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解二面角问题三种方法(习题及答案)

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解二面角问题三种方法（习题及答案）解二面角问题(一)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

(1)定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。

下面举几个例子来说明。

例1:如图，立体图形V—ABC的四个面是全等的正三角形，画出二面角V—AB—C的平面角并求出它的度数。

例2:在三棱锥P-ABC中，APB= BPC= CPA=60,求二面角A-PB-C的余弦值。

这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找 出来的：1、在正方体ABCD —AiBiCiDi 中，找出二面角B-AC- B 】的平面角并求出它的度数。

边长为a 的菱形ABCD , ZACB=60°,现沿对角线 各其折成才60°的二面角，则A 、C 之间的距离 □（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条 对角线咸两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成 的角是二面角的平面角） 3、正三棱柱ABC —AiBC 的底面边长是4,过BC 的一 个平面与AAi 交于D,若 妙3,求二面角D-BC-A 的正切值。

总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般 是图形的性质较好，能够较决地找到满足二面角的平 面角的三个主要樽征。

并且能够很快地利用图形的一 常见的几何体有正四面2、.： BD 将 为— 些条件来求出所要求的。

体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。

至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。

由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。

(2)三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。

这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。

此方法是属于较常用的。

例3:如图，在三棱锥P-ABC中，P从平面ABC PA=ABPAC=BC=1 / ACB=90, M 是PB的中点。

⑴求证：BC丄PC (2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。

N例4:如图，已知△ ABC中，AB丄BC, S为平面ABC外的一点，SAL平面ABC AM L SB于M AN!SC于N,(1)求证平面SABL平面SBC(2)求证/ ANM是二面角A—SC —B的平面角.B本题可变形为：如图，已知△ ABC中, AB丄BC S为平面ABC外卜的一点，SA!平面ABC / ACB= 60°, SA =AC= a, (1)求证平面SABL平面SBC (2)求二面角A—SC—BC的正弦值.在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。

且两垂线相交，交点在二面角的面内。

（3）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。

这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。

例5:如图在三棱锥S—ABC中，S从底o.面ABC AB丄BC DE垂直平分SC且分别交AC SC于D E,又S心AB, SB= 斌铁少C BC，求二面角E—BC—C 的度数。

如图，AC ,BD ,况与B 所成的角为600, AC l 于C, 求A 于B B ，点间的矗。

4'型2， （二）寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。

无棱的二面角一般是只已知一个共点， 但两个面 的交线不知道。

若要找出二面角的平面角，则需要根 据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面 角问题，再按有棱二面角的解法解题。

这种主要有两 类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不 是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。

那 么延长这两条线有一交点，根据公理 2，这点在二面 角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类CC是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。

这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。

由公理4可知这两条直线平行于二面角的棱。

所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。

例6:如图，△ ABC在平面上的射一CCC=AB=1求平面ABC与平面ABC 所成锐角二面角的大小。

变式：入1.如图,在底面是直角梯形的. X立体图S—ABCDh, / ABG 900, SA 上Ail、 E D C丄底面ABCD SA= AB= BC= 1 , AD=0.5 ,求面SCD与面SBA所成二面角的平面角的正切值2. 如图，在所给的空间图形中 ABCD 是正方形，PD 丄3.如图，斜三棱柱ABC- ABC 的棱长A 都是a ,侧棱与底面成 600角，侧面 ^^y BBCCB 丄面ABC 求平面ABC 与底面/］；；［¥ ABC 所成的二面角的大小。

C D B 面ABCD PD= AD 求平面 PAD 和PBC 所成的二面角 C的大小。

A B解关于二面角问题二面角是立体几何中最重要的章节。

二面角中的内容综合了线面垂直，三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点，是高考的热点和难点。

在总结时，若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结，对提高学生的数学思想方法是有帮助的，对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。

为此我对这方面进行总结，以供教学和学习参考。

（一）对本内容进行思考时，必须弄清两个概念：（1）什么是二面角，如何表示？而二面角的大小是可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度（2）什么是二面角的平面角，如何表示？这一概念特别重要，要能够很快地反应出二面角的平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。

，二面角的平面角的定义三个主要特征是：过棱上任意一点；分别在两个面内作射线；射线垂直于棱。

明白这一点对于能够作出或找出二面角的平面是很关键。

在脑子里要能想象出二面角平面角的图形。

如图，0€ a, OA a, OB 3 ,OA 丄a, OBL a。

（二）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键,这也是个难点。

在从图形中作出二面角的平面角时,要结合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析, 确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形, 然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。

所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。

而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂面法。

至于在求解有关平面角的问题时, 这平面角通常是在三角形中,所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识, 这包括正弦和余弦定理的知识, 也会用到其它的平面几何知识。

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直 于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角， 这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定 义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出 的角要有利于解决问题。

下面举几个例子来说明。

例1:如图，立体图形V — ABC 的四个面 是全等的正三角形，画出二面角 V — ABA —C 的平面角并求出它的度数。

A 分析：由图可知，所求的二面角的棱是 AB 两个面是面VAB 和面CAB 由已知可知这是一个正四面体，各个面是全等的正三角形，根 据二面角的平面角的定义，我们可利用正 三角形的性质来找出平面角，取 AB 边上 的中点D,连结VD和CD 则/ VDC 是所求 二面角的平面角。

可设正三角形的边长为 解形的知识求出VD= CD=』a ，在△ VDC 中，利用余2弦定理可求得 cos Z VDC=1/3 •••/ VDC= arccos1/3 评注：在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和 二面角平面角的定义来找出所要求的平面角。

在求解 时利用的是平面几何解三角形的知识。

这也就是把立 体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。

a ， B A 用解三.例2:在三棱锥P-ABC中，APB= BPC= CPA=60,求二面角A-PB-C 的余弦值分析：所求二面角的棱是PB,两个面为面 PBA 和面PBC 用二面角的平面角的定义 找出平面角，在二面角的棱 PB 上任取一 点Q,在半平面 PBA 和半平面 PBC 上作 QMPB QNPB 则由定义可得 MQN 卩为二面角的平 面角。

设 PM=a 则在 Rt PQM 和 Rt PQN 中可求得 QM=QN=a ;又由 PQN PQM 得PN=a,故在正三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cos MQN=1/3即二面角的余弦值为1/3。

这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找 出来的： 1、 如图，在正方体 ABCD-ABCD 中，找出二面角B —AC — B 的平面角并求出它的度数。

2、 .边长为a 的菱形 ABCD ,/ ACB=60, 现沿对角线BD 将其折成才600的二面角， 则A C 之间的距离为 。

（菱形两条对 角线互相垂直，对折后的一条对角线成两 条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成 的角是二面角的平面角）3、 正三棱柱ABC — ABC 的底面边长是4, B inj k个平面与 AA 交于 D 若 AD=3,求二面角 D — BC — A 的正切值。

总之，能用定义法来找二面角的平面角的， 一般 是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平 面角的三个主要特征。

并且能够很快地利用图形的一 些条件来求出所要求的。

在常见的几何体有正四面 A B D B 过B E 的体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角 形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的 一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面 角。

至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求 解。

由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长 或者角，再用解三角形的知识去求解。

(2) 三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定 理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。

这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。

此方法 是属于较常用的。

例3:如图，在三棱锥 P-ABC 中，P 从平 面 ABC PA=AB AC=BC=1 / ACB=90, M 是PB的中点。

⑴求证：BC 丄PC (2)平 面MAC 与平面ABC 所成的二面角的正切。

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(完整版)二面角求解方法

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

空间几何二面角解题技巧练习

空间几何二面角解题技巧练习

空间几何二面角解题技巧练习作者: 日期:知识点：二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点•直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。

常用的方法有以下几种：方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。

方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线P A 、PB,连接AB,根据三垂线定理 、例题：例1 •在棱长为1的正方体 AC 1中，（1）求二面角A B 1D 1 C 的大小;例2 •如果二面角丨 的平面角是锐角，点P 到，，1的距离分别为2「2,4,4「2,求二面角的大小.（垂面法）。

例3 .在正方体 A C 1中,E 是BC 中点,F 在A A 1上,且A 1F : FA= 1 : 2,求平面 B E F 与底面 A 1B 1C 1D 所成的二面 角•方法四（投影面积法 角为，则S z =Sco s 或 方法五（异面直线法 ,, 2 2 2 2 ）一个平面 上的图形面积为S,它在另一个平面 上的投影面积为 S'，这两个平面的夹 s /c O s =-・S =n, C D =d,则有 A B =m+n + d -2mncos ,故 cos = 在已知二面角两个面上两点间距离说明：原来的公式中 理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角2 2 2 2 =m+n + d 2mnc o s .但二面角可以取钝钝角 方法六（空间向量法）如图5,设n1,n 2,是二面角相交成角，AC B D 分别在、上，且与棱垂直•若AC =m,BD m n d AB） 2mn （即丨AB|）的情况下，可以用此公式来求 •），故根据A 、E 的位置情况公式是 AB ,故只需取“-”号得出公式（1 ）• l 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内 侧,另 一个指向外侧，则二面角的平面角 =arccos 締。

二面角习题及答案

二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

DPCABEDBASC解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

专题6：理科高考中的二面角问题(解析版)

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专题6：理科高考中的二面角问题（解析版）求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==， 即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-， 即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭.1．如图所示，AE ⊥平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，//BC AD ，BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【分析】（1）根据//BF AE ，//BC AD ，从而证明平面//BCF 平面ADE ，从而//CF 平面ADE 。

（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。

【详解】OABOABl（1）∵四边形ABEF 为矩形//BF AE ∴又BF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE//BF ∴平面ADE又//BC AD ，同理可得：//BC 平面ADE又BF BC B ⋂=，BF ，BC 平面BCF ∴平面//BCF 平面ADE 又CF 平面BCF//CF ∴平面ADE（2）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，()2,0,4F(0,4,0)AD ∴=,(2,2,0)CD =-,(0,2,4)CF =-设(,,)x y z =n 是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩(2,2,1)n ∴=又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||n AD n AD n AD ⋅∴==⋅∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23.【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。