江苏省百校联考2020届高三第四次试卷数学试题含附加题含答案

Read x If x≤5 Then y←10x Else y←+5End If扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则A Z =I ▲ ． 2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ． 4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π===，则边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20， 则输入的x 值是 ▲ ．6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos2α= ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．10．已知等边ABC ∆中，若1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ AP t AB =+u u ur u u u r u u u r ，且AP AQ ⊥u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ▲ ．11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．（第5题图）12．设函数2log ()(0)()2(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =n *∈Ν）．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线2sin ([,])33y x x x ππ=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+r ，(1,cos())2b x ωϕ=+r (0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r ．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 16．（本小题满分14分）在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ． （1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAD I 平面PBC l =，求证：//l BC ．PSDCBA（第16题图）17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元（精确到0.1元） 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆的离心率为32．设点M 是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13AM AB =u u u u r u u u r．（1）求证：线段AB 的长是一定值；（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．yQPNMB A Ox （第18题图）19．（本小题满分16分）数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =． （1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()f x =1ln ,a x a x+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切并说明理由．扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B ）．（本小题满分10分）已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，求该矩阵的另一个特征值．21（C ）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，圆C 的方程为4cos ρθ=．若直线l 被圆C 截得的弦长为11，求实数a 的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下： 甲班 10 12 15 18 24 36 乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分） 已知*0()()nkk n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L ．高三第四次模拟测试 数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案一、填空题1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠” 4．7 5．2或6 6．23 7．1 8．35- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．12017 14．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+r r r r r r………………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ……………………10分 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ……………………14分16．证：（1）Q A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD =3,AB SA ==Q 5CD SD ==222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分PA BC ⊥Q ，PA SB A =I ，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSBBC ⊂Q 平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分（2）//AD BC Q ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD//BC ∴平面PAD ……………………10分BC ⊂Q 平面PBC ，平面PAD I 平面PBC l =//l BC ∴ ……………………14分17．解：（1）设日销量为x k e ，则401000ke=401000k e ∴=．则日售量为401000x e e ∴日利润401000(30)xe y x m e =--⋅．即 401000(30)xe x m y e --=，其中3540x ≤≤． ………………3分 令'0y =得31x m =+．① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上单调递减． ∴当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分 ∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xe x m e --≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分则4030xe m x e≤--对[35,40]x ∀∈恒成立设40()30x e h x x e =--，[35,40]x ∈ 404040'()1x xe e e h x e e -∴=-= 则()h x 在[35,40]上单调增，则min 51()(35)5h x h e ==-，即515m e≤- 5.0≈ ∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分18．解：（1）由题意得：24a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b ∴= ∴椭圆方程为：2214x y += ……………………3分设00(,)M x y ，则220014x y +=13AM AB =u u u u r u u u r Q 且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003(,0),(0,3)2A xB y ∴222220000999()944x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分（2）方法（一）设11(,)P x y //AB PQ Q 02PQ AB y k k x ∴==-，220044x y += 则直线PQ 的方程为：02y y x x =-…………………9分∵0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的距离：0000002200|3|24x y d y x ==+ ………12分 22220000002222220000003||(44)12212122216441616四边形MPQMPNQ x y x y y y S S PQ d x y y y x y ∆-∴==⨯⋅=⋅==+-++4200201231y y y -+=+，令231,1t y t =+≥，则242002011()14133(5)3199t t y y t y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018,33y x ==2MN k ∴=±………16分 方法（二）设直线MN 的斜率为k ，则003232PQ AB y k k k x -===-，则直线MN 方程为y kx =， 直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分解方程组22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 214M x k =±+，用2k -代k 得，2116P x k =±+，由椭圆的对称性知222002221||M MN OM x y k x ==+=+， 点P 到直线MN 的距离222|||(2)|3||111kx y kx kx kx d kkk---===+++， ………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1226||||2PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅⋅=⋅＝ 2222222224,114116(14)(116)1642026420k kk k k k kk k==≤=+⋅+++++⨯+当且仅当22164k k=，即2k =±时取等号， 所以，四边形MPNQ 的面积的最大值为4，此时直线MN 的斜率24k =±． ………16分 19．解：（1）34327k a b ===，即2127k -=，14k =，14196A =． ………3分（2）依题意，224k A k =，且121m q k -=-，显然1q >． 又222211[(21)1]11m mq B k q q q -==----， 所以222221[(21)1]41m k B A k q k q -=---- 22221[(21)4(41)]1k q k q k q =--+--， ………6分 设2222()(21)4(41)f x k x k x k =--+-，2(1)(21)10f k =--> 它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程22412(21)k x k =<-，故()f x 是(1,)+∞上的增函数，所以当1x >时()(1)0f x f >>，即220m k B A ->，所以22k m A B <． ………9分 （3）依题意：112m k m a b a -==⋅， 由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k --+⋅⨯=⨯-， 4862128622486486m k k k⨯+⨯==-⨯-⨯-， ………12分所以151634421m k --=+，因为92512=，故19m -≤，且51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数 则其中121129m -+=时，151621m -+是整数，故17m -=，8m =且340k =． ………16分 20．解：（1）2211'()a ax f x x x x-=-+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间(0,)+∞，0a >时，令10ax -<则1x a <，即10x a<<时，'()0f x <，则()f x 的单调递减区间1(0,)a ． ………3分 （2）①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1()(2)ln 202f x f a ∴==+=，解得：112ln 22a =-≤，适合题意；②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解；③112a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a 上单调递增，min 11()()ln 0f x f a a a a∴==+=，解得：a e =，舍去；综上可得：12ln 2a =-． ………8分 （3）0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：002ln 20a x a x +--= 设2()ln 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分2222'()a ax F x x x x -=-+=①当0a =时，2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分③ 当0a <时，22'()0ax F x x -=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02ln a x a+>，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a+=+--=+-> 由于21a a+>， 即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分111(1)1121()2(1)22(23)a a a aaa F eea a a e a a a-++++++=-++--=-++先证明当0a >时，112(2)a aea ++≥+，即证112ln(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 若[2,)a ∈+∞，构建函数1()12ln(2)x x x xϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--==>+++ ()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1()(2)32ln 402a ϕϕ≥=+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以11222222(2)23(25)23a aea a a a a a a ++≥+=+++++>++，故1(1)()0a aF e-++>又1(1)(1)0,1a aF e -++<<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点．∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21（B ）．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则2313a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分 由212()(1)4021f λλλλ--==--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分 21（C ）．解：直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分圆的直角坐标系方程是：2224x y -+=（），圆心（2，0），半径2r =……………………4分设圆心到直线的距离为d ，221142d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以52d = ……………………………7分 又4225255a a d ---===所以9122a =-或 ………………………………10分 22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +===11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++===211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C === ……………8分()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2 …………………………10分 23．解：（1）00110()(1)nk k n nn n n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑L …………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L设12()(1)2(1)(1)m m m nh x x x n x +++=++++++L ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ② 11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m m m m m nm n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L………………10分。

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为 ． 第4题7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．第11题 第12题 第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ． 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r ，则AF CD ⋅u u u r u u u r的值为 ．13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．（1）求证：PB ⊥BC ；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r．（1）求角C 的值；（2）求n p ⋅r u r的最大值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，2π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数4()(1)e xf x x=-，()1ag x x=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝ 1 4a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a ，b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C 1：sin()4πρθ+=曲线C 2：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线C 1，C 2交点的直角坐标．C ．选修4—5：不等式选讲已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．求证：21212222(n na a a d d d +++≥L ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？备用图参考答案。

江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3}，B ＝{}2230x x x −−=，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为﹣7，则输入的x 的值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y −=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ．6．已知区域A ＝{}()2, 2x y x y ≤≤，和B ＝{}()0, 0, 2x y x y x y >>+≤，．若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ． 7．若实数x ，y 满足x ＋3y ＝4，则28xy+的最小值为 ． 8．已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=−，且119a =，则6a 的值为 ．9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数， 且(2)2(8)1f f −=+，则(2020)f的值为 ．10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)之间存在如下关系：V ＋F ﹣E ＝2．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则12S S 的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l：0x +=与圆C ：224x y += 的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ．12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB ＝2，AD ＝1，则DC ⋅ AB 的取值范围 是 ．13．已知函数230()20x x f x x x x <⎧=⎨−≥⎩，，，则函数(()24)y f f x x =−+的不同零点的个数为．14．已知点G 是△ABC 的重心，且GA ⊥GC ，若111tan A tan C+=，则tanB 的值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P—ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝10，BC ＝6，AC ＝PC ＝8，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x ππ=+++，x ∈R ．（1）求()f x 的最小值；（2）在△ABC 中，0＜A ＜3π，且1(A)2f =−，若AC ＝2，BC B 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB ＝100m ，AD ＝75m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为400m 2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若MN ＝100m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22195x y +=与C 2：222136x y b +=(0＜b ＜6)的离心率相等．椭圆C 1的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 1交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆C 2交于点C ，椭圆C 2的右顶点为D ．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）若△ABO AB 的方程； （3）若AF ＝2BF ，求证：四边形AOCD 是平行四边形．已知函数()(1ln )f x x x m =++(m ∈R)． （1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n nS b a =(n N *∈)，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 4a ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，求实数m的值．C ．选修4—5：不等式选讲若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝7，求证：2224936a b c ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M—AC—N 的大小为4π，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++（2k ≥，N k *∈）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8，求k 的值；（2）设222n n k +−=（N n *∈），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这k ＋1个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n N *∈．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)n P n >−！．江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题参考答案1．{﹣1，3} 2．2 3．75 4．1 5．17 6．187．8 8．279．13 10．32 11．223(()122x y ++−= 12．(0，3) 13．5 14．1215．16．17．解：18．19．20．21．ABC22．23．。

江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且AB ＝{m }，则实数m 的值为 ．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为 ．3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为 ．第4题第5题6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为 ．7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝324AC ，则tanB 的值为 ．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为 ．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q＝2(, )x x y y⎧+⎪≥⎨⎪⎩，则PQ 表示的曲线的长度为 ．12．若函数2e , 0()e 1, 0xm x f x x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是 ．13．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点，若AB AD ⋅＝90，则AB AE ⋅的值是 ．14．若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝l ，则7x 2﹣4xy ＋4y 2的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)． （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PC ⊥BC ，点E 是PC 的中点，且平面 PBC ⊥平面ABCD ．求证：（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O 的道路l 1，l 2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C 到l 1，l 2的距离相等，点C 到点O 的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC 上取一点P ，新建一条道路OP ，并过点P 新建两条与圆C 相切的道路PM ，PN （M ，N 为切点），同时过点P 新建一条与OP 垂直的道路AB （A ，B 分别在l 1，l 2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列． （1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-． （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ； （2）求k T ．江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，则实数m 的值为 ．答案：﹣1考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，∴实数m 的值为﹣1．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为 ．考点：复数解析：1010(3)33(3)(3)i z i z i i i -===-⇒=++- 3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ． 答案：34考点：随机事件的概率 解析：34P =． 4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．答案：12考点：频率分布直方图解析：(0.0030.005)503012+⨯⨯=．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为 ．答案：4考点：程序框图解析：第一次：S ＝3，k ＝2； 第二次：S ＝9，k ＝3；第三次：S ＝18，k ＝4；∵18＞16，故输出的k 的值为4．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为 ．考点：双曲线的简单性质 解析：根据渐近线可判断2ba=，从而224b a =，由22225c b a a =+=，即25e =，e =7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ． 答案：8考点：棱柱棱锥的体积解析：11111111111111113P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==-=-1112212833ABC A B C V -==⨯=． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．答案：充分不必要 考点：充要性解析：当ω＝2，526126x πππωπ+=⨯+=，故此时()f x 的图象关于点(512π，0)对称， 而当()f x 的图象关于点(512π，0)对称，则5126k ππωπ⨯+=，1225k ω-=，k ∈Z ， 故“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的充分不必要条件． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝32AC ，则tanB 的值为 ．答案：2考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式 解析：由AB ＝32AC ，得3232sin sin sin()sin 4C B B B π=⇒+=，2232cos sin sin 224B B B +=，化简得2cos sin B B =， 所以tanB 的值为2．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为 ．答案：299考点：数列的求和方法解析：9910022(2199)a =⨯+，10011001242[(13)(57)(197199)]S -=+++++-++-+++-+10021100=-+∴10010010010022398(21100)299a S -=+--+=．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q ＝2(, )15x x y y ⎧⎫+⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩，则P Q 表示的曲线的长度为 ． 答案：23π考点：直线与圆解析：222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，222xxyyx≥-+≥≤=⎪<-⎪⎩，作出两曲线图像如下：此时P Q表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧AB部分，20x--=与圆心的距离1d==，且r＝2，∴∠ACB＝120°，∴曲线长度为：1202243603πππ︒-⨯=︒．12．若函数2e,0()e1,0xm xf xx x⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是．答案：2e1+考点：函数与方程解析：题目可转化为函数2e1y x=+与e xy m=+图像在第一象限内有两个交点，22e1e e1ex xx m m x+=+⇒=+-，令2222 ()e1e()e e()(2)e1e1x xg x x g x g x g m'=+-⇒=-⇒≤=+⇒≤+∴实数m的最大值是2e1+．13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若AB AD⋅＝90，则AB AE⋅的值是．答案：1752考点：平面向量的数量积解析：由角平分线定理可知323255AC CDAD AC ABAB BD==⇒=+2233290()755555AB AD AB AC AB AB AC AB AC AB⋅=⇒⋅+=+⋅⇒⋅=2111175()2222AB AE AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅=．14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是．答案：38考点：不等式解析：222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++，当x ＝0，原式的值为47， 当x ≠0，令222744(74)(44)470447y t t t m m t m t m x t t-+=⇒=⇒-+++-=++ 2438(44)4(74)(47)0783m m m m m ≠⇒∆=+---≥⇒≤≤． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)． （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值． 解：（1）因为()f x 的最小值是﹣2，所以M ＝2．因为()f x 的最小正周期是2π，所以ω＝1，又由()f x 的图象经过点(3π，1)，可得()13f π=，1sin()32πϕ+=，所以236k ππϕπ+=+或526k ππ+，k ∈Z ，又0＜ϕ＜π，所以2πϕ=，故()2sin()2f x x π=+，即()2cos f x x =．（2）由（1）知()2cos f x x =，又8(A)5f =，10(B)13f =，故82cos 5A =，102cos 13B =，即4cos 5A =，5cos 13B =，又因为△ABC 中，A ，B ∈(0，π)，所以3sin 5A ===，12sin 13B ===，所以cosC ＝cos[π﹣(A ＋B)]＝﹣cos(A ＋B)＝﹣(cosAcosB ﹣sin AsinB)＝4531216 () 51351365 -⨯-⨯=．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．证明：（1）设AC BD＝O，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP//OE，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP//平面BDE．（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥平面ABCD又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，AC PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）解：连接CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ， OP ＝OC ﹣PC ＝10﹣1cos θ，AB ＝2OP ＝20﹣2cos θ，设新建的道路长度之和为()f θ，则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+ 由1＜PC ≤10得110≤θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)，则θ∈(0，0θ]，0sin 10θ=，0223cos ()cos f θθθ-'=，令0()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，0()f θ'，()f θ的情况如下表：由表可知1θθ=时()f θ有最大值，此时2sin 3θ=，cos 3θ=，tan θ=，()30f θ=答：新建道路长度之和的最大值为30- 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=． （2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=，设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----， 化简可得122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k --++==++++4225≥=-，当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号． 综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 19．（本小题满分16分）如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列． （1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）由数列{}n a 是P(1)数列得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =； （2）由{}n b 是P(2)数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立，当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =， 设公差为d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n nb =，经检验均合题意．（3）假设存在满足条件的P(k )数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ，则有2020202020202020202020202020202020202020c kc c c qkc c ⋅-⋅=⇒⋅=⋅， 可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020c kc c c q kc c q ⋅-⋅=⇒⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=， 则当n ≥2020时1n c k=，又20201202011c kc c c k=⋅⇒=， 当1＜n ＜2020时，不妨设2020in ≥，i N *∈且i 为奇数， 由，而1i n c k =，所以11()i i n k c k -=，1()()ii n c k =，1n c k=， 综上，满足条件的P(k )数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-． （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．解：（1）当a ＝0时，3()3ln f x x x =-+，所以31()3()x f x x-'= 由()0f x '=得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()f x '＜0；当x ∈(1，+∞)时，()f x '＞0， 所以函数()f x 的单调增区间为(1，+∞)． （2）由题意得23(1)2()[(1)1]3x af x x x x -'=+++， 令22()(1)13a g x x x =+++(x ＞0)，则3(1)()()x f x g x x-'=，当213a +≥0即32a ≥-时，()g x ＞0恒成立，得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+-<即9322a -<<时，此时()g x ＞0恒成立，()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+-=即92a =-或32a =时，易得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+->时，解得92a <-或32a >（舍），当92a <-时，设()g x 的两个零点为1x ，2x ，所以1x 2x ＝1，不妨设0＜1x ＜2x ， 又2(1)303a g =+<，所以0＜1x ＜1＜2x ，故123()()(1)()f x x x x x x x'=---，当x ∈(0，1x )时，()f x '＜0；当x ∈(1x ，1)时，()f x '＞0；当x ∈(1，2x )时，()f x '＜0；当x ∈(2x ，+∞)时，()f x '＞0；∴()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；所以x ＝1是函数()f x 极大值点，综上所述92a <-． （3）①由（2）知当92a ≥-时，函数()f x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数()f x 至多有两个零点，欲使()f x 有两个零点，需(1)10f a =-<，得1a >， 此时32()3ln 23ln 2f x x x ax ax x ax =-++->--，1()3ln 2f a a>-， 当a ＞e 时，1()0f a>，此时函数()f x 在(0，1)上恰有1个零点； 又当x ＞2时，33()3ln (2)3ln f x x x ax x x x =-++->-+， 由（1）知3()3ln x x x ϕ=-+在(1，+∞)上单调递增，所以3()30f e e >-+>，故此时函数()f x 在(1，+∞)恰有1个零点； 由此可知当a ＞e 时，函数()f x 有两个零点． ②当92a <-时，由（2）知()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；而0＜1x ＜1，所以311111()3ln (2)0f x x x ax x =-++->，此时函数()f x 也至多有两个零点综上①②所述，函数()f x 的零点个数m 的最大值为2．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量． 解：由题意知 2113 111a A b α⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2313a b +=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩， 所以矩阵A 的特征多项式21 2()(1)42 1f λλλλ--==----，由()0f λ=，解得3λ=或1λ=-， 当1λ=-时，220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，令x ＝1，则y ＝﹣1，所以矩阵A 的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y - m = 0 ，又曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=，所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2⋅ 2-m ＝0，解得m ＝5． C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 解：由柯西不等式有2222222(112)()(2)1x y z x y z ++++≥++=，所以22216x y z ++≥(当且仅当112x y z ==即16x y ==，13z =时取等号)， 所以222x y z ++的最小值是16．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．解：（1）当直线l 与x 轴垂直时AB的长为P(2，0)，取A(2，)，所以222p =⋅，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）由题意知1122APF A A S FP y y ==△，12BPO B B S OP y y ==△， 因APF BPO S S =△△，所以2A B y y =当0AB k =时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以0AB k ≠， 故设直线AB 的方程为2x my =+，代入抛物线方程得2480y my --=， 所以4A B y y m +=，8A B y y =-， 当0A y >，0B y <时，2A B y y =-，228By -=-，所以2B y =-，214B B y x ==， 所以2PB k =，直线AB 的方程为240x y --=，当0A y <，0B y >时，同理可得直线AB 的方程为240x y --=， 综上所述，直线AB 的方程为240x y --=．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ；（2）求k T ．解：（1）当2k =时，1r =，由212(12)111a a -==-+，得21a =-，20S =， 当3k =时，1r =或2，由212(13)211a a -==-+，得22a =-， 由322(23)2213a a -==-+，得343a =，313S =． （2）因12()1r r a r k a r +-=+，由累乘法得321122(1)2(2)2()231r r a a a k k r k a a a r +---⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+， 所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!rr r k k k r k a r k r k r +---=-⋅⋅⋅=-++--， 所以1111(2)2r r r k a C k+++=--， 当0r =时，11a =也适合1111(2)2r r r k a C k+++=--， 所以11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k =-+-++--， 即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2k k k k k k k S C C C C k =-+-+-++---，所以11[(12)1][1(1)]22k k k S k k=--=---．。

2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。