11.1 与三角形有关的线段

与三角形有关的线段相关知识链接1.线段的中点：如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，那么点M 叫做线段AB 的中点。

2.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

3.角的平分线：从一个角的顶点引一条射线，如果把这个角分为两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。

知识点1 三角形的有关概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形。

有关概念及其表示方法：(1) 如图所示，线段AB,AC,BC 叫做△ABC 的三条边。

(2) 点A,B,C 叫做三角形ABC 的三个顶点。

(3) 顶点式A ，B ，C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”。

数三角形个数的方法：(1) 按图形形成的过程(2) 按大小顺序(3) 可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数(4) 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数知识点2 三角形的分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫作等边三角形，即三边都相等的三角形叫做等边三角形。

按边的相等关系分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形 分类示意图如图：按角的大小分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形锐角三角形直角三角形知识点3 三角形的三边关系三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系。

三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形。

已知三角形两边长，求第三边的取值范围。

知识点4 三角形的高、中线、角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的高的几何表达形式：如图1所示，AD 是△ABC 的BC 边上高，或AD 是△ABC 的高，或AD ⊥BC 于点D ，或∠BDA=∠CDA=90°。

第11章三角形11.1与三角形有关的线段（简答题专练）1．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为21厘米和12厘米两部分，求△ABC 各边的长．【答案】△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系即可求解三角形三边的长，注意不符合题意的要舍去.【详解】如图，设AB ＝AC ＝2x cm ，BC ＝y cm∵BD 是中线∴AD ＝CD ＝x cm若AB +AD ＝21 cm ，BC +CD ＝12 cm即22112x x x y +=⎧⎨+=⎩解得：=7x ，5y =此时，AB ＝AC ＝14 cm ，BC ＝5 cm若AB +AD ＝12 cm ，BC +CD ＝21 cm即21221x x x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：=4x ，17y =∵此时AB ＝AC ＝8 cm ，BC ＝17 cm ，AB +AC ＜BC∴=4x ，17y =不合题意，舍去综上所述，△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解决等腰三角形的相关问题时，由于等腰三角形的特殊性，一般情况下是需要对其进行分类讨论，才能得解，因此熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键.2．已知 a 、b 、c 分别表示∆ABC 的三条边长，且∆ABC 的周长为 48 .（1）若c 是三边中最长的边，则c 的最小值是 ；（2）若c = 3a ，求证： 6 < a < 8 ；（3）若 a - c = 10 ，求c 的取值范围；（4）若 a 、b 均为整数，c=16，则这样的三角形共有 个.【答案】（1）16；（2）见解析（3）7 < c < 14 ；（4）8【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；（2）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（3）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（4）依次数出可能的三角形的三边，即可判断.【详解】（1）当∆ABC 为等边三角形时，c 取最小值为48÷3=16； （2）∵c = 3a ，a+b+c=48,∴b=48-4a,∵c+a＞b，c-a＜b即a+3a＞48-4a，3a-a＜48-4a,解得6 <a< 8 ；（3）∵a -c= 10，a+b+c=48,∴a=c+10，b=38-2c,∵a+c＞b，a-c＜b即c+10+c＞38-2c，c+10-c＜38-2c,解得7 <c< 14 ；（4）根据c=16,a+b+c=48,故所以的情况如下：16,16,16；15,16,17；14,16,18；13,16,19；12,16,20；11,16,21；10,16,22；9,16,23；故为8个.,【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+5）cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．【答案】3＜x≤10．【解析】【分析】根据三角形的三边关系以及周长不超过37cm列出不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵一个三角形的三边长分别是xcm，（x+2）cm，（x+5）cm，它的周长不超过37cm，∴252537 x x xx x x+++⎧⎨++++≤⎩＞，解得：3＜x≤10．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和不等式组的应用，解题的关键是正确列出不等式组.4．如图，已知ABC ∆，按要求作图．（1）过点A 作BC 的垂线段AD ；（2）过C 作AB 、AC 的垂线分别交AB 于点E 、F ；（3）15AB =，7BC =，20AC =，12AD =，求点C 到线段AB 的距离．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点C 到线段AB 的距离为285． 【解析】【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；（3）利用三角形面积公式得到1122AB CE BC AD =，然后把15AB =，7BC =，12AD =代入计算可求出CE ．【详解】解：（1）如图，AD 为所作；（2）如图，CE 、CF 为所作；（3）1122ABC S AB CE BC AD ∆==， 71228155BC AD CE AB ⨯∴===， 即点C 到线段AB 的距离为285． 【点睛】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.5．已知a 、b 、c 为三角形的三边，||||||P a b c b a c a b c =+----+-+．（1）化简P ；（2）计算()P a b c -+．【答案】（1）a b c +-；（2）2222a b c bc --+.【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系即可得到a+b ＞c ，a+c ＞b ，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，从而化简．（2）将P 值代入进行计算即可.【详解】解：（1）由三角形三边关系知a b c +>，a c b +>，故0a b c +->，0b a c --<，0a b c -+>，||||||P a b c b a c a b c ∴=+----+-+a b c b a c a b c =+-+--+-+a b c =+-，（2）()P a b c -+()()a b c a b c =+--+222a ab ac ab b bc ac bc c =-++-+-+-2222a b c bc=--+．【点睛】此题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，绝对值，解题关键在于灵活运用各计算法则. 6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的长；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为125cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴12AB•AC＝12BC•AD，∴AD＝341255AB ACBC⨯==（cm），即AD的长为125cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.7．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm2.（1）求△ABD与△BEC的面积；（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？【答案】（1）10，10；（2）相等，理由，见解析【解析】【分析】（1）要计算△ABE与△BCE的面积，可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12 BD·h，S△ACD=12CD·h；再根据中点的定义得BD=CD，然后利用等量代换即可得到S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，再结合△ABC的面积即可解决；（2）结合上面的推理可得S△ABE=S△ABD，再根据图形可知S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，【详解】（1）可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12BD·h，S△ACD=12CD·h，∵点D是BC边的中点，∴BD=CD.∴S△ABD=S△ACD，同理S △ABE =S △BCE ，∴S △ABD =S △BCE =12S △ABC =12×20=10（cm 2）. （2）△AOE 与△BOD 的面积相等，理由如下.根据（1）可得：S △ABE =S △ABD ，∵S △ABE =S △ABO +S △AOE ，S △ABD =S △ABO +S △BOD ，∴S △AOE =S △BOD .【点睛】此题考查中点的定义和三角形面积的计算方法，掌握定义及公式是解题的关键；8．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且-+--a b c a b c += 10，求b 的值【答案】b=5【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b ＞c ，a−b ＜c ，再去绝对值即可.【详解】解：∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a+b ＞c ，a−b ＜c ， ∴-+--()210a b c a b c a b c a b c a b c a b c b +=+----=+--++==，∴b=5.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．9．在△ABC 中，AB ﹦9，BC ﹦2，并且AC 为奇数，那么△ABC 的周长为多少？【答案】20【解析】【分析】根据三角形三边关系,找到AC 的取值范围,由AC 为奇数求出AC 长度,即可求出三角形周长.【详解】解：∵AB﹣BC＜AC＜AB﹢BC，（三角形三边关系）∴9﹣2＜AC＜9﹢2，即7＜AC＜11又A C为奇数，∴A C﹦9∴△ABC的周长﹦9+9+2﹦20【点睛】本题考查了三角形的三边关系,三角形的周长,属于简单题,熟悉三边关系是解题关键. 10．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【解析】【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.【详解】(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．11．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4=24°，根据图形填空：(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)(2)是∠AOD 的12的角有_________个； (3)射线OC 是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?【答案】(1)∠A0E 、∠BOC ；(2) 4个；(3)OC 是∠AOE 的3等分线，是∠AOB 的4等分线.【解析】【分析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的3倍的角可以解题；（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD 的12, （3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC 是哪个角的三等分线、四等分线.【详解】解：（1）1234∠=∠=∠=∠12332AOE ∴∠=∠+∠+∠=∠同理：42332BOC ∴∠=∠+∠+∠=∠（2）4个；（3）∵∠1=∠2=∠3，∴OC 是∠AOE 的三等分线．同理：OC 是∠AOB 的四等分线.【点睛】本题考查了角的度数的计算，考查了角平分线和三等分线的定义，本题中不要漏解是解题的关键．12．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．【答案】（1）∠MON=90°；（2）∠MON=90°；（3）∠MON=90°.【解析】【分析】(1)由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（2）同理由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（3）由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠AOC=∠BOD=90°+α，∠MOC=∠BON=45°+α可得∠MON 的度数：【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=35°，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°+α，∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质及角度间的计算.13．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?【答案】答案见解析【解析】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．试题解析：（1）8个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE；（2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF；（3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE；（4）△ABF，△BDF，△AEF．【点睛】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．14．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD 两个木条，这是根据数学上什么原理？【答案】三角形的稳定性【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．15．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．【答案】小明的做法正确，理由见解析.【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．。

绝密★启用前一、单选题1．三角形的两边长分别为3和5，则周长C 的范围是（ ）A ．615C <<B ．616C << C ．1113C <<D ．1016C <<【答案】D【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和5，∴第三边的取值范围是大于5-3而小于5+3，即第三边的取值范围是大于2而小于8．又另外两边之和是5+3=8，故周长C 的取值范围是1016C <<．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记关系求出第三边的取值范围是解题的关键． 2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）A ．5，7，12B ．5，6，7C ．5，5，12D ．1，2，6 【答案】B【解析】【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A 、5＋7=12，不能构成三角形；B 、5＋6＞7，能构成三角形；C 、5＋5＜12，不能构成三角形；D 、1＋2＜6，不能构成三角形．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．3．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．1cm、2cm、3cm B．1dm、5cm、6cm C．1dm、3cm、3cm D．2cm、4cm、7cm 【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析即可得出结论．【详解】根据三角形的三边关系可知：A．2+1＝3，不能组成三角形；B．1dm=10cm，5+6＞10，能组成三角形；C．1dm=10cm，3+3＜10，不能组成三角形；D．2+4＜7，不能组成三角形．故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．注意单位要统一．4．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（）A．1，2，6 B．1，2，3 C．2，3，4 D．2，2，4【答案】C【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵1+2＝3＜6，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、∵2+3＝5＞4，∴能组成三角形，故本选项正确；D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边；任意两边差小于第三边是解答此题的关键．5．三角形的两边长为4和7，则第三边长x的取值范围为（）.A ．311x <<B ．311x ≤≤C ．3x ≤D ．11x ≥【答案】A【分析】 根据三角形的三边关系进行计算即可.【详解】根据三角形的三边关系，得：第三边大于两边之差，即x >7－4=3，而小于两边之和，即x <7+4=11.故选：A.【点睛】本题考查三角形的三边关系，明确“三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和”是关键.6．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（ ）A ．E ，H 两点之间B ．E ，G 两点之间C ．F ，H 两点之间D ．A ，B 两点之间【答案】A【分析】 根据三角形的稳定性进行判断逐一判断即可．【详解】A 选项：若钉在E 、H 两点处则构成了三角形，能固定窗框，故符合题意；B 选项：若钉在E 、G 两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故不符合题意；C 选项：若钉在F 、H 两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故不符合题意；D 选项：若钉在A 、B 两点处则未改变形状，不能固定窗框，故不符合题意； 故选A ．【点睛】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．7．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．7cm、5cm、11cm B．4cm、3cm、7cm C．5cm、10cm、4cm D．2cm、3cm、1cm 【答案】A【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】+>，∴能围成三角形，解：①7511②347+=，∴不能围成三角形，+<，∴不能围成三角形，③4510+=，∴不能围成三角形．④123能围成三角形的是①，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．8．“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是( )A．基本事实B．定理C．定义D．条件【答案】C【解析】分析：根据“各选项中所涉及的几何概念的定义”进行分析判断即可.详解：“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是“等腰三角形的定义”.故选C.点睛：熟悉“各选项中所涉及的几何概念和等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形”是解答本题的关键.9．三角形的三条线交点，叫做三角形的重心（）A．高B．中C．角平分D．无法确定【答案】B【分析】根据三角形的重心定义即可得．【详解】三角形的重心是三角形的三条中线的交点故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心定义，熟记定义是解题关键．另外常考点是三角形的内心、外心、垂心的概念，需加以区分．10．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（）A．3 B．4 C．11 D．12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x的值即可．【详解】设第三边长为x，则7-4＜x＜7+4，3＜x＜11，∴A、C、D选项不符合题意．故选：B．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．11．下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．7cm、5cm、12cm B．4cm、6cm、5cmC．8cm、4cm、3cm D．6cm、8cm、15cm【答案】B【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可．【详解】解：A、7+5=12，不能构成三角形，故本选项错误；B、4cm、6cm、5cm，能构成三角形，故本选项正确；C、4+3＜8，不能构成三角形，故本选项错误；D、6+8＜15，不能构成三角形，故本选项错误．故选B．【点睛】考核知识点：三角形三边关系.12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．3，4，1 C．5，6，12 D．5，5，8【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【详解】解：A、∵2+2＝4，∴不能构成三角形，故本选项错误；B、∵3+1＝4，∴不能构成三角形，故本选项错误；C、∵5+6＜12，∴不能构成三角形，故本选项错误；D、∵5+5＞8，∴能构成三角形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.13．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【答案】B【解析】试题分析：由三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选B．考点：三角形三边关系．14．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C ．D ．【答案】A【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A 是作BC 边上的高，C 是作AB 边上的高，D 是作AC 边上的高. 故选A.考点：三角形高线的作法15．已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ）A ．12B ．11C ．8D ．3【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求出 第三边的取值范围，即可得出结果．【详解】∵7﹣4=3，7+4=11，∴3＜第三边＜11，∴只有C 中的8满足．故选C ．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.16．已知线段6a cm =，9b cm =，则下列线段中，能与a ，b 组成三角形的是（ ）A ．3cmB ．12 cmC ．15cmD ．18cm 【答案】B【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．【详解】解：设三角形的第三边为m ．由题意：9-6＜m ＜6+9，即3＜m＜15，故选B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．三角形三条中线的交点叫做三角形的A．内心B．外心C．中心D．重心【答案】D【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．考点：三角形的重心．18．给出下列命题①三条线段组成的图形叫三角形，②三角形的三条高相交于三角形内同一点，③任何一个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高④三角形的内角和等于外角和、⑤多边形的内角和大于外角和⑥三角形的三条角平分线相交于形内同一点．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】三条线段组成的图形叫三角形，不正确，应该是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形；②三角形的三条高相交于三角形内同一点，不正确，锐角三角形的三条高相交于三角形内同一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的三条高相交于三角形外同一点；③任何一个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高，正确；④三角形的内角和等于外角和，不正确，三角形的内角和是180°，外角和是360°；⑤多边形的内角和大于外角和，不正确，理由同④；⑥三角形的三条角平分线相交于形内同一点，正确．故选B.19．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【答案】A【解析】高的交点在三角形内部的是锐角三角形．选A.20．一个等腰三角形的两边长分别为4厘米、9厘米，则这个三角形的周长为（）A．17或22 B．22 C．13 D．17或13【答案】B【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行分类讨论，还要用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分类讨论：情况一：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；情况二：若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，最后养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．21．用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断，且全部用完），能摆出不同形状的三角形个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】【分析】可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论.【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟记定理是解题的关键.22．下列四组线段中，能组成三角形的是（）A．2cm，3 cm，4 cm B．3 cm，4 cm，8 cmC．4 cm，6 cm，2 cm D．7 cm，11 cm，2 cm【答案】A【解析】试题解析：A、2+3＞4，能够组成三角形；B、3+4=7，不能组成三角形；C、4+2=6，不能组成三角形；D、7+2＜10，不能组成三角形．故选A．考点：三角形三边关系．23．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．3，4，7 D．5，6，10【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断，两条较小的边的和大于最大的边逐一进行判断即可．【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；B、5+6=11，不能构成三角形，故此选项错误；C、4+3=7，不能构成三角形，故此选项错误．D、5+6＞10，能构成三角形，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．24．三角形的两边长分别为5和12，那么第三边长可能是（）A．5 B．7 C．11 D．19【答案】C【分析】确定第三边范围：大于两边之差，小于两边之和，找在此范围的边长即可．【详解】解：设第三边为x，则12-5<x<5+12，即7<x<17，所以符合条件的为11，故选C．【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，正确确定第三边范围是解题关键．25．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是()A．AB B．AE C．AD D．AF【答案】C【分析】首先根据三角形的高的定义得出AD⊥BC，再根据垂线段最短求解即可【详解】解：∵在△ABC中，AD是高，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，∴AD＜AB，AD＜AE，AD＜AF，故选C.【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高以及垂线段最短的性质，掌握定义与性质是解题的关键26．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．10B．6C．4D．3【答案】B【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系得到第三边的范围，进而可得答案．【详解】解：设第三边长为x，由一个三角形的两边长分别为3和7，则根据三角形的三边关系得：<<，所以只有B选项符合题意；7373x-<<+，即410x故选B．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．27．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．1，2，4 D．3，4，5【答案】D【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．【详解】+=，不能组成三角形，故A选项错误；解：A、123+=，不能组成三角形，故B选项错误；B、224C、124+<，不能组成三角形，故C选项错误；+>，能组成三角形，故D选项正确；D、345故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．28．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫作△ABC的（）A．中心B．圆心C．重心D．格点【答案】C【分析】根据三角形中各线段的交点对应的概念辨析即可．【详解】A、正三角形才有中心，故错误；B、既不是内切圆的圆心，也不是外接圆的圆心，故错误；C、由图可知，Ｐ是三条中线的交点，则为重心，故正确；D、没有这个说法，故错误；故选：C【点睛】本题考查三角形重心的判断，熟记三条中线的交点为重心是解题关键．29．下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．高架桥的三角形结构D．伸缩晾衣架【答案】D【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【详解】解：由四边形组成的伸缩衣架是利用了四边形的不稳定性，而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选D．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．30．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．31．如图，是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站应建在：（）A ．△ABC 三边的中线的交点上B ．△ABC 三边垂直平分线的交点上 C ．△ABC 三条边高的交点上D ．△ABC 三内角平分线的交点上【答案】D【解析】 试题解析：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分线的交点.故选D.点睛：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.32．如图，△ABC 中，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，若S ∆ABC =12，则图中阴影部分的面积是( )A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】 作CF AB ⊥交AB 于点F ，作DG BC ⊥交BC 于点G ，利用中点的性质即可求出BCD △的面积，同理可求出阴影部分面积.【详解】解：作CF AB ⊥交AB 于点F ，作DG BC ⊥交BC 于点G ，点D 是AB 边上的中点12BD AB ∴=1111112622222BCD ABC S BD CF AB CF S ∴=⋅=⨯⋅==⨯= 点E 是BC 边上的中点 12CE BC ∴= 111116322222CED BCD S CE DG BC DG S ∴=⋅=⨯⋅==⨯= 所以阴影部分的面积为3.故选：C.【点睛】本题考查了和中点有关的三角形的面积，灵活的利用中点的性质表示三角形的面积间的关系是解题的关键.33．已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为 A ．2B ．3C ．5D ．13【答案】B【分析】根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x 的取值范围，一一判断可得答案.【详解】解：根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边” 可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x 的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个. 故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查构成三角形的三边的关系.34．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm【答案】B【详解】分析：结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．详解：A 、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选B．点睛：本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．35．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5【答案】C【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．36．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．37．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为() A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0【答案】D【解析】试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b）=0．故选D．考点：三角形三边关系．38．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高.考点：三角形的高39．有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是（）A．1cm B．2cm C．7cm D．10cm【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得6－4＜第三根小棒的长度＜6＋4 ,再解不等式可得答案. 【详解】设第三根小棒的长度为x cm ,由题意得:6－4＜x＜6＋4 ,解得:2＜x＜10 ,故选:C .【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握三边关系定理:三角形两边之和大于第三边.角形的两边差小于第三边.40．下列命题：①三角形的三个内角中最多有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；④直角三角形中两锐角之和为90°.其中是真命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：因为三角形的内角和为180°，所以三角形的三个内角中最多有一个钝角，三角形的三个内角中至少有两个锐角，所以①②是正确的；有两个内角为50°和20°的三角形的第三角为110°，所以一定是钝角三角形，所以③正确；因为直角三角形中有一个角等于90°，所以直角三角形中两锐角的和为90°，所以④正确．故选D.41．如图，在△ABC中，BC=8，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC的面积为48时，AD的长为（）A．24 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】利用三角形的面积公式即可得解.【详解】∵△ABC的面积=12BC•AD=12×8•AD=48，∴AD=12．故选B【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积公式．42．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合【答案】D【解析】解：∵∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，∴∠ACB′=∠ACB=90°，∠BAC=∠B′AC，BC=B′C，∴AC是△ABB′的边BB′上的高，AC平分∠BAB′，线段AC是△ABB′的边BB′上的中线．故选D．43．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．11cm【答案】C【解析】【分析】已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【详解】设第三边长为x ，则由三角形三边关系定理得8-3＜x ＜8+3，即5＜x ＜11． 因此，本题的第三边应满足5＜x ＜11，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，13都不符合不等式5＜x ＜11，只有6符合不等式，故答案为6cm ． 故选C ．【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．44．如图，ABC ∆中，14BD BC =，13AE AD =，12CF CE =，12ABC S ∆=，则DEF S ∆=（ ）A ．2B ．52C ．3D ．4 【答案】C【分析】据题意先求得S △ACD ＝34S △ABC ＝9，然后求得S △CDE ＝23S △ACD ＝6，最后求得S △DEF ＝12S △CDE ＝3． 【详解】解：∵14BD BC =， ∴S △ACD ＝34S △ABC ＝34×12＝9；∵13AE AD，∴S△CDE＝23S△ACD＝23×9＝6；∵点F是CE的中点，∴S△DEF＝12S△CDE＝12×6＝3．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的中线与面积的求法，解题的关键是熟知中线平分三角形面积的原理．45．下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（）A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9【答案】D【分析】根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出答案. 【详解】解：A、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；B、3+4＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；C、5+6＞10，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边46．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线【答案】C【解析】因为在三角形中，它的中线、角平分线和中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．故选C．47．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B = 30°，∠C= 100°，如图2.则下列说法正确的是A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【答案】C【解析】分析：∵∠C=100°，∴AB＞AC.如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE。

aBCA11.1.1 三角形的边年级：八年级（上） 科目：数学 教师： 学生姓名：学习目标:1.了解三角形概念及基本元素,理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断他们能否构成三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动,理解三角形两边之和大于第三边的不等关系。

3.激情投入，主动探究、交流，大胆展示、认真整理学案。

学习重点:三角形三边之间的关系及分类.学习难点:在具体的图形中不重复,不遗漏地识别所有三角形及三角形三边关系的应用. 学习过程 一、导学提纲(一)、复习导入:在小学我们已经学过有关三角形的一些知识，对三角形的重要性质有所了解如：三角形的面积公式为 ；三角形按角分类可分为 三角形， 三角形， 三角形。

(二)阅读导学：自学课本P2-3内容，完成下列问题:1.三角形定义 如右图，____________三条线段________组成的 图形叫做三角形.线段AB 、 、 、是三角形的边。

点A,B,C 是 三角形的 。

∠A, , 是三角形的内角，简称三角形的 。

我们把这个三角形记作 ，读作 。

三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示：如边BC 对着∠A ，记作a ；边AC 记作 ；边AB 记作 。

（请在图中标出来）2.三角形分类 （1）三角形中，________ ____的三角形叫做不等边三角形， ______ ______的三角形叫做等腰三角形，____________的三角形叫做等边三角形。

（2）如右图，在等腰三角形ABC 中（其中AB=AC ），腰是 ， 底是 ，顶角是 ，底角是 。

（3）等腰三角形与等边三角形之间的关系是 。

3.三角形的三边关系： 。

4.对应练习 教材P4页练习1、2（在练习本上完成） 二、合作、探究：1.①不在一直线上的三条线段组成的图形叫做三角形吗？ ②首尾顺次相接的三条线段组成的图形叫做三角形吗？2.画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?写出你得到的不等关系。

11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】 如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】 下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】 下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。

第十一章三角形11.1与三角形有关的线段【教材分析】教学目标知识技能1.进一步认识三角形的三边关系，三角形的稳定性，与三角形有关的线段；2.能熟练的运用三角形三边关系解决有关问题；3.能熟练地画出三角形的高、中线、角平分线，并能解决有关题目过程方法经历对与三角形有关的边、线段的复习，培养梳理知识的能力，学会类比、对比、整体认识，提高观察、分析、解决问题的能力.情感态度通过对两节内容的回顾与思考,让学生在学习的过程中获得成功的体验,发展学生应用数学的意识,并培养归纳、总结以及语言表达能力,增强学生学习数学的自信心.重点应用三角形的三边关系、三角形的有关线段解决有关问题.难点钝角三角形高的认识及综合应用知识解决有关问题.【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课知识回顾1.(2016·温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112.三角形的木架不易变形的原因是 .3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，ED=DC，∠1=∠2，则：（1）AD是△ABC的边上的高，也是△ABE的边上的高；（2）A D既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线.3题图4.锐角三角形的三条高都在，钝角三角形有条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的.你能根据以上题目，回顾出本单元的知识点，完成本单元知识结构图吗？教师：出示题目，巡视了解学生完成情况，最后讲评，总结.学生：独立完成，回顾所学知识点，完成后组内交流，理解各知识点.参考答案：1.C；2.三角形的稳定性3.BC，BE；△AEC，EC，EC，△AEC.4、三角形内部，两，直角边，本单元知识结构图：综合运用例1、（2015·南通)有3cm，6cm，8cm，9cm四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4例2、三角形一边长11，另一边长为5，已知第三边长是整数，求第三边的长．教师：出示题目，引导学生分析生：尝试分析，并根据分析板演出过程，教师简要讲评.答案：例1：选C.四条线段的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9和3，8，9能组成三角形.例2：解：设第三边为X，则：11+5＞X ＞11-516 ＞X ＞6∵X为整数∴X=15，14，13，12，11，10，9，8，7.矫正补偿1.(2016·梧州)以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( )A.2 cm，3 cm，4 cmB.2 cm，3 cm，5 cmC.2 cm，5 cm，10 cmD.8 cm，4 cm，4 cm2.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边的长可能是( )A.2B.4C.6D.83.如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是( )A.2B.3C.4D.84.若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则等腰三角形的周长为 cm.5.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )A.AB=2BFB.∠ACE=错误!未找到引用源。

11.1与三角形有关的线段（第二课时）一、内容和内容解析1.内容三角形的高、中线与角平分线，三角形的稳定性2.内容解析三角形的高、中线与角平分线是三角形内部的三条重要线段，也是“图形与几何”必备的知识基础。

既是对前面学过的线段的中点、垂线及角平分线等知识的内化，又为后面学习全等三角形及相似三角形等知识奠定了基础。

理解三角形的高、中线与角平分线的概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深入.基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性。

（2）会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生通过画图操作理解三角形的高、中线与角平分线的概念，并能用几何语言表述；通过教具展示感受三角形的稳定性。

达成目标（2）的标志是：能在具体的图形中利用工具作出三角形的高线、中线、角平分线。

三、教学问题诊断分析画钝角三角形的高时，有两个垂足落在边的延长线上，对于图形的这种特点学生不太适应，教学时可结合过线段外一点画已知线段的垂线（垂足在线段的延长线上）的知识帮助学生理解。

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：画钝角三角形的高。

四、教学过程设计1.质疑展示，操作验证问题1.通过画三角形的中线，你有什么发现？师生活动：学生回答，三角形有三条中线。

追问1.教材中以三角形一条边上的中线为例介绍了三角形的中线，结合作图你能用语言描述三角形中线的定义吗？师生活动：学生通过讨论概括三角形中线的定义，教师加以完善。

设计意图：让学生通过亲自作图，先从形象上认识三角形中线的定义，然后用语言归纳出中线定义，这样做，不仅容易理解定义，同时也培养了他们的语言表达能力。

追问2.除此之外你还有什么发现？师生活动：学生回答，三角形三条中线交于一点追问3.在作图过程中三角形的三条中线都交于一点吗？师生活动：学生交流，提出质疑，教师提供技术帮助，学生亲自操作验证。