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第四章事件独立性与独立实验概型

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1.4 事件的独立性及贝努力概型

1.4 事件的独立性及贝努力概型

例2 某人进行射击,设每次射击的命中率为p,独立射击n次， 试求至少击中两次的概率
解: 以X记击中次数
P(X2) =1-P(X<2) =1-P(X=0)-P(X=1) =1-(1-p)n-Cn1p(1-p)n-1
例3 做一系列独立试验,每次试验中成功的概率为p,求 在成功n次之前已经失败了m次的概率 解： 令A={第n+m次试验成功} B={前n+m-1次试验中失败m次(成功了n-1次)} C 则所求的概率为： P(AB)=P(A)P(B)= p · mn+m-1 (1-p) mpn-1
(2) 假设需要n门高射炮, 则由题意:P(A1∪…∪An )>0.99
一.贝努里概型
1.试验的独立性概念 定义4:设事件A,B分别是试验E1,E2的任意两个事件, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称试验E1,E2是相互独立的 “试验是相互独立的”指的是试验的结果是相互独立的
设一个试验E只有两个可能的结果A,A,且P(A)=p,P(A)=1-p=q (p<1) 将E独立地重复n次,构成一个试验,叫做(n重)贝努里试验, 记作En (概型)
“一次抛掷n枚硬币”的试验可以看成“一枚硬币重复抛n次”， 所以也可以看成一个(n重)贝努里试验 掷一颗骰子,有六种结果.但如果我们只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况,则“掷一颗骰子”也可以看作是 (一重)贝努里试验．
?
2.二项概率
二项概率公式
b(k;n,p)= P({En中事件A恰好出现k次})=Cnk pkqn-k
则称事件A,B,C相互独立
注
A,B,C相互独立 A,B,C两两相互独立； ？
2)多个事件的独立性 定义3: (略)

事件的独立性

事件的独立性

§ 1.5 事件的独立性一、两个事件的独立性在条件概率中，一般情况下，P(B|A)P(B)P(A|B)P(A)≠≠，但在特殊的条件下，就不同了，请看下例：例1.5.1 袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，有返回的取两次， 令A=第一次取新球，B=第二次取新球。

因为是有返回抽取，所以 3P(B|A)P(B)5== 显然也有 3P(A|B)P(A)5== 两个事件独立的直观定义：设A 、B 两个事件，一个事件发生与否对另一个事件的发生及其发生的概率不产生影响，则称A 、B 这两个事件是相互独立的。

这是中文描述性定义。

下面推出数学定义：事件A ，B 互不影响P(B|A)P(B)⇔=，P(A |B)P(A)=P(A)P(B |A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A |B)⎧⇔==⎨⎩或11A B P(AB)P(A)P(B)A B =定义.5.：设有事件、，若则称事件、相互独立。

由定义可证明，必然事件、不可能事件与任何事件都是独立的。

在现实世界中，随机现象独立的情况是大量存在的，如返回抽样、重复试验、彼此无关的工作…..。

若要证明两个事件独立，必须依据定义证明。

而在实际问题中，判断两个事件独立，大多根据实际情况和经验，看是否相互影响，要注意的是我们不能只停留在感觉上。

定理1.5.1 A B A B A B A B 若，相互独立，则与；与；与都相互独立。

证明：A B 以与为例，P (A B )P (A B)=-P (A A B )=-P (A )P (A B =- P (A )P (A )P (=- P (A )[1P (B )]P (A)P (B )=-= 由定义可知 A B 与相互独立。

二、多个事件的独立性152 A B C P(AB)P(A)P(B)P(AC)P(A)P(C)P(BC)P(C)P(B)P(ABC)P(A)P(B)P(C)A B C ====定义..设有事件，，，若满足则称，，相互独立。

第四讲(事件的独立性)

第四讲(事件的独立性)

—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生 小概率事件
若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.
例7 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 , 现有若干 门炮同时独立地对飞机进行一次射击， 问需要多少门
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
例6 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
定义
设 A , B 为两事件，若
P( AB) P( A) P( B)
则称事件 A 与事件 B 相互独立
例2 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
P( A2 A1 ) 3 / 8 ,
P( A2 A1 ) P( A2 ) P( A2 A1 )
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A2关于A1 是独立的。
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A2 ) (3 / 8)
说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13

4.5事件的独立性及二项概率公式

4.5事件的独立性及二项概率公式
(1 k n) 和任意 k 个整数 1 i1 i2 ik n,
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 则称A1, A2 , …, An 相互独立。
例4 某种型号高射炮对敌机射击的命中率为0.02，
（1）100门该型号的高射炮同时向敌机射击一 次，求敌机被击中的概率。
A A1 A2 An
所以 P( A) P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An ) r n
串联系统的可靠性, 元件越多越不可靠.
对于并联系统，由题意得 B A1 A2
An
B A1 A2
An A1 A2
An
P(B ) P(A1)P(A2) P(An)
§4.5 事件的独立性及二项概率公式 一、事件的独立性 二、二项概率公式
一、事件的独立性
定义4-6 若事件 A, B 满足
P AB P A P B
则称事件 A, B 相互独立.
定理4-2 若四对事件 A, B; A, B; A, B; A, B 中有一对是 相互独立的，则另外三对也相互独立.
设 B ＝{恰有两次命中}
设 Ai ＝{此人第 i 次射击时打中靶子} (i 1 , 2 , 3)
B ＝{恰有两次命中}
则由题意可知： P( Ai ) 0.6, P(Ai ) 0.4, 且 A1,A2 ,A3 相互独立。 故题目中所求的为： P(B) P( A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 )
训练
１.某型号电子元件使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知一大批产品的一级品率为0.2。现从中随机地抽取
20只，问这20只元件中恰有 k0 k 20 只为一级品 的概率是多少？ P20 k C2k0(0.2)k (0.8)20k

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
“两次取出的球的数字之和是7”，则（
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事

件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

事件的独立性

事件的独立性

结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)

高等数学-概率1.5 独立试验概型


例1、将一枚均匀的硬币，重复抛掷5次， 求其中恰有两次出现正面的概率。
解：抛掷5次硬币，恰有两次出现正面， 2 可能的情况一共有 C5 10 种，用 Bk ， k 1, 2,,10 分别表示这10种情况中的一种； Ai 表 示 “i 第 i 1, 正 次 抛 掷出2,现 ,5 ； B面”， 表 示 “P B1 5 次 硬 B10 有 两 次 出 现 正 P B 抛 掷 B2 币 恰 面”。 P B1 P B2 P B10 则
0 3 0
3 0
0.488
例3、甲、乙二人打网球，假定每盘比赛甲 胜乙的概率为0.6，乙胜甲的概率为0.4， 若采取5盘3胜的比赛规则，问甲胜的可能 性有多大？

解：将比赛一盘看成一次试验，比赛5盘就 p 1 是5重伯努利试验， 0.6 ， p 0.4
设 B 表示“甲获胜”，则甲获胜有以下几 种 可能情况： B1 B2 “甲连胜3盘，总比分3比0获胜”； “前三盘甲2胜1负，第4盘胜，总比 B3 分3比1获胜”； “前4盘甲2胜2负，第5盘胜，总比分 3比2获胜”；
例5、设每门炮击中飞机的概率为0.6，想 要以99％的概率击中飞机，问：至少需要 多少门炮同时射击？
解：设至少需要 n 门炮同时射击。用 Ai 表 示“第i 门炮击中飞机”。
n n n n P Ai 1 P Ai 1 1 0.6 1 0.4 i 1 i 1
事件独立的性质：




A 事件 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B ， 与 B 中有 一对独立，则其余三对也独立。 若 P A 0（ P B 0），则 A 与 B 独立 的充要条件是 P A B P A ，P B A P B 。 必然事件 和不可能事件 与任何事件 都是独立的。 若事件 A 与 B 满足 P A P B 0 ，则 A 与 B 独立和 A 与 B 互斥不能同时发生。

7.4 事件的独立性和独立试验序列


i 1
第一章
9
例4: 要验收一批 (100 件) 乐器. 验收方案如下: 自 该批乐器中随机地抽取 3 件测试 (设 3 件乐器的 测试是相互独立的), 如果3 件中至少有一件被测 试为音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接受.设一件 音色不纯的乐器被测试出来的概率为 0.95，而一 件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01.如果 这批乐器中恰有 4 件是音色不纯的, 问这批乐器 被接受的概率是多少？ 解: 设 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3 件乐 器中恰有 i 件音色不纯”, A 表示事件“这批乐 器被接受”, 即 3 件都被测试为音色纯的乐器.
则称A、B、C是相互独立的随机事件．
第一章
5
2、 n个事件的相互独立性：
A , (1) 定义3：设 1 , A2 , , An 是 n 个 随 机 事 件 如 果 对 其 中 任 意k ( 2 k n)个 事 件 的 积 事 件 的 概 率 等 都 于 各 事 件 概 率 的 积则 称A1 , A2 , , An 相 互 独 立 , .
5 72
第一章
14
2、定义2 若独立重复地进行n次Bernoulli试验, 这 里“重复”是指每次试验中事件 A 发生的概率 (即每次试验中“成功”的概率)不变,则称该试验 为 n 重Bernoulli试验． 3、n重Bernoulli 试验中成功恰好出现k次的概率 一般地：设在 n 重Bernoulli 试验中，
P ( AB) P ( A) P ( B )
称事件A 与 B 是相互独立, 简称A 、 B独立.
2、性质1：
(1) P ( A) 0，A, B独立 P ( B | A) P ( B); P ( B) 0，A, B独立 P ( A | B) P ( A).

04-第四节 事件的独立性高中数学必修一北师大版


2
3
1
4
1
2
1
3
则 = + + + = × ห้องสมุดไป่ตู้ + × ×
3
4
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
+ × × + × × =
17
,
24
17
所以甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率是 .
24
第四节 事件的独立性
过能力 学科关键能力构建
3
1.[2024重庆南开中学期末]已知甲、乙两人投篮，每次投中的概率分别为
16
2
3
1
3
1 = 2 × × =
4
,
9
2 =
2 2
3
=
4
.记事件表示“两轮活动中
9
‘星队’答对3个问题”,则 = 1 2 ∪ 2 1 ,且1 2 与2 1 互斥, 1
2
2
1 分别相互独立,所以 = 1 2 ∪ 2 1 = 1 2 + 2 1 = 1 2 +
3 3 1
的概率分别为 ， ， ,将它们中某2个元件
4
4
2
并联后再和第3个元件串联后接入电路.
（1）在如图所示的一段电路中，求该电路是通路的概率.
【解析】 记事件 表示“元件 正常工作” = 1,2,3 ,
则电路是通路的概率
0 = 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 = 1 2 3 + 1
7
A.
27

第四节 独立性


(2) P(CD) P(C) P(D) 1 C9 0.04 0.968 0.04 0.0104.
1 1 0.9610 C10 0.04 0.969 0.0582;
k 2
三、例题讲解
失效率为0.05，各元件是否失效是相互独立的。若有一 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.5，若有两 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.8，若有三 个或三个以上元件失效，设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期间不能使用的概率； (2)已知设备不能使用，求是一个元件失效的概率。 解：B表示“在保修期间设备不能使用”，
推广 设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
例2. 某企业欲通过开发新产品来摆脱目前困境，组织了 三个攻关小组独立研制三种新产品，成功的把握 分别为60%、50%、60%。求： (1)能研制出新产品的概率； (2)至少有两种新产品能研制成功的概率。 解：Ai表示第i个攻关小组成功研制出新产品，则
(1) P(A1 A2 A3 ) 1-P(A1 )P(A2 )P(A3 )
P(A)P(B) P(C) P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)
0.8125；
P(AB) P(C) P(D)-P(ABC) -P(ABD)-P(CD) P(ABCD)
P(ABE) (2) P(AB|E) , P(E)
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时为偶数}
试讨论A、B、C的相互独立性。
A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}
证明 由乘法公式 P(AB) P(A)P(B | A) 和 独立性定义P(B | A) P(B)可得
实际问题中，事件的独立性可根据问题的实 际意义来判断
如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中” 可以 认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
条件概率 Conditional Probability
定义
设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P( A B) P( AB) P(B)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
条件概率 P(A|B)的样本空间
BA
BA
Sample space
P( AB)
Reduced sample space given event B
解 情形（1）的样本空间为
Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}
P(A) 1 , P(B) 3 , P(AB) 1
2
4
2
此种情形下，事件A、B是不独立的。
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
P(A) P(B) 1
例 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概 率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击 中目标的概率；3）目标被击中的概率。
解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”
则 P(A) 0.6, P(B) 0.5
P(AB) P(A)P(B) 0.60.5 0.3
P(A | B)
乘法法则
P( AB) P( A)P(B A) P(B)P(A B)
推广
P(B A) P( AB) P( A)
P( A B) P( AB) P(B)
P(ABC) P(A)P(B A) P(C | AB)
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 ( A1A2 )) L P( An ( A1 A2 L An1))
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理 下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A U B) 1 P( A U B)
P(B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0) B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
P( Ak | B)B | Ai)
i 1
证明
( k =1 , 2 , … , n)
则称事件A，B，C相互独立。
事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两 注 独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式 意
子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反
之不一定。
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令 A={第一个四面体的触地面为偶数} B={第二个四面体的触地面为奇数} C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
A1 P( A1) P(B | A1)
A2 P( A2 ) P(B | A2 )
A3 P( A3) P(B | A3)
即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ
对于事件Ａ独立．
显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称 Ａ与Ｂ相互独立．
P(A B) P(AB) P(B)
P(AB) P(B | A)
P(AB) P(AB) / P(A)
P(A)
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P(AB) P(A)P(B)
1P(A) P(B) P(AB)
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB AU B
P( Ak
B) P( Ak B) P(B)
P(Ak )P(B
A) k
n
P( Ai )P(B
A) i
i 1
一、事件的独立性引例 P(B A) P(B)
例 一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回 地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二 次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概 率。
解 A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}
则 P(B A) 6 0.6 10
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
6 6 4 6 0.6 10 10 10 10
事件的独立性 independence
定义 设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）
P( AB AB) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.5
P(AU B) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.8
有限多个事件的独立性
如果事件A，B，C满足
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)