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x 2+ y 2AA ⎩S S⎫ 安徽大学 2009--2010 高等数学 A(二)试题与答案一、填空题(2×5=10 分)1. 点(2,1,1) 到平面 x + y - z + 1 = 0⎛ 2. 极限 lim x 2 xy = 0. x →+∞x 2 + y 2 ⎪y →+∞⎝ ⎭ πsin x23. 交换积分次序⎰dx ⎰0 f (x , y )dy⎧ 2, - 1 < x < 04. 设 f (x ) 是周期为 2 的函数, 它在区间(-1,1] 上的定义为f (x ) = ⎨x 3 ,则 0 < x < 1f (x ) 的 Fourier 级数在x=1 5. 函数u=xyz 在点(1,1,1) 处沿方向(2,2,1) 的方向导数为二、选择题(2×5=10 分)6. 二元函数 f (x , y ) = 在点(0,0) 处 ( )A. 连续, 但偏导数不存在;B. 不连续; 且偏导数不存在;C. 不连续; 但偏导数存在;D. 连续, 且偏导数存在.7. 设第二类曲面积分 I 1 =⎰⎰ xyzdzdx , I 2 = ⎰⎰ xy 2 zdzdx ,其中 S 为 x 2 + y 2 + z 2= 1 的上半部分, 方向取上侧, 若S 1 为 S 在第一卦限部分, 且与 S 方向一致, 则( )A. I 1 = I 2 = 0 ;B. I 1 = 0, I 2 = 2⎰⎰Sxy 2 zdzdx ;C. I 1 = 2⎰⎰Sxyzdzdx , I 2 = 2⎰⎰S xy 2zdzdx D. I 1 = 2⎰⎰S xyzdzdx , I 2 = 08. 设Ω 为 R 3 中开区域，且Ω 内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω 的曲面，函数 P,Q,R 在Ω 内连续可导，若曲线积分 ⎰LPdx + Qdy + Rdz 只依赖于曲线 L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（ D ）A . 对Ω 内任意光滑闭曲线 C ，曲线积分 ⎰CPdx + Qdy + Rdz = 0 ；B . 存在Ω 上某个三元函数 u(x,y,z), 使得 du = Pdx + Qdy + Rdz ;∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂RC . 等式 ∂y = ∂x , ∂x = ∂z , ∂z = ∂y在开区域Ω 内恒成立;1111A A yy 0 00 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 解: 设 F (x , y , z ) = x 2 + y 2- z 则曲面 S 在点(1,1,2) 处的法向量为:( F x , F y , F z )(1,1,2) = (2x ,2 y ,-1)( 2,2,1) = (2,2,-1) 由题设可知平面∏通过法线L, 故:∂P ∂Q ∂RD . 等 式 ∂x + ∂y + ∂z= 0 在开区域Ω 内恒成立.9. 设函数 f (x , y ) 在开区域 D 内有二阶连续偏导数, 且 f x (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) =0. 则下列为 f (x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处取极小值的充分条件的是( )A. f xx (x 0 , y 0 ) >0,B. f xx (x 0 , y 0 ) >0,C. f xx (x 0 , y 0 ) <0,D. f xx (x 0 , y 0 ) <0, f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f (x , y ) - f 2xy(x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0; f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0. 10. 设函数u = f (x , y , z ) 具有二阶连续偏导数, 则div grad f = ( )A .f xx + f yy + f zz ; B. f x + f y + f z ; C. ( f x , f y , f z );D. ( f xx , f yy , f zz ).三、计算题(10×3+12×2=54 分)11. 设平面∏ : x + ay - z + b = 0 通过曲面 z = x 2 + y 2在点(1,1,2)处的法线 L,求 a , b 的值.12. 计算第二类曲线积分⎰Lydx - xdyx 2 + y 2, 其中 L 为正方形边界 x + y = 1 ,取顺时针方向.⎰⎰ 222n =013. 计算第一类曲面积分zdS ,其中∑为圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 (R > 0) 介于平∑x + y + z面z = 0 与 z= h (h>0) 之间的部分.∞(-1)n14. 将函数 f (x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数, 并求级数∑ 2n + 1 的和.15. 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数, 且 z = f (e xsin y ) ,解法(一): 设x=Rcosu, y=Rsinu, z=v, 则∑对应于 D: 0 ≤ u ≤ 2π ,0 ≤ v ≤ h .v v v u u u 2x = -R sin u , y = R cos u , z = 0, x = 0, y = 0, z = 1故E = R ,F = 0,G = 1,∂ 2 z ∂ 2 z (1) 求 ∂x 2 , ∂y2 ;(2) 若函数 z = f (e xsin y ) 满足方程 ∂ 2 z ∂x 2 + ∂ 2 z ∂y 2= e 2 xz, 求函数 f (u )四、应用题(10×1+6×1=16 分)16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段, 一段围成一个圆, 另一段围成一个长方形. 求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法.17. 已知一条非均匀金属线 L 放置于平面 Oxy 上, 刚好为抛物线 y = x 2对应于0 ≤ x ≤ 1 的那一段, 且它在点(x,y) 处的线密度 ρ (x , y ) = x ,求该金属丝的质量.五、证明题(6×1+4×1=10 分)18. 证明级数∑(-1)n n =1lnn + 1 n 条件收敛. ∞ 解: 将(1) 中结果代入方程, 得 f ' (u )e2 x= e 2 x z 即: f ' (u ) - f (u ) = 0 这是一个二阶常 2 1特征根为λ = 1, λ = -1 2系数线性齐次微分方程, 相应的特征方程为λ - 1 = 0 1 22 1 故 f (u ) = C e u + C e -u,其中C , C 为任意常数。
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
离散数学参考答案及评分标准(B)09级计算机学院各专业 2011年1月 一、判断题（每小题2分，共10分）判断下面论述是否正确，并在括号内填“对”或“错”。
1、设R 和S 是集合A 上的关系，若R 和S 是自反的，则R ￮S 也是自反的。
（ 对）2、公式p →(q →r ) 与(p ∧q )→r 等值。
（ 对 ）3、集合{Z n n∈|2}关于普通加法运算能构成半群。
（ 对） 4、无向完全图是每对顶点之间都有一条边的无向图。
（ 错） 5、公式(∀x )(∃y )P (x , y )与公式(∃ y )(∀ x )P (x , y ) 等值 。
（ 错） 二、填空题（每小题2分，共10分）1、设R ={<1,2>,<2,3>,<1,4>}，则R -1 = {<2,1>,<3,2>, 4,1>}2、设A ，B 为有限集合，f 是从A 到B 的函数，则：f 是单射的必要条件为|A|≤|B|；3、无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且无奇度顶点。
4、设公式A ⇔（p ∧q ）∨r 的主析取范式为m 1 ∨m 3 ∨m 5 ∨ m 6∨m 7，则A 的主合取范式为M 0 ∧ M 2∧ M 45、设Z 4={ 0,1, 2,3}，⊗为模4乘法，即x ⊗y =(xy )mod 4，则<Z 4, ⊗>的运算表为三、 试解下列各题（每小题5分，共20分）1、设集合A ={a ,b ,c }，R 是A 上的二元关系，已知R 的关系矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110110001R M(1) 写出R 的集合表达式；(2) 画出R 的关系图.；(3) 说明R 具有哪些性质。
解 (1)R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>} (2) R 的关系图(3) R 是自反的，对称的，传递的。
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分）在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误：1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2．∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。
( )3．初级回路一定是简单回路。
( )4．自然映射是双射。
( )5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。
( )6．群的运算是可交换的。
( )7．自然数集关于数的加法和乘法<N，+， >构成环。
( )8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )9．设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。
( )10．设A、B、C为任意集合，则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。
( )二、填空题（共10题，每题3分，共30分）11．设p：天气热。
q：他去游泳。
则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号化为。
12．设M(x)：x是人。
S(x)：x到过月球。
则命题“有人到过月球”可符号化为。
13．p↔q的主合取范式是。
14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。
15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。
16．模6加群<Z6，⊕>中，4是阶元。
17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。
.18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度列为。
19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。
20．7阶圈的点色数是。
三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分）21．求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。
22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。
离散数学试卷（九）一、填空30% （每空 3 分）1、选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A=。
2、集合 A={,{}} 的幂集P(A) =。
3、设 A={1 ，2，3，4} ，A 上二元关系R={<1 ，2>，<2 ，1>，<2，3> ，<3，4>} 画出 R 的关系图。
4、设 A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则A B=。
A B=。
5、设|A|=3 ，则 A 上有个二元关系。
6、 A={1 ， 2， 3} 上关系 R=时，R既是对称的又是反对称的。
7、偏序集A, R 的哈斯图为，则 R = 。
8、设|X|=n ， |Y|=m 则（ 1）从 X 到 Y 有个不同的函数。
（ 2）当 n , m 满足时，存在双射有个不同的双射。
9、 2 是有理数的真值为。
10、Q：我将去上海， R：我有时间，公式(QR) (R Q)的自然语言为。
11、公式 (Q P) (P Q)的主合取范式是。
则它应满足。
二、选择20% （每小题 2 分）1、设全集为I，下列相等的集合是（）。
A 、A{ x | x是偶数或奇数} ；B 、C、C{ x | y( y I x 2y 1)} ； D 、B { x | y( y I x 2y)} ；D { x | 0,1, 1,2, 2,3, 3,4, 4, } 。
2、设 S={N ， Q， R} ，下列命题正确的是（）。
A、2 N,N S 则 2 S ；B、N Q,Q S则N S ；C、N Q,Q R 则 N R ； D 、N , S 则N S 。
3、设 C={{a},{b},{a,b}} ，则S与S 分别为（）。
S C S CA 、C 和 {a,b} ；B 、 {a,b} 与；C、 {a,b} 与 {a,b} ； D、C 与 C4、下列语句不是命题的有（）。
2010～2011学年度第 一 学期《离散数学》试卷（A 卷）适用专业年级：2009信息与计算科学 网络工程 软件工程及计算机科学与技术专业（本）考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、选择题（每小题 3分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1.设命题公式G ：()p q r ⌝↔∧,则使公式G 取值为1的,,p q r 赋值分别为（ ）（A ）0,0,0 （B ）0,0,1 （C ）0,1,1 （D ）1,1,1 2.以下的联结词不是联结词完备集的是（ ） （A ）1{}S =⌝∧， （B ）1{}S =⌝∨， （C ）1{}S =∧∨→↔，，，（D ）1{}S =↓3.下述等价式不正确的是（ ） （A ）()()xAx x A x ⌝∀⇔∃⌝ （B ）()()xA x x A x ⌝∃⇔∀⌝（C ）()()x A x B xA x B∀→⇔∃→（） （D ）()()x A x B xA x B∃→⇔∃→（）4.设集合A={a,b }，A 上的关系R={<a,a >,<b,b > }，则R 是（ ） （A ）是等价关系但不是偏序关系 （B ）是偏序关系但不是等价关系 （C ） 既是等价关系又是偏序关系 （D ）既不是等价关系又不是偏序关系 5．无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且（ ）………………………………………线………………………………………订………………………………………装…………………………………………………（A ）G 中各顶点的度数均相等 （B ）G 中各顶点的度数之和为偶数（D ）G 中各顶点的度数均为奇数二、填空题（每题 3分，共15分）1．“有的运动员不是大学生”符号化为 . （设P(x):x 是运动员；Q(x):x 是大学生）2. 设S ={<1,2>,<2,4>,<3,3>},R ={<1,3>,<2,4>,<4,2>}, 则S R = .3．下图所具有的关系性质有： .4．设有一棵树，它有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，其余为叶 则它的树叶数为 个. 共有6个结点11条边，则它的面数为 ． 三、计算题： 求公式()p q r →⌝↔的主析取范式和主合取范式（10 分）四、演绎证明： 前提：p ,,,q pr q s r p q∨→→→⌝∧⌝ 结论：s （10分）五、设A={1,2,3,4}，R 是A 上的一个关系，R={<a,b>|a ，b ∈A ，(a-b)/2=k ，k ∈Z}，证明R 是A 上的等价关系，并按关系R 给出A 上的划分。
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（B 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单选题（每小题2分，共20分）1. 若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P ∨QB.P ∧┐QC.P →┐QD.P ∨┐Q2. 设个体域为{,}D a b =,(,)(,)0F a a F a b ==,(,)(,)1F b a F b b ==,则下列公式为真的是( ）A. (,)x yF x y ∃∀；B. (,)x yF x y ∀∃；C.(,)x yF x y ∀∀；D.(,)x yF x y ∃∃¬。
3. 设B 是不含变元x 的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B 4. 对任意集合C B A ,,，下列各式中一定成立的是（ ）A.)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃；B. )()()(C A B A C B A ⋃⋂⊕=⋂⊕；C. )()()(C A B A C B A ⋃⊗⋃=⊗⋃；D. )()(C B A C B A ⨯⨯=⨯⨯。
5. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A6. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( )A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉}C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 7. 下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅ 8. 以下命题公式中，为永假式的是( )A.p →(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p) 9. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列集合一定是A 的划分的是（ ）A.12ππB.12ππC.12ππ-D.1211()ππππ-10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ ）A.RB.N NC.()N ρD.n N （n N ∈）二、判断题（每小题2分，共10分。
