2013年高考分类题库考点31 直接证明与间接证明

第2节直接证明与间接证明最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”.( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“a ≤b ”. (3)反证法只否定结论.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2. 答案 B3.要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0B.a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 D4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A.假设a ，b ，c 都是偶数 B.假设a ，b ，c 都不是偶数 C.假设a ，b ，c 至多有一个偶数 D.假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故B 正确. 答案 B5.(选修2－2P85例1改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________. 解析 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边三角形考点一 综合法的应用【例1】 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)(一题多解)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.(1)证明 ∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解 由(1)知1a n＝2n －1，∴S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.法一 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 法二 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>1，又∵1>n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.规律方法 1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.【训练1】 (2018·东北三省三校调研)已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3， ∴a ＋b ＋c ≤3. (2)∵a ＞0，∴3a ＋1＞0， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1（3a ＋1）＝4， 当且仅当43a ＋1＝3a ＋1，即a ＝13时取“＝”.∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”. 考点二 分析法的应用【例2】 已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .规律方法 1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立. 于是原等式成立. 考点三 反证法的应用【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. (1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).(2)证明 由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2).∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝q 2＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾. ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法 1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等. 2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.【训练3】 (2018·郑州一中月考)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数.(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 则12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎨⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a .解得a ＝b ，这与已知矛盾.故不存在常数a ，b 使函数h (x )＝1x ＋2是[a ，b ]上的“四维光军”函数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°解析 “至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60°. 答案 B2.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A.a>bB.a<bC.a＝bD.a，b大小不定解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m <1m＋m－1，即a<b.答案 B3.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1＋a2)>0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2D.ab<a＋1 b＋1解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案 B4.分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案 C5.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.答案 D二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________.解析要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5.答案6＋7>22＋ 57.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是______________________.解析“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.答案“a，b都不能被5整除”8.下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的序号是________.解析 要使b a ＋a b ≥2，只需ba >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋ab ≥2成立. 答案 ①③④ 三、解答题9.若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立. ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立. 上式两边同时取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和. (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列. (2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·上饶开学考试)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.答案 C12.(2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析 根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.答案 1和313.设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2. 因此a＋b>c＋d.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件.。

第4讲直接证明与间接证明讲义讲义一、导入【教学建议】我们知道，合情推理所得结论的正确性是需要证明的，这正是数学区别于其他学科的显著特点，数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，反证法是间接证明的一种直接方法.C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C 先生很感激．车上的人开始小声议论C 先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白．二、知识讲解知识点1 综合法1.用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键．2. 综合法证明数学命题的步骤第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．知识点2 分析法1.分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．2.分析法证明不等式的依据、方法与技巧．(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．知识点3 反证法1.反证法证明数学命题的一般步骤第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定⌝q(反设)；第三步：由p和⌝q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定⌝q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真．第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．2．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．三、例题精析【教学建议】分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．【题干】（1）设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A 、B 的大小关系为________． 【答案】A ≥B【解析】A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝)(24)(2b a ab ab b a +-+≥0. 【题干】（2）若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【答案】 A【解析】 P 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋42，Q 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋40，∴P 2>Q 2，又∵P >0，Q >0，∴P >Q .【题干】（3）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【答案】 1和3【解析】 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．【题干】（4）设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是 例题1“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．【解析】(1)由已知，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下面证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立． 【题干】（1）欲证2−√5<√6−√7成立,只需证( )A .(2−√5)2<(√6−√7)2B .(2−√6)2<(√5−√7)2C .(2+√7)2<(√5+√6)2D .(2−√5−√6)2<(−√7)2【答案】C【解析】由分析法知,欲证2−√5<√6−√7,只需证2+√7<√6+√5,即证(2+√7)2<(√6+√5)2,故选C .【题干】（2）分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x 2时，索的因是( ) A ．x 2>1B ．x 2>4C ．x 2>0D ．x 2>1【答案】 C【解析】 因为x >0，所以要证1＋x <1＋x 2，只需证(1＋x )2<⎝⎛⎭⎫1＋x 22， 即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立． 【题干】（3）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．【求证】1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ． 例题2证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立． 【题干】（1）用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________．【答案】 x ≠－1且x ≠1【解析】 “x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．【题干】（2）设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤【答案】 C【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出； 若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.【题干】（3）已知非零实数a ,b ,c 构成公差不为0的等差数列,求证:1a ,1b ,1c 不可能成等差数列.【解析】假设1a ,1b ,1c 成等差数列,则2b =1a +1c ,所以2ac=bc+ab.① 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b=a+c.②把②代入①,得2ac=b (a+c )=b ·2b.所以b 2=ac.③由②平方,得4b 2=(a+c )2.④把③代入④,得4ac=(a+c )2,所以(a-c )2=0.所以a=c.例题3代入②,得b=a,故a=b=c,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾,因此假设错误.故1a ,1b,1c不可能成等差数列.。

第五节直接证明与间接证明1．直接证明——综合法、分析法内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果(顺推证法)执果索因(逆推证法)框图表示P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示所要证明的结论P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……，所以……，或由……得……，或“⇒”要证(欲证)……，只需证……，即证……2．间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q 是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法．,(1)分析法的特点①当命题不知从何入手时，可以运用分析法来解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．②分析法证明过程不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件．(2)应用反证法证题注意事项应用反证法证题时，必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)一些常见词语的否定一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明结论“a ＞b ”时，应假设“a ≤b ”．( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、选填题1．命题“对任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论，故选B. 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60° B ．假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60°解析：选B 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.故选B.4．若2，3，x 成等比数列，则log 2x ＝________.解析：由题意得(3)2＝2·x ， 所以x ＝32，所以x ＝92.设log2x ＝y ，即⎝⎛⎭⎫32y ＝92＝⎝⎛⎭⎫322， 所以y ＝2，即log 2x ＝2.答案：25.6－22与5－7的大小关系是________． 解析：假设6－22＞5－7，由分析法可得， 要证 6－22＞5－7，只需证 6＋7＞5＋22， 即证13＋242＞13＋410，即42＞210. 因为42＞40，所以6－22＞5－7成立． 答案：6－22＞5－7考点一综合法的应用[师生共研过关][典例精析]数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞n n ＋1.[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n＝2， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞1，又∵1＞n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞n n ＋1.[解题技法]掌握综合法证明问题的思路[过关训练]已知a ，b ，c 都为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明：(1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3，∴a ＋b ＋c ≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)∵a ＞0，∴3a ＋1＞0， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥2 43a ＋1(3a ＋1)＝4， 当且仅当43a ＋1＝3a ＋1，即a ＝13时取“＝”．∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝⎛⎭⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32，当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”．考点二分析法的应用[师生共研过关][典例精析]若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[证明]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[解题技法]1．利用分析法证明问题的思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．[过关训练]1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.2．已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋ 2.因为a ＞0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即证a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥ 2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 考点三反证法的应用[师生共研过关][典例精析]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． [解] (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p ＜q ＜r ， 所以r －q ∈N *，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立． 所以假设不成立，原命题得证．[解题技法]用反证法证明数学命题需把握的3点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．[过关训练]1．已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假设错误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.2．已知f(x)＝ln(1＋e x)－mx(x∈R)，对于给定区间(a，b)，存在x0∈(a，b)，使得f(b)－f(a) b－a＝f′(x0)成立，求证：x0唯一．证明：假设存在x0′∈(a，b)，x0∈(a，b)，且x0′≠x0，使得f(b)－f(a)b－a＝f′(x0′)，f(b)－f(a)b－a＝f′(x0)成立，即f′(x0)＝f′(x0′)．因为f′(x)＝e x1＋e x－m，记g(x)＝f′(x)，所以g′(x)＝e x(1＋e x)2＞0，f′(x)是(a，b)上的单调递增函数．所以x0＝x0′，这与x0′≠x0矛盾，所以x0是唯一的．。

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考点31 直接证明与间接证明1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n ．(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据{d n }的定义求.(2)充分性:先证明{a n }是不减数列,再利用定义求d n ;必要性:先证明{a n }是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1）111211d A B =-=-=，222211d A B =-=-=，333413d A B =-=-=，444413d A B =-=-=。

（2） 充分性：若{}n a 为公差为d 的等差数列，则1(1)n a a n d =+-.因为d 是非负整数，所以{}n a 是常数列或递增数列.1(1)n n A a a n d ==+-所以，11n n B a a nd +==+，n n n d A B d =-=-所以(n=1,2,3,…).必要性：若(1,2,3,)n d d n =-=，假设k a 是第一个使得10n n a a --<的项，则 1221k k k a a a a a --≤≤≤≤>，1,k k k k A a B a -=≤所以，110k k k k k k k d A B a B a a --=-=-≥->所以，这与0n d d =-≤矛盾.所以{}n a 是不减数列.1n n n n n d A B a a d +=-=-=-所以，即1n n a a d +-=，{}n a 所以是公差为d 的等差数列.（3）①首先{}n a 中的项不能是0，否则1102d a =-=，与已知矛盾. ②{}n a 中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{}n a 中有超过2的项，设k a 是第一个大于2的项，{}n a 中一定存在项为1，否则与1n d =矛盾.当n k ≥时，2n a ≥，否则与1k d =矛盾.因此存在最大的i 在2到k-1之间，使得1i a =，此时2220i i i i d A B B =-=-≤-=，矛盾.综上{}n a 中没有超过2的项.综合①②，{}n a 中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若k a 为最后一个1，则220k k k d A B =-=-=，矛盾.因此1有无数个.2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a 1，a 2，…，a n 。

第六节直接证明与间接证明[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件.[探究] 1.综合法与分析法有什么联系与差异？2．间接证明反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做．[探究] 2.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？考点一：综合合法的应用[例1]设a、b、c＞0，证明a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.方法小结——————利用综合法证明问题的步骤探究：保持本例条件不变 ，试证明a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．变式训练1．已知x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2≥13.考点二：分析法的应用[例2] 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. ．变式训练2．已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.考点三：. 反证法的应用[例3] 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？方法小结：．变式训练3．求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c >0，且ab ＋bc ＋ca >0和abc >0.课后小结：．1.三个规律——利用综合法、分析法、反证法证题的一般规律 (1)综合法证题的一般规律 (2)分析法证题的一般规律 (3)反证法证题的一般规律2.三个注意点——利用反证法证明问题应注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的. 练习补充：1．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .2.如图，已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点．求证：HG ⊥EF .3．已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.4．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点． (1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 的长； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．第七节 数学归纳法[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考[归纳·知识整合]1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． [探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么？2．用数学归纳法证明问题应该注意什么？2．数学归纳法的框图表示考点一：用数学归纳法证明等式[例1] n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .方法小结：用数学归纳法证明等式应注意的问题变式训练：1．求证：12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.考点二：用数学归纳法证明不等式[例2] 已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n. 求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.探究： 把题设条件中的“a n ≥0”改为“当n ≥2时，a n <－1”，其余条件不变，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .方法小结：应用数学归纳法证明不等式应注意的问题．变式训练：2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 考点三：“归纳—猜想—证明”问题[例3] 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．方法小结：归纳—猜想—证明类问题的解题步骤变式训练3．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，…. (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.补充练习：1．已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．2．用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1(n ∈N *)．3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．第一节 不等关系与不等式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．比较两个实数大小的法则设a ，b ∈R ，则(1)a ＞b ⇔a －b ＞0；(2)a ＝b ⇔a －b ＝0；(3)a ＜b ⇔a －b ＜0. 2．不等式的基本性质[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？ 2．(1)a >b ⇔1a <1b成立吗？(2)a >b ⇒a n >b n (n ∈N ，且n >1)对吗？考点一：用不等式(组)表示不等关系[例1] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？实际应用中不等关系与数学语言间的关系．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．考点二：比较大小[例2](1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定互动探究：若将本例(1)中“a1，a2∈(0,1)”改为“a1，a2∈(1，＋∞)”，试比较M与N的大小．变式训练：2．比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；(2)当a>0，b>0且a≠b时，a a b b与a b b a.考点三：不等式性质的简单应用[例3](1)(2012·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②ac<b c；③log b(a－c)>log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③(2)已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －db >0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 变式训练：3．(2013·包头模拟)若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列命题：(1)ad >bc ；(2)a d ＋b c <0；(3)a －c >b －d ；(4)a (d－c )>b (d －c )中能成立的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4补充练习1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v <40 km/hB ．v >40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若1a <1b<0，则下列结论不．正确的是( ) A ．a 2<b B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |课后小结：1. 不等式与不等关系的区别2. 比较两个实数的大小3. 不等式的基本性质第二节 一元二次不等式及其解法[备考方向要明了]1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法．如2012年重庆T2等． 2.已知二次函数的零点的分布，求一元二次方程中未知参数的取值范围．3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识.[归纳·知识整合]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅[2．可用(x －a )(x －b )>0的解集代替x －a x －b >0的解集，你认为如何求不等式x －a x －b <0，x －a x －b ≥0及x －ax －b ≤0的解集？考点一：一元二次不等式的解法[例1] 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[探究]若将本例(2)改为“x2＋4x＋5≤0”呢？方法小结：一元二次不等式的解法变式训练1．解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a2<0(a<0)．．考点二：一元二次不等式的恒成立问题[例2]已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．方法小结：恒成立问题及二次不等式恒成立的条件变式训练：2．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．考点三：一元二次不等式的应用[例3] 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？方法小结：解不等式应用题的步骤变式训练3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？课后小结：1．一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查．2．解决此类问题可以根据一次、二次不等式，分式不等式，简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解，也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解补充练习1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞). 2．如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)3．若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．。

第六节 直接证明与间接证明预习设计 基础备考·知识梳理1．直接证明2．间接证明 反证法：假设命题 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．典题热身1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A2．用反证法证明命题“如果,b a >那么,,33b a >时，假设的内容应是33.b a A = b a B <3. 3333.b a b a C <=且 3333.b a b a D <=或 答案：D3．若,0<<b a 则下列不等关系中不能成立的是 ( )b a A 11.> ab a B 11.>- ||||.b ac > 44.b a D > 答案：B4．已知∈d c b a ,,,{正实数}且,dC b a <则( ) d c d b c a b a A <++<⋅ d c b a d b c a B <<++. db c a d c b a c ++<<⋅ D ．以上均可能 答案：A5．若,,R b a ∈有下列不等式：;232a a >+① );1(222--≥+b a b a ② +>+2355b a b a ③;32b a .21≥+aa ④则其中一定成立的是答案：①②课堂设计 方法备考题型一 用综合法证明不等式【例1】已知,1=++z y x 求证：⋅≥++31222z y x 题型二 用分析法证明不等式【例2】已知,0>>b a 求证：<-+<-ab b a a b a 28)(2⋅-b b a 8)(2 题型三 用反证法证明不等式【例3】设,)(2q Px x x f ++=则|)3(||,)2(||,)1(|f f f 中是否至少有-个不小于?21并证明你的结论. 技法巧点(1)分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．(2)综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．(3)分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．(4)应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步，分清命题”“q p →的条件和结论； 第二步，作出与命题结论q 相矛盾的假定;q ⌝第三步，由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p →q 为真第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．失误防范1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）”…“即要证”…“就要证”等分析到一个明显成立的结论p ，再说明所要证明的数学问题成立．随堂反馈1．已知z y x ,,为正实数且z y x ,,不全相等， 求证：.222z y x x z z y y x ++>++2．已知a ，b 为正实数，且,1=+b a 求证：.22121≤+++b a 3．已知,10,10,10<<<<<<c b a 求证：三个数,)1(b a -a c c b )1(,)1(--不可能都大于⋅41 高效作业 技能备考一、选择题1．若),0(43,7≥++=+=a a a Q a a p 则P 、Q 的大小关系是( )Q p A >. Q p B =. Q P c <. D ．由a 的取值确定答案：C2．设,1,1,1),,0(,,xz c z y b y x a z y x +=+=+=+∞∈则c b a ,,三数( ) A 至少有一个不大于2 B ．都小于2 C.至少有一个不小于2 D ．都大于2答案：C3．要使.333b a b a -<-成立，则a ，b 应满足( )b a ab A ><且0. b a ab B >>且0. b a ab C <<且0. b a ab D >>且0.或0<ab 且 b a <答案：D4．设,1,0=+<<b a b a 则下列不等式中正确的是 ( ) 22222.b a b a ab b A +<+<< b a b a b ab B +<+<<222.b b a b a abc <+<+<222. b a b b a ab D +<<+<222.答案：D5．已知,0>>b a 且,1=ab 若=+=<<q b a P c c ,2log ,1022 ,)1(log 2ba c +则p 、q 的大小关系是 ( )q P A >⋅ q P B <. q P c =⋅ q P D ≥.答案：B6．已知函数B b a f A R b a x f x ),2(,,,)21()(+=∈=+=),2(),(ba ab f C ab f +=则A 、B 、C 的大小关系是 ( )c B A A ≤≤. B c A B ≤≤. A C B c ≤≤. A B C D ≤≤.答案：A二、填空题7．在等比数列}{n a 和等差数列}{n b 中，,0,03311>=>=b a b a ,31a a =/则5a 和5b 的大小关系为 答案：55b a >8．（2011．宁夏模拟）若a ，b ，c 为Rt△ABC 的三边，其中c 为斜边，那么n n b a +与nc （其中*N n ∈且 )2>n 的大小关系是答案：n n n c b a <+9．(2011．德州模拟)已知点),(n n a n A 为函数1+=x y 图像上的点，),(n n b n B 为函数x y =图像上的点，其中∈n *,N 设,n n n b a c -=则.c 与1+n c 的大小关系为答案：1+>n n c c三、解答题10．已知非零向量a ，b ，且,b a ⊥求证：.2||||||≤++b a b a11．设,23)(2c bx ax x f ++=若0.)1(,0)0(,0>>=++f f c b a 求证：0>a 且.12-<<-ab 12. (2011．德州模拟)已知,1,0,,,==++∈abc c b a R c b a 求证：c b a ,,中至少有一个大于⋅23。

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。

12．3 直接证明与间接证明1．直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．间接证明反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．自查自纠1．(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因2．不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误要证明3＋7<25，以下方法中最合理的是( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．数学归纳法 解：“执果索因”最佳，即分析法．故选A .(2015·黄冈高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<1<ab解：ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1<a 2＋b 22(a ≠b )．故选B .设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个大于2D ．至少有一个不小于2 解：因为a ，b ，c >0，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6，举反例可排除A 、B 、C.或直接由a ＝b ＝c ＝1排除A ，B ，C.故选D .用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”，假设内容应是____________．解：原条件不变，假设结论不成立．故填3a ＝3b 或3a<3b.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________．解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②.类型一 直接证明已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 证法一：采用分析法．要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 32，只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)．证法二：采用综合法．因为a ，b ，c ∈R ＋，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0， 所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )，所以3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ，所以3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)．【点拨】分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”．常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：a ＋12＋b ＋12≤2.证明：要证a ＋12＋b ＋12≤2，只需证a ＋12＋b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4， 又a ＋b ＝1，故只需证⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1， 只需证⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12＝ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，只需证ab ≤14.因为a >0，b >0，1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，故原不等式成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时取等号. 类型二 间接证明已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.证法一：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，因为a ，b ，c ∈(0，1)，所以三式同向相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >164.又(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14，同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，这与假设矛盾，故原命题正确．证法二：假设三式同时大于14，因为0<a <1，所以1－a >0， （1－a ）＋b 2≥（1－a ）b >14＝12， 同理（1－b ）＋c 2>12，（1－c ）＋a 2>12，三式相加得32>32，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题正确．【点拨】一般地，对于结论是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾、与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．(1)(2016·周口模拟)用反证法证明命题“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 中恰有1个或3个偶数”时正确反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数 B ．自然数a ，b ，c 都是偶数 C ．自然数a ，b ，c 中恰有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或恰有两个偶数解：由于“自然数a ，b ，c 中恰有1个或3个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或恰有两个偶数”，故选D .(2)已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．解：假设x 0是f (x )的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，所以0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．1．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P (已知)⇒Q 1⇒Q 2⇒Q 3⇒…⇒Q n ⇒Q (结论)．2．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知)． 3．分析法与综合法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方法，二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．4．用反证法证明命题的一般步骤： (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 5．可用反证法证明的数学命题类型 (1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题； (3)结论的反面是较明显或较易证明的命题；(4)用直接法较难证明或需要分成多种情形进行分类讨论的命题． 6．常见的“结论词”与“反设词”原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 没有一个 ∀x 成立 ∃x 0不成立 至多有一个 至少有两个 ∀x 不成立 ∃x 0成立 至少有n 个 至多有n －1个 p 或q p 且 q 至多有n 个至少有n ＋1个p 且qp 或 q1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B .2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( ) A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 中至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数解：“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定为“a ，b ，c 都不是偶数”．故选B . 3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b解：因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6>6＋5>3＋2>0，所以a >b >c .故选A .4．若a >b >0，且x ＝a ＋1b ，y ＝b ＋1a，则( )A ．x >yB ．x <yC ．x ≥yD ．x ≤y 解：因为a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0.所以a ＋1b >b ＋1a.故选A . 5．已知a >b >0，且ab ＝1，若0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p >q B ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q解：因为a 2＋b 22>ab ＝1，所以p ＝log c a 2＋b 22<0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝log c 1a ＋b ＋2ab >log c 14ab ＝log c 14>0，所以q >p .故选B .6．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解：取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A ，B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，故C 错．故选D .7．设a >b >0，x ＝a a ＋b b ，y ＝a b ＋b a ，则x ，y 的大小关系是________．解：x －y ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )>0.所以x >y .故填x>y. 8．(2015·河北保定高二期末)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)解：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故填③.9．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．解：(1)证明：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b . 因为f (x )在R 上单调递增，所以f (a )≥f (－b )． 同理，a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )． 两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． (2)(1)中命题的逆命题为：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0. 该命题成立，下面用反证法证之． 假设a ＋b <0，那么： a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )， a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )， 所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故a ＋b ≥0.逆命题得证．10．已知a ，b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.证明：因为a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ， 所以a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得 (a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，所以a ＋b >1.要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4，因为a ＋b >0，所以只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )， 又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2， 即证3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 也就是证明(a －b )2>0.因为a ，b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立．综上，得1<a ＋b <43.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254. 证明：要证⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254， 只需证ab ＋a 2＋b 2＋1ab ≥254，只需证4(ab )2＋4(a 2＋b 2)－25ab ＋4≥0， 只需证4(ab )2＋8ab －25ab ＋4≥0，只需证4(ab )2－17ab ＋4≥0， 即证ab ≥4或ab ≤14，只需证ab ≤14，而由1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14显然成立，所以原不等式⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254成立． 已知α为锐角，且tan α＝2－1，函数f (x )＝x 2tan2α＋x ·sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4，数列{a n }的首项a 1＝12，a n ＋1＝f (a n )．(1)求函数f (x )的表达式；(2)求证：a n ＋1>a n ；(3)求证：1<11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n<2(n ≥2，n ∈N *)．解：(1)tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2（2－1）1－（2－1）2＝1，又因为α为锐角，所以2α＝π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1，f (x )＝x 2＋x .(2)证明：a n ＋1＝a 2n ＋a n ，因为a 1＝12，所以a 2，a 3，…，a n 都大于0， 所以a 2n >0，所以a n ＋1>a n .(3)证明：1a n ＋1＝1a 2n ＋a n ＝1a n （1＋a n ）＝1a n －11＋a n ，所以11＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝2－1a n ＋1，因为a 2＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝34，a 3＝⎝⎛⎭⎫342＋34>1，又因为n ≥2，a n ＋1>a n ，所以n ≥2时，a n ＋1≥a 3>1，所以1<2－1a n ＋1<2，所以1<11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n<2.。