山东省滨州市2020届高三数学校际联合考试试题

山东省滨州市三校联考2019年11月高三数学期中考试试题第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求；第10-13题有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全对得2分，有错选的得0分.1.设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =（ ）A. {1,0}-B. {1,0,1}-C. {0,1}D. {0,1,2}【答案】C 【解析】 【分析】求出集合Q ，进而求出PQ【详解】解：{}{}2|20|21Q x x x x x =+-<=-<<，所以P Q ={0,1}，故选：C.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2.命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（ ） A. 对任意x ∈R ，都有221x x +> B. 对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C. 存在x ∈R ，使得221x x +> D. 存在x ∈R ，使得221x x +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的直接得到其否定命题.【详解】解：命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是存在x ∈R ，使得221x x +≥. 故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题.3.若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ） A. b c a << B. c a b << C. a b c << D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的性质进行大小比较.【详解】解2221log log 3log 242=<<=，故12a <<； 又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，故选：B.【点睛】本题考查对数函数与指数函数的单调性的应用，关键是要对a ，b ，c 的大小进行估算，是基础题. 4.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用平行的坐标运算列方程求解即可.【详解】解：由已知(3,2)a b x +=+，又()//a b b +，32(2)x x ∴=+，解得：4a =，故选：D.【点睛】本题考查平行的坐标运算，是基础题. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（ ）A. 12B. 1C. 12- D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式得1999()2a a S +=，又由等差数列性质1937a a a a +=+，综合可得7a 的值. 【详解】解：由已知71937959()9()9()29222a a a a a S +++====，得712a =-， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，关键是等差数列性质的应用，是基础题. 6.函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数奇偶性，然后证明当0x >时，sin 0x x +>恒成立，进而可得出答案.【详解】解：因为sin ()x x x xy f x e e -+==+，所以()sin sin ()x xx x x x x x f x e e e e ---+----==++， 得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e-+=+为奇函数，排除C ； 设()sin g x x x =+，'()1cos 0g x x ∴=-≥恒成立，所以在[0,)+∞，()sin g x x x =+单调递增，所以()0sin 00g x ≥+=，故sin 0x xx xy e e -+=≥+在[0,)+∞上恒成立，排除AD ，故选：B.【点睛】本题考查具体函数图像的判断，关键是要充分利用函数的性质进行排除，是中档题.7.已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 10 B. 12C. 16D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由已知0a >，0b >，不等式41m a b a b+≥+恒成立，转化成新函数的最小值问题． 【详解】解：由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，所以41()m a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立， 转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++⎪⎝⎭最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以9m ≤．故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于简单题．8.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行B. α，β平行与同一个平面C. α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D. α，β垂直与同一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【详解】解：对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行； 对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β；的对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行． 故选：C ．【点睛】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题． 9.若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A. 78-B. 14-C.14D.78【答案】A 【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1721168=⨯-=-． 故选A ．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等. 10.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-【答案】B 【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==- 故选B11.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.11a b< B.11a b> C. 2a b > D. 22a b >【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分别进行判断即可． 【详解】解：当12,2a b ==-，满足条件．但11a b <不成立，故A 错误，当0a b >>时，11a b<，故B 错误， 11,0b b >>-≠，201b ∴<<，则2a b >，故C 正确，11,0,0a b a b a b >>>-∴+>->，22()()0a b a b a b ∴-=+->，故D 正确.故选：CD ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键． 12.设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. π-是()f x 的一个周期 B. ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到C. ()f x π+的一个零点为6x π=D. ()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】【分析】由题意利用正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，对每个选项逐一判断，从而得出结论． 【详解】解：()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确； ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，属于基础题．13.已知函数2,0()(1),0x xe mx m xf x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x =+-且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ） A. 1 B. eC. 2eD. 3e【答案】CD 【解析】 【分析】首先判断()F x 为偶函数，考虑0x >时，()F x 的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求m 的范围.【详解】解：因为()()()F x f x f x =+-，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数， 由题意可得0x >时，()F x 有两个零点， 当0x >时，0x -<，()2xf x e mx m -=-+即0x >时，()22xxxxF x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+， 由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()tty te t e x t -=+-， 由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2t tte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ，故22,m e m e >∴>， 故选：CD.【点睛】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想及计算能力，难度较大.第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分14.若数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.【答案】15 【解析】 【分析】首先求出当n 为奇数时1n n a a ++的值，然后求出当1,3,5,7,9n =时的和即可. 【详解】解：数列{}n a 通项公式(1)(32)nn a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15.【点睛】本题考查数列求和，关键是要发现当n 为奇数时13n n a a +=+，考查计算能力，是基础题. 15.若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量夹角的大小是_______.【答案】6π 【解析】由27a b -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=332cos ,,.26a b a b π∴==∴=16.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】-2 【解析】 【分析】通过函数的对称性，判断函数的周期，然后利用周期性和对称性化简所求表达式，求出函数值即可． 【详解】解：因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.【点睛】本题考查函数的周期性、函数值的求法，考查计算能力，是中档题． 17.已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.【答案】13π 【解析】 【分析】设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，先求出ABC ∆外接圆半径，进而可求出三棱锥S ABC -外接球半径，从而可得外接圆表面积. 【详解】解：如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan3SA AB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心， 连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC 在ABC ∆，2222cos 31216AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，关键要找到外接球的球球心位置，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）证明详见解析；()2413nn T =-. 【解析】 【分析】（1）设公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）先由（1）得数列{}n b 的通项公式，得其为等比数列，进而用等比数列的前n 项和公式求和即可.【详解】解：因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()21114a d a a d +=⋅+，即212a d d =，∵0d ≠，∴12a d =①51545252dS a ⨯=+=，整理得125a d +=② （或53525S a ==，∴3152a a d ==+）由①②解得112a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21n a a n d n =+-=- （2）2122na n nb -==因为21121242n n n n b b ++-== 所以数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列所以数列{}n b 的前n 项和为()()135212142222241143n n nnT --=++++==-- 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，等比数列的前n 项和公式，考查运算能力，属于基础题．19.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）最大值为2，最小值为-1.. 【解析】 【分析】（1）通过最小值求出A ，通过相邻两条对称轴之间的距离求出ω，通过图像所过的点求出ϕ，从而得出函数()f x 的解析式1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后解不等式1222262k x k πππππ-+≤+≤+，可得函数()f x 的单调递增区间；（2）通过[0,2]x πÎ，求出126x π+的范围，进而可得函数()f x 的最大值和最小值. 【详解】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+最小值是-2，∴2A =，∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， ∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ， 又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ.可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x πÎ ∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.【点睛】本题考查了sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，考查了三角函数最值得求法，是基础题． 20.已知数列{}n a 的前n 项和n S2(2,)n n =+≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）24n S n =，4(21)n a n =-；（2）16(21)n nT n =+【解析】 【分析】（1）先由已知得出数列n S ，通过1n n n a S S -=-即可求出n a ；（2）先求出{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求出{}n b 的前n 项和. 【详解】解：（I2=，.∴数列为等差数列，2==，22(1)2n n =+-=，即24n S n =，当2n ≥时，22144(1)4(21)n n n a S S n n n -=-=--=-，又12a =也满足上式，∴4(21)n a n =-； （II ）由（1）知，111116(21)(21)322121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1111111323352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭， 111322116(21)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查n S 法求通项公式以及裂项相消法求和，是基础题.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++ ∵A B C π++=(1cos())(1cos )B A C B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A B C π++=，2222cos2cos 2sin 222A CB BB B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B-=∴tan2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 23ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 为1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）推导出AB ⊥平面11AAC C ，从而AB AM ⊥，由11A B AB ∥，得11A B AM ⊥，再由1AM B N ⊥，能证明AM ⊥平面11A B N ．（2）以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出二面角111A B N C --正弦值．【详解】解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥ ∵AB AC ⊥，1AA ⊂平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，且1AA AC A =，∴AB ⊥平面11AAC C ，（或者由面面垂直的性质证明） 又∵AM ⊂平面11AAC C ，∴AB AM ⊥ ∵11A B AB ∥，∴11A B AM ⊥，∵1AM B N ⊥，11A B ⊂平面11A B N ，1B N ⊂平面11A B N ，且1111A B B N B ⋂=， ∴AM ⊥平面11A B N的（2）以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -﹐设1AA a =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,0,)B a ，1(0,1,1)C ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,1,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵1AM B N ⊥，∴211110,1,,,022222a aAM B N a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1a = ∴1(1,0,1)B ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面11A B N 法向量为{,,}m x y z =11(1,0,0)A B =，111,,122B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴11101122m A B x m B N x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，∴可取(0,2,1)m = 设平面1B NC 法向量为{,,}n x y z =1(1,1,0)BC =-，111,,122B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴1101122n B C x y n B N x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，∴可取(1,1,0)n = ∴10cos ,||||5m n m n m n ⋅〈〉==⋅ 所以二面角111A B N C --. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知()sin ()f x a x a =∈R ，()xg x e =.（1）求()g x 在0x =处的切线方程；（2）若1a =，证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增； （3）设()()()(0)f x g x F x a a ⋅=≠对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥成立求实数k 的取值范围. 【答案】（1）10x y -+=；（2）详见解析；（3）1k ≤. 【解析】 【分析】（1）求出()g x 的导数，求得切线斜率及切点，由点斜式即可得切线方程；（2）求出()()ln G x f x x =+的导数，将证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增转化为()0G x '>在(0,1)上恒成立即可；（3）先化简求出()sin xF x e x =，()F x kx ≥恒成立即()sin 0xh x e x kx =-≥恒成立，对()h x 求导，对k 进行讨论，研究()h x 的最小值不小于零即可.【详解】解：（1）()xg x e '=，(0)1g '=，(0)1g =， 所以()g x 在0x =处的切线方程为1y x -=，即10x y -+= （2）()sin 1n G x x x =+， 则1()cos G x x x'=+，由于(0,1)x ∈，故11x>， 又cos [1,1]x ∈-，故c o s 1x ≤， 故1cos 0x x+>，即()0G x '>在(0,1)上恒成立， 故()G x 在(0,1)递增；（3）()sin xF x e x =， 由对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥恒成立， 设()sin xh x e x kx =-，则()sin cos xxh x e x e x k '=+-， 再设()sin cos xxm x e x e x k =+-，则()sin cos cos sin 2cos xxxxxm x e x e x e x e x e x '=++-=，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()0m x '≥ 因此()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故()(0)1m x m k ≥=-，①当1k ≤时，()0m x ≥即()0h x '≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，故()(0)0h x h ≥=，即1k ≤适合题意，②当1k >时，(0)10m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02=x π，0(0,)x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当0(0,)x x ∈时，()0m x <，总之﹐存在00,2X π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使0(0,)x x ∈时()0m x <， 即()0h x '<，故()h x 递减，()(0)0h x h <=， 故1k >时，存在0(0,) x 使()0h x <，不合题意， 综上，1k ≤.【点睛】本题主要考查了利用导数求切线的方程和函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性及最值等知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，是一道难度较大的题目．。

山东省滨州市博兴县第三中学2020届高三数学阶段性测试试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共52分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量()()1,3,,1a b m =-=，若向量,a b 夹角为3π，则m = A ．33B ．3C ．0D ．3-2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF = A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+C ．12AB AD +D ．3144AB AD +3．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α=A.2425B. 65 C. 35- D.4+ 4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何?”意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤?”(设该金杖由粗到细是均匀变化的) A ．21 B ．18 C ．15 D ．125．已知4sin cos ,,,sin cos 342ππθθθθθ⎛⎫+=∈-= ⎪⎝⎭则A.3B. 3-C. 13D. 13-6．在ABC ∆中，6012A AB AC ∠===，，，若3,BD DC AE AC AB R λλ==-∈，， 且1AD AE λ⋅=，则的值为 A ．213B ．1C ．311D ．8137．对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是 A ．a b a b ⋅<⋅ B. a b a b-≤-C. ()()22a b a b a b -+=- D. ()()22a b a b+=-8．在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅=A. 32 B. 94- C. 52- D. 3-9．22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10．已知,αβ为锐角，()4tan ,cos tan 35ααββ=+=-=A ．2BC ．23D ．79二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。

山东省滨州市洋湖中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数(a>0且)在(∞，+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是参考答案：C略2. （5分）已知函数若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞） B． [1，+∞） C．（0，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：作图题．【分析】：通过作出函数的图象，可知当直线y=k过点（0，1）时，直线与曲线有1个公共点；当直线y=k过点（0，2）时，直线与曲线有3个公共点，而当直线介于上述两条直线间的时候，会有3个不同的公共点，可得答案．解：∵，作函数的图象如图函数y=k，（k为常数）的图象是平行于x轴的直线，结合图象可知，当直线y=k过点（0，1）时，直线与曲线有1个公共点，当直线y=k过点（0，2）时，直线与曲线有3个公共点，而当直线介于上述两条直线间的时候，会有3个不同的公共点，故当x∈（1，2]，时直线与曲线有3个不同的公共点，即关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根．故选D【点评】：本题为方程实根的个数问题，只需转化为两函数图象的交点的个数，通过作出函数的图象从而使问题得解，属中档题．3. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A． y= －B. y=lnxC. y=D. y=x3＋参考答案：D略4. 已知函数,则函数的大致图像是( )A. B. C. D.参考答案：A5. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（ ）．．．．参考答案：C由条件可知当时，，函数递减，当时，，函数递增，所以当时，函数取得极小值.当时，，所以，函数递增，当，，所以，函数递减，所以当时，函数取得极大值.所以选C.5、某几何体的三视图如题图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、B 、C 、D 、参考答案： ：C 7. 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A ．B ．CD ．参考答案： D 8.设项数为8的等比数列的中间两项与的两根相等，则数列的各项相乘的积为（ ）A. 64B. 8C. 16D. 32 参考答案：答案：C9. 已知集合A ={1,2,3},集合B ={x |x 2－5x +4＜0},则集合A ∩B 的子集的个数为( ) A. 4 B.3 C. 2 D. 1参考答案：A 10. 已知的充分不必要条件，则实数的取值范围A.B.C.D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (坐标系与参数方程选做题)若圆:与直线相切，则． 参考答案：略12. 已知全集，集合，，则 .参考答案：略13. 已知，若任取，都存在，使得，则的取值范围为．参考答案：略14. .若a n 是二项式展开式中项的系数，则______参考答案：2 【分析】根据二项展开式的通项公式可得，进而得到，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果.【详解】的展开式通项公式为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和. 15. 曲线在点（1,1）处的切线为，则上的点到圆x 2+y 2+4x +3=0上的点的最近距离是________．参考答案：2略16. 若函数f(x)＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．参考答案：(－2,2)17. 等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=33，则a 3+a 5= ．参考答案：38【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的定义和性质可得a 3+a 5 =a 2+a 6，把条件代入运算求得结果． 【解答】解：等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=33，则a 3+a 5 =a 2+a 6=5+33=38， 故答案为 38．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省滨州市北城中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）（A）2 （B）1 （C）（D）参考答案：D由程序框图知，，；，；，；，；…∴是以3为周期循环出现的，又，∴,，∴,当时，便退出循环，∴输出。

2. 某几何体的三视图如图示（单位: cm）：则该几何体的体积为______cm3；该几何体的外接球的直径为_______cm．参考答案：,3.参考答案：4. 若P为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______.A. B. C. D.参考答案：D5. 在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是( )A． B. C. D. 2参考答案：A6. 一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）（A）6 （B）12 （C）144 （D）72参考答案：D略7. 下列命题中是假命题的是（）A．B．C．是幂函数，且在（0，+）上递减D．，函数都不是偶函数参考答案：D8. 已知是复数，，则等于( )A . B. C. D.参考答案：A9. 若x∈（ e－1, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则（）A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a参考答案：C【知识点】对数与对数函数B7因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e-1，1）时，a∈（-1，0），于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．【思路点拨】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．10. 复数的值是A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数若，则实数a的取值范围是．参考答案：12. 设函数的定义域为，若，使得成立，则称函数为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：①；②；③；④；⑤．其中是“美丽函数”的序号有．参考答案：②③④略13. 已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．参考答案：63【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．14. 设向量，，若，则实数________.参考答案：15. 在正项等比数列中，a 3a 7=4，则数列{}的前9项之和为 .参考答案：答案：9 16. 已知向量夹角为，且；则参考答案：17. 如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的定义域为 ；的零点是 .参考答案：（2，4）（2分），3（3分） 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．己知{}21log ,1,,2A y y x x B y y x A B x ⎧⎫==>==>⋂=⎨⎬⎩⎭，则 A ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．()0+∞，D ．()102⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， 2．在复平面内，复数z 对应的点与1+i 对应的点关于实轴对称，则zi= A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算．算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示)．表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列．但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推．例如3266用算筹表示就是，则7239用算筹可表示为4．设,m n 为非零向量，则“存在止数λ，便得m n λ=”是“0m n ⋅>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是 A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若10a <，则()()21230a a a a --<D ．若120a a <<，则213a a a >6．己知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=.记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221213e e +的值为 A ．1 B ．2512C ．4D ．167．己知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x ≥恒成立，则实数m 的范围是A ．3,322⎡⎤--+⎣⎦B ．1,322⎡⎤--+⎣⎦C. []3,1-D ．322,1⎡⎤-+⎣⎦8．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为()1212,0x x x x π<<<，则()12sin x x -=A ．35-B ．45-C ．23-D ．33-二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前山东省滨州市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学试题2020年6月本试卷共6页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}41,,21,M x x n n Z N x x n n Z ==+∈==+∈,则A ．M N ⊆ C. N M ⊆ C ．M ∈N D ．N ∈M 2．函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为A ．10x ey e +-+= B. 10x ey e -+-= C ．0x ey += D ．0x ey -=3．已知x R ∈,当复数()3z x i +-的模长最小时,z 的虚部为A B ．2 C ．2- D. 2i -4．已知,m n 为两条不同的直线,,,αβγ为三个不同的平面,则下列命题正确的是A.若//,//,//m n m n αα则B..若,=m m αβγβαγβ⊥⊥⋂⊥，且，则C.若,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则D. 若,//,m n m n αβαβ⊥⊥⊥，则5．已知随机变量X 服从正态分布N(0,1),如果P(X ≤1)=0.8413,则()10P X -<≤=A ．0.3413B ．0.6826C ．0.1587D ．0.07946．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构．也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1),沿三边的中点连线,将它分成四个小三角形,挖去中间的那一个小三角形(如图2),对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1,则图4(阴影部分)的面积为 A. 916 B. 419 C. 2764 D. 827 7．已知抛物线()222419C y x E x y =-+=：与圆：相交于A,B 两点,点M 为劣弧»AB 上不同A,B 的一个动点,平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N,则MNE ∆的周长的取值范围为A ．(3,5) B.(5,7) C ．(6,8) D.(6,8]8．已知点O 是ABC ∆内一点,且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==u u u r u u u r u u u r r ,则实数m 的值为 A ．4- B ．2- C. 2 D ．4二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得3分,有选错的得0分．9．2020年3月12日,国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年,特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩,这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．。

山东省滨州市市滨城区第一中学2020年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数与其导函数的图象如图，则函数的递减区间为（）A．(0,4) B．(－∞,0),(1,4) C. D．(0,1)(4,+∞)参考答案：D2. 已知向量满足，且与夹角为，则（）A. -3B. -1C. 1D. 3参考答案：B【分析】根据向量的运算法则与数量积的运算求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的运算法则与数量积的运算,属于基础题型.3. 已知平面向量a，b满足a与b的夹角为，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略4. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：B5. 已知在等差数列中,,公差,若,其中为该数列的前项和,则的最小值为A.60B.62C.70D.72参考答案：B6. 设函数有两个极值点，且，则（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 已知直线l1：x=﹣4和直线l2：3x+4y+18=0，P是抛物线y2=16x上的点，P到l1、l2距离之和最小时，P到直线l2的距离是（）A．1 B．2 C．5 D．6参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得焦点坐标根据抛物线的定义可知：当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，求得DF的方程，代入抛物线方程，求得P点坐标，利用点到直线的距离公式即可求得P到直线l2的距离．【解答】解：由抛物线y2=16x焦点为（4，0），由抛物线的定义可知：丨PC丨=丨PF丨，P到直线l2的距离d为丨PD丨，则丨PC丨+丨PD丨=丨PF丨+丨PD丨，当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，最小值为丨FD丨==6，直线DF的斜率为，DF的方程为：y=（x﹣4），，解得：或（舍去），则P点坐标为（1，﹣4），P到直线l2的距离d==1，P到直线l2的距离1，故选A．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．8. 一个多面体的三视图如图所示，则此多面体外接球的表面积是A． B． C． D．参考答案：C略9. 已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是( )A. B. C.8 D.12参考答案：Ｄ10. 若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）(A) -2 (B) 4 (C)—6 (D) 6参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为________．参考答案：112. 设等差数列{a n}的公差d＜0，前n项和为S n，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，则d= ．参考答案：﹣2【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列通项公式、等比中项定义、等差数列前n 项和公式，列出方程组，由此能求出公差d ．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d＜0，前n项和为S n，3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，∴，解得a1=11，d=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．13. 为了了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为______________.参考答案：2514. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 已知f(x)=是奇函数，则f（g（﹣2））=．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣3）=1，故f（g（﹣2））=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．16. 设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D本题考查球和棱柱的三视图以及体积的计算，难度中等。

山东省滨州市三校联考2019年11月高三数学期中考试试题第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求；第10-13题有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全对得2分，有错选的得0分.1.设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =（ ）A. {1,0}-B. {1,0,1}-C. {0,1}D. {0,1,2}2.命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（ ） A. 对任意x ∈R ，都有221x x +> B. 对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C. 存在x ∈R ，使得221x x +>D. 存在x ∈R ，使得221x x +≥3.若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ） A. b c a <<B. c a b <<C. a b c <<D. c b a << 4.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 45.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（ ） A.12B. 1C. 12- D. 26.函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（ ）A.B.C. D.7.已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 10B. 12C. 16D. 98.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ）A. α内有无数条直线与β平行B. α，β平行与同一条直线C. α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D. α，β垂直与同一个平面9.若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A. 78-B. 14-C.14D.7810.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-11.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.11a b< B.11a b> C. 2a b > D. 22a b >12.设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. π-是()f x 的一个周期 B. ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到C. ()f x π+一个零点为6x π=D. ()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 13.已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x 且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ） A. 1B. eC. 2eD. 3e第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分14.若数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.15.若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量夹角的大小是_______.16.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.17.已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .19.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 2(2,)n n =≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 22cos 02A CB +-=. （1）求角B的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ； （2）若M 为1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.23.已知()sin ()f x a x a =∈R ，()xg x e =.（1）求()g x 在0x =处的切线方程；（2）若1a =，证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增； （3）设()()()(0)f x g x F x a a ⋅=≠对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥成立求实数k 的取值范围.山东省滨州市三校联考2019年11月高三数学期中考试试题第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求；第10-13题有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全对得2分，有错选的得0分.1.设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =（ ）A. {1,0}-B. {1,0,1}-C. {0,1}D. {0,1,2}【答案】A 【解析】 【分析】求出集合Q ，进而求出P Q【详解】解：{}{}2|20|21Q x x x x x =+-<=-<<，所以P Q ={-10}，， 故选：A【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2.命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（ ） A. 对任意x ∈R ，都有221x x +> B. 对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C. 存在x ∈R ，使得221x x +> D. 存在x ∈R ，使得221x x +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的直接得到其否定命题.【详解】解：命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是存在x ∈R ，使得221x x +≥. 故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题.3.若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ） A. b c a << B. c a b <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的性质进行大小比较.【详解】解2221log log 3log 242=<<=，故12a <<； 又22542b =>=，故2b >；33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，故选：B.【点睛】本题考查对数函数与指数函数的单调性的应用，关键是要对a ，b ，c 的大小进行估算，是基础题. 4.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用平行的坐标运算列方程求解即可.【详解】解：由已知(3,2)a b x +=+，又()//a b b +，32(2)x x ∴=+，解得：4a =，故选：D.【点睛】本题考查平行的坐标运算，是基础题. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（ ） A. 12B. 1C. 12- D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式得1999()2a a S +=，又由等差数列性质1937a a a a +=+，综合可得7a 的值. 【详解】解：由已知71937959()9()9()29222a a a a a S +++====，得712a =-， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，关键是等差数列性质的应用，是基础题. 6.函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数奇偶性，然后证明当0x >时，sin 0x x +>恒成立，进而可得出答案. 【详解】解：因为sin ()x x x xy f x e e -+==+，所以()sin sin ()x x x x x x x x f x e e e e ---+----==++，得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e -+=+为奇函数，排除C ；设()sin g x x x =+，'()1cos 0g x x ∴=-≥恒成立，所以在[0,)+∞，()sin g x x x =+单调递增，所以()0sin 00g x ≥+=，故sin 0x xx xy e e -+=≥+在[0,)+∞上恒成立，排除AD ，故选：B.【点睛】本题考查具体函数图像的判断，关键是要充分利用函数的性质进行排除，是中档题. 7.已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 10 B. 12C. 16D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由已知0a >，0b >，不等式41m a b a b+≥+恒成立，转化成新函数的最小值问题． 【详解】解：由已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，所以41()m a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立， 转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以9m ≤．故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于简单题． 8.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行B. α，β平行与同一条直线C. α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D. α，β垂直与同一个平面【答案】C 【解析】 【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【详解】解：对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行； 对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β； 对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行． 故选：C ．【点睛】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题． 9.若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A. 78-B. 14-C.14D.78【答案】A【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1721168=⨯-=-． 故选A ．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等. 10.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-【答案】B 【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==-故选B11.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.11a b< B.11a b> C. 2a b > D. 22a b >【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分别进行判断即可． 【详解】解：当12,2a b ==-，满足条件．但11a b <不成立，故A 错误，当0a b >>时，11a b<，故B 错误， 11,0b b >>-≠，201b ∴<<，则2a b >，故C 正确，11,0,0a b a b a b >>>-∴+>->，22()()0a b a b a b ∴-=+->，故D 正确.故选：CD ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键． 12.设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. π-是()f x 的一个周期 B. ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到C. ()f x π+的一个零点为6x π=D. ()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，对每个选项逐一判断，从而得出结论． 【详解】解：()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，属于基础题．13.已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x 且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ） A. 1 B. eC. 2eD. 3e【答案】CD 【解析】 【分析】首先判断()F x 为偶函数，考虑0x >时，()F x 的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求m 的范围. 【详解】解：因为()()()F x f x f x ，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，由题意可得0x >时，()F x 有两个零点， 当0x >时，0x -<，()2xf x e mx m -=-+即0x >时，()22xxxxF x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+，由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()tty te t e x t -=+-，由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2t tte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ，故22,m e m e >∴>， 故选：CD.【点睛】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想及计算能力，难度较大.第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分14.若数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.【答案】15 【解析】 【分析】首先求出当n 为奇数时1n n a a ++的值，然后求出当1,3,5,7,9n =时的和即可.【详解】解：数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15.【点睛】本题考查数列求和，关键是要发现当n 为奇数时13n n a a +=+，考查计算能力，是基础题. 15.若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量夹角的大小是_______.【答案】6π 【解析】由27a b -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=332cos ,,.2613a b a b π∴==∴=⨯16.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】-2 【解析】 【分析】通过函数的对称性，判断函数的周期，然后利用周期性和对称性化简所求表达式，求出函数值即可． 【详解】解：因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.【点睛】本题考查函数的周期性、函数值的求法，考查计算能力，是中档题．17.已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABCπ∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 【答案】13π 【解析】 【分析】设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，先求出ABC ∆外接圆半径，进而可求出三棱锥S ABC -外接球半径，从而可得外接圆表面积. 【详解】解：如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：33tan3SA AB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心， 连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC 在ABC ∆，22232cos 312316AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==，所以三棱锥S ABC -外接球半径为2R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，关键要找到外接球的球球心位置，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）证明详见解析；()2413nn T =-. 【解析】 【分析】（1）设公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）先由（1）得数列{}n b 的通项公式，得其为等比数列，进而用等比数列的前n 项和公式求和即可.【详解】解：因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()21114a d a a d +=⋅+，即212a d d =，∵0d ≠，∴12a d =①51545252dS a ⨯=+=，整理得125a d +=② （或53525S a ==，∴3152a a d ==+）由①②解得112a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21n a a n d n =+-=- （2）2122na n nb -==因为21121242n n n n b b ++-== 所以数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列 所以数列{}n b 的前n 项和为()()135212142222241143n n nn T --=++++==-- 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，等比数列的前n 项和公式，考查运算能力，属于基础题．19.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）最大值为2，最小值为-1.. 【解析】 【分析】（1）通过最小值求出A ，通过相邻两条对称轴之间的距离求出ω，通过图像所过的点求出ϕ，从而得出函数()f x 的解析式1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后解不等式1222262k x k πππππ-+≤+≤+，可得函数()f x 的单调递增区间； （2）通过[0,2]x π，求出126x π+的范围，进而可得函数()f x 的最大值和最小值. 【详解】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小值是-2，∴2A =， ∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ， 又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ. 可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x π ∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.【点睛】本题考查了sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，考查了三角函数最值得求法，是基础题． 20.已知数列{}n a 的前n 项和n S2(2,)n n =≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ；（2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）24n S n =，4(21)n a n =-；（2）16(21)n nT n =+.【解析】 【分析】（1）先由已知得出数列n S ，通过1n n n a S S -=-即可求出na；（2）先求出{}n b的通项公式，再利用裂项相消法求出{}n b的前n项和.【详解】解：（I2=，∴数列为等差数列，2==，22(1)2n n=+-=，即24nS n=，当2n≥时，22144(1)4(21)n n na S S n n n-=-=--=-，又12a=也满足上式，∴4(21)na n=-；（II）由（1）知，111116(21)(21)322121nbn n n n⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，∴1111111323352121nTn n⎛⎫=-+-++-⎪-+⎝⎭，111322116(21)nn n⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【点睛】本题考查n S法求通项公式以及裂项相消法求和，是基础题.21.在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c22cos02A CB+-=. （1）求角B的大小；（2）若2sin2sin sinB A C=，且ABC∆的面积为ABC∆的周长.【答案】（1）23Bπ=；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos(1cos())2A CB B A C+-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B A C B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A B C π++=，2222cos2cos 2sin 222A CB BB B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin 02B ≠sin 022B B-=∴tan2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 23ac π==16ac = 因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-= ∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 为1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.【答案】（1）详见解析；（215. 【解析】【分析】（1）推导出AB ⊥平面11AAC C ，从而AB AM ⊥，由11A B AB ∥，得11A B AM ⊥，再由1AM B N ⊥，能证明AM ⊥平面11A B N ．（2）以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出二面角111A B N C --的正弦值．【详解】解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥∵AB AC ⊥，1AA ⊂平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，且1AA AC A =，∴AB ⊥平面11AAC C ，（或者由面面垂直的性质证明） 又∵AM ⊂平面11AAC C ，∴AB AM ⊥∵11A B AB ∥，∴11A B AM ⊥，∵1AM B N ⊥，11A B ⊂平面11A B N ，1B N ⊂平面11A B N ，且1111A B B N B ⋂=，∴AM ⊥平面11A B N（2）以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -﹐设1AA a =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,0,)B a ，1(0,1,1)C ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,1,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵1AM B N ⊥，∴211110,1,,,022222a a AM B N a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1a = ∴1(1,0,1)B ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面11A B N 法向量为{,,}m x y z = 11(1,0,0)A B =，111,,122B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴111011022m A B x m B N x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，∴可取(0,2,1)m = 设平面1B NC 法向量为{,,}n x y z =1(1,1,0)BC =-，111,,122B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴11011022n B C x y n B N x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，∴可取(1,1,0)n =∴10cos ,||||5m n m n m n ⋅〈〉==⋅所以二面角111A B N C --的正弦值为5. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知()sin ()f x a x a =∈R ，()x g x e =.（1）求()g x 在0x =处的切线方程； （2）若1a =，证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增；（3）设()()()(0)f x g x F x a a ⋅=≠对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥成立求实数k 的取值范围. 【答案】（1）10x y -+=；（2）详见解析；（3）1k ≤.【解析】【分析】（1）求出()g x 的导数，求得切线斜率及切点，由点斜式即可得切线方程；（2）求出()()ln G x f x x =+的导数，将证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增转化为()0G x '>在(0,1)上恒成立即可；（3）先化简求出()sin x F x e x =，()F x kx ≥恒成立即()sin 0xh x e x kx =-≥恒成立，对()h x 求导，对k 进行讨论，研究()h x 的最小值不小于零即可.【详解】解：（1）()x g x e '=，(0)1g '=，(0)1g =， 所以()g x 在0x =处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=（2）()sin 1n G x x x =+，则1()cos G x x x'=+， 由于(0,1)x ∈，故11x >，又cos [1,1]x ∈-，故c o s 1x ≤， 故1cos 0x x+>，即()0G x '>在(0,1)上恒成立， 故()G x 在(0,1)递增；（3）()sin xF x e x =， 由对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥恒成立， 设()sin xh x e x kx =-， 则()sin cos x xh x e x e x k '=+-， 再设()sin cos x xm x e x e x k =+-， 则()sin cos cos sin 2cos x x x x xm x e x e x e x e x e x '=++-=， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()0m x '≥ 因此()m x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 故()(0)1m x m k ≥=-，①当1k ≤时，()0m x ≥即()0h x '≥， ()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，故()(0)0h x h ≥=， 即1k ≤适合题意，②当1k >时，(0)10m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 若20e k π-<，则取02=x π，0(0,)x x ∈时，()0m x <， 若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ， 当0(0,)x x ∈时，()0m x <，总之﹐存在00,2X π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使0(0,)x x ∈时()0m x <， 即()0h x '<，故()h x 递减，()(0)0h x h <=，故1k >时，存在0(0,) x 使()0h x <，不合题意，综上，1k ≤.【点睛】本题主要考查了利用导数求切线的方程和函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性及最值等知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，是一道难度较大的题目．。