分式求值小技巧

数学篇分式求值运算是初中代数的重要内容之一.由于分式的形式多样，分式求值问题也存在着多种不同的解法.下面介绍“引入参数”“拆项变形”“整体代入”“巧取倒数”这四种分式求值的方法，供同学们学习与参考.一、借助参数求分式的值在分式求值问题中，如果出现等比例式，就可以引入参数，将等比设成参数，将所有未知量都转换成含有参数的式子，再将之代入分式求得分式的值，这样求解过程将变得非常简单.例1若c 4=b 5=a 6≠0，则b +c a 的值为_____.分析：题中“c 4=b 5=a 6”是一个等比例式，可以设公共比为“t ”，这样可以得到c =4t ，b =5t ，a =6t ，然后将a 、b 、c 的值代入b +c a 即可求出值.解：∵c 4=b 5=a 6≠0，∴设c 4=b 5=a 6=t （t ≠0），∴有a =6t ，b =5t ，c =4t .将a =6t ，b =5t ，c =4t 代入b +c a 有：b +c a =5t +4t 6t =96=32，∴b +c a 的值为32.评注：该题中是一个等比例式，可以通过“引入参数”的方法将比值具体化，将a 、b 、c都替换成含有t 的参数，然后代入到b +c a 中，最后通过约分就能得到具体的数值.二、通过拆项求分式的值在求解比较复杂的分式时，我们可以根据具体的题目特征，对部分分式进行拆分，再配凑出较为容易计算的项来求解.结合题目的结论和条件往中间项配凑，往往能化繁为简，变难为易.例2若1a +1b =5a +b ，则b 2a 2+a 2b 2=_____.分析：待求分式“b 2a 2+a 2b 2”中的“b 2a 2”和“a 2b 2”互为倒数，如果能求出其中一个或知道“a b +b a ”，就可以对其进行平方后求得结果.再细看题目条件“1a +1b =5a +b”，需要配凑出“b a ”或“a b ”，我们可以考虑通分并整理得到“a 2+b 2=3ab ”.再将“a 2+b 2=3ab ”两边同除“ab ”，可得到“a b +b a =3”.解：∵1a +1b =5a +b ，通分并整理可得，a 2+b 2=3ab ，两边同除ab 可得，a b +b a =3，两边平方并整理可得，b 2a 2+a 2b 2=7.解答分式求值问题常用的小妙招江苏省盐城市新洋初级中学王伟解题指南19数学篇评注：此题看起来比较复杂，但是待计算的“b 2a 2+a 2b 2”是非常对称的，可以考虑由“a b +b a ”变形得出.通过通分找出a 、b 的其他数量关系“a 2+b 2=3ab ”，再同除ab 得到需要的“a b +b a ”.所以，本题的解题思路是由两端往中间变换.三、通过整体代换求分式的值整体代入的方法一般用于比较复杂的题目中，这类题目往往有共同的“局部”，解题时将共同的“局部”视为一个整体，然后直接整体代入求值.这种方法可以大大减少计算量，降低解题难度.例3若22y 2+3y +7的值为14，则14y 2+6y -1的值为（）.A.1 B.-1 C.-17 D.15分析：仔细观察条件“22y 2+3y +7=14”和结论“14y 2+6y -1”，发现有公共部分“2y 2+3y ”，可以转化为4y 2+6y =2(2y 2+3y ).若能计算出“2y 2+3y ”，则整个题目就能迎刃而解.解：∵22y 2+3y +7的值为14，∴22y 2+3y +7=14，∴2y 2+3y =1，∴4y 2+6y =2(2y 2+3y )=2×1=2，∴14y 2+6y -1=12-1=1，即14y 2+6y -1=1.∴此题选择A 项.2四、巧取倒数求分式的值倒数法往往出现在分数式的化简求值问题中.当分母相对分子而言比较复杂时，我们可以采用取倒数的方法将分式简单化，通过变形整理后得到“倒数”的具体值，再次通过“倒数法”还原待求值.例4若x +1x =3，则x 2x 4+x 2+1的值为（）.A.10 B.8 C.110 D.18分析：该题“x 2x 4+x 2+1”中分母比较复杂，若分子、分母调换一下位置，求解将会变得容易些.所以采用“巧取倒数法”解此题.设t =x 2x 4+x 2+1，则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1.而题目条件中“x +1x =3”通过平方可以轻松求出x 2+1x 2的值为7，从而求得1t =8，进而求解出t =18.解：设t =x 2x 4+x 2+1,则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1，∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2-2x ⋅1x =7，∴1t =x 2+1x 2+1=8，∴t =18，即x 2x 4+x 2+1=18.故D 项正确.评注：“取倒数法”可以简化解题过程，但是一定要记住在解题结束前再次采用“倒数法”将数值倒回来.分式的求值问题是一种常见问题.它涉及面广，技巧性强，也是中考中出现频率较高的问题.解答这类问题要认真分析条件式和解题指南。

分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。

3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。

4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。

请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。

6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。

7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。

10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。

11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。

12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。

13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。

分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。

下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。

2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。

3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。

4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。

5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。

6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。

7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。

8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。

以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。

分式求值技巧
2023年中考复习
设参数k法
方法介绍
当题目给出的条件出现连比形式，或者连等式时，经常采用增设参数k的方法，用含参数k的代数式表示分式中的各字母．在化简求值过程中，参数k最终都能消去，即可求出结果．
例1：
解答：
例2：
解答：
设定主元法
方法介绍
当题目中给出2个字母，却只给出1个方程，或者给出3个字母，却只给出2个方程时，我们无法具体求出每个字母的值．因此，可以设定其中一个字母作为主元，用含主元的代数式来表示其他字母，从而可以在分式化简中，达到只含有主元的目的，最终消去主元求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
整体同除法
方法介绍
对于有些题目，我们可以从需要求值的分式入手，将分子分母同除分式中次数最高的项，以达到让分式中出现与已知条件相关的代数式，从而可以将已知条件作为整体，代入求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
用乘法公式
方法介绍
对于一些本身，或者通分后含平方和类型的分式，我们可以联系以前所学的乘法公式，利用配方等方法，对分式进行变形，从而更快求解．
例1：
解答：
例2：
解答：
特殊值法
方法介绍
这是最后没有办法的办法了，适用于选择填空题．对于一些无法求出具体数值的字母，我们可以根据已知条件，取字母的一组特殊值，然后代入求解．当然，如果你不确定结果是否正确，可以多代几组特殊值检验．
例1：
解答：
例2：
解答：。

一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。

例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。

2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。

例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。

分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。

分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。

在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。

1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。

化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。

例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。

2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。

我们可以通过找到它们来简化计算。

例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。

我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。

3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。

我们可以利用这个性质来简化计算。

例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。

我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。

例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。

5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。

例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。

例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。

分式求值方法经典归纳分式是数学中常见的一种运算形式，其计算方法有很多种。

本文将介绍一种经典归纳的方法来求解分式的值。

一、基础概念在介绍具体的求值方法之前，先来回顾一下有关分式的基础概念：1.分子和分母：一个分式由一个比例组成，其中分子表示分式的上部分，分母表示分式的下部分。

2.真分式和假分式：如果分数的分子小于分母，则称这个分数为真分式；如果分数的分子大于等于分母，则称这个分数为假分式。

3.通分：当两个分数的分母相同时，我们称它们的分数为同分母的分数。

为了方便比较同分母的分数的大小，我们可以对它们进行通分，即将它们的分母变为相同的数。

4.约分：当一个分数的分子和分母都能被一个相同的数整除时，我们可以约去这个相同的数，使得分数的值不变。

这个过程称为约分。

二、分式求值方法对于分式的求值，我们可以通过以下步骤来进行计算：步骤一：将分数进行通分，即将两个分数的分母变为相同的数。

步骤二：将分数的分子和分母进行运算，得到一个新的分数。

步骤三：对新的分数进行约分，得到最简分数。

步骤四：对最简分数的分子和分母进行运算，得到最终的结果。

接下来，我们通过几个例题来说明这个过程：例题一：求分式的值计算分式 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ 的值。

解：首先，对于两个分数，我们可以将它们的分母进行通分，将它们的分子和分母进行运算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} =\frac{5}{4}$然后，对于新的分数 $\frac{5}{4}$ ，我们可以对其进行约分，得到最简分数：$\frac{5}{4} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$最后，对最简分数的分子和分母进行运算，得到结果为$\frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$。

所以，原分式的值为 $\frac{5}{4}$。

例题二：求分式的值计算分式 $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ 的值。

分式的整体思想求值总结分数是数学中非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

分数可以帮助我们描述比例、比率、概率等概念，同时也可以帮助我们进行计算和求解问题。

在学习分数的过程中，我们会遇到各种各样的分式，我们需要学会将其化简、比较大小、加减乘除以及求值。

下面我们将对这些方面逐一进行探讨。

首先，分式的化简是分式运算中的基本操作。

化简一个分式的过程，就是将其化为最简形式，即分子和分母没有公因数或互质的形式。

例如，将分式$\frac{2}{4}$化简为最简形式，我们可以将分子和分母都除以它们的最大公约数，得到$\frac{1}{2}$。

接下来，我们需要学会比较分式的大小。

当分子和分母不同时，我们可以通过找到它们的公共分母，然后比较分子的大小来确定分式的大小。

例如，比较$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$的大小，我们可以先找到它们的公共分母为6，然后比较$\frac{3}{6}$和$\frac{4}{6}$的大小，得知$\frac{1}{2}$小于$\frac{2}{3}$。

在进行分式的加减乘除运算时，我们需要先找到它们的公共分母，然后根据运算规则进行计算。

例如，计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的公共分母为6，然后将分子相加得到$\frac{7}{6}$。

对于分式的乘法和除法运算，我们可以直接将分子相乘或除以，分母相乘或除以。

例如，计算$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$，我们可以直接将分子1和分母2相乘，分子2和分母3相乘，得到$\frac{2}{6}$。

最后，我们需要学会对分式进行求值。

求值是指根据给定的实际数值，计算分式的结果。

例如，求值$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的公共分母为6，然后将分子相加得到$\frac{5}{6}$，最后将结果化简为最简形式得到$\frac{5}{6}$。

小专题(十八) 巧用分式方程的解求值技巧1 利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值． 解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3. 将x ＝3代入2x ＋4＝m x，得27＝m 3， 解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝(67)2－2×67＝－4849.技巧2 利用分式方程有(无)解求字母的值2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围． 解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m .∵分式方程有解，∴x ＝4－m 不能为增根．又∵原方程若有增根，则增根为x ＝3，∴4－m ≠3.解得m ≠1.∴当m ≠1时，原分式方程有解．3．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m 3－x无解，求m 的值． 解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：①若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；②若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解． 综上所述，m ＝－3或1.技巧3 利用分式方程有增根求字母的值4．当m 为何值时，分式方程m x ＋1－2x －1＝3x 2－1会产生增根？ 解：去分母并整理，得(m －2)x ＝5＋m ，假设产生增根x ＝1，则有m －2＝5＋m ，方程无解，∴不存在m 的值，使原方程产生增根x ＝1； 假设产生增根x ＝－1，则有2－m ＝5＋m ，解得m ＝－32. ∴当m ＝－32时，分式方程m x ＋1－2x －1＝3x 2－1产生增根．技巧4 利用分式方程解的正负性求字母的值5．(齐齐哈尔中考)若关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x的解为正数，求满足条件的正整数m 的值． 解：原方程可化为x ＝2(x －2)＋m ，∴x ＝4－m ，∵方程解为正数，∴4－m ＞0，解得m ＜4，∴正整数m 可取1、2、3.又∵方程的解不能是增根，∴4－m ≠2，∴m ≠2，∴正整数m 只能取1、3.6．当a 为何值时，关于x 的方程x ＋1x －2－x x ＋3＝x ＋a （x －2）（x ＋3）的解为负数？ 解：去分母，得(x ＋1)(x ＋3)－x (x －2)＝x ＋a ，解得x ＝a －35. 令x ＝a －35＜0，得a ＜3.又∵x ≠2且x ≠－3，即a －35≠2且a －35≠－3， 解得a ≠－12.∴当a ＜3且a ≠－12时，原分式方程的解为负数．。