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平面直角坐标系1.有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做________。
2.平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条________、________的数轴，组成____________。
水平的数轴称为x轴或____，习惯上取____为正方向；竖直的数轴称为y轴或____，取____方向为正方向；两坐标轴的交战为平面直角坐标系的____。
3.象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：（x，0）纵坐标轴上的点：_______4.距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的______。
坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为 x1-x2的绝对值；点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为 y1-y2的绝对值。
5.绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出a=b或者________。
6.角平分线问题：若点（x，y）在一、三象限角平分线上，则x=y若点（x，y）在二、四象限角平分线上，则______7.对称问题（选讲）：一点关于x轴对称，则x同y反；关于y轴对称，则y同x反；关于原点对称，则x反y反。
8.距离问题（选讲）：坐标系上点（x，y）距原点距离为：________。
坐标系中任意两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离为_________。
9.中点坐标（选讲）：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB中点坐标为__________。
10.平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；向左平移a 个单位长度，可以得到对应点________； 向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y+b ）； 向下平移b 个单位长度，可以得到对应点________。
1．在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置.通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐标系的根本内容.2．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.知道不同象限点的坐标的特征.3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由坐标找点等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，开展数形结合意识，培养学生的合作交流能力.教学重、难点：重点：1．能在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.2．平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标确实定.难点：1．在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.2．熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标确实定.教法及学法指导：本节采用探究合作式的教学模式，在教学中充分表达学生的主体地位，发挥小组合作学习的优势，同时教师适时点拔的教学方法.上一节课学生已熟练掌握在平面直角坐标系中根据点写出坐标，本节是反过来由点的坐标确定点的位置，并且在方格纸中完成，学生容易接受．课前准备：教具准备：多媒体课件投影仪三角板彩笔学生用具：方格纸假设干张三角板铅笔、橡皮、彩笔等用具教学过程：一、复习回忆，引入新课师：上节课我们学习了哪些知识？请同学们回忆一下.生1：我们学习了平面直角坐标系的定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴叫横轴或x轴，铅直的数轴叫纵横或y轴，x轴、y 轴统称为数轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.师：好，谁还有补充吗？生2：平面直角坐标系有四个象限：右上方局部为第一象限，按逆时针依次为第二象限、第三象限、第四象限.生3：点的坐标确实定：先过这一点，向横轴作垂线，垂足所对的数是横坐标．然后过这一点向纵轴作垂线，垂足所对的数是这一点的纵坐标. 点的坐标是一对有序实数对．师：好！给出以下点的坐标你能说出它们所在的位置吗？〔多媒体展示〕练习：指出以下各点所在象限或坐标轴：A 〔－1，－2.5〕，B 〔3，－4〕，C 〔41，5〕，D 〔3，6〕，E 〔－2.3，0〕，F 〔0，32〕， G 〔0，0〕．生：根据点的坐标逐一答复.设计意图：检查上节课学生对点的坐标特征的掌握情况，同时为本节课点的坐标确定位置作知识铺垫，有利于学生在坐标系内准确找出点的位置.师 ：由点找坐标是点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的x 轴、y 轴上的数字写出它的坐标，反过来，坐标，让你在直角坐标系中找点，你能找到吗？这就是本节课要探讨学习的内容.二、自主探索，合作交流师：请同学们拿出准备好的方格纸，自己建立平面直角坐标系，然后按照我给出的坐标尝试在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来.〔1〕D 〔－3，5〕，E 〔－7，3〕，C 〔1，3〕，D 〔－3，5〕；〔2〕F 〔－6，3〕，G 〔－6，0〕，A 〔－0，0〕，B 〔0，3〕；观察所描出的图形，它像什么？生：认真描点连线.师：利用实物展台展示学生的作品.师：哪位同学给大家讲解一下，他是如何画图得到这个图形的？生：我是先在横轴上找到-3作垂线，然后在纵轴上找到5作垂线，两直线的交点就是〔-3,5〕这个点，同样的画法我得到了其它各点，最后我依次连接，得到了这个图形．师：答复的很好，很清晰.同学们，你们的方法和他一样吗？生：一样.师：结合刚刚的画图，哪位同学能够以点〔a，b〕为例为我们梳理出由坐标描点的一般方法.生：先在横轴上找到a作垂线，然后在纵轴上找到b作垂线，两直线的交点就是〔a，b〕这个点.师：好，这是一个什么图形？生：“房子〞.师：根据图形解答以下问题：〔1〕图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？〔2〕线段EC与 x 轴有什么位置关系？点 E 和点 C 的坐标有什么特点？线段 EC 上其他点的坐标呢？〔3〕点F 和点G 的横坐标有什么共同特点，线段FG与y 轴有怎样的位置关系？生：先独立思考，再小组交流.生1：〔1〕点A、B都在x轴上，它们的纵坐标等于 0；点A、B 都在y轴上，它们的横坐标等于 0．师：谁还有补充吗？生2：线段 AG 上的点都在x轴上，线段 AB 上的点都在 y轴上.师：答复的好不好？生：好！师：对，请同学们注意应该是线段 AG、线段 AB上的所有点．生3：〔2〕线段 EC 平行于x 轴，点 E 和点 C 的纵坐标相同．线段 EC上其他点的纵坐标相同，都是 3．师：你同意他的看法吗？生：同意！生4：〔3〕点 F和点G 的横坐标相同，线段 FG 与y 轴平行.师：对不对？生：对！师：同学们答复的非常好！看来同学们仔细观察了，认真思考了.结合刚刚的问题你能发现这些点的坐标有什么规律吗？生1：〔积极踊跃的〕平行于x 轴的直线上的各点纵坐标相同，平行于y 轴的直线上的各点横坐标相同．师：总结很到位，谁还有补充吗？生2：x轴上的点的纵坐标为0，y 轴上点的横坐标为0.师：两位同学总结的好不好？生：非常好！师：我们把这两位同学的结论归纳概括就是：1．位于x轴上的点的坐标的特征是_________；位于y轴上的点的坐标的特征是__________.2．与x轴平行的直线上点的坐标的特征是__________；与y轴平行的直线上点的坐标的特征是____________.设计意图：让学生在坐标系中找出点的位置，经历探究的过程，从而总结出一般的由坐标找点的方法，所得图形也是学生比拟熟悉的图形，借助这个图形以几个问题让学生观察给出点的特征，经历探究的过程，从而总结出坐标轴上点的特征，及平行坐标轴点的特征,循序渐进，一步一步突破本节难点，变被动为主动，很好的表达了数学的趣味性，数与形的结合完美的展现了出来，大大激发了学生的学习热情.做一做〔多媒体展示〕如图是一个笑脸．〔1〕在“笑脸〞上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点．〔2〕在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点．(3)不具体标出这些点，分别判断〔1，2〕，〔-1，-3〕，〔2，-1〕，〔-3，4〕这些点所在的象限，说说你是怎么判断的．生：小组交流讨论，并答复总结得出各象限点的特征．对于点P〔a,b〕，假设点P在第一象限，那么a___0，b___0；假设点P在第二象限，那么a___0，b___0；假设点P在第三象限，那么a___0，b___0；假设点P在第四象限，那么a___0，b___0.设计意图：通过组内合作与自主学习相结合的学习方式，培养学生主动学习与合作学习的意识，发挥了学生的主体地位.三、稳固训练，拓展应用1．在右图的直角坐标系中描出以下各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来。
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》说课稿一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的建立、坐标轴的特点、坐标的表示方法以及坐标轴上的点的坐标特点。
教材通过生动的实例和丰富的练习，使学生能够理解并熟练运用平面直角坐标系解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、一次函数和二次函数等基础知识。
他们对数学图形有一定的认识，但平面直角坐标系的概念和应用可能较为抽象。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、操作和思考，理解和掌握平面直角坐标系的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平面直角坐标系的建立、坐标轴的特点、坐标的表示方法，以及坐标轴上的点的坐标特点。
2.过程与方法目标：通过观察、操作和思考，培养学生运用平面直角坐标系解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平面直角坐标系的建立，坐标轴的特点，坐标的表示方法。
2.教学难点：坐标轴上的点的坐标特点，以及运用平面直角坐标系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和探究式教学法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法表示物体的位置。
2.探究平面直角坐标系：让学生观察和分析实际问题，引导学生发现平面直角坐标系的建立和特点。
3.学习坐标表示方法：讲解坐标的表示方法，让学生通过实际操作，掌握坐标轴上的点的坐标特点。
4.应用与拓展：让学生运用平面直角坐标系解决实际问题，培养学生的应用能力。
5.总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平面直角坐标系。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
北师大版八年级数学上册：3.2 《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的定义、特点以及坐标轴上的点的坐标特征。
通过本节课的学习，学生能够理解坐标系在数学和物理中的重要性，为后续函数、几何等知识的学习打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了点的坐标，对坐标有一定的认识。
但他们对平面直角坐标系的理解还不够深入，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
此外，学生需要掌握如何在平面直角坐标系中表示点、直线和图形，以及如何利用坐标系解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义和特点，掌握坐标轴上的点的坐标特征，学会在平面直角坐标系中表示点、直线和图形。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：感受数学与现实生活的联系，体会数学学习的乐趣，提高学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义、特点和坐标轴上的点的坐标特征。
2.难点：如何在平面直角坐标系中表示点、直线和图形，以及利用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、问答法、自主探究法、合作交流法等教学方法，引导学生观察、操作、思考、交流，从而达到理解平面直角坐标系的目的。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔、坐标轴模型等。
2.学生准备：笔记本、彩笔、剪刀、胶水等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾七年级学过的点的坐标知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，你们还记得点的坐标吗？在坐标系中，如何表示一个点的位置？”呈现（10分钟）1.教师通过PPT展示平面直角坐标系的定义和特点，引导学生理解新知识。
2.教师讲解坐标轴上的点的坐标特征，如x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。
操练（10分钟）1.学生自主探究：在平面直角坐标系中表示点、直线和图形。
第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例距离的较小值称为点点的若点的若，两点为点的若点是若点的长距为的坐标为，试说明：中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点“”(1)直接写出点A，B的“－”(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（ ）A．B．C．D．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．一、单选题1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（）A．B．C．D．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（）A．19B．20C．21D．21.53．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（ ）A．B．C．D．二、填空题4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积（用含有k的式子表示）6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．（1）点的“长距”为；（2）若点是“完美点”，则的值为；三、解答题7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．(1)求点A、B的坐标；(2)求点F的坐标；(3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由．8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点是“完美点”，求的值；(3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．(1)______，点到轴的距离为______．(2)求四边形的面积．(3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是，的坐标是．(2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是，的坐标是．11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点．(1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________；(2)已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________；②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围．12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题．(1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示）(2)当时，求三角形的面积．(3)当时，三角形的面积为__________．(4)当时，直接写出的值．第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【答案】15【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可．【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F．∵点，，，∴，，∴，，，，．所以四边形的面积是15．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【答案】(1)，，(2)的面积为9．【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：点，点，点；故答案为：，，；（2）解：的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可；（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【详解】（1）如图，即为所求；（2）【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【答案】(1)，，(2)11.5(3)见解析【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；（3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可．【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；（2）的面积；（3）∵点经平移后对应点为，∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．如图，【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)2秒或8秒(3)当或时【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平方和二次根式的非负性，一元一次方程的应用，（1）由平方和二次根式的非负性即可求出a，b的值，即可求出点A、C的坐标．（2）由点A，点C的坐标即可求出点B的坐标，然后根据当点P到的距离为2个单位长度时，分两种情况，即可求出t的值．（3）先根据已知条件，求出，然后根据P在上，P在上，P在上，P在上时，根据已知条件，建立关于t的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解∵，∴，，∴，，∴，，∴，（2）由（1）可知，，∴，当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或者，∴秒或秒∴秒或秒，故答案为：2秒或8秒．（3）存在，理由如下：∵，∴，，∵，，轴，轴，∴，∴，，∴，∴，①当P在上时，，即时，，∴∴，解得，舍去②当P在上时，，即时，，∴∴，解得③当P在上时，，即时，∴，∴，解得，舍去④当P在上时，，即时，∴∴，解得综上，当或时【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【答案】(1)16(2)或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）设点D的坐标为，．解得．∴满足条件的点D的坐标为或；【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；(2)；(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．（1）根据非负数的性质求解即可；（2）求出，，再用计算即可；（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，；∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；（2）解：过点作于，则，∵，，∴，，∴，，∴；（3）解：存在，点M的坐标为或，理由如下：假设存在这样的点M，设为，则，∵，∴∵，由题意得解得：或，∴存在这样的点M，点M的坐标为或．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】(1)，(2)存在，或(3)①正确，【详解】（1），．点，点．根据平移规律可得，．（2）坐标轴上存在点满足．当点在轴上时，，．．点的坐标为或；当点在轴上时，，．．点的坐标为或．综上，点的坐标为或或或．（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，．．．．．①正确．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为______；(2)若点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．【答案】(1)7(2)4或(3)或【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离，（1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可；（2）根据新定义得到，求解即可；（3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案；【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7，根据定义得点的点的“短距，且，∴，解得或．（3）点C到x轴的距离为，到轴的距离为，到当时，，则或，解得或（舍）．当时，，则或，解得或（舍）．综上，k的值为或．2023上八年级统考期中）轴的距离的较大值称为点点的“长距”若点是若点的长距为的坐标为，试说明：【答案】(1)3(2)或见解析【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的完美点”．）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为点是∴，∴或，解得或；）解：点的长距为∴，解得，∴，∴点D的坐标为，y轴的距离都是完美点”．中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点(1)(3)或【分析】（1）根据“2）根据和谐点”的含义及两点重合即可完成；的坐标为，根据）解：由题意得：，，所以点的一对坐标是与；故答案为：；）解：由题意得：，，所以点的一对“和谐点坐标是与；又点的一对重合，，，故答案为：6（3）解：设，的一个“和谐点坐标为，则，，；；若点C的另一个“和谐点”坐标为，则，，；；综上，点C的坐标为或．【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义．【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．【答案】(1)（-1，1）(2)（，）(3)①，②或【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可；（2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案；（3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可．【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴点A，B的“－”系和点的横坐标为，纵坐标为，∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）．（2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点，设点C坐标为（m，n），∴，，解得，．∴点C的坐标为（，）．（3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b）则，，∴点D的坐标为；②∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴．∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6，∴，解得或，∴符合条件的k的值为或．【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标．【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．【详解】解：由题知，第1次运动后，动点的坐标是；第2次运动后，动点的坐标是；第3次运动后，动点的坐标是；第4次运动后，动点的坐标是；第5次运动后，动点的坐标是；第6次运动后，动点的坐标是；第7次运动后，动点的坐标是；由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是．又，即第2024次运动后，动点的坐标是，即．故选：D【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【答案】【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…，∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∵，则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，故答案为∶．【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【答案】【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键．【详解】解：根据点的运动方式可知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可见，点的横坐标为，纵坐标为，当时，，，所以点的坐标为，所以点的坐标为，故答案为：．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【答案】【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答．【详解】解：由图可得，，，∵∴，即，∴，，故答案为：【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标．【详解】连接交y轴于点D，如图所示，∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4，∵，∴点向右平移1348（即）到点，，∵的坐标为，∴的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律．【详解】根据规律、、、、、、、、，；每个一个循环，，依次规律在次循环后与纵坐标一致，横坐标分别为：为、为、为、为；为、为、为、为；依次规律与横坐标为减，∴横坐标为，则坐标是，故选：．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【答案】【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．【详解】解：正方形边长为，，正方形是正方形的对角线为边，，点坐标为，同理可知，点坐标为，同理可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即，，的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为，，故答案为：．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转，可知：，，则：每旋转4次则回到原位置，∵，∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是．故答案为：．。
平面直角坐标系1.有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做________。
2.平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条________、________的数轴，组成____________。
水平的数轴称为x轴或____，习惯上取____为正方向；竖直的数轴称为y轴或____，取____方向为正方向；两坐标轴的交战为平面直角坐标系的____。
3.象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：（x，0）纵坐标轴上的点：_______4.距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的______。
坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为 x1-x2的绝对值；点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为 y1-y2的绝对值。
5.绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出a=b或者________。
6.角平分线问题：若点（x，y）在一、三象限角平分线上，则x=y若点（x，y）在二、四象限角平分线上，则______7.对称问题（选讲）：一点关于x轴对称，则x同y反；关于y轴对称，则y同x反；关于原点对称，则x反y反。
8.距离问题（选讲）：坐标系上点（x，y）距原点距离为：________。
坐标系中任意两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离为_________。
9.中点坐标（选讲）：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB中点坐标为__________。
10.平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；向左平移a个单位长度，可以得到对应点________；向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；向下平移b个单位长度，可以得到对应点________。
1.有序数对【例1】电影院中“2排5号”记作（2，5），则（10，18）的意义为_______________练1.根据下列条件，能确定位置的有哪些？①座位是2排4号；②某城市在东经118°，北纬39°；③家住前进路20号；④甲地距乙地20km；⑤沉船距A港50km2.平面直角坐标系相关概念【例2】写出图中A、B、C、D、E、F、O各点坐标，并说明个点在哪个象限【解析】坐标轴分坐标平面为五个部分（按逆时针方向依次称为第一、二、三、四象限），坐标轴上的点不属于任何一个象限。
练2.下列各点中，在第二象限的点是（）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （-2，3）x 练 3.已知点M（,）在第二象限，则的值是。
【例3】已知：点P的坐标是(,)，且点P关于轴对称的点的坐标是(,)，则。
练4.(2014北京清华附中练习）下列说法正确的是（）A、平面内，两条互相垂直的直线构成数轴。
B、坐标原点不属于任何象限。
C、X轴上的点必是纵坐标为0，横坐标不为0。
D、坐标为(3, 4)与（4，3）表示同一个点。
练5.下列说法正确的是（ ）A 、点p （0，5）在X 轴上 。
B 、点A （-3，4）与点B(3,-4)在X 轴的同一侧。
C 、点M （-a ，a ）在第二象限。
D 、坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。
练6.（2014顺城一中期末）在平面直角坐标系中，点（-1，m 2+1）一定在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 练7.点 A 在第二象限，它到轴、轴的距离分别是、，则坐标是 。
3.距离问题【例4】（2014北京161中学月考）点A(5,7)到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原 点的距离是 ；练8.小虫在小方格上沿着小方格的边爬行，它的起始位置是A （2，2）先爬到B （2，4），再爬到C （5，4），最后爬到D(5,6)，则小虫共爬了（ ）A 、7个单位长度B 、5个单位长度C 、4个单位长度D 、3个单位长度 练9.三角形ABC 中，A （-1，0），B （5，0），C （2，5），则三角形ABC 的面积为（ ） A. 30 B. 15C. 20D. 10【例5】点M （a ，a-1）不可能在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4.平移【例5】在平面直角坐标系中，将点)5,2(-向右平移3个单位长度，可以得到对应点坐标（ ， ）；将点)5,2(--向左平移3个单位长度可得到对应点（ ， ）；将点)5,2(+向上平移3单位长度可得对应点（ ， ）；将点)5,2(-向下平移3单位长度可得对 应点（ ， ）。
练10.已知点A 的坐标为（5，1.5），A ′的坐标为（5，﹣1.5），则将点A 沿________移动______ 个单位长度的距离即可得到点A ′。
练11.在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（ ）A. 向右平移了3个单位长度B. 向左平移了3个单位长度C. 向上平移了3个单位长度D. 向下平移了3个单位长度【例6】已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，﹣5），C（2，4）.若将△ABC向上平移5个单位，写出三个对应点A′、B′、C′的坐标。
练12.如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标。
1.（2015北京文汇练习）为确定一个平面上点的位置，所用的数据个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个2.在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3.点P（m+3,m+1）在x轴上，则点p坐标为（）A（0，-4） B（4，0） C（0，-2） D（2，0）4.下列说法正确地有（）（1）点（1，-a）一定在第四象限（2）坐标轴上的点不属于任一象限（3）横坐标为0的点在Y轴上纵坐标为0的点在X轴上。
(4)直角坐标系中，在Y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是（0，5）。
A 1个B 2个C 3个D 4个5.点p（a,b），ab＞0，a＋b＜0,则点p在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6.点M在第四象限，它到X轴、Y轴的距离分别为8和5，则点M的坐标为（） A（8，5） B（5，-8） C（-5，8） D（-8，5）7.（2014盐城一中期末）过点A（-3，2）和点B（-3，5）作直线AB,则直线AB（）A 平行于Y轴B 平行于X轴C 与Y轴相交D 与y轴垂直8.若点A（m,n）,点B（n,m）表示同一点则这一点一定在（）A第二、四象限的角平分线上 B第一、三象限的角平分线上C 平行于X轴的直线上 D平行于Y轴的直线上9.线段MN是由线段EF经过平移得到的若点E(-1,3)的对应点M（2，5）。
则点F（-3，-2）的对应点N的坐标是（）A（-1，0） B （-6，0） C （0，-4） D（0，0）10.到x 轴的距离等于2的点组成的图形是（ ） A. 过点（0，2）且与x 轴平行的直线 B. 过点（2，0）且与y 轴平行的直线 C. 过点（0，-2）且与x 轴平行的直线D. 分别过（0，2）和（0，-2）且与x 轴平行的两条直线_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________11.若点M （a+3,a-2）在Y 轴上，则点M 的坐标是_________。
12.如果将点A （-3，-2）向右移2个单位长度再向上平移3个单位长度单位得到点A 1，，那 么点A 1，在第______象限，点A 1的坐标是__________。
13.已知点P （-1，2），则点P 关于X 轴的对称点P 1的坐标是_________，点P 关于Y 轴的 对称点P 2的坐标是__________，点P 关于原点的对称点P 3的坐标是 _____________。
14.（2015北京铁二中学练习）在△ABC 中，如果A （1，1）B （-1，-1）C （2，-1）则△ABC的面积是_____________。
15.点A （+3，-4）到X 轴的距离是__________，到Y 轴的距离是____________。
16.若点M （a,b ）在第四象限，则点N （-a,a-b ）在第____________象限。
17.已知(a-1)2+︱b+2︱=0,P （-a,-b ）的坐标为____________。
18.已知正方形的一个顶点A （-4，2），把此正方形向上平移2个单位长度，再向左平移3 个单位长度时，此时点A 的坐标是____________。
19.在平面上有A 、B 两点，若以点B 为原点建立平面直角坐标系，则点A 坐标为（2，3）；若以点A 为原点建立平面直角坐标系，则点B 的坐标为___________。
20.在游泳馆一侧的座位席上，5排2号记为（5，2），则3排5号记为 。
21.（2014临沂一中期末）如图：如果“士”所在位置的坐标为 (-1，-2)， “相”所在位置的坐标为(2，-2)，那么，“炮”所在 位置的坐标为________．22.若P （x ，y ）是第四象限内的点，且2,3x y ==，则点P 的坐标是 。
23.已知A （1，4），B （－4，0），C （2，0）。
（1）△ABC 的面积是 ．（2）将△ABC 向右平移三个单位后，点A 、B 、C 的坐标分别变为 。
（3）将△ABC 向下平移三个单位后，点A 、B 、C 的坐标分别变为 。
（4）若B、C的坐标不变，点A在y轴上，△ABC的面积为6，那么点A的坐标为_________。
（5）若B、C的坐标不变，点A的横坐标为－1，△ABC的面积为6，那么点A的坐标为。
（6）若A、C的坐标不变，点B在x轴上，△ABC的面积为6，那么点B的坐标为____________。
24.(2015北京161月考）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A、（13，13）B、（﹣13，﹣13）C、（14，14）D、（﹣14，﹣14）课程顾问签字： 教学主管签字：。
