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复变函数讲义第5章

复变函数讲义第5章

规定为 , 0 , R .
因此， 幂级数


cn ( z z0 )
n
的收敛范围是
n0
以 z z 0 为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数 进行具体分析.
24
收敛半径的求法 设级数
.
说明
复数项级数的审敛问题

(定理2)
实数项级数的审敛问题
9
课堂练习

级数
n ( 1 n ) 是否收敛？
n 1

1
i
解 因为
a n n 发散 ;
n 1 n 1
1
b n n 2 收敛
n 1 n 1
1
.
所以原级数发散.
10
级数收敛的必要条件
因为实数项级数
n 2 n
n1
这类函数项级数称为幂级数.
20
2.幂级数的敛散性
定理4 (Abel定理) 处收敛，则当 若级数

若级数
c
n0

n
z
n
在 z1 0
z z1
时, 级数


cn z
n
绝对收敛;
n0
cn z
n
在 z 2 处发散，则当 z z 2 时, 级数
n0


cn z
n
发散.
n0
n
,
n1

n

1 2
n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数



( 1) n

复变函数 全套课件

复变函数 全套课件

w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8

复变函数第5讲

复变函数第5讲
11
例题1
解方程 sin z ish1 .
解： sin z sin x iy sin x cos iy cos x sin iy
sin xchy i cos xshy ish1
sin xchy 0 cos xshy sh1
k
1 2
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1)shz、chz都是以 2 i为周期的函数 .
2)chz 偶函数 , shz 奇函数 .
3) (chz)' shz , ( shz )' chz, shz和chz在 整 个 复 平 面 内 处 处 析 解.
4) 由定义shiy i sin y, chiy cos y.
自然地，定义复平面上的指数函数为
exp( z ) e x (cos y i sin y )
e z : e x (cos y i sin y )
2
注 (1)e z 仅仅是个符号 , 它的定义为 e x (cos y i sin y ) ， 没有幂的意义.
( 2)特别当z的实部x 0时,就得到 Euler 公式 : e iy cos y i sin y .
带形域映射成角形域常用指数函数 .
4
(1.2) 指数函数的性质
(1) f ( z ) e z 在复平面上处处解析， 且(e z ) e z .
(2)加法定理 : e xpz1 e xpz2 e xp(z1 z2 ).
(3) e 是以2 i为周期的周期函数 .
z
这个性质是实变指数函数所没有的！
8
3) sinz是奇函数 , cos z是偶函数 .
4) sinz的零点 , 即方程sinz 0的根为 z k ,

《复变函数》第5章

《复变函数》第5章

例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.

复变函数第5讲

复变函数第5讲
§3 五类初等解析函数
本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类 函数的定义及特性。
一、 指数函数
思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中 ex的函数，使它满足下列条件
i）f (z)在复平面内处处解析； ii）f (z) f (z) iii) 当Im(z) 0时，f (z) ex , 其中，x Re(z)
在区域 - argz< 内，w ln z 是单值函数，其导数
可由反函数得求导法则给出：
dw dz
d ln z dz
1 dew
1 ew
1 z
dw
显然， lnz在除去原点与负实轴的复平面解析，Lnz的其 它分支也是如此，且它们有相同的导数值。今后我们在 应用Lnz时，总是指它在除去原点和负实轴的平面内的 某一分支。
或者 z Lnei Ln(cos1 i sin1)
ln1 i(1 2k ) i(1 2k )
3、运算性质
（1） Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
Ln
z1 z2
Lnz1
Lnz2
应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的 理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样。
（2） 特别注意：对正整数n，Lnzn nLnz，
Ln(3 4i) ln 3 4i [arg( 3 4i) 2k ]i ln 5 ( arctan 4 2k )i 3
例2：解方程 （1）ez i, （2）ez ei
解：(1）z Lni ln1 ( 2k )i (1 2k)i
2
2
(2) 注意到ez为周期函数，故有z i 2k i
ez1 ez2的充要条件是z1 z2 2k i, k为整数.
映射的几何特点 带形区域

复变积分第五章优秀课件

复变积分第五章优秀课件
有向光滑曲线, t 增大的方向为正向. 因为 C 光滑,
y (z) z(t0)
. z0 O
所以 z(t)0. 对于
w f [ z ( t) ]( t ) ,
C
w ( t) f(z ) z ( t) 0 .
于是w=f (z)将z平面上有向 x
光滑曲线C 映射成w平面内过点 w0f(z0)的有向
平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面 上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上 的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像.
如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不 同点, 即如果 z 1 , z 2 都是D中的点, z1 z2, 那么有 f(z1)f(z2), 则称 w=f (z)是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射.
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p 0. z(t0 ) z 0
上点z0处切线的正向.
O
x
y
(1) C在点z0处切线正向与x 轴
z(t0)
C
正向之间的夹角是 Argz(t0). (2) 设z平面内的两条有向光 O
. z0
Argz(t0)
x
滑曲线 C1:zz1(t)和 C2:zz2(t)相交于z0 (t=t0)点.
并且 w 0 f [ z 1 ( t 0 ) ] f [ z 2 ( t 0 ) ] .因此
C 1 1 A r g f ( z 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) C 2 2 A r g f ( z 0 ) A r g w 2 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 )
所以 A r g w 2 ( t 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) .

复变函数 ppt课件


z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：

第05讲_Z反变换


用幂级数展开法求解反变换
已知： X Z
1 3z
3 z 1
1 2
,
z 3
求它的 z反变换 x( n)
用幂级数展开法求解反变换
试用长除法求 X ( z )
1 , z 4 1 4 (4 z )( z ) 4
z
2
的z反变换
1 2

x(0) z x(1) z x( 2) z
在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n) 如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数；降幂排列 如收敛域为|z|<Rx-，x(n) 为左边序列，则X(z)展成z的正幂级数；升幂排列
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
部分分式展开法
X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 k n 0 k 1 1 z k z k 1 (1 z i z ) MN N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点, Zi为
X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k d r k 1 x( z ) C k ( z zi )r k r k ( r k )! dz z z z , k 1, 2r i
数字信号处理
主讲教师：沈晶
哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院
第5讲：Z反变换
本讲内容
Z反变换
Z反变换的求解
Z反变换
已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的

复变函数第5讲


在实变函数中, 负数无对数, 此例说明 在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的.
三、 乘幂ab与幂函数 1.定义: 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复 数, 定义乘幂ab为ebLna, 即 ab=ebLn a
2. 性质
① 当a为正数, b为实数, 则乘幂与高等数学中乘幂一 致. ② 当a C, bC时, 有 ab=ebLna=e b[ln|a|+i(arg a+2k)]
Ln z=ln|z|+iArg z
如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为一单值
函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此
ln z = ln|z|+iarg z
而其余各值可由
Ln z=ln z+2ki (k=1,2,...)
表达.
对于每一个固定的k, Ln z=ln z+2ki为一单值函 数, 称为Ln z的一个分支. 特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变 数对数函数. 3. 对数函数的解析性 讨论主值支ln z = ln|z|+iarg z的连续性
2.对数函数为多值函数 令z=rei, w=u+iv, 则eu+iv=rei, 所以 因此 u=ln r, v= +2k=Argz w=Ln z=ln|z|+iArg z=ln|z|+i(arg z+ 2k)
由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值
函数, 并且每两个值相差2i的整数倍,记作
下沿
结论1： lnz 在除去原点与负实轴外，处处都是连续的。
讨论主值支ln z = ln|z|+iarg z的解析性

高等数学课件：复变函数第5讲(初等函数)

8
例2 求1 2 和ii的值.
[解] 1 2 e 2 Ln1 e2kpi 2
cos(2kp 2) + i sin( 2kp 2).
(k 0,1,2,);
ii
eiLni
i p i+2kpi
e2
- p +2kp
e 2 ,(k
0,1,2,).
由此可见i
i是正实数,
它的主值是

-p
2
9
复变函数
1
初等函数
2
1, 指数函数
函数 exp z=eZ=ex(cos y+i sin y)
. 等价于关系式:
|exp z|=ex,
Arg(exp z)=y+2kp
3
exp z的周期性是2kpi, 即
ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
4
2.对数函数 对数函数定义为:指数函数的反 函数.
即 将满足方程
ew=z (z0)
的函数w=f(z)称为对数函数Lnz
下面要求w
. 令w=u+iv, z=reiq, 则
eu+iv=reiq,
所以 u=ln r, v=2kp+q.
因此 w=ln|z|+iArg z= ln|z|+i(2kp+q)
5
Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此
ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) 表达.
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在区域 - argz< 内，w ln z 是单值函数，其导数
可由反函数得求导法则给出：
பைடு நூலகம்
dw dz
d ln z dz
1 dew
1 ew
1 z
dw
显然， lnz在除去原点与负实轴的复平面解析，Lnz的其 它分支也是如此，且它们有相同的导数值。今后我们在 应用Lnz时，总是指它在除去原点和负实轴的平面内的 某一分支。
1. 定义：记z x iy，则复指数函数为：
定义
e z e xiy e x (cos y i sin y)
注：这里ez没有幂的含义，仅仅是一个记号，关于 幂的意义后面再讲。
2. 性质：由定义，复指数函数有以下特性： 1） ez ex , Argez y 2k ,
即x, y分别决定ez的模和辐角，并且显然有ez 0。
---- n值函数
3. 幂函数及其性质
1）当a z为一复变量时，可得到一般幂函数w zb。
不难证明，幂函数运算满足
2、计算公式：
给定一复数z，如何计算其对数Lnz ?
记 z r(cos i sin ), w Lnz u iv,
则由对数定义：
ew eu (cos v i sin v) z r(cos i sin )
两端比较得： eu r u ln r, 及v 2k
至此，我们得到对数函数的计算公式：
或者 z Lnei Ln(cos1 i sin1)
ln1 i(1 2k ) i(1 2k )
3、运算性质
（1） Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
Ln
z1 z2
Lnz1
Lnz2
应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的 理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样。
（2） 特别注意：对正整数n，Lnzn nLnz，
• a (n个a相乘）
当b 1 (n为正整数）时， n
a e e 1 n
1 n
Lna
1 n
(ln
a
i
arg
a
2k
i
)
e e 1 n
ln
z
i
arg
a2 k n
arg z 2k
arg z 2k
n z (cos
i sin
)
n
n
n z
当b m (n 1, m与n为互质自然数)时,
n
m
z n n zm
ez1 ez2的充要条件是z1 z2 2k i, k为整数.
映射的几何特点 wez 带形区域
y
(z)
y y2
w ez
角形区域
v
(w)
y y1
x
y2 y1
u
特点:把夹在y y1和y y2(0 y1 y2 2 )之间的 水平带形域映成平面的顶点在原点夹角为y2 -y1
的角形域,因此若需把
Ln(3 4i) ln 3 4i [arg( 3 4i) 2k ]i ln 5 ( arctan 4 2k )i 3
例2：解方程 （1）ez i, （2）ez ei
解：(1）z Lni ln1 ( 2k )i (1 2k)i
2
2
(2) 注意到ez为周期函数，故有z i 2k i
Lnz ln r i( 2k )
ln z i(arg z 2k ), (k 0,1,2,)
注: 1）对数函数 Ln z为多值函数，每两个值相差2i
的整数倍。 2）特别的，当k 0时，称 ln z ln | z | i arg z
为Lnz主值。显然有 Lnz ln z 2k i
上式中，对于每一个固定的k，称为Lnz的一个单值分支。
3) Lnz的定义域为z 0，即任意非零复数皆有对数。
4）特别地，当z x 0时，Lnz ln x i(0 2k ),
ln z ln x。 这正说明了复变数对数函数是实变数对数函数 的推广。
例1：Ln(1) ln1 ( 2k )i (2k 1)i
实际上，由于对数函数的多值性，即使考虑Lnz2 Lnz Lnz，因为是二集合相加，都不能简单的合并为2Lnz。
（3） 可以证明，如下等式成立 Ln n z 1 Lnz n
4、分析性质
考虑其主值分支 ln z ln | z | i arg z
容易看出，除去原点与负实轴外，lnz在其它点处处连续
§3 五类初等解析函数
本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类 函数的定义及特性。
一、 指数函数
思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中 ex的函数，使它满足下列条件
i）f (z)在复平面内处处解析； ii）f (z) f (z) iii) 当Im(z) 0时，f (z) ex , 其中，x Re(z)
2) 加法定理: e ez1 z2 ez1z2
3) ez处处解析，且(ez ) ez
以上三条性质与实指数函数相同 4) 欧拉公式 eiy cos y i sin y
5) ez为周期函数，周期为2 i, 因为e z2ki e x( y2k )i e xiy e z
这个性质是实变指数函数所没有的！ 容易得出如下结论
带形域映射成角形域常用指数函数.
例题
(1) e z ez e zz e0 1,
ez
1 ez
.
(2) 证明： e z e z .
ez e x (cos y i sin y) e xiy ez .
二、对数函数 1、定义：若ew z,则称w为z的对数函数
记为：w Lnz 即对数函数是指数函数的反函数。
2) b p ( p和q为互质整数，q 0) 时, ab具有q个值： q
p ln|a|i p (arg a2k )
ab eq q
p ln|a|
eq
cos
p q
(arg
a
2k
)
i sin
p q
(arg
a
2k
)
3) b为其他值时ab为无穷多个值。
4) 特别地，当b为正整数n时，
an enLna en(lna+i2k ) enlna elna • elna • • elna =a • a •
思考
eLnz ? Lnez ?
三、幂函数
1. 定义：复乘幂 ab ebLna , 其中，a, b为复数 且 a 0。
显然这一定义是由实数公式 xy eylnx推广而来。
2. 计算公式：
a e b
b[ln a i arg a2ki]
e e b[ln a i arg a] 2kbi
说明
1) b为整数时ab为单值， ab eblna。