北师大版高中数学必修2课后练习-两条直线的位置关系

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课时提升作业(十八)两条直线的位置关系一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·铜川高一检测)直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2.则k1=tan 30°=.因为l1⊥l2，所以×k2=-1，即k2=-.2.已知点A(1，2)，B(m，1)，直线AB与直线y=0垂直，则m的值为( )A.2B.1C.0D.-1【解析】选B.由题意知直线AB垂直x轴，斜率不存在，所以m=1.3.下列直线中与直线x-y-1=0平行的是( )A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0D.x-y+1=0或ax-ay-a=0【解析】选B.根据两条直线平行判定的条件知：A不正确，B正确，对于C，D：当a≠0时，与直线x-y-1=0重合，当a=0时，ax-ay-a=0不是直线方程.4.(2018·济源高一检测)直线(m+1)x+my+1=0与直线(m-1)x+(m+1)y-10=0垂直，则m的值为( )A.-1B.C.-D.-1或【解析】选D.由两直线垂直可得(m+1)(m-1)+m(m+1)=0，解得m=-1或.5.下列结论中不正确的是( )A.直线y=x+2和5x-3y+2=0互相平行B.直线x-6=0和y-9=0互相垂直C.直线3x+4y-12=0和+=1互相平行D.直线y=x和y=-x互相垂直【解析】选C.因为C中两直线重合.6.(2018·九江高二检测)已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0【解析】选B.k AB==-，设AB的垂直平分线的斜率为k，由k·k AB=-1，得k=2.又AB的中点为，故满足题意的方程为y-=2(x-2).即为4x-2y-5=0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x-1平行，则m=________.【解析】由题意，得y=-x-，因为l1∥l2，所以3=-，-≠-1，所以m=-.答案：-8.(2018·蚌埠高一检测)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，-3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2).如果l1⊥l2，则a=________.【解题指南】【解析】直线l2的斜率为k2==，所以当a=5时，k2=0，k1无意义，即斜率不存在，两直线垂直；当a≠5时，k1=，因为两直线垂直，则有·=-1，解得a=-6.答案：-6或59.与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为________________.【解析】所求直线与直线2x+3y+5=0平行，则其斜率为-，可设直线方程为y=-x+b，令y=0，得x=b，由题意可得b+b=，解得b=，所以所求直线的方程为y=-x+，即2x+3y-4=0.答案：2x+3y-4=0【一题多解】由题意设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠0)，化为截距式是+=1，因为直线在两坐标轴上截距之和为，所以--=，解得c=-4.故所求直线方程为2x+3y-4=0.【变式训练】(2018·铜川高一检测)垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l在x轴上的截距是________.【解析】由题意设直线l的方程为4x+3y+d=0.分别令x=0和y=0，得直线在两坐标轴上的截距分别是-，-.所以6=×|-|×|-|=，所以d=±12，所以-=±3.答案：3或-3三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m，n的值，使(1)l1∥l2.(2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.【解析】(1)因为l1∥l2，所以=≠，得：m=4，n≠-2，或m=-4，n≠2.(2)因为l1⊥l2，所以m×2+8×m=0，所以m=0，则l1：8y+n=0.又l1在y轴上的截距为-1，则n=8.综上知m=0，n=8.【拓展延伸】讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况.处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0可避免对斜率是否存在的讨论.11.已知三点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，分别求满足下列条件的m值.(1)三点构成直角三角形ABC.(2)A，B，C三点共线.【解析】(1)若角A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB=-1，即·=-1，得m=-7；若角B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC=-1，即-·=-1，得m=3；若角C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC=-1，即·=-1，得m=±2，综上可知，m=-7，或m=3，或m=±2.(2)因为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，所以k AB==-，k AC==-，由k AB=k AC，得-=-，即m=.所以当m=时，A，B，C三点共线.【一题多解】点A(5，-1)与B(1，1)确定的直线方程为x+2y-3=0，将C(2，m)的坐标代入得m=，故m=时，A，B，C三点共线.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·赣州高一检测)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )A.(3，0)B.(-3，0)C.(0，-3)D.(0，3)【解析】选D.设P(0，y)，因为l1∥l2，所以=2，所以y=3.2.以A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形【解题指南】在平面直角坐标系中描出三点的坐标，猜测其大致的形状，然后借助三边所在直线的斜率间的关系确定.【解析】选D.k AB==-，k BC==2，所以k AB·k BC=-1.所以AB⊥BC.故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.3.(2018·吉安高一检测)过点E(1，1)和点F(-1，0)的直线与过点M(-，0)和点N(0，)(k≠0)的直线的位置关系是( )A.平行B.重合C.平行或重合D.相交或重合【解析】选C.当k=2时，EF与MN重合；当k≠2时，k EF==，k MN==，EF与MN平行.4.(2018·亳州高一检测)已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，-1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于( )A.-4B.-2C.0D.2【解析】选B.依题意知，直线l的斜率为k=tan135°=-1，则直线l1的斜率为1，于是有=1，所以a=0，又直线l2与l1平行，所以1=-，即b=-2，所以a+b=-2.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2018·渭南高一检测)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=________；若l1∥l2，则b=________.【解析】当l1⊥l2时，k1k2=-1，所以-=-1.即b=2.当l1∥l2时，k1=k2，所以Δ=(-3)2+4×2b=0.即b=-.答案：2 -6.(2018·咸阳高一检测)直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，则m的值为________.【解题指南】两直线平行时，斜率相等，注意直线斜率不存在的情况.【解析】当m=0时，显然l1不平行于l2；当m≠0时，若l1∥l2需=≠.①由①式有m2+m-6=0，解得m=2，或m=-3.经检验m=2，或m=-3满足题意.答案：-3或2【一题多解】若l1∥l2，则A1B2-A2B1=2×3-m(m+1)=0，A1C2-A2C1=2×(-2)-m·4=-4-4m≠0.所以m=-3或2.答案：-3或2【举一反三】两直线垂直时，m的值为________.【解析】当m=-1时，直线l1的斜率不存在，显然直线l1与直线l2不垂直；当m≠-1时，直线l1的斜率为-，又直线l2的斜率为-，因为两直线垂直，所以-×-=-1，解得m=-.答案：-三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·宜春高一检测)已知四边形ABCD的顶点A (m，n)，B(5，-1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.【解题指南】分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决.【解析】(1)如图，当∠A=∠D=90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AB∥DC且AD⊥AB.因为k DC=0，所以m=2，n=-1.(2)如图，当∠A=∠B=90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AD∥BC，且AB⊥BC，所以k AD=k BC，k AB·k BC=-1.所以解得m=，n=-.综上所述，m=2，n=-1或m=，n=-.8.在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)，其中t∈(0，+∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明.【解析】四边形OPQR是矩形.OP边所在直线的斜率k OP=t，QR边所在直线的斜率k QR==t，OR边所在直线的斜率k OR=-，PQ边所在直线的斜率k PQ==-.所以k OP=k QR，k OR=k PQ，所以OP∥QR，OR∥PQ，所以四边形OPQR是平行四边形.又k QR·k OR=t×(-)=-1，所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形.又因为k OQ=，k PR=，令k OQ·k PR=-1，得t不存在，所以OQ与PR不垂直，所以四边形OPQR不为正方形，故四边形OPQR是矩形.关闭Word文档返回原板块。

2．1.3 两条直线的平行与垂直第一课时一、基础过关1． 已知点A (1,2)，B (m,1)，直线AB 与直线x ＝0平行，则m 的值为________．2． 两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系是____________．3． 下列说法中正确的有________．①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．4． 若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________.5． 直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合，则A ＝________，C ＝________.6． 若直线mx ＋4y －1＝0与直线x ＋my －3＝0不平行，则实数m 的取值范围是___________．7． 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1； (2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0.8． 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2.二、能力提升9． 设集合A ＝{(x ，y )|y －3x －1＝2}，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0}，若A ∩B ＝∅，则a 的值为__________．10．P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是直线l 外一点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是________．11．已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．12．求与直线3x ＋4y ＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．三、探究与拓展13．是否存在m ，使得三条直线3x －y ＋2＝0,2x ＋y ＋3＝0，mx ＋y ＝0能够构成三角形？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案1．12．平行或重合3．③4．－235．－12 －146. m ≠±27．解 (1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y ＝12x ＋b .由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b ＝52.因此所求方程为y ＝12x ＋52.即x －2y ＋5＝0. (2)设所求的直线方程为2x ＋3y ＋D ＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D ＝10，因此，所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.8．解 (1)∵m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.由8×(－1)－n ×m ≠0，得n ≠∓2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.9. 4或－210．平行11．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．12．解 ∵直线3x ＋4y ＋9＝0的斜率为－34，∴设所求直线方程为y ＝－34x ＋b ， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝4b 3， 由题意，b >0，4b 3>0，∴b >0， ∴12×b ×4b 3＝24，∴b ＝6， 故所求直线方程为y ＝－34x ＋6，即3x ＋4y －24＝0. 13．解 存在能够使直线mx ＋y ＝0,3x －y ＋2＝0,2x ＋y ＋3＝0构成三角形的m 值有无数个，因此我们考虑其反面情况，即三条直线不能构成三角形，有两种可能：有两条直线平行，或三条直线过同一点．由于3x －y ＋2＝0与2x ＋y ＋3＝0相交，且交点坐标为(－1，－1)，因此，mx ＋y ＝0与3x －y ＋2＝0平行时，m ＝－3；mx ＋y ＝0与2x ＋y ＋3＝0平行时，m ＝2；mx ＋y ＝0过3x －y ＋2＝0与2x ＋y ＋3＝0的交点时，m ＝－1.综上所述，三条直线不能构成三角形时，m ＝－3或m ＝2或m ＝－1.满足题意的m 值为{m |m ∈R 且m ≠－3且m ≠2且m ≠－1}．。

【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.1.3 两条直线的位置关系课后训练北师大版必修21．已知A(－1,1)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为()．A．2 B．1 2C．－2 D．1 2 -2．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()．A．1aB．aC．1a-D．1a-或不存在3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝04．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()．A．4x＋2y－5＝0B．4x－2y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y－5＝05．设A(1,5)，B(1，－4)，C(2，－1)，D(3，－1)，则有()．A．AB∥CD B．AB⊥CDC．AC⊥BD D．AC∥BD6．若直线(a＋1)x－y＋1－2a＝0与(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0平行，则实数a的值等于()．A．1或－1 B．1C．－1 D．不存在7．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.8．直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为__________．9．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．10．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点．(1)求点D，使直线CD⊥AB，且BC∥AD；(2)判断此时四边形ACBD的形状．参考答案1答案：B解析：31213(1)42ABk-===--，∵l∥AB，∴直线l的斜率为1 2 .2答案：D解析：若a＝0，则l2的斜率不存在；若a≠0，则l2的斜率为1 a -.3答案：A解析：直线x－2y－2＝0的斜率为12，∴所求直线的斜率为12.故所求直线方程为y －0＝12(x －1)， 即x －2y －1＝0. 4答案：B 解析：∵211132AB k -==--，∴所求直线的斜率为2. 又线段AB 的中点为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0. 5答案：B 解析：由已知得AB 的斜率不存在，而k CD ＝0，所以AB ⊥CD .又k AC ＝－6，k BD ＝32，所以AC 与BD 既不垂直也不平行． 6答案：C 解析：由已知可得(a ＋1)(a －1)＝－1×(a 2－1)，即a 2－1＝0，解得a ＝±1.但当a ＝1时，方程(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0不表示直线，舍去，因此只有a ＝－1. 7答案：1 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)·m ＝0，即m ＝1.8答案：15x －10y －6＝0 解析：由题意知直线l 的斜率k ＝32， 设直线l 的方程为y ＝32x ＋b .令y ＝0，得x ＝23b -.∴23b -－b ＝1， 解得b ＝35-∴直线l 的方程为y ＝32x 35-，即15x －10y －6＝0. 9答案：解：(1)∵A (1,1)，B (3，a )，∴11312AB a a k --==-. 又l 1∥l 2，∴直线l 2的斜率必存在且为422321MN k a a -==+-+. 又2112MN AB a k k a -===+，解得5a =±. 又当5a =±时，点M 不在l 1上，故l 1∥l 2时，5a =±.(2)①当a ＝1时，直线l 1⊥y 轴，此时直线l 2的斜率k MN ＝1，∴当a ＝1时，不满足l 1⊥l 2.②当a ＝－1时，直线l 2⊥x 轴，此时直线l 1的斜率k AB ＝－1，∴当a ＝－1时，不满足l 1⊥l 2.③当a ≠±1时，由l 1⊥l 2可知k AB ·k M N ＝－1，又11312AB a a k --==-，422321MN k a a -==+-+， ∴12=121a a -⋅-+，解得a ＝0. 综上可知，当l 1⊥l 2时，a 的值为0.10答案：解：(1)如图，设D (x ，y )，则由CD ⊥AB ，BC ∥AD 可知,1,CD AB CB AD k k k k ⋅=-⎧⎨=⎩得211,321201, 231yxyx+⎧⋅=-⎪⎪--⎨-+⎪=⎪--⎩解得0,1, xy=⎧⎨=⎩即D点坐标为(0,1)．(2)∵0(1)1312ACk--==-，211202BDk-==-，∴k AC＝k BD.∴AC∥BD.∴四边形ACBD为平行四边形．而20=223BCk-=--，∴k BC·k AC＝－1.∴AC⊥BC.∴四边形ACBD是矩形．又DC⊥AB，∴四边形ACBD是正方形．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.3 两条直线的位置关系问题导学1．由两条直线平行求参数值活动与探究1已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．迁移与应用已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，求a 的值．1．已知两直线平行，求方程中的参数值时，通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1进行求解．2．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况．2．利用两直线平行求直线方程活动与探究2求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程．迁移与应用求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程．(1)A (1,2)，y ＝23x ＋53；(2)B (2，－3),2x ＋y －5＝0.平行直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．3．由两条直线垂直求参数值活动与探究3已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，求a 的值．迁移与应用1．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．22．过点P (6，m )和点Q (m,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m 的值为( )． A ．5 B ．4 C ．9 D ．01．判断两直线是否垂直的方法：(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0判断； (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1判断； (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．2．已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k 1k 2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解．4．利用两直线垂直求直线方程活动与探究4直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，求直线l 的方程．迁移与应用如图，在平行四边形OABC 中，点A (3,0)，点C (1,3)．(1)求AB 所在直线的方程；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．垂直直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y ＝－1kx ＋m ，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx －Ay ＋m ＝0，然后用待定系数法，求出m .当堂检测1．若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )．A ．12B ．－12C ．13D ．－132．下列各选项中，两条直线互相平行的是( )． A ．2x ＋y －1＝0与x ＋2y －2＝0 B ．x ＋3y －2＝0与3x ＋9y －6＝0 C ．x ＋2＝0与y －3＝0D ．3x ＋y ＝0与6x ＋2y －1＝03．若两条直线ax ＋2y ＝0和2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为( )．A ．－12B ．12C ．0D ．－24．过点(2,1)且与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为__________．5．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，求满足下列条件的a 的值： (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 预习导引1．(1)k 1＝k 2 k 1＝k 2 (2)90°预习交流1 提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．预习交流2 提示：当B 1，B 2均不为0时，两直线斜率都存在，分别是－A 1B 1和－A 2B 2，因此－A 1B 1＝－A 2B 2，所以A 1B 2＝A 2B 1.若B 1，B 2中有0，两直线平行，也满足A 1B 2＝A 2B 1，又两直线不能重合，截距不相等，因此－C 1B 1≠－C 2B 2，即B 1C 2≠B 2C 1，故两条直线平行的条件是A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1.2．－1 －1 l 1⊥l 2预习交流3 提示：(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；(2)使用时应注意l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1的前提条件是：l 1与l 2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．预习交流4 提示：当B 1，B 2均不为0时，由两直线垂直可得－A 1B 1·⎝⎛⎭⎫－A 2B 2＝－1，即A 1A 2＋B 1B 2＝0；当B 1＝0，A 2＝0或A 1＝0，B 2＝0时，两直线也垂直，并满足A 1A 2＋B 1B 2＝0.综上，l 1⊥l 2的条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．解：(方法1)(1)当l 1，l 2斜率都存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，4(m －3)≠0，所以m ≠0且m ≠3.由l 1∥l 2，得－m ＋2m 2－3m ＝－24(m －3)，解得m ＝－4.此时l 1：x －14y －2＝0，l 2：x －14y －12＝0，显然，l 1与l 2不重合，满足条件．(2)当l 1，l 2斜率不存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，4(m －3)＝0，解得m ＝3.此时l 1：x ＝－45，l 2：x ＝12，满足条件．综上所述，m ＝－4或m ＝3.(方法2)由于l 1∥l 2，所以(m ＋2)×4(m －3)＝(m 2－3m )×2， 整理得m 2＋m －12＝0，解得m ＝－4或m ＝3.当m ＝－4时，两直线为：x －14y －2＝0和x －14y －12＝0，满足条件；当m ＝3时，两直线为：x ＝－45和x ＝12，满足条件．故m 的值是－4或3.迁移与应用 解：当a ＝0时，显然两直线不平行．当a ≠0时，由－a －2a ＝－23，得a ＝6.活动与探究2 思路分析：根据条件，求出已知直线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．解：方法一：已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－23.根据点斜式，得到所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)， ∵所求直线经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.迁移与应用 解：(1)设所求直线方程为y ＝23x ＋b ⎝⎛⎭⎫b ≠53， 由于所求直线过点A (1,2)，代入方程，得b ＝43，故所求直线方程为y ＝23x ＋43，即2x －3y ＋4＝0.(2)设所求直线方程为2x ＋y ＋λ＝0(λ≠－5)． 将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1. 因此所求直线方程为2x ＋y －1＝0.活动与探究3 思路分析：已知两直线垂直，可利用k 1·k 2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.解：方法一：(1)当a ≠0时，l 1的斜率k 1＝a ，l 2的斜率k 2＝－2a －1a.∵l 1⊥l 2，∴a ·⎝⎛⎭⎫－2a －1a ＝－1， 即a ＝1.(2)当a ＝0时，直线l 1的斜率为0，l 2的斜率不存在，两直线垂直． 综上所述，a ＝0或a ＝1.方法二：∵A 1＝a ，B 1＝－1，A 2＝2a －1，B 2＝a ， ∴由A 1A 2＋B 1B 2＝0， 得a (2a －1)－a ＝0， 即a ＝0或a ＝1.迁移与应用 1．A 解析：依题意得a (a ＋2)＋1＝0，解得a ＝－1.2．B 解析：由已知得k PQ ＝3－m m －6，所以3－mm －6×(－2)＝－1，解得m ＝4.活动与探究4 思路分析：求出l 的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．解：方法一：直线2x －3y ＋4＝0的斜率k ′＝23，由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直可得其斜率k ＝－32.由直线的点斜式方程可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二：设直线l 的方程为－3x －2y ＋D ＝0，因为直线l 过点(－1,2)，代入方程，得D ＝1.所以直线l 的方程为－3x －2y ＋1＝0，即3x ＋2y －1＝0.迁移与应用 解：(1)由题意知B 点坐标为(4,3)，k AB ＝3－04－3＝3，∴AB 所在直线的方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)∵CD ⊥AB ，∴k CD ＝－13，∴CD 所在直线的方程为y －3＝－13(x －1)，即x ＋3y －10＝0.当堂检测1．C 2．D 3．A 4．x －2y ＝05．解：(1)对于l 1：y ＝－a 3x －13，若l 1∥l 2，则kl 2存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，13≠aa －2，解得a ＝3.(2)若l 1⊥l 2，则kl 2也存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴－a 3×⎝⎛⎭⎫－1a －2＝－1，解得a ＝32.。

1．下列说法正确的是( )A ．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B ．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C ．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直D ．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A 、B 忽略斜率不存在，D 忽略了直线与y 轴重合．2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ． x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为12.故所求直线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B ．因为k AB ＝2－11－3＝－12， 所以所求直线的斜率为2.又线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32， 故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)， 即4x －2y －5＝0.4．直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1，2)，B (a －1，3)，l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－3B ．1 C.103D ．74 解析：选C.因为l 2的斜率k 2＝1a －2，且l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即1a －2＝34，所以a ＝103. 5．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B ．如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0， k CD ＝－34，k AD ＝0， k BD ＝－14，k AC ＝34， 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1：2x ＋(λ＋1)y －2＝0，l 2：λx ＋y －1＝0，若l 1∥l 2，则λ的值是________． 解析：因为l 1∥l 2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.当λ＝1时，l 1与l 2重合，不符合题意．所以λ＝－2.答案：－27．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1，即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或68．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：依题意设点Q 的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧a －b ＋1＝0，b ＋1a ·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.故点Q 的坐标为(2，3)．答案：(2，3)9．已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A ，B 为直径作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：因为以线段AB 为直径的圆与x 轴相交于点C ，所以AC ⊥C B ．据题设条件可知AC 与BC 的斜率均存在(如图)，设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4. 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或2. 所以C (1，0)或C (2，0)．10．已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6. 所以D (－1，6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1.所以AC ⊥BD ．所以▱ABCD 为菱形．1．已知点A (0，1)，O (0，0)，点B 的横坐标与纵坐标满足x ＋y ＝0.若AB ⊥OB ，则点B 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，－12 C ．(－1，1)D ．(1，－1)解析：选A.设B 的坐标为(x ，－x )，因为AB ⊥OB ，所以－x －1x ×－x x＝－1且x ≠0， 所以x ＝－12， 所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12. 2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32， 于是32＝1－（－1）（－a －2）－（a －2）＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23. 答案：－233．已知A (－m －3，2)，B (－2m －4，4)，C (－m ，m )，D (3，3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－（－m －3）＝2－（m ＋1）， k CD ＝3m ＋2－m 3－（－m ）＝2（m ＋1）m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．(选做题)直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m， 所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2， 即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

课时分层作业(十六) 两条直线的位置关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [若a ＝0，则l 2的斜率不存在；若a ≠0，则l 2的斜率为－1a .]2．过点(－1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0B [设直线方程为x －2y ＋C ＝0，将(－1,0)代入上式，得C ＝1，所求方程为x －2y ＋1＝0.]3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．]4．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.]5．直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a ，和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，a 等于( )A ．－7或－1B ．－7C ．7或1D ．－1B [因为两直线平行，所以(3＋a )·(5＋a )＝2×4，解得a ＝－1或－7.当a ＝－1时，两直线重合，故a ＝－7.]二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .]7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________．3x －2y ＋18＝0 [设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b 2＝9，得b＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.]8．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为________．0或1 [当m ＝0时，A (0,3)，B (0,4)，C (1,2)，D (1,0)，此时直线AB 与直线CD 的斜率均不存在，满足直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，由题意，可得k AB ＝m ＋4－32m －m ＝m ＋1m ，k CD ＝2－0m ＋1－1＝2m.∵直线AB 与直线CD 平行，所以m ＋1m ＝2m ，解得m ＝1.综上m ＝0或1.]三、解答题9．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；(2)∠MPN是直角．[解]设P(x,0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴OM∥NP，∴k OM＝k NP.又k OM＝2－02－0＝1，k NP＝0－(－2)x－5＝2x－5(x≠5)，∴1＝2x－5，∴x＝7，即P(7,0)．(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，∴k MP·k NP＝－1.k MP＝22－x(x≠2)，k NP＝2x－5(x≠5)，∴22－x×2x－5＝－1，解得x＝1或x＝6，即P(1,0)或(6,0)．10．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．[解]kl1＝k AB＝a－13－1＝a－12.(1)若l1∥l2，则3＋a≠2，且kl2＝k MN＝4－2(a＋3)－2＝2a＋1＝a－12，即a≠－1且a2＝5，∴a＝±5.(2)当a＋3＝2，即a＝－1时，l2无斜率，此时kl 1＝－1，∴l 1与l 2不垂直；当a ＋3≠2，即a ≠－1时，kl 2＝2a ＋1， 由l 1⊥l 2，得kl 1·kl 2＝a －12·2a ＋1＝－1， 即a ＝0.[等级过关练]1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0 B [k BC ＝3－11－3＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y －1＝1×(x ＋1)，即x －y ＋2＝0.]2．两直线的斜率分别是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( )A ．垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．重合A [设两直线的斜率分别为k 1，k 2，∵k 1，k 2是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，利用根与系数的关系得，k 1k 2＝－1，∴两直线的位置关系是垂直．]3．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．(3，－6) [设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC ，∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6， ∴D 点的坐标为(3，－6)．]4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．－23 [由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝2－2a＝－1a ，解得a ＝－23.] 5．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[解] (1)当∠A ＝∠D ＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .易求得m ＝2，n ＝－1.(2)当∠A ＝∠B ＝90°时，如图②所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC 且AB ⊥BC .∴k AD ＝k BC ，k AB ·k BC ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝－3，n ＋1m －5×(－3)＝－1，解得m ＝165，n ＝－85. 综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。

1．3 两条直线的位置关系时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列命题中，正确的是( )A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行★答案☆：D解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2. 2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形★答案☆：A解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3. 3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．10★答案☆：A解析：由题意可知k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8. 4．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4★答案☆：B解析：因为l 1⊥l 2，且直线l 1的斜率k 1不存在，所以直线l 2的斜率k 2＝0，则y ＝1.5．下列直线中，与己知直线y ＝－43x ＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0 B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0★答案☆：B解析：先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．6．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别是直线l 上和直线l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．与l 重合的直线B ．过点P 1且与l 垂直的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2但与l 平行的直线★答案☆：C解析：设f (x ，y )＝ax ＋by ＋c ＝0，则f (x 1，y 1)＝0，而f (x 2，y 2)＝m ≠0，则f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0可定为ax ＋by ＋c －m ＝0，显然与l 平行，且过点(x 2，y 2)．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为________． ★答案☆：(－1,6)解析：设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，所以D (－1,6)． 8．已知直线l 过点(－2，－3)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． ★答案☆：3x ＋2y ＋12＝0解析：直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，又直线l 与该直线垂直，所以直线l 的斜率为－32.又直线l 过点(－2，－3)，因此直线l 的方程为y －(－3)＝－32×[x －(－2)]，即3x ＋2y ＋12＝0.9．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (0,2)，C (a,0)，若AB ⊥BC ，则a ＝________.★答案☆：4解析：因为k AB ＝2－00－(－1)＝2，所以直线BC 的斜率存在，且k BC ＝0－2a －0＝－2a .由2·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，得a ＝4.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行，求实数a 的值． 解：①当a ＝0时，两直线的斜率不存在，直线l 1：x －1＝0，直线l 2：x ＋1＝0，此时l 1∥l 2，满足题意．②当a ≠0时，l 1：y ＝－12a x ＋12a ，l 2：y ＝3a －1a x －1a， 直线l 1的斜率为k 1＝－12a ，直线l 2的斜率为k 2＝3a －1a， 又两直线平行，则⎩⎨⎧ －12a ＝3a －1a 12a ≠－1a ，解得a ＝16. 综上，可得a ＝0或16. 11．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m ＋3)y －5＝0和l 2：6x ＋(2m －1)y ＝5.求满足下列条件的实数m 的值．(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)由(m ＋2)(2m －1)＝6(m ＋3)，得m ＝4或m ＝－52. 当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y －5＝0，即l 1与l 2重合；当m ＝－52时，l 1：－12x ＋12y －5＝0，l 2：6x －6y －5＝0，即l 1∥l 2. ∴当m ＝－52时，l 1∥l 2. (2)由6(m ＋2)＋(m ＋3)(2m －1)＝0，得m ＝－1或－92. ∴当m ＝－1或－92时，l 1⊥l 2. 12．已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋b ＝0. ①又l 1过点(1,1)，∴a ＋b ＝0. ②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2. 当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去．∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0， ③由题意知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2， 得ab ＝4， ④由③④，得a ＝2，b ＝2.。

1．3两条直线的位置关系两条直线的位置关系思考1：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等．思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是() A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直D[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故l1与l2垂直．选D.]2．过点A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点P(1,2)，Q(－5,0)的直线垂直，则m ＝________.－2[由题意得，直线AB的斜率存在且k AB·k PQ＝－1.即m－1－1－m×0－2－5－1＝－1，解得m＝－2.]3．与直线x－2y－3＝0平行，且在y轴上的截距等于－3的直线的方程为________．x－2y－6＝0[设所求直线方程为x－2y＋c＝0，令x＝0得y＝c2＝－3，所以c＝－6，因此所求直线方程为x－2y－6＝0.](1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.[解](1)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝－35x＋65，l2：y＝－35x－310.则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－310.∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.(2)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝12x＋73，l2：y＝－2x＋2.则k1＝12，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2；(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直．1．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．[解](1)k1＝1，k2＝2－12－1＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(2)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－(－1)＝－1，k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.(3)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝40－4010－(－10)＝0，则l2∥x轴．∴l1⊥l2.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[解]法一：(1)由l：3x＋4y－20＝0，得k l＝－34.设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1＝k l＝－34，所以l1的方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.(2)设过点A与l垂直的直线为l2.因为k l·kl2＝－1，所以kl2＝43，故直线l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.(2)设l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，故l2的方程为4x－3y－2＝0.过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：(1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程.(2)与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0或Bx－Ay＋m ＝0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程.2．已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．[解](1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式，得m＝9，∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′方程为2x ＋3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式，得n ＝－7， ∴所求直线方程为2x ＋3y －7＝0.1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．提示：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m＝12，所以m ＝－2.2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，试确定m 的值，使△ABC 是以A 为直角顶点的三角形．提示：因为A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1， 即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7.【例3】 已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形．[思路探究] 利用平行或垂直的条件建立方程求解． [解] (1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)． (2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．1．本例条件不变，试求△ABC 中平行于边AB 的中位线所在直线方程． [解] 设所求中位线所在直线方程的斜率为k ，AC 中点为E . 则k ＝k AB ＝0－25－1＝－12，E (2,3)，∴由点斜式方程得：y －3＝－12(x －2)，即x ＋2y －8＝0.2．本例条件不变，试求△ABC 中BC 边上的高线所在直线方程． [解] 设BC 边上的高线的斜率为k ，则k ＝－1k BC ＝－14－03－5＝12.又BC 边上的高线过点A (1,2)，∴所求直线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. ①l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两直线平行或垂直的判定方法1．思考辨析(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴． ( ) (2)斜率相等的两条直线一定平行． ( ) (3)若k 1·k 2≠－1，则两直线必不垂直．( )(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝－1.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于________． 13 [因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.]3．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．145 [由已知得m －32－m ×(－4)＝－1，解得m ＝145.] 4．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A (1，－4)，与直线2x ＋3y ＋5＝0平行； (2)过点A (1，－4)，与直线2x －3y ＋5＝0垂直．[解](1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.。

课时练习(十六) 两条直线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [若a ＝0，则l 2的斜率不存在；若a ≠0，则l 2的斜率为－1a .] 2．过点(－1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0B [设直线方程为x －2y ＋C ＝0，将(－1,0)代入上式，得C ＝1，所求方程为x －2y ＋1＝0.]3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 C [k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．]4．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0 B ．4x ＋3y ＋7＝0 C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.]5．直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a ，和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，a 等于( )A ．－7或－1B ．－7C ．7或1D ．－1B [因为两直线平行，所以(3＋a )·(5＋a )＝2×4，解得a ＝－1或－7. 当a ＝－1时，两直线重合，故a ＝－7.] 二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .]7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________． 3x －2y ＋18＝0 [设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b2＝9，得b ＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.]8．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为________．0或1 [当m ＝0时，A (0,3)，B (0,4)，C (1,2)，D (1,0)，此时直线AB 与直线CD 的斜率均不存在，满足直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，由题意，可得k AB ＝m ＋4－32m －m ＝m ＋1m ，k CD ＝2－0m ＋1－1＝2m .∵直线AB 与直线CD 平行，所以m ＋1m ＝2m ，解得m ＝1.综上m ＝0或1.]三、解答题9．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP ，∴k OM ＝k NP . 又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P (7,0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1.k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P (1,0)或(6,0)．10．已知直线l 1过点A (1,1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2,2)，N (3＋a,4)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] kl 1＝k AB ＝a －13－1＝a －12.(1)若l 1∥l 2，则3＋a ≠2，且kl 2＝k MN ＝4－2(a ＋3)－2＝2a ＋1＝a －12，即a ≠－1且a 2＝5，∴a ＝±5.(2)当a ＋3＝2，即a ＝－1时，l 2无斜率， 此时kl 1＝－1，∴l 1与l 2不垂直； 当a ＋3≠2，即a ≠－1时，kl 2＝2a ＋1，由l 1⊥l 2，得kl 1·kl 2＝a －12·2a ＋1＝－1，即a ＝0.1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0B [k BC ＝3－11－3＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y －1＝1×(x ＋1)，即x －y ＋2＝0.]2．两直线的斜率分别是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( )A ．垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．重合A [设两直线的斜率分别为k 1，k 2， ∵k 1，k 2是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根， 利用根与系数的关系得，k 1k 2＝－1， ∴两直线的位置关系是垂直．]3．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．(3，－6) [设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC ， ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)．]4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．－23 [由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23.]5．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[解] (1)当∠A ＝∠D ＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .易求得m ＝2，n ＝－1.(2)当∠A ＝∠B ＝90°时，如图②所示，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AD ∥BC 且AB ⊥BC . ∴k AD ＝k BC ，k AB ·k BC ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝－3，n ＋1m －5×(－3)＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。

高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。