高二数学竞赛试卷
考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；
⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．
（1）12,F F 是椭圆22
:184
x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个
（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11a
A a
+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值 为（ ）
(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关
（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2
220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它 的最大内角的度数是（ ）
(A ) 150 (B ) 135 (C ) 120 (D)
90
（4）已知定点()7,8A 和抛物线2
4y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若
0O B P B ⋅=
（其中O 为坐标原点），则PB PA + 的最小值为（ ）
(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)
、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．
（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖 典礼上给获一等奖的学生照
相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等 奖的人数有 人． （6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，试写 出两个．．满足上述条件的函数的解析式 、 ．
（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2
211-+-b a 的最小值
为 ．
（8）正三棱锥ABC P -中，
30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2=
==CP BP AP ，
过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为 ．
（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分 解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、
给出如下一个变换公式：()()221
1262
13 1262
x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除 ， ， ， ，
将明文转换成密文，如1613266＝＋→
即f 变为p ；52
199＝+→即i 变为e ． 按上述规定，明文good 的密文是 ，密文gawqj 的明文是 ．
（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++=
2
的值均为非负实数， 则
c
b a a
b ++-的最大值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．
已知函数()a x x x x f ++=
2cos cos sin 3（a 为常数）．
（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；
（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
20π， 上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范
围．
如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，
2=BC ．
（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；
（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出
BQ 的值；若不存在，请说明理由．
如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，
OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
211， P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到
损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直
线MN 的斜率为k ．
（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围； （Ⅱ）试求S 的最大值．
已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记
1211n T a a =
++ (1)
n
a +． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：2b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13
n n
-与n B 的大小．
设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=2
3
4
，当1-=x 时，()x f 取得极大
值
3
2
，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01， 对称． （Ⅰ）求()x f 的表达式；
（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的
横坐标都在区间⎡⎣上；
（Ⅲ）若212t t x -=
，)133t t y -= ()t +∈R ，求证：()()43
f x f y -<．
\
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。例如：
()12
log f x x =， ()227
333
f x x x =
-+， ()213f x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
， (
)(132f x =
， (
)()2i n 133f x x π⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
， ()()()22111x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩
， ()()()1120112x f x x x ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎪⎩
，
(
)(
(1
12221x f x x -=-+， (
)(194
f x = ，
等等． （7）3 （8）2 （9）dhho ， maths （10）
13
