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直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点【答案】圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．若P地居民选择在A地购买此商品，则，整理得．即点P在圆的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）.【答案】【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以解得，.所以圆的方程为把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点【答案】直线CP过定点（0，―r）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．令C（x0，y0），则D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直线CP的方程为．即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D 交于E、F，求证：EF平分CD．证明：令圆O方程为x2+y2=1．①EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，将H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】【解析】如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，∴k AQ≤k QM≤k QB．又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即．∴的最大值为，最小值为．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．答案与解析【答案】【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为∴r2=2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为，∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2+1≥1，当且仅当a=b时取等号，此时．由，得或，∴r2=2．故所求的圆的方程为(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．【答案】3【解析】由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，设的坐标分别为，，由可得：===0解得：析【答案与解析】1．【答案】B【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．2．【答案】B【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）故选B．3．【答案】D【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值是．故选D．4．【答案】C【解析】结合圆的几何性质，得圆心C到直线的距离d满足1＜d＜3．所以．解得－17＜k＜－7或3＜k＜13．故选C．5．【答案】B【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为．6．【答案】B【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．7．【答案】B【解析】设点（x，y）与圆C1的圆心（―1，1）关于直线x―y―1=0对称，则，解得，从而可知圆C2的圆心为（2，―2），又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x―2)2+(y+2)2=1．8．【答案】B【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．9．【答案】(x+1)2+y2=2【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2．10．【答案】2x―y=0【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．11．【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．12．【答案】―1 x2+(y―1)2=1【解析】由题可知，又k1k PQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．13．【答案】x2+y2―6x+2y―6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x―6+(x2+y2―4y―6)=0（≠―1），即，∴圆心坐标为．又∵圆心在直线x―y―4=0上，∴，即，∴所求圆的方程为x2+y2―6x+2y―6=0．14．【答案】（1） h后观测站受到影响，影响时间是 (2) M城 h后受到影响, 影响时间是【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则．即，故．∴，故÷90≈，即约 h后观测站受到影响，影响时间是（h）.（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟（h）受到影响，故M城 h后受到影响，影响的时间是 h．15．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为，最小值为【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为．。
直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线 的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（ ）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。
高二数学直线与圆的知识点及公式直线和圆是高二数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将介绍直线和圆的基本概念、性质以及相关的公式。
一、直线的知识点直线是由无数个点连成的轨迹，没有起点和终点。
在直线上可以确定无数个点，其中有一些特殊的点和直线的性质需要我们了解。
1. 直线的斜率直线的斜率是直线的重要性质之一，它表示了直线上各个点的变化率。
直线的斜率可以用以下公式表示：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上两个不同的点的坐标。
2. 直线的截距直线的截距也是直线的一个重要性质，它表示了直线与坐标轴的交点位置。
设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线的截距可以用以下公式表示：x轴截距a = -y轴截距b = -c / b其中，c是直线的常数项。
3. 直线的方程直线可以由点斜式、一般式和截距式等不同的方程表示。
根据直线上已知的条件，我们可以选择适当的方程形式来表示直线。
下面是直线方程的一般形式：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，代表直线的斜率和截距。
二、圆的知识点圆是由平面内到一个固定点距离相等的所有点的轨迹，其中固定点称为圆心，距离称为半径。
圆的性质和相关公式如下：1. 圆的方程圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
2. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点处于圆上的一条线段。
圆的直径长度等于半径的2倍。
3. 圆的弦圆上任意两点之间所形成的线段称为圆的弦。
圆的直径是圆的一个特殊的弦，它同时也是最长的弦。
4. 圆的切线圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。
切线和圆的半径垂直。
5. 圆的弧长和扇形面积圆的弧长可以用下面的公式计算：弧长 = 弧度 ×半径而圆的扇形面积则可以用以下公式计算：扇形面积 = 弧度 ×半径² / 2三、综合运用直线和圆在几何学和代数学中的运用非常广泛。
直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a 的值为________．2．直线y ＝33x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________．4．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.5．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．7．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________．8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________． 9．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________． 10．假如圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 12．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．二、解答题14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．16.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l：x-2y=0的距离为5.求该圆的方程.517．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存有点P，满足PA＝30PO？若存有，指出有几个这样的点；若不存有，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . 求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解析 (1)当t ＝3时，PQ 中点为(0,3)，所以b ＝3，又椭圆焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，所以c ＝4，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)证明 因为Q 在直线AF 2：x 4＋y8＝1上，所以Q⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 2，t . 由P 与Q 关于y 轴对称，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4，t ，又由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．设△PRF 1的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4－t 2＋4－t D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－42＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －4，所以该圆的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2，78t －2满足7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫78t －2＋8＝8－8＝0，即圆心C 在直线7x ＋4y ＋8＝0上．§9.5 直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为22则a 的值为________．解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得12222a |-+|=,化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.2．直线y ＝33x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为y ＝3x ，由圆心到直线距离可知是相切关系． 答案 相切3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________． 解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，可得4＜r ＜6. 答案 (4,6) 答案2或04．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.解析 由题可知∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝－12.答案 －125．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213. 法二 设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2136．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．解析 利用数形结合的方法，曲线x ＝1－y 2表示在y 轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线，注意到b ＝－1时有两个交点及b ＝－2时直线与圆相切，所以实数b 的取值范围是－1<b≤1， b ＝－ 2.答案 －1<b≤1，b ＝－ 27．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________． 解析 设过A 点的⊙C 的切线是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 由|k ＋2k |k 2＋1＝1，得k ＝±24.当x ＝3时，y ＝5k ＝±542.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－542∪⎝ ⎛⎭⎪⎫542，＋∞8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切点为D ，∠OAB ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则连接OD 知OD ⊥AB ，从而得到AD ＝1tan α＝cos αsin α，BD ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin αcos α， 所以线段AB ＝cos αsin α＋sin αcos α＝1sin αcos α＝2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则线段AB 长度的最小值为2. 答案 29．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________． 解析 圆心为(－1,1)，它到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离d ＝|－3＋4＋14|5＝3.答案 310．假如圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意，圆C 上总存有两个点到原点的距离2，即圆C 与以O 为圆心，半径为2的圆总有两个交点，即两圆相交，所以有|32－2|＜|CO |＜32＋2，即22＜2|a |＜42， 解得－4＜a ＜－2或2＜a ＜4. 答案 (－4，－2)∪(2,4)11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析 由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 答案 212．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析 该直线l 的方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则由题意， 得d ＝4k 2＋1≤23，即k 2≥13，解得k ≤－33或k ≥33.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．解析 圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 22＝a 2＋b 24－4，且a 2＋b 24－4＞0，即a 2＋b 2＞16，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2到直线ax －by ＋8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－b ×b 2＋8a 2＋b 2＝|a 2＋b 2－16|2a 2＋b 2＜|a 2＋b 2－16|2a 2＋b 2－16＝2r 22×2r ＝r (r 是圆C 的半径，则直线与圆相交)． 答案 相交二、解答题14．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求实数m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析 (1)原圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，所以m ＜5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.因为OM ⊥ON ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，①由⎩⎨⎧x ＝4－2y ，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， 所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，代入①得m ＝85. (3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点． (1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解析 (1)因为⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ， 即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33， 故⊙N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0， 圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.16.已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.解析 设圆的方程为222()()x a y b r -+-=. 令x=0,得222220y by b a r -++-=.|12y y -|2221212()422y y y y r a =+-=-=,得2r =21a +, ①令y=0,得222220x ax a b r -++-=,|12x x -2221212()422x x x x r b r +-=-=,得222r b =. ② 由①②,得2221b a -=.又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为5得55d ==即21a b -=±.综上,可得 222121b a a b ⎧-=,⎨-=⎩ 或 222121b a a b ⎧-=,⎨-=-,⎩ 解得 11a b =-,⎧⎨=-⎩ 或 11a b =,⎧⎨=.⎩于是2222r b ==.所求圆的方程为22(1)(1)2x y +++=或2(1)x -+2(1)2y -=.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13，圆弧C 2过点A (29,0)．(1)求圆弧C 2的方程；(2)曲线C 上是否存有点P ，满足PA ＝30PO ？若存有，指出有几个这样的点；若不存有，请说明理由；(3)已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解析 (1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169. 令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)． 则线段AM 的中垂线的方程为y －6＝2(x －17)． 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)，又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2)假设存有这样的点P (x ，y )，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5，解得x ＝－70(舍)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29，解得x ＝0(舍)．综上知这样的点P 不存有．(3)因为EF ＞2r 2，EF ＞2r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上． 设点O 到直线l 的距离为d .因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516. 所以点O 到直线l 的距离为1 6154. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . 求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解析 (1)当t ＝3时，PQ 中点为(0,3)，所以b ＝3，又椭圆焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，所以c ＝4，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)证明 因为Q 在直线AF 2：x 4＋y 8＝1上，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫4－t 2，t .由P 与Q 关于y 轴对称，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4，t ，又由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．设△PRF 1的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4－t 2＋4－t D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－42＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －4，所以该圆的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫－t 2，78t －2满足7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫78t －2＋8＝8－8＝0， 即圆心C 在直线7x ＋4y ＋8＝0上．。
题目：1.给定方程y=mx+b形式的直线和方程（x-a）^2+（y-b）^2=r^2形式的圆，如何确定直线和圆相交的点？2.将一条切线绘制到圆心（3,4）和半径为5的圆上。
切点的坐标是多少？3.在坐标平面上绘制两个圆心分别为（1，2）和（7，8），半径分别为3和5的圆。
确定两个圆的公共内切线的直线方程。
4.在坐标平面中，直线由方程y=-3x+6给出。
圆心位于点（4,2），直线与圆相切。
确定圆的方程式。
5.中心（5,5）和半径为4的圆内接在正方形内。
确定直线的方程式，该直线是圆和正方形各边的公共内切线。
答案：1.要确定直线和圆相交的点，可以将直线的方程式代入圆的方程式中，并求解x和y。
最终得到x或y的二次方程式，可以使用二次方程式求解。
x和y的解将给出交点的坐标。
如果二次方程的判别式是负的，则不会有真正的解，因此不会有交集。
如果判别式为零，将有一个交点。
如果判别式为正，则会有两个交点。
2.为了找到圆的切线的切点，我们可以利用圆的半径垂直于切点处的切线这一事实。
因此，切线的斜率是半径斜率的负倒数。
圆心为（3，4），半径为5。
因此，切线上的一个点是（3+5，4）=（8，4）。
半径的斜率为-4/8=-0.5。
切线的斜率将为-1/-0.5=2。
所以切线的方程式是y=2x+b。
3.为了找到两个圆的公共内切线的方程，我们可以利用圆心和切点共线的事实。
因此，连接圆心的直线的斜率将等于公共内切线的斜率。
连接两个圆中心的直线方程式为（y-8）=m（x-7），斜率为-6/4=-3/2。
因此，公共内切线的方程式为y=-3/2x+b。
4.为了确定圆的方程式，我们使用从圆心到切点的半径垂直于切线的事实。
圆心为（4,2），切线的斜率为-3。
因此，半径的斜率为-1/-3=1/3。
因此，圆的方程式为（x-4）^2+（y-2）^2=r^2。
5.为了求圆和正方形的公共内切线的方程，我们使用从圆心到切点的半径垂直于切线的事实。
此外，作为圆和正方形的公共内切线的线平行于正方形的一条边。
教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.考点/易错点2 圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).考点/易错点3 计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．考点/易错点4 圆的切线方程P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r>0)上，则以P为切点的切线方程为x0x＋y0y＝r2三、例题精析【例题1】【题干】已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离．【题干】已知点P(0,5)及圆C x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．【例题3】【题干】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0与C2：x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，当m为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．【题干】已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．四、课堂运用【基础】1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2. 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心3．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于() A．2 5 B．2 3C. 3 D．14．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)5．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得弦长为________．6．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．【巩固】1．已知M，N分别是圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－4)2＝1上的两动点，则|MN|的最小值为()A．1 B．2C．3 D．42．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．3．m为何值时，直线l：2x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．【拔高】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，说明理由．课程小结1．圆的切线方程的求法(1)求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程 ①几何方法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．②代数方法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．注意：过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中，只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．2．几个结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.课后作业【基础】1．圆x2＋y2＋4y＝0在点P(3，－1)处的切线方程为()A.3x＋y－2＝0B.3x＋y－4＝0C.3x－y＋4＝0D.3x－y＋2＝02. 已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝03．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝54．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y≤2}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是()A．[0，3] B．[－3，0]C．[－3，3] D．[－3，＋∞)5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________，公共弦长为________．6．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．【巩固】1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为________．3．设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．【拔高】1．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．2．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．。
11．5直线与圆的综合应用【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．【典型例题】[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0， 2 －1）B．（ 2 －1， 2 ＋1）C．（－ 2 －1， 2 －1）D．（0， 2 ＋1（2）圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（）A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0（3）“a=b”是“直线22与圆相切”的（）=+-++=2()()2y x x a y bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．（5）过点（1， 2 ）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．[例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)．(1)求证：（a －2)(b －2)=2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52=0相切的直线的方程为 （ ）A ．y=－3x 或y=13 xB ．y=3x 或y=－13 xC ．y=－3x 或y=－13 xD ．y=3x 或y=13 x2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋y 2=5B ．x 2 ＋(y －2)2=5C ． (x －2)2＋(y －2)2=5D ．x 2 ＋(y ＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点轴对称D ．关于y=x 轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．OA6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OB ＝ .7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或113．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于 ． 5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于 ．6．光线经过点A （1，74 ），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋13．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A ．20B ．19C ．18D ．164．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切；B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为l BT：y＋1=0,l CK:x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（3a＋1)2外一点P（b3－b,c3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1（1）A．提示：用点到直线的距离公式．（2）C．提示：依据圆心和半径判断．（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．（5） 2 2．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．例2、设圆的方程为（x－a)2＋(y－b)2=r2, 点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r2－2=2,依据上述方程解得：｛b1=－3a1=6r12=52或｛b2=－7a2=14r22=244∴所求圆的方程为（x－6)2＋(y＋3)2=52，或（x－14)2＋(y＋7)2=224．例3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y),整理得（λ2－1）（x2＋y2)－4λx＋(1＋4λ2）=0当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12 (x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ． 【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2， 又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0． 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）．10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1=0y=0 得A （－1，0）∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y =+ 3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ===|sin(θ＋ϕ）|≤1．6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2 ,0)连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －12（b 3－b)]2＋[y－12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[12 (c 3－c)]2……① 将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2 这就是过两切点的切线方程．因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除． 同理，c 3－c 也能被3整除．于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的． 从而原命题得证．。
