2017-2018市统考高二上学期数学期中考试卷答案

人教版高二（上学期）数学期中考试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是（）A．x﹣m＞y﹣n B．xm＞yn C．nx＞my D．m﹣y＞n﹣x3．在△ABC中，b=3，c=4，B=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解4．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosC=bcosB，则△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形5．设a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的有几个（）（1）a2+1＞a；（2）（a+）（b+）≥4；（3）（a+b）（+）≥4；（4）a2+9＞6a；（5）a2+1+＞2．A．1 B．2 C．3 D．46．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣47．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集是B，不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，那么a+b等于（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．38．在等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值时的自然数n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在9．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log3510．函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2C．2+2 D．2﹣2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2+b2﹣c2+ab=0，则角C的大小为．12．2，x，y，z，18成等比数列，则y= ．13．在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项之和S9等于．14．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的范围是．15．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n= ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．若数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n﹣3，求数列{a n}的通项公式．17．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（1）A处与D处的距离；（2）灯塔C与D处的距离．18．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c=，且S △ABC=，求a+b的值．20．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．21．已知数列{a n}中，a1=1，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）.．a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．人教版2017高二（上学期）数学期中考试卷参考答案一、1． C2． D．3． B．4． C5． D．6． B．7． A．8． B．9． B10． C．二、11．．12． 6．13． 99．14．﹣3＜k＜0．15． 2+lnn．三、16．解：由S n=a n﹣3，得，即a1=6．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1﹣3，两式作差得a n=a n﹣a n﹣1，即a n=a n﹣1．∴a n=3a n﹣1（n≥2）．则数列{a n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．∴a n=6•3n﹣1=2•3n．17．解：（1）在△ABD中，AB=12，∠ADB=60°，∠BAD=75°，∴B=45°，由正弦定理得∴AD==4，∴A处与D处的距离为4nmile．（2）在△ADC中，AC=8，AD=4，∠CAD=30°，∴CD2=AD2+AC2﹣2AD•AC•cos30°．解得CD==4．∴灯塔C与D处的距离为4nmile．18．解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则底面积为m2，池底的造价为1600×150=240000元，则y=240000+720（x+）≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600，当且仅当x=，即x=40时，y有最小值297600（元）答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．19．解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得sinA=2sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=．又∵△ABC是锐角三角形，∴C=．（4分）（2）∵c=，C=，∴由面积公式，得absin=，即ab=6．①由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7．②由②变形得（a+b）2=3ab+7．③将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．（12分）20．解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．21．（1）证明：由a1=1，a n+1=（n∈N*），可得：=3，又+=，∴{}是等比数列，首项为，公比为3，∴+=，解得a n=．（2）解：b n=（3n﹣1）••a n=．∴数列{b n}的前n项和为T n=1++3×+…+n×，=+…++n×，两式相减得： =+…+﹣n×=﹣=2﹣，∴T n=4﹣．对于（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，化为（﹣1）nλ＜4﹣．若n为偶数，则λ＜4﹣，可得λ＜3．若n为奇数，则﹣λ＜4﹣＜2，可得λ＞﹣2．∴﹣2＜λ＜3．。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2017-2018高二（上学期）期中考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ）A.1⎤⎥⎣⎦B.1,⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.1,⎤⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________. 14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。

2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（理科）试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知「：二，匚、已，那么下列不等式一定正确的是（）A. 加■■ beB.I J JC. ：i c - [■- dD. 「I cl - l）匚【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由Ji • I〕，二、已可得呂十匸> b十d丄a-d > b-c考点：不等式性质2. 设3是等差数列心｝的前n项和，若山+己-- ^，则5 （）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【解析】白I ，白白:.-F -； 9 丄，3 .[屯宀.；-2d .勺占匕，选A.3. 若AAB匚的三个内角满足LinA：j riE^iri匚 5:11:13，贝也AE匚（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得「二「二一 _二_ 二_ :所以C是最大a2 +b2 -e2 2^+121-169 23的角，由余弦定理「「，所以C为钝角，因lab2x5x11 110此三角形ABC一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用4. 设/是等比数列，下列说法一定正确的是（）A. a.'a a成等比数列B. a. a 3成等比数列C. a: - 成等比数列D.儿.a, ,a-成等比数列【答案】D 【解析】项中 a ： = a ■ ■.a -L ■ a ■, = a'- ■ cf.. a-._ ' = a _ ■ a ■,，故 2 项说法错误；E ■项中 日：.一占一丁- a_ ■ a. - ■ q'，故2项说法错误；匸项中 日_一一 a_ ■ - a_ ■ a. -■ q ?，故匚项说法错误；故「项中 日-一a_ ■ q' -a.■ a_, -q"'，故「一：项说法正确，故选D.5. 若关于x 的不等式 I ” •］］：<的解集为V.J,则实数I ］】的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】’•■ 丁 • ⑴—厂•八TI 7 > ■0.x|. - 7⑴2• 「；解集为x 0 - x -2 .-2 IT -2—2, IT —丄，故选 A.6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 丄是较小的两份之和，则最小的一份为（【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为 £i 2d:： cl £■ - d . a - 2 d （其中J 0）；则■:a 2d - I 仁I 匚I I ：i - Ci I ci -I ：i I 2d-= 5a = 100.. a = 20.由_ a c ，：」 d •二L I c 2d d ：.丨，得3a + 3d = 7 6a-3d ）；二 24d = 11a. d =所以，最小的1分为a 2d 2D ■. : •故选A .考点：等差数列的性质1011D.:A.B.y £x7.若变量盂y满足约束条件x + y < 1,则z = 2x + y的最大值为（）y > -1A. 4B. 3C. 2D. 1（一 ?x - 7，平移直线Y = 2工可知，当直线经过点匚二1时，直线的截距最大，代值计算可得£取最大值三，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题•求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值•8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若□白，贝0 I 白B. 若-a. 屯，贝阳.•斤」C.若白I 白,贝庐I & -D.若-〔:,贝『阳• 「心白-【答案】B【解析】A选项中,，分别取1. 1.巳即可得A错误；假设—日］日.，则- Y,公差d - 0. ” C ,「+・•..日丄兀.•屯..屮-自,即E正确；C选项中日：启.，，：-=,分别取 -丄己即可得C错误；口项中无法判断公差；-：的正负，故日日・日-日-•无法判断正负，即&错误，故选B.9. 在等腰匚中，内角.2 匸所对应的边分别为m.b.j吕一2.2 ,丄人一120 ,则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A. 4 和2B. 4 和八 MC. 2 和？二；二D. 2 和2 , 3 i 7【解析】等腰AAB匚中，日—2匕，口、、、_ 120，可得I」匚E由正弦定理可得，2^5 1 1 & l 2R'R 2 ,由面积相等••' 可得「一2上巳，故T ££*选C.10. 若J上是函数「“i _点宀；|p. C.q 的两个不同的零点，且1 「上这三个数依次成等比数列，2上倚这三个数依次成等差数列，则pc =（）A. 4B. 5C. 9D. 20【答案】D【解析】因为mb是函- px + q（p > OjQ > o）的吻个不同的零点F所以a +b = p P ab = q d p > 0P q > 0 »可得a > 0,b > 0 又比-2力这三个数依次成等比数列，-2上左这三个数依次成等差数列「可得伴解得帛=4 ；'■ p = a + b = 5r q = 1x4 = 4'贝i]pq = 20 3故选D.11. 设is 1宀，吕■■- b，若p —仃.白加，—甘：，r — U] fih：.：.，则下列关系式中正确的是（）A. P -「qB.卩一「qC. q - f ■ pD. q - f 卩【答案】B【解析】由题意可得：若 |； - f ,ab - li' ■■ ab - 1HH I J - 7 li'H 丨I II I），q - T：1 + 1—丨门—T门.己—卩,t 「. f 日I F b Ii'd liib ，'•I」r - q，故选B.12. 已知两个等差数列和的前n项和分别为•；“，丁，且■："l I丄心"li UT，则使得」为整数的正整数I】的个数是（）°门A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】；数列刁和忧；均为等差数列，且前n项和&和丁，满足咱丄+ FC"…2 口一沖，可得「十，则n -S2n-L- ，验证知，当门L2J.E；时，、为整数，即使得为整数的£n n n< 耳~| 口巧正整数11的个数是-,故选C.【方法点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：（1）通项公式的推广：芥=+ （n-m）d; 4）若心話为等差数列「且p + q=m + n = 2ra p+ a q = a m+ a n = 2a r;⑶若厲｝是等差数列,公差^备斗+叶弘+亦…日'则是公差mcl的等差数列；⑷数列S mr S2m-S m53m-S2m..也是等差数列本题的解答运用了性质（2）.第U卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数y = x + >引的最小值为 _____________ .【答案】5【解析】「二.：、3 ' x-2 U:、「一戈一，_ - - - S - 2. z-3 _ -3-5，当且仅当x = 4 时取等号，故答案为5.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题•利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用••或•时等号能否同时成立）•14. 已知数列是递减等比数列，且心』7,乳 -',贝V数列的通项公式召=____________ .【答案】汀【解析】因为口注■■■,所以九一白；讣，4 一，一一一〔，又因为数列X a r /是递减等比数列，所以：“-:，数列心［的通项公式a. - a.q - 27 - ' ' - 3 _1,15. 已知ME ■匚中，满足匚—®丁，二一 ?的三角形有两解，则边长 二的取值范围为【答案】.；.3.2：.【解析】在ME 匚中，匚_印-2，由正弦定理可得，:卡 ；-工::，若此三角形有两解，必须满足的条件为： 二• I: - ;.：:i''iR ，即］• I 」-2，故答案为3.2 .16.寒假期间，某校家长委员会准备租赁 乩巳两种型号的客车安排 900名学生到重点高校进行研究旅行，二巳两种客车的载客量分别为 36人和60人, /辆，家长委员会为节约成本， 要求租车总数不超过 21辆,设分别租用A£两种型号的客车K 辆，y 辆，所用的总租金为z 12u0x - 1303/，得7 - ；＞■ •:,作出不等式组对应的平面区域平移y :x ■ ■ .,■，由图象知当直线F / 二…经过点虫时，直线的截距最小，此时7最 小，由广得｛ &，即当x == 时，此时的总租金z = 1200 X 5 + 1800 X 12 = 27600元，达到最小值，故答案为 27600.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.）17. 解下列关于X 的不等式: （1）' ；（ 2）£才- O'：.a : R ：.金最少为 元.【答案】 【解析】 其中/■/满足不等式组；36x 十 60/ 三 900x + y < 21y-x < 73x + 5y > 75r (x,y CM)，即，x 十 y 乞 21 t (x r y G N)，由y-x 三 7租金分别为1200元/辆和1800元且三型车不多于2型车7辆，则租上元，则-1200 x - 13037,【答案】⑴ I ； x ｝；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1） \ • 2化为. •：：,等价【2工7 :": x 2）- 0;x^2：-.X - z. X -■ Z不等式求解即可；（2）分三种情况讨论j,分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I ）将原不等式化为x p，即门工7v.x ?:. - H - ? ■. 2 八所以原不等式的解集｛茂；、\ - . ｝.（II ）当门=C时，不等式的解集为｛0｝；当仁I = C时，原不等式等价于■；X - （-| I: x ? ；i - - O，因此当zi C时，亦“ 2a， a - x -当占二U时，亦.•氏I，2a - x ■ a.综上所述，当门=c时，不等式的解集为｛0｝，当己• C时，不等式的解集为，｛X a -兴-药｝，当日「C时，不等式的解集心2s - x - a ｝.18. 已知ME匚的内角所对应的边分别为日上•二，且满足 4*.2sirA.LinB.（1）判断AABC的形状；（2）若n —三，匚=E ,：二匕为角匚的平分线，求AE.CD的面积.【答案】（1）直角三角形；（2）二^【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求二「，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求匕，利用三角形内角和定理可求-AZ）C，由正弦定理可求：匚的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I ）由 A B? = 2L nAsi'iE；，得cosAcosB 十sinAsinB = 2sinAsinB,■■- cosAcosB - sinAsinB = 0,「. 十B）= 0.■ ■匚=9。

2017-2018学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若实数a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣c＞b﹣c C．D．ac＞bc2．（5分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+13．（5分）不等式的解集为（）A． B．C．D．4．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定5．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）．此问题的答案为（）A．390尺B．尺C．尺D．尺6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．97．（5分）在△ABC中，a=2，，△ABC的面积等于，则b等于（）A．B．1 C．D．28．（5分）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0≤k＜1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥19．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．10．（5分）在等比数列{a n}中，a4•a8=2，a2+a10=3，则=（）A．2 B．C．2或D．﹣2或11．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A．（4，5） B．（﹣3，﹣2）∪（4，5） C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5] 12．（5分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是（）A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=18﹣a7，S8=．15．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数2z=2x+ny（n＞0），若z最大值为2，则n的值等于．16．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T 3=21，求S3．18．（12分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且（10＜x＜100），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W（万元），（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；（2）为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．19．（12分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若向量与向量共线，且A=120°．（1）求a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．21．（12分）在数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足S n=a n+1+n．（1）求证：当n≥2时，数列{a n﹣1}为等比数列，并求通项公式a n；（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．22．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|+x（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若g（x）=|x+1|，求不等式g（x）﹣2＞x﹣f（x）恒成立时实数a的取值范围．2017-2018学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若实数a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣c＞b﹣c C．D．ac＞bc【解答】解：对于A，令a=﹣1，b=﹣2，不成立，对于B，根据不等式的基本性质，成立，对于C，令a=2，b=﹣1，不成立，对于D，令c=0，不成立，故选：B．2．（5分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+1【解答】解：由已知中数列，﹣，，﹣，…可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n+1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1故选：D．3．（5分）不等式的解集为（）A． B．C．D．【解答】解：∵，∴﹣≤0，∴≥0，∴x＞﹣或x≤﹣2，即不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪（﹣，+∞），故选：A．4．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13，设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形．故选：C．5．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）．此问题的答案为（）A．390尺B．尺C．尺D．尺【解答】解：设每天多织布d尺，由题意得：30×5+=270，解得d=．∴每天多织布尺．故选：C．6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．9【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，∴2×=，即（a1q2）=，解得q=﹣1（舍）或q=3，∴==q2=9．故选：D．7．（5分）在△ABC中，a=2，，△ABC的面积等于，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵a=2，，△ABC的面积等于=acsinB=2×，∴解得：c=1，∴由余弦定理可得：b===．故选：C．8．（5分）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0≤k＜1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【解答】解：k=0时，f（x）=8，符合题意；k≠0时，，解得：0＜k≤1，综上：k∈[0，1]，故选：A．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选：C．10．（5分）在等比数列{a n}中，a4•a8=2，a2+a10=3，则=（）A．2 B．C．2或D．﹣2或【解答】解：等比数列{a n}的公比为q，a4•a8=2，a2+a10=3，可得a2•a10=2，解得a2=1，a10=2，或a2=2，a10=1，则q8==2或，可得=q8=2或，故选：C．11．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A．（4，5） B．（﹣3，﹣2）∪（4，5） C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时，得a＜x＜1，则﹣3≤a＜﹣2，故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．故选：D．12．（5分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是（）A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a【解答】解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，又A为锐角，∴0＜2A＜π，∴2A=，即A=，由基本不等式得bc≤（）2∴﹣3bc≥﹣（b+c）2由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=，即4a2≥（b+c）2，解得：2a≥b+c，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=18﹣a7，S8=72．【解答】解：由等差数列的通项公式及其性质可得：a1+a8=a2+a7=18．∴S8==4×18=72．故答案为：72．15．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数2z=2x+ny（n＞0），若z最大值为2，则n的值等于2．【解答】解：作出可行域与目标函数基准线y=﹣x+z，由解得B（1，1）由线性规划知识，可得当直线yy=﹣x+z过点B（1，1）时，z取得最大值，即2+n=4，解得n=2；故答案为：2．16．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，∵=，∴对x∈（﹣∞，λ]恒成立．设，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，解得λ≤﹣1，或（舍）当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，=，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b 2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．18．（12分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且（10＜x＜100），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W（万元），（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；（2）为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1），10＜x＜100=，∵，当且仅当x=50时，“=”成立，∴w≤﹣1600+4360=2760，即年利润的最大值为2760．（2）整理得x2﹣125x+2500≤0，解得：25≤x≤100，又10＜x＜100，所以25≤x＜100时答：为了让年利润W不低于2360万元，年产量x的范围是[25，100）．19．（12分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．【解答】解：（1）∵，∴sin∠EAC=．（2分）∴cosθ=cos（﹣∠EAC）=+=．（6分）（2）利用余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里，该船的行驶速度v=15（海里/小时）．（14分）20．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若向量与向量共线，且A=120°．（1）求a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由m，n共线，得，，所以：2b=a+c设a=b﹣d，c=b+d，由已知，，即，∴，从而，∴a：b：c=7：5：3．（2）由正弦定理，得：，由（1）设即，所以：所以：，所以：△ABC的面积为．21．（12分）在数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足S n=a n+1+n．（1）求证：当n≥2时，数列{a n﹣1}为等比数列，并求通项公式a n；（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】（1）证明：n=1，a1=4．当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=a n+1+n﹣a n﹣n+1，∴a n﹣1=2（a n﹣1），+1∴，则，得，∴a n=；（2）解：当n=1时，．当n≥2时，，∴当n=1时，，当n≥2时，，令，∴，∴=，∴，∴．经检验n=1时，T1也适合上式．∴（n∈N*）．22．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|+x（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若g（x）=|x+1|，求不等式g（x）﹣2＞x﹣f（x）恒成立时实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当a=2时，f（x）=|x﹣2|+x=，∵f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）的值域为[2，+∞）．（2）由g（x）=|x+1|，不等式g（x）﹣2＞x﹣f（x）恒成立，有|x+1|+|x﹣a|＞2恒成立，即（|x+1|+|x﹣a|）min＞2而|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|=|1+a|，∴|1+a|＞2，解得a＞1或a＜﹣3．。

2017-2018学年第一学期期中试卷高二数学第一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为__________．【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为__________．【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．【答案】【解析】当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，，三点的圆的方程为_________．【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则，解得，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_________．【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面说法正确的有_________．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.【答案】①④【解析】①若，，符合面面垂直的判定定理，则真确；②若，，，则可能平行，也可能相交，故②不正确；③若，，，则可能平行，也可能异面；③不正确；④若，，，符合线面平行的性质定理，则.正确；填①④.9. 直线关于直线对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_________．【答案】【解析】∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_________．【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为，高为，则它的侧面积为_________．【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是_________．【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则................14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：。

2017-2018学年度 高二（上）期中考试数 学 试 题考试时间：100分钟 满分100分一、选择题（每题4分，共40分）1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 ( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A.B.C.D.3．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的底面对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 （ ）A ．130B ．140C ．150D ．1606．用半径为R 的半圆卷成一个无底圆锥，则这个无底圆锥的体积为 （ ）A3R B3R C3R D3R 7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为 （ ） A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．38．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．30︒主视图 左视图 俯视图9．已知二面角α－AB －β的平面角为θ，α内一点C 到β的距离为3，到棱AB 的距离为4， 则tanθ等于 （ ）A ．34B ．35CD10．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点， 连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为 （ ）A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a 二、填空题（每题4分，共20分）11．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点；顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

A 2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）科试卷1、考试时间：120分钟2、满分：150分3、考试范围：命题，圆锥曲线，空间几何一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.命题：“0x R ∃∈，020x≤”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，020x >B ．不存在0x R ∈，020x> C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，20x ≤2.抛物线22x y =的焦点坐标是( ) A.)0,1(B. )0,21(C. )81,0(D. 41,0(3.x y 2=，则该双曲线的离心率为( )AB ．2CD 4.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）A ．+--2121B ．++2121C ．+-2121D ．++-21215.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD =60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）A B ．8．空间四边形OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC ＝∠OAB ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.21B.22C ．121D ．619.已知椭圆)20(14222<<=+b b y x 的左，右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若22AF BF +的最大值为5，则b 的值是( ) A. 1 B.2 C.23D.310.已知命题:p 椭圆2241+=x y 上存在点M 到直线:20+-=l x y 的距离为1，命题:q 椭圆2222754+=x y 与双曲线22916144-=x y 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ． ()∧⌝p qB ．()⌝∧p q C. ()()⌝∧⌝p q D ．∧p q 11. 如图，过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(22=+-y x 于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.1212.已知A,B,P 是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积32=∙PB PA K K ，则该双曲线的离心率为（ ） A.315B.25C. 210D.2二、填空题（每小题5分，共25分）13. 若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则m= 。

2017—2018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =--≤，(){}ln 1B x y x ==-，则=A B IA ．()12，B ．(]12， C ．[)11-， D ．()11-， 2．命题:“022≥+-∈∀x x R x ,”的否定是A ．022≥+-∈∃x x R x ,B ．022≥+-∈∀x x R x ,C ．022<+-∈∃x x R x ,D ．022<+-∈∀x x R x ,3．在等比数列{}n a 中，已知264,16a a ==，则4a =A ．8B ． 8±C ．8-D ．644．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线方程为043=±y x ，则该双曲线的标准方程为A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．191622=-y x D ．191622=-x y 5．设,a b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若,,a b a α∥∥则b α∥ B ．若,,a αβα⊥∥则a β⊥ C ．若,a αββ⊥⊥，则a α∥ D ．若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥错误！未找到引用源。

6．若下面框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．8?k <B ．8?k ≥C ．8?k >D ．9?k =7．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =A ．232a -B ．234a - C ．234a D ． 232a8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为ABCD9．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D - 的顶点A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点1C 的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A ．(1)(2)B ． (1)(3)C ．(3)(4)D ． (2)(4)10．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为A ．256B ．83C ．113 D ．411．已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦ B ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ． 34,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∆的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为 实数），则椭圆C 的离心率e =A ．13B ．12C ．23 D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于10分钟的概率为 ．14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为ˆ0.6754.9yx =+．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．15．点(2,0),(0,2)A B -，实数k 是常数，,M N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P是圆220x y kx ++=上的动点，若,M N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是 ．16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ．①若0a b ⋅> ，则a 与b的夹角为锐角；②对,x y R ∀∈，若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或；③若实数,x y 满足221x y +=，则2y x +三、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分) 函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中00,x y 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]212ππ--上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100] 后得到如右图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该 校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分 数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生 的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,//,ADC CD AB ∠=︒4AB =，2AD CD ==，点M 为线段AB 的中点，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求二面角A CD M --的余弦值．20．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差 数列{}n b 满足11b a =，43b S =． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.21．（本小题满分12分）已知向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，C n m 2sin =⋅， 且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角． （Ⅰ）求角C 的大小；图1DACBM图2ABDC（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅，求c 边的长．22．（本小题满分12分）已知椭圆22:143x y E +=与y 轴的正半轴相交于点M ，且椭圆E 上相异两点A 、B 满足直线MA ,MB 的斜率之积为（Ⅰ）证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标；（Ⅱ）求ABM ∆的面积的最大值．2017—2018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题答案1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 错误！未找到引用源。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。

2017-2018学年高二（上）期中试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．△ABC 中，a=1，b=，A=30°，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2．已知数列…，则2是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第19项3．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）A ．B ．﹣2C ．2D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定5．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ）A ．若x ≤1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ＞1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜06．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．若0＜a ＜b ，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．B ．a 2+b 2C ．2abD ．b8．△ABC 中，sinA=2sinCcosB ，那么此三角形是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．10．等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n =（ ）A ．2n ﹣5B ．2n ﹣3C ．2n ﹣1D ．2n+111．设a ＞0，b ＞0．若3是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 ．14．已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是 ．15．不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA=，b=sinB ，则a= ．三、解答题：17．若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是，求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．18．△ABC 中，BC=7，AB=3，且=． （1）求AC 的长；（2）求∠A 的大小．19．已知{a n }是等差数列，其中a 1=25，a 4=16（1）求{a n }的通项；（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19值．20．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1且a 1，a 3，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{2a n }的前n 项和S n ．21．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．△ABC 中，a=1，b=，A=30°，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得，求出sinB 的值，根据B 的范围求得B 的大小．【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又 0＜B ＜π，∴B= 或，故选B ．2．已知数列…，则2是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n 2﹣a n ﹣12=3从而利用等差数列通项公式a n 2=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n 2﹣a n ﹣12=3，又∵a 12=2，∴a n 2=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1，令3n ﹣1=20，则n=7．故选B ．3．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）A ．B ．﹣2C ．2D ．【考点】等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，设出等比数列的公比是q ，∴a 5=a 2•q 3，∴==，∴q=，故选：D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质，结合a 3+a 17=10求出a 10，代入前19项的和得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 3+a 17=10，得2a 10=10，∴a 10=5．∴．故选：B ．5．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ）A ．若x ≤1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ＞1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜0【考点】四种命题．【分析】根据否命题的定义：“若p 则q”的否命题是：“若￢p ，则￢q”，所以应该选A ．【解答】解：根据否命题的定义，x ＞1的否定是：x ≤1；x ＞0的否定是：x ≤0，所以命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是：“若x ≤1，则x ≤0”．故选A ．6．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x ﹣2y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x ﹣2y ⇒y=x ﹣z ，由图可知，当直线l 经过点A （1，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max =1﹣2×（﹣1）=3．故选：B ．7．若0＜a＜b，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（）A．B．a2+b2 C．2ab D．b【考点】不等式比较大小．【分析】根据两个数的和是1，和两个数的大小关系，得到b和的大小关系，根据基本不等式得到B，C两个选项的大小关系，再比较B，D的大小．【解答】解：∵a+b=10＜a＜b所以a＜b＞所以D答案＞A答案；C答案一定不大于B答案；B：a2+b2=（1﹣b）2+b2，D：b，所以B﹣D=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=（b﹣1）（2b﹣1），又＜b＜1，∴B﹣D=（b﹣1）（2b﹣1）＜0，即B＜D；所以D最大故选D．8．△ABC中，sinA=2sinCcosB，那么此三角形是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和及诱导公式得到sinA=sin（B+C），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到sin（B﹣C）=0，由B与C都为三角形的内角，可得B=C，进而得到三角形为等腰三角形．【解答】解：∵A+B+C=π，即A=π﹣（B+C），∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．又sinA=2cosBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC．变形得：sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．又B和C都为三角形内角，∴B=C，则三角形为等腰三角形．故选C．9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】根据等差数列的前n 项和公式，用a 1和d 分别表示出s 3与s 6，代入中，整理得a 1=2d ，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得且d ≠0，∴，故选A ．10．等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n =（ ）A ．2n ﹣5B ．2n ﹣3C ．2n ﹣1D ．2n+1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意结合等差数列的性质求得a ，则等差数列的首项和公差可求，代入通项公式得答案．【解答】解：∵等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，∴2（a+1）=（a ﹣1）+（2a+3），解得：a=0．∴等差数列{a n }的前三项依次为﹣1，1，3，则等差数列的首项为﹣1，公差为d=2，∴a n =﹣1+（n ﹣1）×2=2n ﹣3．故选：B ．11．设a ＞0，b ＞0．若3是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ． 【考点】基本不等式．【分析】利用等比中项即可得出a 与b 的关系，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴32=3a •3b =3a+b ，∴a+b=2．a ＞0，b ＞0．∴===2．当且仅当a=b=1时取等号．故选B ．12．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【考点】等差数列的性质；数列的求和．【分析】由已知结合等差数列的单调性可得a 5+a 6＞0，a 6＜0，由求和公式可得S 8＜0，S 7＞0，可得结论．【解答】解：∵{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，∴a 5，a 6必定一正一负，结合等差数列的单调性可得a 5＞0，a 6＜0，∴S 11==11a 6＜0，S 10==5（a 5+a 6）＞0，∴使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值为10．故选D ．二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 ﹣82 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得a 3+a 6+a 9+…+a 99=（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+33×2d ，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，∴a 3+a 6+a 9+…+a 99=（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+33×2d=50+33×2×（﹣2）=﹣82．故答案为：﹣82．14．已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣11）∪（6，+∞） ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，我们将A ，B 两点坐标代入直线方程所得符号相同，则我们可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：若（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y ﹣a=0的同侧则[3×3﹣2×（﹣1）+a]×[3×（﹣4）+2×3+a]＞0即（a+11）（a ﹣6）＞0解得a ∈（﹣∞，﹣11）∪（6，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣11）∪（6，+∞）．15．不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是 ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则，得到2x+1与x ﹣1同号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式2x 2﹣x ﹣1＞0，因式分解得：（2x+1）（x ﹣1）＞0，可化为：或，解得：x ＞1或x ＜﹣，则原不等式的解集为．故答案为：16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，b=sinB，则a= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵sinA=，b=sinB，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．三、解答题：17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，…由根与系数的关系得：解得a=﹣2…所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，…化为：（2x﹣1）（x+3）＜0…解得，…所以不等式解集为…18．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可得解AC的值．（2）由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理，可得： =，可得：AC==5．（2）由余弦定理可得：cosA===﹣，由于A ∈（0°，180°），可得：A=120°．19．已知{a n }是等差数列，其中a 1=25，a 4=16（1）求{a n }的通项；（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19值．【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由题意和等差数列的通项公式可得公差，可得通项公式；（2）可得a 1+a 3+a 5+…+a 19是首项为25，且公差为﹣6的等差数列，共有10项，由等差数列的求和公式可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4=a 1+3d ，代值可得16=25+3d ，解得d=﹣3，∴a n =25﹣3（n ﹣1）=28﹣3n ；（2）由题意可得a 1+a 3+a 5+…+a 19是首项为25，且公差为﹣6的等差数列，共有10项，∴20．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1且a 1，a 3，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{2a n }的前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由题意得关于公差d 的方程，求出公差d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式．（2）利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设知公差d ≠0，由a 1=1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得，解得d=1，或d=0（舍去），故{a n }的通项a n =1+（n ﹣1）×1=n ；（2）由（1）得：数列{2a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列，故S n =2n+=n （n+1）．21．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理．【分析】由图A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在B 处追上，则有 AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120°从而在△ABC 中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求α角的正弦值．【解答】解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在B 处追上，…则有 AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120°．∴（14x ）2=122+（10x ）2﹣240xcos120°…∴x=2，AB=28，BC=20，…∴．所以所需时间2小时，．…22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】（1）由S n =2﹣a n ，知S 1=2﹣a 1，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2﹣a n ）﹣（2﹣a n ﹣1），得，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由b n+1=b n +a n ，且，知b n ﹣1﹣b n =（）n ﹣1，由此利用叠加法能求出． 【解答】解：（1）∵S n =2﹣a n ，∴当n=1时，S 1=2﹣a 1，∴a 1=1，当n ≥2时，S n ﹣1=2﹣a n ﹣1，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=（2﹣a n ）﹣（2﹣a n ﹣1），得，∴数列{a n }是以a 1=1为首项，为公比的等比数列，∴数列{a n }的通项公式是．（2）由b n+1=b n +a n ，且，∴b n ﹣1﹣b n =（）n ﹣1，则，，，…，b n ﹣b n ﹣1=（）n ﹣2， 以上n 个等式叠加得：==2[1﹣（）n﹣1]=2﹣，=1，∴．∵b1。

2017-2018学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知点A（1，0），B（﹣1，1），则直线AB的斜率为（）A．B．C．﹣2 D．22．（3分）下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到下图所示几何体的是（）A．B．C．D．3．（3分）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣1，﹣2），4 B．（1，2），4 C．（﹣1，﹣2），2 D．（1，2），24．（3分）直线y=x﹣1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定5．（3分）已知m，n是两条不同直线，α是一个平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α6．（3分）直线x+y﹣1=0与直线2x+2y+1=0的距离是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，△O'A'B'是△OAB用斜二测画法画出来的直观图，其中O'B'=4，A'C'=6，A'C'∥y'，则△OAB的面积（）A．6 B．12 C．24 D．488．（3分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．8 B．6 C．﹣8 D．9．（3分）若直线m2x+（m2﹣m）y+1=0与2x﹣y﹣1=0互相垂直，则实数m=（）A．﹣1 B．0 C．﹣1或0 D．110．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．11．（3分）若关于x的方程有两个不同实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．（﹣1，1）C．D．12．（3分）已知圆O和圆M是球O的大圆和小圆，其公共弦长为球O半径的倍，且圆O和圆M所在平面所成的二面角是30°，OM=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．4二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知空间直角坐标系中点P（1，2，3），Q（3，2，1），则|PQ|=．14．（3分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．15．（3分）已知经过点M（2，1）作圆C：（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B两点，则直线AB的方程为．16．（3分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2，设点K是△ABC内一点，现定义f（K）=（x，y，z），其中x，y，z分别是三棱锥K ﹣PAB，K﹣PBC，K﹣PAC的体积，若，则的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，﹣1），B（2，1），C（1，3）．（Ⅰ）求边AB高所在直线的点斜式方程；（Ⅱ）求边AB上的中线所在直线的一般式方程．18．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是BD1，B1C 的中点，（1）求证：MN⊥B1C；（2）求三棱锥B1﹣BCD1的体积．19．已知圆C1：x2+y2﹣4x=0与圆C2：x2+y2+2my+n=0关于直线y=x对称．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）求经过圆C1与圆C2的公共点以及点P（﹣1，1）的圆的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E，F，G，M，N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点（1）求证：AN∥平面EFG；（2）求证：平面MNE⊥平面EFG．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E、F、G、M、N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点．（Ⅰ）若AB=2CD，求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：MN⊥平面EFG．22．已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2=4，点A在圆C1上，点B 在圆C2上．（Ⅰ）求|AB|的最小值；（Ⅱ）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P由无数对相互垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知圆C1：x2+（y+2）2=4与圆C2：（x﹣4）2+y2=4（1）若直线mx﹣y+（m﹣1）=0（m∈R）与圆C1相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值；（2）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知点A（1，0），B（﹣1，1），则直线AB的斜率为（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：直线AB的斜率k==﹣．故选：A．2．（3分）下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到下图所示几何体的是（）A．B．C．D．【解答】解：几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，由旋转体的性质得选项B中梯形绕下底旋转，形成的几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成，故选：B．3．（3分）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣1，﹣2），4 B．（1，2），4 C．（﹣1，﹣2），2 D．（1，2），2【解答】解：∵圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，则圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=2，故选：D．4．（3分）直线y=x﹣1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定【解答】解：圆心（0，0）到直线y=x﹣1的距离d==＜1，∴直线与圆相交．故选：B．5．（3分）已知m，n是两条不同直线，α是一个平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α【解答】解：对于A，m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，所以A错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m∥α，m⊥n，则n、α可能相交，故错；对于D，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确．故选：D．6．（3分）直线x+y﹣1=0与直线2x+2y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：直线2x+2y+1=0化为：x+y+=0．∴平行直线x+y﹣1=0与直线2x+2y+1=0的距离d==．故选：A．7．（3分）如图，△O'A'B'是△OAB用斜二测画法画出来的直观图，其中O'B'=4，A'C'=6，A'C'∥y'，则△OAB的面积（）A．6 B．12 C．24 D．48【解答】解：由已知中的直观图可得：△OAB中OB=4，AC=12，AC⊥OB，故△OAB的面积S=×12×4=24，故选：C．8．（3分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．8 B．6 C．﹣8 D．【解答】解：由实数x，y满足条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，z取得最大值，由解得A（2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×（﹣2）=6．故选：B．9．（3分）若直线m2x+（m2﹣m）y+1=0与2x﹣y﹣1=0互相垂直，则实数m=（）A．﹣1 B．0 C．﹣1或0 D．1【解答】解：∵直线m2x+（m2﹣m）y+1=0与2x﹣y﹣1=0互相垂直，∴2m2﹣m2+m=0，解得m=﹣1或m=0，当m=0时，m2x+（m2﹣m）y+1=0不成立，故选：A．10．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC，由AB=1，BC=3，得AC=，由PA=2，AB=1，得PB=，则S=1，，，，△PAB∴该几何体的表面积为1+=．故选：A．11．（3分）若关于x的方程有两个不同实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．（﹣1，1）C．D．【解答】解：∵方程，∴设函数y=x+b，和y=，则﹣1≤x≤1，由y=得x2+y2=1，∵﹣1≤x≤1，∴函数y=为圆的上半部分．作出函数y=的图象如图：当直线x﹣y+b=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=，解得b=，由图象可知b＞0，即b=．当直线经过点（﹣1，0）时，直线满足﹣1+b=0，即b=1，∴要使x的方程有两个不同的实数解，则满足1，故选：D．12．（3分）已知圆O和圆M是球O的大圆和小圆，其公共弦长为球O半径的倍，且圆O和圆M所在平面所成的二面角是30°，OM=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：设两圆的公共弦长为AB，C为AB的中点，连结MC、OC，则OC⊥AB，MC⊥AB，∴∠MCO就是圆O与圆K所在的平面所成的二面角的平面角，即∠MCO=30°∵Rt△MOC中，OM=1，∴OC==2，Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即R2=4+（）2，解得R=4．故选：D．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知空间直角坐标系中点P（1，2，3），Q（3，2，1），则|PQ|=2．【解答】解：|PQ|==2，故答案为：2．14．（3分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得r=1，l=2．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为．15．（3分）已知经过点M（2，1）作圆C：（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B两点，则直线AB的方程为3x+y+2=0．【解答】解：（x+1）2+y2=1的圆心为C（﹣1，0），半径为1，以M（2，1）、C（﹣1，0）为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程3x+y+2=0，故答案是：3x+y+2=0．16．（3分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2，设点K是△ABC内一点，现定义f（K）=（x，y，z），其中x，y，z分别是三棱锥K ﹣PAB，K﹣PBC，K﹣PAC的体积，若，则的最小值为．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，∴V P=××2×2×2==a++b，﹣ABC∴a+b=1．则==（）（a+b）=4+，由题意可得a＞0，b＞0，且a+b=1，∴=4+，当且仅当b=时，上式“=”成立．∴的最小值为．故答案为：4+2．三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，﹣1），B（2，1），C（1，3）．（Ⅰ）求边AB高所在直线的点斜式方程；（Ⅱ）求边AB上的中线所在直线的一般式方程．【解答】解：（Ⅰ）AB边上的高所在的直线为直线CH，H为垂足，由已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），得：，而k AB k CH=﹣1，则k CH=﹣2，而C（1，3），所以直线CH的方程为y﹣3=﹣2（x﹣1）；（Ⅱ）AB边上的中线所在的直线为直线CE，E为AB中点，由已知A（﹣2，﹣1），B（2，1）得：E（0，0），而C（1，3），得：，所以直线CE的方程为y=3x即3x﹣y=0．18．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是BD1，B1C 的中点，（1）求证：MN⊥B1C；（2）求三棱锥B1﹣BCD1的体积．【解答】证明：（1）取BD，CD的中点为P，Q，连接PQ，MP，NQ，在△ADD1中，，同理在△BCB1中，又BB1=DD1，BB1∥DD1，所以MP=NQ，MP∥NQ，所以四边形MNQP是平行四边形，所以MN∥PQ，又PQ∥DC，DC⊥平面BCC1B1，所以PQ⊥平面BCC1B1，所以PQ⊥B1C，所以MN⊥B1C；解：（2）三棱锥B1﹣BCD1的体积：．19．已知圆C1：x2+y2﹣4x=0与圆C2：x2+y2+2my+n=0关于直线y=x对称．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）求经过圆C1与圆C2的公共点以及点P（﹣1，1）的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，圆的标准方程为x2+（y+m）2=m2﹣n，圆心C2（0，﹣m），半径∵圆C1与圆C2关于直线y=x对称，所以，解得．（Ⅱ）解得，或，即圆C1与圆C2的交点为（0，0），（2，2）．令O（0，0），Q（2，2），又OP⊥OQ，∴所求圆的圆心为线段PQ的中点，即；半径，∴所求圆的方程为：．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E，F，G，M，N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点（1）求证：AN∥平面EFG；（2）求证：平面MNE⊥平面EFG．【解答】解：（1）在△PAB中，E，F分别是PB，AB的中点，所以EF∥PA，所以EF∥平面PAC在△ACB中，F，G分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，所以FG∥平面PAC又EF∩FG=F，所以平面PAC∥平面EFG，所以AN∥平面EFG（2）∵E、F分别是PB、AB中点，∴EF∥PA又AB⊥PA，∴AB⊥EF同理可证AB⊥FG．又EF∩FG=F，EF、FG⊂面EFG，故AB⊥EFG．又M、N分别为PD、PC中点，∴MN∥CD，又AB∥CD，故MN∥AB，∴MN⊥EFG，∵MN⊂EMN，∴EFG⊥EMN．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E、F、G、M、N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点．（Ⅰ）若AB=2CD，求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：MN⊥平面EFG．【解答】解：（Ⅰ）连结CF，∵E、F分别是PB、AB的中点，∴EF是△PAB的中位线，∴EF∥PA，又∵AB∥DC，AB=2DC，∴AF∥DC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，又∵EF∩EC=E，PA∩AD=A，∴平面EFC∥平面PAD，∵CE⊂平面EFC，∴CE∥平面PAD．（Ⅱ）∵AB⊥AC，AB⊥PA，∴AB⊥平面PAC，又∵E、F、G分别是PB、AB、CB的中点，∴EF∥PA，EG∥AC，∴平面EFG∥平面PAC，∴AB⊥平面EFG，又∵M、N分别是PD、PC的中点，∴MN∥DC∥AB，∴MN⊥平面EFG．22．已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2=4，点A在圆C1上，点B 在圆C2上．（Ⅰ）求|AB|的最小值；（Ⅱ）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P由无数对相互垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）两圆的圆心距为|C1C2|==2＞2+2=4，∴圆C1与圆C2外离，∴|AB|的最小值为2﹣4．（Ⅱ）设P（3，a），当直线l1斜率不存在时，显然不符合题意，舍去；当直线l1斜率存在且不为0时，设直线l1：y=k（x﹣3）+a，即kx﹣y+a﹣3k=0，直线，即x+ky﹣ak﹣3=0，∴两圆圆心到直线l1，l2的距离分别为：∵两圆半径相等，弦长相等，∴d 1=d2，即，化简得：（a2﹣4a﹣5）k2+4（a+1）k+1﹣a2=0，∴上式对任意k≠0恒成立，故，解得a=﹣1．故存在点P（3，﹣1）满足题意．23．已知圆C1：x2+（y+2）2=4与圆C2：（x﹣4）2+y2=4（1）若直线mx﹣y+（m﹣1）=0（m∈R）与圆C1相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值；（2）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线mx﹣y+（m﹣1）=0（m∈R）过定点M（﹣1，﹣1），∴当AB⊥C1M时，|AB|取得最小值，∵，∴|AB|的最小值为2=2．（2）设P（3，a），当直线l1斜率为0或斜率不存在时不符合题意，舍去；当直线l1斜率存在且不为0时，设直线l1：y=k（x﹣3）+a，即kx﹣y+a﹣3k=0，设直线，即x+ky﹣ak﹣3=0，则C1到直线l1的距离为d1=，C2到直线l2的距离为d2=，∵两圆半径相等，弦长相等，∴，化简得：（9﹣a2）k2﹣（12+4a）k+a2+4a+3=0，∴上式对任意k≠0恒成立，故，解得a=﹣3．故存在点P（3，﹣3）满足题意．。

南昌三中2017-2018学年度上学期期中考试高二数学(理）试卷 命题：胡福英 审题:周平一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1。

直线12:220,:10l x ay a l ax y +--=+-=若12l l ∥，则a =（ )A. 1 B 。

-1 C 。

1或-1 D 。

22.抛物线2xay =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．8-B ．8C ．18D ．18- 3.抛物线()022>-=p px y 的焦点恰好与椭圆15922=+y x 的一个焦点重合，则=p （ )A.1B.2C.3D.44.双曲线221(0)x ymn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ）A.316 B.38 C 。

163D.835。

已知变量x ，y ，满足约束条件，目标函数z=x+2y 的最大值为10,则实数a 的值为（ ） A 。

2 B.83C 。

4 D. 86.能够使圆014222=++-+y x y x恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（ )A ．2B ．3C ．5D ．537.已知双曲线22221(0,0)y x a b ab-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224yx=的准线上，则双曲线的方程为( )A 。

22136108y x -= B 。

221927y x -= C 。

22110836y x -=D.221279y x -= 8．已知F 是双曲线C ：x 2－my 2＝3m （m 〉0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A 。

错误! B ．3 C 。

错误!m D ．3m9、直线3y x =+与曲线2194x x y -=的交点个数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、1 10.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A 是双曲线外一点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（ )A 、9B 、8C 、7D 、6 11.若实数,x y 满足2244xy +=，则22xyx y +-的最大值为( ）A.122-B.12-C.122+D.12+12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点,｜F 1P|、|F 2P|、｜F 1Q ｜成等差数列，且∠F 1PF 2=120°，则双曲线C 的离心率是( ） A.B 。

高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知a＞b，c＞d，那么一定正确的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣d＞b﹣c2．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．113．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（5分）设{a n}是等比数列，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列5．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，2），则实数m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a 1+a3＜0，则a1+a2＜0 B．若0＜a1＜a2，则a2＞C．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞09．（5分）在等腰△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，∠A=120°，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A．4和2 B．4和2C．2和2﹣3 D．2和2+310．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，﹣2，b这三个数依次成等比数列，﹣2，b，a这三个数依次成等差数列，则pq=（）A．4 B．5 C．9 D．2011．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若，，r=，则下列关系式中正确的是（）A．p=r＜q B．q=r＞p C．p=r＞q D．q=r＜p12．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且（n+1）S n=（7n+23）T n，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+（x＞3）的最小值为．14．（5分）已知数列{a n}是递减等比数列，且a4=27，a6=3，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知△ABC中，满足B=60°，c=2的三角形有两解，则边长b的取值范围为．16．（5分）寒假期间，某校家长委员会准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为元．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解下列关于x的不等式（1）≥3 （2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos（A ﹣B）=2sinAsinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若a=3，c=6，CD为角C的平分线，求△BCD的面积．19．（12分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1+a3=﹣2，S15=75（n∈N*）．（Ⅰ）求S9；（Ⅱ）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）=b．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．21．（12分）潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔AE的高度H（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4米，已知∠ABE=α，∠ADE=β（1）该班同学测得α，β一组数据：tanα=1.35，tanβ=1.31，请据此算出H的值（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离d（单位：米），使α与β的差距较大，可以提高测量准确度，若观光塔高度为136米，问d为多大是tan（α﹣β）的值最大？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+2n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）令c n=a n a n+1cos（n+1）π，若c1+c2+…+c n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知a＞b，c＞d，那么一定正确的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣d＞b﹣c【分析】根据不等式的性质，推出a﹣d＞c﹣b，判定命题D正确，举例说明A、B、C不正确．【解答】解：∵a＞b，c＞d，由不等式的性质得﹣c＜﹣d，即﹣d＞﹣c，∴a﹣d＞c﹣b，D正确；不妨令a=2、b=1、c=﹣1、d=﹣2，显然，ad=﹣4，bc=﹣1，A不正确；ac=bd=﹣2，B不正确；a﹣c=b﹣d=3，C不正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质与不等关系的应用问题，是基础题目．2．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C【点评】本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．4．（5分）设{a n}是等比数列，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【分析】根据题意，由等比数列的性质分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，{a n}是等比数列，依次分析选项：对于A、1+9≠2×3，则（a3）2≠a1×a9，则a1，a3，a9不成等比数列，A错误；对于B、2+6≠2×3，则（a3）2≠a2×a6，则a2，a3，a6不成等比数列，B错误；对于C、2+8≠2×4，则（a4）2≠a2×a8，则a2，a4，a8不成等比数列，C错误；对于D、3+9=2×6，则（a6）2=a3×a9，则a2，a3，a6成等比数列，D正确；故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的判定，注意利用等比中项进行分析．5．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，2），则实数m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用不等式的解集得到二次不等式所对应方程的根，利用根与系数的关系求出m的值．【解答】解：关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，2），则0，2是方程﹣x2+2x=mx的根；即为x2+2（m﹣2）x=0的根，∴0+2=2（2﹣m），解得m=1，∴实数m的值是1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时利用“三个二次”的关系，是基础题．6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1分a﹣2d的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d ＞0）；则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，∴a=20；由（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=55/6；所以，最小的1分为a﹣2d=20﹣=．故选A．【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选B．【点评】本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a 1+a3＜0，则a1+a2＜0 B．若0＜a1＜a2，则a2＞C．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】根据{a n}是等差数列，结合等差数列的定义及基本不等式等，逐一分析四个答案的正误，可得答案．【解答】解：若a1+a3＞0，d＜0，则a1+a2＜0不一定成立，故A错误；若0＜a＜a2，则a2=＞，故B正确；若a1+a3＞0，d＞0，则a1+a2＞0不一定成立，故C错误；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，故D错误；故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差数列，基本不等式，难度中档．9．（5分）在等腰△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，∠A=120°，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A．4和2 B．4和2C．2和2﹣3 D．2和2+3【分析】利用正弦定理计算外接圆半径，计算三角形的三边，根据切线的性质和勾股定理列方程计算内切圆半径．【解答】解：设外接圆半径为R，内切圆半径为r，则2R===4，∴R=2，设BC的中点为D，连接AD，内切圆圆心为O，与AB的切点为M，则OM⊥AM，∵△ABC是等腰三角形，A=120°，a=2，∴AB=2，AD=1，BM=BD=，∴AO=1﹣r，OM=r，AM=2﹣，∴（1﹣r）2=r2+（2﹣）2，解得r=2﹣3．故选C．【点评】本题考查了正弦定理，三角形的几何计算，属于中档题．10．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，﹣2，b这三个数依次成等比数列，﹣2，b，a这三个数依次成等差数列，则pq=（）A．4 B．5 C．9 D．20【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，﹣2，b 这三个数依次成等比数列，﹣2，b，a这三个数依次成等差数列，列关于a，b 的方程组，求得a，b后得答案【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q=4，a﹣2=2b∵p＞0，q＞0，解得：a=4，b=1，∴p=a+b=5，q=1×4=4，则pq=20．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题11．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若，，r=，则下列关系式中正确的是（）A．p=r＜q B．q=r＞p C．p=r＞q D．q=r＜p【分析】根据对数函数的定义与性质，化简p、q、r，利用基本不等式，即可判断它们的大小关系．【解答】解：由题意得，p=f（）=ln（）=ln（ab）=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r===（lna+lnb）=p，∴p=r＜q．故选：A．【点评】本题考查了不等式与不等关系的应用问题，也考查了基本不等式和对数的应用问题，是基础题目．12．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且（n+1）S n=（7n+23）T n，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】推民出===，从而为整数的正整数n的可能取值为1，2，4，8，共4个．【解答】解：∵两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且（n+1）S n=（7n+23）T n，∴=，∴=======，∴为整数的正整数n的可能取值为1，2，4，8，共4个．故选：C．【点评】本题考查使得两等差数列的第n项的比值为整数的正整数n的个数的求法，考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+（x＞3）的最小值为5．【分析】根据基本不等式即可求出．【解答】解：∵x＞3，∴y=x+=x﹣3++3≥2+3=2+3=5，当且仅当x﹣3=1时，即x=4时取等号，故答案为：5．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．14．（5分）已知数列{a n}是递减等比数列，且a4=27，a6=3，则数列{a n}的通项公式a n=37﹣n，n∈N*．【分析】数列{a n}是递减等比数列，且公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式．【解答】解：数列{a n}是递减等比数列，且公比设为q，a4=27，a6=3，即为a1q3=27，a1q5=3，解得a1=36，q=，或a1=﹣36，q=﹣（舍去），则数列{a n}的通项公式a n=36•（）n﹣1=37﹣n，n∈N*．故答案为：37﹣n，n∈N*．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．（5分）已知△ABC中，满足B=60°，c=2的三角形有两解，则边长b的取值范围为（，2）．【分析】若满足条件的三角形恰有两个，由已知条件，根据正弦定理用b表示出sinC，由∠B的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个C的范围，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinC的范围，进而求出b的取值范围．【解答】解：在△ABC中，∵B=60°，c=2，若满足条件的三角形恰有两个，由正弦定理得：，即，变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：＜＜1，解得：＜b＜2，则b的取值范围是（，2）．故答案为：（，2）．【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于中档题．16．（5分）寒假期间，某校家长委员会准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为27600元．【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1200x+1800y，结合题意建立关于x、y的不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1200x+1800y，其中x、y满足不等式组，，即，由z=1200x+1800y得y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域平移y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即当x=5、y=12时，此时的总租金z=1200×5+1800×12=27600元，达到最小值．27600．故答案为：27600．【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解下列关于x的不等式（1）≥3（2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）【分析】（1）将原不等式化为，即（2x﹣7）（x﹣2）≤0（x≠2），解得答案；（2）对a进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集；【解答】（本小题满分10分）解：（1）将原不等式化为，…（2分）即（2x﹣7）（x﹣2）≤0（x≠2），∴，…（4分）所以原不等式的解集为．…（5分）（2）当a=0时，不等式的解集为{0}；…（6分）当a≠0时，原不等式等价于（x+a）（x﹣2a）≤0，因此当a＞0时，﹣a＜2a，∴﹣a≤x≤2a，当a＜0时，﹣a＞2a，∴2a≤x≤﹣a，…（9分）综上所述，当a=0时，不等式的解集为{0}，当a＞0时，不等式的解集为，{x|﹣a≤x≤2a}，当a＜0时，不等式的解集{x|2a≤x≤﹣a}．…（10分）【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，二次不等式的解法，难度中档．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos（A ﹣B）=2sinAsinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若a=3，c=6，CD为角C的平分线，求△BCD的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，判断出三角形为直角三角形．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和正弦定理求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）cos（A﹣B）=2sinAsinB，cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB，所以：cosAcosB﹣sinAsinB=0，即：cos（A+B）=0，解得：C=90°，故△ABC为直角三角形．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：C=90°，又a=3，c=6，所以：b=，则：A=30°，∠ADC=105°，由正弦定理得：，所以：CD=，=．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定及相关的运算问题．19．（12分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1+a3=﹣2，S15=75（n∈N*）．（Ⅰ）求S9；（Ⅱ）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意列关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，则S9可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{a n}的通项，代入b n=，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由a1+a3=﹣2，S15=75，得，解得．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=﹣2+1×（n﹣1）=n﹣3，∴b n==，∴T n=b1+b2+b3+…+b n==．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）=b．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简可得求B．（Ⅱ）利用余弦定理建立关系，根据a的范围求解即可求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2cosB（acosC+ccosA）=b．根据正弦定理：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）=sinB即2cosBsinB=sinB，∵0＜B＜π，sinB≠0，可得cosB=∴B=；（Ⅱ）∵a+c=1，则c=1﹣a，∴0＜a＜1．cosB=．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB∴b2=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+．∵0＜a＜1．∴≤b2＜1．则b的取值范围是[，1）．【点评】本题考查了正余弦定理的运用和计算能力．转化思想，利用二次函数问题求解范围．属于中档题．21．（12分）潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔AE的高度H（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4米，已知∠ABE=α，∠ADE=β（1）该班同学测得α，β一组数据：tanα=1.35，tanβ=1.31，请据此算出H的值（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离d（单位：米），使α与β的差距较大，可以提高测量准确度，若观光塔高度为136米，问d为多大是tan（α﹣β）的值最大？【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β），整理成基本不等式的形式，再根据基本不等式可求得tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．【解答】解：（1）由，，，及AB+BD=AD，得，解得，因此算出观光塔的高度H是135m．（2）由题设知d=AB，得，由得，所以．当且仅当，即d===4m，上式取等号，所以当时tan（α﹣β）最大．【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+2n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）令c n=a n a n+1cos（n+1）π，若c1+c2+…+c n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由S n=n2+2n，得a1=S1=3，当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1求得数列通项公式，验证首项后得答案；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n=，然后利用错位相减法求数列{b n}的前n项和为T n；（Ⅲ）c n=a n a n+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π．分n为奇数和n为偶数利用等差数列求和得到c1+c2+…+c n，结合c1+c2+…+c n≥tn2对n∈N*恒成立求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由S n=n2+2n，得a1=S1=3，当n≥2时，，a1=3适合上式，∴a n=2n+1；（Ⅱ）b n==，则，①，②①﹣②得：=，∴；（Ⅲ）c n=a n a n+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π．当n为奇数时，cos（n+1）π=1，c1+c2+…+c n=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+（2n+1）（2n+3）=3×5+4×[7+11+…+（2n+1）]=15+4×=2n2+6n+7．∵，∴2n2+6n+7≥tn2，∴t≤，∴t≤2．当n为偶数时，cos（n+1）π=﹣1，c1+c2+…+c n=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣（2n+1）（2n+3）=﹣4×[5+9+13+…+（2n+1）]=﹣2n2﹣6n．∵，∴﹣2n2﹣6n≥tn2，∴t，则t≤﹣5．综上所述，t≤﹣5．【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．。

2017-2018学年高二数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线1x =-的斜率为（ ）．A B C ．D ． 【答案】A【解析】解：化为斜截式为y =． 故选A ．2．若直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(,)P a b 与圆C 的位置关系是（ ）．A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．以上都有可能【答案】C【解析】解：直线与圆相交知圆心到直线距离1d R =<=，得221a b +>，则(,)P a b 到圆心距离1l R ==． 故选C ．3．圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为（ ）．A ．1B ．2CD ．【答案】D【解析】解：两圆方程相减公共弦所在直线方程为1y =，与前一个圆距离1d =，半径2R =，则弦长l ==故选D ．4．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的周长为（ ）．A ．10B ．16C ．20D ．25【答案】C【解析】解：由题意可得5a =，2ABF △周长： 221122C AB AF BF AF BF AF BF =++=+++ 1212()(+)AF AF BF BF =++420a ==，故选C ．5．若过椭圆22194x y +=内一点(3,1)P 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）．A ．34130x y +-=B ．3450x y --=C ．43150x y +-=D ．4390x y --=【答案】A【解析】解：设弦的两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，P 为AB 中点得121262x x y y +=⎧⎨+=⎩，A ，B 在椭圆上有2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得222212120164x x y y -++= 12121212()()()()0164x x x x x x x x +-+-⇒+=12123()082x x y y --⇒+= 121234y y x x -⇒=--， 则34k =-，且过点(3,1)P ，有31(3)4y x -=--，整理得34130x y +-=． 故选A ．6．经过点M -且与双曲线22143x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）．A ．22168x y -=B ．22186y x -=C ．22=168y x -D ．22186x y -=【答案】C【解析】解：与22143x y -=渐近线相同，所以设为22143x y t t -=，将-代入可得，6812t t t -=⇒=-，则为22168y x -=．故选C ．7．若双曲线22136x y -=的两个焦点1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12120F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ）．AB ．C ．D ．【答案】B【解析】解：由题意可知a 122PF PF a -==1226F F c ==，12120F PF ∠=︒，由余弦定理得2221212122cos120F F PF PF PF PF =+-⋅︒， 即22121236PF PF PF PF =++⋅，解得2PF =，2PF =121sin1202S PF PF =⋅⋅︒=故选B ．8．（理科生做）设双曲线2222=1(0,0)x y a b a b->>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ）．A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．((0,2)D ．(,(2,)-∞+∞【答案】A【解析】解：如图，BC x ⊥轴于F 点，AB BD ⊥，AC CD ⊥，D 点在x 轴上，由射影定理得2BF AF DF =⋅，2b BF a=，AF c a =-，解得42()b DF a ac a c a =<+-，解得22b a <，则11ba-<<，即11k -<<且0k ≠． 故选A ．8．（文科生做）已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n -=>的焦点重合，1e ，2e ，分别为1C ，2C 的离心率，则（ ）．A ．m n <且121e e <B ．m n >且121e e <C ．m n >且121e e >D ．m n <且121e e >【答案】C【解析】解：椭圆1C焦点为(，双曲线2C集点为(，解得222m n m n =+⇒>，1e =，221n e n +=，2121e e =． 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．若圆C 的半径为1，其圆心与点(0,1)关于直线y x =对称，则圆C 的标准方程为__________． 【答案】22(1)1x y +-=【解析】解：(1,0)关于y x =的对称点为(0,1)，则圆心为(0,1)半径为1， 故标准方程为22(1)1x y +-=．10．若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】解：由题意可得1a =，b =，c =则c e a == 解得2m =．11．经过两点111,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，210,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为__________．【答案】22541x y +=【解析】解：设方程为221mx ny +=，代入11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得11199m n +=，114n =，解得5m =，4n =， 故方程为22541x y +=．12．已知双曲线2223:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，a 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为__________． 【答案】2【解析】解：由题意可得MA NA a ==，则M A N △为正三角形，则A 到渐近线距离为d =，(,0)A a ，渐近线为0bx ay ±=，则ab d c =，则b c ， 解得2ce a==．13．（理科生做）已知圆22:(36M x y +=，定点N ，点P 为圆M 上的动点，点G 在MP 上，点Q 在NP 上，且满足2NP NQ =，0GQ PN ⋅=，则点G 分轨迹方程为__________．【答案】221(0,0)2x y x y +=>>【解析】解：由(,)P x y 为AB 中点可得(2,0)A x ，(0,2)B y ，则(2,2)AB x y =-， 而Q 点坐标为(,)x y -，则(,)OQ x y =，则22221OQ AB x y ⋅=+=，且0x >，0y >，则轨迹方程为221(0,0)2x y x y +=>>．13．（文科生做）设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 于点P 关于y 轴对称，O 为原点，若P 为AB 的中点，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程为__________．【答案】221(0,0)2x y x y +=>>【解析】解：由(,)P x y 为AB 中点可得(2,0)A x ，(0,2)B y ，则(2,2)AB x y =-， 而Q 点坐标为(,)x y -，则(,)OQ x y =-，22221OQ AB x y ⋅=+=，且0x >，0y >，则轨迹方程为221(0,0)2x y x y +=>>．14．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________．【答案】1+【解析】解：设椭圆和双曲线的长半轴长和十半轴长分别为1a ，2a ，焦半径为C ，设12PF PF >， 则有1212PF PF a +=，1222PF PF a -=，解得112PF a a =+，212PF a a =-，由余弦定理得222121212π2cos3F F PF PF PF PF =+-， 整理得2221243c a a =+，22222222121212222212123344c c a a a a e p a a a a +++=+=+2221221231144a a a a =++≥当2212a 时成立等号，故结果为1+．三、解答题：（本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）已知圆22:(2)2C x y -+=．（1）求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程．（2）已知过点(1,3)P 的直线l 交圆C 于A 、B 两点，且||2AB =，求直线l 的方程． 【答案】见解析．【解析】解：（1）若直线过原点，设l 为y kx =，圆心为(2,0)，则由l与圆相切，可得d 1k =±，此时直线方程为y x =±．（2）若直线不过原点，设l 为x y t +=，则d 解得0t =或4，此时直线方程为0x y +=或4x y +=， 综上所述，直线方程为y x =±或4x y +=． ①若斜率不存在，则直线方程为1x =， 弦长距1d =，则||2AB ==，符合题意．②若斜率存在，设直线方程为3(1)y k x -=-，弦心距22d k ⎛⎫==得22(3)121k k ++=+， 解得43k =-，综上所述，直线l 的方程为1x =或41333y x =-+．16．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A ．（1）求椭圆E 的方程．（2）已知双曲线C 的离心率是椭圆E 的离心率的倒数，其顶点为椭圆的焦点，求双曲线C 的方程．（3）设直线:l y =-M ，N 两点，过P 的直线l 与线段MN 有公共点，求直线l 的倾斜角的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可得2b =，c e a ==，解得a =2c =，故椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意可得双曲线离心率1c e e a ''=='2a '=，则c '=2b '=，故双曲线方程为22144x y -=．（3）联立2240x y y ⎧--=⎪⎨=-⎪⎩2212160x x -+-=，解得2x =或4，则(2,0)M ，N ．17．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>，左右焦点分别为1F 和2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程．（2）设椭圆2222:144x y E a b +=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A 、B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． ①求||||OQ OP 的值． ②（理科生做）求ABQ △面积的最大值．③（文科生做）当k 时，ABQ △面积的最大值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设两圆的一个交点为P ，则13PF =，21PF =，由P 在椭圆上可得1224PF PF a +==，则2a =，c e a =，得c =1b ， 故椭圆方程为2214x y ==．（2）①椭圆E 为方程为221164x y +=，设00(,)P x y ，则有220014x y +=，Q 在射线OP 上，设00(,)0Q x y λλλ>，代入椭圆E 可得222222200116444x y x y λλλ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，解得2λ=，即00(2,2)Q x y ，2OQOP ==．②（理）由①可得P 为OQ 中点，P 在直线上，则Q 到直线的距离与O 到直线的距离相等，故d =221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8km 4160k x x m +++-=，则12814km x x k-+=+，212241614m x x k -=+，12|||4AB x x -= 联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440m k x k x m +++-=， 22041m k ∆⇒+≥≤，1||2ABQS AB d =⋅=△222(82)14k k ++=当且仅当2241m k =+时等号成立， 故ABQ S △最大值为②（文）此时直线方程为y m =+，由①可得P 为OQ 的中点，而P 在直线上，则Q 到直线的距离与O到直线的距离相等，则d =221164y mx y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩，可得2294160x m ++-=，则12x x +，212241614m x x k -=+，12|||AB x x -=，联立2214y mx y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩，得229440x m ++-=，209m ∆⇒≥≤，1||2ABQS AB d =⋅==△=11 故ABQ S △最大值为。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。