二项式定理及二项式系数的性质应用习题课

8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a ＋b ）n ＝C n 0a n ＋C n 1a n －1b 1＋…＋C n k an －k b k ＋…＋C n n b n（n ∈N *） ①项数为n ＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n .2.通项公式：T k ＋1＝C n k an －k b k =g （r ）·x h （r ）它表示第k ＋1项①h （r ）＝0∈T r ＋1是常数项； ②h （r ）是非负整数∈T r ＋1是整式项； ③h （r ）是负整数∈T r ＋1是分式项； ④h （r ）是整数∈T r ＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n 0，C n 1，…，C n n .二.二项式系数的性质一．形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C n k an －k b k ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；③把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 二．求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大； 2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a ＋bx ）n （a ，b ∈R ）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248x x x x -+-+=（ ） A ．4x B ．()42x -C ．()42x +D ．()412x -【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128B ．129C ．47D ．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中，含x 的项的二项式系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．112【例22】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．40B ．40C ．20D ．20【例23】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【例24】（2023·四川绵阳·统考二模）()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的二项式系数为（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．－112B ．－48C ．48D ．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．358-D ．358考点三 三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A ．252B ．220C ．220D ．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．30-D ．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 （用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ．考点四 二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）()612x +的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．160B ．240C ．3160xD ．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252-，则下列说法正确的是（ ）A ．10n =B ．各项的二项式系数之和为1024C ．1a =-D ．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．考法五 系数最大项和系数和【例51】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+（i a ∈R ，0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅）的定义域为R ，则（ ）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为（ ）A ．70B ．56C ．3556x y 或5356x yD ．4470x y2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（ ）A ．7项B ．8项C ．9项D ．10项 3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++，则（ ）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++=C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D ．(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】（2023春·课时练习）设n 为奇数，那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是（ ）A ．3-B ．2C ．10D ．11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（ ） A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【例63】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05) ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02≈ （小数点后保留三位小数）． 2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为 ． 3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ （精确到0.01）。

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用1．在(a ＋b )n 的二项展开式中，与第k 项的二项式系数相同的项是( )A ．第n －k 项B ．第n －k －1项C ．第n －k ＋1项D ．第n －k ＋2项 答案 D解析 第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n ，故第n －k ＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．2．已知(1＋x )n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 B解析 ∵展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n ＝12，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，∴展开式中奇数项的二项式系数之和为2122＝211. 3．若(1＋ax )5展开式的系数和为243，则a 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．3答案 C解析 令x ＝1，∴(1＋a )5＝243＝35，∴1＋a ＝3，∴a ＝2.4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N ＋)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．729答案 A解析 由C 2n ＋620＝C n ＋220，可得n ＝4(n ＝－4舍)．令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792答案 B解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n ，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462. 6．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．答案 5解析 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.7．已知⎝⎛⎭⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项为________．答案 358x 4 解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4. 8．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.9．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12， 即所有奇数项系数之和为59－12. 10．已知(1＋mx )n (m 为正实数)的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x 2项的系数为84.(1)求m ，n 的值；(2)求含x 奇数次幂的系数和．解 (1)(1＋mx )n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (mx )k ＝m k ·C k n ·x k ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＝128，m 2C 2n ＝84，m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，m ＝2. (2)(1＋mx )n ＝(1＋2x )7，令(1＋2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令含x 的奇数次幂的系数和＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7.令x ＝1，得37＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，令x ＝－1，得－1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝37＋12＝1 094， 所以含x 的奇数次幂的系数和为1 094.11．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，又由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.12．已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.13．(多选)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中第5项是含x 的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项 答案 CD解析 因为展开式的第5项为T 5＝C 4n 4-43n x -，所以令n －43－4＝1，解得n ＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.14．设m 为正整数，(x ＋y )2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析 (x ＋y )2m 的展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1. ∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！.∴m ＝6.15．(多选)(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝－1，b ＝－2，n ＝5答案 AD解析 只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意得，(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选AD.16．已知(1＋m x )n (m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x 项的系数为112.(1)求m ，n 的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x )n (1－x )的展开式中含x 2项的系数． 解 (1)由题意可得2n ＝256，解得n ＝8，∴展开式的通项为T k ＋1＝C k 8m k 2k x ， ∴含x 项的系数为C 28m 2＝112， 解得m ＝2或m ＝－2(舍去)．故m ，n 的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C 18＋C 38＋C 58＋C 78＝28－1＝128. (3)∵(1＋2x )8(1－x )＝(1＋2x )8－x (1＋2x )8，∴含x 2项的系数为C 4824－C 2822＝1 008.。

二项式定理讲义与练习一、知识点梳理知识点一：二项式定理二项式定理：，其中： ①公式右边的多项式叫做的二项展开式； ②展开式中各项的系数叫做二项式系数；③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.知识点二：二项展开式的特性①项数：有n+1项；②次数：每一项的次数都是n 次，即二项展开式为齐次式；③各项组成：从左到右，字母a 降幂排列，从n 到0；字母b 升幂排列，从0到n ； ④系数：依次为.知识点三：二项式系数的性质（观察杨辉三角）①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 ②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③二项式系数之和为，即其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即二、典型例题1、“n b a )(+展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C CCCCx x x x x ++++=54112848122++++xx x x 【练习1】求4)13(xx -的展开式.【练习2】数列求和：1122166...6--++++=n n n n n n C C C S .（公式逆用）2.求展开式中的指定项（指定特定次项，常数项次数为0，更具体见本讲义6,7）例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为2333111()()22n r rn rrr r r r nn T C xx C x---+=-=- 因为第6项为常数项，所以r=5时，有23n r-=0，即n=10. （2）令1023r -=2，得2r =所以所求的系数为2210145()24C -=. （3）根据通项公式，由题意1023010,rZ r r Z-⎧∈⎪⎨⎪≤≤∈⎩ 令102()3rk k Z -=∈，则352k r =-，故k 可以取2,0,2-，即r 可以取2，5，8. 所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222C x C C x ----.另注：如果说展开式中的第k 项，则是严格按照课本30页通项公式来排列，不能交换，例如课本31页例2.3.二项展开式中的系数与二项式系数的区别（更具体见本讲义8）例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.提示：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．（2） 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得． 解：由题意知，222992nn -=，所以232n =，解得n=5.（1） (1)由二项式系数性质，101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064T C x x=-=-.（2） 设第1r +项的系数的绝对值最大，110rr T C +=10(2)r x -10102101()(1)2r r r r r C x x---=-101111010101910102222r r r r r r r r C CC C----+-⎧≥∴⎨≥⎩得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥∴⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得81133r ≤≤.,3r Z r ∈∴=，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360T C x x =-=-.【练习】已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个．．或两个．．．以上．．二项式乘积．．．．．或和．．的展开式指定项的系数 例4．（1）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

可编辑修改精选全文完整版§1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数．知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n a n －k b k .1．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × ) 4．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )5．二项式(a ＋b )n 与(b ＋a )n 展开式中第k ＋1项相同．( × )一、二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式． 解 方法一 ⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n n .解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思感悟 (1)(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解 原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.二、二项展开式通项的应用例2 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次项；(2)展开式中所有的有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝C k 8(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·344k x - ， 令4－34k ＝1，得k ＝4. 所以含x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. 反思感悟 (1)利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型①求第k 项，T k ＝C k －1n a n －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练2 (1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( ) A ．80 B ．－80 C ．－40 D ．48答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k ，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80，故选B. (2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎫x ＋2x n 的二项展开式的常数项是________． 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.三、二项式定理的应用例3 (1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明 32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟 (1)利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．(2)把余数及整除问题转化为二项式定理问题，体现了数学建模的核心素养．跟踪训练3 已知n ∈N *，求证：1＋2＋22＋ (25)－1能被31整除． 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记C k n a n －k b k 是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．1.⎝⎛⎭⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10B ．10C ．－5D ．52.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80B ．－80C ．40D ．－403．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S ＝______.4．(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n ＝________.5．C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k ＋…＋C n n ＝________.一、选择题1．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )A ．－210B ．210C ．－120iD ．－210i2.⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式中常数项为( )A ．60B ．－60C ．250D ．－250 3.⎝⎛⎭⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 44．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－2105．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．－5B ．5C ．－10D ．106．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题7．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)8．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．9．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案)10．(x 2－x －2)4的展开式中，x 3的系数为________．(用数字填写答案)11．对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．(填序号)12．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 2三、解答题 13．求⎝⎛⎭⎫1＋1x (1＋x )4的展开式中含x 2的项的系数． 14．已知⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．15．已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．。