同济 专业德语 汽车 车辆工程 课本Elektrische Systeme im Automobil_final

汽车动力学练习（德文）2FahrgrenzenAufgabe2.1Von einem PKW mit Frontantrieb sind folgende Daten bekann:Radstand Schwerpunktabstand Schwerpunktshöhe Fahrzeugmasse Radwiderstandsbeiwert Kraftschlussbeiwert Reifen – Straße: Erdbeschleunigung l = 2 4 ml v = 1,1 m von der Vorderachse h = 0,75 mm = 850 kgf R = 0,014µ = 0,9g = 10 m/s²a) Berechnen Sie die statischen Achslasten G′v,stat und G h′,stat des Fahrzeugs.b) Welche Achslasten stellen sich ein, wenn der PKW mit 0,8 m/s² beschleunigt? Der Luftwiderstand ist zuvernachlässigen.c) Welche maximale Steigung kann das Fahrzeug, entsprechendes Antriebsmoment vorausgesetzt,kraftschlussbedingt befahren?d) Wie groß ist der Traktionskoeffizient τbei den vorliegenden Gewichtsverhältnissen?Lösungshinweise:Bei der Berechnung der Achslasten ist zunächst ein Koordinatensystem anzunehmen, dass durchgängig in der Berechnung verwendet wird. Wenn sich dann ein negativer Zahlenwert in der Endgleichung ergibt, so weiß man, dass diese Kraft oder ein entsprechendes Drehmoment der ursprünglich angenommenen Richtung wirkt. In Aufgabenteil b) werden die statischen Achslasten des Fahrzeugs infolge der im Schwerpunkt angreifenden Trägheitskraft durch dynamische Achslasten überlagert. Der in Teilaufgabe d) zu ermittelnde Traktionskoeffizient gibt das Verhältnis zwischen der statischen Achslast G angetrieben der angetriebenen Achse und dem Fahrzeuggewicht G an.Ergebnisse:a) G h′,stat = −3895,8N und G′v,stat = −4604,2Nb) G h′= −4108,3N und G′v = −4391,7Nc) τ = 0,54,Aufgabe2.2Bei einem unverkleideten Motorrad soll die im Fahrbetrieb auftretende Auftriebskraft an der Vorderachse durch den Einsatz einer geeigneten Verkleidung vermindert werden. Folgende Daten der unverkleideten Maschine sind bekannt:RadstandHöhe des Angriffspunkts der Luftwiderstandskraft LuftwiderstandsbeiwertAuftriebsbeiwert derVorderachse (bezogen auf die Projektionsfläche in Fahrtrichtung) Projektionsfläche in FahrtrichtungLuftdichteDie Größen c w, c a und A wurden einschließlich des Fahrers ermittelt. l = 1,55 mx 1= 0,75 m c w1 = 0,634 c a v1 = 0,236A1 = 0,78 m²ρ= 1,2 kg/m³a) Berechnen Sie die luftwiderstandsbedingten Achslastanteile G′vL und G hL′für die Vorder- bzw. dieHinterachse bei einer Geschwindigkeit von v = 49,17m/sb) Wie groß ist bei obiger Geschwindigkeit die Gesamtauftriebskraft an der Vorderachse?c) Um wie viel Prozent wird die Gesamtauftriebskraft an der Vorderachse bei gleicher Geschwindigkeitverringert, wenn beim Einsatz einer Versuchsverkleidung folgende Daten für das Motorrad ermittelt werden?x 2= x 1= 0,75 mc w2 = 0,576c a v2 = 0,153A2 = 0,83 m²Lösungshinweise:Skizzieren Sie zur Ermittlung der luftwiderstandsbedingten Achslastanteile das Motorrad mit der angreifenden Luftwiderstandskraft F L und den Reaktionskräften in den Radaufstandsflächen (von der Fahrbahn auf die Räder). Durch Momentenbilanzen lassen sich die gesuchten Achslastanteile berechnen, wobei zunächst angenommen wird, dass alle Kräfte in die zu definierenden positiven Kraftrichtungen wirken.Die Gesamtauftriebskraft an der Vorderachse setzt sich aus dem in Teilaufgabe a) berechneten luftwiderstandsabhängigen Anteil und einer durch die Strömungswirkung der Luft bedingten Auftriebskraft zusammen, deren Auftriebsbeiwert gegeben ist. Da c av auf die Projektionsfläche in Fahrtrichtung bezogen ist, lässt sich diese Kraft analog zur Luftwiderstandskraft F L berechnen.a) G hL′1 = −347 ,1N und G′vL1 = +347,1Nb) F vges,Auftr1 = −614,1Nc) ∆F vges ,Auftr = 15,36%Ergebnis:∆a = 4.14%Bei einem Formel 1 –Rennwagen soll durch aerodynamische Hilfsmittel die Bodenhaftung verbessert werden. Das Fahrzeug hat im Ausgangszustand folgende Daten:Fahrzeugmasse (inkl. Fahrer) RadstandSchwerpunktsabstand von der VorderachseSchwerpunktshöheHöhe des Kraftangriffspunkts der Luftwiderstandskraft RadwiderstandsbeiwertKraftschlussbeiwert Reifen - StraßeLuftwiderstandsbeiwertAbtriebsbeiwert des Fahrzeugs (bezogen aufdieProjektionsfläche in Fahrtrichtung) Projektionsfläche in Fahrtrichtung Luftdichtem = 663 kgl = 2,74 m l v = 1,78 m h = 0,37 m x = 0,32 m f R = 0,015 µ = 1,6 c w = 0,7c A btr = 0,87A = 1,6m²ρ = 1,2 kg/m³In Versuchen wird ermittelt, dass durch seitlich montierte Flügel der Abtriebsbeiwert um 15% gesteigert wird, der Luftwiderstandsbeiwert, die Schwerpunktslage und die Fahrzeugmasse jedoch unverändert bleiben. Die Vergrößerung der Projektionsfläche A ist vernachlässigbar klein.Um wie viel Prozent wird bei einer Geschwindigkeit von 50 m/s (in der Ebene) das kraftschlussbedingte Beschleunigungsvermögen des Fahrzeugs (Hinterradantrieb) durch oben genannte Maßnahmen verbessert, wenn sich die Auftriebskraft entsprechend dem statischen Achslastverhältnis auf Vorder- und Hinterachse verteilt?Lösungshinweise:Skizzieren Sie zunächst das Fahrzeug mit den angreifenden äußeren Kräften. Formulieren Sie anschließend anhand einer Skizze unabhängige Bestimmungsgleichungen, deren Anzahl der Zahl der unbekannten Größen entspricht. Gehen Sie hierbei von Momentenbilanzen um die Radaufstandspunkte, sowie einer Kräftebilanz für die in Fahrtrichtung wirkenden Kräfte aus. Mit Hilfe dieser Gleichungen wird daskraftschlussbedingte Beschleunigungsvermögen a für den Ausgangszustand des Fahrzeugs und für die Flügelversion berechnet und anschließend die prozentuale Änderung ermittelt.。

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Wort Chinesische Bedeutung Abtrennung f 分离，隔离abstützen vt 支撑，支持Abdeckung f 保护盖，盖板Abgableistung f. 输出功率Abstimmung f. 协调一致Abfallzeit f. 释放时间Abtriebsscheibe f. 从动轮Ablaufneigung f. 回程角abwälzen v. 滚压Abrollen n 滚压，卷绕，拧松Abwälzvorgang m 滚压过程Abtreibsschreibe f. 从动盘Ablaufneigung f. 倾斜运行Abweichung f 偏差,异常Achsuebersetzung f 主传动比akustischen adj 声的，音响的Akustik f. 声学Algorithmus m 算法，运算法则Allradfahrzeug n 全轮驱动车angeordnet adj 固定的annähernd adj 大概，大约angesichts Präp 面对，由于Anspruch m 要求，请求Anpassung f 适配，调整Anstiegszeit f. 上升时间Antriebsscheibe f. 主动轮annähernd Adj. 差不多的Antriebswelle f 传动轴anschleppen 牵引auszeichnen vi 超群，出众Auslaufen n 磨损aufwändige adj 昂贵的Auslegung f 布置方式Ausbau m. 发展ausführen v. 执行Auslauf m. 脱离啮合ausweisen V. t. 识别auslegen V. t. 设计Augenmerk n. 注意力Ausgangsbasis n. 出发点axial adj 轴向的Axialkraft f 轴向力Bauweise f 结构类型Bauraum m. 安装空间Baugruppe f. 部件Bauraumvorgabe f. 预定的安装空间Bare-Die-Technologie f. 裸露芯片技术Betriebspunkt n 工作点bedingt adj 有条件的，受限制的beschleunigen vt 加速Betrachtung f. 研究belaufen sich auf 合计beinhalten V. t. 包括Bewältigung f 完成,克服。

车辆工程类培养方案一、年限1年二、车辆工程类所含专业车辆工程（汽车）、车辆工程（轨道交通）三、课程教学安排课程名称课程性质必/选试/查学分周学时第1学年第1学期大学英语公共基础课必试 4 4 体育（一）公共基础课必查 1 2 形势与政策1 公共基础课必查0.5 1 思想道德修养和法律基础公共基础课必试 3 2 大学计算机基础公共基础课必查 2.5 2 高等数学B（上）公共基础课必试 5 5 物理实验（上）公共基础课必查 1 2 机械制图（一）上公共基础课必试 4 4第1学年第2学期大学英语公共基础课必试 4 4 体育（二）公共基础课必查 1 2 形势与政策2 公共基础课必查0.5 1 中国近现代史纲要公共基础课必试 2 2 军事理论公共基础课必查 1 1 C/C++程序设计公共基础课必查 2.5 2 高等数学B(下) 公共基础课必试 5 5 普通物理B(上) 公共基础课必试 3 3 物理实验（下）公共基础课必查0.5 1 机械制图（一）下公共基础课必查 3 3 金工实习实践必查 6 6周军训实践必查 2 3周车辆工程（汽车）专业培养方案一、学制五年制本科。

二、培养目标面向未来汽车工业发展，德、智、体、美全面发展，“知识、能力、人格”三位一体，掌握车辆工程（汽车）学科的基本原理和基本知识，具有扎实的基础理论、宽厚的专业知识，获得工程师的基本训练，具备良好职业素养，较强工程实践、一定的工程研究及创新能力，能具备从事车辆工程（汽车）领域内的设计制造、科研开发、应用研究、市场营销、物流等方面工作，具有较强社会责任感、国际视野和国家认证的创新性实践型卓越汽车预备工程师。

三、基本要求本专业学生主要学习机械设计与制造、电子和计算机技术的基础理论、技术和有关机械产品、设备的设计方法、经济分析、市场营销和物流管理等知识，受到现代机械学、电子学和营销管理学的基本训练，具有从事汽车、发动机和汽车电子的研究、设计、制造及汽车营销和物流、车身与空气动力学，汽车实验学等方面工作的基本能力。

I Grundlagen der FahrzeugeletrotechnikI-a Grundlagen der Elektrotechnik - Elektrischer StromZunächst ist unter dem Begriff elektrischer Strom nichts Konkretes vorstellbar. Allerdings kann er fast überall an seinen Wirkungen erkannt werden. So ist bekan nt, daß in einer Leitung oder in einem elektrischen Gerät Strom fließt - erkennbar beispielsweise am Aufleuchten der Ladekontrollampe oder der Fahrscheinwerfer. Der Starter erhält Strom von der Batterie, dreht sich und läßt den Motor anspringen, oder der elektrische Zigarettenanzünder wird benutzt, indem dessen Heizspirale vom 10Batteriestrom zum Glühen gebracht wird. Jeder Autofahrer weiß, daßdie Sicherung durchbrennt, wenn ein Kurzschlußin einer Leitung auftritt. Die Fahrzeugbatterie mußaufgeladen werden: Das besorgt der Ladestrom des Generators; und die Zeiten der von Hand betätigten Hupe sind längst vorüber: ein elektrisches Signalhorn ist an ihre Stelle getreten.Alle diese und viele andere Anwendungen des elektrischen Stroms und seiner Messung finden ihren Ursprung in seinen Wirkungen. Diese sind:□das Magnetfeld, das einen stromdurchflossenen Leiter umgibt,□die Erwärmung, die ein stromdurchflossener Leiter erfährt,□die elektrochemische Wirkung und□die elektrische Leitfähigkeit der Gase.1 Nachweis des Magnetfeldes20Wird eine Kompaßnadel in die Nähe der Pole eines Hufeisenmagneten gebracht, so wird sie von ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt. Das Magnetfeld, das den Hufeisenmagneten umgibt, übt also eine Kraft auf die Kompaßnadel aus.In der Nähe eines stromdurchflossenen geraden Leiters, beispielsweise eines Kupferstabs, wird die Kompaßnadel ebenfalls abgelenkt und gezwungen, sich stets quer zum Leiter einzustellen. Die Schlußfolgerung: Ein stromdurchflossener Leiter ist ebenfalls von einem Magnetfeld umgeben (Bild1.1), das Kräfte auf die Kompaßnadel ausübt.d durch Aneinanderreihen von vielen Windungen eines Drahtes eine Spule gebildet, so ist an derAblenkung der Kompassnadel zu erkennen, daßauch die stromdurchflossene Spule von einem 30Magnetfeld umgeben ist.Wird ein Kupferstab trapezförmig so aufgehängt, daßer zwischen den Polen eines Hufeisenmagneten schwingen kann (Bild 1.2) und dabei von Strom durchflössen, sotreibt ihn eine ablenkende Kraft aus seiner Ruhelage heraus. Wird eine Spule zwischen den Polen eines Magneten drehbar angebracht, so wird sie in dem Augenblick, in dem sie vom Strom durchflössen wird, aus ihrer Ruhelage herausgedreht, bis sich ihre Windungsebene senkrecht zur Verbindungslinie der Pole einstellt (Bild 1.3). Daraus leitet sich ab, daß zwischen dem Magnetfeld des Magneten einerseits und dem des stromdurchflossenen Kupferstabs bzw. der Spule andererseits Kräfte wirken, die die Lage der beweglichen Teile verändern.40Bild 1.l Stromdurchflossener gerader Leiter mit abgelenkter Kompaßnadel (Robert Bosch GmbH)Bild 1.2 Stromdurchflossener gerader Leiter im permanenten Magnetfeld (Robert Bosch GmbH) Bekannt ist, daß sich um eine stromdurchflossene Spule ein Magnetfeld ausbildet. Wird nun der Magnet selbst ebenfalls durch eine Spule und deren Magnetfeld ersetzt, kann mit dieser feststehenden Spule eine andere, bewegliche Spule in Drehung versetzt werden, wenn durch beide Strom geleitet wird. Die bewegliche Spule wird durch die Wechselwirkung der Magnetfeldkräftebeider Spulen gedreht (Bild 1.4),bis sich die Windungen der beweglichen Spulezu denjenigen der dengestellt haben wie ein Stück weiches Eisen von den Polen des Hufeisenmagneten zogen wird, wird es auch voMagnetfeld einer stromdurchflossenen Spule ange (Bild 15) Diese Wirkung eines stdurchflssenen Leiters oder 10einer Spule wird i Gegensatz u den magnetischen Wirkungen eines eisenmagneten Dauer- oder Permanentmagneten) elektromagnetische Wirkung genant.Auf ihr beruhen die Wirkungsweisen der meisten elektrischen Geräte im Kraftfahrzeug, wie beispielsweise des Generator des Reglers, des Starer derelektromagnetchnSchalterusw.Bild 1.3 Stromdurchflossene Spule im permanenten Magnetfeld ( Roben Bosch GmbH )Bild 1.4 Kräftewirkung zwischen stromdurchflossener fester Spule und drehbarer Spule ( Robert Bosch GmbH )Bild 1.5 Eisenkern wird von stromdurchflossener Spule angezogen ( Robert Bosch GmbH )2 Nachweis der ErwärmungEine weitere irkung des elektrischen Stroms ist die Erwärmung des Leiters, die bis zum Glühengesteigert werden kann. Dabei dehnt sich der Leiter aus, was an einem dünnen Kupferdrahtbeobachtet werden kann Bild 1.6), der in der Mitte durch ein Gewicht beastet ist. Bei den Glühlampen der Scheinwerfer werden die kleinen Wendel durch den Strom bis zur Weißglut e rhitzt,bei einem Zigarettenanzünder dagegen genügt schon helle10Rotglut.Bild 1.6 Ausdehnung eines erwärmten Stromleiters ( Robert Bosch GmbH )3 Nachweis der elektrochemischen Wirkungen des StromsElektrochemische Wirkungen des Stroms treten bei Stromdurchgang durch leitende Flüssigkeiten, sogenannte Elektrolyte, auf. Werden in ein Glas Wasser, in dem einige Tropfen Schwefelsaure gelöst wurden, zwei Metallplatten als Sromzuführungen, sogenannte Elektroden, getaucht (Bild 1.7), so steigen bei Stromdurchgang durch das Wasser an den Platten Gasbläschen auf, die sich als Sauerstoff- und Wasserstoffgas nachweisen lassen. Das Wasser ( wird elektrolytisch in seine Bestandteile zerlegt.Fließt Strom durch ein elektrolytisches Silberbad, so scheidet sich an einer d er beiden Elektroden 20Silber ab. In diesem Fall besteht also die elektrochemische Wirkung des Stroms in der Ausscheidung eines Metalls. Die Wirkungsweise der Bleibatterie berh wahrend des Ladevorgangs ebenfalls auf der elektrochemischen Wirkung des Stroms. Die so in der Fahrzeugbatterie aufgespeicherte elektrochemische Energie wird während der Entladung in elektrische Energie umgeformt und an dieVerbraucher abgegeben.Bild 1.7: Elektrolyse des Wassers ( Robert Bosch GmbH )4 Nachweis der elektrischen Leitfähigkeit von GasenNeben Metallen und Flüssigkeiten, den Elektrolyten, können auch Gase den elektrischen Strom leiten.Beim Durchgang des Stroms durch ein mit verdünntem Edelgas, beispielsweise Neon oder Helium, gefülltes Glasrohr entsteht ein starkes Leuchten in dessen Inneren. Von den leuchtenden 30Lichtreklamen her ist diese Erscheinung bekannt. Die Schlußfolgerung daraus ist, da die einzelnen Gasteilchen durch den Stromflußim Glasrohr eine Veränderung erfahren. Ein Funkenüberschlagzwischen zwei Platten oder Spitzen, den Elektroden, ist ebenfalls nichts anderes als ein Stromdurchgang durch die Luft oder durch ein Gasgemisch. Als Beispiel dafür sei der Funkenüberschlag an den Kerzenelektroden einer Zündkerze genannt, durch den das Luft-Kraftstoff-Gemisch im Brennraum des Motors entzündet wird., ISBN 10:3802314964/3-8023-1496-4/ISBN 13: 9783802314964, Verlag: Vogel, Erscheinungsdatum: 1995)。

第三册 E31.durch/führena.执行，贯彻（Plan计划，Befehl命令）；进行，实施（Arbeit工作，Untersuchung调查）Der Beschluss soll sofort durchgeführt werden.b.举行（Demonstration游行，Abstimmung表决）c.die durchführung einer Studie2.aus/schließen 把……除外，排除Wir haben alle schuld, ich schließe mich nicht aus. 我们大家都有错，我也不例外。

Das Misstrauen schließt jede Zusammenarbeit. 不信任妨碍了一切合作。

Er versuchte, jeden Irrtum auszuschließen. 他企图避免出任何错误。

3.aus/wirken sich 发生……作用Der Regen wirkt sich sehr günstig aus.Der Regen wirkt günstig.Der Streik hat sich negativ auf die Wirtschaft ausgewirkt.4.各种例句：a.Der streik wirkte sich verhängnisvoll灾难性的auf die Wirtschaft aus.b.Worauf legen die Jugendlichen Wert?c.Niemand hat mit einer Wandlung zum Guten gerechnet.d.Das Internet verkörpert den neuen Lebensstil unserer Zeit.e.sich für die Einführung neuer Methoden einsetzen 支持采用新方法f.jmdm. seine Anerkennung aussprechen 对某人表示赞赏g.Er dachte (darüber) nach, ob seine Entscheidung richtig gewessen sei.h.Er reagiert auf meine Frage [Auffirderung] überhaupt nicht [mit einem Lächeln].他对我提的问题[要求]毫无反应[一笑置之]。

Fakult¨a t Bauingenieurwesen Institut f¨u r Mechanik und Fl¨a chentragwerke Professur f¨u r Technische Mechanik,Festigkeitslehre und Fl¨a chentragwerke Prof.Dr.-Ing.Bernd W.Zastrau TECHNISCHE UNIVERSIT¨AT DRESDENMusterl¨o sungenvon Aufgaben der LehrveranstaltungTechnische Mechanik1(Stereostatik)zusammengestellt und gepflegt von denMitarbeitern des Lehrstuhles f¨u r MechanikLiebe Studierende des Direkt-und Fernstudiums,die hier vorliegende Sammlung von Musterl¨o sungen zur Technischen Mechanik1umfasst Aufga-ben aus der Aufgabensammlung,die zur Demonstration der gedanklichen Vorbereitung und des Arbeitsablaufes bei der L¨o sung einer Aufgabe geeignet erscheinen.Die Reihenfolge der Aufgaben entspricht der Gliederung der Vorlesung.Ich habe diese Sammlung von Musterl¨o sungen mit meinen Mitarbeitern erzeugt,um Ihnen den ¨Ubungsteil der Lehrveranstaltung zu erleichtern und Material zum Selbststudium an die Hand zu geben.Sollten Ihnen Fehler auffallen,m¨o chte ich Sie bitten,diese uns mitzuteilen.Alle Beteiligten w¨u nschen Ihnen mit diesen Unterlagen viel Erfolg.Dresden,im Oktober2004Fax:0351/46337200VorwortDie hier vorliegende Sammlung von Musterl¨o sungen soll Sie nach gr¨u ndlicher Durcharbeitung bef¨a higen,die in der Aufgabensammlung vorhandenen Aufgaben selbstst¨a ndig zu l¨o sen.Dabei haben wir vor allem darauf geachtet,dass die Unzul¨a nglichkeiten und auch Fehler,die erfah-rungsgem¨aßbei der L¨o sung von Mechanikaufgaben auftreten,durch besondere und umfangreiche Erl¨a uterungen ausgeschlossen werden k¨o nnen.Es wurde Wert darauf gelegt,dass die Dinge,auf die wir in den Seminaren immer wieder hinweisen und die in Belegen und Pr¨u fungen von Ihnen gefor-dert werden,in den Musterl¨o sungen ihren Niederschlagfinden.Dazu geh¨o ren z.B.logischer Aufbau,¨u bersichtliche Gliederung,Nachvollziehbarkeit der L¨o sung,aussagekr¨a ftige Freik¨o rperbilder,klare Skizzen und das Einsetzen der Zahlenwerte erst,wenn das Ergebnis auszurechnen ist.Einige Worte sind noch zum Umgang mit den L¨o sungen zu sagen:•Alle Textstellen,die in Kursivschrift gedruckt sind,sind Hinweise zum Vorlesungsstoffoder Erl¨a uterungen zur gedanklichen T¨a tigkeit und zum Ablauf der Arbeiten und nicht Bestand-teil der in Belegarbeiten oder in der Pr¨u fung geforderten L¨o sung.•L¨o sungsschritte und Skizzen,die nur der didaktischen Darstellungsweise einer Musterl¨o sung dienen,m¨u ssen nicht zwingend Bestandteil Ihrer L¨o sung sein.•Die Gliederung einer Musterl¨o sungen soll gleichzeitig das geistige Gerippe beim Arbeitsablauf einer von Ihnen zu erstellenden L¨o sung sein.Sie ist deshalb manchmal ausf¨u hrlicher als es bei einer normalen L¨o sung notwendig ist.•Aus den vorigen Punkten leitet sich ab,dass der Umfang der Musterl¨o sungen notwendi-gerweise gr¨oßer ist als derjenige,den eine von Ihnen angefertigte L¨o sung haben wird.Um Ihnen die¨Ubertragung in die notwendige Niederschrift zu erleichtern,befinden sich f¨u r3 Musterl¨o sungen im Anhang A entsprechend gek¨u rzte Fassungen.•Als Hilfestellung f¨u r die eigenst¨a ndige Bearbeitung anderer Aufgaben sind im Anhang B ein paar elementare mathematische Zusammenh¨a nge zusammengestellt.Es ist geplant,auch f¨u r die Lehrveranstaltungen TM2(Festigkeitslehre)und TM3(Festigkeitsleh-re/Kinetik)ein solches Heft zu erstellen.Inhaltsverzeichnis und Zuordnung der Aufgaben mit Musterl¨o sung zu den Kapiteln der VorlesungKapitel Aufgabe Nr.Seite 1Einf¨u hrung1.1Begriffsbestimmung Mechanik1.2Physikalische Gr¨oßen,Einheiten und Maßsysteme1.3Grundz¨u ge der Vektorrechnung2Statik der starren K¨o rper2.1Kr¨a fte und Momente und ihre Eigenschaften 2.1-38,-415,72.2Schnitt-und Reaktionsprinzip 2.2-1292.3Auflagerreaktionen allgemeiner Bindungen2.4Kr¨a ftegleichgewicht,zentrale Kr¨a ftesysteme 2.4-3122.5Momentengleichgewicht,Allgemeine Kr¨a ftesysteme 2.5-6,-3014,17 2.6Verteilte Kr¨a fte,Schwerpunkt 2.6-11,-1220,243Statik der Tragsysteme3.1Statische Bestimmtheit 3.1-6263.2Allgemeine Systeme starrer K¨o rper 3.2-4,-2729,32 3.3Schnittgr¨oßen in Fachwerken 3.3-13,-2634,394Schnittgr¨oßen im Balken,Zustandslinien4.1Belastungsarten und r¨a umliche Schnittgr¨oßen4.2Schnittgr¨oßen bei ebener Belastung aus Gleichge-wichtsbedingungen4.3Differentialgleichungen der Schnittgr¨oßen4.4Zustandslinien und ihre Eigenschaften4.5Zustandslinien von ebenen Balkensystemen 4.5-19,-47,-72,-7545,55,60,63 4.6Zustandslinien von gekr¨u mmten Balken 4.6-2,-666,70 4.7Zustandslinien in r¨a umlichen Systemen 4.7-2725Arbeit und Energie5.1Arbeitsbegriffder Mechanik5.2Prinzip der virtuellen Arbeiten 5.2-13755.3Stabilit¨a t des Gleichgewichtes3.2-4,3.3-13,4.5-4780,82,85A Anhang A:Beispiele mit einem f¨u r Belegeund Klausuren notwendigen L¨o sungsumfangB Anhang B:Mathematische HilfsmittelB.1Vektorrechnung90B.2Aufstellen von Funktionsgleichungen92Aufgabe2.1-38:Die nebenstehende Skizze stellt in abstrahierterWeise einen Wegweiser dar.Die Windkraft Wwirkt in einer Ebene parallel zur x,y-Ebeneund schließt mit der x-Richtung einen Win-kel von45◦ein. G ist die Gewichtskraft derAnzeigetafel.Berechnen Sie aus den angreifen-den Kr¨a ften die resultierende Kraft R A und dasMoment M A an der Einspannstelle A.StellenSie die Ergebnisvektoren grafisch dar.Gegeben:W=3kNG=5kNMusterl¨o sungVektorielle Darstellung der Kr¨a fteWindkraft W:W=W(cosαx;cosαy;cosαz)TW ist der Betrag des Vektors W,innerhalb der Klammern ste-hen die Richtungscosinus zur x−,y−und z−Achse.kN(cos45◦;cos45◦;cos90◦)T=(2,12;2,12;0)T kN Gewichtskraft G: G=5kN(0;0;−1)T=(0;0;−5)T kNBeide Kr¨a fte W und G k¨o nnen,da ihre Wirkungslinien einen gemeinsamen Schnittpunkt C haben, zu einer Resultierenden R C zusammengefasst werden.Resultierende R C: R C= W+ G=(2,12;2,12;−5)T kNOrtsvektor r C: r C=(r Cx;r Cy;r Cz)T=(5;0;6)T m6Aufgabe:2.1-38Ermittlung von R A und M A :Die Kraft R A an der Einspannstelle ist gleich der Kraft R C .Sie entsteht durch Parallelverschie-bung von R C nach A .Das Moment M A erh ¨a lt man als Vektorprodukt des Ortsvektors r C und der Resultierenden R C .Die beiden Vektoren R A und M A ersetzen somit ¨a quivalent das in C angreifende Kr ¨a ftesystem. R A ist aus der Parallelverschiebung (Versetzung)von R C in den Punkt A hervorgegangen.Das dabei entstandene Moment M A wird deshalb h ¨a ufig auch als Versetzungsmoment bezeichnet.Kraft R A : R A = R C =(2,12;2,12;−5)T kNMoment M A : M A = r C × R C = e x e y e z r Cx r Cy r Cz R Cx R Cy R Cz= r Cy R Cz −r Cz R Cy r Cz R Cx −r Cx R Cz r Cx R Cy −r Cy R Cx =(−12,72;37,72;10,60)T kNmDas Moment M A l ¨a sst sich auch als Summe der Einzelmomente der beiden Kr ¨a fte W und G zu M A = M A (W )+ M A (G )= r C × W + r C × Gerrechnen.Darstellung der Vektoren RA und M A:Erl ¨a uterungen zum Ergebnis:Die jeweils drei Komponenten der Vektoren RA und M A spannen die in der Skizze gestrichelt dargestellten Quader auf,deren jeweilige Diagonale dem Betrag der Vektoren R A bzw. M A entspricht.Die negativen Vorzeichen von R Az und M Ax aus dem Resultat sind ber ¨u cksichtigt,so dass sich die tats ¨a chliche Richtung von RA und M A (siehe Skizze!)ergibt.Technische Universit ¨a t Dresden,Fakult ¨a t Bauingenieurwesen Lehrstuhl f ¨u r MechanikAufgabe2.1-41:Bestimmen Sie f¨u r das gegebene Kr¨aftesystema)im Koordinatenursprung die resultieren-de Kraft R0und das resultierende Verset-zungsmoment M0undb)die resultierende Kraft R c auf ihrer Wir-kungslinie c–c sowie deren Schnittpunktemit der x-und y-Achse.Gegeben:F1=3kNF2=2kNF3=1kNa=1mMusterl¨o sunga)Bestimmung der resultierenden Kraft R0und des resultierenden Versetzungsmo-mentes M0(d.h.des resultierenden Reduktionspaares)im KoordinatenursprungDie resultierende Kraft R0im Koordinatenursprung ergibt sich aus der Summe der Einzelkr¨a fte:R0= F i=300kN+020kN++1·cos30◦−1·sin30◦kN=3,8661,50kNDas resultierende Versetzungsmoment M0=(00M0z)T ergibt sich aus der Summe der Verset-zungsmomente,die die Einzelkr¨a fte in Bezug auf den Ursprung haben.F¨u r die einzige von Null verschiedene Komponente ergibt sich aus dem Kreuzprodukt:M0z= M0z,i= (x i·F iy−y i·F ix)=(0·0−0,5m·3kN)+(0·2kN−2m·0)+(2,5m·(−0,5kN)−1m·0,866kN)=−1,5kNm+0−(1,25+0,866)kNm=−3,616kNmDarstellung der resultierenden Kraft R0und des resultierenden Versetzungsmomentes M0(des re-sultierenden Reduktionspaares)imKoordinatenursprung:8Aufgabe:2.1-41b)Bestimmung der resultierenden Kraft R C mit Wirkungslinie c-c Die Kraft R C auf der Wirkungslinie c-c ist gleich der Kraft R 0im Koordinatenursprung.Sie ent-steht durch Parallelverschiebung von R0aus dem Koordinatenursprung auf die Wirkungslinie c-c. RC = R 0= 3,8661,50kN ⇒| R C |=R C =4,15kN Die Schnittpunkte der Wirkungslinie c-c mit der x -bzw.y -Achse erh ¨a lt man durch die ¨Aquivalenz von M 0z und dem jeweiligen Moment (in Bezug auf den Koordinatenursprung)des l ¨a ngs seiner Wirkungslinie bis zum Schnitt mit der entsprechenden Koordinatenachse verschobenen Vektors RC .-Schnittpunkt mit der x-Achse:M 0z !=x c ·R Cy ⇒x c =+M 0zR Cy-Schnittpunkt mit dery-Achse:M 0z !=(−y c )·R Cx ⇒y c =−M 0zR Cx-Zahlenwerte undErgebnisdarstellung:x c =−3,616kNm 1,5kN=−2,41m y c =−−3,616kNm 3,866kN=+0,935m Technische Universit ¨a t Dresden,Fakult ¨a t Bauingenieurwesen Lehrstuhl f ¨u r MechanikAufgabe2.2-12:Zeichnen Sie das Freik¨o rperbild des dargestellten Systems. Gegeben:a;F1;F2;q.Musterl¨o sung1.Vollst¨a ndiges FreischneidenBeim vollst¨a ndigen Freischneiden(von manchen Autoren auch”Vollst¨a ndiger Befreiungsprozess“genannt)werden alle Scheiben,Verbindungsk¨o rper(hier:Gelenke)und Lager freigeschnitten.Esentsteht das unten angegebene Bild(”Explosionsmodell“),in dem die Scheiben mit den Nummern Ibis IV bezeichnet werden und das der Berechnung der St¨u tz-und Verbindungskr¨a fte dienen k¨o nnte. Es enth¨a lt16unbekannte Verbindungskr¨a fte und4unbekannte St¨u tzkr¨a fte.Zur Berechnung der Schnittgr¨oßen w¨a ren weitere Freik¨o rperbilder notwendig.Freik¨o rperbild10Aufgabe:2.2-12 Beachtet werden sollte grunds¨a tzlich beim Zeichnen von Freik¨o rperbildern,dass bei jedem gef¨u hrten Schnitt entsprechend dem Wechselwirkungsaxiom von Newton(actio-reactio)die Kopplungskr¨a fte paarweise auftreten und entgegengesetzt gleich sind,d.h.es sind an den Schnittufern Pfeile mit entgegengesetztem Richtungssinn,aber mit der gleichen Bezeichnung einzuf¨u hren.2.Vereinfachtes FreischneidenBetrachtet man das nach dem vollst¨a ndigen Freischneiden entstandene Freik¨o rperbild etwas ge-nauer,so kann man feststellen,dass sowohl bei einigen Scheiben als auch bei einigen Gelenken Sonderf¨a lle vorliegen,die eine weitere Vereinfachung und damit eine Reduzierung der Zahl der unbekannten Kr¨a fte zulassen:•Die Scheiben III und IV sind Pendelst¨a be(auch als Pendelst¨u tzen oder Gelenkst¨a be bezeich-net),d.h.es sind an beiden Enden gelenkig angeschlossene St¨a be,die keine¨a ußere Bela-stung aufweisen.Sie k¨o nnen aus Gleichgewichtsgr¨u nden nur eine Kraft in Stabl¨a ngsrichtung ¨u bertragen,die an beiden Stabenden die gleiche Gr¨oße haben muss.Man kann diese Pen-delst¨a be beim vereinfachten Freik¨o rperbild weglassen und nur die Stabl¨a ngskraft(z.B.mit S i bezeichnet)an den beiden anschließenden Tragwerksteilen einzeichnen.•Das Gelenk zwischen den Scheiben II und IV wird außer durch die Verbindungskr¨a fte der beiden Scheiben durch keine weitere Last(weder durch eine¨a ußere Last noch durch einen weiteren angeschlossenen Stab)beansprucht,so dass es unbelastet ist und nach Einf¨u hren der zu¨u bertragenden Kr¨a fte an den anschließenden Scheiben weggelassen werden kann.•Die befreiten Auflager k¨o nnen normalerweise ebenfalls in der Darstellung entfallen, wenn keine Kraftumrechnungen erfolgen sollen.(Die detaillierte Berechnung der Aufla-ger/Fundamente ist nicht Gegenstand der Technischen Mechanik.)•Eine weitere Vereinfachung ist m¨o glich,wenn die Gelenkkr¨a fte nicht unmittelbar gefragt sind.Dann kann in dem vorliegenden Beispiel die Kraft S1am linken Rand der Scheibe II(oder am rechten Rand der Scheibe I)angebracht werden.Das Gelenk kann somit entfallen.(In beiden F¨a llen ergeben sich unterschiedliche Gelenkkr¨a fte,was sich aber nicht auf die Schnittgr¨oßen auswirkt.)Unter Ber¨u cksichtigung dieser Vereinfachungen erh¨a lt man die folgenden gleichberechtigten Vari-anten f¨u r das nach dem vereinfachten Befreiungsprozess ermittelte Freik¨o rperbild.Es verbleiben nur noch12bzw.6unbekannte St¨u tz-und Verbindungskr¨a fte.Technische Universit¨a t Dresden,Fakult¨a t Bauingenieurwesen Lehrstuhl f¨u r MechanikAufgabe:2.2-1211Fkb 1(1.Variante)Fkb (2.Variante)Wenn wir sp ¨a ter Tragwerke berechnen,werden wir diese immer in der vereinfachten Form (Variante 2)freischneiden.1Als abk ¨u rzende Bezeichnung wird statt des ausgeschriebenen Wortes ”Freik ¨o rperbild“h ¨a ufig die Buchstabenfolge Fkb oder FKB verwendet.Aufgabe2.4-3:Eine Last G wird von zwei Gewichtskr¨a ften G1und G2im Gleichgewicht gehalten.Welche Winkelαundβstellen sich ein?Gegeben:G=500N;G1=300N;G2=400N.Musterl¨o sungDas System wird als in der Gleichgewichtssituation erstarrt betrachtet.Es gilt der Satz:Ein deformierbarer K¨o rper kann nur im Gleichgewicht sein,wenn ein Starrk¨o rper der Form des als verformt betrachteten deformierbaren K¨o rpers sich ebenfalls im Gleich-gewicht befindet.Beim Freischneiden des starren Systems entstehen die Teilsysteme I,II und III(Freik¨o rperbilder siehe untere Skizze!),f¨u r die folgender Satz gilt:Wird ein sich im Gleichgewicht befindendes System in Teilsysteme zerlegt,befinden sich die Teilsysteme ebenfalls im Gleichgewicht.Freik¨o rperbilderAn den beiden reibungsfrei gelagerten Rollen(Teilsysteme II und III)greifen am Umfang nur die Kr¨a fte S1und G1bzw.die Kr¨a fte S2und G2an.Gleichgewicht herrscht offensichtlich nur dann, wenn die Seilkraft der jeweils angeh¨a ngten und nur umgelenkten Gewichtskraft entspricht:S1=G1bzw.S2=G2Das Teilsystem I ist ein zentrales ebenes Kr¨a ftesystem(die beiden Seilkr¨a fte S1und S2greifen ge-meinsam mit der Gewichtskraft G an einem Punkt an),dessen drei Kr¨a fte miteinander im Gleich-gewicht stehen.Aufgabe:2.4-313 GleichgewichtsbedingungenH=0⇒−S1·cosα+S2·cosβ=0(1)V=0⇒S1·sinα+S2·sinβ−G=0(2)Die Abk¨u rzungen H=0bzw. V=0bedeuten:Die Summe aller am System angreifenden Horizontalkr¨a fte bzw.Vertikalkr¨a fte ist gleich Null.Alle Kr¨a fte mit gleichem Richtungssinn haben dabei das gleiche Vorzeichen.Bei Verwendung eines Koordinatensystems(auf jeden Fall notwen-dig bei r¨a umlichen Systemen)k¨o nnen auch die Achsen als Richtungsindex verwendet werden.So bedeutet F x=0:Die Summe aller Kr¨a fte in x-Richtung ist gleich Null.Dabei gilt ein positi-ves Vorzeichen f¨u r alle Kr¨a fte,die in Richtung der positiven x-Koordinate zeigen.Die Abk¨u rzung M(A)=0bedeutet:Die Summe aller Momente um eine im Punkt A der Ebene senkrecht ste-hende Achse ist gleich Null.Der positive Drehsinn der Momente wird dabei durch den Pfeil(z.B. )angegeben.Bei Verwendung eines Koordinatensystems(s.o.)muss die als Drehachse verwen-dete Koordinatenachse bzw.eine Parallele dazu im Index angegeben werden(z.B. M(x)=0bzw. M(x,A)=0).Das A im Index gibt dabei an,dass die Parallele zur x-Achse durch den Punkt A geht.Der positive Drehsinn der Momente wird durch die Rechtsschraubenregel festgelegt(gespreizter Daumen der rechten Hand zeigt in Koordinatenrichtung,Finger in Drehrichtung).L¨o sung des GleichungssystemsG1bzw.G2in die Gln.(1)und(2)⇒G1·cosα=G2·cosβ(3)⇒−G1·sinα=G2·sinβ−G(4) Die beiden Gleichungen(3)und(4)werden quadriert.Es ergeben sich die Gleichungenaus(3)⇒G21·cos2α=G22·cos2β(5)aus(4)⇒G21·sin2α=G22·sin2β−2G G2·sinβ+G2(6) Die Gleichungen(5)und(6)werden addiert.Mitsin2α+cos2α=1ergibt sich die GleichungG21=G22−2G G2·sinβ+G2und durch Aufl¨o sung nach sinβ:sinβ=G2−G21+G222G G2(7)Nach Einsetzen der gegebenen Gr¨oßen erh¨a lt man aus(3)und(7)die Winkelαundβzuα=36,9◦β=53,1◦Aufgabe2.5-6:Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen des dargestellten Systems.Gegeben:aMusterl¨o sungDie Freik¨o rperbilder m¨u ssen nicht maßstabsgerecht sein(die Proportionen sollten aber in etwa stim-men)und nicht die komplette geometrische Bemaßung enthalten.Um eine gr¨oßere¨Ubersichtlichkeit bei der Aufstellung der Gleichungen zu erzielen,ist die Vermaßung aber–besonders f¨u r weniger Ge¨u bte–sinnvoll.Freik¨oDie Pendelst¨u tze am Auflager A kann nur L¨a ngskr¨a fte,das Lager B eine beliebig gerichtete Kraft, z.B.Horizontal-und Vertikalkr¨a fte,aufnehmen.Der Richtungssinn der freigeschnittenen Auflager-reaktionen kann beliebig gew¨a hlt werden.Zerlegen der”schr¨a gen“Kr¨a fte in horizontale und vertikale KomponentenA H=A cos45◦=12√2AA V=A sin45◦=12√2A(Nur eine unbekannte Reaktionskraft!)Es ist f¨u r die L¨o sung nicht erforderlich,die nebenstehen-den Skizzen zu zeichnen.Sie dienen hier nur der Demon-stration der Kraftzerlegung.Das zur obigen Skizze Gesagte trifft auch auf das untenstehende Freik¨o rperbild mit den zerleg-ten Kr¨a ften zu.Empfehlenswert ist,nur ein Freik¨o rperbild zu zeichnen und in diesem bereits die zerlegten Anteile(Komponenten)der freigeschnittenen Auflagerreaktionen einzutragen(siehe Freik¨o rperbild auf der Vorseite!),die Zerlegung der schr¨a g angreifenden Kr¨a fte(Belastungen)aber ”im Kopf“vorzunehmen.Freik¨o rperbild2Gleichgewichtsbedingungen und AuflagerreaktionenEs gibt drei unbekannte Auflagerreaktionen,f ¨u r die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt wer-den m ¨u ssen.Die Bedingungen sollten so gew ¨a hlt werden,dass m ¨o glichst nur Gleichungen mit einer Unbekannten und keine Gleichungssysteme entstehen.Manchmal l ¨a sst sich aber die L ¨o sung des vollst ¨a ndigen Gleichungssystems oder zumindest einer Untermenge von Gleichungen,wie z.B.bei einigen Dreigelenkrahmen oder auch anderen mehrteiligen Systemen,nicht umgehen.F ¨u r die erste Gleichung,eine Momentengleichung,wird der Bezugspunkt a’so gew ¨a hlt,dass er der Schnittpunkt von A und B H ist.F ¨u r die zweite Momentengleichung wird als Bezugspunkt der Schnittpunkt von B H und B V gew ¨a hlt.M(a )=0⇒B V ·3a −20kN ·2a −5kN ·√2·a −5kN √2·a =0(3B V −40kN −10kN ·√a =0⇒B V =40kN +10kN ·√23=18,05kNM (b )=0⇒12√2·A ·3a +5kN ·√2·(a −2a )−20kN ·a =0A ·3a −10kN ·a −28,28kN ·a =0⇒A =12,76kNH=0⇒B H −12√A −5kN √=0B H −20kN +20kN √23=0⇒B H =20kN +20kN √23=16,09kN KontrolleEs empfiehlt sich die ¨Uberpr ¨u fung der Ergebnisse mit einer Kontrollgleichung.Gut daf ¨u r geeignetist eine Gleichgewichtsbedingung,die nicht zur Bestimmung der Auflagerreaktionen genutzt wurde und die eine m ¨o glichst große Zahl der anfangs unbekannten Reaktionskr ¨a fte enth ¨a lt.V =0⇒12√A +B V −20kN −5kN √=012√2·12,76kN +18,05kN −20kN −7,07kN =00=0Aufgabe2.5-30:Ein homogener Quader ist durch4Pendelst¨a be und ein nur in der z-Richtung verschiebliches Auflager gest¨u tzt.Belastet ist der K¨o rper neben seinem Eigengewicht G durch eine Kraft F1und ein Moment M1.Bestimmen Sie die Lagerkr¨a fte im Lager A und die vier Stabkr¨a fte S i.Gegeben:a=4m;b=2,5m;c=2m;G=12kN;F1=20kN;M1=15kNm.Musterl¨o sungDas Freischneiden des Quaders erfolgt,indem anstelle des Lagers A die Lagerkr¨a fte A x und A y sowie anstelle der Pendelst¨a be1bis4die Stabkr¨a fte S1bis S4angetragen werden.Freik¨o rperbildWie das Freik¨o rperbild zeigt,greift an dem K¨o rper ein allgemeines r¨a umliches Kr¨a ftesystem an, f¨u r das sechs linear unabh¨a ngige Gleichgewichtsbedingungen aufgeschrieben werden k¨o nnen.Im all-gemeinen sind dasf¨u r die Kr¨a fte: F x=0; F y=0; F z=0;und f¨u r die Momente: M(x)=0; M(y)=0; M(z)=0.Die Bezugsachsen f¨u r die Momentengleichungen k¨o nnen die Koordinatenachsen oder zu ihnen par-allele Achsen sein.Eine oder mehrere Kraftgleichungen k¨o nnen ebenfalls durch(linear unabh¨a ngige) Momentengleichungen ersetzt werden.Das macht man sich zu Nutze,wenn in einer Kraftgleichung (wie hier z.B. F z=0)drei oder mehr Unbekannte auftreten.Die so ersetzte Kraftgleichung sollte dann aber als zus¨a tzliche Kontrollgleichung verwendet werden.GleichgewichtsbedingungenF x=0⇒A x−S1+F1=0(1)F y=0⇒A y+S2·cosα=0(2)F z=0⇒S2·sinα+S3+S4−G=0(3)M(x,C)=0⇒−A y·c−G·b2+M1=0(4)M(y,E)=0⇒S4·a2+F1·c−G·a2=0(5)M(z,E)=0⇒−A y·a+A x·b=0(6)und als zus¨a tzliche Bedingungen f¨u r das MomentengleichgewichtM(z,C)=0⇒−A y·a+S1·b−F1·b=0(7)M(x,E)=0⇒−(S3+S4)·b+M1+G·b2=0(8)M(y,F)=0⇒(S1−A x)·c−(S2·sinα+S3)·a+(G−S4)·a2=0(9)Die Gleichungen(7)und(8)sollen zur Ermittlung der Kr¨a fte verwendet werden,die Gleichung(9) zur Kontrolle.Daher wurde bei dieser Gleichung die Bezugsachse so gew¨a hlt,dass f¨u nf St¨u tzkr¨a fte darin enthalten sind.Aufl¨o sung des GleichungssystemsWinkelfunktionen:sinα=c√22=2√10,25=0,625cosα=b√22=2,5√10,25=0,781aus(4)⇒A y=M1c−Gb2c=0kNaus(5)⇒S4=G−F12ca=−8kNaus(6)⇒A x=A y ab=0kNaus(7)⇒S1=F1+A y ab=20kNaus(2)⇒S2=−A ycosα=0kNaus(8)⇒S3=G2+M1b−S4=20kNKontrolleA x,A y sowie S1bis S4werden in die Gleichungen(1),(3)und(9)eingesetzt,die f¨u r die Ermittlung der St¨u tzkr¨a fte nicht verwendet wurden.in(1):⇒0−20kN+20kN=0in(3):⇒0+20kNm−8kN−12kN=0in(9):⇒40kNm−80kNm+40kNm=0Aufgabe2.6-11:Bestimmen Sie f¨u r die mit Aussparungen versehene rechteckige Scheibea)den Linienschwerpunkt aller Scheibenr¨a nder,b)den Fl¨achenschwerpunkt.Musterl¨o sungBestimmung von Linien-und Fl¨a chenschwerpunkten durch das Zusammensetzen von Teill¨a ngen bzw.Teilfl¨a chenWie in der Vorlesung hergeleitet,sind die Koordinaten von Linien-und Fl¨a chenschwerpunkten mit den Formeln x sl= xdl dl und y sl= ydl dl bzw.x sA= xdA dA und y sA= ydA dA definiert.H¨a ufig sind aber Linienz¨u ge und Querschnitte aus mehreren Teill¨a ngen l i beziehungsweise Teilfl¨a chen A i zusammen-gesetzt,deren jeweilige Schwerpunktlage x si,y si bereits bekannt ist oder entsprechenden Tabellen-werken entnommen werden kann(Rechtecke,Dreiecke,Kreise).Unter dieser Voraussetzung lassen sich die Bestimmungsgleichungen f¨u r die Koordinaten beispielsweise des Fl¨a chenschwerpunktes mitx sA=1A xdA=1AA1xdA+ A2xdA+...=1A{x s1A1+x s2A2+...}=x si A iA i(1)y sA=1A ydA=1AA1ydA+ A2ydA+...=1A{y s1A1+y s2A2+...}=y si A iA i(2)angeben.Aus der Integration¨u ber die Gesamtfl¨a che wird somit die Summation der die Gesamtfl¨a che bildenden Teilfl¨a chen bzw.deren statische Momente.Werden in den Gleichungen(1)bzw.(2)die Gesamtfl¨a che A bzw.die Teilfl¨a chen A i durch die Gesamtl¨a nge l bzw.die Teill¨a ngen l i ersetzt, erh¨a lt man analoge Gleichungen zur Bestimmung des Linienschwerpunktes.Zur Ermittlung der Schwerpunktkoordinaten geht man nun wie folgt vor:•Festlegung eines Bezugskoordinatensystems•Zerlegung der Linienz¨u ge in Teill¨a ngen bzw.der Gesamtfl¨a che in Teilfl¨a chen mit bekannter Schwerpunktlage•(Tabellarisches)Erfassen der Teill¨a ngen bzw.Teilfl¨a chen sowie deren zugeh¨o riger Schwer-punktkoordinaten und statischen Momente•Bestimmung der Koordinaten des Gesamtschwerpunktes nach Gl.(1)bzw.(2)a)LinienschwerpunktZun¨a chst wird jede Linie einzeln betrachtet,die La-ge der Teilschwerpunkte ist nebenstehender Skiz-ze zu entnehmen.Zweckm¨aßigerweise werden dieTeilschwerpunktkoordinaten gemeinsam mit denTeill¨a ngen in einer Tabelle eingetragen und derenstatische Momente ermittelt.Die Koordinaten desGesamtschwerpunktes ergeben sich dann nach Gl.(1)bzw.(2),wobei die Teilfl¨a chen A i durch dieTeill¨a ngen l i ersetzt werden.l i x si y si x si l i y si l i16a03a018a2210a5a6a50a260a236a10a3a60a218a2410a5a050a2052a a4a2a28a262a2a5a4a210a272a3a4a6a28a282a2a3a4a26a292πa7a2a14πa24πa246,28a219,98a2140,47a2Die Koordinaten des Linienschwerpunktes der Begrenzungslinien aller Teilfl¨a chen ergeben sich nach Gl.(1)bzw.(2)zu=4,75ax s= x si l i l i=219,98a246,28aundy s= y si l i l i=140,57a2=3,04a.46,28aVerk ¨u rztes Verfahren zur Ermittlung der Koordinaten des Linienschwerpunktes:Wenn f ¨u r ganze Linienz ¨u ge,wie zum Beispiel beiRechtecken,die Lage des Schwerpunktes bereits be-kannt ist,bietet es sich an,dies auszunutzen.Das Vorgehen ist analog zum vorigen Beispiel,die An-wendung einer Tabelle ist wiederum zweckm ¨a ßig.Selbstverst ¨a ndlich ergibt sich beim verk ¨u rzten Ver-fahren die gleiche Schwerpunktlage.l ix si y si l i x si l i y si 132a 5a 3a 160a 296a 228a 2a 4a 16a 232a 232πa 7a2a14πa 24πa 246,28a219,98a 2140,47a 2Bei einem Vergleich mit der Tabelle auf der vorigen Seite kann man feststellen,dass die entspre-chenden Spaltensummen ¨u bereinstimmen.b)Fl ¨a chenschwerpunktF ¨u r die Bestimmung des Fl ¨a chenschwerpunktes ei-nes Querschnittes werden wieder die Teilfl¨a chen,deren Teilschwerpunkte und statischen Momente (Fl ¨a chenmomente 1.Ordnung)ermittelt,in einer Tabelle erfasst und die entsprechenden Spaltensum-men in die Gleichungen (1)und (2)eingesetzt.Dieses Verfahren l ¨a sst sich auch bei Fl ¨a chen mit Aussparungen anwenden,diese Ausschnitte sind dabei als ”negative“Fl ¨a chen einzuf ¨u hren.Es seinoch darauf hingewiesen,dass Fl ¨a chen-und Lini-enschwerpunkt i.a.nicht ¨u bereinstimmen.。

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