习题26_正项级数审敛法

常数项级数的审敛法
正项级数的审敛法 第二节 正项级数的审敛法
正项级数收敛的基本定理 比较判别法 比值判别法 根值判别法 小结 思考题
第十一章 数 无穷级
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数的基本定理 正项级数的基本定理
positive term series
1. 定义
∑ un n =1
∞
un ≥ 0
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
11
n= 2
由比较审敛法 所以, 发散. 所以 原级数 发散
常数项级数的审敛法
讨论下列正项级数的敛散性. 正项级数的敛散性 例4 讨论下列正项级数的敛散性
∞ a 1 5n + 4 (1) ∑ n ; (2)∑ ; (3)∑ 2 2n n =1 n n =1 1 + a n =1 3n + 2n − 1 ∞ ∞ n
u N + 3 < ruN + 2 < r 3 uN , ⋯ ,
左边相加, 左边相加 级数uN +1 + uN + 2 + uN + 3 + ⋯ 的各项 小于右边相加收敛的等比级数 (公 r <1) 比
ru N + r uN + r uN + ⋯
2 3
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
20
也收敛. 的对应项, 的对应项 所以 uN +1 + u N + 2 + u N + 3 + ⋯ 也收敛 由性质3, 由性质 因此 , 级数 ∑ un收敛 .
( 2) ∑ 3
n =1
∞
1 n( n + 1)

三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 2 n n! 3 32 33 3n 1. ；2. n . 2 3 n 1 2 2 2 n 3 2 n 2 n 1 四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性: n 2 n 1 1 ) . ※1. ； ※2. ( n n 1 3n 1 n 1 [ln( n 1)] 五、 判别下列级数的收敛性: 3 n1 1. 2 ； 2 n π ln( n 2) n ( a 0) . 2. 3. 2 sin n ； 1 n n 1 3 n1 (a ) n
n 1
n
( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
1 例 如, 设 级 数 n , n 1 n
un
n n

1 1 0 ( n ) ，级数收敛. n n n
※定理 6 柯西积分判别法
若 f ( x ) 连续、非负、不增，则正项级数 与反常积分
n 1 n 1
则当级数 vn收 敛 时 ， 级 数 un必 收 敛;
2若un是vn的 低 阶 无 穷 小 ，
则当级数 v n发 散 时 ， 级 数 un必 发 散;
n 1 n 1
3若un是v n的 同 阶 无 穷 小 ，
则级数 . un 和 v n同 时收 敛 或 发 散
n 1
则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性: 1 2 1 3 1 n ； 1. 1 2 2 2 1 2 1 3 1 n 1 ( a 0) . 2. n n 1 1 a

1
n1
19
第九章 常数项级数
例8. 判别下列级数的敛散性：
1
(1) n1 np (p0)
(p 1 , 发 散 p 1 ,收 敛 )
解： an

1 np
，取
f (x)
1 xp
，
则 f ( x) 在[1, ) 上非负，连续，单减。
∵
1
1 x p dx


p p
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )

n 2，
n
1
n 3 n 1
1
4
n3
n

而
1 收敛，
∴原级数收敛。
4
n n1
3
11
第九章 常数项级数
ln n
1

0
，
n n 4
5
n4

而
1 收敛，故 ln n 收敛。
5
3
n n1 4
n n1 2
12
第九章 常数项级数
例6. 判别下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n

tan3n
5 n
(2) n1 n 5
(3) 258(3n1) n1159(4n3)
n1
n1


（3）当 时，且 vn 发散，则 un 发散。
n1
n1
5
第九章 常数项级数
说明：极限形式的比较判别法其实是将两个正项级数的 通项作为无穷小量，来比较它们的阶。

如果对于任意一项，其相邻两项 的比值都小于1，则级数收敛； 反之，如果存在某一项，其相邻 两项的比值大于1，则级数发散。
柯西审敛法适用于判断具有连续 项的正项级数的收敛性，但对于 具有跳跃项的正项级数，需要采 用其他审敛法。
狄利克雷审敛法
狄利克雷审敛法是一种基于极限思想的判断正项级数收敛性的方法。
例如
$1+1/2+1/3+1/4+cdots$， $2+4+6+8+cdots$ 等。
正项级数的性质
性质1
正项级数的每一项都是非负的，因此其和总是大于或等于其任意 一部分的和。
性质2
如果一个正项级数收敛，则其部分和的极限存在且有限。
性质3
如果一个正项级数发散，则其部分和的极限不存在或趋于无穷。
正项级数的应用
正项级数及其审敛法 (iv)
CONTENTS 目录
• 正项级数 • 正项级数的审敛法 • 无穷级数与正项级数 • 幂级数与正项级数 • 正项级数的收敛性与发散性
CHAPTER 01
正项级数
正项级数的定义
正项级数
由正数组成的无限序列，可以表示为 $sum_{n=1}^{infty} a_n$，其中 $a_n > 0$。
如热传导、波动等。
在工程学中，幂级数被用于信号处理、图像处理等领域，如傅
03
里叶变换和小波变换等。
CHAPTER 05
正项级数的收敛性与发散性
正项级数的收敛性
定义
正项级数是指每一项都是非负的级数。如果一个正项级数 的部分和有界，则该级数收敛。
01
举例
几何级数、调和级数等都是正项级数的 例子。
02

n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an

例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式

得出级数收敛或发散的结论， 但是，由于数列
{(1 1 )n } 是一个单调增而有上界的数列， 即 n
(1 1 )n≤ e (n 1 ,2 ,3 ,) , 因此对于任意有限的n , n
总有
un1
x
e 1.
un
(1 1 )n (1 1 )n
n
n
于是可知，级数的后项总是大于前项， 故
O
1
2
3

图12 - 1
n n+1 x
根据定积分的几何意义 ，显然
Sn 1
n1
2 (x
1 1) p
dx
1
11 p 1 ( n p1
1)

p p1
1 p
1

1 n p1

p. p1
所以部分和数列有界. 于是由定理 1 可知，这时 p 级数收敛 .
综上所述可知: p 级数当 p ≤ 1 时发散; p > 1 时 收敛 .

n1
8 发散.
n1 n2 5n 2

例 4 试判定正项级数
1
的收敛性 .
n1 n n 1
解
因为 n
1 n
1

1 n3/ 2
(n

1
,2
,3
,)
,
而正

项级数
n1
1 n3/ 2
是
p

3 2
时的
p 级数,
它是收敛的，
所以由比较审敛法可知，所给正项级数收敛.
仔细分析例 3 与例 4，我们就会发现，如果 正项级数的通项 un 是分式，而其分子分母都是 n 的多项式 ( 常数是零次多项式 ) 或无理式时， 只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上 (不包括一次)， 该正项级数收敛，否则发散.

例3. 设正项级数 也收敛 . 法1 由题设
和
都收敛, 证明级数
n→ ∞
n→ ∞
limun = limvn = 0 ,
n→ ∞
= lim(un +vn)
根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 法2 因 limun = limvn = 0 , ∴lim(un +vn) = 0 ,
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
又 arctan x = ∫
x 2 0
x
0
1 dx 2 1+ x
4 6 n
( −1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 − x + x − x + L + ( −1) x + L]dx
2n
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x − + − + L + ( −1)n +L 3 5 7 2n + 1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 故 x arctan x − ln 1 + x 2
∞
(1)
对于级数（1） 对于级数（1）
2 | a n+1 | ( n + 1) lim = lim = 1, 2 n → +∞ | a | n→ +∞ n n
级数（ 级数（1）的收敛域为 − 1 < y < 1, 原级数的收敛域为 , x > 1, 或 x < −1.
例5 解
x2n 求 数∑ 级 收 域 和 数 敛 及 函 . n n=0 (2 )!
n=0 n=0
∑anx
难
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
∗ an xn ∑
∞

k 1
即 un收敛. n1
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(2)若 1,取正数 0,使 1, N 0,当n N时有
un1 1,
un
也即un1 un , 从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
2
N,
当n>N时, 有不等式
l 1 l un l 1 l , 2 vn 2
即
1 2
lvn
un
3 2
lvn
,
再根据比较审敛法, 即得所要证的结论.
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❖定理4(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 ,
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例
1
讨论
p级
数
n 1
1 np
( p 0) 的 收 敛 性 .
而级
数
n 1
1 n 1
发散
,
故级数 n 1
1 也发散. n(n 1)
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∞
4. 判定下列级数的敛散性 ： ∞ ∞ 1 1 (1 ) ∑ ; ( 2 ) ∑ ln 1 + 3 . 3 2 n n=1 n + a n=1 1 n 3 + a 2 = 1, 解 ( 1 ) 因 lim 3 n→ ∞ n 2
而级数
3 n=1 n 2
∑
∞
1
收敛，
∞
由定理 11 .3 知， ∑
欲证 ∑ un 收敛 ，
n =1
∞
定理11.3 (极限形式的比较审敛法) 设正项级数 ∑ un , ∑ vn 满足
n =1 n =1
∞
∞
则有
un lim =l n→ ∞ vn
(0 ≤ l ≤ +∞ ),
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时, ∑ un 也收敛 ;
n =1
∑ v n收敛， 故原级数收敛 .
∞
例7 判断
n =1
∑
∞
x 2n n
2
的敛散性
( x为常数
x 2 (n + 1 )
, x ≠ 0 , ± 1 ).
un + 1 = lim 解 因为 ρ = lim n→ ∞ n → ∞ un
= lim n2
n→ ∞
(n + 1 )2
n2
x 2n
(n + 1 )
(0 ≤ ρ ≤ +∞ ), 则
( 1) 当ρ < 1 时, 级数收敛 ; ( 2) 当ρ > 1或 ρ = +∞ 时, 级数发散 .
(3) 当ρ = 1 时, 根值审敛法失效.

(c
n 1

n
an ) 为正项级数，
且由正项级数的比较判 别法知其收敛 . 由 (cn an )及 an 的收敛性知原级数收敛 .
n 1 n 1
4.设 an
n 1

2
| an | 收敛, 证明 收敛 n n 1

| an | 1 2 1 1 2 (an 2 ), 而 an 及 2 均收敛， n 2 n n 1 n 1 n 故由正项级数的比较判 别法知原级数绝对收敛 .
n
lim S 2 n 1 lim( S 2 n u2 n 1 ) S
n n
则
lim S n S u1
n
交错级数
同理
例如 1
| rn | un1 un2 un1.
1 1 1 n 1 1 (1) 2 3 4 n
定理3(比较审敛法极限形式)
un l (0 l ) 设 u n 和 vn 都是正项级数, 如果 lim n v n 1 n 1 n
则 证


u
n 1
n
和
v
n 1
n
同时收敛或同时发散.
l 2
l un l l l 2 vn 2
un lim l n v n
(i).un un1; (n 3,4,...) (ii).lim un 0
n
f ( x)
ln x .( x 2) 单调减少 x
f ( x)
1 ln x 0.( x e) 2 x
思考
f ( x) 1.设 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 , 且 lim 0, x0 x 1 证明 f ( )绝对收敛. n n 1 f ( x) lim 0 及 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 x 0 x f (0) 0, f ' (0) 0 从而

v2
1 1 1 1 1 1 1 + 取 u1 = < 1+ = v1 , u2 = ( 4 + 4 ) = < + = v 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u3 = ( + + + ) = < + + + = v 3 , L 8 8 8 8 2 5 6 7 8
因此有
∞
1 un ≤ v n , 而 un = ( n= 1 , 2, 3 , L ) 2
收敛。 则级数 ∑ un 收敛。 例如级数 ∑
n =1 ∞
∞
n→∞
n =1
n + 1(1 − cos ) , n
π
un = n + 1(1 − cos ) n
π
1 π 2 π 2 n+ 1 + 当 n → ∞ 时， un ~ n + 1 ⋅ ( ) = 2n 2n2
∴ lim
n→∞ 3 n2 un
= lim
第二节 正项级数及审敛法 如果级数
n =1
∑ un = u1 + u2 + L + un + L
称为正项级数
∞
满足条件： 满足条件： un ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ) ,
s1 = u1 ≥ 0 , s 2 = u1 + u2 ≥ u1 = s1 , s 3 = u1 + u2 + u3 ≥ u1 + u2 = s 2 LL 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ s 3 ≤ L ≤ s n−1 ≤ sn ≤ L
n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 （1）取 vn = , 则 ∑ v n = ∑ ） 发散， 因此若 发散， n n =1 n =1 n ∞ un = lim nu lim n = l > 0 （或为 + ∞），则 ∑ un ），则 n→∞ n→∞ vn n =1

分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ; 但
p 1, 级数发散 .
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un
n
1 nn
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知
ln 1
n1
1 n2
收敛.
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
例1.
讨论
p
0l
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
例3. 判别级数 sin 1 的敛散性 . n1 n

判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。

n 1
n 1
(2若 ) u n发 ,则 散 vn发 . 散
n 1
n 1
大收小收, 小发大发.
例2
判断级数
2n
n1
sin3xn
的敛散性.
( 0 < x < 3 )
解
由于 02nsi3 x n n2n3 xn 3 2 nx,
又 2nxx2n,
n13
n13
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义
定义 若级数 u n 满足
n 1
u n 0( n 1 ,2 , ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
(2) > 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；
(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.
例6
判别级数
n 1
x2n n2
的敛散性, 其中, x 0 为常数.
解
记
un
x2n ，则 n2
x2(n1)
limun1 n un
lnim (nx21n)2
ln im (nn2x12)2 x2
81p91p 115 p 81p81p 81p
81p1 21p13
……………………………………
于,是 P级数加括号数 后的 生每 成一 的项 小于r以 21p11为公比的等应 比,项 级数 故当 p >1 时, P 级数收敛.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.