新人教A版高中数学(选修2-2)1.3《导数在研究函数中的应用(函数的极值与导数)》word教案

§1.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值，最大值和最小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.4.掌握用导数求函数最值的方法和步骤.预习与反馈（预习教材P 26~ P 31，找出疑惑之处）复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .新课探究问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x d =的函数值()f d 比它在点x d =附近其它点的函数值都 ，()f d '= ；且在点x d =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x e =的函数值()f e 比它在点x e =附近其它点的函数值都 ，()f e '= ；而且在点x e =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.1.（1）函数极值的概念函数()y f x =在点x a =处的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧 ，右侧 ，则点x a =叫做函数()y f x =的 ，()f a 叫做函数()y f x =的 .函数()y f x =在点x b =处的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧 ，右侧 ，则点x b =叫做函数()y f x =的 ，()f b 叫做函数()y f x =的 .极小值点与极大值点统称为 ，极小值与极大值统称为 .注意：极值反映了函数在某一点附近的 ，一个函数的极大值是否一定大于极小值. 导数为0是点为极值点的 条件.（2）求函数极值的步骤：① ；②③ 。

课堂探究探究一求函数的极值用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：(1)求定义域，并求导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)列出表格．在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；(4)由表格获得结论．实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别．【典型例题1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．思路分析：求f(x)的定义域→求f′(x)→解方程f′(x)＝0→列表分析→结论解：(1)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：3＝16.当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝cos x＋cos2x－sin2x＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．令f ′(x )＝0，得cos x ＝12或cos x ＝－1.当0＜x ＜2π时，x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝5π3.当x 在区间(0,2π)内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝5π3时，f (x )有极小值为－334.探究二 已知函数的极值求参数的值或范围1．已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．对于可导函数f (x )，若它有极值点x 0，则必有f ′(x 0)＝0，因此函数f (x )有极值的问题，往往可以转化为方程f ′(x )＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．【典型例题2】已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 思路分析：本题考查已知极值求参数值的问题．求导，分别建立关于a ，b 的方程组，注意验证以及对根的取舍．解：∵f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， ∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； ∴f (x )在x ＝－1时取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.【典型例题3】若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，因为f (x )在(0,1)内有极小值，所以，函数f ′(x )应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0＜b ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 探究三 函数极值的综合应用涉及方程f (x )＝k 的解的个数问题，时常转化成函数y ＝f (x )与y ＝k 两函数图象的交点个数问题，求解时可利用导数，求出y ＝f (x )的单调区间及极值，画出草图，借助图象求出解的个数．【典型例题4】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等实根，求实数k 的取值范围． 解：(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4. 经检验a ＝13，b ＝4符合题意．故所求函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283；当x ＝2时，f (x )有极小值－43，则f (x )的图象大致如图所示，要使关于f (x )＝k 的方程有三个不等实根，则使k 应满足－43＜k ＜283.探究四 易错辨析易错点：不理解f ′(x )＝0的根与函数极值点的关系【典型例题5】已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝__________，c ＝__________.错解：f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.错因分析：函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件．错解中忽略了对得出的两组解进行检验而出错，一般地，根据极值条件求参数的值的问题时，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．正确：f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0， 此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， 所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求． 答案：－1 3。

教学准备
1. 教学目标
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。

2. 教学重点/难点
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。

3. 教学用具
4. 标签
教学过程
【知识点精讲】
综合问题题型：
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。

【例题选讲】
例1 设x>-2，nN*，比较(1+x)n与1+nx的大小. 优化设计P217典例剖析例1，解答略。

例3 （2004年天津，理20）已知函数f(x)= ax3+bx2-3x在x=±1时取得极值.
(1) 讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2) 过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

优化设计P217典例剖析例3，解答略。

例4 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

优化设计P218典例剖析例4，解答略。

【作业布置】
优化设计。

第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用第三课时一、教学目标 1.核心素养通过学习导数在研究函数中的应用， 提升运算求解、推理论证能力、体会丰富的数学思想. 2.学习目标（1）学会观察统一结构，构造新函数（2）切线的条数问题与方程解的个数问题的相互转化 （3）最值与不等式恒成立问题，不等式的证明问题的相互转化 3.学习重点能够准确的通过构造新函数，获得不等关系，并且能够将不等关系转化为最值问题. 4.学习难点通过观察结构，准确构造新函数，通过导数准确将不等式问题转化为最值问题.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1反思总结：哪些问题能够最终转化为最值问题？任务2复习如何运用导数研究函数的极值和最值. 2.预习自测1.函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( )A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1,1) 解：A2.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( ) A.2B.1C.0D.由a 确定解：C3.若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解：D（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点00(,)P x y 处的切线的斜率，相应地，切线方程为000'()()y y f x x x -=-. （2）极值点和极值的概念：设函数()y f x =在x a =处的函数值()f a 比它在x a =附近其他点的函数值都小，我们就把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；函数()y f x =在x b =处的函数值()f b 比它在x b =附近其他点的函数值都大，我们就把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.（3）求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： 1.求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；2.将函数()y f x =各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.问题探究问题探究一 构造新函数 ●活动一 看懂选项，各归各位 例1.若0＜x 1＜x 2＜1，则（ ） A.2121e e ln ln x x x x ->-B.2121e e ln ln x x x x -<-C.1221e e x x x x > D.1221e e x x x x < 【知识点：构造新函数，利用导数研究函数的单调性】详解：C 令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝（e x ）′·x －x ′·e x x 2＝e x（x －1）x 2，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，1)上单调递减，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，∴1221e e x x x x >.点拨：要看出原函数的结构，题目选项是重要的提示，通过移项，使得1x ，2x 分居不等号两侧，构造12()()f x f x <结构，就可以清晰的看出所需研究的原函数()f x 的解析式，再进一步将不等式问题转化为通过导数研究单调性的问题. ●活动二 观察结构，逆向思考例2.已知函数f (x )满足2()2()xe xf x xf x x'+=，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值 【知识点：构造新函数，利用导数研究函数的单调性】详解：D 由题意知233e 2()e 2()()x xf x x f x f x x x x -'=-=，令g (x )＝e x －2x 2f (x )， 则2222()e 4()2()e 2(()2())e e (1)x xxxx e g x xf x x f x x f x xf x x x'''=--=-+=-=-由()0g x '=得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0.即g (x )≥0，则当x >0时，3()'()0g x f x x=≥ 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值.点拨：此题如果将2e ()2()x xf x xf x x '+=左边视作2(())'x f x ，原理上只需求e x y x=的原函数即可，但构造难度过大，所以才逆向思考，构造g (x )＝e x －2x 2f (x ). 问题探究二 切线条数问题●活动一 切线条数与根的个数例3.已知f (x )＝x 3－3x ，过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则m 的取值范围是（ ）A.(－1,1)B.(－2,3)C.(－1，－2)D.(－3，－2) 【知识点：问题转化思想，数形结合思想】点拨：解决切线问题，关键在于三个方程：⎧⎪⎨⎪⎩切点处的导数值为切线的斜率切点坐标满足原函数切点坐标满足切线，化简出的方程有几组解，切线便有几条，进一步将其转化为函数g (x )＝2x 3－3x 2＋m ＋3的零点个数问题.问题探究三最值与不等式●活动一最值与恒成立例4.设函数f(x)＝1x ln x(x>0且x≠1).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知12ax x>对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值，最值与恒成立的转化】详解：（1）f′(x)＝－ln x＋1x2ln2x.若f′(x)＝0，则x＝1e.当f′(x)>0，即0<x<1e时，f(x)为增函数；当f′(x)<0，即1e<x<1或x>1时，f(x)为减函数.所以f(x)的单调增区间为(0，1e)，单调减区间为[1e，1)和(1，＋∞).（2）在12ax x>两边取对数，得1x ln2>a ln x.由于0<x<1，所以aln2>1x ln x.①由（1）知：当x∈(0,1)时，1()()eef x f≤=-.为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当aln2>－e，即a>－eln2.点拨：恒成立的本质就是对最值的要求，将恒成立问题转化为最值是常见解题思路，注意充分运用第一问的结论，避免重复运算.●活动二恒成立与证明例5.设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.（1）求f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当a>ln2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，最值与不等式的转化】详解：（1）由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a).（2）证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增. 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0). 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.点拨：导数的解答题，一定要注意充分运用前一问的结论，前一问会对第二问起到提示思路，提供构造方案或者简化运算的作用. 3.课堂总结 【知识梳理】(1) 学会观察统一结构，构造新函数，再借助导数研究新函数(2) 切线的条数问题除了可以结合图像外，还可借助解方程这样的代数方法 (3) 不等式的证明问题终究可以转化为最值问题 【重难点突破】(1) 构造新函数关键抓住条件和选项，选项是最好的提示.(2) 最值本身就是恒成立的不等关系，所以不等式的恒成立与不等式的证明本质上均可转化为最值问题. 4.随堂检测 1.已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >. （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设g (x )＝x ln x －x 2f (x )，求g (x )在区间[1，e]上的最大值.(其中e 为自然对数的底数) 【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值】 解：（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠，且3(2)()a x f x x -'=，故在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0；在区间(0,2)上，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间是(0,2). （2）g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g '(x )＝ln x ＋1－a . 令g ′(x )＝0，得1a x e -=.①当11a e -≤，即0<a ≤1时，在区间[1，e]上，g (x )为递增函数，所以g (x )最大值g (e)＝e ＋a －a e. ②当11a e -≥，即a ≥2时，在区间[1，e]上，g (x )为递减函数，所以g (x )最大值为g (1)＝0. ③当11a e e -<<，即1<a <2时，()g x 在1[1,e ]a -上单调递减，在1[e ,]a e -上单调递增，于是g (x )的最大值为g(e)和g(1)中较大者.由g(e)－g(1)＝a＋e－a e>0，解得a<ee－1，所以当1<a<ee－1时，g(x)最大值为g(e)＝e＋a－a e，ee－1≤a<2时，g(x)最大值为g(1)＝0.综上所述，当0<a<ee－1时，g(x)的最大值为g(e)＝e＋a－a e，当a≥ee－1时，g(x)的最大值为g(1)＝0.（三）课后作业基础型自主突破1.设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A.(a，b)B.(a，c)C.(b，c)D.(a＋b，c)【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：A2.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝__________.【知识点：数形结合，函数的零点】解：－2或23.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝_______.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：324.已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：(0,1)5.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝________.【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：16.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( )A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－2，2)C.(2,3)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【知识点：数形结合思想，函数的单调性与导数的关系】 解：A能力型 师生共研 7.已知函数1()ln1xf x x+=-. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值.【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值】 解：（1）由于1()lnln(1)ln(1)1x f x x x x+==+---，(1,1)x ∈-，则2112()111f x x x x '=-=+--，于是(0)2f '=，(0)0f =，所以切线方程为y=2x.（2）3()()3x f x k x >+，(0,1)x ∈⇔31()ln ()013x x t x k x x +=-+>-，x ∈(0，1)，[422222()(1)11kx k t x k x x x +-'=-+=--， x ∈(0，1) 当k ∈[0，2]，t′(x)≥0，函数t(x)单调递增，t(x)>t(0)=0显然成立.当k>2时，令t′(x)=0得错误！未找到引用源。

导数在函数中的应用1.3.1《函数的单调性与导数》【教法分析】（1）教法:采用启发式教学，以教师为主导、学生为主体。

强调数形结合思想、转化思想的应用。

同时给予数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。

(2)学法:探究与合作学习想结合。

教学手段：借助多媒体，制作课件，通过视频和几何画板演示提高课堂效率和学生学习兴趣。

【教学目标】1.知识与技能目标结合学生学过的大量实例，借助这些函数的图象，让学生通过观察----探讨----归纳----结论，得出函数单调性与导数的正负关系。

2.过程与方法目标运用导数这个工具研究函数的单调性，求单调区间。

体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性。

3.情感与价值观目标培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，从中体会数形结合思想、转化思想。

【教学重点难点】教学重点：函数单调性与其导函数的正负关系；判断函数单调性，求单调区间。

教学难点：函数单调性与其导函数的正负关系的探究过程。

【学前准备】：多媒体，预习例题提出问题1：通过观察，找到h(t)的两个单调区间，探究在这两个单调区间上导数分别有么特征。

提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？探讨：下列函数的单调性与其导函数正负的关系。

1.3.2函数的极值与导数【教学目标】【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念；2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3．掌握求可导函数的极值的步骤；【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。

【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。

【学前准备】：多媒体，预习例题当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状。

解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”。

综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示。

132函数的极值与导数课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习导引学习目标重点难点1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如下图，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=_;而且在点x=a附近的左侧________ ，右侧____ , 把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU(2)极大值点与极大值如上图，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=O;在点x=b附近的左侧______ ，右侧____ ，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. ________课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU统称为极值点，和统称为极值........ 交流1思考：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)—个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗?(3)—个函数在给定的区间上是否一定有极值？课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU2.求函数f(x)的极值的方法解方程f(x)=O,当f(x o)=O时：(1)如果在X。

附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)vO,那么f(x°)是 _____(2)如果在x0附近的左侧F(x)vO,右侧f(x)>0,那么f(x°)是______........ * 交流2课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU做一做:函数f(x)=3x-x3的极大值为________ ，极小值为课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、求函数的极值活动与探究1 •极值点是个点吗?极值点与极值的区别是什么?2 •函数的极值唯一吗?极大值是否一定比极小值大?问题导学当堂检测----- 例1求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=齐严・课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU(2)函数的定义域为R. f(x)二2际+1)" (x 2 + l)22(x-l)(x+l) (x 2 + l)2由上表可以看出：当x=-l 时,函数有极小值，且f(-l)=-3; 当x=l 时,函数有极大值，且f(l)=-令 f(x)=O,得 x=-l,或 x=l ・当问题导学当堂检测吧迁移与应用求函数f(x)」竽的极大值.X课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测-------------- 老師修障---------------利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)=O的所有实数根；(3)考察在每个根xo附近，从左到右导函数f(x)的符号如何变化.①如果f (x)的符号由正变负，则f(x°)是极大值；②如果由负变正，则f(x())是极小值；③如果在f(x)=O的根x=x()的左、右侧f(x)的符号不变，则不是极问题导学当堂检测值点.二、函数极值的逆应用E2活动与探究F (x)=0是可导函数y=f(x)在x=x°取得极值的什么条件?由此可预见若已知X。