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2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二）（答案在最后）命题人班级姓名本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，O A''=，所以O B''=，还原回原图形后，因为2=''=，2OA O A2=''=OB O B，AB==，所以6⨯+=．所以原图形的周长为2(26)16故选：C.2.下列说法不正确的是（）A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A 正确；直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B 正确；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C 正确；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D 错误.故选：D.3.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A 错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B 正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C 错误；空间四边形不能确定一个平面，D 错误.故选：B.4.已知点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则（）A.//l αB.l A α=IC.l ⊂αD. l A α⋂=或 l α⊂【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．【详解】点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则l 与平面α至少有一个公共点，所以l A α=I 或l ⊂α．故选：D ．5.若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b c ，则直线a 与c （）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a ⊥b ，b c ，∴a ⊥c .故选：B.6.给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l 与平面α垂直，由垂直的定义知，直线l 垂直于α平面内无数条直线；但是当直线l 垂直于α平面内无数条直线时，直线l 与平面α不一定垂直.所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的充分不必要条件，故选：A7.已知,αβ是平面，m 、n 是直线，则下列命题正确的是（）A .若//,m m n α^，则//n α B.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD.若//,//m n αα，则//m n 【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若//,m m n α^，则//n α或n ⊂α或n 与α相交，A 错误；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，B 正确；若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，C 错误；若//,//m n αα，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，D 错误.故选：B.8.如图，三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且11113AA A C C C ===，平面11AA C C ⊥平面ABC ，则棱1BB =（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，从而在直角梯形1MNBB 求解即可.【详解】如图，取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，因为113AA C C ==，所以MN AC ⊥，且6AC =,所以2MN ==,因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，,MN AC MN ⊥⊂面11AA C C ,所以MN ⊥平面ABC ，又因为BN ⊂平面ABC ，所以MN BN ⊥，又因为在三棱台111ABC A B C -中，1//MB NB ，所以四边形1MNBB 为直角梯形，因为12NP MB ===,NB ==,所以2PB =，所以在直角三角形1BPB 中，12BB ===,故选:A.9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =-- ，若它们夹角为θ，则cos ||θ==令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos (0,]6θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，cos (0,2θ∈；所以πcos 62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）10.如图，在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①D 1P∥平面A 1BC 1；②D 1P⊥BD；③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；④三棱锥A 1﹣BPC 1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①∵在正方体中，D 1A ∥BC 1，D 1C ∥BA 1，且D 1A∩DC 1=D 1，∴平面D 1AC∥平面A 1BC 1；∵P 在面对角线AC 上运动，∴D 1P∥平面A 1BC 1；∴①正确．②当P 位于AC 的中点时，D 1P⊥BD 不成立，∴②错误；③∵A 1C 1⊥平面BDD 1B 1；∴A 1C 1⊥B 1D，同理A 1B ⊥B 1D ，∴B 1D⊥平面A 1BC 1，∴平面BDD 1B⊥面ACD 1，∴平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；∴③正确．④三棱锥A 1-BPC 1的体积等于B-A 1PC 1的体积，△A 1PC 1的面积为定值12A 1C 1•AA 1，B 到平面A 1PC 1的高为BP 为定值，∴三棱锥A 1-BPC 1的体积不变，∴④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为36π；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60︒；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________．【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．【详解】解：设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，圆锥的侧面积为π3πrl l =，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则2π9πl l =，所以圆锥的母线长为9l =，故①正确；圆锥的表面积23π9π336π⨯+⨯=，故②正确；圆锥的底面圆周长为2π36π⨯=，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为rad α，则6π9α=，解得2π3α=，即120α=︒，故③错误；圆锥的高h ===，所以圆锥的体积为2211ππ333V r h ==⨯⨯=，故④错误．故答案为：①②．三、解答题12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点.（1）证明：//PQ 平面AB C ；（2）证明：平面1A BQ ⊥平面11AA B B .请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】（1）证明：取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，因为P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点，所以1PD AA ∥且112PD AA =，又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以1CQ AA ∥，112CQ AA =，所以PD CQ ∥且PD CQ =，所以PDCQ 为平行四边形，所以PQ CD ∥，又因为PQ ⊂/平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以//PQ 平面ABC （①定理）.（2）证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，1AA AB A = ，1AA ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （②定理）.又CD PQ ∥，所以PQ ⊥平面11ABB A ，又PQ ⊂平面1A BQ ，AA B B（③定理）.所以平面1A BQ 平面11【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果.【小问1详解】①线面平行的判定定理【小问2详解】②线面垂直的判定定理③面面垂直的判定定理。
2016-2017学年度第二学期期中练习高一数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.1.数列中，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明数列是等差数列，再求.【详解】∵数列中，，, ∴数列是首项为，公差为的等差数列．∴，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.2.设，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.3.在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用余弦定理求.【详解】由余弦定理可得．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 余弦定理由三种形式：,,.4.4.已知锐角的面积为，，，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求得C的大小.【详解】．解得，又因为为锐角三角形，，所以，故答案为：【点睛】（1）本题主要考查三角形的面积公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 三角形的面积公式：①（分别表示的高）；②.5.5.在等比数列中，，则公比q的值为A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】略视频6.6.如果等差数列中，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等差中项的性质先求，。
详解：，故选C点睛：等差数列的性质：若，则。
7.7.在中，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先化简得，，即得三角形的形状.【详解】因为，所以，由于，所以，，所以为直角三角形，故答案为：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.8.8.已知数列，，，具有性质对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则．其中真命题有（）A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】【分析】利用定义对每一个选项逐一判断真假.【详解】①数列、、中，，，都不是该数列中的数，故：①不正确．②数列、、、，和两数中都是该数列中的项，并且是该数列中的项，所以数列、、、具有性质，故②正确．③若数列具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，∵，，而不是该数列中的项，∴是该数列中的项，∴，故③正确．④∵数列、、具有性质，，∴与至少有一个是该数列中的项，①若是该数列中的一项，则，∴，易知不是该数列的项，∴，∴．②若是该数列中的一项，则或或，（）若，同①．（）若，则，与矛盾．（）若，则．综上，，故④正确．综上，其中真命题有②③④．故答案为：【点睛】本题主要考查新定义，考查学生理解掌握新定义并利用新定义解题的能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9.9.不等式的解是__________．【答案】或【解析】【分析】先转化为整式不等式，再解不等式得解.【详解】不等式等价于，解得或，故不等式的解集为：或．故答案为：或【点睛】(1)本题主要考查分式不等式的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 分式不等式的解法:把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.解分式不等式一定要考虑定义域.10.10.等比数列中，，那么的值是__________．【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质化简，再代入即得解.【详解】∵是等比差数列，且，∴．故答案为：-32【点睛】（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.11.11.若，则的最小值是__________．【答案】【解析】∵，∴。
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期末练习数学试题一、单选题1．复数()i 3i ⋅+的虚部是（）A ．1B ．3C ．-1D ．-3【答案】B【分析】利用复数的乘法运算可得答案.【详解】复数()i 3i 3i 1⋅+=-的虚部是3.故选：B.2．已知向量()1,1a =- ，则下列向量中与a平行的单位向量是（）A ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．22,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,1-D ．()1,1【答案】A【分析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案.【详解】设与a 平行的单位向量为(),b m m =- ，则()2221,2m m m -+==±.则与a平行的单位向量为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A 3．若5tan ,cos 012αα=->，则sin α=（）A ．1213B ．513C ．1213-D ．513-【答案】D【分析】先判断sin 0α<，再根据商的关系结合平方关系求解即可.【详解】5tan 0,cos 0,sin 0,12ααα=-<>∴< 由225sin 5sin 25tan 12cos 121sin 144ααααα=-⇒=-⇒=-，解得2255sin sin 16913αα=⇒=-，故选：D.4．已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α的值为（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【分析】利用两角和的正切公式即可.【详解】tan tan2144tan tan 3441211tan tan 44a a a ππππαππ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎝⎭=-+===- ⎪⎢⎥-⨯⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭故选：C5．下列函数中，周期是，又是偶函数的是A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sin2xD ．y=cos2x【答案】D【详解】A,B 两项的周期均为，所以排除，C 项为奇函数，D 为偶函数且周期是，所以选D6．已知向量()1,3a = ，向量b 为单位向量，且1a b ⋅=，则2b a -= （）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】C【分析】首先求出a，再根据()222b a b a-=- 及数量积的运算律计算可得.【详解】因为()1,3a = ，所以()22132a =+= ，又向量b 为单位向量，即1= b ，所以()2222244b a b ab b a a-=-=-⋅+2244b b a a =-⋅+ 22414122=⨯-⨯+=.故选：C7．函数()sin sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由诱导公式、辅助角公式化简解析式，然后结合三角函数的性质确定函数的最大值即可.【详解】()sin sin sin cos 2sin 24f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，函数取得最大值2.故选：B8．在ABC 中，“sin sin A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件结合正弦定理分析判断即可.【详解】当A B =时，a b =，则由正弦定理得sin sin A B =，当sin sin A B =时，由正弦定理得a b =，所以A B =，所以“sin sin A B =”是“A B =”的充要条件，故选：C9．已知||1,||2,4AB AC AD AC ==⋅=，则BD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】A【分析】由4AD AC ⋅=得出DC AC ⊥，进而结合图形得出BD 的最小值.【详解】因为()244AD AC AC CD AC AC CD AC CD AC ⋅=+⋅=+⋅=+⋅=，所以0CD AC ⋅=，DC AC ⊥，点B 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，如下图所示：由图可知，当点D 与点C 不重合时，1211BD AD ≥->-=.当点D 与点C 重合时，11BD AC =-=.综上，BD的最小值为1.故选：A10．海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李风岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在坚直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y （米）与时间t （秒）的关系近似满足()[]sin ,0,8y t t ωϕ=+∈，其中常数0,ωϕπ><．经测定，在2t =秒时该质点第一次到达波峰，在8t =秒时该质点第三次到达波峰．在[]0,8t ∈时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（）A ．32秒B ．2秒C ．52秒D ．3秒【答案】C【分析】由正弦函数的性质得出解析式，再由2π5π1sin 362t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得出总时长.【详解】解：因为2t =秒时该质点第一次到达波峰，在8t =秒时该质点第三次到达波峰．所以282,3T T =-=，即2π2π3T ω==，当2t =时，4πsin 13y ϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，4ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即()5π2πZ 6k k ϕ=-+∈，因为ϕπ<，所以56π=-ϕ.则25sin 36y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2π5π1sin 362t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得出252366t k ππππ-=+或2π5π5π2π366t k -=+，Z k ∈.即332t k =+，或532t k =+，Z k ∈因为[0,8]t ∈，所以3591115,,,,22222t =.因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为531191558222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题11．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2，则iz=．【答案】2i-【分析】先求出12z i =+，再根据复数的除法运算求解即可.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是()1,2，所以12z i =+，则()()()12i i 12i 2i i i i i z +-+===-⨯-，故答案为：2i-12．已知()()0,1,3,2A B -，且2AC CB = ，则AC的坐标为．【答案】()2,2-【分析】设出C 点坐标，由2AC CB = 列方程组可求出C 点坐标，进而可求AC的坐标.【详解】设(,)C x y ，因为()()0,1,3,2A B -，所以(,1)AC x y =- ，(3,2)CB x y =---，又因为2AC CB = ，所以2(3)12(2)x x y y =-⎧⎨-=--⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，所以(,1)(2,2)AC x y =-=- .故答案为：()2,2-13．在平面直角坐标系xOy 中，点()ππ2cos ,2sin ,cos ,sin33A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则OAB 的面积为．【答案】32/132【分析】由题意，得π3AOB ∠=，计算OA ，OB ，再利用三角形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意，可得π3AOB ∠=，224cos 4sin 2OA αα=+= ，22cos ()sin ()133OB ππαα=+++= ，所以113sin 21sin 2232AOB S OA OB AOB π=∠=⨯⨯⨯=△uur uuu r .故答案为：32.14．在ABC 中，8,30c B ∠== ，请给出一个b 的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b 的一个值是．【答案】()4,8b ∈均可，如5b =【分析】根据余弦定理转化为关于a 的方程有两解可得b 的取值范围，从b 的范围中取值即可.【详解】由余弦定理可得22222cos 6483b ac ac B a a =+-=+-，即2283640a a b -+-=有两解，所以()224316a b -=-有两解，所以24316a b =±-，所以24316b >-，解得8b <，又由21604b b ->⇒>，所以实数b 的范围是48b <<.故答案为：()4,8b ∈均可，如5b =15．已知函数()2sinπxf x x x=-，给出下列四个结论：①()f x 存在无数个零点；②()f x 在()1,+∞上有最大值；③若()2023.7f a =，则()2022.7f a -=；④区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为．【答案】①②③【分析】解方程()0f x =，可判断①；分析出函数()f x 在()1,+∞的最大值点在区间[]2,3内，再利用最值定理可判断②；推导出()()1f x f x -=，可判断③；利用特殊值法可判断④.【详解】对于①，由20x x -≠可得0x ≠且1x ≠，即函数()f x 的定义域为()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+，令()0f x =可得sin π0x =，则()ππx k k =∈Z ，且()()(),00,11,x ∈-∞+∞ ，故(),0,1x k k k k =∈≠≠Z ，所以，函数()f x 有无数个零点，①对；对于②，当1x >时，()210x x x x -=->，令sin π0x ≥，可得()()2ππ21πk x k k *≤≤+∈N ，解得()221k x k k *≤≤+∈N ，假设函数()f x 在()1,+∞上的最大值点为0x ，则[]()02,21x k k k *∈+∈N ，因为函数2y x x =-在()1,+∞上单调递增，且20y x x =->，对任意的[]()2,21x k k k *∈+∈N ，且t *∈N ，则()()22220x t x t x x +-+>->，所以，()()2211022x xx t x t >>-+-+，则()()()()()()()222sin π2πsin πsin π22222x t xx f x t f x x x x t x t x t x t ++==≤=-+-++-+，所以，若()f x 在()1,+∞上存在最大值点0x ，则[]02,3x ∈，因为函数()f x 在[]2,3上是一条连续不断的曲线，所以，函数()f x 在[]2,3上存在最大值，故函数()f x 在()1,+∞上存在最大值，②对；对于③，对任意的()()(),00,11,x ∈-∞+∞ ，()()()()()22sin ππsin π111x xf x f x x xx x --===----，因为2023.72022.71-=，所以，若()2023.7f a =，则()2022.7f a -=，③对；对于④，22πsin23993332242233f ⎛⎫⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，23sin π321682442333344f ⎛⎫⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2293822431282187204804316948⎛⎫⎛⎫--=-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即938243>，故2334f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不可能单调递减，④错.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：本题第②小问中函数的单调性不好判断，可分析出函数()f x 的最值点所在的区间，并分析出函数()f x 的图象是连续的，再结合最值定理来进行判断.三、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,0,3,2,2,5A B C ，点P 满足AP AB AC λμ=+．(1)当1,1λμ==-时，求点P 的坐标；(2)若⊥AP BC ，求λμ的值．【答案】(1)()2,3-(2)72λμ=-【分析】（1）由坐标运算得出点P 的坐标；（2）由向量垂直的坐标表示得出λμ的值．【详解】（1）因为点()()()1,0,3,2,2,5A B C ，所以()()2,2,1,5AB AC ==．又因为点P 满足AP AB AC λμ=+，所以()2,25AP λμλμ=++ ．当1,1λμ==-时，()1,3AP =- ，所以OP OA AP =+，所以点P 的坐标为()2,3-．（2）由点()()3,2,2,5B C ，可得()1,3BC =-，因为()2,25AP λμλμ=++，且⊥AP BC ，所以()()23254140AP BC λμλμλμ⋅=-+++=+=，所以72λμ=-．17．如图所示，已知ABC 中，D 为AC 上一点，π,4,10,4A AB BD AD AB ∠===>．(1)求sin ADB ∠；(2)若sin 2sin BDC C ∠∠=，求DC 的长．【答案】(1)255(2)32【分析】（1）在ABD △中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得cos ADB ∠．法1：由正弦定理、sin 2sin BDC C ∠∠=可得BC ，再由余弦定理可得DC ．法2：求出sin ∠C 及cos C ∠，再由两角差的正弦展开式求出sin DBC ∠，在BDC 中由正弦定理可得答案．【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠∠，所以sin sin ABADB A BD∠∠=，又因为π,4,104A AB BD ∠===，所以4225sin 2510ADB ∠=⨯=；（2）因为AD AB >，所以ABD ADB ∠∠>，所以90ADB ∠<o ，由（1）结论，计算可得25cos 1sin 5∠∠=-=ADB ADB ，法1：由正弦定理可知sin sin BC BDBDC C∠∠=，又sin 2sin BDC C ∠∠=，所以2210BC BD ==，由余弦定理可得2222cos BC BD DC BD DC BDC ∠=+-⋅，化简整理得222300DC DC +-=，解得32DC =．法2：因为25sin sin 5BDC ADB ∠∠==且sin 2sin BDC C ∠∠=，所以sin 5sin 25BDC C ∠∠==，由题意可得C ADB ∠<∠，所以25cos 5C ∠=，所以()sin sin DBC ADB C ∠∠∠=-sin cos cos sin ADB C ADB C∠∠∠∠=⋅-⋅252555355555=⨯-⨯=，在BDC 中，由正弦定理可得sin sin DC BDDBC C∠∠=，所以3sin 51032sin 55DBCDC BD C ∠∠==⨯=．18．已知函数()sin cos sin sin 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的单调递增区间；(3)将函数()f x 图象上的所有点向右平移(0)m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象，使得直线x π=是函数()g x 图象的一条对称轴，求m 的最小值．【答案】(1)12(2),,36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z(3)3π【分析】（1）由特殊值三角函数计算即可；（2）由正弦函数的单调性求解即可；（3）根据正弦函数的性质得出562k m ππ=-，()k ∈Z ，进而得出m 的最小值．【详解】（1）πππ1sin cos sin0sin 32332f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭（2）因为πππ632x x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin cos 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin cos sin sin 63f x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin cos cos sin 66x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为sin y x =的单调增区间为ππ2π,2π,22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以222,262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，即,36k x k k ππππ-≤≤+∈Z所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（3）由题意得()()sin 226g x f x m x m π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，因为x π=是函数()g x 图象的一条对称轴，所以()ππ2π2π62m k k -+=+∈Z ，所以5ππ62k m =-，()k ∈Z 又因为0m >，所以m 的最小值为π3．19．设0T >，对定义在R 上的函数()f x ，若存在常数S ，使得()()f x T f x S +=+对任意x ∈R 恒成立，则称函数()f x 满足性质()P T ．(1)判断下列函数是否具有性质()2P①()1sinπf x x =，②()22f x x =，③()321f x x =+．(2)若函数()f x 具有性质()()12,P T P T ，其中210T T >>，求证：函数()f x 具有性质()21P T T -；(3)设函数()()()F x f x g x =+具有性质()P T ，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数．若12T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求20232T f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)①()1sinπf x x =具有性质()2P ；②()22f x x =不具有性质()2P ；③()321f x x =+具有性质()2P (2)证明见解析(3)2023【分析】（1）利用性质()P T 的定义判断；（2）利用性质()P T 的定义证明；（3）根据函数()()()F x f x g x =+具有性质()P T ，得到()()F x T F x S +=+，从而有()()()()f x T g x T f x g x S +++=++，分别令x a =，x T a +=-，再结合()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，得到()()f a T f a S +=+，然后令2T a =-，得到22T S f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而得到2S =，然后利用2023101110102222T T T f f T f T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解.【详解】（1）①因为()()()112sin π2sinπf x x x f x⎡⎤+=+==⎣⎦，所以()1f x 具有性质()2P ；②因为()()()22222424f x x x f x s x =++≠+=++，所以()2f x 不具有性质()2P ；③()()()3322214f x x f x +=++=+，所以具有性质()2P ．（2）因为函数()f x 具有性质()2P T ，则存在常数2S ，使得()()22f x T f x S +=+对任意x ∈R 恒成立．因为函数()f x 具有性质()1P T ，则存在常数1S ，使得()()11f x T f x S +=+，对任意x ∈R 恒成立，故()()1111f x T T f x T S -+=-+，即()()11f x T f x S -=-也对任意x ∈R 恒成立，因此()()()212121f x T T f x T S f x S S +-=+-=+-对任意x ∈R 恒成立．又因为210T T >>所以函数()f x 具有性质()21P T T -．（3）由已知存在S 满足()()F x T F x S +=+，即()()()()f x T g x T f x g x S +++=++，令x a =，则()()()()f a T g a T f a g a S +++=++①，令x T a +=-，则()()()()f a g a f a T g a T S -+-=--+--+②，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()()()()()()(),,,f a f a g a g a f a T f a T g a T g a T -=--=--=-+--=+，①+②，整理得()()f a T f a S +=+，令2T a =-，则22T T f f S ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22T S f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为12T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2S =，所以2023101110102101122023.2222T T T T f f T f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++==⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
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2016-2017学年度第二学期期中练习高一数学一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.1。
数列中，,，那么的值是( ）A. B. C。
D。
【答案】A【解析】【分析】先证明数列是等差数列，再求.【详解】∵数列中，，，∴数列是首项为，公差为的等差数列．∴，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2。
2.设,，,且，则( ）A. B。
C. D。
【答案】D【解析】当时，选项A错误;当时，选项B错误;当时，选项C错误；∵函数在上单调递增,∴当时，．本题选择D选项。
点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3。
3。
在中，角,，的对边分别是,，，，，，那么的值是（）A. B. C. D。
【答案】B【解析】【分析】直接利用余弦定理求.【详解】由余弦定理可得．故答案为:B【点睛】（1）本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力。
（2）余弦定理由三种形式:，,.4。
4.已知锐角的面积为，，,则角的大小为（）A. B。
2024北京海淀高一（下）期末数 学2024.07学校_____________ 班级______________ 姓名______________一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（A ）2− （B ）2 （C ）i −（D ）i（2）已知向量1(0,1),)2==a b ，则cos ,〈〉=a b （A ）0 （B ）12（C（D（3）函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则其解析式为（A）π())4f x x =+（B）1π()sin()24f x x =+（C ）π())3f x x +（D ）π())4f x x =+（4）若3sin 5α=，且π(,π)2α∈，则πtan()4α−=（A ）34−（B ）17（C ）34（D ）7（5）在ABC ∆中，点D 满足BD BC λ=. 若3144AD AB AC =+, 则λ= （A ）13（B ）14（C ）3（D ）4（6）已知函数1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（A ）0x = （B ）π6x = （C ）π4x =（D ）π2x =（7）在平面直角坐标系xOy 中，点(A −，点(cos ,sin )P θθ，其中π[0,]2θ∈ . 若5OA OP +=, 则θ=（A ）π6（B ）π4 （C ）π3（D ）π2（8）在ABC ∆中，已知π2,3a A ==，则下列说法正确的是（A ）当1b =时，ABC ∆是锐角三角形 （B ）当b =时，ABC ∆是直角三角形 （C ）当73b =时，ABC ∆是钝角三角形 （D ）当53b =时，ABC ∆是等腰三角形 （9）已知,a b 是非零向量， 则“⊥a b ”是“对于任意的λ∈R ，都有λλ+=−a b a b 成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b . 点(,)M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中(1)(01)x a b λλλ=+−≤≤，点N 满足向量(1)ON OA OB λλ=+−, 点O 为坐标原点. 若不等式||MN k 恒成立，则称函数()y f x =在[,]a b 上为k 函数. 已知函数2()2f x x x =−+在[0,1]上为k 函数，则实数k 的取值范围是（A ）(0,)+∞ （B ）1[,)4+∞（C ）1(,)2+∞（D ）[1,)+∞二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2016-2017学年度第二学期期中练习高一数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.1.数列中，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明数列是等差数列，再求.【详解】∵数列中，，, ∴数列是首项为，公差为的等差数列．∴，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.2.设，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.3.在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用余弦定理求.【详解】由余弦定理可得．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 余弦定理由三种形式：,,.4.4.已知锐角的面积为，，，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求得C的大小.【详解】．解得，又因为为锐角三角形，，所以，故答案为：【点睛】（1）本题主要考查三角形的面积公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 三角形的面积公式：①（分别表示的高）；②.5.5.在等比数列中，，则公比q的值为A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】略视频。
2016-2017学年度第二学期期中练习高一数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.1.数列中，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明数列是等差数列，再求.【详解】∵数列中，，, ∴数列是首项为，公差为的等差数列．∴，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.2.设，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.3.在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用余弦定理求.【详解】由余弦定理可得．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 余弦定理由三种形式：,,.4.4.已知锐角的面积为，，，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求得C的大小.【详解】．解得，又因为为锐角三角形，，所以，故答案为：【点睛】（1）本题主要考查三角形的面积公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 三角形的面积公式：①（、、分别表示、、的高）；②.5.5.在等比数列中，，则公比q的值为A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】略视频6.6.如果等差数列中，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等差中项的性质先求，。
详解：，故选C点睛：等差数列的性质：若，则。
7.7.在中，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先化简得，，即得三角形的形状.【详解】因为，所以，由于，所以，，所以为直角三角形，故答案为：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力. 8.8.已知数列，，，具有性质对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则．其中真命题有（）A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】【分析】利用定义对每一个选项逐一判断真假.【详解】①数列、、中，，，都不是该数列中的数，故：①不正确．②数列、、、，和两数中都是该数列中的项，并且是该数列中的项，所以数列、、、具有性质，故②正确．③若数列具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，∵，，而不是该数列中的项，∴是该数列中的项，∴，故③正确．④∵数列、、具有性质，，∴与至少有一个是该数列中的项，①若是该数列中的一项，则，∴，易知不是该数列的项，∴，∴．②若是该数列中的一项，则或或，（）若，同①．（）若，则，与矛盾．（）若，则．综上，，故④正确．综上，其中真命题有②③④．故答案为：【点睛】本题主要考查新定义，考查学生理解掌握新定义并利用新定义解题的能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9.9.不等式的解是__________．【答案】或【解析】【分析】先转化为整式不等式，再解不等式得解.【详解】不等式等价于，解得或，故不等式的解集为：或．故答案为：或【点睛】(1)本题主要考查分式不等式的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 分式不等式的解法:把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.解分式不等式一定要考虑定义域. 10.10.等比数列中，，那么的值是__________．【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质化简，再代入即得解.【详解】∵是等比差数列，且，∴．故答案为：-32【点睛】（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是、的等比中项.11.11.若，则的最小值是__________．【答案】【解析】∵，∴。
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-=A． BC ．12-D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为12的等比数列 5.在△ABC 中，∠BA. 45° 6.1135(2n -+++++-A.21n -B. 7. 已知△ABC A ．310C ．358.已知钝角．．三角形ABC 差数列的公差d A.02d << B. 1sin10-= A ．2 B ．10.已知数列{}n a A.C.二、填空题：本大题共11.若等差数列{}n a 的通项公式12n a n =-，则其公差d =_______.12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________.13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=_________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为步骤2：计算线段计算步骤：步骤3：计算线段计算步骤：步骤4：计算线段计算步骤：海淀区高一年级第二学期期中练习答案数 学学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.11.2-31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题共9分） 解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分（Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=------------------------------------------------------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分 法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分 18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x =++-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x ∈，所以ππ3π2[,]444x +∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x 在区间π[0,]4上的值域为[,12]+.------------------------------------------------12分19. （本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124a S =-，即1124a a =-，-------------------1分 解得14a =-.----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124,1,n n a S n n --=->∈N ，--------------------------3分 所以1122,1,n n n n a a S S n n ---=->∈N ，即122,1,n n n a a a n n --=>∈N ，----------------4分 整理得12,1,n n a a n n -=>∈N ， --------------------------------------5分因为140a =-≠， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列.----------------------------------------------------------6分 （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a 是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n n n a -+=-⨯=-， ----------------------------------------------------------------7分所以212222n n n b a n n +=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b 的前n 项和n T 是一个等比数列与等差数列的前n 项和的和-----------------9分 由等比数列和等差数列的前n 项和公式可得8(14)(22)142n n n nT --+=+- ----------------------------------------------------------11分28(41)3n n n =+-⨯-.20. （本小题共10分）解1： 步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC -------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PC 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sin BC PCBPC PBC =∠∠， --------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PC ββγ=-； ---------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC=∠∠， ---------------------------------------8分 A C γαβ整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB=∠∠， ---------------------------------5分 整理可得s ins i n(BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分 步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。
