2019年秋人教B版数学选修1-1练习：3.3.3 导数的实际应用 Word版含解析

3.3 导数的应用 （选修1-1人教B 版）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟100分一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1.下列说法正确的是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数 ＝ ＋ ＋ － 的极值点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定3.已知是R 上的单调增函数,则b 的取值范围是( ) A. {b|b -1或b 2} B. {b|b -1或b 2} C. {b|-2 b 1} D. {b|-1 b 2}4.函数 在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-165.在底面直径和高均为a 的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（ ） A.2πa B.2π4aC.2π3a D.2π2a二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）6.已知f(x)＝ － +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围 . 7．函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为 .8.如果函数322()f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么a = ，b = .9. 电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为_______.三、解答题（本题共5小题,共55分）10.（10分）如果函数f(x)= (a ＞0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求函数f(x)的解析式.11.（10分）已知函数 (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值.12.（10分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.（1）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.13.（10分）请你设计一个示意图如下所示的仓库,它的下部形状是高为10 m 的正四棱柱(上、下底面都是正方形,且侧面都垂直于底面),上部形状是侧棱长都为30 m 的四棱锥,试问当四棱锥的高为多少时,仓库的容积最大?DCABP14.(15分)某工厂生产某种电子元件，假设生产一件正品，可获利200元；生产一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件的过程中，次品率P与日产量x的函数关系是(1)将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；(2)为获得最大利润，该厂的日产量应定为多少件？3.3 导数的应用（选修1-1人教B版）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6． 7． 8． 9．三、解答题10.11.12.13.14.3.3 导数的应用（选修1-1人教B版）答案一、选择题1.D 解析：函数的极值与最值没有必然联系.2.C 解析：因为＝＋＋＝＋恒成立，所以f(x)无极值.3.D 解析：因为是R上的单调增函数，所以对x∈R恒成立，即，解得.4.A 解析：由，得.令，得，当在，上变化时，,f(x)的变化情况如下表：0 (0，2) 2 (2，3) 3－0 +f(x) 5 -15 -4所以函数的最大值与最小值分别是5,-15.5.B 解析：设圆柱的底面半径为r,由三角形相似的性质得圆柱的高为a－２r,则圆柱的最大侧面积为当时，二、填空题6.(] 解析：，当时，f(x)是减函数.而且所以，(1)当时，由，知在R上是减函数；(2)当时，，由函数在R上的单调性，可知当时，在R上是减函数；(3)当时，在R上存在一个区间，其上有，所以，当时，函数在R上不是减函数.综上，所求a的取值范围是（，.7．2(0,)3，解析：因为，令得或当变化时，，的变化情况如下表：x () 0 ()—0 + 0 —y所以函数的单调增区间为，单调减区间为 ，8．4 －11 解析：22()32.(1)320,(1)110f x x ax b f a b f a b a =++=++==+++= 由已知得 ，22334311.9a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩，，，联立解得或，当3a =-时，1x =不是极值点.当 ， 时满足题意.9. 40 解析：由题设知 ，令 ＞0，解得x ＞40或x ＜-1，故函数在（ ， 上递减，在 ， ）上递增.故当x=40时，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40． 三、解答题10. 解： .令 ,即 ,即 . 因为x =±1是极值点,所以 ,即5a=3b, 所以 .当x 变化时, ， 的变化情况如下表： x(-∞,-1）-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1，+∞)+ 0 —0 —0 +f(x)极大值无极值极小值由上表可知，当 时， 有极大值；当 时， 有极小值， 所以 解得所以11.解：（1）当 时，函数 在 ∞ 上单调递增；当 时，函数 在上单调递增，在∞ 上单调递减（2）当 时，函数 在 ， 上单调递增，最大值为 当 时，若，即 时，函数 在 上单调递减，最大值为若，即时，函数 在上单调递增，在上单调递减，最大值为；若，即时，函数 在 上单调递增，最大值为 .12.解：（1）由2()e ()x f x x ax a =+-可得= = .当1a =时,(1)e f =,'(1)4e f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. （2）令2'()e [(2)]0x f x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =.当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数， 所以()f x 的最小值为 . 当(2)0a -+>，即2a <-时,()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表:x 0 (0,(2))a -+ (2)a -+((2),)a -++∞'()f x 0-+()f x(0)f ↘((2))f a -+↗由上表可知，函数()f x 的最小值为24((2))e a a f a ++-+=. 13.解:设四棱锥的高为 ,底面边长为 ,则 在 中， 又在 中，所以仓库的容积所以 由 得 舍去当 时 当 时 因此,当 时 取得极大值 也是最大值 故当四棱锥的高为10 m 时,仓库的容积最大. 14.解：(1)当日产量为x （件）时，次品数为，正品数为已知生产一件正品可获利200元，生产一件次品则损失100元， 因此日盈利额.(2)令 得 不合题意，舍去 当 时， ； 当 时， ,所以当x=16时，T 取得最大值，因此为获得最大利润，该厂的日产量应定为16件，此时最大利润为800元.。

课后导练基础达标1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12解析：设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V =x (48-2x )2(0<x <24),V ′=12(24-x )(8-x ).令V ′=0，则在(0,24)内有x =8，故当x =8时，V 有最大值.答案：B2.在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为( ) A.2r B.r 23 C.33r D.r解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ，因为h =,22x r -.))(2()(.·)(22222222222222222x r x r x r x r x rx r xr x r x x r S x r x r x r x r S -+-=---=-+--='∴-+=-+=∴ 令S ′=0，得x =2r ,h =23r . 当x ∈(0,2r)时，S ′>0； 当2r<x <r 时，S ′<0. ∴当x =2r时，S 取极大值.当梯形的上底长为r 时，它的面积最大.答案：A3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3VB.32VC.34VD.32V解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V =21x 2·sin60°·l ， ∴l =234x V .∴S 表=2S 底+3S 侧=x 2·sin60°+3·x ·l =23x 2+xV34. ∴V ′=2343xVx -=0.∴x 3=4V ，即x =34V .又当x ∈(0,34V )时y ′<0，x ∈(34V ,V )时，y ′>0，∴当x =34V 时，表面积最小.答案：C4.以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 解析：如图，设∠NOB =θ，则矩形面积S =5sin θ×2×5cos θ=50sin θ·cos θ=25sin2θ，故S max =25.答案：C5.函数f (x )=x 3-3x (|x |<1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，也无最小值 D.无最大值，但有最小值 答案：C6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为x 米，则长为x512米.因此新墙总长度L=2x +x512(x >0), 则L′=2-2512x . 令L′=0，得x =±16.∵x >0,∴x =16. 当x =16时，L 极小值=L min =64， ∴堆料场的长为16512=32米. 答案：32米和16米.7.函数y =2x 3-3x 2-12x +5在［0,3］上的最大值、最小值分别是________. 答案：5，-15 8.函数y =s in2x -x ,x ∈［-2π,2π］的最大值是________，最小值是________. 答案：2π,-2π 9.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解析：设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100-x ，设正方形与圆的面积之和为S ，则S =π(π2x )2+(4100x )2(0<x <100),所以S ′=81π2-x (100-x ), 令S ′=0，得x =4ππ100+≈44 cm.由于在(0,100)内函数只有一个导数为0的点，故当x =4ππ100+时S 最小，此时S =.4π5002+ 所以截成圆的一段铁丝长为4ππ100+时，可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为.4π5002+ 10.货车欲以x km /h 的速度行驶，去130 km 远的某地.按交通法规，限制x 的允许范围是40≤x ≤100.假设汽油的价格为5元/升，而汽车耗油的速率是(2+3602x )升/小时.司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解析：汽车运行的时间为x 130小时，耗油量为)2602(1302x x +升，耗油费用为2·)3602(·1302x x +元，司机的工资为14×x 130元.故这次行车的总费用为y =5×).2472(13013014)3602(1302xx x x x +=⨯++⨯ ∴y ′=130).24721(2x - 由y ′=0，得40≤x ≤100内的唯一解为x =243≈42 km/h. ∴最经济的车速为42 km /h ，最低费用为130×32≈150(元).综合运用11.如图，一艘渔船停泊在距岸9 km 的A 处，今需派人送信给距渔船334 km 处的海岸渔站C ，若送信人步行速度为每小时5 km ，船速为每小时4 km ，问在何处上岸，可以使抵站的时间最省？［参考导数公式()(x f )′=)(21x f ·f ′(x )］解析：设上岸点为D ，BD =x ,BC =15,AD =281x +,所用时间t (x )=,5154812xx -++∴t ′(x )=.05181·412=-+x x 解得x =12.∴15-x =15-12=3 km.∴上岸点在距渔站3 km 处.12.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大.解析：设被切去的全等四边形的一边长为x ，如图，则正六棱柱的底面边长为1-2x ,高为3x ,∴正六棱柱的体积V =6×43(1-2x )2×3x (0<x <21),化简得V =29（4x 3-4x 2+x ).又V ′=29（12x 2-8x +1),由V ′=0，得x =21或x =61.∵当x ∈(0, 61)时，V ′>0,V 是增函数；当x ∈(61,21）时V ′<0，V 是减函数.∴当x =61时，V 有最大值，此时正六棱柱的底面边长为32.13.甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x =2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格)，(1)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？解：（1）由题意，得ω=2 000t -st =-s ss t 6310)10(+-(t >0).∴当26310,10s t s t ==即吨时，ω取得最大值为s 610元.∴乙方获得最大利润的年产量为t =2610s吨.（2）设乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为v元，则t =2610s 吨，v =st -0.002t 2=,10210496s s ⨯- v ′=.)0008(000100018102225326s s s s -⨯=⨯+-令v ′=0,得s =20.当s >20时，v ′<0,所以v 在 (20,+∞)上单调递减；当s <20时，v ′>0,所以v 在（0，20）上单调递增.所以s =20时，v 取得极大值，也就是最大值.所以在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是20元.拓展探究14.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.①当每辆车的月租定为3 600元时，能租出多少辆车？②每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为多少？ 解：（1）当每辆车的月租金为3 600元时，未出租的车辆数为125000036003=-所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益f (x )=000211625050500003)150)(500003100(2-+-=⨯-----x x x x x f ′(x )=-25x+162 由f ′(x )=0得 ∴当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.。

第三章 3.3 第3课时一、选择题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A ．(l 6)3πB ．(l 3)3πC ．(l 4)3πD.14(l 4)3π [答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3(0<r <l 4)．则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为(l 6)3π.2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr D.12πr 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则由组合体的知识得h 2＋(2x )2＝(2r )2，又圆柱的侧面积S ＝2πx ·h ，∴S 2＝16π2(r 2x 2－x 4)，(S 2)′＝16π2(2r 2x －4x 3)，由(S 2)′＝0，得x ＝22r (x ＝0舍去)，∴S max ＝2πr 2，故选A.3．已知某生产厂家的年利润为y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0， 解得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)． 当0<x <9时，y ′>0； 当x >9时，y ′<0，∴y ＝－13x 3＋81x －234在(0,9)内单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴在x ＝9处取极大值，也是最大值．4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则 V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V 3x 2，∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x， S ′表＝3x －43Vx 2＝0，∴x 3＝4V ，即x ＝34V .又当x ∈(0，34V )时y ′<0，x ∈(34V ，V )时，y ′>0，∴当x ＝34V 时，表面积最小． 二、填空题5．有一条长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________m 2.[答案] 16[解析] 设矩形场地的长为x m ， 则宽为16－2x 2＝(8－x )m ，其面积S ＝x (8－x )＝8x －x 2，S ′＝8－2x ，令S ′＝0得x ＝4，∴当x ＝4时，S 取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形场地的长为4m ，宽为4m 时， 面积取最大值16m 2.6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________.[答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)， 由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8， 可知M ＝24，m ＝－8，故 M －m ＝32. 三、解答题7．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改选．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)[解析] (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， 所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)， 由此获得收益是g (x )(百万元)则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0.所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x 0≤x ≤39090090 x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] ∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 2．把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．32cm 2D ．23cm 2[答案] D[解析] 设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x )cm ，两个三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32x 2－23x ＋4 3.令S ′＝3x －23＝0则x ＝2，所以S min ＝2 3.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．( )A ．105B ．110C ．115D ．120[答案] C[解析] 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000， S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大．4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元[答案] D[解析] 毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)，故f (P )极大值＝f (P )max ， 故当P ＝30时，毛利润最大， ∴f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．二、填空题5.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32 m,16 m[解析] 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图所示，设场地宽为x m ，则长为512x m ，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16. 当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，∴堆料场的长为51216＝32m.6．将边长为1 m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是____________．[答案]3233[解析] 设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝(3－x )212·(x ＋1)·32·(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2， 令S ′(x )＝0,0<x <1，得x ＝13.当x ∈(0，13)时，S ′(x )<0，S (x )递减；当x ∈(13，1)时，S ′(x )>0，S (x )递增，故当x ＝13时，S 取最小值是3233.三、解答题7．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ [解析] (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(h)，要耗油(1128 000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(L)．(2)当速度为x km/h 的时候，汽车从甲地到乙地行驶了100x h.设耗油量为h (x )L ，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． 所以当x ＝80时，h (x )取得最小值h (80)＝11.25，即汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为11.25升． 8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距a m ，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x m 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝640时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [解析] (1)设需要新建b 个桥墩，则(b ＋1)x ＝a ， 即b ＝ax－1.因此，y ＝f (x )＝256b ＋(b ＋1)(2＋x )x ＝256(a x －1)＋ax (2＋x )x＝256ax＋a x ＋2a －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝256a x 2＋12ax －12＝a 2x 2(x 32－512) 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时，b＝ax －1＝64064－1＝9.即需新建9个桥墩才能使y最小．。

3.3.3函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.函数y=x-sin x,x∈的最大值是A.π-1 BC.πD.π+1y'=1-cos x,x∈≥0.∴y=x-sin x在上是增函数.∴当x=π时,y max=π.2.函数f(x)=4x-x4在x∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是()A.f(1)与f(-1)B.f(1)与f(2)C.f(-1)与f(2)D.f(2)与f(-1)(x)=4-4x3,由f'(x)>0,得x<1,由f'(x)<0,得x>1,所以f(x)=4x-x4在x=1时取极大值f(1)=3.而f(-1)=-5,f(2)=-8,所以f(x)=4x-x4在[-1,2]上的最大值为f(1),最小值为f(2).3.函数y=x3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值是()A.1B.5C.12D.-153x2-3,令y'=0,得3x2-3=0,解得x=1或x=-1.∵当-1<x<1时,y'<0;当x>1或x<-1时,y'>0.∴y极小值=y|x=1=1,y极大值=y|x=-1=5,而端点值y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴y min=-15.4.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.-11f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0,解得x=0或x=2.因为f(0)=m,f(2)=m-8,f(-2)=m-40,所以f(x)max=m=3,f(x)min=f(-2)=m-40=3-40=-37.5.设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是()A6.函数f(x)=x2的最小值是f'(x)=2x得x=-3,当x<-3时,f'(x)<0,当-3<x<0时,f'(x)>0,故当x=-3时,f(x)取得极小值,也为最小值,f(x)min=27.7.函数f(x)在上的最小值是(x)-由f'(x)>0,得x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减.∵f(0)=0,f(4)∴f(x)在[0,4]上的最小值为0.8.已知函数f(x)若当时≥2恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)x,得f'(x)-又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x)=0,得x=舍去)或x当0<x时,f'(x)<0;当x时,f'(x)>0,故x是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f a+1.要使f(x ≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.+∞)9.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+k,对任意x∈[-4,4],f(x ≥0 求实数k的取值范围.(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x)=0,得x=3或x=-1.∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.∴f(x)min=k-76.由k-76≥0 得k≥76.∴k的取值范围是[76,+∞).10.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y求的值f(x)的导数f'(x)=a-当x时,f'(x)>0,f(x)在内单调递增;当0<x时,f'(x)<0,f(x)在内单调递减.故当x时,f(x)取最小值为2+b.(2)f'(x)=a由题设知,f'(1)=a解得a=2或a=不合题意,舍去).将a=2代入f(1)=a解得b=-1.故a=2,b=-1.能力提升1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A.12,-15B.-4,-15C.12,-4D.5,-15(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f'(x)=0,得x=-1或x=2.因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以f(2)<f(3)<f(0).所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.2.已知a≤-对任意恒成立则的最大值是A.0B.1C.2D.3f(x)-x,则f'(x)---令f'(x)=0,解得x=1.当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在上单调递减;当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在(1,2]内单调递增,∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0 即a的最大值为0.3.若函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1) D(x)=3x2-3a=3(x2-a).若a≤0 则f'(x)>0,即f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值.若a>0,由f'(x)>0,得x则f(x)在(0内单调递减,在内单调递增.若≥1 则f(x)在(0,1)内单调递减,f(x)无最小值.故此时,f(x)在(0内单调递减,在内单调递增,当x时,f(x)取最小值.4.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()A.1 B,由图可以看出|MN|=y=t2-ln t(t>0).-y'=2t-当0<t时,y'<0,可知y在内单调递减;当t时,y'>0,可知y在内单调递增.故当t时,|MN|有最小值.5.已知定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf'(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.★6.已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)的部分对应值如表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.给出下列说法:①函数f(x)在(0,3)内是增函数;②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;④∀x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是.7.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.f'(x)=(x-k+1)e x.由f'(x)>0,得x>k-1.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0 即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)内单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1 即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.★8.已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x ≥-2c2恒成立,求c的取值范围.∵f(1)=-3-c,即b-c=-3-c,∴b=-3.又f'(x)=4ax3ln x+ax3+4bx3=x3(4a ln x+a+4b),由f'(1)=0,得a+4b=0,∴a=12.(2)由(1)知,f'(x)=48x3·ln x(x>0).由f'(x)>0,得x>1.∴f(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(3)由(2)知f(x)在x=1处取最小值-3-c,要使f(x ≥-2c2恒成立,只需-3-c≥-2c2,即2c2-c-3≥0 解得c≥或c≤-1.故c的取值范围是(-∞,-1]∪。

3.3.3 导数的实际应用生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对B [设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝512－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，则y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [定义域为(0，＋∞)，令y ′＝－x 2＋81＝－(x ＋9)(x －9)＝0得x ＝9或x ＝－9(舍)， 当x ∈(0,9)时，f′(x )＞0；当x ∈(9，＋∞)时，f′(x )＜0. ∴x ＝9为函数的极大值点也是最大值点， ∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6 cm 3 cm 4 cm [设底面宽为x ，则长为2x ，高为722x 2＝36x 2(0＜x ＜6)，∴S 表面积＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54x ，令S ′＝8(x 3－27)x 2＝0得x ＝3，当x ∈(0,3)时，S ′＜0；当x ∈(3,6)时，S ′＞0， ∴x ＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时可使表面积最小．]小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]列出燃料费与速度关系→确定参数k →每小时费用→确定1千米总费用→求导→利用导数确定最值→结论 [解] 设速度为每小时v 千米的燃料费为每小时p 元，由题意得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，当v ＝10，p ＝6，解得k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3.设当速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行1千米所需时间为1v 小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v ， q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单元：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)设隔热层厚度为x m，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－2 400(3x＋5)2，令f′(x)＝0，即 2 400(3x＋5)2＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)[思路探究] (1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m 的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x －2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．[解] (1)当x ＝4时，y ＝21，代入函数关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，所以f′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f′(x )＝0，得x ＝103或x ＝6(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103时，f′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6时，f′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本.②利润＝每件产品的利润×销售件数.2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11， 所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而f′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)． 于是，当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.利用导数解决生活中的优化问题一般有哪些步骤？ [提示]【例3】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． [思路探究] 建立数学模型，列出函数关系式，利用导数求最值． [解] (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr ＋8πr 2.又l ＝643r 2－43r ＞0⇒r ＜243，所以定义域为(0,243)． (2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′＞0得2＜r ＜243； 令y ′＜0得0＜r ＜2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.1．(改变问法)本题问题改为试求该容器表面积的最小值． [解] 因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，故该容器的表面积y ＝128π3r －8πr 23＋4πr 2＝128π3r ＋4πr 23，则y ′＝－128π3r 2＋8πr 3＝8π(r 3－16)3r 2， 令y ′＝0，解得r ＝316，易知当r ＝316时，表面积取得最小值， y min ＝16π·34.2．(变换条件)本题中若由于场地的限制，该容器的半径要限制在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32范围内，求容器建造费用的最小值．[解] 因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′＞0得2＜r ＜243； 令y ′＜0得0＜r ＜2，故当r ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，函数单调递减，故当r ＝32时，y min ＝310π3.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(3)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．1．思考辨析(1)生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( ) (2)解决应用问题的关键是建立数学模型．( )(3)解决实际问题，其中就包括确定函数的定义域，在求定义域时，一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( )A ．33cm B ．1033 cm C ．1633 cmD ．2033 cm D [设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2(0＜h ＜20)，∴体积V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)， 令V ′＝π3(400－3h 2)＝0得h ＝2033， 当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′＜0， ∴h ＝2033为函数的极大值点，即最大值点， 即高为2033cm 时，漏斗体积最大．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3 [设底面半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2(0＜h ＜33)， ∴表面积S ＝πr 2＋2πrh ＝πr 2＋54πr ， 令S ′＝2πr 3－27r2＝0得r ＝3.当r ∈(0,3)时，S ′＜0；当r ∈(3,33)时，S ′＞0， ∴r ＝3为函数的极小值点，即最小值点， 即圆柱的底面半径为3时，用料最省．]4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．]5．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？[解] 设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．。