二面角的作与求
求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s
投影面
=s
被投影面
θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，
是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos
例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，
PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法
解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE
AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥
BC ，PE ⊥BC
∴PEA ∠为二面角
P-BC-A 的平面角
在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6
P
C
B
A
E
∴PEA ∠=900
∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）
取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC
∴平面
PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
∴BE ⊥平面
PAC
由三垂线定理知BF ⊥PC
∴BFE ∠为二面角
A-PC-B 的平面角
设PA=1,E 为AC 的中点，BE=
23,EF=4
2
∴tan BFE ∠=
6=EF
BE
∴BFE ∠=arctan 6
解2：（三垂线定理法）
取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM
AB=AC,PB=PC ∴
AE ⊥BC,PE ⊥BC
∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC
∴
平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE
P
C A
E
F M
E
P
C
A
F
图1
图2
由三垂线定理知AM ⊥PC
∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角
设PA=1，AM=
22,AF=7
21
.=PE AE AP
∴sin FMA ∠=
7
42=AM AF ∴FMA ∠=argsin
7
42
解3：（投影法）
过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC
∴平面
PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
∴BE ⊥平面
PAC
∴PEC ∆是PBC ∆在平面
PAC 上的射影
设PA=1,则PB=PC=2,AB=1
4
1
=
∆PEC S ,47=
∆PBC S
由射影面积公式得，77
cos
arg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）
过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=
2
2
,PB=PC=2 ∴BE=
PC S PBC 2
1∆=414,CE=42,DE=42
由异面直线两点间距离公式得
P
C
A
E
E
P
C
B
A D
图3
图4
AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =
7
7cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
例3：二面角βα--EF 的大小为 120，A 是它内部的一点，AB ⊥α，AC ⊥β,B 、C 为垂足。
（1） 求证：平面ABC ⊥α,平面ABC ⊥β
（2） 当AB=4cm,AC=6cm 时求BC 的长及A 到EF 的距离。 分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角 解：（1）设过 ABC 的平面交平面α于BD,交平面β于CD
AB ⊥α
,AB ⊂平面ABC
∴
平面ABC ⊥α,同理平面ABC ⊥β
（2） AB ⊥α
∴AB ⊥EF
同理AC ⊥EF
∴EF ⊥平面ABDC
∴BD ⊥EF,
CD ⊥EF
∴BDC ∠= 120 ∴ 60=∠BAC
∴BC=72606426422=⨯⨯-+ COS cm
有正弦定理得点A 到EF 的距离为：d=
321
460
sin =
BC cm α
A
B
C β
D
