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2.1 几何可变系统和几何不变系统工程结构是用来承受和传递外载荷的系统。
一个工程结构通常是由若干个构件用某种方法联结而成的。
它在承受载荷作用时，各构件只允许发生材料的弹性变形，而不应发生构件间相对的机械运动。
如图2.1(a)所示的系统，如果不考虑弹性变形，系统也未发生破坏，则其几何形状与位置均保持不变，这样的系统，我们称之为几何不变系统。
但是，对如图2.1（b）所示的系统，在载荷作用下，即使不考虑弹性变形，它的形状和位置也将改变，这样的系统，我们称之为几何可变系统，它是不能用来承受和传递外载荷的。
所以，凡是工程结构必须是几何不变系统。
图2.1对系统进行几何组成分析的目的在于：判断该系统是否为几何不变系统，以决定其能否作为工程结构使用；研究并掌握几何不变系统的组成规则，以便合理安排构件，设计出合理的结构；根据系统的组成规则，确定结构的性质（静定系统还是静不定系统），以便选用相应的计算方法。
3.2 静定桁架的内力桁架是由某些杆系结构经过简化而得到的计算模型，其特点是：（1）各元件均为直杆；（2）各杆两端均用没有摩擦的理想铰链相连接；（3）杆的轴线通过铰心，称铰心为桁架的结点；（4）载荷和支座反力仅作用在各结点上。
由于理想铰链没有摩擦力，故不能传递力矩。
显然，在载荷仅作用在结点上时，若不计杆的自重，各杆都只受到两端结点的作用力，且在此二力作用下处于平衡。
因此，桁架的杆件均为“二力杆”，即杆两端受到大小相等、方向相反、沿着杆轴线的两个力作用。
杆子横截面上只有轴力，这些轴力就是所要计算的桁架内力。
静定桁架是一种没有多余约束的结构，它的内力计算原则上，只要把桁架分解为若干自由体（结点）和约束（杆），用未知力代替约束的作用，对所有的自由体列出全部静力平衡方程式，所得方程式数与包含的未知力数相等。
由于结构是几何不变的，方程组有唯一解。
解这联立方程组就可得到静定桁架的内力。
但在工程实际中，往往可以运用下述两种方法：结点法和截面法。
名词解释为帮助同学们复习，提出一些名词解释，请同学们总结以下：（注意总结全面）1.计算图形2.刚架3.平面刚架4.板架5.弹性支座6.梁的弯曲要素7.梁的复杂弯曲8.叠加原理9.静定结构10.超静定结构11.几何不变体系12.超静定次数13.力法14.位移法15.矩阵位移法16.三弯矩方程17.杆元18.平面刚架单元19.平面板架单元20.固端弯矩21.结构刚度矩阵22.单元刚度矩阵23.节点未知位移向量24.杆元定位向量25.节点外荷载向量26.节点自由度27.单元自由度28.对称阵29.正定阵30.方阵31.稀疏矩阵32.半带宽33.强迫位移34.乘大数法35.降阶法36.杆元内力37.支反力38.固端力向量39.梁的应变能40.几何非线性问题41.材料非线性问题42.外力功43.比能44.泛函45.余能46.虚位移原理47.结构总位能48.位能驻值原理49.应变能原理50.虚力原理51.余位能驻值原理52.应力能原理53.卡氏第二定理54.最小余能原理55.最小功原理56.形（状）函数57.李兹法58.位移边界条件59.应力边界条件60.平衡方程61.几何方程62.物理方程63.薄板64.薄板的筒形弯曲65.薄板的筒形横弯曲66.薄板的筒形复杂弯曲67.薄板的筒形大挠度弯曲68.刚性板69.柔性板70.薄板小挠度弯曲的基本假定71.屈曲72.稳定平衡73.中性平衡74.最小临界荷载75.中性平衡微分方程76.稳定性方程式77.欧拉（应）力78.临界（应）力79.压杆柔度80.板的极限荷载问答题：一部分，有时间再补全1、何谓骨架的带板?骨材与带板为什么会共同工作？其宽度(或一积)与什么因素有关，如何确定?试分析带板宽度对骨架断面几何要素的影响。
2、什么叫做船体结构的计算图形，它是用什么原则来确定的?它与真实结构有什么差别?3、一个完整的船体结构计算图形应包含哪些具体内容?为什么对同一船体结构构件，计算图形不是固定的、一成不变的?4、梁弯由微分方程式是根据什么基本假定导出的，有什么物理意义，适用范围怎样?5、单跨梁初参数法中的四个参数指什么参数?它们与坐标系统的选择有没有关系?6、为什么当单跨梁两端为自由支持与单跨梁两端为弹性支座支持时，在同样外荷重作用下两梁断面的弯矩和剪力都相等，而当梁两端是刚性固定与梁两端为弹性固定时，在同样外荷重作用下两梁断面的弯矩和剪力都不同?7、梁的边界条件与梁本身的计算长度、剖面几何要素、跨间荷重有没有关系?为什么?8、当梁的边界点上作用有集中外力P或集中外弯矩M时，一种处理是把该项外力放在梁端，写进边界条件中去。
1.关于∞点和∞线的下列四点结论：(1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。
(2) 不同方向上有不同的∞点。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
2.多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。
一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。
3.W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所要求 的最少约束数目。
W<0， 体系具有多余约束。
4.一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。
5.二元体规律：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。
6.形成瞬铰（虚铰）的两链杆必须连接相同的两刚片。
7.w=s-n ，W=0,但布置不当几何可变。
自由度W >0 时，体系一定是可变的。
但W ≤0仅是体系几何不变的必要条件。
S=0,体系几何不变。
8..轴力FN --拉力为正；剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正；弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正。
弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号； 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。
9.剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度q 的大小 ； 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
10. 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积； 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积。
()()Q dM x dF x dx=22()()()QdF x d M x q y dx dx==-FN+d FN F N FQ+dF QF QM M+d Md x dx ,,BAB A BAx NB NA x x x QB QA y x x B AQx F F q dx F F q dx M M F dx=-=-=+⎰⎰⎰11.分布力q(y)=0时（无分布载荷），剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。
第一章绪论§1-1 结构力学的研究对象和任务一、结构的定义:由基本构件（如拉杆、柱、梁、板等）按照合理的方式所组成的构件的体系，用以支承荷载并传递荷载起支撑作用的部分。
注：结构一般由多个构件联结而成，如：桥梁、各种房屋（框架、桁架、单层厂房）等。
最简单的结构可以是单个的构件，如单跨梁、独立柱等。
二、结构的分类：由构件的几何特征可分为以下三类1．杆件结构——由杆件组成，构件长度远远大于截面的宽度和高度，如梁、柱、拉压杆。
2．薄壁结构——结构的厚度远小于其它两个尺度，平面为板曲面为壳，如楼面、屋面等。
3．实体结构——结构的三个尺度为同一量级，如挡土墙、堤坝、大块基础等。
三、课程研究的对象♦材料力学——以研究单个杆件为主♦弹性力学——研究杆件（更精确）、板、壳、及块体（挡土墙）等非杆状结构♦结构力学——研究平面杆件结构四、课程的任务1．研究结构的组成规律，以保证在荷载作用下结构各部分不致发生相对运动。
探讨结构的合理形式，以便能有效地利用材料，充分发挥其性能。
2．计算由荷载、温度变化、支座沉降等因素在结构各部分所产生的内力，为结构的强度计算提供依据，以保证结构满足安全和经济的要求。
3．计算由上述各因素所引起的变形和位移，为结构的刚度计算提供依据，以保证结构在使用过程中不致发生过大变形，从而保证结构满足耐久性的要求。
§1-2 结构计算简图一、计算简图的概念：将一个具体的工程结构用一个简化的受力图形来表示。
选择计算简图时，要它能反映工程结构物的如下特征：1．受力特性（荷载的大小、方向、作用位置）2．几何特性（构件的轴线、形状、长度）3．支承特性（支座的约束反力性质、杆件连接形式）二、结构计算简图的简化原则1．计算简图要尽可能反映实际结构的主要受力和变形特点．．．．．．．．．．．．．．，使计算结果安全可靠；2．略去次要因素，便于分析和计算．．．．．．．。
三、结构计算简图的几个简化要点1．实际工程结构的简化：由空间向平面简化2．杆件的简化：以杆件的轴线代替杆件3．结点的简化：杆件之间的连接由理想结点来代替（1）铰结点：铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转动，即各杆端之间的夹角可任意改变。
需解决的问题
结构内力、位移的变化逻辑
最大量值
——需先决定移动荷载的最不利位置
线弹性结构
——叠加原理适用
如何研究？
影响线的定义
当方向不变（向下）的单位扩散力在结构上移动时，表示结构某量（影响量）变化逻辑的图线，称为该量的影响线
影响线的作法——静力法、机动法
一、静力法
步骤：
1. 用横坐标x表示单位力的位置
2. 用平衡方程求影响量——影响方程2. 作影响方程的图像——影响线
反力、剪力影响线竖标
量纲——1
单位——无
弯矩影响线竖标
量纲——长度
单位——m（或cm等）
简支梁弯矩和剪力影响线
外伸梁的影响线
【例】作图示桁架支座反力F A、F B的影响线和轴力F N CD、F N Cd、F N Ab和F N Dd的影响线。
支反力影响线与简支梁相同
应注重横坐标纵坐标各代表什么？。
结构力学主要知识点一、基本概念1、计算简图：在计算结构之前，往往需要对实际结构加以简化，表现其主要特点，略去其次要因素，用一个简化图形来代替实际结构。
通常包括以下几个方面：A 、杆件的简化：常以其轴线代表B 、支座和节点简化：①活动铰支座、固定铰支座、固定支座、滑动支座；②铰节点、刚节点、组合节点。
C 、体系简化：常简化为集中荷载及线分布荷载D 、体系简化：将空间结果简化为平面结构2、结构分类：A 、按几何特征划分：梁、拱、刚架、桁架、组合结构、悬索结构。
B 、按内力是否静定划分：①静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定。
②超静定结构：只靠平衡条件还不能确定全部反力和内力，还必须考虑变形条件才能确定。
二、平面体系的机动分析1、体系种类A 、几何不变体系：几何形状和位置均能保持不变；通常根据结构有无多余联系，又划分为无多余联系的几何不变体系和有多余联系的几何不变体系。
B 、几何可变体系：在很小荷载作用下会发生机械运动，不能保持原有的几何形状和位置。
常具体划分为常变体系和瞬变体系。
2、自由度：体系运动时所具有的独立运动方程式数目或者说是确定体系位置所需的独立坐标数目。
3、联系：限制运动的装置成为联系（或约束）体系的自由度可因加入的联系而减少，能减少一个自由度的装置成为一个联系①一个链杆可以减少一个自由度，成为一个联系。
②一个单铰为两个联系。
4、计算自由度：)2(3r h m W +-=,m 为刚片数，h 为单铰束，r 为链杆数。
A 、W>0,表明缺少足够联系，结构为几何可变；B 、W=0，没有多余联系；C 、W<0,有多余联系，是否为几何不变仍不确定。
5、几何不变体系的基本组成规则：A 、三刚片规则：三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。
B 、二元体规则：在一个刚片上增加一个二元体，仍未几何不变体系，而且没有多余联系。
自振频率的计算公式
式中W mg
=为质体的重量，
st
∆表示
W 沿运动自由度方向作用于质量时产生的静位移
结构的自振频率及自振周期只与结构的刚度和质量有关，是体系固有的动力特性。
自振周期的平方与刚度系数成反比，与质量成正比，改变体系的质量或刚度可调整体系的自振周期。
【例】求图示体系的自振频率（柔度法）
求图示体系的自振频率（刚度法）
超静定结构（柔度法）
刚度系数计算方法——刚度系数等于附加链杆产生单位位移时引起的附加反力
st
g
W
g
m
m
k
∆
=
=
=
δ
δ
ω
1
＝
3
48
ml
EI
=
ω
EI
l
l
l
l
EI48
4
3
2
2
4
2
1
23
=
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
=
δ
3
12
l
EI
k=
3
12
ml
EI
=
ω
3
24
h
EI
k=
【例】若
沿振动方向给以单位位移求刚度系数K
试对下面三个体系的自振频率由小到大排序
试对下面三个体系的自振频率由小到大排序
3
K=51
EI
k
l
+
3
3
K51
=
M3
EI kl
ml
ω
+
=
3
3
33
3
EI kl
ml
ω
+
=。
