新人教版八年级二次根式教案及练习

新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。

（二）、探索新知：
本环节通过１个引题，２个例题的活动达到让学生学会从实际问题中抽象出中心对称的基本性质，并会用二次根式的加减法则解决有关实际问题。既培养了学生的观察能力，又培养了学生的有理有据的作图能力。
（三）、巩固练习：
在此环节中，利用课后的练习和选取的课外习题来巩固二次根式的加减，来达到突出重点的目的。
（三）教学手段
采用多媒体教学，通过直观演示图象，更好地教会学生“二次根式的加减的研究方法，同时通过多媒体辅助手段展示教学内容，扩大课堂容量，提高教学效率。
六、说教学过程的设计：
本课共分为五个环节：
（一）、复习引入新课:
利用＂同类二次根式的＂引入，激发学生好奇心和求知欲，创设情景，旨在引出新课题。既达到了复习的目的，又引出了新课。
（注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行）
三、课后作业（课后作业见附件2）
教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
四、板书设计
课题：二次根式(1)
二次根式概念例题例题
二次根式性质
反思：
次根式教案篇六
第十六章二次根式
代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=，≠，≥，≤，”；②单个的数字或单个的字母也是代数式
2、会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点
最简二次根式的定义。
教学难点
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程
一、复习引入
1、把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2、引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同？
化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。

二次根式的概念一、教学内容分析本章二次根式是继之前有理数、整式、分式之后的又一重要内容，要重点培养学生的数感，体会代数式的简洁性和一般性. 在“实数”一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法，学生对实数的概念有了初步体会，这些都为本章学习打下了基础. 本节课是本章的第一节，起着承上启下的作用，学习二次根式的概念和性质，有助于学习后续二次根式的运算.二、教学目标1.理解二次根式的概念，归纳出二次根式的共同特征，掌握二次根式有意义的条件，会利用二次根式有意义来求字母的取值范围.2.探究二次根式的性质，并会运用二次根式的性质来解决简单的化简计算问题.3.理解代数式的定义.三、教学重难点【重点】运用二次根式有意义求字母的取值范围.【难点】运用二次根式的性质来解决化简计算问题.四、教学方法问题启发法、观察归纳法、探究法五、教学过程（一）复习导入多媒体依次出示问题：问题1 什么是平方根？怎么表示？问题2 什么是算术平方根？怎么表示？问题3 上两个问题中，“a ”有什么要求？通过七年级下册实数的学习，我们知道了：一般地，若一个数的平方等于a ，则这个数就叫做a 的平方根.a 的平方根是a ±.正的平方根叫做它的算术平方根，用a 表示.一个数的平方不能是负数，所以0≥a .那么今天我们就一起学习一下这类式子的共同特征. 意图：让学生回顾实数中平方根和算术平方根的概念，引入新课二次根式的学习. 效果：通过复习，学生们回忆了算术平方根的概念，自然过渡到本节要学的二次根式，体会到数学知识间的联系性.（二）新课讲授1. 二次根式的概念及有意义的条件：自主思考：用学过的知识填空.（1）如图1，海报是正方形，其面积为2 m 2，则它的边长是 m .如果其面积为S ，则它的边长是 .（2）如图2，一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m 2，则它的宽为 m.（3）如图3，一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h （单位：m)满足关系式h =5t 2.如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为 .观察：刚才写出的结果的特点是共同特征：① 外形上，有；② 被开方数为非负数；归纳概念：一般地，我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.练一练：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？意图：从观察中归纳共同特征，从而得出二次根式的概念.效果：学生通过观察、总结，体会了数学中归纳总结的研究方法.例1 当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？学生先自主思考，然后教师提问，最后教师规范板书.自主探究： 当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ x1呢？ 总结方法：保证二次根式有意义，只需要被开方数大于等于0即可.当二次根式作分母时，还要保证分式有意义，此时被开方数大于0.意图：通过例题讲解和探究学习，得出二次根式有意义的条件和解题的方法.效果：通过探究和方法总结，使学生学会了学习的方法.2. 二次根式的性质（1）二次根式的性质1：双重非负性思考：我们已经知道了比较呢？与，那中，00a a a ≥归纳：二次根式的双重非负性)0(0≥≥a a ，. 初中阶段学过的绝对值、偶数次方、二次根式都具有非负性，二次根式具有双重非负性. 例2 .04)3(22的值，求若c b a c b a -+=-+-+- 图1 图2图3意图：通过思考和例题，归纳二次根式的双重非负性，并加以运用.效果：学生知道了如何将所学知识归纳总结和灵活运用.（2）二次根式的性质2:)0(,)2≥=a a a （ 自主探究：根据算术平方根的意义填空，并发现规律.归纳总结：二次根式的性质2:)0(,)2≥=a a a （ 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a ≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.例3 计算（1）()5.12；（2）()522. 让学生体验二次根式的性质()a 2=a （0≥a ）的运用，注重运算步骤，在例题（2）中用到了八年级上册学的()ab n =b a nn （n 为正整数）. 练一练：计算（1）2)5(；（2）2)22(意图：引导学生辨析二次根式的性质运用中的常见错误.效果：学生学会了二次根式的简单计算.（3）二次根式的性质3：a a =2探究：填空，并发现规律.思考：当a ＜0时，=2a ？ 归纳总结：二次根式的性质3：即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.意图：让学生用算术平方根的意义分析具体数字得出结果，然后概况它们的共同特征，由特殊到一般地归纳得出结论.效果：学生又一次经历了观察归纳的数学学习方法.例4 化简（1）16；（2）2)5(-；（3）210-；（4）214.3(π）-.练一练（1）2)2(-；（2）2)2.1(-意图：引导学生辨析二次根式的性质运用中的常见错误.效果：学生学会了二次根式的简单化简.议一议：如何区别2)(a 与2a ？辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．3. 代数式的定义学生认真阅读课本第四页下方的内容，填空. 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.想一想：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？初中阶段，到现在为止，我们已经学过的代数式有整式、分式、二次根式.练一练：1.在下列各式中，不是代数式的是（ ）A.7B.3＞2C. 2x D ．2223x y +2.右图是冬奥会的奖牌，正面面积为S ，用代数式表示出奖牌的半径为__________.方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.意图：通过学生自主学习代数式的概念，培养学生从文本中提取关键信息的能力，学会学习.效果：培养了学生自主阅读学习的能力.（三）课堂练习1.下列式子中，不属于二次根式的是（C ）A.5B.2aC.7-D.21 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？3. 化简：（1）9＝ 3 ; （2）24）（- ＝ 4 ;（3） 27）（-= 7 ; （4）=281）（ 81 . a 在数轴上的位置如图所示，化简212）（-+-a a 的结果是 1 . 224cm 的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？解：设长方形的宽为x cm ，根据题意得解得4±=x （负值舍去）623=x 答：它的长为6 cm ，宽为4 cm.6..32,05)4(32的值求若c b a c b a -+=-+-+-意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件，运用非负性解决问题. 效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.（四）课堂小结先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.1. 二次根式的概念及有意义的条件；共同特征：含有二次根号；被开方数为非负数.2. 二次根式的性质： 双重非负性：)0(0≥≥a a ，； )0(,)2≥=a a a （；⎩⎨⎧-≥==）＜0()0(2a a a a a a . 意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.（五）作业布置完成配套练习六、板书设计共同特征：含有二次根号；被开方数为非负数.2.二次根式的性质： 双重非负性：)0(0≥≥a a ，； )0(,)2≥=a a a （；⎩⎨⎧-≥==）＜0()0(2a a a a a a . 七、课后反思本节课运用复习导入，符合学生的学习规律，无论是导入还是方法总结，都注重让学生体会数学的各个知识点是相互联系的.本节课设置了一系列的问题来启发学生的思考，培养学生观察，思考，归纳的数学学习方法，从特殊到一般，循序渐进，让学生在探究中学到知识，学会学习.。

第十六章 二次根式教案（人教版）教学目标：1、理解二次根式的概念．2、理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）． 3、掌握a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b ；b aba =（a ≥0，b >0），bab a =（a ≥0，b >0）．4、了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．教学重点：1．二次根式a （a ≥0）的内涵．a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点： 1．对a （a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（a ）2＝a （a ≥0）及2a =a （a ≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．21．1 二次根式 第一课时教学内容：二次根式的概念及其运用 教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键： 1．重点：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a （a ≥0）”解决具体问题． 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数xy3=，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，3）． 问题2：由勾股定理得AB=10二、探索新知 很明显3、10，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a （a ≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．—1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a <0，a 有意义吗？例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x1、x （x>0）、0、42、2-、yx +1、y x +（x ≥0，y •≥0）．例2．当x 是多少时，13-x 在实数范围内有意义？三、应用拓展B AC例3．当x 是多少时，1132+++x x 在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=522+-+-x x ，求yx 的值．(2)若011=-++b a ，求20142014b a+的值． 四、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．7-B ．37C ．xD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．x1 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B ．5 C ．51D ．以上皆不对 二、填空题1．形如 的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为 ． 3．负数 平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时232x xx ++，在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______． 4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．21.1 二次根式 第二课时教学内容： 1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 教学目标：理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键： 1．重点：a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2=a （a ≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出a （a ≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（a ）2=a （a ≥0）． 教学过程：一、复习引入1．什么叫二次根式？ 2．当a ≥0时，a 叫什么？当a <0时，a 有意义吗？二、探究新知a （a ≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a （a ≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：()24=_______； ()22=_______； ()29=______； ()23=_______；231⎪⎪⎭⎫⎝⎛=______； 227⎪⎪⎭⎫⎝⎛=_______；()20_______．通过上述习题，可得：（a ）2=a （a ≥0）例1 计算 1．223⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2．()253 3．256⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 4．227⎪⎪⎭⎫⎝⎛分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．三、巩固练习计算下列各式的值：()218、 232⎪⎪⎭⎫⎝⎛、 249⎪⎪⎭⎫⎝⎛、()20、 2874⎪⎪⎭⎫⎝⎛、()253—()235四、应用拓展 例2 计算：1．())0(12≥+x x 2．()22a 3．()2212++a a 4．()229124+-x x例3、在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 五、归纳小结本节课应掌握： 1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a =（a ）2（a ≥0）． 第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题 1．()23-=________．2．已知1+x 有意义，那么它是一个_______数．三、综合提高题 1．计算 （1）()29 （2）()23- （3）2621⎪⎭⎫⎝⎛ （4）2323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (5) (2332)(2332)+-2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）61（4）x （x ≥0） 3．已知1x y -++3x -=0，求xy 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-521.1 二次根式 第三课时教学内容：a a =2 （a ≥0）教学目标：理解a a =2（a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究a a =2（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键： 1．重点：a a =2（a ≥0）；2．难点：探究结论；3．关键：讲清a ≥0时，a a =2才成立． 教学过程：一、复习引入老师口述上两节课的重要内容； 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数；3．()2a ＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，a a =2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：22=______；20.01=______；21()10=_____； 22()3=_______；20=_______；23()7=______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．因此，一般地：a a =2 （a ≥0）例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-三、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a <0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若a a =2，则a 可以是什么数？ （2）若a a -=2，则a 可以是什么数？ （3）a a >2，则a 可以是什么数？分析：∵a a =2（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，()22a a -=，那么—a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a <0．例3、当x>2，化简2(2)x -—2(12)x -．四、归纳小结 本节课应掌握：a a =2（a ≥0）及其运用，同时理解当a <0时，a a -=2的应用拓展．第三课时作业设计一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）．A ．0B ．23C ．423 D ．以上都不对2．a ≥0时，2a 、2()a -、—2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A ．2a =2()a -≥-2a B ．2a >2()a ->-2a C ．2a <2()a -<-2a D ．-2a >2a =2()a -二、填空题1．—0.0004=________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 三、综合提高题1．先化简再求值：当a =9时，求a +212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a +2(1)a -=a +（1—a ）=1；乙的解答为：原式=a +2(1)a -=a +（a —1）=2a —1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995—a │+2000a -=a ，求a —19952的值．（提示：先由a —2000≥0，判断1995—a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x —2│+2(3)x ++21025x x -+。

人教版八年级数学下册16.1二次根式（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册第16.1节，主题为“二次根式”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.二次根式的概念与性质：理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，如乘除法则、平方差公式等。
2.二次根式的化简与运算：学会化简二次根式，掌握二次根式的加减乘除运算方法，并能解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如$\sqrt{a}$的表达式，其中$a$为非负实数。它是解决非整数平方问题的重要工具，广泛应用于数学和实际生活。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算矩形的对角线长度，通过二次根式的应用，我们可以轻松解决这一问题。
（5）实际应用：运用二次根式解决实际问题，如计算面积、体积等。
2.教学难点
（1）理解二次根式的定义：部分学生可能对根号下的数必须为非负实数这一点理解不透彻，需要通过实例进行解释。
（2）掌握二次根式的性质：乘除法则、平方差公式等性质的理解和运用是难点，如$\sqrt{a^2}=|a|$，学生容易忽略绝对值符号。
（4）二次根式的化简方法，如：$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
（5）二次根式的加减运算，如：$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，$\sqrt{3}-\sqrt{5}$等；
（6）运用二次根式解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学表达式，理解数学符号的含义，提高数学表达与交流能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如二次根式的化简和运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

在教学方法上，我也要不断尝试创新。例如，利用多媒体教学手段，以动画或图像的形式展示二次根式的混合运算过程，让学生更加直观地理解。同时，引入一些趣味性的数学游戏，让学习变得更加轻松愉快。
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

人教版八年级下册二次根式教案一、教材分析本教材是人教版八年级下册，第一单元，二次根式。

本单元主要内容包括：1.二次根式的定义及性质2.二次根式的化简3.二次根式的运算4.二次根式的应用其中，二次根式的定义、化简、运算内容是本单元的重点，是学习本单元的基础。

而二次根式的应用则是拓展内容，可以让学生了解到根式在现实生活中的应用。

二、教学目标知识目标1.了解二次根式的定义及性质2.掌握二次根式的化简方法3.掌握二次根式的加减乘除运算方法4.了解二次根式在实际问题中的应用技能目标1.能够独立完成二次根式的化简、计算和应用题目2.能够在实际问题中使用二次根式进行运算和求解情感目标1.培养学生对于数学的兴趣和好奇心2.培养学生解决实际问题的能力和自信心三、教学重难点重点1.二次根式的化简方法2.二次根式的加减乘除运算方法难点1.二次根式的应用题目2.数学语言的运用四、教学过程1. 二次根式的定义及性质1.引导学生通过例题了解二次根式的定义2.讲解二次根式的性质，如非负性、次幂、加、减、积、商等2. 二次根式的化简1.讲解化简的基本原则2.通过例题一步一步地讲解化简的方法3. 二次根式的运算1.讲解加减乘除的基本原则2.通过例题一步一步地讲解加减乘除的方法4. 二次根式的应用1.讲解二次根式在实际问题中的应用2.通过例题引导学生理解应用题5. 课堂练习1.布置练习题，让学生通过练习加深对本单元内容的理解2.布置作业题，巩固本单元知识五、教学评价1.通过课堂回答问题、闪光灯、课堂练习等方式对学生进行监测和评价2.对学生参与课堂活动和完成作业的情况进行评价3.通过测试等方式对学生掌握情况进行评价六、教学反思本教案重点关注二次根式的化简及运算方法，同时通过应用题目的讲解让学生了解到二次根式的实际应用。

在教学过程中，我采用了多种教学方法，如例题、练习题、闪光灯等，以激发学生兴趣，提高课堂效率。

同时，在教学中也对学生的学习情况进行了监测和评价，以确保学生在本单元学习中取得良好的成果。

16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT 课件，展台。

学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1） 面积为 S 的正方形边长为________。

（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。

（3）． 圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。

总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。

因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。

提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义及其性质。二次根式是指形如√a（a≥0）的数，它具有非负性、不可约性和可乘性。它在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，求解一个正方形的对角线长度，我们可以通过二次根式来快速计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
直接输出以下内容：
三、教学难点与重点
1.教学重点：
-理解二次根式的定义，掌握其性质和运算规则。
-能够运用二次根式解决实际问题，体会数学的简洁美和逻辑美。
-通过二次根式的化简和运算，培养学生的数学抽象和数学建模的核心素养。
2.教学难点：
-二次根式的性质理解和应用，特别是不可约性和可乘性的运用。
-解决涉及二次根式的实际问题，特别是含有二次根式的方程和不等式的求解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质和运算，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节关于二次根式的课程后，我进行了深入的反思。首先，我发现学生们对二次根式的基本概念和性质掌握得还不错，他们能够理解并运用二次根式解决一些简单的问题。然而，我也注意到在讲解难点部分，如二次根式的化简和运算时，部分学生显得有些吃力。这让我意识到，我需要找到更有效的方式来帮助学生突破这个难点。

16.1二次根式一、内容和内容分析1．内容二次根式的观点.2．内容分析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的观点，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的观点.它不单是对前方所学知识的综合应用，也为后边学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实质问题，这些问题的结果都能够表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义.再经过例 1 议论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教课要点是：认识二次根式的观点；二、目标和目标分析1.教课目的（1）领会研究二次根式是实质的需要．（2）认识二次根式的观点．2.教课目的分析（1）学生能用二次根式表示实质问题中的数目和数目关系，领会研究二次根式的必需性．（ 2）学生能依据算术平方根的意义认识二次根式的观点，知道被开方数一定是非负数的原因，知道二次根式自己是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教课识题诊疗剖析关于二次根式的定义，应重视让学生理解“的两重非负性，”即被开方数≥ 0 是非负数，的算术平方根≥ 0 也是非负数 . 教课时注意指引学生回想在实数一章所学习的相关平方根的意义和特点，帮助学生理解这一要求，进而让学生得出二次根式建立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式存心义的判断.本节课的教课难点为：理解二次根式的两重非负性.四、教课过程设计1．创建情境，提出问题问题 1 你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为 3 的正方形的边长为 _______，面积为S的正方形的边长为 _______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为 130m?，则它的宽为 ______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s）与开始落下的高度h（单位： m）知足关系h =5t ?，假如用含有h 的式子表示t，则t=_____．.师生活动：学生独立达成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适合指引和评论【设计企图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实质生活的密切联系，领会研究二次根式的必需性．问题 2上边获得的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特点？师生活动：教师指引学生说出各式的意义，归纳它们的共同特点：都表示一个非负数（包含字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计企图】为归纳二次根式的观点作铺垫．2．抽象归纳，形成观点问题 3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组议论，全班沟通．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（ a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计企图】让学生领会由特别到一般的过程，培育学生的归纳能力．追问：在二次根式的观点中，为何要重申“a≥0”？师生活动：教师指引学生议论，知道二次根式被开方数一定是非负数的原因．【设计企图】进一步加深学生对二次根式被开方数一定是非负数的理解．3．辨析观点，应用稳固例 1当时如何的实数时，在实数范围内存心义？师生活动: 指引学生从观点出发进行思虑，稳固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例 2当是如何的实数时，在实数范围内存心义？呢？师生活动 : 先让学生独立思虑，再追问．【设计企图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4你能比较与 0 的大小吗？师生活动：经过分和这两种状况的议论，比较与 0 的大小，指引学生得出≥0 的结论，加强学生对二次根式自己为非负数的理解.【设计企图】经过这一活动的设计，提升学生对所学知识的迁徙能力和应企图识；培育学生疏类议论和归纳归纳的能力 .4．综合运用，稳固提升练习 1当x是什么实数时，以下各式存心义.（1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）.【设计企图】辨析二次根式的观点，确立二次根式存心义的条件.【设计企图】设计有必定综合性的题目，考察学生的灵巧运用的能力，宽阔学生的视线，训练学生的思想 .5．总结反省教师和学生一同回首本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式存心义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师指引，学生小结.【设计企图】：学生共同总结，相互扬长避短，再一次突出本节课的学习要点，掌握解题方法.6．部署作业：教科书习题16.1 第 1， 3，5， 7 题．五、目标检测设计1.以下各式中，必定是二次根式的是（）A. B. C. D.【设计企图】考察对二次根式观点的认识，要特别注意被开方数为非负数．2.当时，二次根式无心义．【设计企图】考察二次根式无心义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3. 当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计企图】此题主要考察二次根式被开方数是非负数的灵巧运用．4. 关于，小红依据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧以为还应试虑分母不为0 的状况．你以为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计企图】考察二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不可以为0，解题时需要综合考虑．。

最新新人教版八年级下数学二次根式教案教学目标1.了解二次根式的概念及其应用2.掌握求二次根式中字母的取值范围和值的方法教学重点：二次根式的概念和求字母的取值范围教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解.教学程序与策略一、知识回顾：1、平方根是指一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。

2、正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。

二、新课教学将一个数的算术平方根表示为含字母的代数式，就叫做二次根式。

例1：求下列二次根式中字母a的取值范围：1) a+1;2) 1/(1-2a);3) (a-3)².解：（1）由a+1≥0得，a≥-1字母a的取值范围是大于或等于-1的实数2) 由1-2a>0得，即a<1/2字母a的取值范围是小于1/2的实数3) 因为无论a取何值，都有(a-3)²≥0，所以a的取值范围是全体实数说明：求字母的取值范围实质是：转化为解不等式（组）练：求下列二次根式中字母a的取值范围：1) a+3;2) -1/(3-a);3) a²+1.例2：当x = -4时，求二次根式的值解：将x = -4代入二次根式得31-2x) = √(31+8) = 3说明：与求代数式的值类比.提高：1、若二次根式x²的值为3，求x的值.2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=5t来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间。

1）把这个公式变形成用h表示t的公式h/5 = t2) 一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?h = 54.5，t = √(h/5) ≈ 3.3秒3、当x分别取下列值时，求二次根式1/x的值:1/x;2/x;3/x.解：1/x = √(1/x²)。

2/x = √(4/x²)。

3/x = √(9/x²)检测：求二次根式中x的取值范围：1) 5x²/(x-4);2) (x+1)/(x+2);3) (x+2)/(4-x²);4) 2/(x-x²);5) (x-4)/(2x).三、课堂小结：由学生总结，教师适当提问补充.本节课要掌握：二次根式的概念和求字母的取值范围。

新人教版八年级数学下册二次根式教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的乘法、除法、平方和开方性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，如\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)和\( \sqrt{a^2} = |a| \)的运用。
（三）实践活动（用时10分钟）
-复杂化简：对于\( \sqrt{\frac{24}{3}} \)的化简，学生可能会直接得到\( \sqrt{8} \)，而忽视\( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} \)中的正确步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.培养学生的数学建模能力：引导学生将实际问题转化为二次根式的数学模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的数学抽象素养：通过对二次根式性质的探究，使学生理解数学概念的本质，提高数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的性质：理解并掌握二次根式的乘法、除法、平方和开方性质，能熟练应用于解题。
其次，我发现有些学生对乘法性质和除法性质容易混淆，尤其是在应用时。为了帮助学生更好地掌握这两个性质，我计划在下一节课中增加一些对比练习，让学生通过实际操作，感受两者之间的区别和联系。
此外，关于二次根式的化简，我觉得在讲解过程中需要更加注重步骤的详细解释。有些学生对于多层嵌套的二次根式化简感到困惑，我将在以后的课堂中多举例，并引导学生逐步分解和化简，以提高他们的解题能力。
-二次根式的化简：掌握运用性质对二次根式进行化简的方法，提高解题效率。
-实际问题的建模：学会将实际问题转化为二次根式的数学模型，培养数学应用能力。

其次，在讲解二次根式的性质和运算法则时，我发现学生们在具体应用时仍存在一定的困难。尤其是在乘除运算和化简过程中，对符号的处理不够熟练。针对这一问题，我考虑在下一节课中增加一些典型例题，让学生们通过练习，进一步掌握相关运算技巧。
此外，课堂实践活动中的分组讨论环节，学生们表现得积极主动，能够将所学知识应用于解决实际问题。但在讨论过程中，我也注意到有些学生较为内向，不太愿意表达自己的观点。为了提高这部分学生的参与度，我计划在接下来的教学中，多给予他们鼓励和支持，提高他们的自信心。
2.注重运算技巧的培养，通过典型例题和练习，提高学生们的运算能力。
3.关注学生的个体差异，鼓励内向学生积极参与课堂讨论，提高他们的自信心。
4.加强学生表达能力的培养，提高他们的逻辑思维能力。
在今后的教学中，我将根据今天的反思，不断调整教学方法，以期让每位学生都能更好地掌握二次根式这一知识点。
-二次根式的乘除法运算：掌握二次根式的乘除法运算规则，能够正确进行计算。
-举例：计算√6·√2和√(12/4)，强调运算过程中的符号处理。
-二次根式的化简：学会化简复杂的二次根式，提高解题效率。
-举例：化简√(50/4)为5√2/2，展示化简过程。
2.教学难点
-理解二次根式的非负性质：学生需要理解为何二次根式的被开数必须非负。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质、应用以及化简方法。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

2.教学难点
（1）根号内乘除运算的简化：在二次根式乘除运算过程中，学生往往难以把握根号内乘除运算后的简化步骤。
-难点解释：如\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8}\)，需简化根号内的结果为\(\sqrt{16}\)，进而得到最终答案4。
（2）混合运算中乘除法则的运用：在二次根式乘除混合运算中，学生容易混淆乘除法则，导致计算错误。
-练习：计算\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)、\(\sqrt{12} \times \sqrt{27}\)等。
2.二次根式的除法法则：理解二次根式除法的运算规律，能够熟练进行除法运算。
-例子：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中\(b \neq 0\)，\(a \geq 0\)，\(b > 0\)）
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级下册16.2节，主要内容包括：
1.二次根式的乘法法则：掌握二次根式乘法的运算规律，能够正确进行乘法运算。
-例子：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（其中\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)）
-练习：计算\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)、\(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{9}}\)等。
3.二次根式的乘除混合运算：学会运用乘除法则，解决二次根式的乘除混合运算问题。
-例子：\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} \times \sqrt{12}\)
5.设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，逐步突破难点。

16．1 二次根式[学习目标]理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题（一）讲述：同学们，我们来学习 16．1 二次根式二、出示目标（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：（二）屏幕显示学习目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．三、指导自学（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.（二）出示自学自导自学指导认真看课本P2全部内容：1.思考“思考1、2”中的问题，完成思考1中的问题，理解二次根式的概念及二次根式有无意义的条件。

2.注意例题1的格式和步骤。

3.讨论回答思考2中的问题。

.如有疑问，可请教同桌或举手问老师.5分钟后，比谁能做对与例题类似的题.四、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难.（二）过渡语：同学们，看完的请举手？懂了的请举手？好，下面就比一比，看谁能正确做出检测题.（三）检测 : P.3 练习1、2题。

学生练习，教师巡视。

（收集错误进行二次备课）五、后教教师引导学生评议、订正。

归纳小结：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．五、当堂训练：一、选择题1．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥一定是二次根式的有（）个。

A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若，则b的值为（）A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥33．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A .5BC D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根．三、综合提高题1．若+有意义，则=_______．2.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？4. 已知y=++5，求的值．教学反思：16.1 二次根式(2)[学习目标]理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．教学重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．教学难点：导出（a≥0）是一个非负数；•用探究（）2=a（a≥0）．教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法：1、类比的方法2、阅读的方法3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题：16.1 二次根式(2)讲述：同学们，我们来学习16.1 二次根式(2)二、出示目标（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：（二）屏幕显示学习目标理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．三、指导自学（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.（二）出示自学自导自学指导认真看课本P.3“探究”至例2结束。

第2课时二次根式的除法教学设计课题二次根式的除法授课人素养目标1.理解最简二次根式的概念，并运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式，感知数学转化思想的应用．2．理解并掌握二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．会用类比的数学思想方法来探究除法法则．3．理解并掌握商的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b＞0)．体会二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的互逆关系．4．利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简，培养学生良好的运算习惯，提高运算能力和推理能力.教学重点会利用商的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的除法运算．教学难点二次根式的除法与商的算术平方根的性质的关系及应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图利用实际问题引入新课.【情境导入】电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而收看到电视节目的区域就越广，电视塔高h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间存在近似关系r＝2Rh，其中R是地球半径，R≈6400km.如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是2Rh12Rh2.你能将这个式子化简吗？化简这个式子需要学习二次根式的除法，下面我们一起来看看．【教学建议】让学生拓展知识，共同讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性.活动二：问题引入，自主探究设计意图引导学生观察总结出二次根式的除法法则.探究点1二次根式的除法法则1．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.答：规律：1.被开方数都是正数；2.左边的两个二次根式的商等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的商等于右边的一个二次根式的被开方数．2．你能用字母表示你发现的规律吗？答：二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．即二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．【教学建议】(1)学生口答问题1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整．(2)学生讨论问题2，教师板书总结，提醒学生这里b＞0，因为b＝0时分母为0，没有意义．教学步骤师生活动设计意图引导学生逆向思考，发现商的算术平方根的性质.3．计算：(1)243；(2)32÷118；(3)145÷110；(4)x2÷x8y3.解：(1)243＝243＝8＝4×2＝22；(2)32÷118＝32÷118＝32×18＝3×9＝33；(3)145÷110＝95÷110＝95÷110＝95×10＝32×2＝32；(4)x2÷x8y3＝x2÷x8y3＝x2·8y3x＝4y3＝2y y.【对应训练】计算：(1)18÷2；(2)726；(3)41222；(4)b5÷b20a2.解：(1)18÷2＝18÷2＝9＝3；(2)726＝726＝12＝4×3＝23；(3)41222＝2122＝26；(4)b5÷b20a2＝b5÷b20a2＝b5·20a2b＝4a2＝2a.探究点2商的算术平方根的性质1．把ab＝ab反过来，可以得到什么？答：商的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b＞0)．(利用它可以进行二次根式的化简)2．化简：(1)3100；(2)179；(3)7527；(4)4z49x2y2(x＞0，y＞0)．解：(1)3100＝3100＝310；(2)179＝169＝169＝43；(3)7527＝52×332×3＝5232＝53；(4)4z49x2y2＝4z49x2y2＝2z7xy.3．(1)观察32和118，怎么去掉被开方数中的分母？答：综合利用分数的基本性质、商的算术平方根的性质．例如：(3)指定学生代表回答问题3，提醒学生计算二次根式的除法应注意：①结果中应不含能开得尽方的因数因式；②如果有系数，就将系数与系数相除，二次根式与二次根式相除，两者的积作为商；③如果有带分数，就先将带分数化为假分数，再进行计算．【教学建议】指定学生代表回答，提醒学生：(1)化简和计算的结果中应不含能开得尽方的因数或因式，分母中也应不含根号；(2)可先将分子与分母中公共的因数或因式约去，再转化为二次根式的商的形式进行化简；(3)根号下是带分数的应先化为假分数再化简．教学步骤师生活动设计意图引导学生发现总结最简二次根式的特点.32＝3×22×2＝622＝62，118＝1×218×2＝236＝26.(这里令分子、分母同乘一个数，使得分母变成完全平方数)(2)观察35，3227，82a，怎么去掉分母中的根号？答：方法1：35＝35＝3×55×5＝1552＝1552＝155；(这里先用二次根式的除法法则，再用(1)中方法)方法2：35＝3×55×5＝15（5）2＝155.(这里分子、分母同乘一个二次根式，使得分母变成有理数．)3227＝3232×3＝3232×3＝23＝2×33×3＝63.82a＝8·2a2a·2a＝4a2a＝2aa.【对应训练】1．化简：(1)364；(2)11549；(3)196100；(4)25a49b2(b＞0)．解：(1)364＝364＝38；(2)11549＝6449＝6449＝87；(3)196100＝72×452×4＝7252＝75；(4)25a49b2＝25a49b2＝5a23b.2．计算：(1)78；(2)2a÷6a.解：(1)原式＝722×2＝722＝7×222×2＝144；(2)原式＝2a6a＝13＝1×33×3＝332＝332＝33.探究点3最简二次根式观察前面出现过的22，310，2aa等，这些式子有什么特点？答：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．概念引入：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【对应训练】【教学建议】可先让学生讨论，再指定学生代表回答，教师进行总结．提醒学生根号下是小数时先化为分数.教学步骤师生活动1．下列各式是最简二次根式的是(A)A.13B.12C.a2D.53 2．教材P10练习第2题．活动三：重点突破，提升探究设计意图巩固学生对二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的理解.例1计算：(1)27×83÷12；(2)45÷33×35.解：(1)27×83÷12＝27×83÷12＝27×83×2＝9×16＝32×42＝3×4＝12；(2)45÷33×35＝13453×35＝13453×35＝139＝13×3＝1.例2解答教材P9例7.【对应训练】1．计算：12÷(－12)×324.解：12÷(－12)×324＝－12÷12×324＝－124×324＝－3124×24＝－3.2．教材P10练习第3题．3．解答活动一中提出的问题．解：2Rh12Rh2＝2R·h12R·h2＝h1h2＝h1·h2h2·h2＝h1h2h2.【教学建议】(1)指定学生代表回答，提醒学生在进行二次根式的乘除混合运算时要遵循从左到右的顺序，可先观察式子特点再决定计算之前是否化简．(2)教师强调二次根式的运算结果应是最简二次根式或整式.活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式的除法法则是什么？其逆向公式怎么表示？什么是最简二次根式？在二次根式的运算中，你认为应该注意哪些问题？【知识结构】【作业布置】1．教材P10习题16.2第2，3，4，8，9，10，11，13题．2．相应课时训练．板书设计16.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法1．二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．2．商的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b＞0)．3．最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．二次根式的运算要求：一般要把最后结果化为最简二次根式或整式，并且分母中不含二次根式.教学步骤师生活动教学反思前两个探究点注意引导学生用与乘法相类似的方法去学习，对最简二次根式的概念要逐步渗透．强调计算结果要化为最简形式，以规范做题．在教学中感受到学生对分母有理化的运用不够灵活，应在今后的复习中强化巩固.1．最简二次根式(1)概念：符合下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如：52＋122不是最简二次根式，因为52＋122＝25＋144＝169＝13；m 2＋n 2是最简二次根式．(2)化简二次根式一般分三步：①化去分母：如果被开方数是分数或分式，运用商的算术平方根的性质将其化成a b的形式；②能开则开：把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来；③化去分母中的根号：如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质化去分母中的根号．例1将1212化为最简二次根式．解：1212＝252＝252＝52＝5×22×2＝522.注意：化简时别犯这种错误：1212＝12×12＝23×22＝ 6.2．商的算术平方根的性质：ab ＝a b(a≥0，b ＞0)．例2若y ＋22x －1＝y ＋22x －1，且x ＋y ＝5，则x 的取值范围是(D )A ．x ＞12B .12≤x ＜5C .12≤x ＜7D .12＜x ≤7解析：∵y ＋22x －1＝y ＋22x －1，∴y ＋2≥0，2x －1＞0，∴y ≥－2，x ＞12.∵x ＋y ＝5，∴y ＝5－x ，则5－x ≥－2，解得x ≤7.故x 的取值范围是12＜x ≤7.故选D .3．二次根式的除法法则：a b＝ab(a≥0，b ＞0)．例3计算：m 3n÷mn·1mn(m ＞0，n ＞0)．解：原式＝m 3n mn ·1mn ＝m mn ＝m·mn mn·mn＝mnn .注意：计算时注意运算顺序，别犯这种错误：原式＝m 3n÷(mn·1mn)＝m mn÷1＝m mn.例4计算：2a ab 5·(－32a 3b)÷(－13ba)．解：原式＝2a ab 5·(－32a 3b)·(－3a b )＝2a ×32×3×ab 5·a 3b·a b ＝9a a 5b 5＝9a·a 2b 2·ab ＝9ab2ab.例1把二次根式(x－1)11－x中根号外的因式移到根号内，结果是－1－x.解析：由题意得1－x＞0，则x－1＜0，∴(x－1)11－x＝－11－x·（1－x）2＝－1－x.故答案为－1－x.例2已知9－xx－6＝9－xx－6，且x为偶数，求(1＋x)x2－5x＋4x2－1的值．分析：ab＝ab在a≥0，b＞0时成立，再结合x为偶数得到x的值，然后化简式子，最后代入求值．，0，∴6＜x≤9.又x为偶数，∴x＝8.原式＝(1＋x x)x－4x＋1＝(1＋x)x－4x＋1＝（1＋x）（x－4）.∴当x＝8时，6.。