可知P(X=0)=13,所以A 正确;根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得,E(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以D(X)=(-1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59,所以B 正确,C 不正确;因为P(X 2=0)=13,P(X 2=1)=23,所以E(X 2)=23,所以D(X 2)=(0-23)2×13+(1-23)2×23=29,所以D 正确. 故选ABD.5.答案 12解析 P(X=0)=14,则P(X=1)+P(X=2)=34,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)=1,故P(X=1)=12,P(X=2)=14,所以D(X)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1)2=12.6.C ∵Y=2X+3,D(X)=7, ∴D(Y)=D(2X+3)=22D(X)=28. 故选C.7.B ∵E(2X+3)=2E(X)+3=7,D(2X+3)=4D(X)=16,∴E(X)=2,D(X)=4,故选B. 8.解析 (1)由题意可得12+13+p=1,解得p=16.又E(X)=0×12+1×13+x×16=23,∴x=2,∴D(X)=(0-23)2×12+(1-23)2×13+(2-23)2×16=59.(2)∵Y=3X -2,∴D(Y)=D(3X -2)=9D(X)=9×59=5.9.C ∵E(X)=43,D(X)=29,∴{23x 1+13x 2=43,23(x 1-43)2+13(x 2-43)2=29,解得{x 1=1,x 2=2,或{x 1=53,x 2=23(不合题意,舍), ∴x 1+x 2=3.10.B 由题意得,E(X)=0×(12-p)+a×12+2×p=1,∴a2+2p=1,①又知D(2X+1)=2,由方差的性质知,D(2X+1)=4D(X),∴D(X)=12,∴D(X)=(0-1)2×(12-p)+(a-1)2×12+(2-1)2×p=12,即a 2-2a+1=0,所以a=1.将a=1代入①式,得p=14.故选B.11.解析 (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,4,“X=0”是指两次取的卡片上的数字至少有一次为0,其概率P(X=0)=1-23×23=59,“X=1”是指两次取的卡片上的数字均为1,其概率P(X=1)=13×13=19,“X=2”是指两次取的卡片上一个数字为1,另一个数字为2,其概率P(X=2)=2×13×13=29,“X=4”是指两次取的卡片上的数字均为2,其概率P(X=4)=13×13=19.则X 的分布列为X 0 1 2 4 P591929 19(2)由(1)知,E(X)=0×59+1×19+2×29+4×19=1,所以D(X)=(0-1)2×59+(1-1)2×19+(2-1)2×29+(4-1)2×19=169.能力提升练1.D ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c, 又∵a+b+c=1, ∴b=13,c=23-a,0≤a≤23,∴E(X)=a+2b+3c=83-2a,则D(X)=[1-(83-2a)]2×a+[2-(83-2a)]2×13+[3-(83-2a)]2×(23-a)=-4a 2+83a+29=-4(a -13)2+23,又0≤a≤23,∴当a=13,即a=b=c=13时,D(X)取得最大值23.故选D.2.BC 依题意可得x+y=1,E(X)=2xy,又2xy≤(x+y )22=12,所以E(X)≤12,当且仅当x=y=12时取等号,∴A 错误,B 正确;D(X)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x 2y+(1-2x)2y 2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx, ∵0<x<1, ∴-1<2x-1<1, ∴0<(2x -1)2<1,∴D(X)<yx,即D(X)<12E(X),∴C 正确;∵D(X)=(1-2x)2yx<xy≤(x+y )24=14,当且仅当x=y=12时取等号. ∴D 错误. 故选BC. 3.答案 1解析 设P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8, 则P(X=1)=0.8-x,∴E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,∴D(X)=(x+0.8)2×0.2+(0.2-x)2×(0.8-x)+(1.2-x)2x=0.4, 解得x=0.2(x=1.2舍去), 因此,E(X)=0.2+0.8=1.4.解析 若选择①,则有{a +b +c =1,a =b -c ,可得b=12,则E(X)=b+2c=32-2a,所以D(X)=(2a -32)2a+(2a -12)2b+(2a +12)2c=-4a 2+2a+14=-4(a -14)2+12,所以当a∈(0,14)时,D(X)随着a 的增大而增大,当a∈(14,12)时,D(X)随着a 的增大而减小. 若选择②,则有{a +b +c =1,E (X )=b +2c =1,可得a=c,因此D(X)=a+c=2a,所以当a 在(0,12)内增大时,D(X)随着a 的增大而增大.5.解析 (1)设这位工人选择行驶路线A —B —C —D 、A —F —E —D 、A —B —G —E —D 时堵车的次数分别为X 1、X 2、X 3,则X 1、X 2的可能取值均为0,1,2,X 3的可能取值为0,1,2,3. P(X 1=0)=45×12=25,P(X 1=1)=15×12+45×12=12,P(X 1=2)=15×12=110,所以E(X 1)=0×25+1×12+2×110=710.P(X 2=0)=23×34=12,P(X 2=1)=13×34+23×14=512,P(X 2=2)=13×14=112,所以E(X 2)=0×12+1×512+2×112=712.P(X 3=0)=45×56×34=12,P(X 3=1)=15×56×34+45×16×34+45×56×14=47120,P(X 3=2)=45×16×14+15×56×14+15×16×34=110, P(X 3=3)=15×16×14=1120,所以E(X 3)=0×12+1×47120+2×110+3×1120=3760.综上,E(X 2)最小,所以这位工人应该选择行驶路线A —F —E —D.(2)由(1)知E(X 2)=712,P(X 2=0)=12,P(X 2=1)=512,P(X 2=2)=112,则D(X 2)=(0-712)2×12+(1-712)2×512+(2-712)2×112=59144,所以该条行驶路线堵车次数的方差为59144.6.解析 (1)由题意得随机变量X 的可能取值为40,60, P(X=40)=C 32C 42=12,P(X=60)=C 11C 31C 42=12.所以X 的分布列为X 40 60 P12 12所以顾客所获的奖励额的期望E(X)=40×12+60×12=50.(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为30 000÷500=60元, 所以可先寻找使期望为60的可能方案: ①当球标有的面值为20元和40元时,若选择“20,20,20,40”的面值设计,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60;若选择“40,40,40,20”的面值设计,因为60元是面值之和的最小值,所以期望不可能为60.因此可能的面值设计是选择“20,20,40,40”,设此方案中顾客所获的奖励额为X 1,则X 1的可能取值为40,60,80, P(X 1=40)=C 22C 42=16,P(X 1=60)=C 21C 21C 42=23,P(X 1=80)=C 22C 42=16.所以X 1的分布列为X 1 40 60 80 P162316所以E(X 1)=40×16+60×23+80×16=60.D(X 1)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.②当球标有的面值为15元和45元时,同理可排除“15,15,15,45”和“45,45,45,15”的面值设计,所以可能的面值设计是选择“15,15,45,45”,设此方案中顾客所获的奖励额为X 2,则X 2的可能取值为30,60,90, P(X 2=30)=C 22C 42=16,P(X 2=60)=C 21C 21C 42=23,P(X 2=90)=C 22C 42=16.所以X 2的分布列为X 2 30 60 90 P162316所以E(X 2)=30×16+60×23+90×16=60.D(X 2)=(30-60)2×16+(60-60)2×23+(90-60)2×16=300.因为E(X 1)=E(X 2)=60,D(X 1)<D(X 2), 所以两种方案奖励额的期望都符合要求,但面值设计方案为“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案为“15,15,45,45”的奖励额的方差小,所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”,即标有面值20元和面值40元的球各2个.。
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( D )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.2．已知样本3,5,7,4,6，则该样本的标准差为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2解析：∵x ＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5， ∴s ＝15×[(3－5)2＋…＋(6－5)2] ＝15×(4＋0＋4＋1＋1)＝ 2.3．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20]内的频数为( B )A．20 B．30C．40 D．50解析：样本落在[15,20]内的频率是1－5(0.04＋0.1)＝0.3，则样本落在[15,20]内的频数为0.3×100＝30.4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是(A)A．19,15 B．15,19C．25,22 D．22,25解析：由茎叶图及中位数的定义可以得到甲、乙两名运动员得分的中位数分别是19,15，故选A．5．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为(D)A ．1 000,0.50B ．800,0.50C ．800,0.60D ．1 000,0.60解析：第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为4000.40＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.6．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是16，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a ，b 时，则满足a <|b 2－2a |<10a 的概率为( B ) A ．118 B ．112 C ．19 D ．16解析：∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论．若a ＝1时，b ＝2或3；若a ＝2时，b ＝1， ∴共有3种情况满足条件，∴概率为P ＝336＝112.7．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如图)．s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是( C )A ．s 1>s 2B ．s 1＝s 2C ．s 1<s 2D ．不确定解析：由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.则x 甲＝84，x 乙＝84，则s 1＝15[(78－84)2＋…＋(92－84)2]＝22， 同理s 2＝62，故s 1<s 2，所以选C ．8．某考察团对全国10大城市职工人均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程是y ^＝0.66x ＋1.562(单位：千元)．若某城市居民消费为7.675千元，由此可估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为( D )A ．66%B ．72.3%C ．67.3%D ．83%解析：把y ^＝7.675代入方程y ^＝0.66x ＋1.562，解得x ≈9.262，则所求百分比≈7.6759.262≈83%.9．某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一人当组长，则其中女生小丽当选为组长的概率是( B )A ．23B ．15C ．25D ．13解析：共5个基本事件，小丽当选为组长是其中一个基本事件，故其概率为15.10．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )A ．110 B ．15 C ．310D ．25解析：记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a >b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.11．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率为( B )A ．35B ．25C ．310D ．45解析：任取两个小球，所有可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中和为5或7的情况有：(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)共4种，所以所求概率为410＝25.12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：额y (元)与乘车时间t (分钟)的关系是y ＝200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20表示不超过t20的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( D )A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9解析：由题意知y ≤300，即200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤300，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤2.5，解得0≤t <60， 由表可知t ∈[0,60)的人数为90人， 故所求概率为90100＝0.9.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为1.解析：甲组中应抽取的城市数为624×4＝1(个)．14．下图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的概率约为0.4.解析：在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32， 所以，其频数为200×0.32＝64.落在[2,10)内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.15．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体(n >13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为1337.解析：由题意得13－1n －1＝13，∴n ＝37，∴在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为1337.16．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：由表中数据得到的线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为14.5万元．解析：由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入回归直线方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解：(1)频率分布表如下：分组频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合计100 1(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．18．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)(2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i 1234 5x i24568y i3040605070x i y i60160300300560因此，x＝255＝5，y＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380.于是可得：b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5；a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 因此，所求回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.(3)据上面求得的回归直线方程，当x ＝10时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)．所以当广告费支出10百万元时，销售额约为82.5百万元． 19．(12分)青少年“心理健康”问题引起社会关注，希望中学对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图．(2)在频率分布直方图中，求梯形ABCD的面积．(3)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀，试估计该校成绩优秀的有多少人？解：(1)第1列的空填[70.5,80.5)；第2列的空从上到下依次为16,50；第3列的空从上到下依次填0.20,0.32.补图：(2)梯形ABCD的面积实为分布在[70.5,90.5)的频率的值．所以其面积为0.20＋0.32＝0.52.(3)由频率分布表可知，所抽样本中成绩优秀者的频率为0.28.所以可以估计该校成绩优秀者的频率为0.28，即成绩优秀的人数为0.28×600＝168.20．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.21．(12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x 、y 的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m5，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. (2)依题意得：10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20. ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. ∴x ＝40，y ＝5.22．(12分)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量n＝40，从该样本分布在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．解：(1)组距d＝5，由5×(0.020＋0.040＋0.075＋a＋0.015)＝1，得a＝0.050.(2)各组中点值和相应的频率依次为：中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075所以x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.(3)由已知，果实重量在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]内的分别有4个和3个，分别记为A1，A2，A3，A4和B1，B2，B3，从中任取2个的取法有：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21种取法，其中都是优质果实的取法有B1B2，B1B3，B2B3，共3种取法，所以抽到的都是优质果实的概率P＝321＝17.。
章末综合检测(二)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是()A．在统计里，最常用的简洁随机抽样方法有抽签法和随机数法B．一组数据的平均数肯定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大解析：选B．平均数不大于最大值，不小于最小值．2．(2021·高考四川卷)某学校为了了解三班级、六班级、九班级这三个班级之间的同学视力是否存在显著差异，拟从这三个班级中按人数比例抽取部分同学进行调查，则最合理的抽样方法是() A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：选C.依据班级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由点的分布知x与y负相关，u与v正相关．4．某学校有老师200人，男同学1 200人，女同学1 000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女同学一共抽取了80人，则n的值是()A．193 B．192C．191 D．190解析：选B ．1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，解得n＝192.5．(2021·高考湖南卷)在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成果由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果在区间[139，151]上的运动员人数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到的次数13 8 5 7 6 13 18 10 11 9A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37解析：选A.1100(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.7．在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．92，2 B．92，2.8C．93，2 D．93，2.8解析：选B．去掉最高分95，最低分89，所剩数据的平均值为15(90×2＋93×2＋94)＝92，方差s2＝15[(90－92)2×2＋(93－92)2×2＋(94－92)2]＝2.8.8．(2022·高考湖北卷改编)依据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则()A.a^＞0，b^＞0 B．a^＞0，b^＜0C.a^＜0，b^＞0 D．a^＜0，b^＜0解析：选B．作出散点图如下：观看图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^＜0，当x＝0时，y^＝a^＞0.故a^＞0，b^＜0.9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1图2A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.10. 某校高一、高二班级各有7个班参与歌咏竞赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()A．高一班级的中位数大，高二班级的平均数大B．高一班级的平均数大，高二班级的中位数大C．高一班级的平均数、中位数都大D．高二班级的平均数、中位数都大解析：选A.由茎叶图可以看出，高一班级的中位数为93，高二班级的中位数为89，所以高一班级的中位数大．由计算得，高一班级的平均数为91，高二班级的平均数为6477，所以高二班级的平均数大．故选A.11．(2022·高考山东卷)为了争辩某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的挨次分别编号为第一组，其次组，…，第五组，如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18解析：选C.志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成果如表所示：甲的成果环数7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成果环数7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成果环数7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成果的标准差，则有()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1解析：选B．由于s21＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，所以s21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54，所以s1＝2520.同理s2＝2920，s3＝2120，所以s2>s1>s3，故选B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2021·高考广东卷)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x－＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．解析：由条件知x－＝x1＋x2＋…＋x nn＝5，则所求均值x－0＝2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2x n＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11.答案：1114．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号挨次平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：7615．已知回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估量x 与y 的增长速度之比约为________． 解析：x 与y 的增长速度之比应是回归方程斜率的倒数，即522.答案：52216．某校从参与高一班级期中考试的同学中随机抽取60名同学，将其数学成果(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观看图形的信息，据此估量本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，全部小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入状况；案例三：从某校1 000名高一同学中抽取10人参与一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应接受怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：假如在起始组中随机抽取的号码为L (编号从0开头)，那么第K 组(组号K 从0开头，K ＝0，1，2，…，9)抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L ＋31K 的后两位数．若L ＝18，试求出K ＝3及K ＝8时所抽取的样本编号．解：(1)案例一用简洁随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样． (2)①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例k ＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简洁随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本．(3)K ＝3时，L ＋31K ＝18＋31×3＝111，故第三组样本编号为311.K ＝8时，L ＋31K ＝18＋31×8＝266， 故第8组样本编号为866.18.(本小题满分12分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm 的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm ，保留两位小数)如下：40．02 40.00 39.98 40.00 39.99 40．00 39.98 40.01 39.98 39.99 40．00 39.99 39.95 40.01 40.02 39．98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组 频数 频率 频率组距 [39.95，39.97) [39.97，39.99) [39.99，40.01) [40.01，40.03]合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm 为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试依据抽样检查结果估量这批产品的合格只数．解：(1)分组频数频率频率组距 [39.95，39.97) 2 0.10 5 [39.97，39.99) 4 0.20 10 [39.99，40.01) 10 0.50 25 [40.01，40.03]4 0.20 10 合计201(2)由于抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为1820×100%＝90%，所以10 000×90%＝9 000(只)．即依据抽样检查结果，可以估量这批产品的合格只数为9 000.19． (本小题满分12分)甲、乙两位同学参与数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度(平均数和方差)考虑，你认为选派哪位同学参与合适？请说明理由．解：(1)作出茎叶图如下：(2)x －甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x －乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41. 由于x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适．20．(本小题满分12分)随着我国经济的进展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2011 2022 2021 2022 2021 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t － y－∑i ＝1n t 2i －n t－2，a ^＝y －－b ^t －.解：(1)列表计算如下：i t i y i t 2i t i y i 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.又∑i ＝1n t 2i －n t －2＝55－5×32＝10，∑i ＝1n t i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可猜测该地区2022年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)． 21．(本小题满分12分)甲乙二人参与某体育项目训练，近期的五次测试成果得分状况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)依据图和上面算得的结果，对两人的训练成果作出评价． 解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成果分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成果较稳定． 从折线图看，甲的成果基本呈上升状态，而乙的成果上下波动，可知甲的成果在不断提高，而乙的成果则无明显提高．22．(本小题满分12分)某化工厂的原料中，有A 和B 两种有效成分，现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测，测得A 和B 的含量如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34 y 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13其中x 表示成分A 的百分含量x %，y 表示成分B 的百分含量y %.(1)作出两个变量y 与x 的散点图；(2)两个变量y 与x 是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程．解：(1)依据y 从小到大的挨次调整表中数据(这样有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)， 如下表所示：x 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 y11131516161719202324散点图如图所示：(2)观看散点图可知，y 与x 是线性相关关系． i 12 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 x i 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 499 y i 11 13 15 16 16 17 19 20 23 24 174 x i y i 242 442 810 688 624 7821 216 1 160 1 656 1 608 9 228x 2i4841 1562 916 1 849 1 521 2 116 4 0963 3645 184 4 48927175所以x ＝49.9，y ＝17.4,10x － y －＝8 682.6,10x 2＝24 900.1设所求的线性回归方程是y ^＝a ^＋b ^x ，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x2＝9 228－8 682.627 175－24 900.1＝545.42 274.9≈0.239 7，a ^＝y －b ^x ＝17.4－0.239 7×49.9≈5.439 0， 所求的线性回归方程是y ^＝0.239 7x ＋5.439 0.。
第三章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( C )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R[解析]要使函数有定义，则⎩⎨⎧1＋x ≥0x ≠0，解得x ≥－1且x ≠0，故选C ．2．下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( B ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝(x )2 C ．y ＝3x 3D ．y ＝x 2x[解析]A 、C 、D 选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数． 3．(2021·某某某某高一期中测试)已知函数y ＝f (x )的部分x 与y 的对应关系如下表：则f [f (4)]A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．3[解析]由图表可知，f (4)＝－3，∴f [f (4)]＝f (－3)＝3.4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，12)，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间[12，1]上的最小值是( C )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4[解析]由已知得2α＝12，解得α＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间[12，1]上单调递增，则g (x )min ＝g (12)＝－3，故选C ．5．已知函数f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若f (－3)＝－2，则不等式f (x )≥－2的解集为( B )A ．[－3，0]B ．[－3，3]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝－2，所以f (x )≥－2的解集为[－3，3]．6．(2021·全国高考甲卷文科)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x )．若f (－13)＝13，则f (53)＝( C ) A ．－53B ．－13C ．13D ．53[解析]由题意可得：f (53)＝f (1＋23)＝f (－23)＝－f (23)，而f (23)＝f (1－13)＝f (13)＝－f (－13)，故f (53)＝13.故选C ．7．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f (－13)>0的x 的X 围是( A )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[解析]由题意可知，f (x )在(－∞，0]上为增函数，又f (x )为偶函数，故f (x )在(0，＋∞)上为减函数，由f (1－2x )>f (－13)可得－13<1－2x <13，解得13<x <23.故选A ．8．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图(2)所示，方程f [g (x )]＝0有m 个实数根，方程g [f (x )]＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( C )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析]f [g (x )]＝0，令t ＝g (x )，则t 1＝－1，t 2＝0，t 3＝1，令g (x )＝－1，x 有2个根；令g (x )＝0，x 有3个根，令g (x )＝1，x 有2个根，∴f [g (x )]＝0共有7个根．g [f (x )]＝0，令f (x )＝t ，g (t )＝0，则t ＝0，即f (x )＝0，x 有3个值，所以m ＋n ＝10.故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( CD ) A ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞) B ．单调增区间是(－∞，1]C ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D ．单调增区间是[－1，1][解析]要使函数有定义，则－x 2＋2x ＋3≥0，即(x －3)(x ＋1)≤0，－1≤x ≤3.所以函数的定义域为[－1，3]，值域为[0，2]，在[－1，1]上单调增，故选CD ．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题中是正确命题的是( ABD ) A ．f (0)＝0B ．若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1C ．若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数D ．若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x[解析]奇函数在对称的区间上单调性相反，故C 错误，其余都正确．11．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）（若f （x ）≥g （x ））f （x ）（若f （x ）<g （x ）），则F (x )( BC )A ．最小值－1B ．最大值为7－27C ．无最小值D ．无最大值[解析]作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC ．12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0，ab <0B ．a ＋b <0，ab >0C ．a ＋b <0，ab <0D ．以上都可能[解析]由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或mm ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x )．结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋ba ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立．故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．(2021·某某黄陵中学高一期末测试)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x |x ≤2且x ≠－1}．[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2且x ≠－1}．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于4．[解析]∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83，∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.15．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (12)2f (1x －1)的定义域为(0，1]．[解析]幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝12，所以幂函数f (x )＝x ，故f (12)＝22，故1x－1≥0，解得0<x ≤1. 16．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f (x )＝x －[x ]，则下列说法正确的是①②③．①f (－0.8)＝0.2；②当1≤x <2时，f (x )＝x －1；③函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，1)； ④函数f (x )是增函数，奇函数．[解析]①f (－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确． ②当1≤x <2时，f (x )＝x －[x ]＝x B 正确．③函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x －[x ]表示x 的小数部分，所以值域为[0，1)，正确． ④x ＝0.5时，f (0.5)＝0.5，x ＝1.5时，f (1.5)＝0.5，所以f (x )不是增函数；且f (－1.5)＝f (1.5)，所以f (x )也不是奇函数．故填①②③.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明．[解析](1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5， 故f (x )＝－3x ＋5，f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)f (x )在R 上是减函数．证明：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R )，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在R 上单调递减．18．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f [f (x )]＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1，a ]上的最大值．[解析](1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)，由于f [f (x )]＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1，综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6（－1<a ≤5），a 2－4a ＋1（a >5）.19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30(t ∈N *)．设商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析]设日销售金额为y 元，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800（0<t <25，t ∈N *），t 2－140t ＋4 000（25≤t ≤30，t ∈N *）.当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900.①当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125.②结合①②得y max ＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝x ＋a x 2＋bx ＋1是定义在[－1，1]上的奇函数．(1)确定函数f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )的单调性； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.[解析](1)因为f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，即x ＋a x 2＋bx ＋1＝－－x ＋ax 2－bx ＋1，所以a ＝0，b ＝0，所以f (x )＝xx 2＋1.(2)取－1≤x 1<x 2≤1，则x 1x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(3)因为f (t －1)＋f (t )<0，所以f (t －1)<f (－t )． 因为f (x )在[－1，1]上单调递增， 所以－1≤t －1<－t ≤1，解得0≤t <12.所以不等式的解集为{t |0≤t <12}．21．(本小题满分12分)如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： ①f (x )在D 上是单调函数；②存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析]设x 1，x 2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1<x 2，则有f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋2x 2)－(x 21＋2x 1)＝(x 22－x 21)＋2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)． ∵－1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2＋2>0. ∴(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a f （b ）＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝ab 2＋2b ＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.又∵－1≤a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1，0]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t )上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，某某数a 的值．[解析](1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0，1]，∴1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u －8，u ∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0，1]．由题意知，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。
章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A ．12B ．32C ．1D ．3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－0|32＋－12＝32，故选B ．]2．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 为椭圆C 上一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．9C [设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，∴a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16，即b ＝4，因此椭圆的短轴长是2b ＝8，故选C ．]3．在平面直角坐标系Oxy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q ，且OP →·OQ →＝2，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2－y 2＝2C ．x ＋y 2＝2D ．x －y 2＝2B [设P (x ，y )，Q (x ，－y )，则OP →·OQ →＝(x ，y )·(x ，－y )＝x 2－y 2＝2，故选B ．]4．椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，则C 的离心率为( )A ．12B ．22C ．32D ．2B [由椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，可知焦点在x 轴上即2a ＝4，a ＝2.∴椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1，a ＝2，b ＝2，c ＝4－2＝2，椭圆的离心率为e ＝c a＝22，故答案为B ．]5．“m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [当m >3时，m －2>0，mx 2－(m －2)y 2＝1⇒x 21m －y 21m －2＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m (m －2)>0⇒m >2或m “m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A ．]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过点F 且斜率为3的直线l 1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．43D ．8C [∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x－1)，将其与y 2＝4x联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝43.故选C ．]7．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点相同，C 1与C 2交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2D ．2＋1D [由图形的对称性及题设条件得AF ⊥x 轴，且c ＝p2，则p ＝2c .不妨设交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，y 1，代入y 2＝2px 可得y 1＝p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，代入双曲线方程可得p 24a 2－p 2b 2＝1，即e 2－1＝4c 2b 2，即e 2－1＝4c 2c 2－a 2，由此可得(e 2－1)2＝4e 2，即e 2－1＝2e ，所以e ＝2＋1(负值舍去)．故选D ．]8．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．3－12C ．3－1D ．4－23C [直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)联立方程得(3a 2＋b 2)x 2＝a 2b 2，设A (x 0，y 0)，∴B (－x 0，－y 0)，右焦点F (c ,0)，由FA →·FB →＝0代入坐标得c 2＝4a 2b 23a 2＋b2，整理得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e ＝3－1故选C ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9．若方程x 25－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( )A ．若1<t <5，则C 为椭圆B ．若t <1，则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <5BD [若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t ≠t －1，解得1<t <3或3<t <5.对于A ，当t ＝3时，此时方程为x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t <1时，5－t >0，t －1<0，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确； 对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t <t －1，解得3<t <5，所以D 正确．故选BD ．]10．已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是( )A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1 BD [因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形． 设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2，x ＋y ＝22c ，|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，故(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23，即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 1e 2＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD ．] 11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( )A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠PAF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点ABD [依题意得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又∵|F 1F 2|＝2c ，且a <c ， ∴在△PF 1F 2中，PF 2是最小的边， ∴∠PF 1F 2＝30°，∴4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，整理得c 2－23ac ＋3a 2＝0，即(c －3a )2＝0，∴c ＝3a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝23a ，b ＝c 2－a 2＝2a .∴双曲线的离心率e ＝ca ＝3a a＝3，A 正确．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2aax ＝±2x ，B 正确．根据前面的分析可知，△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1＝90°， 若∠PAF 2＝45°，则|PF 2|＝|AF 2|. 又知|PF 2|＝2a ， |AF 2|＝a ＋c ＝a ＋3a ＝(1＋3)a ≠|PF 2|，∴∠PAF 2≠45°，C 不正确．直线x ＋2y －2＝0，即y ＝－12x ＋1，其斜率为－12，－12∈[－2，2]，∴直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，D 正确．故选ABD ．] 12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ．若|AF |＝8，则以下结论正确的是( )A ．p ＝4B ．DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4ABC [如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线方程为y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得12x 2－20px ＋3p 2＝0.解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由|AF |＝32p ＋p2＝2p ＝8，得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x . x B ＝16p ＝23，则|BF |＝23＋2＝83；|BD |＝|BF |cos 60°， 所以|BD |＝2|BF |， |BD |＋|BF |＝83＋163＝8，则F 为AD 的中点，DF →＝FA →. 所以运算正确的是ABC ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 22－y 22＝1的渐近线的距离为________．2[由抛物线y 2＝8x 可得其焦点为(2,0)，又双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴所求距离为d ＝22＝ 2.]14．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．x 2＋(y －2)2＝16[由题意知，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.]15．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．855[如图，设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，因为△FMN 的周长|MF |＋|NF |＋|MN |＝2a －|MF ′|＋2a －|NF ′|＋|MN |＝4a ＋|MN |－|MF ′|－|NF ′|，且|MN |≤|MF ′|＋|NF ′|，当M ，N ，F ′三点共线，即m ＝1时，等号成立，所以当△FMN 的周长最大时，|MN |＝2b 2a＝855，所以△FMN 的面积S ＝12×855×2＝855.]16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)3－1 2[如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA 、OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形，∴直线OA 的倾斜角为π3，∴其斜率k ＝|n ||m |＝3，∴双曲线的离心率e 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝1＋3＝2；连接F 1A ，∵正六边形的边长为c ，∴|F 1A |＝3c .由椭圆的定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．[解] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． [解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[证明] (1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ， BD 的方程为x ＝x 2，则交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1. 又x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1，则有y 1x 2x 1＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，即D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理，得b ＝－a 2，故切线的方程为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.21．(本小题满分12分)设M (x ，y )与定点F (1,0)的距离和它到直线l 1：x ＝3的距离的比是常数33.记点M 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过定点F 的直线l 2交曲线C 于A ，B 两点，以O 、A 、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB ，若点P 刚好在曲线C 上，求直线l 2的方程．[解] (1)由题意得，x －12＋y 2|x －3|＝33，则3[(x －1)2＋y 2]＝(x －3)2，即2x 2＋3y 2＝6，∴x 23＋y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设直线l 2的方程为x ＝my ＋1，P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，2x 2＋3y 2＝6，消去x ， 得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0.则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－4m 22m 2＋3＋2＝62m 2＋3， ∴x 0＝x 1＋x 2＝62m 2＋3，y 0＝y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3. ∵P (x 0，y 0)在椭圆x 23＋y 22＝1上， ∴122m 2＋32＋8m 22m 2＋32＝1，即2m 2＋3＝4，解得m ＝±22.∴直线l 2的方程为x ＝22y ＋1或x ＝－22y ＋1，即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋22＝22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设这样的直线存在，设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， ∴y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3， 由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，∴y 0＝53＋y 42＝t 9，得y 4＝2t －159，又－3＜t ＜3，可得－73＜y 4＜－1， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l .。
本册综合测试(提升)人教A 版2019选择性必修第三册一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·山东无棣·高二期中)已知随机变量()8,B p ξ~，且()2E ξ=，则()2D ξ=( ) A ．3 B ．6 C ．12 D ．24【答案】B【解析】随机变量ξ～B (8，p )，且E (ξ)＝2， ∴E (ξ)＝8p ＝2，解得p ＝2184=， ∴D (ξ)＝8×14×(1﹣14)＝32，∴D (2ξ)＝4D (ξ)＝4×32＝6．故选：B ．2．(2021·广西·富川瑶族自治县高级中学 )下列说法正确的是( ) A ．线性回归方程y bx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 B ．概率为0的事件一定不可能发生C ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6∶5∶4，则应从高二年级中抽取20名学生D ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件 【答案】C【解析】对于A ：线性回归方程y bx a =+对应的直线不一定经过其样本数据点中的一个点，但是一定经过中心对称点(),x y ，故A 错误；对于B ：概率为0的事件不一定是不可能事件，但是，不可能事件的概率一定是0，故B 错误；对于C ：某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6∶5∶4，即6,5,4x x x 则：1560x =，解得4x =，应从高二年级中抽，5420⨯=名学生，故C 正确；对于D ：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”即一红一黑，或两黑；与“至少有一个红球”即一黑一红或两红是即不互斥又不对立的事件，故D 错误． 故选：C ．3．(2021·广东顺德德胜学校高二期中)用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有( )种不同的涂色方案．A ．180B ．360C ．64D ．25【答案】A【解析】第一步涂A ，有5种涂法， 第二步涂B ，和A 不同色，有4种涂法， 第三步涂C ，和AB 不同色，有3种涂法， 第四步涂D ，和BC 不同色，有3种涂法，由分步乘法技术原理可知，一共有5433180⨯⨯⨯=种涂色方案， 故选：A.4．(2021·江苏省外国语学校高二期中)在12nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为( ) A ．7- B ．358-C ．358D ．7【答案】D【解析】因为在12nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以15,82nn +==所以812x ⎫⎪⎭的展开式的通项88218811,0,1,2,,822rrrr rr r T C x C x r +-+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令852r+=，得2r所以展开式中5x 的系数为2281128=724C ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭故选：D5．(2021·江苏东海·高二期中)()()()349111x x x +++⋅⋅⋅++展开式中3x 的系数是( ) A ．80 B ．84 C ．120 D ．210【答案】D【解析】()()()349111x x x +++⋅⋅⋅++的展开式中3x 的系数为3333333433333343456784456789910210C C C C C C C C C C C C C C C ++++++++=++++==．故选：D ．6．(2021·河北大名·高二期中)已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是( ) A ．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52 B ．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60 C ．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32 D ．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60 【答案】B【解析】设一年中甲地下雨记为事件A ，乙地下雨记为事件B ，则两地同时下雨记为事件AB . 由题意可得：()()()()()0.25,0.20,0.12,0.75,0.80P A P B P AB P A P B =====. 如图示：()()()0.250.120.13,0.200.120.08,10.130.120.080.67P AB P BA P AB =-==-==---=对于A ：()()()0.12|0.480.25P AB P B A P A ===，故A 错误；对于B ：()()()0.12|0.600.20P AB P A B P B ===，故B 正确； 对于C ：()()()0.13|0.5225P ABP B A P A ===，故C 错误；对于D ：()()()0.67|0.83750.80P ABP A B P B ===，故D 错误； 故选：B7．(2021·江苏省邗江中学高二期中)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则( ) A ．1212,()()p p E E ξξ>< B ．1212,()()p p E E ξξ<> C ．1212,()()p p E E ξξ>> D ．1212,()()p p E E ξξ<<【答案】A【解析】放入一个球后：()1417P ξ==，()1327P ξ==，则()1431012777E ξ=⨯+⨯=； 放入两个球后：()24227C 21C 7P ξ===，()1134227C C 42C 7P ξ===，()23227C 13C 7P ξ===，则()2241131237777E ξ=⨯+⨯+⨯=；所以()()12E E ξξ<.放入一个球为红球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：33177⨯=；放入一个球为蓝球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：412727⨯=；所以1325777p =+=； 放入2个球为两蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()21212137321P ξ=⨯=⨯=；放入2个球为一红一蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()22428237321P ξ=⨯=⨯=； 放入2个球为两红且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()21131177P ξ=⨯=⨯=；所以2281132121721p =++=. 所以12p p >.综上可知12p p >，()()12E E ξξ<. 故选：A.8．(2021·浙江·学军中学高二期中)设20292100129012101010(12)(1)(1)x b b x b x b x a a x a x a x x x +++++=+++++++，则9a =( )A ．0B ．104C ．10104⋅D ．10904⋅【答案】A【解析】解：由题意得，202101001210(12)()(1)x a a x a x a x x +=+++⋅⋅⋅++290129()b b x b x b x ++++⋅⋅⋅+，左边19x 的系数为1919202C ⨯，右边19x 的系数为91010a a +，所以191920910210C a a ⨯=+，左边20x 的系数为2020202C ⨯，右边20x 的系数为10a ，所以202020102C a ⨯=，所以90a =， 故选：A二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·福建省泉州第一中学高二期末)下列说法中，正确的命题是()A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1B ．(23)2()3E X E X +=+，(23)2()D X D X +=C ．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好.D ．已知随机变ξ服从正态分布()21,N δ，(3)0.6P ξ<=，则(13)0.1P ξ<<=【答案】ACD【解析】解：对于A 选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，正确； 对于B 选项，(23)2()3E X E X +=+，(23)4()D X D X +=，故B 选项错误； 对于C 选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C 选项正确； 对于D 选项，因为随机变ξ服从正态分布()21,N δ，所以(1)0.5P ξ>=，又因为(3)0.6P ξ<=，所以(13)0.1P ξ<<=，故D 选项正确. 故选：ACD10．(2021·福建省泉州第一中学高二期末)对任意实数x ，有9290129(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-.则下列结论成立的是()A ．902a =-B ．2324a =C ．91294a a a ++⋯+= D ．9012392a a a a a -+-+-=-【答案】BD【解析】A.令1x =，得01a =，故A 错误；B. ()99290129(32)311(1)(1)(1)x x a a x a x a x ⎡⎤-=-+=+-+-++-⎣⎦，所以含()21x -项的系数22293324a C =⋅=，故B 正确；C.令2x =，则90129...4a a a a ++++=，所以912941a a a ++⋯+-=，故C 错误；D.令0x =，则901239...2a a a a a -+-+-=-，故D 正确.故选：BD11．(2021·广东阳江·高二期末)设某车间的A 类零件的质量m (单位：kg )服从正态分布()210,N σ，且()10.10.2P m >=.( )A ．若从A 类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg 的概率为0.25B ．若从A 类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg 的概率为0.4C ．若从A 类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数的期望为60D ．若从A 类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数的方差为24 【答案】ACD【解析】对于A ，A 类零件中大于10kg 的概率为()100.5P m >=， 所以2个零件质量都大于10kg 的概率为0.50.50.25⨯=，A 正确； 对于B ，A 类零件中小于9.9kg 的概率为()()9.910.10.2P m P m <=>=，所以3个零件的质量恰有1个小于9.9kg 的概率为()2130.210.20.384C ⨯⨯-=，B 错误； 对于C ，A 类零件中质量在9.9kg ~10.1kg 的概率为()1210.10.6P m ->=，零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数(100,0.6)B ξ，所以零件质量在9.9kg ~10.1kg 个数期望为1000.660⨯=，C 正确；对于D ，由选项C 的信息知，零件质量在9.9kg ~10.1kg 个数的方差为1000.6(10.6)24⨯⨯-=，D 正确； 故选：ACD12．(2021·江苏镇江·高二期末)一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量ξ表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有( ) A ．若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为14B ．口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量26,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，且8(21)3D ξ-=C ．若随机变量(6,,)H M N ξ~，且()4E ξ=，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍D ．随机变量(3,)B p ξ，()22,N ησ-，若(1)0.784P ξ≥=，(24)P p η<<=，则(0)0.1P η<=【答案】ACD【解析】对于A ，131344P =⨯=，正确；对于B ，1216(21)4()46333D D ξξ-==⨯⨯⨯=，错误；对于C ，有6()4ME N ξ==，则23M N =，所以黄卡是红卡数量的2倍，正确； 对于D ，有3(1)10.7840.216p -=-=，得0.4p =，所以12(0)0.12pP η-<==，正确； 故选：ACD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·安徽·定远县育才学校 )511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为___________.【答案】51【解析】511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为555215555511rmrr m r mr m r mr rr T C x C CxC C xx x -----+--⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当0,5m r ==时，常数项为1；当1,3m r ==时，得常数项为315220C C ⋅=，当2,1m r ==时，得常数项为125430C C ⋅=，所以展开式中的常数项为1203051++=.故答案为：51.14．(2021·福建龙岩·高二期末)若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________. 【答案】5【解析】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++=，取1x =-得0121001a a a a -+-+=， 两式相减得100135992()31a a a a +++=-，即()100135992334a a a a ++++-=-，因为()50100503494814-=-=+-0501495010505050505088884rr C C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅+-0501495015050505088883rr C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅-05014950150505050888885,rr C C C C r N -=⋅+⋅++⋅++⋅-+∈因为0501495015050505088888r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-能被8整除，所以05014950150505050888885r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-+被8整除的余数为5，即()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为5，故答案为：5.15．(2021·陕西安康 )中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种． 【答案】1440【解析】先从剩余5种乐器中任选3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的4个空中，∴共有322542··1440A A A =种． 故答案为：144016．(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校 )有下列四个命题：①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ③若数据1x ，2x ，，n x 的平均数为1，则12x ，22x ，，2n x 的平均数为2；④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握越大； 其中真命题的个数为___________. 【答案】3【解析】根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①为真命题；由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，所以②为真命题；若数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则122,2,,2n x x x ⋅⋅⋅的平均数也扩大原来的2倍，即平均数为2，所以③为真命题；对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，应该k 越大，判断x 与y 有关系的把握越大，所以④为假命题.故答案为：3.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·吉林·梅河口市第五中学 )为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)14%；(2)有99%的把握；(3)答案见解析.【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=； (2)22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.18．(2021·山东莱西·高二期末)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品格概率依次为0.6、0.5、0.75． (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.38；(2)分布列见解析；数学期望值为：0.9. 【解析】(1)第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.(2)经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为： 10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.所以1230.3p p p ===,故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，且(3,0.3)B ξ.故()()334310.310000P ξ==-=；()()213441C 0.310.310100P ξ=⋅-==； ()()223189C 0.310.321000P ξ=⋅-==；()3270.033100P ξ===. 所以随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (或者利用二项分布的期望值公式直接得到: ()30.30.9E ξ=⨯=)19．(2021·河南 )某开发商拟开发新建一批商业用的门面房，开发商对有意在该地段购买门面房的购房人进行随机调查得到每套门面房的销售单价x (单位：百万元)和销售量y (单位：套)之间的一组数据，如下表所示：(1)试根据表中数据，建立y 关于x 的回归直线方程；(2)从反馈的信息看购房人对该门面房的心理价位在[]9,11(单位：百万元/套)内，已知该门面房的成本是a 百万元/套()311a ≤<，试探究每套门面房销售单价定为多少时，开发商才能获得最大的利润？(注：利润=销售收入-成本)附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()ii12i1ˆni ni x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】(1)ˆ 1.625.8yx =-+；(2)见解析. 【解析】(1)()199.51010.511105x =⨯++++=，()1111110989.85y =⨯++++=，()()()()()()()5ii152i11 1.20.5 1.200.50.81 1.8ˆ 1.610.2500.251i i x x y y b x x ==---⨯+-⨯++⨯-+⨯-===-++++-∑∑，()ˆˆ9.8 1.61025.8ay bx =-=--⨯=， ∴y 关于x 的回归直线方程为ˆ 1.625.8yx =-+. (2)由已知得利润()()()21.625.8 1.625.8 1.625.8L x a x x a x a =--+=-++-，[]9,11x ∈，该二次函数图象的对称轴方程为129162ax =+. 因为3a ≥，所以1299162a+≥. 当12911162a+≥，即587511a ≤<．时，函数L 在区间[]9,11上单调递增， 所以当11x =时，L 取得最大值；当12911162a +<，即35875a ≤<．时，函数L 在区间1299,162a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在129,11162a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦号上单调递减，所以当129162a x =+时，L 取得最大值； 综上所述，当35875a ≤<．时，该门面房每套销售单价定为129162a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭百万元时，开发商能获得最大利润； 当587511a ≤<．时，该门面房每套销售单价定为11百万元时，开发商能获得最大利润. 20．(2021·福建省泉州第一中学高二期末)某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，规定每位参赛选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A 类问题：方案二：第一次A 类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A 类问题，回答错误则下一次选B 类问题.A 类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为13，能正确回答B 类问题的概率为23，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率： (2)试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由. 【答案】(1)727；(2)小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析. 【解析】(1)小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题， 所以其概率为2323121733327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下： 若采用方案一，则其得分X 的可能为取值为0,50,100,150，()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213211245033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()223126210033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()311150327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的概率分布列为所以X 的数学期望为()42120020050501001505099279E X ++=⨯+⨯+⨯==； 若采用方案二，则其得分Y 的可能为取值为0,30,50,80,100,150，所以()2112033327P Y ==⨯⨯=，()22221212430333333279P Y ==⨯⨯+⨯⨯==，()12125033327P Y ==⨯⨯=，()12222188033333327P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()112210033327P Y ==⨯⨯=， ()111115033327P Y ==⨯⨯=.所以Y 的概率分布列为所以Y 的数学期望为()122821145030508010015053.7272727272727E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈， 因为()()E Y E X >，所以小明选择方案二参加比赛更加合理.21．(2021·湖北·华中师大一附中高二期末)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B 类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：某次数学考试试卷评阅采用“双评＋仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理)．(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X 的分布列及数学期望()E X ；(2)本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”．①记乙同学6个题得分为()12345i x x x x x x <<<<的题目个数为i a ，516i i a ==∑，计算事件“233a a +=”的概率．②同学丙的前四题均为满分，第5题为“B 类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B 类解答”的认识． 【答案】(1)分布列见解析；期望为32132；(2)①516；②答案见解析． 【解析】(1)根据题意，随机变量X 的取值为9，9.5，10，10.5，11． 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x ，y ，z ，(9)(9,9)(9,11,9)(11,9,9)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432=⋅+⋅⋅⋅=， 11111(9.5)(9,10)(10,9)42424P X P x y P x y ====+===⋅+⋅=，()()()()()11010,10,10.510,1111,104P X P x y P X P x y P x y =========+==111115(11,9,10)(9,2444441611,10)P x y z P x y z +====⋅+=⋅⋅⋅=+==，(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432=⋅+⋅⋅⋅=， 故X 的分布列为31153321()99.51010.5113244163232E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (2)①方法一事件“233a a +=”可分为20a =，33a =；21a =，32a =；22a =，31a =；23a =，30a =四种情况，其概率为()()()()232323230,31,22,13,0P a a P a a P a a P a a ==+==+==+==333333333211236646561111111154242424216C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法二记“9.5X =或10X =”为事件A ，6次实验中，事件A 发生的次数1~6,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，“233a a +=”相当于事件A恰好发生3次，故概率为：()33323611532216P a a C ⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②由题意可知：乙同学得分的均值为32119266()63232E X =⋅=，丙同学得分的均值为：321204941263232⨯++=． 显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B 类解答”的出现．22．(2021·江苏连云港·高二期末)某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为12，且每次投篮的结果相互独立． (1)求甲在一局游戏中投篮命中次数X 的分布列与期望；(2)若参与者连续玩()*2n n ∈N 局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有n k =和1n k =+两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．【答案】(1)分布列见解析，32；(2)甲选择1n k =+时，获奖的概率更大，理由见解析. 【解析】(1)由题意知1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()303110C 28P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2131131228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2231132C 228P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33311328P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为()13322E X =⨯=． (2)由(1)可知在一局游戏中，甲得3分的概率为311882+=，得1分的概率为131882+=，若选择n k =，此时要能获得大奖，则需2k 次游戏的总得分大于4k ，设2k 局游戏中，得3分的局数为m ，则()324m k m k +->，即m k >． 易知1~2,2m B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故此时获大奖的概率 ()11222122122211111CCC 22222k k k k kk k k kkkP P m k +-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=⨯⨯+⨯⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21222221CCC 2kk k k kkk++⎛⎫=+++⨯ ⎪⎝⎭()2012222211C C C C 22kk k k k kk⎛⎫=+++-⨯ ⎪⎝⎭()22211222kk k k C ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭221122kk k C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭同理可以求出当1n k =+，获大奖的概率为122222C 1122k k k P +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()()()()()()()()()()2222112222222!C 4!!41214C 2122!C C 22212121!1!k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++====>++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以122222222k k k k k k C C +++>，则12P P <答：甲选择1n k =+时，获奖的概率更大．。
章末质量检测(一) 计数原理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．102．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有( )A ．7种B ．12种C ．64种D ．81种3.⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．120B ．160C ．200D ．2404．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( ) A ．72B ．96 C ．144D ．2405．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．若⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中含x 32项的系数为160，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．22D ．－2 27．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－40B ．40 C ．30D ．－308．“中国梦”的英文翻译为“Chinese Dream”，其中Chinese 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．给出下列四个关系式，其中正确的为( )A ．n ！＝（n ＋1）！n ＋1B ．A m n ＝n A m －1n －1 C ．A m n ＝n ！（n －m ）！D ．A m －1n －1 ＝（n －1）！（m －n ）！ 10．下列有关排列数、组合数计算正确的是( )A ．C mn ＝A m n n ！B ．(n ＋2)(n ＋1)A m n ＝A m ＋2n ＋2C ．C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋…＋C 2100 ＝C 3101D ．C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 是一个常数11．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项12．关于(a －b )11的说法，正确的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为2048 B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最大三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为________． 14．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．15．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有________种．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 10的展开式． (1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，求r 的值．19.(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．20．(本小题满分12分)已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．21．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个，其中红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)如取1个红球记2分，1个白球记1分，从口袋中取5个球，总分不小于7的取法有多少种？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)当n ＝8时，求展开式中系数的最大项．(2)化简C 0n 2n －1＋C 1n 2n －2＋C 2n 2n －3＋…＋C n n 2－1. (3)定义：∑i ＝1na i ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，化简：i ＝1n (i ＋1)C i n .章末质量检测(一)1．解析：分两类：第一类，M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6个第一、二象限内的点；第二类，M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8个第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，知共有6＋8＝14个不同的第一、二象限内的点．故选C.答案：C2．解析：要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12种不同的配套方法．故选B.答案：B3．解析：⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·⎝⎛⎭⎫1x 6－k (2x )k ＝2k C k 6 x 2k －6，令2k －6＝0，解得k ＝3，所以展开式中的常数项为23×C 36 ＝160.故选B.答案：B4．解析：从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到2位女生所形成的3个空隙中，所以共有A 24 A 22 A 33 ＝144种不同的排法．故选C.答案：C5．解析：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为C 23 C 13 ＝9种．故选D.答案：D6．解析：由二项式定理得展开式的通项T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－a x k＝C k 6 (－a )k x 6－32k ，令6－32k ＝32，得k ＝3，由C 36 (－a )3＝－20a 3＝160，得a ＝－2.故选B. 答案：B7．解析：(2x －y )5的展开式的通项为C k 5 (2x )5－k (－y )k ＝25－k (－1)k C k 5x 5－k y k .令5－k ＝1，得k ＝4，则x ·2·C 45 xy 4＝10x 2y 4；令5－k ＝2，得k ＝3，则y ·22·(－1)·C 35 x 2y 3＝－40x 2y 4.所以(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为10－40＝－30.故选D. 答案：D8．解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea ”进行全排列，共有C 45 A 55 ＝600种，故选C.答案：C9．解析：由A m n ＝n ！（n －m ）！可知：A m －1n －1＝（n －1）！（n －m ）！，故D 不正确．A 、B 、C 均正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：A 错，A m n ＝C mn ·m ！；B 正确；C 错，应为C 3101 －1；D 正确，由组合数定义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤n －2≤2n －1 （ⅰ）0≤2n －1≤n ＋1 （ⅱ）由(ⅰ)得n ≥2，由(ⅱ)得12≤n ≤2，所以n ＝2.所以C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 ＝C 03 ＋C 33 ＝2.所以B 、D 正确．答案：BD11．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项，所以系数最大的项为第六项和第七项．故选BC.答案：BC12．解析：(a －b )11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A 正确；因为n ＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确．故选AC.答案：AC13．解析：∵(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴2n －1＝32，即n ＝6，∴(1－2x )6展开式中的第4项为T 4＝C 36 13(－2x )3＝－160x 3. 答案：－160x 314．解析：可以分为三类，第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C 24 C 23 种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C 34 C 13 种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C 34 C 23 种选法．根据分类加法计数原理知，一共有C 24 C 23 ＋C 34 C 13 ＋C 34 C 23 ＝42种不同的选法．答案：4215．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：162 516．解析：从五人中选四人有C 45 ＝5种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲、乙、丙、丁，则有A 22 ×A 22 ＝4种组队方式；若所选四人为甲、乙、丙、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式；若所选四人为甲、乙、丁、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式； 若所选四人为甲、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式； 若所选四人为乙、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式．由分类加法计数原理得，不同的组队方式有4＋8＋8＋2＋2＝24种． 答案：2417．解析：(1)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，不同的选法种数为6×7×8＝336.(2)分三类，每类又分两步：第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法，故不同的选法种数为6×7＋6×8＋7×8＝146.18．解析：(1)展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (－2)k x 10－32k，令10－32k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为C 410 (－2)4＝3 360.(2)第3r 项的二项式系数为C 3r －110 ，第r ＋2项的二项式系数为C r ＋110 ，∵C 3r －110 ＝C r ＋110 ，∴3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10， 解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.19．解析：(1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310 ＝120.(2)按女生的选取情况分为四类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生，所有选法数为C 25 C 37 ＋C 35 C 27 ＋C 45 C 17 ＋C 55 ＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理知，所有选法数为C 17 ·C 15 ·A 310 ＝25 200.20．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝⎛⎭⎫12x 2n －k⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k ⎝⎛⎭⎫12n －k C k n x 2n －5k2.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610 ＝1058.(3)要使2n －52k ，即4n －5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．21．解析：(1)满足条件的取法情况分为以下三类： 第一类，红球取4个，白球不取，取法有C 44 种；第二类，红球取3个，白球取1个，取法有C 34 C 16 种；第三类，红球取2个，白球取2个，取法有C 24 C 26 种．所以共有取法C 44 ＋C 34 C 16 ＋C 24 C 26 ＝115(种).(2)设取红球x 个，白球y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋y ≥7，0≤x ≤4，0≤y ≤6，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此总分不小于7的取法可分为三类，不同的取法种数为C 24 C 36 ＋C 34 C 26 ＋C 44 C 16 ＝186.22．解析：(1)f (x )＝(1＋x )8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5＝C 48 x 4＝70x 4.(2)f (x )＝(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，所以原式＝12(C 0n 2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n n 20) ＝12(1＋2)n ＝3n2. (3)∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ① ∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ， ② 在①，②添加C 0n ，则得1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ③ 1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋1C 0n ， ④ ③＋④得：2(1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n )＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝(n ＋2)2n ，所以∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋2)2n －1－1.。
2020-2021学年人教A版数学必修3章末综合测评1算法初步含解析章末综合测评（一)算法初步(满分：150分时间:120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下面对算法的描述正确的一项是()A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形语言来表示C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同,结果必然不同[答案］C2．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个数为()A．1 B．2C．3 D．4B[根据题意，该框图的含义是:当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x＞2时，得到函数y＝log2x，因此，若输出的结果为1时，若x ≤2,得到x 2－1＝1,解得x ＝±错误!，若x ＞2，得到log 2x ＝1，无解，因此,可输入的实数x 的值可能为－错误!，错误!,共有2个．故选B.]3．下列算法语句正确的是( ）A ．输出语句PRINT A ＝4B ．输入语句INPUT x ＝3C ．赋值语句A ＝A *A ＋A －3D ．赋值语句55＝aC ［输入语句、输出语句中输入、输出的是变量或数值,而不是等式．A 、B 均错；赋值语句格式是“变量＝表达式”，D 错；C 对．]4．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．7B ［由辗转相除法264＝56×4＋40，56＝40×1＋16,40＝16×2＋8,16＝8×2，即最大公约数为8，做4次除法．］5．下列各进制数中，最小的是（ ）A ．1 002（3）B ．210（6）C ．1 000(4）D ．111 111(2)A [1 002（3)＝29,210(6）＝78,1 000(4)＝64,111 111(2）＝63，故1002最小．]（3)6．对于程序:试问，若输入m＝－4,则输出的数为()A．9 B．－7C．5或－7 D．5D[由程序，先输入m，判断m>－4是否成立,因为m＝－4，所以不成立，则执行m＝1－m，最后输出结果为5。
章末综合检测(一)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面对算法描述正确的一项是()A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必定不同解析：选C.算法可以用自然语言、程序框图、程序语句等来描述，同一个问题可以有不同的算法，但结果是相同的．2．算法共有三种规律结构，即挨次结构、条件结构和循环结构，下列说法正确的是()A．一个算法只含有一种规律结构B．一个算法最多可以包含两种规律结构C．一个算法必需含有上述三种规律结构D．一个算法可以含有上述三种规律结构解析：选D.一个算法中具体含有哪种结构，主要看如何解决问题或解决怎样的问题，以上三种规律结构在一个算法中都有可能体现，故选D.3．下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句：(1)输出语句INPUT a，b，c(2)输入语句INPUT y＝3(3)赋值语句3＝A(4)赋值语句A＝B＝C则其中正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A.(1)中输出语句应使用PRINT；(2)中输入语句不符合格式INPUT“提示内容”；变量；(3)中赋值语句应为A＝3；(4)中赋值语句消灭两个赋值号是错误的．4．(2022·日照检测)假如执行如图所示的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则()A．A＋B为a1，a2，…，a N的和B ．A＋B2为a1，a2，…，a N的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数解析：选C.由于x＝a k，且x＞A时，将x值赋给A，因此最终输出的A值是a1，a2，…，a N中最大的数；由于x＝a k，且x＜B时，将x值赋给B，因此最终输出的B值是a1，a2，…，a N中最小的数，故选C.5．(2021·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的k值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．初值为a＝3，k＝0，进入循环体后a＝32，k＝1；a＝34，k＝2；a＝38，k＝3；a＝316，k＝4，此时a<14，退出循环，则输出k＝4.故选B．6.图示程序的功能是()S＝1i＝3WHILE S＜＝10 000S＝S*ii＝i＋2WENDPRINT iENDA．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n解析：选D.*法一：S是累乘变量，i是计数变量，每循环一次，S乘以i一次且i增加2.当S＞10 000时停止循环，输出的i值是使1×3×5×…×n＞10 000成立的最小正整数n.法二：最终输出的是计数变量i，而不是累乘变量S.7．(2021·高考全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14解析：选B．输入的a，b分别为14，18，程序依次运行：14≠18(是)，14>18(否)，b＝4；14≠4(是)，14>4(是)，a＝10；10≠4(是)，10>4(是)，a＝6；6≠4(是)，6>4(是)，a＝2；2≠4(是)，2>4(否)，b＝2；2≠2(否)，输出a＝2.8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝208＋9x2＋6x4＋x6当x＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．22解析：选D.v0＝1；v1＝1×(－4)＋0＝－4；v2＝－4×(－4)＋6＝22.9．(2022·武汉调研)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则推断框内m的取值范围是() A．(42，56]B．(56，72]C．(72，90] D．(42，90]解析：选B．第一次运行：S＝2，k＝2；其次次运行：S＝6，k＝3；…；第七次运行：S＝56，k＝8；第八次运行：S＝2＋4＋6＋…＋16＝72，k＝9，输出结果．故推断框中m的取值范围是(56，72]．10．(2021·高考安徽卷)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．初始值，a＝1，n＝1，|a－1.414|＝0.414≥0.005，执行第一次循环，a＝1＋11＋a＝32，n＝2；|a－1.414|＝0.086≥0.005，执行其次次循环，a＝1＋11＋a＝75，n＝3；|a－1.414|＝0.014≥0.005，执行第三次循环，a ＝1＋11＋a ＝1712，n ＝4； |a －1.414|≈0.002 7<0.005，跳出循环，输出n ＝4.11．(2021·高考全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，假如输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.经推理分析可知，若程序能满足循环，则每循环一次，S 的值削减一半，循环6次后S 的值变为126＝164>0.01，循环7次后S 的值变为127＝1128<0.01，此时不再满足循环的条件，所以结束循环，于是输出的n ＝7.12．(2022·厦门质检)如图是推断“美数”的流程图，在[30，40]内的全部整数中，“美数”的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.依题意可知，题中的“美数”包括12的倍数与能被3整除但不能被6整除的数．由此不难得知，在[30，40]内的“美数”有3×11、12×3、3×13这三个数．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．三个数390，455，546的最大公约数是________．解析：390与455的最大公约数是65， 65与546的最大公约数为13，可以用辗转相除法或更相减损术来求．答案：1314．把七进制数1 620(7)化为二进制数为________． 解析：1 620(7)＝1×73＋6×72＋2×7＋0＝651， 651＝1 010 001 011(2)， 所以1 620(7)＝1 010 001 011(2)．答案：1 010 001 011(2)15．下面程序运行后输出的结果为________． x ＝－5y ＝－20IF x<0 THEN y ＝x －3ELSEy ＝x ＋3END IFPRINT x －y ，y －x END解析：由于输入x ＝－5<0， 所以y ＝x －3＝－5－3＝－8，所以输出x －y ＝－5－(－8)＝3，y －x ＝－8－(－5)＝－3.答案：3，－316．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________．解析：log 28＜⎝⎛⎭⎫12－2，由题意知，log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝3⊗4＝错误!＝1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用秦九韶算法计算函数f (x )＝2x 5＋3x 4＋2x 3－4x ＋5当x ＝2时的函数值． 解：依据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f (x )＝((((2x ＋3)x ＋2)x ＋0)x －4)x ＋5.从内到外的挨次依次计算一次多项式当x ＝2时的值： v 0＝2；v 1＝2×2＋3＝7； v 2＝v 1×2＋2＝16； v 3＝v 2×2＋0＝32； v 4＝v 3×2－4＝60； v 5＝v 4×2＋5＝125.所以，当x ＝2时，多项式的值等于125.18．(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3，x ≥0，2x 2－6，x <0，画出程序框图，对每一个输入的x 值，都得到相应的函数值．解：程序框图如图所示：19．(本小题满分12分)以下是某次数学考试中某班15名同学的成果(单位：分)：72，91，58，63，84，88，90，55，61，73，64，77，82，94，60.要求用程序框图将这15名同学中成果高于80分的同学的平均分数求出来．解：程序框图如图所示：20．(本小题满分12分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，….(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；(3)写出程序框图的程序语句．解：(1)开头时，x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；然后x＝9，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 015时，输出最终一对，共输出(x，y)的组数为1 008；(3)程序框图的程序语句如下：x ＝1y＝0n＝1DOPRINT(x，y)n＝n＋2x＝3*xy＝y－2LOOP UNTIL n>2 016END21．(本小题满分12分)在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，在折线BCDA中，由点B(起点)向A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式，画出程序框图，写出程序．解：y＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x≤4，8，4<x≤8，2（12－x），8<x≤12.程序框图如图．程序如下：INPUT “x＝”；xIF x>＝0 AND x<＝4 THENy＝2*xELSEIF x<＝8 THENy＝8ELSEy＝2*(12－x)END IFEND IFPRINT yEND22．(本小题满分12分)一个数被3除余2，被7除余4，被9除余5，求满足条件的最小正整数．画出程序框图，并写出程序．解：此问题即求不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m＝3x＋2，m＝7y＋4，m＝9z＋5的正整数解，首先可以从m＝2开头检验条件，若三个条件任何一个不满足，则m递增1，始终到m同时满足3个条件为止．程序框图如图：程序如下：m＝2WHILE m MOD 3＜＞2OR m MOD 7＜＞4ORm MOD 9＜＞5m＝m＋1WENDPRINT mEND。
本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是( )A.相关关系是一种不确定的关系,回归分析是对相关关系的分析,因此没有实际意义B.独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握,所以独立性检验研究的结果在实际中没有多大的实际意义C.相关关系可以对变量的发展趋势进行预报,这种预报可能会是错误的D.独立性检验如果得出的结论有99%的可信度,就意味着这个结论一定是正确的2.若经验回归方程为y^=2-3.5x,则变量x增加一个单位,变量y平均( )A.减少3.5个单位B.增加2个单位C.增加3.5个单位D.减少2个单位3.根据如下样本观测数据可得到的经验回归方程为y^=bx+a,则( )x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0A.a>0,b<0B.a>0,b>0C.a<0,b<0D.a<0,b>04.下图是变量x,y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到经验回归方程:y^=b1x+a1,样本相关系数为r1;方案二:剔除点(10,32),根据剩下数据,得到经验回归方程:y^=b2x+a2,样本相关系数为r2,则( )A.0<r1<r2<1B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0D.-1<r2<r1<05.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:单位:人男女合计爱好40 20 60不爱好20 30 50合计60 50 110由χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得χ2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8.附表:α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”6.观察下列各图,其中两个分类变量x,y 之间关系最强的是( )7.某调查者在调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表:序号 科研费用支出x i利润y i x i y i x i 21 5 31 155 252 11 40 440 12134 30 120 16 45 34 170 25 5 3 25 75 96 2 20 40 4 合计30180 1 000200则利润y 关于科研费用支出x 的经验回归方程为( ) 参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i2-nx 2,a ^=y -b ^x .A.y ^=2x+20B.y ^=2x-20 C.y ^=20x+2 D.y ^=20x-28.春节期间,“履行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民能否做到“光盘”,得到如下的列联表:单位:人不能做到“光盘”能做到“光盘”合计男45 10 55女30 15 45 合计75 25 100附:α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参照附表,得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是( )A.在回归分析中,可以借助散点图判断两个变量是否具有线性相关关系B.在回归分析中,可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据,残差平方和越小,模型的拟合效果越好C.在回归分析模型中,样本相关系数的绝对值越大,说明模型的拟合效果越好D.在经验回归方程y^=0.1x+10中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y^增加0.1个单位10.独立性检验中,为了调查变量X与变量Y的关系,经过计算得到χ2≥6.635=x0.01,其表示的意义是( )A.有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系B.有1%的把握认为变量X与变量Y有关系C.有99%的把握认为变量X与变量Y有关系D.有1%的把握认为变量X与变量Y没有关系11.已知由样本数据(x i,y i),i=1,2,…,n求得的经验回归方程为y^=1.5x+0.5,且x=3,现发现两个样本点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,则( )A.变量x与y具有正相关关系B.去除后的经验回归方程为y^=1.2x+1.4C.去除后y的估计值增加速度变快D.去除后样本点(2,3.75)的残差为0.0512.某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查,其中被调查的,女生喜欢运动的人数占女男、女生人数相同,男生喜欢运动的人数占男生人数的45生人数的3,若有95%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”,则被调查人中男生5可能有( )附:α 0.05 0.01 x α3.8416.635χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d. A.25人 B.45人C.60人D.75人三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上) 13.下列是关于男婴与女婴出生调查的列联表:单位:人晚上出生 白天出生合计 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 合计98D180那么A= ,B= ,C= ,D= ,E= .14.已知样本容量为11,计算得∑i=111x i =66,∑i=111y i =132,经验回归方程为y ^=0.3x+a,则a= .15.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了如下对照表,由表中数据得经验回归方程y ^=b ^x+a ^,其中b ^=-2.现预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数为 . 气温x(℃) 18 13 10 -1 用电量y(度)2434386416.某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身,得到的数据如下表:单位:人读书健身合计女24 31 55男8 26 34合计32 57 89在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与休闲方式有关系.附表:α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)2017年10月18日至10月24日,中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开.大会期间,北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛,参赛选手为从高一年级和高二年级各随机抽取的100名学生.图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩(单位:分)的频率分布直方图.(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;(同一组的数据用该组区间的中点值代表)(2)完成下面的2×2列联表,并依据α=0.01的独立性检验,分析高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩是否有差异.单位:人成绩低于60分成绩不低于60分合计高一年级高二年级合计附: χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82818. (本小题满分12分)某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润如下表:商店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润y/百万元23345(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关; (2)用最小二乘法计算利润y 关于销售额x 的经验回归方程; (3)当销售额为4千万元时,估计利润为多少. 参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y -b ^x .19. (本小题满分12分)2020年3月,由于疫情的影响,各地学生在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11∶13,男生中有30人对线上教育满意,女生中有15人表示对线上教育不满意.(1)完成下面的2×2列联表,依据α=0.01的独立性检验,分析对线上教育是否满意与性别是否有关;单位:人满意不满意合计男生女生合计120(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层随机抽样抽取8名学生,再在这8名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的人数为X,求X的分布列及期望.附: χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82820. (本小题满分12分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中有“难度系数”和“区分度”两个指标,难度系数=年级总平均分满分,区分度=实验班的平均分-普通班的平均分满分.(1)某次数学考试(满分为150分),随机从实验班和普通班各抽取三人,实验班三人的成绩分别为147分,142分,137分;普通班三人的成绩分别为97分,102分,113分.通过样本估计本次考试的区分度(精确到0.01); (2)该校高三年级6次数学考试的统计数据如下表: 难度系数x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82 区分度y 0.18 0.230.240.240.220.15①计算样本相关系数r,|r|<0.75时,认为相关性弱;|r|≥0.75时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型描述y 与x 的关系(精确到0.01); ②令t i =|x i -0.74|(i=1,2,…,6),求出y 关于t 的经验回归方程,并预测x=0.75时y 的值(精确到0.01).附:∑i=16x i y i =0.930 9,√∑i=16(x i -x )2√∑i=16(y i -y )2≈0.011 2, ∑i=16t i y i =0.048 3,∑i=16(t i -t )2=0.007 3.样本相关系数r=∑i=1nx i y i -nxy√∑i=1n(x i -x )√∑i=1n(y i -y ),经验回归方程y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1n(x i -x )2,a ^=y -b ^x .21. (本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层随机抽样的方法从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到的频率分布直方图分别如图1,图2.图1图2(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名25周岁以下组工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80者为生产能手,请你根据已知条件列出2×2列联表,依据α=0.1的独立性检验,分析生产能手与工人所在的年龄组是否有关. 附:α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.22. (本小题满分12分)某地区在一次考试后,从全体考生中随机抽取44名,获取他们本次考试的数学成绩x(单位:分)和物理成绩y(单位:分),绘制成如下散点图:根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系,但图中有两个异常点A,B.经调查得知,A考生由于感冒导致物理考试发挥失常,B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据进行处理,得到一些统计值:∑i=142x i =4 641,∑i=142y i =3 108,∑i=142x i y i =350 350,∑i=142(x i -x )2=13 814.5,∑i=142(y i -y )2=5 250,其中x i ,y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩,i=1,2,…,42,y 与x 的样本相关系数r≈0.81.(1)若不剔除A,B 两名考生的数据,用44组数据作回归分析,设此时y 与x 的样本相关系数为r 0.试判断r 0与r 的大小关系,并说明理由;(2)求y 关于x 的经验回归方程(精确到0.01),如果B 考生加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分),估计其物理成绩是多少;(精确到个位)(3)从概率统计规律看,本次考试该地区的物理成绩X 服从正态分布N(μ,σ2).以剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数y 作为μ的估计值,用样本方差s 2作为σ2的估计值.试求该地区5 000名考生中,物理成绩位于区间[62.8,85.2]的人数Z 的数学期望.(精确到个位) 附:①经验回归方程y ^=b ^x+a ^中,b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a ^=y -b ^x .②若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. ③√125≈11.2.答案全解全析 本章达标检测一、单项选择题1.C 相关关系虽然是一种不确定的关系,但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报,这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用,独立性检验对分类变量的研究也是不确定的,但是其结果也有一定的实际意义.故选C.2.A 由经验回归方程可知b ^=-3.5,则变量x 增加一个单位,y ^减少3.5个单位,即变量y 平均减少3.5个单位.3.A 依据题中的成对样本数据作散点图如下,由图可知,a>0,b<0.4.A 观察散点图可知,变量x 和y 呈现正相关,所以0<r 1<1,0<r 2<1, 剔除点(10,32)之后,可看出经验回归方程y ^=b 2x+a 2拟合数据效果更好,所以r 2更接近1. 所以0<r 1<r 2<1.故选A.5.A 因为χ2>6.635=x 0.01,所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”,故选A.6.D 结合选项可知,D 图中两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变量之间关系最强.7.A 设经验回归方程为y ^=b ^x+a ^.由题表中数据得,b ^=1 000-6×5×30200-6×52=2,∴a ^=30-2×5=20,∴经验回归方程为y ^=2x+20. 8.C χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=100×(45×15-10×30)255×45×75×25≈3.030,∵x 0.1< χ2<x 0.05,∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”. 二、多项选择题9.ABD 对于A,可以借助散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系,所以正确;对于B,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,所以正确;对于C,样本相关系数的绝对值越大,只能说明两个变量具有较强的相关性,不能作为分析模型的拟合效果好坏的依据,应该是R 2越大,模型的拟合效果越好,所以错误;对于D,在经验回归方程y ^=0.1x+10中,当解释变量x 每增加1个单位时,响应变量y ^增加0.1个单位,所以正确. 故选ABD.10.CD 独立性检验中, χ2≥6.635=x 0.01,它表示的意义是有1%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系,D 正确; 有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系,C 正确.故选CD.11.AB ∵x =3,经验回归方程为y ^=1.5x+0.5,∴y =5,∵重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2,∴变量x 与y 具有正相关关系,设新的数据的所有横坐标的平均值为x ',纵坐标的平均值为y ',则(n-2)x '=n x -(1.2+4.8)=3n-6=3(n-2),(n-2)y '=n y -(2.2+7.8)=5n-10=5(n-2),故x '=3,y '=5, a ^=y '-b ^x '=5-1.2×3=1.4.故新的经验回归方程为y ^=1.2x+1.4,故A,B 正确;因为斜率为1.2不变,所以去除后y 的估计值增长速度不变,C 错误;把x=2代入新的经验回归方程中,得y ^=3.8,3.75-3.8=-0.05,故D 错误.故选AB. 12.BC 设被调查人中男生有x 人,依题意可得列联表如下:单位:人喜欢运动不喜欢运动合计 男生 45x 15x x 女生 35x 25x x 合计75x35x2x若有95%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”,则3.841≤χ2=2x 21<6.635,解得40.330 5≤x<69.667 5,由题意知x>0,且x 是5的整数倍,所以结合选项知45和60满足题意. 故选BC. 三、填空题13.答案 47;92;88;82;53 解析 ∵45+E=98,∴E=53. ∵E+35=C,∴C=88.∵98+D=180,∴D=82. ∵A+35=D,∴A=47. ∵45+A=B,∴B=92. 14.答案 10.2解析 ∵∑i=111x i =66,∑i=111y i =132,∴x =6,y =12,∴a=12-0.3×6=10.2. 15.答案 68解析 由题表中数据可得x =14×(18+13+10-1)=10,y =14×(24+34+38+64)=40,所以经验回归直线y ^=-2x+a ^过点(10,40),故a ^=60. 所以当x=-4时,y ^=-2×(-4)+60=68. 16.答案 0.1解析 由题中列联表中的数据,得χ2=89×(24×26-31×8)255×34×32×57≈3.689,因为χ2>2.706=x 0.1,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与休闲方式有关系. 四、解答题17.解析 (1)高一年级参赛学生的平均成绩为(45×0.04+55×0.04+65×0.01+75×0.01)×10=54(分),高二年级参赛学生的平均成绩为(45×0.015+55×0.025+65×0.035+75×0.025)×10=62(分).(4分) (2)补全2×2列联表如下:单位:人成绩低于 60分成绩不低于 60分合计高一年级 80 20 100 高二年级 40 60 100 合计12080200零假设为H 0:两个年级的成绩相互独立,即高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩没有差异.计算可得χ2=200×(80×60-20×40)2100×100×120×80≈33.333>6.635=x 0.01,根据α=0.01的独立性检验,推断H 0不成立,即认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异.(10分) 18.解析 (1)散点图如图所示.由散点图可以看出变量x,y 线性相关.(4分) (2)设经验回归方程为y ^=b ^x+a ^.易得y =3.4,x =6,∑i=15x i y i =112,∑i=15x i 2=200,所以b ^=112-5×6×3.4200-5×62=0.5,a ^=y -b ^x =3.4-0.5×6=0.4,即利润y 关于销售额x 的经验回归方程为y ^=0.5x+0.4.(9分)(3)当销售额为4千万元时,利润约为0.5×4+0.4=2.4(百万元).(12分) 19.解析 (1)男生人数为120×1111+13=55,所以女生人数为120-55=65,于是可完成2×2列联表如下:单位:人满意 不满意 合计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计8040120(3分)零假设为H 0:对线上教育是否满意与性别无关.计算可得 χ2=120×(30×15-25×50)255×65×80×40≈6.713>6.635=x 0.01,依据α=0.01的独立性检验,推断H 0不成立,即认为对线上教育是否满意与性别有关.(6分)(2)由(1)可知男生抽取3人,女生抽取5人,依题可知X 的可能取值为0,1,2,3,并且X 服从超几何分布,P(X=k)=C 3k C 53-kC 83(k=0,1,2,3),即P(X=0)=C 53C 83=528,P(X=1)=C 31C 52C 83=1528,P(X=2)=C 32C 51C 83=1556,P(X=3)=C 33C 83=156.(9分)所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P52815281556156可得E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98.(12分) 20.解析 (1)实验班三人成绩的平均值为142,普通班三人成绩的平均值为104,故估计本次考试的区分度为142-104150≈0.25.(3分)(2)①由题中的表格可知x =16×(0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82)=0.74, y =16×(0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15)=0.21,故r=∑i=16x i y i -nxy√∑i=16(x i -x )2√∑i=16(y i -y )2≈-0.13.因为|r|<0.75,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述y 与x 的关系.(6分) ②y 与t 的对应数据如下表:t 0.10 0.030 0.020.03 0.08 区分度y0.180.23 0.24 0.240.220.15则b ^=∑i=16t i y i -6ty∑i=16(t i -t )2≈0.048 3-6×0.266×0.210.007 3≈-0.86,所以a ^=y -b ^t ≈0.21+0.86×0.266≈0.25,所以所求经验回归方程为y ^=-0.86t+0.25,(10分) 当x=0.75时,t=0.01,则y≈0.24.(12分)21.解析 (1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.所以样本中日平均生产件数不足60的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为A 1,A 2,A 3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B 1,B 2. 从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2). 其中,至少有1名25周岁以下组工人的可能结果共有7种,它们是(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2),故所求概率P=710.(5分)(2)由题中频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,25周岁以上组中的生产能手有60×0.25=15(人),25周岁以下组中的生产能手有40×0.375=15(人), 据此可得2×2列联表如下:单位:人生产能手 非生产能手合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组15 25 40 合计3070100(8分)零假设为H 0:生产能手与工人所在的年龄组无关.计算可得χ2=100×(15×25-45×15)260×40×30×70≈1.79<2.706=x 0.1.(10分)依据α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,因此认为H 0成立,即认为生产能手与工人所在的年龄组无关.(12分) 22.解析 (1)r 0<r.理由如下:由题图可知,y 与x 呈现正相关, ①异常点A,B 会降低变量之间的线性相关程度.②44个数据点与其经验回归直线的总偏差更大,回归效果更差,所以样本相关系数更小.③42个数据点与其经验回归直线的总偏差更小,回归效果更好,所以样本相关系数更大.④42个数据点更贴近其经验回归直线. ⑤44个数据点与其经验回归直线更离散.(4分)(2)设y 关于x 的经验回归方程为y ^=b ^x+a ^.由题中数据可得:x =142∑i=142x i =110.5,y =142∑i=142y i =74,所以∑i=142(x i -x )(y i -y )=∑i=142x i y i -42xy =350 350-42×110.5×74=6 916. 又因为∑i=142(x i -x )2=13 814.5,所以b ^=∑i=142(x i -x )(y i -y )∑i=142(x i -x )2≈0.50,a ^=y -b ^x ≈74-0.50×110.5≈18.75, 所以y ^=0.50x+18.75.将x=125代入,得y=0.50×125+18.75=62.5+18.75≈81, 所以估计B 考生的物理成绩为81分.(8分)(3)y=142∑i=142y i=74,s2=142∑i=142(y i-y)2=142×5 250=125,所以X~N(74,125),又因为√125≈11.2,所以P(62.8≤X≤85.2)=P(74-11.2≤X≤74+11.2)≈0.682 7,所以Z~B(5 000,0.682 7),所以E(Z)=5 000×0.682 7≈3 414,即该地区本次考试物理成绩位于区间[62.8,85.2]的人数Z的数学期望约为3 414.(12分)。
模块质量检测一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知变量x 与y 满足关系y ＝0.8x ＋9.6，变量y 与z 负相关．下列结论正确的是()A ．变量x 与y 正相关，变量x 与z 正相关B ．变量x 与y 正相关，变量x 与z 负相关C ．变量x 与y 负相关，变量x 与z 正相关D ．变量x 与y 负相关，变量x 与z 负相关2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A ．49B ．29C ．12D ．133．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ(满分150分)服从正态分布N(75，σ2)，且P(60<ξ<90)＝0.8，则P(ξ≥90)＝()A ．0.4B ．0.3C ．0.2bD ．0.14．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 8展开式中的常数项为()A ．28B ．－28C ．56D ．－565．已知离散型随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的期望为() A ．134B ．114C ．136D ．1166．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为()A ．360B ．720C ．2160D ．43207．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计3075105附表及公式：α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x α2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：χ2＝2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）A ．0.025B ．0.010C ．0.005D ．0.0018．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为()A ．332B ．1564C ．532D ．516二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好B ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个C．若D(X)＝1，Y＝2X－1，则D(Y)＝4D．设随机变量X～N(μ，7)，若P(X<2)＝P(X>4)，则μ＝310．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是()A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好C．在经验回归方程y^＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y^平均增加0.2个单位D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9462，则变量y和x之间的负相关很强11．一组数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2x n＋1的平均值为7，方差为4，记3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3x n＋2的平均值为a，方差为b，则()A．a＝7B．a＝11C．b＝12D．b＝912．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是()A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D．所有不同分派方案共43种三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.2，则P(X>0)＝________．14．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)的值为________．15.某种品牌汽车的销量y()之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：经计算得经验回归方程y＝b x＋a的斜率为0.7，若投入宣传费用为8万元，则该品牌汽车销量的预报值为________万辆．16．已知(ax－1)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020(a>0)，得a0＝________．若(a0＋a2＋…＋a2020)2－(a1＋a3＋…＋a2019)2＝1，则a＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为32. (1)求n 的值；(2)求展开式中x 4的系数．18．(本小题满分12分)生男生女都一样，女儿也是传后人，由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列2×2列联表：(2)附：χ2＝n2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d).19．(本小题满分12分)据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A.为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．(1)假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；(2)在概率中，我们把发生概率非常小(一般以小于0.05为标准)的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049.20．(本小题满分12分)在全国科技创新大会上，主席指出为建设世界科技强国而奋斗．某科技公司响应号召基于领先技术的支持，不断创新完善，业内预测月纯利润在短期内逐月攀升．该公司在第1个月至第9个月的月纯利润y(单位：万元)关于月份x 的数据如表：(2)请预测第12个月的纯利润． 附：经验回归的方程是：y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －i ＝1n（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.参考数据：∑i ＝19x i y i ＝1002，i ＝19(x i －x －)2＝60.21．(本小题满分12分)1933年7月11日，中华苏维埃某某国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日，中华人民某某国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节，为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．(1)求A 恰好答对两个问题的概率； (2)求B 恰好答对两个问题的概率；(3)设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．22．(本小题满分12分)某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下：模型①：y ^＝4.1x ＋11.8；模型②：y ^＝21.3x －14.4；当x>16时，确定y 与x 满足的经验回归方程为：y ^＝－0.7x ＋a.(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x ≤16时模型①、②的相关指数R 2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．(附：刻画回归效果的相关指数R 2＝1－i ＝1n（y i －y ^i ）2i ＝1n（y i －y －）2.)(2)为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小．(附：用最小二乘法求经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y －∑i ＝1n x 2i －n x －2＝i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）i ＝1n（x i －x －）2；a ^＝y －－b ^x －)(3)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X 大幅提高，X 服从正态分布N(0.52，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望．(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827， P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9545.)模块质量检测1．解析：根据变量x 与y 满足关系y ＝0.8x ＋9.6可知，变量x 与y 正相关；再由变量y 与z 负相关知，变量x 与z 负相关．故选B .答案：B2．解析：甲独自去一个景点有3种，乙、丙有2×2＝4种，则B “甲独自去一个景点”，共有3×4＝12种，A “三个人去的景点不相同”，共有3×2×1＝6种，概率P(A|B)＝612 ＝12 .故选C .答案：C3．解析：∵数学成绩ξ服从正态分布N(75，σ2)，则正态分布曲线的对称轴方程为x ＝75，又P(60<ξ<90)＝0.8，∴P(ξ≥90)＝12 [1－P(60<ξ<90)]＝12(1－0.8)＝0.1.故选D .答案：D4．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8 x8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r＝(－1)r C r 8 x 8－4r3，令8－4r 3＝0，解得r ＝6，∴二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 8展开式中的常数项为(－1)6C 68＝28.故选A .答案：A5．解析：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：1－13 －16 ＝12.所以随机变量X 的期望为：1×13 ＋2×16 ＋3×12 ＝136 .故选C .答案：C6．解析：根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，有C 36 A 33 ＝120种排法；②将剩下的3人全排列，安排在第二排，有A 33 ＝6种排法； 则有120×6＝720种不同的排法；故选B . 答案：B7．解析：χ2＝105（10×30－20×45）255×50×30×75 ≈6.109∈(5.024，6.635)所以这种推断犯错误的概率不超过0.025，故选A . 答案：A8．解析：设这个球落入④号球槽为时间A ，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，所以P(A)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 ＝516 .故选D .答案：D9．解析：对于A ，在残差图中，残差点比较均匀的分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，选项正确；对于B ，经验回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，选项错误；对于C ，D(Y)＝D(2X －1)＝22D(X)＝4×1＝4，选项正确；对于D ，随机变量X ～N(μ，7)，若P(X<2)＝P(X>4)，则μ＝2＋42＝3，选项正确；综上可得，正确的选项为A ，C ，D ，故选ACD . 答案：ACD10．解析：A 可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A 正确；B 用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大说明拟合效果越好，故B 错误；C 在经验回归方程y ^ ＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均增加0.2个单位，故C 正确；D 若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.946 2，r 的绝对值趋向于1，则变量y 和x 之间的负相关很强，故D 正确．故选ACD .答案：ACD11．解析：设X ＝(x 1，x 2，x 3，…，x n )，数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4， 即E(2X ＋1)＝7，D(2X ＋1)＝4， 由离散型随机变量均值公式可得E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝7，所以E(X)＝3，因而3x 1＋2，3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ＝E(3X ＋2)＝3E(X)＋2＝3×3＋2＝11；由离散型随机变量的方差公式可得 D(2X ＋1)＝4D(X)＝4，所以D(X)＝1，因而3x 1＋2，3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x n ＋2的方差为b ＝D(3X ＋2)＝9D(X)＝9，故选BD .答案：BD12．解析：对于选项A ：若C 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有24＝16种，若C 企业派1名医生则有C 14 ·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有C 24 C 12 C 11A 22·A 33 ＝36种．对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，若甲企业分2人，则有A 33 ＝6种；若甲企业分1人，则有C 23 C 11 A 22 ＝6种，所以共有6＋6＝12种．对于选项D ：所有不同分派方案共有34种．故选ABC .答案：ABC13．解析：因为随机变量X ～N(1，σ2)，P(X>2)＝0.2，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.2，因此P(X>0)＝1－P(X ≤0)＝1－0.2＝0.8.答案：0.814．解析：由题意可得：16 ＋p ＋13 ＝1，解得p ＝12 ，因为E(X)＝2，所以：0×16 ＋2×12 ＋a ×13＝2，解得a ＝3. D(X)＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1. D(2X －3)＝4D(X)＝4. 答案：415．解析：由题意可得x － ＝3＋4＋5＋64 ＝4.5；y － ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5；经验回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的斜率为0.7，可得y ^ ＝0.7x ＋a ^，所以3.5＝0.7×4.5＋a ^ ，可得a ^ ＝0.35，经验回归方程为：y ^＝0.7x ＋0.35，投入宣传费用为8万元，则该品牌汽车销量的预报值为：0.7×8＋0.35＝5.95(万辆). 答案：5.9516．解析：已知(ax －1)2 020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 020x 2 020(a>0)， 令x ＝0，可得a 0＝1.令x ＝1得，(a －1)2 020＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020，令x ＝－1得，(－a －1)2 020＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 020，而(a 0＋a 2＋…＋a 2 020)2－(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 020)＝(a －1)2 020(－a －1)2 020＝[(a －1)(－a －1)]2 020＝(a 2－1)2 020＝1，解得a ＝2 (负值和0舍).答案：1217．解析：(1)由题意可得，2n ＝32，解得n ＝5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5 ， 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5 x10－3r . 由10－3r ＝4，得r ＝2. ∴展开式中x 4的系数为C 25 ＝10.18．解析：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105. 2×2列联表如下：(2)由2×2列联表得：χ2＝200（60×55－45×40）2105×95×100×100 ＝600133≈4.511>3.841＝x 0.05故在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为是否生二孩与头胎的男女情况有关． 19．解析：(1)假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质A 的概率p ＝0.1.抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A 的概率P ＝1－(1－0.1)5＝0.409 51；(2)在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A 的概率为C 35 ·(0.1)3·(0.9)2＝0.0081<0.05.说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A 是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，说明“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A ”的估计是错误的．20．解析：(1)x －＝19 (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，y － ＝19(13＋14＋17＋18＋19＋23＋24＋25＋27)＝20.b ^ ＝∑i ＝19x i y i －9x － y－∑i ＝19（x i －x －）2＝1 002－9×5×2060＝1.7.a ^＝y －－b ^x －＝20－1.7×5＝11.5.∴y 关于x 的经验回归方程为y ＝1.7x ＋11.5； (2)由y ＝1.7x ＋11.5，取x ＝12， 得y ＝1.7×12＋11.5＝31.9(万元). 故预测第12个月的纯利润为31.9万元．21．解析：(1)A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． A 恰好答对两个问题的概率为：P 1＝C 24 C 12C 36＝35.(2)B 恰好答对两个问题的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49. (3)X 所有可能的取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 14 C 22 C 36 ＝15；P (X ＝2)＝C 24 C 12 C 36 ＝35；P (X ＝3)＝C 34 C 02 C 36＝15.所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (Y )＝3×23＝2.D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定， 所以选择投票给学生A .22．解析：(1)由表格中的数据，有182.4>79.2，即182.4∑i ＝17（y i －y －）2>79.2∑i ＝17（y i －y －）2，所以模型①的R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 所以当x ＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为： y ^＝21.3×16 －14.4＝70.8(亿元).(2)由已知可得：x －－20＝1＋2＋3＋4＋55＝3，∴x － ＝23，y －－60＝8.5＋8＋7.5＋6＋65 ＝7.2，∴y －＝67.2，∴a ＝y － ＋0.7x －＝67.2＋0.7×23＝83.3， ∴当x>16亿元时，y 与x 满足的经验回归方程为： y ^＝－0.7x ＋83.3，∴当x ＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值 y ^＝－0.7×20＋83.3＝69.3，∴当x ＝20亿元时，实际收益的预测值为 69．3＋10＝79.3亿元>70.8亿元，∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大． (3)∵P(0.52－0.02<X<0.52＋0.02)＝0.954 5， P(X>0.50)＝1＋0.954 52 ＝0.977 25，P(X ≤0.5)＝1－0.954 52 ＝0.022 75，∵P(0.52－0.1<X<0.52＋0.1)＝0.682 7， ∴P(X>0.53)＝1－0.682 72＝0.158 65，∴P(0.50<X ≤0.53)＝0.977 25－0.158 65＝0.818 6， 设每台发动机获得的奖励为Y(万元)，则Y 的分布列为：∴每台发动机获得奖励的数学期望E(Y)＝0×0.022 75＋2×0.818 6＋4×0.158 65＝2.271 8(万元).。
2021-2022年高中数学综合测试新人教A版必修3在本模块中，学生将学习算法初步、统计、概率。
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。
因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。
学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。
内容与要求1. 算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
三排列数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)=2,则m的值为( )【解析】选A.根据题意,若=2,则有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m(m-1)(m-2), 即(m-3)(m-4)=2,解可得:m=5(m=2舍去).2.若6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为( )【解析】选C.此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数,即==720.=( )【解析】选D.=7×6×,=6×,所以原式==36.4.由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数中是5的倍数的有( )【解析】选C.因为5的倍数的特征是个位数字为5或0,所以按照个位数字分为两类:当个位数字为5时,首位数字从1,2,3,4中选一个,十位数字从0及余下的3个数字中选一个,所以有4×4=16个;当个位数字为0时,前面两位数字从1,2,3,4,5中选2个排列,所以有=5×4=20个,所以所求的三位数有16+20=36个.5.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有种( )A. B.C. D.【解析】选D.采用捆绑法和插空法;从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是种.综上所述,不同的排法共有种.6.10个人排队,其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法有( )A.种B.-种C.种D.种【解析】选C.因为10个人排成一排,其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排,所以采用插空法来解,另外六人,有种结果,再在排列好的六人的七个空隙里,排列甲、乙、丙、丁,有种结果,根据分步乘法计数原理知共有种.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在学校国庆文艺晚会上,有三对教师夫妇参加表演节目,要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求,男教师的节目不能相邻,且夫妻教师的节目也不能相邻,则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有种.(用数字填写答案)【解析】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1,2,3,4,5,6,则3名男教师只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)共4种位置安排,由于夫妻教师的节目又不能相邻,可得以上4种安排的每种安排里,3名女教师的安排均是1种,故该6名教师的节目不同的编排顺序共有4=24种.答案:248.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,可有种不同的排法.(2)如果女生必须全分开,有种不同的排法.【解析】(1)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有六个元素,排成一排有种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有种排法,因此共有·=4 320种不同排法.(2)先排5个男生,有种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有种排法,因此共有·=14 400种不同排法.答案:(1)4 320 (2)14 400三、解答题(每小题10分,共20分)9.七名班委中有A,B,C三人,有七种不同的职务,现对七名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长只能从A,B,C三人中选两人担任,有多少种分工方案?(2)若正、副班长至少要选A,B,C三人中的一人担任,有多少种分工方案?【解析】(1)先排正、副班长有种方案,再安排其余职务有种方案,依分步乘法计数原理知,共有=720种分工方案.(2)七人中任意分工方案有种,A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有-=3 600(种).10.用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面两个小题.(1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数?(2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共有多少条?【解析】(1)当末位数字是0时,百位数字有4个选择,共有4=96(个);当末位数字是5,首位数字是3时,共有=24(个);当末位数字是5时,首位数字是1或2或4时,共有3×3×=54(个);故共有96+24+54=174(个).(2)a,b中有一个取0时,有2条;a,b都不取0时,有=20(条);a=1,b=2与a=2,b=4重复;a=2,b=1,与a=4,b=2重复.故共有2+20-2=20(条).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.3位数学家,4位物理学家,站成两排照相.其中前排3人后排4人,要求数学家要相邻,则不同的排队方法共有( )【解析】选D.第一类:3位数学家相邻在前排有种;第二类:三位数学家相邻在后排,先从4位物理学家中选3位排在前排有种,将3位数学家合一,与剩下的一名物理学家在后排排列有种,3位数学家再排有种,此类共有种,综上共有+=432(种).2.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有一个小球,且每个盒子里的小球个数都不相同,则不同的放法有( )【解析】选B.每个盒子先放一个球,用去3个球,则不同放法就是剩余6个球的放法;有两类:第一,6个球分成1,5或2,4两组,共有2=12种方法;第二,6个球分成1,2,3三组,有=6种方法.所以不同放法共有12+6=18(种).3.(多选题)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有( )A.若A,B两人站在一起有24种方法B.若A,B不相邻共有72种方法D.若A不站在最左边,B不站最右边,有78种方法【解析】选BCD.对于A,先将A,B排列,再看成一个元素,和剩余的3人,一共4个元素进行全排列,由分步乘法计数原理可知共有=48种,所以A不正确;对于B,先将A,B之外的3人全排列,产生4个空,再将A,B两元素插空,所以共有=72(种),所以B正确;对于C,5人全排列,而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的,所以A在B的左边的排法有=60种,所以C正确;对于D,对A分两种情况:一是若A站在最右边,则剩下的4人全排列有种,另一个是A不在最左边也不在最右边,则A从中间的3个位置中任选1个,然后B从除最右边的3个位置中任选1个,最后剩下3人全排列即可,由分类加法计数原理可知共有+=78(种),所以D正确.4.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词.在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )【解析】选B.根据题意分2步进行分析:①将《将进酒》《望岳》和另外两首诗词全排列,则有=24种顺序,因为《将进酒》排在《望岳》的前面,所以这4首诗词的排法有=12种.②这4首诗词排好后,不含最后,有4个空位,在4个空位中任选2个,安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,有=12种安排方法,则后六场的排法有12×12=144种.二、填空题(每小题5分,共20分)5.首届中国国际进口博览会在某某举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动.若甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有种;若甲参加2天,其中1天是第一天,其他人参加1天,则不同的安排方法有种.(用数字作答)【解析】在5天里,连续2天的情况,一共有4种,剩下的3人全排列有种,故一共有4×=24(种);若甲参加第一天和剩下4天当中的一天,则等价于4人选择4天的全排列,有种,即24种.答案:24 246.现有完全相同的物理书4本,语文、数学、英语书各1本,把这7本书摆在书架的同一层,要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻,则共有种摆法(用数字作答)【解析】第一类,把物理书看作1本,和另外三本书全排即可,即=24种,第二类,把4本物理书分每两本组合在一起,把语文、数学、英语排好,有=6种排列,将每两本物理书插入到所形成的空中,即有=36种,由分类加法计数原理可得共有24+36=60(种).答案:607.5位同学排队演出,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相邻,且女生甲不能排在第一位,则排法种数为.【解析】若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,有2×3×=36种排法;若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2位女生排列好,2位男生插空,有2××=24种排法.故所有的排法种数为36+24=60.答案:608.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的6位自然数.若要求相邻两个数字奇偶性不同,则可以组成个.(用数字作答)【解析】用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的6位自然数,若首位为偶数,则首位不为0,有2××=24(个),若首位为奇数,则有:×=36(个);故共有24+36=60(个).答案:60三、解答题(每小题10分,共30分)×100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?(1)甲、乙两人必须入选且跑中间两棒;(2)甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.【解析】(1)因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒,所以可分两步,第一步,排甲、乙两人,有=2种排法;第二步,从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒,有=12种排法,所以共有2×12=24种排法.(2)以乙跑不跑第一棒分成两类:第一类,乙跑第一棒,有=60种排法;第二类,乙不跑第一棒,有=192种排法,所以共有60+192=252种排法.10.在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答) (1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?(2)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的排法?(甲、乙、丙三位同学身高互不相等)(3)现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?【解析】(1)根据题意,分2种情况讨论:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有=720种情况,②女生甲不站在右端,甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有=120种站法,则此时有5×5×120=3 000种站法,则一共有+5×5×=720+3 000=3 720种站法.(2)根据题意,首先把7名同学全排列,共有种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有=6种结果,要使甲、乙、丙三个人按照一个高矮顺序排列,结果数只占6种结果中的一种,则有=840(种).(3)根据题意,恰好有两个空座位相邻分2种情况:①两个相邻空座位在两边,1、2或6、7上,第三个空座有4种选择;②两个相邻空座位在中间,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一个,第三个空位有3种选择,4个男生全排列有=24种坐法,共(2×4+4×3)×24=480种坐法.11.从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种?(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种?(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种?(4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种?【解析】(1)方法一:把元素作为研究对象.第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上,有种排法. 第二类,含有甲,甲不在首位.先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有4×种排法.由分类加法计数原理知,共有+4×=2 160(种)排法.方法二:把位置作为研究对象.第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种方法;第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法. 由分步乘法计数原理知,共有·=2 160(种)排法.方法三:(间接法):先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉.不考虑甲在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种,所以符合要求的排法有-=2 160(种).(2)把位置作为研究对象,先考虑特殊位置.第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末两个位置上,有种方法;第二步,从未排上的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种方法.根据分步乘法计数原理,共有·=1 800(种)方法.(3)把位置作为研究对象.word文档第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种方法;第二步,从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种方法.根据分步乘法计数原理,共有·=1 200(种)方法.(4)间接法.总的排法是种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法.注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需加上种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法.- 11 - / 11。
第七章随机变量及其分布（单元测试）考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A．110B．13C．14D．23需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：万元，从年均收益的角度分析：（）A．不更换设备B．更换为A设备C．更换为B设备D．更换为A或B设备均可【答案】C【分析】根据随机变量分布列分别计算出A、B品牌设备使用年限的平均值，从而可计算出各自的年均收益，进而可进行判断【详解】设更换为A品牌设备使用年限为X，则()20.430.340.250.13E X=⨯+⨯+⨯+⨯=年，更换为A品牌设备年均收益为310060240⨯-=万元；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则()20.130.340.450.2 3.7E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=年，更换为B品牌设备年均收益为3.710090260⨯-=万元．所以更换为B 品牌设备，3．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（ ）A ．112B ．143144C ．1172D ．231444．已知随机变量X 服从正态分布,N ，若151P X P X ≥-+≥=，则（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【详解】随机变量(P X ≥-(5P X ∴≥5．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.93205若，则D X =（）A ．0.49 B ．0.69C ．1D ．27．已知某种产品的合格率是9，合格品中的一级品率是5.则这种产品的一级品率为（ ）A ．2845B ．3536C ．45D ．23A ．有最大值，()X 有最大值B ．()E X 有最大值，()D X 无最大值C ．()E X 无最大值，()D X 有最大值 D ．()E X 无最大值，()D X 无最大值或者多项是符合题目要求的.9．设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量31Y X =-+，且，则（ ） A ．0.1m = B ．0.1n =C ．()8E Y =-D ．()7.8D Y =-【答案】BC【分析】先由()3E X =可得40.7m n +=，再由概率和为1得0.4m n +=，从而可求出,m n 的值，再利用期望和方差公式求()E Y ，()D Y 即可，从而可得答案【详解】由()120.130.2450.33E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=得40.7m n +=，又由0.10.20.31m n ++++=得0.4m n +=，从而得0.3m =，0.1n =，故A 选项错误，B 选项正确； ()()318E Y E X =-+=-，故C 选项正确；因为()()()()()22220.3130.1230.1430.353 2.6D X =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，所以()D Y =()()2323.4D X -=，故D 选项错误，10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布211(,)N μσ，222(,)N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈. A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587子里随机取出()16,N*n n n ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球。
必修3综合模块测试（人教A 版必修3）一、选择题（共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、下列问题的算法适宜用条件结构表示的是（ ） A ．求点)5,2(P 到直线:l 0123=+-y x 的距离 B ．由直角三角形的两条直角边求斜边 C ．解不等式0>+b ax （其中0≠a ） D ．计算100个数的平均数2、右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、 B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．153、设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。
黄金矩形常应用于工艺品设计中。
下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ） A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定4、某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内位（ ）A.?4>kB.?5>kC.?6>kD.?7>k 5、某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样6、有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.457、下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率。
其中错误的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ） A ．0.9，35 B ．0.9，45 C ．0.1，35 D ．0.1，459、将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A ．70B ．140C ．280D ．840 10、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ）A ．19B ．112C ．115D ．11811、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种12、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A.41B ．12079 C ．43D.2423 二、填空题（每小题5分，共20分）13、甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列秒的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_______和_________。
14、ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为_________。
15、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________16、某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是_________(用数字作答)． 三、解答题17、（本题满分10分）设计一个算法，根据输入x 的值，计算⎩⎨⎧<-≥-=131113x x x x y 的值，写其程序并画出其流程图。
18、（本题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（1）求x,y ；（2）若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率。
19、（本题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据x 3 4 5 6 y 2.5 344.5(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 20、（本题满分12分）某市2011年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,(Ⅰ) 完成频率分布表；（Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.21、（本题满分12分）有编号为1A,2A, (10)A的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。
（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。
22、（本题满分12分）设有关于x的一元二次方程2220x ax b++=．（Ⅰ）若a是从0123，，，四个数中任取的一个数，b是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
（Ⅱ）若a是从区间[03]，任取的一个数，b是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．参考答案一、选择题CCAAD；BCAAB；CC二、填空题13、24，23；14、41π-；15、63；16、266三、解答题17、解：本题算法的程序如下：Input xyxyElsexythenxIfintPr31131-=-=≥End……………………………5分流程图如下：…………………10分18、19、解： (1)如下图……………4分(2)y x ini i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5x =46543+++=4.5 y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i 12=32+42+52+62=86………6分266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35aY bX =-=-⨯= 故线性回归方程为y=0.7x+0.35……………10分(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)…………12分 20、解：（1）首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。
频率分布表与频率分布直方图各4分。
(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可：本问4分。
（1）该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115，有26天处于良的水平，占当月天数的1315，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415。
说明该市空气质量基本良好。
（2）轻微污染有2天，占当月天数的115。
污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善。
21、（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P （A ）=610=35.…………4分（Ⅱ）（i ）解：一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A .从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{}{}{}121314,,,,,A A A A A A ,{}{}1516,,,A A A A ,{}23,A A ,{}{}2425,,,A A A A ,{}{}{}263435,,,,,A A A A A A ,{}{}{}364546,,,,,A A A A A A ,{}56,A A 共有15种.………………8分 (ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}{}{}141646,,,,,A A A A A A ，{}{}{}232535,,,,,A A A A A A ，共有6种.所以P(B)=62155=.……………12分 22．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．………3分 （Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b 的取值．………………5分 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．……………6分（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．……………8分 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．……………10分所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．………………12分。
