单因素方差分析完整实例

什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。

单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。

单因素方差分析相关概念•因素：影响研究对象的某一指标、变量。

•水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。

•单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

现需要在显著性水平a = 0.0!下检验这些百分比的均值有无显著的差异。

设各总体服从正态在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。

假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。

这就是单因素试验。

试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。

即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。

这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题单因素方差分析的基本理论⑴备择假设Hi,然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。

本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。

2厂…j $）下进行了nj = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。

这些结果是一个随机变量。

表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为山、》2、…r »则按题意需检验假设页：旳=“2 =…=川尸1 : \J “5不全相等为了便于讨论，现在引入总平均卩[Ho :屍="2 =…=毎=qI 闻:力屆…：吗不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值®是否相等，也就等价于检验各水平Aj的效应6是否都等于零。

样本产恥…佔吁/来自正态总体N （虬2）, 9与02未知，且设不同水平Aj 下的样本 之间相互独立，则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。

单因素方差分析报告一、引言单因素方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。

通过对多个组的数值数据进行分析，可以帮助我们了解不同组之间是否存在显著差异，并进一步研究造成这些差异的原因。

本报告旨在通过单因素方差分析，探究不同品牌汽车的平均价格是否存在差异。

二、方法在本研究中，我们选取了A、B、C、D四个品牌的汽车作为研究对象，收集了每个品牌下的10辆汽车的价格数据。

采用单因素方差分析方法可以帮助我们确定品牌因素对汽车价格的影响是否显著。

三、结果经过单因素方差分析，我们得到如下结果：品牌平均价格方差 F值 p值---------------------------------------------------A 25万 1.2 15.23 0.001B 23万 1.5 13.52 0.001C 27万 1.1 17.84 0.001D 20万 1.8 11.47 0.001根据上述结果可知，不同品牌汽车的平均价格存在显著差异。

通过F检验，我们可以得到p值均小于0.05，说明这种差异不是由于抽样误差造成的。

同时，不同品牌汽车的方差也有所不同，这表明品牌因素在汽车价格的变异中起到了一定的作用。

四、讨论与分析品牌因素对汽车价格的影响是一个相对复杂的问题。

一方面，品牌在市场中的知名度和声誉对消费者购买决策有很大影响，知名品牌的汽车往往具有更高的价格。

另一方面，不同品牌的汽车在技术、配置以及服务等方面可能存在差异，也会造成价格的不同。

在本研究中，我们所选取的四个品牌的汽车，虽然价格存在显著差异，但这并不代表具体的品牌定位和市场策略。

有可能A品牌的汽车性能更好，配置更高，而D品牌的汽车定位为入门级，价格更为亲民。

因此，在选择汽车时，消费者需要综合考虑品牌声誉、性能配置以及价格等因素。

此外，本研究的样本数量有限，只选取了每个品牌下的10辆汽车。

若想得出更准确的结论，建议扩大样本数量，增加数据的可靠性。

第二节单因素试验资料的方差分析在方差分析中，根据所研究试验因素的多少，可分为单因素、两因素和多因素试验资料的方差分析。

单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种，目的在于正确判断该试验因素各水平的优劣。

根据各处理内重复数是否相等，单因素方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。

上节讨论的是重复数相等的情况。

当重复数不等时，各项平方和与自由度的计算，多重比较中标准误的计算略有不同。

本节各举一例予以说明。

一、各处理重复数相等的方差分析【例6.3】抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。

表6-12五个不同品种母猪的窝产仔数这是一个单因素试验，k=5,n=5。

现对此试验结果进行方差分析如下：1、计算各项平方和与自由度2、列出方差分析表，进行F检验表6-13不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表根据df1=df t=4,df2=df e=20查临界F值得：F0.05(4,20)=2.87,F0.05(4,20)=4.43，因为F＞F0.01(4,20)，即P＜0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。

3、多重比较采用新复极差法，各处理平均数多重比较表见表6-14。

表6-14不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表(SSR法)-8.2 -9.6因为MS e=3.14,n=5，所以为：根据df e=20，秩次距k=2,3,4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR 值，乘以=0.7925，即得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。

表6-15SSR值及LSR值将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显著极差比较并标记检验结果。

检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品种，但与3号品种差异不显著；3号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种，与1号和4号品种差异不显著；1号、4号、2号品种母猪的平均窝产仔数间差异均不显著。

什么是单果素圆好领会之阳早格格创做单果素圆好领会是指对于单果素考查截止举止领会，考验果素对于考查截止有无隐著性做用的要领.单果素圆好领会是二个样本仄衡数比较的引伸，它是用去考验多个仄衡数之间的好别，进而决定果素对于考查截止有无隐著性做用的一种统计要领.单果素圆好领会相闭观念●果素：做用钻研对于象的某一指标、变量.●火仄：果素变更的百般状态或者果素变更所分的等第或者组别.●单果素考查：思量的果素惟有一个的考查喊单果素考查.单果素圆好领会示例[1]比圆，将抗死素注进人体验爆收抗死素取血浆蛋黑量分离的局里，以致缩小了药效.下表列出了5种时常使用的抗死素注进到牛的体内时，抗死素取血浆蛋黑量分离的百分比.现需要正在隐著性火仄α = 0.05下考验那些百分比的均值有无隐著的好别.设各总体遵循正态分散，且圆好相共.正在那里，考查的指标是抗死素取血浆蛋黑量分离的百分比，抗死素为果素，分歧的5种抗死素便是那个果素的五个分歧的火仄.假定除抗死素那一果素中，其余的十足条件皆相共.那便是单果素考查.考查的手段是要观察那些抗死素取血浆蛋黑量分离的百分比的均值有无隐著的好别.即观察抗死素那一果素对于那些百分比有无隐著做用.那便是一个典型的单果素考查的圆好领会问题.单果素圆好领会的基础表里[1]取常常的统计估计问题一般，圆好领会的任务也是先根据本量情况提出本假设H0取备择假设H1，而后觅找适合的考验统计量举止假设考验.本节将借用上头的真例去计划单果素考查的圆好领会问题.正在上例中，果素A（即抗死素）有s（=5）个火仄，正在每一个火仄下举止了nj = 4次独力考查，得到如上表所示的截止.那些截止是一个随机变量.表中的数据不妨瞅成去自s个分歧总体（每个火仄对于应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需考验假设没有齐相等为了便于计划，当前引进总仄衡μ其中：再引进火仄Aj的效力δj隐然有，δj表示火仄Aj下的总体仄衡值取总仄衡的好别.利用那些暗号，本例的假设便等价于假设没有齐为整果此，单果素圆好领会的任务便是考验s个总体的均值μj是可相等，也便等价于考验各火仄Aj的效力δj是可皆等于整.2. 考验所需的统计量假设各总体遵循正态分散，且圆好相共，即假定各个火仄下的样本本自正态总体N(μj,σ2)，μj 取σ2已知，且设分歧火仄Aj下的样本之间相互独力，则单果素圆好领会所需的考验统计量不妨从总仄圆战的领会导出去.底下先引进：火仄Aj下的样本仄衡值:数据的总仄衡:总仄圆战:总仄圆战ST反映了局部考查数据之间的好别，果此ST又称为总变好.将其领会为ST = SE + SA其中:上述SE的各项表示了正在火仄Aj下，样本瞅察值取样本均值的好别，那是由随机缺点所引起的，果此SE喊干缺点仄圆战.SA的各项表示了正在火仄Aj下的样本仄衡值取数据总仄衡的好别，那是由火仄Aj以及随机缺点所引起的，果此SA喊干果素A的效力仄圆战.不妨说明SA取SE相互独力，且当为真时，SA取SE分别遵循自由度为s − 1,n − s的χ2分散，即SA / σ2˜χ2(s − 1)SE / σ2˜χ2(n − s)于是，当为真时那便是单果素圆好领会所需的遵循F分散的考验统计量.3. 假设考验的中断域通过上头的领会可得，正在隐著性火仄α下，本考验问题的中断域为为了便当领会比较，常常将上述领会截止编排成如下表所示的圆好领会表.表中的分别称为SA,SE的均圆.圆好根源仄圆战自由度均圆F比果素A SA s −1缺点SE n −s总战ST n −1。

第八章单因素方差分析8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]：重复播种期2月19日3月9日3月28日4月13日1 0.26 0.14 0.12 0.032 0.49 0.24 0.11 0.023 0.36 0.21 0.15 0.04对上述结果做方差分析。

答：所用程序及结果如下：options linesize=76 nodate;data mugwort;do date=1 to 4;do repetit=1 to 3;input yield @@;output;end;end;cards;0.26 0.49 0.360.14 0.24 0.210.12 0.11 0.150.03 0.02 0.04;run;proc anova;class date;model yield=date;means date/duncan;run;One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureClass Level InformationClass Levels ValuesDATE 4 1 2 3 4Number of observations in data set = 12One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureDependent Variable: YIELDSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667Corrected Total 11 0.21809167R-Square C.V. Root MSE YIELD Mean0.848993 35.48088 0.06416 0.18083DATE 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureDuncan's Multiple Range Test for variable: YIELDNOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, notthe experimentwise error rateAlpha= 0.05 df= 8 MSE= 0.004117Number of Means 2 3 4Critical Range .1208 .1259 .1287Means with the same letter are not significantly different.Duncan Grouping Mean N DATEA 0.37000 3 1B 0.19667 3 2BC B 0.12667 3 3CC 0.03000 3 4对于方差分析表中各项内容的含义，在“SAS程序及释义”部分已经做了详细解释，这里不再重复。

单因素方差分析完整实例————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23 什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。

单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。

单因素方差分析相关概念● 因素：影响研究对象的某一指标、变量。

● 水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。

● 单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。

设各总体服从正态分布，且方差相同。

青霉素 四环素 链霉素 红霉素 氯霉素4 29.6 27.3 5.8 21.6 29.2 24.3 32.6 6.2 17.4 32.828.5 30.8 11.0 18.3 25.032.0 34.8 8.3 19.0 24.2在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。

假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。

这就是单因素试验。

试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。

即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。

这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。

单因素方差分析的基本理论[1]与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H 0与备择假设H 1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。

本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。

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Sig.>0.05,方差同质
Sig.=0.001<0.01，所以组间存在极显著差异
在0.05水平上，A组与C组存在显著差异，A组与B D E组差异不显著
B组与C组存在显著差异，B组与D E组差异不显著
C组与D E组存在显著差异
D组与E组差异不显著
在0.05水平上，A组与C组存在极显著差异，A组与B D E组不存在极显著差异B组与C组存在极显著差异，B组与D E组不存在显著差异
C组与D E组存在极显著差异
D组与E组不存在极显著差异
综上所述，A组与C组存在极显著差异，A组与B D E组差异不显著
B组与C组存在极显著差异，B组与D E组差异不显著
C组与D E组存在极显著差异
D组与E组差异不显著
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