2016年普通高等学校招生全国统一考试(答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.C 由补集定义知∁A B={0,2,6,10},故选C.2.D 由z=4+3i得|z|==5,=4-3i,则=-i,故选D.3.A cos∠ABC==,所以∠ABC=30°,故选A.4.D 由雷达图易知A、C正确.七月份平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为13 ℃;一月份平均最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月平均温差大,故B正确.由题图知平均最高气温超过20 ℃的月份为六、七、八月,有3个.故选D.5.C 小敏输入密码的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.6.D 解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-=-=.故选D.解法二:由tan θ=-,可得sin θ=±,因而cos 2θ=1-2sin2θ=.7.A a==,c=2=,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<<,即b<a<c,故选A.8.B a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.此时20>16,则输出n的值为4,故选B.9.D 解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=,∵B=,∴AD=BD,∠BAD=,∴BD=,DC=a,tan∠DAC==2.∴tan∠BAC=tan∠=∠-∠=-=-3.cos2∠BAC=∠=,sin∠BAC=-∠=.故选D.解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=,∵B=,∴AD=BD,∴BD=AD=,DC=a,∴AC==a,在△ABC中,由正弦定理得∠=°,∴sin∠BAC=.故选D.10.B 由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3的斜四棱柱.其表面积S=2×32+2×3×3+2×3×6=54+18.故选B.11.B 易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则×6×8=×(6+8+10) r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=πR3=π.故选B.12.A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=-,从而直线AM的方程为y=-(x+a),令x=0,得点E的纵坐标y E=-.同理,OE的中点N的纵坐标y N=.因为2y N=y E,所以=-,即2a-2c=a+c,所以e==.故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,∵PF∥y轴,∴==-,==,又∵=,即-=,∴a=3c,故e==.二、填空题13.答案-10解析 可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z 取最小值,z min =-10.14.答案解析 函数y=sin x- cos x=2sin - 的图象可由函数y=2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到.15.答案 4解析 圆心(0,0)到直线x- y+6=0的距离d==3,|AB|=2 - =2 ,过C 作CE ⊥BD于E,因为直线l 的倾斜角为30°,所以|CD|=°=°==4.16.答案 y=2x解析 当x>0时,-x<0, f(-x)=e x-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=e x-1+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1) (x -1),即y=2x.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由题意得a 2=,a 3=.(5分)(Ⅱ)由-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以= .故{a n}是首项为1,公比为的等比数列,因此a n=.(12分)-18.解析(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得=4,(t i-)2=28,(-)=0.55,(t i-)(y i-)=t i y i-y i=40.17-4×9.32=2.89,r≈.≈0.99.(4分)..因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)(-)(-)=.≈0.10,(Ⅱ)由=.≈1.331及(Ⅰ)得=(-)=-=1.331-0.10×4≈0.93.所以y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得:=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.(12分)19.解析(Ⅰ)证明:由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分)又AD∥BC,故TN AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分)取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=-=.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×所以四面体N-BCM的体积V N-BCM= S△BCM=.(12分)20.解析由题设知F ,.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,且A,,B,,P-,,Q-,,R-,.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(Ⅰ)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-=--==-=-b=k2.所以AR∥FQ.(5分)(Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得2×|b-a|-=-,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=-(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)21.解析(Ⅰ)由题设知, f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=-1,令f '(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时, f '(x)>0, f(x)单调递增;当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减.(4分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,ln x<x-1.故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln<-1,即1<-<x.(7分)(Ⅲ)证明:由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-c x,则g'(x)=c-1-c x ln c,令g'(x)=0,解得x0=-.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.(9分) 由(Ⅱ)知1<-<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.(12分)22.解析(Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分)(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)C 1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为(α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==-.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为,.(10分)24.解析(Ⅰ)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2 +2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)(Ⅱ)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥ 2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a +a≥3.①(7分)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)。