高中数学必修二：《平面与平面平行的性质》课件

两个平面没有公共点，则称这两个平 面平行。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面，那么这两个平面平 行。
判定方法及性质
01
判定方法
如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则 这两个平面平行。
02
性质
两个平行平面被第三个平面所截，得到的两条交线平行 。
是异面直线。
已知三个平面α、β、γ，且 α∥β、β∥γ。求证：α∥γ。
解析过程
根据平面与平面平行的传递 性，如果两个平面分别与第 三个平面平行，那么这两个 平面也互相平行。因此，由 α∥β和β∥γ，我们可以得出
α∥γ。
解题思路总结和拓展延伸
解题思路总结
在解决平面与平面平行的问题时，我们主要运用平面与平面平行的性质定理和判定定理。性质定理可 以帮助我们判断两个平面的位置关系，而判定定理则可以帮助我们确定一个直线与一个平面的位置关 系。
01
02
03
空间向量定义
具有大小和方向的量，用 有向线段表示。
空间向量运算
包括加法、减法、数乘和 点乘等基本运算。
空间向量本定理
任意三个不共面的向量可 以构成空间的一个基底， 且空间任意向量均可由这 三个向量线性表示。
空间向量在证明直线与平面平行中应用
直线与平面平行判定定理
01
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线就
直线与平面平行性质
01
如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线上任意 一点作平面的垂线，垂足必在平面上；
02
如果两条直线分别与同一平面平行，那么这两条直线或 者平行，或者异面；
03
如果两个平面分别与同一条直线平行，那么这两个平面 或者平行，或者相交。

且平面 与平面 和
分别相交AC和BD.
因为 //
所以BD//AC.
因此，四边形ABCD是平行四边形。
所以AB=CD.
课堂练习
1、课本P67练习 2、课本P67习题2.2：A组1、2；
课堂小结
布置作业
课本P69习面内的直 线与另一平面内的直线有什么样的关系？
两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b
b
例1 如图，已知平面 ， ， ，满足 // 且 a, b, 求证：a // b 。
复习1：两个平面的位置关系 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
复习2：面面平行的判定方法
1、定义法： 若两平面无公共点，则两平面平行.
2、判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面，那么这两个平面平行.
思考：
1、两个平面平行，那么其中一个平面内的直 线与另一平面有什么样的关系？
证明 a, b, a ,b .
//
所以a,b没有公共点
a,b
a//b
例2 求证：夹在两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线平行。
已知:如图 // ,AB//CD,且A,C , B , D
求证:AB=CD. 证明：因为AB//CD，所以过
AB,CD可作平面 ，

探究点二 平面与平面平行的性质定理的应用 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知 如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α， C∈α，B∈β，D∈β. 求证 AB＝CD. 证明 因为AB∥CD，
所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交 于AC和BD. 因为α∥β，所以BD∥AC. 因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB＝CD.
∴AC∥BD， ∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD， 又EF⊄β，BD⊂β， ∴EF∥β. ②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l， 在l上取一点H，使DH＝AC.
∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC， ∴AC∥DH， ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G， 使AG∶GH＝CF∶FD， 又∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴GF∥HD，EG∥BH，
探要点·究所然
情境导学 两平平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之， 在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们共 同探讨这个问题.
探究点一 平面与平面平行的性质 思考1 如何判断平面和平面平行？如果两个平面 平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么 位置关系？
思考2 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线 与另一个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平 面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？ 如何证明它们的关系？
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H， ∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. ∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α.
跟踪训练2 如图，正方体ABCD— A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1 上 分 别 有 两 点 E 、 F ， 且 B1E ＝ C1F. 求证：EF∥平面ABCD.

AC BD 9 BD
5
当P在平面α与β之间时,同理可求得BD=24.
4.α､β､γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，
α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离的取值范围是
() A.{1}
C
B.{7}
C.{1,7} D.[1，7]
5.已知平面α∥平面β，它们之间的距离为d，直线
a α，则在β内与直线a相距为2d的直线有( B)
D
证明：因为AB / /CD，所以过AB，CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和平面β分别相交于BD，AC.
因为α/ /β，所以BD / / AC.
因此，四边形ABCD是平行四边形.所以 AB CD.
面面平行的性质定理的几个常用结论：
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线 平行于另一个平面；
解析:①中α与β也可能相交.∴①错;在②中l与m也可能
异面,∴②错.③正确.
7.已知直线l∥平面α，设A∈l，B∈l，C∈α， D∈α，且AC∥BD.则AC________BD(填“=” 或“≠”=).
8.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1､C1､ B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l， 则l与A1C1的位置关系是____平__行____.
中正确的个数是( A)
①若α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n，则α∥β; ②若m､n相交且都在α外，m∥α，m∥β，n∥α, n∥β，则α∥β; ③若m∥α，m∥β，则α∥β; ④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:∵直线m与n相交，∴m与n确定一个平面π,
又m∥α，n∥α，∴α∥π，同理β∥π，∴α∥β.故②正

空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
[变式训练]
1.[变条件，变结论]将本例改为：如图，在长 方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 是棱 C1D1， A1D1 的中点． 求证：AF∥平面 BDE. 证明：法一：如图，连接 EF，AC，AC∩BD ＝G，显然四边形 EFAG 为平行四边形， 又 AF⊄平面 BDE，EG⊂平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE. 法二：取 A1B1 中点 H，连接 AH，FH，证明平面 AFH∥平面 BDE 即可．
8平.面5 .与3 平第面二平行课的时 性平质面【与新平教面材 平】行人的教 性A版质高-【 中 数新学教必材 修】第人二教 册A版优（秀20p1p9t） 课 高件中数 学必修 第二册 课件(共 23张P PT)
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2．两个平面平行的一些常见结论 (1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行． (2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么 它也和另一个平面相交． (3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
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第二课时 平面与平面平行的性质
[思考发现]
1．已知长方体 ABCD-A′B′C′D′，平面 α∩平面 ABCD＝EF，
平面 α∩平面 A′B′C′D′＝E′F′，则 EF 与 E′F′的

问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平 面与桌面平行吗？三角板的两条边 所在直线分别与桌面 平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于 判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面 平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共 点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面 了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面 平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用面面平行判定定理的推论； （4）利用面面平行的传递性。 对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行， 没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记 为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问 题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找 到两条相交直线和另一个平面平行即可． 面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两 条相交直线 与 另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这 两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两 条相交直线和另一个平 面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.

(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两 个平行平面都相交的第三个平面．
பைடு நூலகம்
要点二 平面与平面平行的判定
文字语言
如果一个平面内的_两__条__相__交_直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行
图形语言
符号语言
a⊂β b⊂β a∩b＝P a∥α b∥α
⇒β∥α
状元随笔 (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面
2．[教材 P222 思考交流] 平面 α 内存在着不共线的三点到平面 β 的距离均相等 D⇒/α∥β， 如图，AA′＝BB′＝CC′则 α∩β＝l.
α∥β⇒平面 α 内存在着不共线的三点到平面 β 的距离均相等．如 图 AA′＝BB′＝CC′
所以“平面 α 内存在着不共线的三点到平面 β 的距离均相等”是 “α∥β”的必要不充分条件．
方法归纳
(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平 行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．
(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关 系相互联系、相互转化．
跟踪训练 3 在正方体 ABCD -A′B′C′D′中，E，F，G，H 分别为 CC′，C′D′，DD′，CD 的中点，N 为 BC 的中点，试在 E， F，G，H 四点中找两点，使这两个点与点 N 确定一个平面 α 且平面 α∥ 平面 BB′D′D.
内的“两条相交直线”是必不可少的． (2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行
转化为线面平行．
[教材答疑]
1．[教材 P220 思考交流] 如果 α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，c⊂β， 则 c 与 a 平行或异面， 因为 c⊂β，a⊂α，α∥β； c 与 b 平行或相交，因为 c⊂β，b⊂β.

【解题过程】分两种情况： ①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩ 平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD， ∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD，∴EF∥AC，
又EF β，BD⊂β，∴EF∥β.
同理可证，EF∥平面α.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究二 平面与平面平行的性质定理的证明 活动① 证明平面与平面平行的性质定理
如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证a∥b.
证明 ∵α∩γ＝a，β∩γ＝b， ∴a⊂α，b⊂β. 又∵α∥β， ∴a，b没有公共点， 又∵a，b同在平面γ内，∴ a∥b.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 此说法正确吗？ 答案：正确．如图，过直线PQ作平面γ， γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b. 因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b. 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行，所以直线a与直线PQ重合． 因为a⊂α，所以PQ⊂α. （4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 此说法正确吗？ 答案：错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β， 则a与b平行、相交和异面都有可能．
【解题过程】因为AB∥CD，所以过AB、CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α∥β，所以 BD∥AC.因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB＝CD. 【思路点拨】由面面平行得线线平行，得四边形ABDC是 平行四边形．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
活动③ 灵活应用，突破思维 例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均 在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、 CC′、DD′互相平行. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

-17-
2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二
方法二:如图,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点. 因为P是AE的中点,所以PQ∥EC. 因为PQ⊄平面CBE,EC⊂平面CBE, 所以PQ∥平面CBE.
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2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二
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2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二
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2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二
反思证明线面平行的方法主要有三种: (1)应用线面平行的定义; (2)应用线面平行的判定定理; (3)应用“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直线都平
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2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二
【例1】 如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PB,PD分别 与α,β相交于点A,B和C,D.
求证:AC∥BD. 证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD可确定一个平面γ,则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 因为α∥β,所以AC∥BD.
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2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二
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2.2.4 平面与平面平行的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二

a
c b
异面、平行
问题2：平面ABCD内哪些直线会与直线
B'D'平行？怎么样找到这些直线？
D′
C′
A′
性质 探究
B′
D
C
A
B
平面ABCD内的直线只要与B'D'共面即可
平面与平面平行性质
若 // ，且 a,则与 的位置关系如何？
设 b，则直线a、b的位置 关系如何？为什么？
已知平面，，， // , a, b
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
求证：a // b
证明
a
b
a
b
//
a, b没有公共点
a, b都在平面内
a // b
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行。
α
a
b
β
面面平行的几条性质：
1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
β
b
α
a
r
练习
面 、 之间的线段,且直线AB、CD为异
面直线,M、P 分别为AB、CD 的中点，
A
求证:直线MP // 平面 .
C
NP
M
D
B
举例
例5. 设平面α、β、γ两两相交,且
a， b, c
若a∥b，求证：b∥c .
a
c
b
α
β
γ