二面角问题的解题方法探讨

第20卷第2期 河池师范高等专科学校学报(自然科学版) Vol.20No.2 2000年6月 JOURNA L OF HECHI TEACHERS’CO LLEGE(NAT UT A L SCIENCES) Jun.2000二面角问题的解题方法探讨黄星寿(宜州民族师范学校　讲师　广西宜州　546300)【摘　要】　本文根据立体几何中二面角的特点,介绍了四种二面角问题的解题方法。

【关键词】　二面角问题　解题方法【中图分类号】　G633.63 【文献标识码】　A 【文章编号】　1005—765(2000)02—0076—04二面角问题是立体几何的重点和难点,是高考和竞赛的热门话题,纵观历年来高考的立几试题,几乎都与二面角有关,许多学生往往不能正确作出平面角而使解题搁浅。

为了更好地解决这个问题,本文列举了以下四种常用方法,供读者参考。

1　构造平面角法构造二面角的平面角来度量二面角的大小,是计算二面角的重要途径和常用方法。

而从二面角棱上的一点引垂线构造平面角则是常用的方法之一。

例1、<如图(1)>P是二面角α—AB—β棱AB上的一点,分别在α、β上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,求二面角α—AB—β的大小。

解:分别在PM、PN上取PE、PF,使PE=PF,作EC⊥AB,垂足为C,C是棱上的特殊点,连接FC,因∠BPM=∠BPN,所以△ECP≌△FCP,从而FC⊥AB,∠ECF是所求二面角的平面角。

设PE=a,在Rt△ECP与Rt　FPC中,∠BPE=∠BPF=45°,∴EC=FC=2a,又∠MPN=60°,∴EF=a。

2在ECF中,得∠ECF=90°,故所求二面角等于90°。

灵活使用三垂线定理及其逆定理也是构造二面角的平面角的一个重要方法。

例2　〈如图(2)〉三棱锥A—BC D中,∠ADB=∠C BD=90°,平面ABD⊥平面BC D,AD=DB=BC,求二面角B—AC—D的度数。

解:∵平面ABD⊥平面BC D且BC⊥BD,∴BC⊥平面ABD。

∵BC<平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABD。

在平面ABD内作DF⊥AB,垂足为F,则DF⊥平面ABC。

在平面ABC内作FE⊥AC,垂足为E,连接DE,则EF为E D在平面ABC内的射影,由三垂线定理知:AC⊥DE,∴∠DEF是所求二面角的平面角。

67　收稿日期:1999-06-20　设　AD =DB =BC =1,则DF =22。

在△ADC 中,DC =2,AC =3,　∴DE =23在Rt △DFE 中,sin ∠DEF =DF DE =32∴∠DEF =60°,即二面角B —AC —D 等于60°。

小结:求二面角的大小关键是求其平面角的大小,正确合理地构造平面角是有效解题的关键。

以上介绍的是二面角平面角构造的两种方法。

此外,还可通过辅助线及辅助平面加以构造,在解题中,应根据题型特点灵活选用。

2　正弦公式法图(3)二面角问题的求解,有时难以定位作出其平面角,这时若采用以下公式,常常会取得意想不到的效果。

〈如图(3)〉　AB 和平面α所成的角是θ1,AC <α,∠BAC =θAB 在α内的射影为AB ′,过B ′作B ′D ⊥AC 于D ,连接BD ,则∠BDB ′为二面角B —AC —B ′的平面角,设为Φ,则sin Φ=BB ′BD =ABsin θ1ABsinθ=sin θ1sin θ故得公式:sin Φ=sin θ1sinθ (1)即二面角的正弦等于它的一个面内的一条射线(从棱上一点出发的)与另一个面所成的角(线面角)的正弦除以此射线与棱所成的角(线棱角)的正弦。

图(4)例3　在正方体AC 1中,求二面角C 1—D 1B —C 的大小。

解:　〈如图(4)〉连C 1D ,设交D 1C 于O ,则C 1O ⊥面D 1BC ,视D 1C 1为射线,则θ1=∠C 1D 1C =45°,θ=∠C 1D 1Bsinθ=BC1BD1=23　设所求的二面角的平面角为Φ,则由公式sin Φ=sin θ1sinθ得sin Φ=32,则Φ=60°。

图(5)例4　〈如图(5)〉在三棱锥S —ABC 中,S A ⊥底面ABC ,AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC ,又S A =AB ,S B =BC ,求二面角E —BD —C 的大小。

解:由CE ⊥DE ,CE ⊥BE 得CE ⊥面BDE ,BD ⊥CE 。

又由于BD ⊥S A ,故BD⊥面S AC ,BD ⊥AC 。

再由AB ⊥BC ,知∠C BD =∠BAC ,视BC 为射线,则θ1=∠C BE =45°,θ=∠C BD =∠BAC 。

设S A =AB =1,易得BC =2,AC =3则sin θ=23。

设所求二面角之平面角为Φ,据公式(1)得sin Φ=32,所以Φ=60°。

小结:此法求二面角的大小,是把求二面角的问题转化为求线面角和线线角问题,其解法简洁,直观易懂,又无须作出平面角,解决了一些解题者由于无法作出二面角的平面角而导致解题搁浅的问题。

773　面积法若已知一个平面内三角形或多边形的面积及其在另一平面内射影的面积,则可通过以下方法求其二面角的大小。

设平面α上的△ABC 在β上的射影为△A ′B ′C ′,α与β所成的二面角为θ,那么两个三角形的面积满足S △A ′B ′C ′=S △ABC |cosθ| (2)证明:　〈如图(6)〉设α∩β=1,A 、B ∈1,C |1,作ABC 的边AB 上的高C D ,连续C ′D ,而有C ′D ′=C D ・|cos θ|,A ′B ′=AB ,S △ABC =12AB ・C D ,S △A ′B ′C ′=12A ′B ′・C ′D ′=12AB ・C D|cos θ|=S △ABC ・|cos θ|,故得证。

若点A ∈1,B ,C |1或A ,B ,C |1均可用同样方法得到证明,签于篇幅,在此省略。

例5　将一付三角板拼接,使用公共边BC 且使两个三角形所在平面互相垂直,若∠A =90°,若AB =AC ,∠C BD =90°,∠D =60°,求二面角A —C D —B 的大小。

解:〈如图(7)〉作AF ⊥DC 于F ,作AE ⊥BC 于E因为AB =AC 所以E 必为BC 的中点,连续EF ,由于平面ABC ⊥平面BC D ,所以AE ⊥平面BC D ,AE ⊥EF ,由三垂线定理可知EF ⊥DC 所以点E 是点A 在平面BC D 上的射影,△AC D 在平面BC D 上的射影为△EC D设BD =a ,二面角A —C D —B 的度数为θ,则有S △ECD =S △ACD ・cos θ。

容易求得C D =2a ,AF =154a ,S △ECD =34a 2,S △ABC =154a 2,∴cos θ=S △EC D S △AC D =55, θ=arc cos 55.小结:采用面积法求二面角的大小,有时较为简便实用,解题时可灵活应用。

此外,该公式推广到多边形仍然成立,其原理是将多边形分解成若干个三角形,通过推理,便可得出结论。

4　线段射影法若已知二面角中一个面内一条线段的长及其在另一个面内射影的长,且已知该线段与棱的交角,则可用以下方法求了二面角的大小。

设二面角α—I —β的大小为θ,线段AB 在平面α内,直线AB 与棱I 的交角为φ(0<φ<π),那么线段AB 在平面β内的射影A ′B ′满足(A ′B ′)2=AB 2(1-sin 2φ・sin 2θ) (3)证明如下:〈如图(8)〉在α内分别作AD ⊥I ,BE ⊥I ,AC ∥I ,在β内,连接A ′D 、B ′E ,作A ′C ′∥I ,则有A ′C ′=DE =AC =AB|cosφ|,A ′D =AD|cos θ|,B ′E =BE|cos θ|,BC =AB ・sinφ。

87在Rt △A ′B ′C ′中,(A ′B ′)2=(B ′C ′)2+(A ′C ′)2 =(B ′E -A ′D )2+(A ′C ′2)2=〔(BE -AD )cos θ〕2+AB 2cos 2φ =AB 2(sin 2φcos 2θ+cos 2φ=AB 2(1-sin θsin 2φ)故(A ′B ′)2=AB 2(1-sin 2φsin 2θ)例6　〈如图(9)〉已知矩形ABC D ,E 是C D 中点,AB :BC =2:3将△AE D 沿边E D 折起到A ′E D 位置,使∠A ′E B =75°,求面A ′BE 与面A ′AD 所成的二面角。

解:设面A ′BE 与面A ′AD 所成的锐二面角为θ,又设AB =2m ,BC =3m ,则A ′E =AE =BE =m ・m +3m ・m =2m .延长BE 交AD 延长线于P ,连结A ′P ,则直线A ′P 为面A ′BE 与A ′AD 的交线。

作EH ∥PA ′,交A ′B 于H ,　∵C D ⊥AD ,C D ⊥A ′D ,,∴C D⊥面AA ′D 。

又AB ∥C D ,　∴AB ⊥面AA ′D ∴线段BE 在面AA ′D 内的射影为AD ,且AD =BC =3m 。

∵DE ∥AB ,DE =12AB ,∴E 是BP 的中点∴H 是A ′B 的中点。

但A ′E =BE ,∴EH 是∠A ′E B 的二等分线。

∵∠A ′E B =75°,∴∠HE B =∠A ′P B =37.5°即直线BE 与二面角A —A ′P —B 的棱A ′P 交角为37.5°。

根据公式(3)得:(3m )2=(2m )2(1-sin 237.5・sin 2θ)∵cos75°=6-24　sin37.5°=1-cos75°2=148+22-26,∴sin θ=8+36-43-522,　θ=arcsin 8+36-43-522小结:采用此法求二面角,关键是设法通过题中已知条件求出某线段的长,该线段在另一平面内射影的长及该线段与二面角的棱的交角。

Studying the Approaches Used to Work Out the ProblemsAbout the Angle with Tw o Surfaces .H uang Xing shou(Yizhou N ational N orm al School ,G uangxi ,Lecturer ,546300)【Abstract 】　According to the characteristics of the angle with tw o surfaces ,four kinds of approches Which can be used to w ork out the problems about the angle with tw o surfaces was introduced .【K eyw ords 】　An angle with tw o surfaces ;approaches used to w ork out the problems .97。