2021年高中数学人教A版必修3综合测试题含答案 8

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为()A．0.95 B．0.7C．0.35D．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥大事，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立大事，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．总体容量为203，若接受系统抽样法进行抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体()A．4 B．5 C．6 D．7解析：由于203＝7×29，即203在四个选项中只能被7整除，故间隔为7时不需剔除个体．答案：D3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1，当x＝3的值时，先算的是()A．3×3＝9 B．0.5×35＝121.5C．0.5×3＋4＝5.5 D．(0.5×3＋4)×3＝16.5解析：按递推方法，从里到外先算0.5x＋4的值．答案：C4.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为()A．6 B．8C．10 D．14解析：由甲组数据的众数为14得x＝y＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C5．已知回归直线的斜率的估量值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为()A.y^＝1.23x＋0.08 B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋4 D.y^＝0.08x＋1.23解析：设回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝1.23，由于回归直线必过样本点的中心，代入点(4，5)得a^＝0.08.所以回归直线方程为y^＝1.23x＋0.08.答案：A6．如图所示是计算函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，x≤－1，0，－1<x≤2，x2，x>2的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－x D ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2解析：框图为求分段函数的函数值，当x ≤－1时，y ＝－x ，故①y ＝－x ，当－1<x ≤2时，y ＝0，故③为y ＝0，那么②y ＝x 2.答案：B7．已知样本3，5，7，4，6，则该样本的标准差为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由于x －＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，所以s ＝ 15×[（3－5）2＋…＋（6－5）2] ＝ 15×（4＋0＋4＋1＋1） ＝ 2. 答案：B8．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则推断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5? 解析：依据题意可知该程序运行状况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此推断框应当是“i >6？”． 答案：A9．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值． ②一次试验中不同的基本大事不行能同时发生． ③任意大事A 发生的概率P (A )总满足0<P (A )<1. ④若大事A 的概率为0，则大事A 是不行能大事．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：不行能大事的概率为0，但概率为0的大事不肯定是不行能大事，如几何概型中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不行能大事，所以④不对；不同的基本大事是彼此互斥的，在同一次试验中不行能同时发生，故②正确；任意大事A 发生的概率P (A )满足0≤P (A )≤1，由于③错误；由概率和频率的关系知①正确．所以选C.答案：C10．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4.答案：C11．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自其次层开头在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )A.19B.29C.49D.89解析：法一：设2个人分别在x 层，y 层离开，则记为(x ，y )．基本大事构成集合Ω＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，…，(2，10)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，…，(3，10)，(10，2)，(10，3)，(10，4)，…，(10，10)}，所以除了(2，2)，(3，3)，(4，4)，…，(10，10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P ＝9×9－99×9＝89.法二：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为19，故不在这一层离开的概率为89.答案：D12．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95解析：样本数据在[8，10)之外的频率为(0.02＋0.05＋0.09＋0.15)×2＝0.62，所以样本数据在[8，10)内的频率为1－0.62＝0.38，所以样本数据在[8，10)内的频数为0.38×200＝76.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．解析：甲组中应抽取的城市数为624×4＝1(个)．答案：114．一个长为2 m 、宽为1 m 的矩形纱窗，由于某种缘由，纱窗上有一个半径为10 cm 的圆形小孔，一只蚊子任凭撞到纱窗上，那么它恰好飞进屋的概率为________．解析：这是一个几何概型问题，P ＝π·0.122×1＝0.005π.答案：0.005π15．(2022·山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．解析：由x 2－4x ＋3≤0，解得1≤x ≤3. 当x ＝1时，满足1≤x ≤3， 所以x ＝1＋1＝2，n ＝0＋1＝1； 当x ＝2时，满足1≤x ≤3， 所以x ＝2＋1＝3，n ＝1＋1＝2； 当x ＝3时，满足1≤x ≤3，所以x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3；当x ＝4时，不满足1≤x ≤3，所以输出n ＝3. 答案：316．甲、乙两个人玩一转盘玩耍(转盘如图①，“C 为弧AB 的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC 时甲胜，指向圆弧BC 时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD ，取AD 中点E ，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 时甲胜，指向线段ED 时乙胜．然后连续玩耍，你觉得此时玩耍还公正吗？答案：________，由于P 甲________P 乙(填“<”，“>”或“＝”)．解析：连接OE ，在直角三角形AOD 中，∠AOE ＝π6，∠DOE ＝π3，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 的概率是：π6÷π2＝13，指针指向线段ED 的概率是：π3÷π2＝23，所以乙胜的概率大，即这个玩耍不公正． 答案：不公正 <三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：类别 文艺节目新闻节目总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁152742总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，则大于40岁的观众应当抽取几名？解：(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．(2)27×545＝3(名)，所以大于40岁的观众应抽取3名．18．(本小题满分12分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓状况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题状况如下表所示．(1)假如出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓状况比较好，试估量该公司的出租车司机对新法规知晓状况比较好的概率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．答对题目数[0，8)8910女213128男337169解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为大事A，P(A)＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A，B，C，D，E，其中A，B为女司机，任选出2人包含AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种状况，至少有一名女出租车司机的大事为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，共7种．记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为大事M，则P(M)＝710＝0.7.19．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：零件的个数x/个234 5加工的时间y/h 2.534 4.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；第19题图(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试猜测加工10个零件需要多少时间？解：(1)散点图如图：(2)由表中数据得：代入公式得b ^＝0.7，a ^＝1.05， 所以y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)． 所以猜测加工10个零件需要8.05 h.20．(本小题满分12分)(2021·广东卷)某工厂36名工人的年龄数据如下表．抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以全部样本数据的编号为4n －2(n ＝1，2，…，9)， 其年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37. (2)由均值公式知：x －＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)由于s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －－s 和x －＋s 之间的人数等于年龄在区间[37，43]上的人数，即40，40，41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －－s 和x －＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.21．(本小题满分12分)(2021·四川卷)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们依据座位号从小到大的挨次先后上车．乘客P 1因身体缘由没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规章就座：假如自己的座位空着，就只能坐自己的座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规章就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；乘客P1P 2P3P4P5座位号32145 32451(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规章就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．解：(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241 532541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规章就坐，则全部可能的坐法可用下表表示：乘客P1P2P3P4P5座位号2134 52314 52341 52345 12354 12431 52435 125341于是，全部可能的坐法共8种．设“乘客P5坐到5号座位”为大事A，则大事A中的基本大事的个数为4，所以P(A)＝48＝12.即乘客P5坐到5号座位的概率是12.22．(本小题满分12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组“低碳族”的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6其次组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45) a 0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中接受分层抽样的方法抽取6人参与户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)其次组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝2000.2＝1 000.由于其次组的频率为0.3，所以其次组的人数为1 000×0.3＝300，所以p＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a＝150×0.4＝60.(2)由于年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以接受分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a，b，c，d，[45，50)中的2人为m，n，则选取2人作为领队的状况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种，其中恰有1人年龄在[40，45)岁的状况有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P＝815.。

第六章 计数原理 章末综合训练一、选择题1. 若 100 件产品中有 6 件次品．现从中任取 3 件产品，则至少有 1 件次品的不同取法的种数是 ( )A ． C 61C 942B ．C 61C 992 C ． C 1003−C 943D ． C 1003−C 9422. 从 5 件不同的礼物中选出 3 件分别送给了 3 位同学，不同方法的种数是 ( )A ． A 53B ．C 53 C ． 35D ． 53 3. 从 1，2，3，4，5 五个数中任取 3 个，可组成不同的等差数列的个数为 ( ) A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8 4. 把 (√3i −x)10 按二项式定理展开，展开式的第 8 项的系数是 ( )A ． 135B ． −135C ． −360√3iD ． 360√3i5. 从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同的工作，若乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案有 ( )A ． 36 种B ． 12 种C ． 18 种D ． 24 种 6. 在 (x +2y )7 的展开式中，系数最大的项是 ( )A ． 68y 7B ． 112x 3y 4C ． 672x 2y 5D ． 1344x 2y 57. 1−90C 101+902C 102−903C 103+⋯+9010C 1010 除以 88 的余数是 ( ) A ． 2 B ． 1 C ． 86 D ． 878. 如果一个三位正整数如" a 1a 2a 3 "满足 a 1<a 2，且 a 2>a 3，则称这样的三位数为凸数（如 120，343，275 等)，那么所有凸数的个数为 ( )A ．240B ．204C ．729D ．920二、填空题9. 某搬运工不慎将 4 件次品与 6 件正品混在一起，由于产品外观一样，需要用仪器对产品一一检测，直至找到所有次品为止，若至多检测 6 次就能找到所有次品，则不同的检测方法共有 种．10. 设 n ∈N ∗，若 (2+√x)n的二项展开式中，有理项的系数之和为 29525，则 n = ．11. 若 (x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则 a 0+a 2+a 4 的值为 ．12. 已知 (x −λ)2n =a 0x 2n +a 1x 2n−1+a 2x 2n−2+⋯+a 2n−2x 2+a 2n−1x +a 2n ，其中 n ∈N ∗，实数λ 为非零常数，设 A =a 0+a 2+⋯+a 2n−2+a 2n ，B =a 1+a 3+⋯+a 2n−1，若 A +B =(A −B )2，则实数 λ 的值为 ．三、多选题13.下列结论正确的是( )A．3个孩子，4把椅子，让孩子都坐下，有24种方法（每把椅子只坐一个孩子）B．3个孩子，4间屋子，让孩子都进屋，有81种结果（每个屋子可以进多个孩子）C．3朵花，4个孩子，把花分给孩子，每人至多一朵，不区分花，有4种分法D．3朵花，4个孩子，把花分给孩子，不区分花，有20种分法14.下列关系中，能成立的是( )A．C n m=mn C n−1m−1B．Cnm=n!(n−m)!m!C．m!=A n mC n m D．A n m+mA n m−1=A n+1m15.对于(1x2+x5)n(n∈N+)，下列判断正确的是( )A．对任意n∈N+，展开式中有常数项B．存在n∈N+，展开式中有常数项C．对任意n∈N+，展开式中不含x项D．存在n∈N+，展开式中含x项16.下列结论正确的是( )A．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种B．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有140种C．某天上午要排语文、数学、体育、计算机4节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有18种D．某天上午要排语文、数学、体育、计算机4节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有36种四、解答题17.已知x满足等式C16x2−x=C165x−5，求A9x的值．18.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有多少种？19.某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人．(1) 每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法？(2) 选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？20.在二项式(√x3−)n的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．求：(1) 展开式中的第4项．(2) 展开式中各项的二项式系数之和与各项的系数之和．21.已知(x2−3x+2)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10．求：(1) a0+a1+a2+⋯+a10；(2) (a0+a2+a4+a6+a8+a10)2−(a1+a3+a5+a7+a9)2．22.已知(1+x2)n展开式中的n+1项按x的升幂排列依次为f1(x)，f2(x)，f3(x)，⋯，f n(x)，f n+1(x)．(1) 若f2(2)=8,求n值；(2) 记a k=2k f k(2)(k=1,2,⋯,n+1)，求和S n+1=a1+a2+⋯+a n+a n+1．。

7.3.2离散型随机变量的方差基础过关练题组一离散型随机变量的方差与标准差1.(2020广东佛山顺德一中高二下期末)已知离散型随机变量X的分布列如下,则D(X)=( )X 0 2 4P 141214A.1B.2C.3D.42.(2020广东实验中学南海学校高二下期中)已知随机变量X的分布列如下表,则X的标准差为( )X 1 3 5P 0.4 0.1 xA.3.56B.√3.2C.3.2D.√3.563.(2020山东临沂罗庄第一中学高二下期中)编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为( )A.√2B.√22C.12D.14.(多选)已知离散型随机变量X 的分布列如下表,则( )X -1 0 1 P121316A.P(X=0)=13B.E(X)=-13C.D(X)=2327D.D(X 2)=295.(2020天津静海第一中学高二期中)随机变量X 的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)= .题组二 离散型随机变量的方差的性质6.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下阶段检测)已知随机变量Y,X 之间的关系为Y=2X+3,且D(X)=7,则D(Y)=( ) A.7 B.17 C.28 D.637.若随机变量X 满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列结论正确的是( ) A.E(X)=72,D(X)=132B.E(X)=2,D(X)=4C.E(X)=2,D(X)=8D.E(X)=74,D(X)=88.(2020海南海口四中高三上月考)已知随机变量X 的分布列为X 0 1 x P12 13 pE(X)=23.(1)求D(X);(2)若Y=3X-2,求D(Y).题组三 均值与方差的简单应用9.若X 是离散型随机变量,P(X=x 1)=23,P(X=x 2)=13,且x 1<x 2,已知E(X)=43,D(X)=29,则x 1+x 2的值为( ) A.53B.73C.3D.11310.(2019山东枣庄高二下期末)已知随机变量X 的分布列如下表,若E(X)=1,D(2X+1)=2,则p=( )X 0 a 2 P 12-p 12pA.13B.14C.15D.1611.(2019山东菏泽鄄城一中高二下月考)有三张形状、大小、质地完全相同的卡片,在卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,将其上数字记作y,令X=xy.求: (1)X 的分布列; (2)X 的数学期望与方差.能力提升练题组一离散型随机变量的方差1.()随机变量X的分布列如下表,其中a,b,c成等差数列,则D(X)的最大值为( )X 1 2 3P a b cA.29B.59C.34D.232.(多选)(2020河南顶级名校高三联考,)已知随机变量X的分布列如下表,则下列说法正确的是( )X x yP y xA.存在x,y∈(0,1),E(X)>12B.对任意x,y∈(0,1),E(X)≤12C.对任意x,y∈(0,1),D(X)≤E(X)D.存在x,y∈(0,1),D(X)>143.(2020山东德州高三上期末,)随机变量X 的可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)= . 4.(原创)()已知随机变量X 的分布列如下:X 0 1 2 Pabc在①a=b -c,②E(X)=1这两个条件中任选一个,并判断当a 在(0,12)内增大时,D(X)是否随着a 的增大而增大,请说明理由.题组二 离散型随机变量的均值与方差的应用 5.()如图,某工人的住所在A 处,上班的企业在D 处,开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到B,C,E,F,G 五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为15,12,14,13,16,此外再无别的路口会遇到红灯.(1)为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线?(2)对于(1)中所选择的路线,求其堵车次数的方差.6.(2019福建龙岩一级达标校高二下期末联考,)为回馈顾客,某购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励.规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球(球的大小、形状完全相同),球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元,其余3个所标的面值均为20元,求顾客所获的奖励额X的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是30 000元,并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成,或标有面值为15元和45元的两种球共同组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.提示:袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成,即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”.答案全解全析7.3.2 离散型随机变量的方差基础过关练1.B 由已知得E(X)=0×14+2×12+4×14=2,所以D(X)=(0-2)2×14+(2-2)2×12+(4-2)2×14=2.2.D 易知0.4+0.1+x=1,解得x=0.5, ∴E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56, ∴X 的标准差为√D (X )=√3.56. 故选D.3.D 由题意得X 的可能取值为0,1,3, P(X=0)=2A 33=13,P(X=1)=3A 33=12, P(X=3)=1A 33=16,∴E(X)=0×13+1×12+3×16=1,∴D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×16=1.故选D.4.ABD 由X 的分布列可知P(X=0)=13,所以A 正确;根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得,E(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以D(X)=(-1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59,所以B 正确,C 不正确;因为P(X 2=0)=13,P(X 2=1)=23,所以E(X 2)=23,所以D(X 2)=(0-23)2×13+(1-23)2×23=29,所以D 正确. 故选ABD.5.答案 12解析 P(X=0)=14,则P(X=1)+P(X=2)=34,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)=1,故P(X=1)=12,P(X=2)=14,所以D(X)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1)2=12.6.C ∵Y=2X+3,D(X)=7, ∴D(Y)=D(2X+3)=22D(X)=28. 故选C.7.B ∵E(2X+3)=2E(X)+3=7,D(2X+3)=4D(X)=16,∴E(X)=2,D(X)=4,故选B. 8.解析 (1)由题意可得12+13+p=1,解得p=16.又E(X)=0×12+1×13+x×16=23,∴x=2,∴D(X)=(0-23)2×12+(1-23)2×13+(2-23)2×16=59.(2)∵Y=3X -2,∴D(Y)=D(3X -2)=9D(X)=9×59=5.9.C ∵E(X)=43,D(X)=29,∴{23x 1+13x 2=43,23(x 1-43)2+13(x 2-43)2=29,解得{x 1=1,x 2=2,或{x 1=53,x 2=23(不合题意,舍), ∴x 1+x 2=3.10.B 由题意得,E(X)=0×(12-p)+a×12+2×p=1,∴a2+2p=1,①又知D(2X+1)=2,由方差的性质知,D(2X+1)=4D(X),∴D(X)=12,∴D(X)=(0-1)2×(12-p)+(a-1)2×12+(2-1)2×p=12,即a 2-2a+1=0,所以a=1.将a=1代入①式,得p=14.故选B.11.解析 (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,4,“X=0”是指两次取的卡片上的数字至少有一次为0,其概率P(X=0)=1-23×23=59,“X=1”是指两次取的卡片上的数字均为1,其概率P(X=1)=13×13=19,“X=2”是指两次取的卡片上一个数字为1,另一个数字为2,其概率P(X=2)=2×13×13=29,“X=4”是指两次取的卡片上的数字均为2,其概率P(X=4)=13×13=19.则X 的分布列为X 0 1 2 4 P591929 19(2)由(1)知,E(X)=0×59+1×19+2×29+4×19=1,所以D(X)=(0-1)2×59+(1-1)2×19+(2-1)2×29+(4-1)2×19=169.能力提升练1.D ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c, 又∵a+b+c=1, ∴b=13,c=23-a,0≤a≤23,∴E(X)=a+2b+3c=83-2a,则D(X)=[1-(83-2a)]2×a+[2-(83-2a)]2×13+[3-(83-2a)]2×(23-a)=-4a 2+83a+29=-4(a -13)2+23,又0≤a≤23,∴当a=13,即a=b=c=13时,D(X)取得最大值23.故选D.2.BC 依题意可得x+y=1,E(X)=2xy,又2xy≤(x+y )22=12,所以E(X)≤12,当且仅当x=y=12时取等号,∴A 错误,B 正确;D(X)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x 2y+(1-2x)2y 2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx, ∵0<x<1, ∴-1<2x-1<1, ∴0<(2x -1)2<1,∴D(X)<yx,即D(X)<12E(X),∴C 正确;∵D(X)=(1-2x)2yx<xy≤(x+y )24=14,当且仅当x=y=12时取等号. ∴D 错误. 故选BC. 3.答案 1解析 设P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8, 则P(X=1)=0.8-x,∴E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,∴D(X)=(x+0.8)2×0.2+(0.2-x)2×(0.8-x)+(1.2-x)2x=0.4, 解得x=0.2(x=1.2舍去), 因此,E(X)=0.2+0.8=1.4.解析 若选择①,则有{a +b +c =1,a =b -c ,可得b=12,则E(X)=b+2c=32-2a,所以D(X)=(2a -32)2a+(2a -12)2b+(2a +12)2c=-4a 2+2a+14=-4(a -14)2+12,所以当a∈(0,14)时,D(X)随着a 的增大而增大,当a∈(14,12)时,D(X)随着a 的增大而减小. 若选择②,则有{a +b +c =1,E (X )=b +2c =1,可得a=c,因此D(X)=a+c=2a,所以当a 在(0,12)内增大时,D(X)随着a 的增大而增大.5.解析 (1)设这位工人选择行驶路线A —B —C —D 、A —F —E —D 、A —B —G —E —D 时堵车的次数分别为X 1、X 2、X 3,则X 1、X 2的可能取值均为0,1,2,X 3的可能取值为0,1,2,3. P(X 1=0)=45×12=25,P(X 1=1)=15×12+45×12=12,P(X 1=2)=15×12=110,所以E(X 1)=0×25+1×12+2×110=710.P(X 2=0)=23×34=12,P(X 2=1)=13×34+23×14=512,P(X 2=2)=13×14=112,所以E(X 2)=0×12+1×512+2×112=712.P(X 3=0)=45×56×34=12,P(X 3=1)=15×56×34+45×16×34+45×56×14=47120,P(X 3=2)=45×16×14+15×56×14+15×16×34=110, P(X 3=3)=15×16×14=1120,所以E(X 3)=0×12+1×47120+2×110+3×1120=3760.综上,E(X 2)最小,所以这位工人应该选择行驶路线A —F —E —D.(2)由(1)知E(X 2)=712,P(X 2=0)=12,P(X 2=1)=512,P(X 2=2)=112,则D(X 2)=(0-712)2×12+(1-712)2×512+(2-712)2×112=59144,所以该条行驶路线堵车次数的方差为59144.6.解析 (1)由题意得随机变量X 的可能取值为40,60, P(X=40)=C 32C 42=12,P(X=60)=C 11C 31C 42=12.所以X 的分布列为X 40 60 P12 12所以顾客所获的奖励额的期望E(X)=40×12+60×12=50.(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为30 000÷500=60元, 所以可先寻找使期望为60的可能方案: ①当球标有的面值为20元和40元时,若选择“20,20,20,40”的面值设计,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60;若选择“40,40,40,20”的面值设计,因为60元是面值之和的最小值,所以期望不可能为60.因此可能的面值设计是选择“20,20,40,40”,设此方案中顾客所获的奖励额为X 1,则X 1的可能取值为40,60,80, P(X 1=40)=C 22C 42=16,P(X 1=60)=C 21C 21C 42=23,P(X 1=80)=C 22C 42=16.所以X 1的分布列为X 1 40 60 80 P162316所以E(X 1)=40×16+60×23+80×16=60.D(X 1)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.②当球标有的面值为15元和45元时,同理可排除“15,15,15,45”和“45,45,45,15”的面值设计,所以可能的面值设计是选择“15,15,45,45”,设此方案中顾客所获的奖励额为X 2,则X 2的可能取值为30,60,90, P(X 2=30)=C 22C 42=16,P(X 2=60)=C 21C 21C 42=23,P(X 2=90)=C 22C 42=16.所以X 2的分布列为X 2 30 60 90 P162316所以E(X 2)=30×16+60×23+90×16=60.D(X 2)=(30-60)2×16+(60-60)2×23+(90-60)2×16=300.因为E(X 1)=E(X 2)=60,D(X 1)<D(X 2), 所以两种方案奖励额的期望都符合要求,但面值设计方案为“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案为“15,15,45,45”的奖励额的方差小,所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”,即标有面值20元和面值40元的球各2个.。

模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( D )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.2．已知样本3,5,7,4,6，则该样本的标准差为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2解析：∵x ＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5， ∴s ＝15×[(3－5)2＋…＋(6－5)2] ＝15×(4＋0＋4＋1＋1)＝ 2.3．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20]内的频数为( B )A．20 B．30C．40 D．50解析：样本落在[15,20]内的频率是1－5(0.04＋0.1)＝0.3，则样本落在[15,20]内的频数为0.3×100＝30.4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是(A)A．19,15 B．15,19C．25,22 D．22,25解析：由茎叶图及中位数的定义可以得到甲、乙两名运动员得分的中位数分别是19,15，故选A．5．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为(D)A ．1 000,0.50B ．800,0.50C ．800,0.60D ．1 000,0.60解析：第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为4000.40＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.6．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是16，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a ，b 时，则满足a <|b 2－2a |<10a 的概率为( B ) A ．118 B ．112 C ．19 D ．16解析：∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论．若a ＝1时，b ＝2或3；若a ＝2时，b ＝1， ∴共有3种情况满足条件，∴概率为P ＝336＝112.7．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如图)．s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是( C )A ．s 1>s 2B ．s 1＝s 2C ．s 1<s 2D ．不确定解析：由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.则x 甲＝84，x 乙＝84，则s 1＝15[(78－84)2＋…＋(92－84)2]＝22， 同理s 2＝62，故s 1<s 2，所以选C ．8．某考察团对全国10大城市职工人均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程是y ^＝0.66x ＋1.562(单位：千元)．若某城市居民消费为7.675千元，由此可估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为( D )A ．66%B ．72.3%C ．67.3%D ．83%解析：把y ^＝7.675代入方程y ^＝0.66x ＋1.562，解得x ≈9.262，则所求百分比≈7.6759.262≈83%.9．某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一人当组长，则其中女生小丽当选为组长的概率是( B )A ．23B ．15C ．25D ．13解析：共5个基本事件，小丽当选为组长是其中一个基本事件，故其概率为15.10．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )A ．110 B ．15 C ．310D ．25解析：记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a >b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.11．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率为( B )A ．35B ．25C ．310D ．45解析：任取两个小球，所有可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中和为5或7的情况有：(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)共4种，所以所求概率为410＝25.12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：额y (元)与乘车时间t (分钟)的关系是y ＝200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20表示不超过t20的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( D )A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9解析：由题意知y ≤300，即200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤300，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤2.5，解得0≤t <60， 由表可知t ∈[0,60)的人数为90人， 故所求概率为90100＝0.9.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为1.解析：甲组中应抽取的城市数为624×4＝1(个)．14．下图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的概率约为0.4.解析：在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32， 所以，其频数为200×0.32＝64.落在[2,10)内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.15．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体(n >13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为1337.解析：由题意得13－1n －1＝13，∴n ＝37，∴在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为1337.16．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：由表中数据得到的线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为14.5万元．解析：由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入回归直线方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解：(1)频率分布表如下：分组频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合计100 1(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．18．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)(2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i 1234 5x i24568y i3040605070x i y i60160300300560因此，x＝255＝5，y＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380.于是可得：b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5；a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 因此，所求回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.(3)据上面求得的回归直线方程，当x ＝10时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)．所以当广告费支出10百万元时，销售额约为82.5百万元． 19．(12分)青少年“心理健康”问题引起社会关注，希望中学对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图．(2)在频率分布直方图中，求梯形ABCD的面积．(3)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀，试估计该校成绩优秀的有多少人？解：(1)第1列的空填[70.5,80.5)；第2列的空从上到下依次为16,50；第3列的空从上到下依次填0.20,0.32.补图：(2)梯形ABCD的面积实为分布在[70.5,90.5)的频率的值．所以其面积为0.20＋0.32＝0.52.(3)由频率分布表可知，所抽样本中成绩优秀者的频率为0.28.所以可以估计该校成绩优秀者的频率为0.28，即成绩优秀的人数为0.28×600＝168.20．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.21．(12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x 、y 的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m5，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. (2)依题意得：10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20. ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. ∴x ＝40，y ＝5.22．(12分)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量n＝40，从该样本分布在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．解：(1)组距d＝5，由5×(0.020＋0.040＋0.075＋a＋0.015)＝1，得a＝0.050.(2)各组中点值和相应的频率依次为：中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075所以x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.(3)由已知，果实重量在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]内的分别有4个和3个，分别记为A1，A2，A3，A4和B1，B2，B3，从中任取2个的取法有：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21种取法，其中都是优质果实的取法有B1B2，B1B3，B2B3，共3种取法，所以抽到的都是优质果实的概率P＝321＝17.。

章末综合检测(二)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是()A．在统计里，最常用的简洁随机抽样方法有抽签法和随机数法B．一组数据的平均数肯定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大解析：选B．平均数不大于最大值，不小于最小值．2．(2021·高考四川卷)某学校为了了解三班级、六班级、九班级这三个班级之间的同学视力是否存在显著差异，拟从这三个班级中按人数比例抽取部分同学进行调查，则最合理的抽样方法是() A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：选C.依据班级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由点的分布知x与y负相关，u与v正相关．4．某学校有老师200人，男同学1 200人，女同学1 000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女同学一共抽取了80人，则n的值是()A．193 B．192C．191 D．190解析：选B ．1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，解得n＝192.5．(2021·高考湖南卷)在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成果由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果在区间[139，151]上的运动员人数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到的次数13 8 5 7 6 13 18 10 11 9A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37解析：选A.1100(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.7．在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．92，2 B．92，2.8C．93，2 D．93，2.8解析：选B．去掉最高分95，最低分89，所剩数据的平均值为15(90×2＋93×2＋94)＝92，方差s2＝15[(90－92)2×2＋(93－92)2×2＋(94－92)2]＝2.8.8．(2022·高考湖北卷改编)依据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则()A.a^＞0，b^＞0 B．a^＞0，b^＜0C.a^＜0，b^＞0 D．a^＜0，b^＜0解析：选B．作出散点图如下：观看图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^＜0，当x＝0时，y^＝a^＞0.故a^＞0，b^＜0.9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1图2A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.10. 某校高一、高二班级各有7个班参与歌咏竞赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()A．高一班级的中位数大，高二班级的平均数大B．高一班级的平均数大，高二班级的中位数大C．高一班级的平均数、中位数都大D．高二班级的平均数、中位数都大解析：选A.由茎叶图可以看出，高一班级的中位数为93，高二班级的中位数为89，所以高一班级的中位数大．由计算得，高一班级的平均数为91，高二班级的平均数为6477，所以高二班级的平均数大．故选A.11．(2022·高考山东卷)为了争辩某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的挨次分别编号为第一组，其次组，…，第五组，如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18解析：选C.志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成果如表所示：甲的成果环数7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成果环数7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成果环数7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成果的标准差，则有()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1解析：选B．由于s21＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，所以s21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54，所以s1＝2520.同理s2＝2920，s3＝2120，所以s2>s1>s3，故选B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2021·高考广东卷)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x－＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．解析：由条件知x－＝x1＋x2＋…＋x nn＝5，则所求均值x－0＝2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2x n＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11.答案：1114．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号挨次平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：7615．已知回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估量x 与y 的增长速度之比约为________． 解析：x 与y 的增长速度之比应是回归方程斜率的倒数，即522.答案：52216．某校从参与高一班级期中考试的同学中随机抽取60名同学，将其数学成果(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观看图形的信息，据此估量本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，全部小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入状况；案例三：从某校1 000名高一同学中抽取10人参与一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应接受怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：假如在起始组中随机抽取的号码为L (编号从0开头)，那么第K 组(组号K 从0开头，K ＝0，1，2，…，9)抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L ＋31K 的后两位数．若L ＝18，试求出K ＝3及K ＝8时所抽取的样本编号．解：(1)案例一用简洁随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样． (2)①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例k ＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简洁随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本．(3)K ＝3时，L ＋31K ＝18＋31×3＝111，故第三组样本编号为311.K ＝8时，L ＋31K ＝18＋31×8＝266， 故第8组样本编号为866.18.(本小题满分12分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm 的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm ，保留两位小数)如下：40．02 40.00 39.98 40.00 39.99 40．00 39.98 40.01 39.98 39.99 40．00 39.99 39.95 40.01 40.02 39．98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组 频数 频率 频率组距 [39.95，39.97) [39.97，39.99) [39.99，40.01) [40.01，40.03]合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm 为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试依据抽样检查结果估量这批产品的合格只数．解：(1)分组频数频率频率组距 [39.95，39.97) 2 0.10 5 [39.97，39.99) 4 0.20 10 [39.99，40.01) 10 0.50 25 [40.01，40.03]4 0.20 10 合计201(2)由于抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为1820×100%＝90%，所以10 000×90%＝9 000(只)．即依据抽样检查结果，可以估量这批产品的合格只数为9 000.19． (本小题满分12分)甲、乙两位同学参与数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度(平均数和方差)考虑，你认为选派哪位同学参与合适？请说明理由．解：(1)作出茎叶图如下：(2)x －甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x －乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41. 由于x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适．20．(本小题满分12分)随着我国经济的进展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2011 2022 2021 2022 2021 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t － y－∑i ＝1n t 2i －n t－2，a ^＝y －－b ^t －.解：(1)列表计算如下：i t i y i t 2i t i y i 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.又∑i ＝1n t 2i －n t －2＝55－5×32＝10，∑i ＝1n t i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可猜测该地区2022年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)． 21．(本小题满分12分)甲乙二人参与某体育项目训练，近期的五次测试成果得分状况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)依据图和上面算得的结果，对两人的训练成果作出评价． 解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成果分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成果较稳定． 从折线图看，甲的成果基本呈上升状态，而乙的成果上下波动，可知甲的成果在不断提高，而乙的成果则无明显提高．22．(本小题满分12分)某化工厂的原料中，有A 和B 两种有效成分，现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测，测得A 和B 的含量如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34 y 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13其中x 表示成分A 的百分含量x %，y 表示成分B 的百分含量y %.(1)作出两个变量y 与x 的散点图；(2)两个变量y 与x 是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程．解：(1)依据y 从小到大的挨次调整表中数据(这样有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)， 如下表所示：x 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 y11131516161719202324散点图如图所示：(2)观看散点图可知，y 与x 是线性相关关系． i 12 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 x i 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 499 y i 11 13 15 16 16 17 19 20 23 24 174 x i y i 242 442 810 688 624 7821 216 1 160 1 656 1 608 9 228x 2i4841 1562 916 1 849 1 521 2 116 4 0963 3645 184 4 48927175所以x ＝49.9，y ＝17.4,10x － y －＝8 682.6,10x 2＝24 900.1设所求的线性回归方程是y ^＝a ^＋b ^x ，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x2＝9 228－8 682.627 175－24 900.1＝545.42 274.9≈0.239 7，a ^＝y －b ^x ＝17.4－0.239 7×49.9≈5.439 0， 所求的线性回归方程是y ^＝0.239 7x ＋5.439 0.。

第三章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( C )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R[解析]要使函数有定义，则⎩⎨⎧1＋x ≥0x ≠0，解得x ≥－1且x ≠0，故选C ．2．下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( B ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝(x )2 C ．y ＝3x 3D ．y ＝x 2x[解析]A 、C 、D 选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数． 3．(2021·某某某某高一期中测试)已知函数y ＝f (x )的部分x 与y 的对应关系如下表：则f [f (4)]A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．3[解析]由图表可知，f (4)＝－3，∴f [f (4)]＝f (－3)＝3.4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，12)，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间[12，1]上的最小值是( C )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4[解析]由已知得2α＝12，解得α＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间[12，1]上单调递增，则g (x )min ＝g (12)＝－3，故选C ．5．已知函数f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若f (－3)＝－2，则不等式f (x )≥－2的解集为( B )A ．[－3，0]B ．[－3，3]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝－2，所以f (x )≥－2的解集为[－3，3]．6．(2021·全国高考甲卷文科)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x )．若f (－13)＝13，则f (53)＝( C ) A ．－53B ．－13C ．13D ．53[解析]由题意可得：f (53)＝f (1＋23)＝f (－23)＝－f (23)，而f (23)＝f (1－13)＝f (13)＝－f (－13)，故f (53)＝13.故选C ．7．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f (－13)>0的x 的X 围是( A )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[解析]由题意可知，f (x )在(－∞，0]上为增函数，又f (x )为偶函数，故f (x )在(0，＋∞)上为减函数，由f (1－2x )>f (－13)可得－13<1－2x <13，解得13<x <23.故选A ．8．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图(2)所示，方程f [g (x )]＝0有m 个实数根，方程g [f (x )]＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( C )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析]f [g (x )]＝0，令t ＝g (x )，则t 1＝－1，t 2＝0，t 3＝1，令g (x )＝－1，x 有2个根；令g (x )＝0，x 有3个根，令g (x )＝1，x 有2个根，∴f [g (x )]＝0共有7个根．g [f (x )]＝0，令f (x )＝t ，g (t )＝0，则t ＝0，即f (x )＝0，x 有3个值，所以m ＋n ＝10.故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( CD ) A ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞) B ．单调增区间是(－∞，1]C ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D ．单调增区间是[－1，1][解析]要使函数有定义，则－x 2＋2x ＋3≥0，即(x －3)(x ＋1)≤0，－1≤x ≤3.所以函数的定义域为[－1，3]，值域为[0，2]，在[－1，1]上单调增，故选CD ．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题中是正确命题的是( ABD ) A ．f (0)＝0B ．若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1C ．若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数D ．若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x[解析]奇函数在对称的区间上单调性相反，故C 错误，其余都正确．11．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）（若f （x ）≥g （x ））f （x ）（若f （x ）<g （x ）），则F (x )( BC )A ．最小值－1B ．最大值为7－27C ．无最小值D ．无最大值[解析]作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC ．12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0，ab <0B ．a ＋b <0，ab >0C ．a ＋b <0，ab <0D ．以上都可能[解析]由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或mm ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x )．结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋ba ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立．故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．(2021·某某黄陵中学高一期末测试)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x |x ≤2且x ≠－1}．[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2且x ≠－1}．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于4．[解析]∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83，∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.15．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (12)2f (1x －1)的定义域为(0，1]．[解析]幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝12，所以幂函数f (x )＝x ，故f (12)＝22，故1x－1≥0，解得0<x ≤1. 16．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f (x )＝x －[x ]，则下列说法正确的是①②③．①f (－0.8)＝0.2；②当1≤x <2时，f (x )＝x －1；③函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，1)； ④函数f (x )是增函数，奇函数．[解析]①f (－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确． ②当1≤x <2时，f (x )＝x －[x ]＝x B 正确．③函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x －[x ]表示x 的小数部分，所以值域为[0，1)，正确． ④x ＝0.5时，f (0.5)＝0.5，x ＝1.5时，f (1.5)＝0.5，所以f (x )不是增函数；且f (－1.5)＝f (1.5)，所以f (x )也不是奇函数．故填①②③.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明．[解析](1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5， 故f (x )＝－3x ＋5，f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)f (x )在R 上是减函数．证明：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R )，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在R 上单调递减．18．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f [f (x )]＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1，a ]上的最大值．[解析](1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)，由于f [f (x )]＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1，综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6（－1<a ≤5），a 2－4a ＋1（a >5）.19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30(t ∈N *)．设商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析]设日销售金额为y 元，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800（0<t <25，t ∈N *），t 2－140t ＋4 000（25≤t ≤30，t ∈N *）.当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900.①当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125.②结合①②得y max ＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝x ＋a x 2＋bx ＋1是定义在[－1，1]上的奇函数．(1)确定函数f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )的单调性； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.[解析](1)因为f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，即x ＋a x 2＋bx ＋1＝－－x ＋ax 2－bx ＋1，所以a ＝0，b ＝0，所以f (x )＝xx 2＋1.(2)取－1≤x 1<x 2≤1，则x 1x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(3)因为f (t －1)＋f (t )<0，所以f (t －1)<f (－t )． 因为f (x )在[－1，1]上单调递增， 所以－1≤t －1<－t ≤1，解得0≤t <12.所以不等式的解集为{t |0≤t <12}．21．(本小题满分12分)如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： ①f (x )在D 上是单调函数；②存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析]设x 1，x 2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1<x 2，则有f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋2x 2)－(x 21＋2x 1)＝(x 22－x 21)＋2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)． ∵－1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2＋2>0. ∴(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a f （b ）＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝ab 2＋2b ＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.又∵－1≤a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1，0]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t )上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，某某数a 的值．[解析](1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0，1]，∴1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u －8，u ∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0，1]．由题意知，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。

章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A ．12B ．32C ．1D ．3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－0|32＋－12＝32，故选B ．]2．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 为椭圆C 上一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．9C [设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，∴a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16，即b ＝4，因此椭圆的短轴长是2b ＝8，故选C ．]3．在平面直角坐标系Oxy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q ，且OP →·OQ →＝2，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2－y 2＝2C ．x ＋y 2＝2D ．x －y 2＝2B [设P (x ，y )，Q (x ，－y )，则OP →·OQ →＝(x ，y )·(x ，－y )＝x 2－y 2＝2，故选B ．]4．椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，则C 的离心率为( )A ．12B ．22C ．32D ．2B [由椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，可知焦点在x 轴上即2a ＝4，a ＝2.∴椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1，a ＝2，b ＝2，c ＝4－2＝2，椭圆的离心率为e ＝c a＝22，故答案为B ．]5．“m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [当m >3时，m －2>0，mx 2－(m －2)y 2＝1⇒x 21m －y 21m －2＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m (m －2)>0⇒m >2或m “m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A ．]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过点F 且斜率为3的直线l 1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．43D ．8C [∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x－1)，将其与y 2＝4x联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝43.故选C ．]7．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点相同，C 1与C 2交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2D ．2＋1D [由图形的对称性及题设条件得AF ⊥x 轴，且c ＝p2，则p ＝2c .不妨设交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，y 1，代入y 2＝2px 可得y 1＝p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，代入双曲线方程可得p 24a 2－p 2b 2＝1，即e 2－1＝4c 2b 2，即e 2－1＝4c 2c 2－a 2，由此可得(e 2－1)2＝4e 2，即e 2－1＝2e ，所以e ＝2＋1(负值舍去)．故选D ．]8．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．3－12C ．3－1D ．4－23C [直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)联立方程得(3a 2＋b 2)x 2＝a 2b 2，设A (x 0，y 0)，∴B (－x 0，－y 0)，右焦点F (c ,0)，由FA →·FB →＝0代入坐标得c 2＝4a 2b 23a 2＋b2，整理得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e ＝3－1故选C ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9．若方程x 25－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( )A ．若1<t <5，则C 为椭圆B ．若t <1，则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <5BD [若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t ≠t －1，解得1<t <3或3<t <5.对于A ，当t ＝3时，此时方程为x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t <1时，5－t >0，t －1<0，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确； 对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t <t －1，解得3<t <5，所以D 正确．故选BD ．]10．已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是( )A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1 BD [因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形． 设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2，x ＋y ＝22c ，|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，故(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23，即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 1e 2＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD ．] 11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( )A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠PAF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点ABD [依题意得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又∵|F 1F 2|＝2c ，且a <c ， ∴在△PF 1F 2中，PF 2是最小的边， ∴∠PF 1F 2＝30°，∴4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，整理得c 2－23ac ＋3a 2＝0，即(c －3a )2＝0，∴c ＝3a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝23a ，b ＝c 2－a 2＝2a .∴双曲线的离心率e ＝ca ＝3a a＝3，A 正确．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2aax ＝±2x ，B 正确．根据前面的分析可知，△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1＝90°， 若∠PAF 2＝45°，则|PF 2|＝|AF 2|. 又知|PF 2|＝2a ， |AF 2|＝a ＋c ＝a ＋3a ＝(1＋3)a ≠|PF 2|，∴∠PAF 2≠45°，C 不正确．直线x ＋2y －2＝0，即y ＝－12x ＋1，其斜率为－12，－12∈[－2，2]，∴直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，D 正确．故选ABD ．] 12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ．若|AF |＝8，则以下结论正确的是( )A ．p ＝4B ．DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4ABC [如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线方程为y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得12x 2－20px ＋3p 2＝0.解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由|AF |＝32p ＋p2＝2p ＝8，得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x . x B ＝16p ＝23，则|BF |＝23＋2＝83；|BD |＝|BF |cos 60°， 所以|BD |＝2|BF |， |BD |＋|BF |＝83＋163＝8，则F 为AD 的中点，DF →＝FA →. 所以运算正确的是ABC ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 22－y 22＝1的渐近线的距离为________．2[由抛物线y 2＝8x 可得其焦点为(2,0)，又双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴所求距离为d ＝22＝ 2.]14．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．x 2＋(y －2)2＝16[由题意知，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.]15．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．855[如图，设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，因为△FMN 的周长|MF |＋|NF |＋|MN |＝2a －|MF ′|＋2a －|NF ′|＋|MN |＝4a ＋|MN |－|MF ′|－|NF ′|，且|MN |≤|MF ′|＋|NF ′|，当M ，N ，F ′三点共线，即m ＝1时，等号成立，所以当△FMN 的周长最大时，|MN |＝2b 2a＝855，所以△FMN 的面积S ＝12×855×2＝855.]16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)3－1 2[如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA 、OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形，∴直线OA 的倾斜角为π3，∴其斜率k ＝|n ||m |＝3，∴双曲线的离心率e 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝1＋3＝2；连接F 1A ，∵正六边形的边长为c ，∴|F 1A |＝3c .由椭圆的定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．[解] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． [解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[证明] (1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ， BD 的方程为x ＝x 2，则交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1. 又x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1，则有y 1x 2x 1＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，即D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理，得b ＝－a 2，故切线的方程为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.21．(本小题满分12分)设M (x ，y )与定点F (1,0)的距离和它到直线l 1：x ＝3的距离的比是常数33.记点M 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过定点F 的直线l 2交曲线C 于A ，B 两点，以O 、A 、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB ，若点P 刚好在曲线C 上，求直线l 2的方程．[解] (1)由题意得，x －12＋y 2|x －3|＝33，则3[(x －1)2＋y 2]＝(x －3)2，即2x 2＋3y 2＝6，∴x 23＋y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设直线l 2的方程为x ＝my ＋1，P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，2x 2＋3y 2＝6，消去x ， 得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0.则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－4m 22m 2＋3＋2＝62m 2＋3， ∴x 0＝x 1＋x 2＝62m 2＋3，y 0＝y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3. ∵P (x 0，y 0)在椭圆x 23＋y 22＝1上， ∴122m 2＋32＋8m 22m 2＋32＝1，即2m 2＋3＝4，解得m ＝±22.∴直线l 2的方程为x ＝22y ＋1或x ＝－22y ＋1，即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋22＝22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设这样的直线存在，设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， ∴y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3， 由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，∴y 0＝53＋y 42＝t 9，得y 4＝2t －159，又－3＜t ＜3，可得－73＜y 4＜－1， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l .。

本册综合测试(提升)人教A 版2019选择性必修第三册一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·山东无棣·高二期中)已知随机变量()8,B p ξ~，且()2E ξ=，则()2D ξ=( ) A ．3 B ．6 C ．12 D ．24【答案】B【解析】随机变量ξ～B (8，p )，且E (ξ)＝2， ∴E (ξ)＝8p ＝2，解得p ＝2184=， ∴D (ξ)＝8×14×(1﹣14)＝32，∴D (2ξ)＝4D (ξ)＝4×32＝6．故选：B ．2．(2021·广西·富川瑶族自治县高级中学 )下列说法正确的是( ) A ．线性回归方程y bx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 B ．概率为0的事件一定不可能发生C ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6∶5∶4，则应从高二年级中抽取20名学生D ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件 【答案】C【解析】对于A ：线性回归方程y bx a =+对应的直线不一定经过其样本数据点中的一个点，但是一定经过中心对称点(),x y ，故A 错误；对于B ：概率为0的事件不一定是不可能事件，但是，不可能事件的概率一定是0，故B 错误；对于C ：某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6∶5∶4，即6,5,4x x x 则：1560x =，解得4x =，应从高二年级中抽，5420⨯=名学生，故C 正确；对于D ：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”即一红一黑，或两黑；与“至少有一个红球”即一黑一红或两红是即不互斥又不对立的事件，故D 错误． 故选：C ．3．(2021·广东顺德德胜学校高二期中)用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有( )种不同的涂色方案．A ．180B ．360C ．64D ．25【答案】A【解析】第一步涂A ，有5种涂法， 第二步涂B ，和A 不同色，有4种涂法， 第三步涂C ，和AB 不同色，有3种涂法， 第四步涂D ，和BC 不同色，有3种涂法，由分步乘法技术原理可知，一共有5433180⨯⨯⨯=种涂色方案， 故选：A.4．(2021·江苏省外国语学校高二期中)在12nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为( ) A ．7- B ．358-C ．358D ．7【答案】D【解析】因为在12nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以15,82nn +==所以812x ⎫⎪⎭的展开式的通项88218811,0,1,2,,822rrrr rr r T C x C x r +-+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令852r+=，得2r所以展开式中5x 的系数为2281128=724C ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭故选：D5．(2021·江苏东海·高二期中)()()()349111x x x +++⋅⋅⋅++展开式中3x 的系数是( ) A ．80 B ．84 C ．120 D ．210【答案】D【解析】()()()349111x x x +++⋅⋅⋅++的展开式中3x 的系数为3333333433333343456784456789910210C C C C C C C C C C C C C C C ++++++++=++++==．故选：D ．6．(2021·河北大名·高二期中)已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是( ) A ．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52 B ．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60 C ．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32 D ．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60 【答案】B【解析】设一年中甲地下雨记为事件A ，乙地下雨记为事件B ，则两地同时下雨记为事件AB . 由题意可得：()()()()()0.25,0.20,0.12,0.75,0.80P A P B P AB P A P B =====. 如图示：()()()0.250.120.13,0.200.120.08,10.130.120.080.67P AB P BA P AB =-==-==---=对于A ：()()()0.12|0.480.25P AB P B A P A ===，故A 错误；对于B ：()()()0.12|0.600.20P AB P A B P B ===，故B 正确； 对于C ：()()()0.13|0.5225P ABP B A P A ===，故C 错误；对于D ：()()()0.67|0.83750.80P ABP A B P B ===，故D 错误； 故选：B7．(2021·江苏省邗江中学高二期中)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则( ) A ．1212,()()p p E E ξξ>< B ．1212,()()p p E E ξξ<> C ．1212,()()p p E E ξξ>> D ．1212,()()p p E E ξξ<<【答案】A【解析】放入一个球后：()1417P ξ==，()1327P ξ==，则()1431012777E ξ=⨯+⨯=； 放入两个球后：()24227C 21C 7P ξ===，()1134227C C 42C 7P ξ===，()23227C 13C 7P ξ===，则()2241131237777E ξ=⨯+⨯+⨯=；所以()()12E E ξξ<.放入一个球为红球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：33177⨯=；放入一个球为蓝球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：412727⨯=；所以1325777p =+=； 放入2个球为两蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()21212137321P ξ=⨯=⨯=；放入2个球为一红一蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()22428237321P ξ=⨯=⨯=； 放入2个球为两红且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()21131177P ξ=⨯=⨯=；所以2281132121721p =++=. 所以12p p >.综上可知12p p >，()()12E E ξξ<. 故选：A.8．(2021·浙江·学军中学高二期中)设20292100129012101010(12)(1)(1)x b b x b x b x a a x a x a x x x +++++=+++++++，则9a =( )A ．0B ．104C ．10104⋅D ．10904⋅【答案】A【解析】解：由题意得，202101001210(12)()(1)x a a x a x a x x +=+++⋅⋅⋅++290129()b b x b x b x ++++⋅⋅⋅+，左边19x 的系数为1919202C ⨯，右边19x 的系数为91010a a +，所以191920910210C a a ⨯=+，左边20x 的系数为2020202C ⨯，右边20x 的系数为10a ，所以202020102C a ⨯=，所以90a =， 故选：A二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·福建省泉州第一中学高二期末)下列说法中，正确的命题是()A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1B ．(23)2()3E X E X +=+，(23)2()D X D X +=C ．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好.D ．已知随机变ξ服从正态分布()21,N δ，(3)0.6P ξ<=，则(13)0.1P ξ<<=【答案】ACD【解析】解：对于A 选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，正确； 对于B 选项，(23)2()3E X E X +=+，(23)4()D X D X +=，故B 选项错误； 对于C 选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C 选项正确； 对于D 选项，因为随机变ξ服从正态分布()21,N δ，所以(1)0.5P ξ>=，又因为(3)0.6P ξ<=，所以(13)0.1P ξ<<=，故D 选项正确. 故选：ACD10．(2021·福建省泉州第一中学高二期末)对任意实数x ，有9290129(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-.则下列结论成立的是()A ．902a =-B ．2324a =C ．91294a a a ++⋯+= D ．9012392a a a a a -+-+-=-【答案】BD【解析】A.令1x =，得01a =，故A 错误；B. ()99290129(32)311(1)(1)(1)x x a a x a x a x ⎡⎤-=-+=+-+-++-⎣⎦，所以含()21x -项的系数22293324a C =⋅=，故B 正确；C.令2x =，则90129...4a a a a ++++=，所以912941a a a ++⋯+-=，故C 错误；D.令0x =，则901239...2a a a a a -+-+-=-，故D 正确.故选：BD11．(2021·广东阳江·高二期末)设某车间的A 类零件的质量m (单位：kg )服从正态分布()210,N σ，且()10.10.2P m >=.( )A ．若从A 类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg 的概率为0.25B ．若从A 类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg 的概率为0.4C ．若从A 类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数的期望为60D ．若从A 类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数的方差为24 【答案】ACD【解析】对于A ，A 类零件中大于10kg 的概率为()100.5P m >=， 所以2个零件质量都大于10kg 的概率为0.50.50.25⨯=，A 正确； 对于B ，A 类零件中小于9.9kg 的概率为()()9.910.10.2P m P m <=>=，所以3个零件的质量恰有1个小于9.9kg 的概率为()2130.210.20.384C ⨯⨯-=，B 错误； 对于C ，A 类零件中质量在9.9kg ~10.1kg 的概率为()1210.10.6P m ->=，零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数(100,0.6)B ξ，所以零件质量在9.9kg ~10.1kg 个数期望为1000.660⨯=，C 正确；对于D ，由选项C 的信息知，零件质量在9.9kg ~10.1kg 个数的方差为1000.6(10.6)24⨯⨯-=，D 正确； 故选：ACD12．(2021·江苏镇江·高二期末)一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量ξ表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有( ) A ．若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为14B ．口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量26,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，且8(21)3D ξ-=C ．若随机变量(6,,)H M N ξ~，且()4E ξ=，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍D ．随机变量(3,)B p ξ，()22,N ησ-，若(1)0.784P ξ≥=，(24)P p η<<=，则(0)0.1P η<=【答案】ACD【解析】对于A ，131344P =⨯=，正确；对于B ，1216(21)4()46333D D ξξ-==⨯⨯⨯=，错误；对于C ，有6()4ME N ξ==，则23M N =，所以黄卡是红卡数量的2倍，正确； 对于D ，有3(1)10.7840.216p -=-=，得0.4p =，所以12(0)0.12pP η-<==，正确； 故选：ACD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·安徽·定远县育才学校 )511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为___________.【答案】51【解析】511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为555215555511rmrr m r mr m r mr rr T C x C CxC C xx x -----+--⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当0,5m r ==时，常数项为1；当1,3m r ==时，得常数项为315220C C ⋅=，当2,1m r ==时，得常数项为125430C C ⋅=，所以展开式中的常数项为1203051++=.故答案为：51.14．(2021·福建龙岩·高二期末)若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________. 【答案】5【解析】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++=，取1x =-得0121001a a a a -+-+=， 两式相减得100135992()31a a a a +++=-，即()100135992334a a a a ++++-=-，因为()50100503494814-=-=+-0501495010505050505088884rr C C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅+-0501495015050505088883rr C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅-05014950150505050888885,rr C C C C r N -=⋅+⋅++⋅++⋅-+∈因为0501495015050505088888r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-能被8整除，所以05014950150505050888885r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-+被8整除的余数为5，即()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为5，故答案为：5.15．(2021·陕西安康 )中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种． 【答案】1440【解析】先从剩余5种乐器中任选3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的4个空中，∴共有322542··1440A A A =种． 故答案为：144016．(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校 )有下列四个命题：①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ③若数据1x ，2x ，，n x 的平均数为1，则12x ，22x ，，2n x 的平均数为2；④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握越大； 其中真命题的个数为___________. 【答案】3【解析】根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①为真命题；由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，所以②为真命题；若数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则122,2,,2n x x x ⋅⋅⋅的平均数也扩大原来的2倍，即平均数为2，所以③为真命题；对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，应该k 越大，判断x 与y 有关系的把握越大，所以④为假命题.故答案为：3.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·吉林·梅河口市第五中学 )为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)14%；(2)有99%的把握；(3)答案见解析.【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=； (2)22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.18．(2021·山东莱西·高二期末)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品格概率依次为0.6、0.5、0.75． (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.38；(2)分布列见解析；数学期望值为：0.9. 【解析】(1)第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.(2)经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为： 10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.所以1230.3p p p ===,故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，且(3,0.3)B ξ.故()()334310.310000P ξ==-=；()()213441C 0.310.310100P ξ=⋅-==； ()()223189C 0.310.321000P ξ=⋅-==；()3270.033100P ξ===. 所以随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (或者利用二项分布的期望值公式直接得到: ()30.30.9E ξ=⨯=)19．(2021·河南 )某开发商拟开发新建一批商业用的门面房，开发商对有意在该地段购买门面房的购房人进行随机调查得到每套门面房的销售单价x (单位：百万元)和销售量y (单位：套)之间的一组数据，如下表所示：(1)试根据表中数据，建立y 关于x 的回归直线方程；(2)从反馈的信息看购房人对该门面房的心理价位在[]9,11(单位：百万元/套)内，已知该门面房的成本是a 百万元/套()311a ≤<，试探究每套门面房销售单价定为多少时，开发商才能获得最大的利润？(注：利润=销售收入-成本)附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()ii12i1ˆni ni x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】(1)ˆ 1.625.8yx =-+；(2)见解析. 【解析】(1)()199.51010.511105x =⨯++++=，()1111110989.85y =⨯++++=，()()()()()()()5ii152i11 1.20.5 1.200.50.81 1.8ˆ 1.610.2500.251i i x x y y b x x ==---⨯+-⨯++⨯-+⨯-===-++++-∑∑，()ˆˆ9.8 1.61025.8ay bx =-=--⨯=， ∴y 关于x 的回归直线方程为ˆ 1.625.8yx =-+. (2)由已知得利润()()()21.625.8 1.625.8 1.625.8L x a x x a x a =--+=-++-，[]9,11x ∈，该二次函数图象的对称轴方程为129162ax =+. 因为3a ≥，所以1299162a+≥. 当12911162a+≥，即587511a ≤<．时，函数L 在区间[]9,11上单调递增， 所以当11x =时，L 取得最大值；当12911162a +<，即35875a ≤<．时，函数L 在区间1299,162a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在129,11162a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦号上单调递减，所以当129162a x =+时，L 取得最大值； 综上所述，当35875a ≤<．时，该门面房每套销售单价定为129162a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭百万元时，开发商能获得最大利润； 当587511a ≤<．时，该门面房每套销售单价定为11百万元时，开发商能获得最大利润. 20．(2021·福建省泉州第一中学高二期末)某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，规定每位参赛选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A 类问题：方案二：第一次A 类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A 类问题，回答错误则下一次选B 类问题.A 类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为13，能正确回答B 类问题的概率为23，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率： (2)试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由. 【答案】(1)727；(2)小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析. 【解析】(1)小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题， 所以其概率为2323121733327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下： 若采用方案一，则其得分X 的可能为取值为0,50,100,150，()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213211245033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()223126210033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()311150327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的概率分布列为所以X 的数学期望为()42120020050501001505099279E X ++=⨯+⨯+⨯==； 若采用方案二，则其得分Y 的可能为取值为0,30,50,80,100,150，所以()2112033327P Y ==⨯⨯=，()22221212430333333279P Y ==⨯⨯+⨯⨯==，()12125033327P Y ==⨯⨯=，()12222188033333327P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()112210033327P Y ==⨯⨯=， ()111115033327P Y ==⨯⨯=.所以Y 的概率分布列为所以Y 的数学期望为()122821145030508010015053.7272727272727E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈， 因为()()E Y E X >，所以小明选择方案二参加比赛更加合理.21．(2021·湖北·华中师大一附中高二期末)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B 类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：某次数学考试试卷评阅采用“双评＋仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理)．(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X 的分布列及数学期望()E X ；(2)本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”．①记乙同学6个题得分为()12345i x x x x x x <<<<的题目个数为i a ，516i i a ==∑，计算事件“233a a +=”的概率．②同学丙的前四题均为满分，第5题为“B 类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B 类解答”的认识． 【答案】(1)分布列见解析；期望为32132；(2)①516；②答案见解析． 【解析】(1)根据题意，随机变量X 的取值为9，9.5，10，10.5，11． 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x ，y ，z ，(9)(9,9)(9,11,9)(11,9,9)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432=⋅+⋅⋅⋅=， 11111(9.5)(9,10)(10,9)42424P X P x y P x y ====+===⋅+⋅=，()()()()()11010,10,10.510,1111,104P X P x y P X P x y P x y =========+==111115(11,9,10)(9,2444441611,10)P x y z P x y z +====⋅+=⋅⋅⋅=+==，(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432=⋅+⋅⋅⋅=， 故X 的分布列为31153321()99.51010.5113244163232E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (2)①方法一事件“233a a +=”可分为20a =，33a =；21a =，32a =；22a =，31a =；23a =，30a =四种情况，其概率为()()()()232323230,31,22,13,0P a a P a a P a a P a a ==+==+==+==333333333211236646561111111154242424216C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法二记“9.5X =或10X =”为事件A ，6次实验中，事件A 发生的次数1~6,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，“233a a +=”相当于事件A恰好发生3次，故概率为：()33323611532216P a a C ⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②由题意可知：乙同学得分的均值为32119266()63232E X =⋅=，丙同学得分的均值为：321204941263232⨯++=． 显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B 类解答”的出现．22．(2021·江苏连云港·高二期末)某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为12，且每次投篮的结果相互独立． (1)求甲在一局游戏中投篮命中次数X 的分布列与期望；(2)若参与者连续玩()*2n n ∈N 局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有n k =和1n k =+两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．【答案】(1)分布列见解析，32；(2)甲选择1n k =+时，获奖的概率更大，理由见解析. 【解析】(1)由题意知1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()303110C 28P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2131131228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2231132C 228P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33311328P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为()13322E X =⨯=． (2)由(1)可知在一局游戏中，甲得3分的概率为311882+=，得1分的概率为131882+=，若选择n k =，此时要能获得大奖，则需2k 次游戏的总得分大于4k ，设2k 局游戏中，得3分的局数为m ，则()324m k m k +->，即m k >． 易知1~2,2m B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故此时获大奖的概率 ()11222122122211111CCC 22222k k k k kk k k kkkP P m k +-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=⨯⨯+⨯⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21222221CCC 2kk k k kkk++⎛⎫=+++⨯ ⎪⎝⎭()2012222211C C C C 22kk k k k kk⎛⎫=+++-⨯ ⎪⎝⎭()22211222kk k k C ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭221122kk k C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭同理可以求出当1n k =+，获大奖的概率为122222C 1122k k k P +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()()()()()()()()()()2222112222222!C 4!!41214C 2122!C C 22212121!1!k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++====>++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以122222222k k k k k k C C +++>，则12P P <答：甲选择1n k =+时，获奖的概率更大．。

章末质量检测(一) 计数原理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．102．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有( )A ．7种B ．12种C ．64种D ．81种3.⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．120B ．160C ．200D ．2404．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( ) A ．72B ．96 C ．144D ．2405．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．若⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中含x 32项的系数为160，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．22D ．－2 27．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－40B ．40 C ．30D ．－308．“中国梦”的英文翻译为“Chinese Dream”，其中Chinese 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．给出下列四个关系式，其中正确的为( )A ．n ！＝（n ＋1）！n ＋1B ．A m n ＝n A m －1n －1 C ．A m n ＝n ！（n －m ）！D ．A m －1n －1 ＝（n －1）！（m －n ）！ 10．下列有关排列数、组合数计算正确的是( )A ．C mn ＝A m n n ！B ．(n ＋2)(n ＋1)A m n ＝A m ＋2n ＋2C ．C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋…＋C 2100 ＝C 3101D ．C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 是一个常数11．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项12．关于(a －b )11的说法，正确的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为2048 B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最大三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为________． 14．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．15．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有________种．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 10的展开式． (1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，求r 的值．19.(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．20．(本小题满分12分)已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．21．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个，其中红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)如取1个红球记2分，1个白球记1分，从口袋中取5个球，总分不小于7的取法有多少种？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)当n ＝8时，求展开式中系数的最大项．(2)化简C 0n 2n －1＋C 1n 2n －2＋C 2n 2n －3＋…＋C n n 2－1. (3)定义：∑i ＝1na i ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，化简：i ＝1n (i ＋1)C i n .章末质量检测(一)1．解析：分两类：第一类，M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6个第一、二象限内的点；第二类，M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8个第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，知共有6＋8＝14个不同的第一、二象限内的点．故选C.答案：C2．解析：要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12种不同的配套方法．故选B.答案：B3．解析：⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·⎝⎛⎭⎫1x 6－k (2x )k ＝2k C k 6 x 2k －6，令2k －6＝0，解得k ＝3，所以展开式中的常数项为23×C 36 ＝160.故选B.答案：B4．解析：从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到2位女生所形成的3个空隙中，所以共有A 24 A 22 A 33 ＝144种不同的排法．故选C.答案：C5．解析：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为C 23 C 13 ＝9种．故选D.答案：D6．解析：由二项式定理得展开式的通项T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－a x k＝C k 6 (－a )k x 6－32k ，令6－32k ＝32，得k ＝3，由C 36 (－a )3＝－20a 3＝160，得a ＝－2.故选B. 答案：B7．解析：(2x －y )5的展开式的通项为C k 5 (2x )5－k (－y )k ＝25－k (－1)k C k 5x 5－k y k .令5－k ＝1，得k ＝4，则x ·2·C 45 xy 4＝10x 2y 4；令5－k ＝2，得k ＝3，则y ·22·(－1)·C 35 x 2y 3＝－40x 2y 4.所以(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为10－40＝－30.故选D. 答案：D8．解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea ”进行全排列，共有C 45 A 55 ＝600种，故选C.答案：C9．解析：由A m n ＝n ！（n －m ）！可知：A m －1n －1＝（n －1）！（n －m ）！，故D 不正确．A 、B 、C 均正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：A 错，A m n ＝C mn ·m ！；B 正确；C 错，应为C 3101 －1；D 正确，由组合数定义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤n －2≤2n －1 （ⅰ）0≤2n －1≤n ＋1 （ⅱ）由(ⅰ)得n ≥2，由(ⅱ)得12≤n ≤2，所以n ＝2.所以C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 ＝C 03 ＋C 33 ＝2.所以B 、D 正确．答案：BD11．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项，所以系数最大的项为第六项和第七项．故选BC.答案：BC12．解析：(a －b )11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A 正确；因为n ＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确．故选AC.答案：AC13．解析：∵(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴2n －1＝32，即n ＝6，∴(1－2x )6展开式中的第4项为T 4＝C 36 13(－2x )3＝－160x 3. 答案：－160x 314．解析：可以分为三类，第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C 24 C 23 种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C 34 C 13 种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C 34 C 23 种选法．根据分类加法计数原理知，一共有C 24 C 23 ＋C 34 C 13 ＋C 34 C 23 ＝42种不同的选法．答案：4215．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：162 516．解析：从五人中选四人有C 45 ＝5种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲、乙、丙、丁，则有A 22 ×A 22 ＝4种组队方式；若所选四人为甲、乙、丙、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式；若所选四人为甲、乙、丁、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式； 若所选四人为甲、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式； 若所选四人为乙、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式．由分类加法计数原理得，不同的组队方式有4＋8＋8＋2＋2＝24种． 答案：2417．解析：(1)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，不同的选法种数为6×7×8＝336.(2)分三类，每类又分两步：第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法，故不同的选法种数为6×7＋6×8＋7×8＝146.18．解析：(1)展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (－2)k x 10－32k，令10－32k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为C 410 (－2)4＝3 360.(2)第3r 项的二项式系数为C 3r －110 ，第r ＋2项的二项式系数为C r ＋110 ，∵C 3r －110 ＝C r ＋110 ，∴3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10， 解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.19．解析：(1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310 ＝120.(2)按女生的选取情况分为四类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生，所有选法数为C 25 C 37 ＋C 35 C 27 ＋C 45 C 17 ＋C 55 ＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理知，所有选法数为C 17 ·C 15 ·A 310 ＝25 200.20．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝⎛⎭⎫12x 2n －k⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k ⎝⎛⎭⎫12n －k C k n x 2n －5k2.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610 ＝1058.(3)要使2n －52k ，即4n －5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．21．解析：(1)满足条件的取法情况分为以下三类： 第一类，红球取4个，白球不取，取法有C 44 种；第二类，红球取3个，白球取1个，取法有C 34 C 16 种；第三类，红球取2个，白球取2个，取法有C 24 C 26 种．所以共有取法C 44 ＋C 34 C 16 ＋C 24 C 26 ＝115(种).(2)设取红球x 个，白球y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋y ≥7，0≤x ≤4，0≤y ≤6，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此总分不小于7的取法可分为三类，不同的取法种数为C 24 C 36 ＋C 34 C 26 ＋C 44 C 16 ＝186.22．解析：(1)f (x )＝(1＋x )8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5＝C 48 x 4＝70x 4.(2)f (x )＝(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，所以原式＝12(C 0n 2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n n 20) ＝12(1＋2)n ＝3n2. (3)∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ① ∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ， ② 在①，②添加C 0n ，则得1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ③ 1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋1C 0n ， ④ ③＋④得：2(1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n )＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝(n ＋2)2n ，所以∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋2)2n －1－1.。